Bài tập về cơ sở toán học trong An toàn và bảo mật thông tin Có lời giải

Bài tập về cơ sở toán học trong an toàn và bảo mật thông tin:Phần 1: Phép toán số học theo Modulo Phần 2: Cộng và nhân theo ModuloPhần 3: Thuật toán Euclide tính ước chung lớn nhất GCDPhần 4: Thuật toán Euclide mở rộng tính GCD và x, y thoả mãn ax + by = GCD(a,b)Phần 5: Dùng thuật toán Euclide mở rộng tính nghịch đảo vành ZnPhần 6: Bình phương và nhân xk mod nPhần 7: Định lý Ferma nhỏ Phi ƠlePhần 8: Định lý phần dư Trung HoaBài kiểm tra

Bài tập có lời giải

An toàn và bảo mật thông tin

Phần 1: Phép toán số học theo Modulo

Câu 1: Tính

(11 * 19 + 1017) mod 7

= ((11 * 19 mod 7) + (1017 mod 7)) mod 7

= ((11 mod 7 * 19 mod 7) mod 7 + (10 mod 7)17) mod 7

= (( 4 * 5 ) mod 7 + (3 mod 7)17) mod 7

= (6 + (((98) mod 7) * 3mod 7) mod 7)) mod 7

= (6 + ((28 mod 7) * 3 mod 7)) mod 7

= (6 + ((4*3) mod7)) mod 7

= (6 + 5) mod 7

= 11 mod 7

= 4

Phần 2: Cộng và nhân theo Modulo

Bài tập 1: Cho a=87, b=94 thực hiện phép cộng (a+b) mod 7

Bài tập 2: Cho a=354, b=173 thực hiện phép cộng (a+b) mod 8 Bài tập 3: Cho a=87, b=6 thực hiện phép nhân (axb) mod 7

Bài tập 4: Cho a=354, b=5 thực hiện phép nhân (axb) mod 8

Bài Làm:

Bài tập 1: Cho a=87, b=94 thực hiện phép cộng (a+b) mod 7

• Chuyển đổi a=87, b=94 từ hệ cơ số 10 sang cơ số 7

o a = 153

o b = 163

• Thực hiện phép cộng:

o (3+3) mod 7 = 6 mod 7 được 0 dư 6

o (5+6) mod 7 = 11 mod 7 được 1 dư 4

o (1+1+1(nhớ)) mod 7 = 3 mod 7 được 0 dư 3

• Kết quả (a + b) mod 7 = 346

Bài tập 2: Cho a=354, b=173 thực hiện phép cộng (a+b) mod 8

• Chuyển đổi a=354, b=173 từ hệ cơ số 10 sang cơ số 8

o a = 542

o b = 255

• Thực hiện phép cộng:

o (2+5) mod 8 = 7 mod 8 được 0 dư 7

o (4+5) mod 8 = 9 mod 8 được 1 dư 1

o (5+2+1(nhớ)) mod 8 = 8 mod 8 được 1 dư 0

• Kết quả (a + b) mod 8 = 1017

Bài tập 3: Cho a=87, b=6 thực hiện phép nhân (axb) mod 7

• Chuyển đổi a=87, b=6 từ hệ cơ số 10 sang cơ số 7

o a = 153

o b = 6

• Thực hiện phép nhân:

o (3x6) mod 7 = 18 mod 7 được 2 dư 4

o (5x6+2(nhớ)) mod 7 = 32 mod 7 được 4 dư 4

o (1x6+4(nhớ)) mod 7 = 10 mod 7 được 1 dư 4

• Kết quả (a x b) mod 7 = 1344

Bài tập 4: Cho a=354, b=5 thực hiện phép nhân (axb) mod 8

• Chuyển đổi a=354, b=5 từ hệ cơ số 10 sang cơ số 8

o a = 542

o b = 5

• Thực hiện phép nhân:

o (2x5) mod 8 = 10 mod 8 được 1 dư 2

o (4x5+1(nhớ)) mod 8 = 21 mod 8 được 2 dư 5

o (5x5+2(nhớ)) mod 8 = 27 mod 8 được 3 dư 3

• Kết quả (a x b) mod 8 = 3352

Phần 3:

Thuật toán Euclide tính ước chung nhỏ nhất GCD

Bài tập 1: Tìm GCD(973, 301)

Bài tập 2: Tìm GCD(1970, 1066)

Bài tập 3: Tìm GCD(4864, 3458)

Bài tập 4: Tìm GCD(42823, 6409)

Bài tập 5: Tìm GCD(91470, 51066)

Bài giải

Bài tập 1: Tìm GCD(973, 301)

973 = 3*301 + 70 GCD(973, 301) = GCD(301, 70)

301 = 4*70 + 21 GCD(301, 70) = GCD(70, 21)

70 = 3*21 + 7 GCD(70, 21) = GCD(21, 7)

21 = 3*7 + 0 GCD(21, 7) = GCD(7, 0) = 7 Vậy GCD(973, 301) = 7

Bài tập 2: Tìm GCD(1970, 1066)

1970= 1*1066 + 904 GCD(1970, 1066) = GCD(1066, 904) 1066= 1*904 + 162 GCD(1066, 904) = GCD(904, 162)

904 = 5*162 + 94 GCD(904, 162) = GCD(162, 94)

162 = 1*94 + 68 GCD(162, 94) = GCD(94, 68)

94 = 1*68 + 26 GCD(94, 68) = GCD(68, 26)

68 = 2*26 + 16 GCD(68, 26) = GCD(26, 16)

26 = 1*16 + 10 GCD(26, 16) = GCD(16, 10)

16 = 1*10 + 6 GCD(16, 10) = GCD(10, 6)

10 = 1*6 + 4 GCD(10, 6) = GCD(6, 4)

6 = 1*4 + 2 GCD(6, 4) = GCD(4, 2)

4 = 2*2 + 0 GCD(4, 2) = GCD(2, 0) = 2

Vậy GCD(1970, 1066) = 2

Bài tập 3: Tìm GCD(4864, 3458)

4864= 1*3458+ 1406 GCD(4864, 3458) = GCD(3458, 1406) 3458= 2*1406+ 646 GCD(3458, 1406) = GCD(1406, 646)

1406= 2*646+ 114 GCD(1406, 646) = GCD(646, 114)

646= 5*114+ 76 GCD(646, 114) = GCD(114, 76)

114= 1*76+ 38 GCD(114, 76) = GCD(76, 38)

76= 2*38+ 0 GCD(76, 38) = GCD(38, 0) = 38

Vậy GCD(4864, 3458) = 38

Bài tập 4: Tìm GCD(42823, 6409)

42823= 6*6409+ 4369 GCD(42823, 6409) = GCD(6409, 4369) 6409= 1*4369+ 2040 GCD(6409, 4369) = GCD(4369, 2040) 4369= 2*2040+ 289 GCD(4369, 2040) = GCD(2040, 289)

2040= 7*289+ 17 GCD(2040, 289) = GCD(289, 17)

289= 17*17+ 0 GCD(289, 17) = GCD(17, 0) = 17

Vậy GCD(42823, 6409) = 17

Bài tập 5: Tìm GCD(91470, 51066)

91470= 1*51066+ 40404 GCD(91470, 51066) = GCD(51066, 40404) 51066= 1*40404+ 10662 GCD(51066, 40404) = GCD(40404, 10662) 40404= 3*10662+ 8418 GCD(40404, 10662) = GCD(10662, 8418) 10662= 1*8418+ 2244 GCD(10662, 8418) = GCD(8418, 2244) 8418= 3*2244+ 1686 GCD(8418, 2244) = GCD(2244, 1686) 2244= 1*1686+ 558 GCD(2244, 558) = GCD(1686, 558)

1686= 3*558+ 12 GCD(1686, 558) = GCD(558, 12)

558= 46*12 + 6 GCD(558, 12) = GCD(12, 6)

12 = 2*6 + 0 GCD(12, 6) = GCD(6, 0) = 6

Vậy GCD(91470, 51066) = 6

Phần 4:

Thuật toán Euclide mở rộng tính GCD

và x, y thoả mãn ax + by = GCD(a,b)

Bài tập 1: Cho a=973, b=301 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by = GCD(a,b) Bài tập 2: Cho a=1970, b=1066 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by =

GCD(a,b)

Bài tập 3: Cho a=42823, b=6409 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by =

GCD(a,b)

Bài tập 4: Cho a=91470, b=51066 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by =

GCD(a,b)

Bài làm:

Bài tập 1: Cho a=973, b=301 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by = GCD(a,b)

Bước 1:

• a = 973 chia b = 301 được q=3, r=70

• x = x2 – q*x1 = 1-3*0 = 1

• y = y2 – q*y1 = 0-3*1=-3

• a = b = 301, b = r = 70

• x2 = x1 = 0, x1 = x = 1

• y2 = y1 = 1, y1 = y = -3

Bước 2:

• a = 301 chia b = 70 được q=4, r=21

• x = x2 – q*x1 = 0-4*1 = -4

• y = y2 – q*y1 = 1-4*-3=13

• a = b = 70, b = r = 21

• x2 = x1 = 1, x1 = x = -4

• y2 = y1 = -3, y1 = y = 13

Bước 3:

• a = 70 chia b = 21 được q=3, r=7

• x = x2 – q*x1 = 1-3*-4 = 13

• y = y2 – q*y1 = -3-3*13=-42

• a = b = 21, b = r = 7

• x2 = x1 = -4, x1 = x = 13

• y2 = y1 = 13, y1 = y = -42

Bước 4:

• a = 21 chia b = 7 được q=3, r=0

• x = x2 – q*x1 = -4-3*13 = -43

• y = y2 – q*y1 = 13-3*-42=139

• a = b = 7, b = r = 0

• x2 = x1 = 13, x1 = x = -43

• y2 = y1 = -42, y1 = y = -139

Do b = 0, Thuật toán kết thúc: a = 7 = d =gcd(973,301); x = x2 = 13, y = y2 = -42

Bài tập 2: Cho a=1970, b=1066 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by =

GCD(a,b)

Bước 1:

• a = 1970 chia b = 1066 được q=1, r=904

• x = x2 – q*x1 = 1-1*0 = 1

• y = y2 – q*y1 = 0-1*1=-1

• a = b = 1066, b = r = 904

• x2 = x1 = 0, x1 = x = 1

• y2 = y1 = 1, y1 = y = -1

Bước 2:

• a = 1066 chia b = 904 được q=1, r=162

• x = x2 – q*x1 = 0-1*1 = -1

• y = y2 – q*y1 = 1-1*-1=2

• a = b = 904, b = r = 162

• x2 = x1 = 1, x1 = x = -1

• y2 = y1 = -1, y1 = y = 2

Bước 3,4,5,6,7,8,9,10,11 tương tự ta có:

• a chia b được q dư r

• x = x2 – q*x1

• y = y2 – q*y1

• a = b, b = r

• x2 = x1, x1 = x

• y2 = y1, y1 = y

Do b = 0, Thuật toán kết thúc: a = 2 = d =gcd(1970, 1066); x = x2 = -204, y = y2 =

377

Bài tập 3: Cho a=42823, b=6409 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by =

GCD(a,b)

Bước q r x y a b x2 x1 y2 y1

1 6 4369 1 -6 6409 4369 0 1 1 -6

2 1 2040 -1 7 4369 2040 1 -1 -6 7

3 2 289 3 -20 2040 289 -1 3 7 -20

4 7 17 -22 147 289 17 3 -22 -20 147

5 17 0 377 -2519 17 0 -22 377 147 -2519

Bước 1:

• a = 42823 chia b = 6409 được q=6, r=4369

• x = x2 – q*x1 = 1-6*0 = 1

• y = y2 – q*y1 = 0-6*1=-6

• a = b = 6409, b = r = 4369

• x2 = x1 = 0, x1 = x = 1

• y2 = y1 = 1, y1 = y = -6

Bước 2:

• a = 6409 chia b = 4369 được q=1, r=2040

• x = x2 – q*x1 = 0-1*1 = -1

• y = y2 – q*y1 = 1-1*-6=7

• a = b = 4369, b = r = 2040

• x2 = x1 = 1, x1 = x = -1

• y2 = y1 = -6, y1 = y = 7

Bước 3:

• a = 4369 chia b = 2040 được q=2, r=289

• x = x2 – q*x1 = 1-2*-1 = 3

• y = y2 – q*y1 = -6-2*7=-20

• a = b = 2040, b = r = 289

• x2 = x1 = -1, x1 = x = 3

• y2 = y1 = 7, y1 = y = -20

Bước 4:

• a = 2040 chia b = 289 được q=7, r=17

• x = x2 – q*x1 = -1-7*3 = -22

• y = y2 – q*y1 = 7-7*-20=147

• a = b = 289, b = r = 17

• x2 = x1 = 3, x1 = x = -22

• y2 = y1 = -20, y1 = y = 147

Bước 5:

• a = 289 chia b = 17 được q=17, r=0

• x = x2 – q*x1 = 3-17*-22 = 377

• y = y2 – q*y1 = -20-17*147=-2519

• a = b = 17, b = r = 0

• x2 = x1 = -22, x1 = x = 377

• y2 = y1 = 147, y1 = y = -2519

Do b = 0, Thuật toán kết thúc: a = 17 = d =gcd(42823, 6409); x = x2 = -22, y = y2 =

147

Bài tập 4: Cho a=91470, b=51066 Tìm x,y và GCD(a,b) thoản mãn ax + by =

GCD(a,b)

Bước q r x y a b x2 x1 y2 y1

0 91470 51066 1 0 0 1

1 1 40404 1 -1 51066 40404 0 1 1 -1

2 1 10662 -1 2 40404 10662 1 -1 -1 2

3 3 8418 4 -7 10662 8418 -1 4 2 -7

4 1 2244 -5 9 8418 2244 4 -5 -7 9

5 3 1686 19 -34 2244 1686 -5 19 9 -34

6 1 558 -24 43 1686 558 19 -24 -34 43

7 3 12 91 -163 558 12 -24 91 43 -163

8 46 6 -4210 7541 12 6 91 -4210 -163 7541

9 2 0 8511 -15245 6 0 -4210 8511 7541 -15245

Bước 1:

• a = 91470 chia b = 51066 được q=1, r=40404

• x = x2 – q*x1 = 1-1*0 = 1

• y = y2 – q*y1 = 0-1*1=-1

• a = b = 51066, b = r = 40404

• x2 = x1 = 0, x1 = x = 1

• y2 = y1 = 1, y1 = y = -1

Bước 2:

• a = 51066 chia b = 40404 được q=1, r=10662

• x = x2 – q*x1 = 0-1*1 = -1

• y = y2 – q*y1 = 1-1*-1=2

• a = b = 40404, b = r = 10662

• x2 = x1 = 1, x1 = x = -1

• y2 = y1 = -1, y1 = y = 2

Bước 3,4,5,6,7,8,9,10,11 tương tự ta có:

• a chia b được q dư r

• x = x2 – q*x1

• y = y2 – q*y1

• a = b, b = r

• x2 = x1, x1 = x

• y2 = y1, y1 = y

Do b = 0, Thuật toán kết thúc: a = 6 = d =gcd(91470, 51066); x = x2 = -4210, y =

y2 = 7541

Phần 5:

Dùng thuật toán Euclide mở rộng tính nghịch đảo vành Zn

Bài tập 1: Tính r1-1 mod r0 với r0=101, r1=25

Bài tập 2: Tính r1-1 mod r0 với r0=11, r1=60

Bài tập 3: Tính r1-1 mod r0 với r0=1024, r1=173

Bài tập 4: Tính r1-1 mod r0 với r0=323, r1=299

Bài tập 5: Tính r1-1 mod r0 với r0=460, r1=3

Bài Làm:

Bài tập 1: Tính r1-1 mod r0 với r0=101, r1=25

❖ Bước 0: ri = r0 = 101, ri+1= r1 = 25, r0 chia r1 được q1 = 4, dư r2=1, s0=1, t0=0

❖ Bước 1: r1 = 25, r2 = 1, r1 chia r2 được q2 = 25, dư r3=0, s1=0, t1=1

❖ Bước 2: s2=1, t2=-4

Ta Thấy 101 * 1 + 25 * -4 = GCD(101,25) = 1 => s=1, t=-4

Vậy 25-1mod 101 = (-4) mod 101 = (-4 + 101) = 97

Bài tập 2: Tính r1-1 mod r0 với r0=11, r1=60

❖ Bước 0: ri = r0 = 11, ri+1= r1 = 60, r0 chia r1 được q1 = 0, dư r2=11, s0=1, t0=0

❖ Bước 1: r1 = 60, r2 = 11, r1 chia r2 được q2 = 5, dư r3=5, s1=0, t1=1

❖ Bước 2: r2 = 11, r3 = 5, r2 chia r3 được q3 = 2, dư r4=5, s2=1, t2=0

❖ Bước 3: r3 = 60, r4 = 11, r3 chia r4 được q4 = 5, dư r5=5, s3=-5, t3=1

❖ Bước 4: s4=11, t4=-2

Ta Thấy 11 * 11 + 60 * -2 = GCD(11,60) = 1 => s=11, t=-2

-1

Bài tập 3: Tính r1-1 mod r0 với r0=1024, r1=173

❖ Bước 0: ri = r0 = 1024, ri+1= r1 = 173, r0 chia r1 được q1 = 5, dư r2=159, s0=1, t0=0

❖ Bước 1: r1 = 173, r2 = 159, r1 chia r2 được q2 = 1, dư r3=14, s1=0, t1=1

❖ Bước 2: r2 = 159, r3 = 14, r2 chia r3 được q3 = 11, dư r4=5, s2=1, t2=-5

❖ Bước 3: r3 = 14, r4 = 5, r3 chia r4 được q4 = 2, dư r5=4, s3=-1, t3=6

❖ Bước 4: r4 = 5, r5 = 4, r4 chia r5 được q5 = 1, dư r6=1, s4=12, t4=-71

❖ Bước 5: r5 = 4, r6 = 1, r5 chia r6 được q6 = 4, dư r7=0, s5=-25, t5=148

❖ Bước 6: s5=37, t5=-219

Ta Thấy 1024 * 37 + 173 * -219 = GCD(1024,173) = 1 => s=37, t=-219

Vậy 173-1 mod 1024 = (-219) mod 1024 = -219 + 1024 = 805

Bài tập 4: Tính r1-1 mod r0 với r0=323, r1=299

❖ Bước 0: ri = r0 = 323, ri+1= r1 = 299, r0 chia r1 được q1 = 1, dư r2=24, s0=1, t0=0

❖ Bước 1: r1 = 299, r2 = 24, r1 chia r2 được q2 = 12, dư r3=11, s1=0, t1=1

❖ Bước 2: r2 = 24, r3 = 11, r2 chia r3 được q3 = 2, dư r4=2, s2=1, t2=-1

❖ Bước 3: r3 = 11, r4 = 2, r3 chia r4 được q4 = 5, dư r5=1, s3=-12, t3=13

❖ Bước 4: r4 = 2, r5 = 1, r4 chia r5 được q5 = 2, dư r6=0, s4=25, t4=-27

❖ Bước 5: s5=-137, t5=148

Ta Thấy 323 * -137 + 299 * 148 = GCD(323,299) = 1 => s=-137, t=148

Bài tập 5: Tính r1-1 mod r0 với r0=460, r1=3

❖ Bước 0: ri = r0 = 460, ri+1= r1 = 3, r0 chia r1 được q1 = 153, dư r2=1, s0=1, t0=0

❖ Bước 1: r1 = 3, r2 = 1, r1 chia r2 được q2 = 3, dư r3=0, s1=0, t1=1

❖ Bước 2: s2=1, t2=-153

Ta Thấy 460 * 1 + 3 * -153 = GCD(460,3) = 1 => s=1, t=-153

Phần 6:

Bình phương và nhân xk mod n

Bài tập 1: Tính xk mod n, với x = 7, k =560, n=561

Bài tập 2: Tính 1435 mod 11

Bài tập 3: Tính 31130 mod 23

Bài tập 1: Tính 7560 mod 561

• x = 7, k =560, n=561

• k = 560 = 10001100002

• p = 1, Ta có bảng:

b[i] p=p*p p=p(mod 561) p = p * x p =p(mod 561)

Vậy 7560 mod 561 = 1

Bài tập 2: Tính 1435 mod 11

• x = 14, k =35, n=11

• k = 35 = 1000112

• p = 1, Ta có bảng:

b[i] p=p*p p=p(mod 11) p = p * x p = (mod 11)

Vậy 1435 mod 11 = 1

Bài tập 3: Tính 31130 mod 23

• x = 31, k =130, n=23

• k = 130 = 100000102

• p = 1, Ta có bảng:

b[i] p=p*p p=p(mod 23) p = p * x p = (mod 23)

Vậy 31130 mod 23 = 9

Bài tập 4: Tính 71130 mod 23

• x = 71, k =130, n=23

• k = 130 = 100000102

• p = 1, Ta có bảng:

b[i] p=p*p p=p(mod n) p = p * x p = (mod n)

Vậy 71130 mod 23 = 6

Phần 7:

Định lý Ferma nhỏ - Phi Ơle

Dùng định lý Ferma và định lý ơle tính các biểu thức sau:

Bài 1: 616 mod 17

Bài 2: 1516 mod 17

Bài 3: 95100 mod 101

Bài 4: 74 mod 10

Bài 5: 95 mod 10

Bài 6: 1012 mod 21

Bài 7: 9190 mod 100

Bài làm:

Bài 1: 616 mod 17

Ta thấy 616 = 617-1 và 17 là số nguyên tố, GCD(6,17) = 1

Nên ta có:

616 mod 17 = 617-1 mod 17 ≡ 1 mod 17 = 1 (Theo định lý ferma nhỏ)

=>Vậy 616 mod 17 = 1

Bài 2: 1516 mod 17

Ta thấy 1516 = 1517-1 và 17 là số nguyên tố, GCD(15,17) = 1

Nên ta có:

1516 mod 17 = 1517-1 mod 17 ≡ 1 mod 17 = 1 (Theo định lý ferma nhỏ)

=>Vậy 1516 mod 17 = 1

Bài 3: 95100 mod 101

Ta thấy 95100 = 95101-1 và 101 là số nguyên tố, GCD(95,101) = 1

Nên ta có:

95100 mod 101 = 95101-1 mod 101 ≡ 1 mod 101 = 1 (Theo định lý ferma nhỏ)

=>Vậy 95100 mod 101 = 1

Bài 4: 74 mod 10

Ta thấy Ф(10) = Ф(2*5) = Ф(2)* Ф(5) (TC2) = (2-1)*(5-1) (TC1)= 4

=> 74 mod 10 = 7Ф(10) mod 10 ≡ 1 mod 10 (Định lý ơle) = 1 (mod 10)

=> Vậy 74 mod 10 = 1 (mod 10)

Bài 5: 95 mod 10

Ta có:

95 mod 10 = (94 *9) mod 10 = (94 mod 10 * 9 mod 10) mod 10

Do: Ф(10) = Ф(2*5) = Ф(2)* Ф(5) (TC2) = (2-1)*(5-1) (TC1)= 4

=> 95 mod 10 = (94 *9) mod 10 = (94 mod 10 * 9 mod 10) mod 10

= (9Ф(10) mod 10 * 9 mod 10) mod 10

= ( 1 * 9 ) mod 10

= 9

=> Vậy 95 mod 10 = 9

Bài 6: 1012 mod 21

Ta thấy Ф(21) = Ф(3*7) = Ф(3)* Ф(7) (TC2) = (3-1)*(7-1) (TC1)= 2*6 = 12

=> 1012 mod 21 = 10Ф(21) mod 21 ≡ 1 mod 21 (Định lý ơle) = 1 (mod 21)

=> Vậy 1012 mod 21 = 1

Bài 7: 9190 mod 100

Do Ф(100) = 40

=> 9190 mod 100 = (9180) * 9110 mod 100 = 9110 mod 100 = (912)5 mod 100 = 1

Phần 8:

Định lý phần dư Trung Hoa

Sử dụng định lý phần dư Trung Hoa tính giá trị biểu thức sau:

Bài 1: 2530 mod (7*8)

Bài 2: 70254 mod (11*13)

Bài 3: 60-1 mod (11*13)

Bài 4: ((21100 + 33-1) * 4551) mod (7*9*11)

Bài 5: ((19125 + 2551) * 4721/37) mod (9*11*13)

Bài làm:

Bài 1: 2530 mod (7*8)

A = 2530, M = 7*8

➢ Bước 1: M = 7*8 = m1 * m2 (m1 = 7, m2 = 8)

➢ Bước 2: Tính:

o M1 = M/m1 = (7*8)/7 = 8

o M1 = M/m1 = (7*8)/8 = 7

➢ Bước 3:

o a1 = A mod m1 = 2530 mod 7 = 3

o a2 = A mod m2 = 2530 mod 8 = 2

➢ Bước 4:

o c1 = M1 * (M1-1 mod m1) = 8*(8-1 mod 7) = 8*(1-1 mod 7) = 8

o c2 = M2 * (M2-1 mod m2) = 7*(7-1 mod 8) = 7*7 = 49

➢ Bước 5: A = (a1*c1 + a2*c2) mod (7*8) = (3*8 + 2*49) mod 56 = 10 (mod 56) Vậy 2530 mod (7*8) = 10

Bài 2: 70254 mod (11*13)

➢ Bước 1: A = 70254, M = (11*13) = 143, m1=11, m2=13

➢ Bước 2:

o M1 = M/m1 = (11*13) /11=13

o M2 = M/m1 = (11*13) /13=11

➢ Bước 3:

o a1 = A mod m1 = 70254 mod 11 = 8

o a2 = A mod m2 = 70254 mod 13 = 2

➢ Bước 4:

o c1 = M1 * (M1-1 mod m1) = 13*(13-1 mod 11) = 13*(2-1 mod 11) = 13*6

= 78

o c2 = M2 * (M2-1 mod m2) = 11*(11-1 mod 13) = 11*6 = 66