Thông tin tóm tắt về những đóng góp mới của luận văn thạc sĩ: Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ.

Chúng tôi nghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định được giới thiệu trong một bài báo [22] và đưa ra cách tiếp cận mới cho mô hình đồng thời kiểm chứng lại các kết quả về [r]

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

Nguyễn Văn Quyết

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CÓ TRÍ NHỚ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

Nguyễn Văn Quyết

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CÓ TRÍ NHỚ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH ĐOÀN THÁI SƠN

Hà Nội - 2020

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đoàn Thái Sơn và thầy Cấn VănHảo Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đềuđược trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tạibất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bốtrên bất kì một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời camđoan.

Hà Nội, tháng 10 năm 2020

Học viên

Nguyễn Văn Quyết

Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu Toánhọc, Viện Toán học đã hỗ trợ tài chính giúp tôi hoàn thành hai năm học thạc

sỹ Bên cạnh đó, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận văn,tôi còn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của các thầy cô,anh chị và bạn bè trong và ngoài Viện Toán học

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi vềmôi trường học tập của nơi đào tạo là Viện Toán học và cơ sở đào tạo là Họcviện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ ViệtNam trong suốt quá trình thực hiện Luận văn này

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 3.1: Minh họa hai quá trình X và ˆX được xây dựng từ bước đi ngẫunhiên đơn giản Z và tập J với hai thời điểm reset t1, t2 40Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết quả của chúng ta và của bài báo [22] 54Hình 3.3: Kết quả thực nghiệm dáng điệu của M√ n

n và √Xn

n với n = 106 54

Mục lục

1.1 Sơ lược một số kết quả chính 10

1.2 Kiến thức chuẩn bị 14

1.2.1 Bước đi ngẫu nhiên dừng 14

1.2.2 Quá trình tái tạo 17

2 Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 21 2.1 Mô hình toán học 21

2.2 Các định lý giới hạn cho Mn và Xn 25

2.2.1 Tính chất của τ và Kn 25

2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mn và Xn 30

3 Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm 34 3.1 Một hiệu chỉnh của (Xn)n≥0 36

3.2 Dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn] 40

3.2.1 Pha dưới 0 < a < 1 44

5

3.2.2 Điểm chuyển pha a = 1 483.2.3 Pha trên a > 1 55

MỞ ĐẦU

Tìm kiếm là một trong những quá trình cơ bản và quan trọng mà ta có thểbắt gặp mọi lúc mọi nơi [1, 2, 3, 4] Chẳng hạn động vật tìm kiếm thức ăn,con người tìm kiếm đồ vật bị mất hay tìm kiếm ai đó trong đám đông Gầnđây, vấn đề tìm kiếm thu hút sự quan tâm lớn của các cộng đồng vật lý, toánhọc, khoa học máy tính [5] Một cách tự nhiên là phải đưa ra các chiến lượctìm kiếm hiệu quả Thông thường nó có thể hoặc là tất định hoặc là ngẫunhiên Trong chiến lược tất định, người tìm kiếm sử dụng những luật tất định(không thay đổi theo thời gian), ví dụ máy xén cỏ, robot lau nhà, Ngượclại, chiến lược tìm kiếm ngẫu nhiên có luật tiến hóa theo ngẫu nhiên Chiếnlược tìm kiếm phụ thuộc vào mỗi vấn đề xác định nhưng đều hướng đến mộtthuật toán tìm kiếm tối ưu Chiến lược nổi bật trong số chúng đó là chiến lượcgián đoạn mà trộn cả: bước đi ngắn (đến lân cận nào đó) khi ta tìm kiếm mộtmục tiêu và bước đi dài (nhảy đến vị trí nào đó) khi không tìm thấy mục tiêunhưng ta nhảy đến một nơi khác [6, 7, 8] Các bước đi ngắn được mô hìnhđặc trưng bởi sự khuếch tán hoặc bước đi ngẫu nhiên (bước tới các vị trí liềnkề) Ngược lại, bước đi dài thường ít xảy ra, và mang một ý nghĩa kí ức nhấtđịnh Ví dụ khi động vật tìm kiếm thức sau một thời gian dài mà không hiệuquả, chúng nên quay lại một vị trí nào đó trong quá khứ và tiếp tục Tương

tự khi ta tìm kiếm một chiếc chìa khóa bị mất mà không thấy, ta nên quaylại tìm từ một vị trí đã từng tìm kiếm để kiểm tra lại Một ví dụ quan trọngkhác trong mô phỏng máy tính của một hệ năng lượng Nó bắt đầu từ cấu hìnhban đầu và cố gắng tìm đến vị trí năng lượng tối thiểu toàn cục Tuy nhiên ởnhiệt độ thấp, hệ có thể tắc vào tối thiểu địa phương ở thời gian dài Để tăngtốc độ tìm kiếm, nó nên dừng quá trình và quay lại cấu hình ban đầu Trongkhoa học máy tính, các thuật toán nổi tiếng như Page-rank hay các thuật toán

ngẫu nhiên thường có thể bị rơi vào tắc nghẽn và nó thường phải khởi độnglại thuật toán [9]-[13] Chiến lược bước đi dài có thể được mô hình phụ thuộcvào từng ứng dụng xác định [4], chẳng hạn quay lại Poissonian đến cấu hìnhban đầu, quay lại không Poissonian, hay quay lại sử dụng trí nhớ trong quákhứ Một phương thức bước đi dài quan trọng đó là quay lại một vị trí xácđịnh với một xác xuất hữu hạn Khi ta tìm kiếm không thành công bởi bước

đi ngắn thì để tốt hơn ta nên khởi động lại quá trình hơn là tiếp tục Sự ảnhhưởng của phương thức quay lại ngẫu nhiên được nghiên cứu đa dạng trong[14]-[17]

Mô hình đơn giản của tìm kiếm Brownian với quay lại ngẫu nhiên đến vịtrí ban đầu được giới thiệu bởi Evans and Majumdar [19] Sau đó nó được

mở rộng nghiên cứu theo nhiều cách khác nhau, với nhiều cách quay lại ngẫunhiên, đa dạng từ hệ đơn hạt cho đến hệ nhiều hạt Ví dụ nó có thể quay lạingẫu nhiên đến vị trí nào đó tốt hơn vị trí ban đầu (có thể chọn ngẫu nhiên).Trong bài báo [22] năm 2015 trên tạp chí Physical Review E, các tác giảSatya N Majumdar, Sanijb Sabhapandit and Gregory Schehr giới thiệu môhình bước đi ngẫu nhiên trong lưới Z1 với sự quay lại (reset đến) vị trí cựcđại bởi xác suất cố định r Chiến lược này có thể xem như kết hợp giữa tìmkiếm tất định và tìm kiếm ngẫu nhiên Trong chiến lược tìm kiếm chỉ tất địnhnếu mỗi vị trí được thăm mà không được đánh dấu thì nó sẽ bị lãng quên.Nhưng trong chiến lược mới này, nó có thể được thăm lại đồng thời ta cũng

có thể đi đến những vị trí mới (bởi quay lại vị trí cực đại) Mô hình này có thểtương tự đến quá trình động vật tìm kiếm thức ăn Trong thời gian tìm thức

ăn, động vật thường di chuyển theo một bước đi ngẫu nhiên [23]-[24] Mộtcách tự nhiên, những động vật thông minh (có trí nhớ) thường nhớ lại nhữngchỗ đã từng đi, do vậy nó sẽ thăm lại những nơi đã đến vì khả năng có thức ăn

có thể cao hơn nơi chưa từng đến Giả sử thiết lập trên lưới Z1, động vật bêncạnh di chuyển ngẫu nhiên theo bước đi ngắn, có thể thăm lại với xác suất cố

định khác 0 đến vị trí cực đại hoặc cực tiểu hiện tại Tuy nhiên, động vật khigià đi thường có trí nhớ suy giảm theo thời gian, nghĩa là xác suất chúng thămlại nơi từng đến sẽ giảm dần theo theo thời gian Hiện tượng thú vị này yêucầu chúng ta cần đưa ra một nghiên cứu mới về mô hình bước đi ngẫu nhiên

có trí nhớ có thể thay đổi theo thời gian Đặc biệt, chúng ta cần quan tâm liệutốc độ suy giảm trí nhớ ảnh hưởng như thế nào đến hoạt động tìm kiếm này.Trong Luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên

có trí nhớ cố định và trí nhớ có thể suy giảm theo thời gian Trong bài báo[22], các tác giả đã tính toán dáng điệu tiệm cận của các giá trị kì vọng vàphương sai bởi phương thức hàm sinh với các kỹ thuật tính toán giải tích rấtphức tạp Trong Chương 2, chúng tôi sẽ xây dựng một cách tiếp cận khácnhằm hoàn chỉnh nghiên cứu mô hình này Từ đó, chúng tôi đạt được các kếtquả mà các tác giả đưa ra và đồng thời thu được các định lý giới hạn quantrọng như luật mạnh của số lớn và định lý giới hạn trung tâm thông thường ỞChương 3, chúng tôi sẽ đề xuất mô hình hoàn chỉnh cho bước đi ngẫu nhiên

có trí nhớ giảm dần theo thời gian Chúng ta sẽ thấy sự chuyển pha theo tốc

độ suy giảm của trí nhớ của dáng điệu tiệm cận của kì vọng của bước ngẫunhiên Chương 1 được dành để trình bày sơ lược mô hình và kết quả cũng nhưcác kiến thức chuẩn bị

GIỚI THIỆU

1.1 Sơ lược một số kết quả chính

Trong Luận văn này, chúng ta nghiên cứu về mô hình bước ngẫu nhiên

có trí nhớ Cụ thể ở Chương 2, chúng ta nghiên cứu mô hình bước đi ngẫunhiên có trí nhớ trên Z1 được đề xuất trước đó vào năm 2015 [22] Các tác giảnghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên mà người đi bộ đang không ở vị trícực đại thì có khả năng reset về vị trí cực đại với xác suất cố định r, sang tráihoặc phải với cùng xác suất 1−r2 Ngược lại khi đang ở vị trí cực đại, người đi

bộ chỉ bước sang trái hoặc phải với xác suất 12 Họ chỉ ra rằng khi 0 < r < 1thì kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên vị trí Xn và của biến ngẫunhiên vị trí cực đại Mn tăng trưởng tuyến tính theo thời gian với tốc độ lầnlượt là các hằng số v(r) và D(r) (xem trong công thức (2.1.5),(2.1.6)):

v(r) = r(1 − r)

r − 2r2 +√

2r − r2,và

10

Định lý giới hạn trung tâm và phương sai:

d

−

→ N (0, D(r)),khi n → ∞ và

với D(r) cho bởi (2.1.6)

Ở Chương 3 của Luận văn, ta nghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên cótrí nhớ suy giảm theo thời gian Lúc này ở thời điểm n, xác suất reset về vị trícực đại là rn = min{nra,12} Chúng ta chỉ ra rằng dáng điệu tiệm cận kì vọngcủa các biến ngẫu nhiên vị trí và vị trí cực đại thay đổi theo giá trị của a Cụthể, trong Định lý 3.0.1 ta có

Dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn]:

FX(a, r) = FM(a, r) =

√2r

2 − a.

Tại a = 1:

ϕa(n) = ψa(n) = √

n ,và

FX(a, r) = 2r2

r2

πB(3/2, r),và

FM(a, r) = (2r2 + r)

r2

1 khi a > 32,và

ψa(n) = √

n ,và

FX(a, r) = λ2(a, r) − λ3(a, r) + λ4(a, r),và

FM(a, r) = λ1(a, r) + λ5(a, r),với λ1(a, r), λ2(a, r), , λ5(a, r) là các hằng số trong Bổ đề 3.2.8

Chúng ta thấy rằng khi 0 < a < 1, dáng điệu tiệm cận kì vọng của Mn và

Xn cùng cỡ, cùng hàm tỷ lệ Nhưng tại a = 1, chúng cùng cỡ và khác hàm

tỷ lệ Còn khi a > 1 dáng điệu tiệm cận của E[Xn] nhỏ hơn hẳn của E[Mn]

Do vậy mô hình bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm xảy ra hiện tượngchuyển pha theo giá trị của a Hơn thế nữa, chúng ta thu được dáng điệu tiệm

Bây giờ ta thấy lại rằng trong trường hợp trí nhớ cố định 0 < r < 1,D(r → 0) = 12 Từ đó suy ra phương sai của Mn và Xn cùng cỡ tuyến tínhnhưng khác hệ số tỷ lệ với trường hợp r = 0 (với hệ số tỷ lệ DM(0) = 1−2/π

và DX(0) = 1), nghĩa là r = 0 là một điểm kỳ dị Trong bài báo [22], cáctác giả nghiên cứu sự chuyển pha tại điểm kỳ dị r = 0 này thông qua một môhình tương đương với trường hợp a = 1 và đưa ra các hàm tỷ lệ (xem côngthức (124),(132) của [22]):

ra rằng công thức tường minh của các hàm tỷ lệ trong bài báo đưa ra là chưachính xác (cụ thể trong Nhận xét 3.2.7) Bên cạnh đó, công thức tường minhcủa FM(1, r) và FX(1, r) mà chúng ta xây dựng trong điểm chuyển pha a = 1được nghiệm đúng bởi mô phỏng.

1.2 Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu một số kiến thức và kết quả cơbản cần thiết về lý thuyết bước đi ngẫu nhiên và lý thuyết quá trình tái tạo.Bên cạnh đó, một số tính chất cần thiết sẽ được sử dụng cho các kết quả ởnhững chương tiếp theo cũng sẽ được đề cập đến

1.2.1 Bước đi ngẫu nhiên dừng

Cho (Xk)k≥1 là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.i.d.).Chúng ta xét một bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 có gia số (Xk)k≥1 cho bởi S0 = 0

Chứng minh. Với (i), ta đặt A = {ω : Yn(ω) 9 Y (ω)}, B = {ω : Nt(ω) 9

∞} and C = {ω : YNt(ω)(ω) 9 Y (ω)} Khi đó, C ⊆ A ∪ B, và ta thu được(i)

Để chứng minh (ii), ta sẽ chỉ ra rằng mỗi dãy con của (YN t)t≥0 có mộtdãy con hội tụ hầu chắc chắn Thật vậy, giả sử (Nt k)k≥0 là một dãy con của(Nt)t≥0 Theo giả thiết ta có Ntk cũng hội tụ theo xác suất đến ∞ Do đó, tồntại một dãy con (Ntkj)j≥0 hội tụ hầu chắc chắn Kết hợp điều này với giả thiết

h.c.c

−−→ µθ,khi t → ∞

Tiếp theo, chúng ta có định lí giới hạn trung tâm của bước ngẫu nhiên vớithời gian ngẫu nhiên.

Định lý 1.2.3 [[25], Định lý Anscombe] Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d (Xk)k≥1 Giả sử rằng E[X] = 0 và Var[X] = σ2 ∈ (0, ∞) Xét dãy thời điểm ngẫu nhiên (Nt)t≥0 thỏa mãn

Ntt

d

−

Chúng ta gọi là N là một thời gian dừng đối với dãy tăng của các σ-đại

số (Fn)n≥1 (chẳng hạn Fn = σ(X1, X2, , Xn), F0 = {∅, Ω}), nếu với mọi

n ≥ 1 thì

{N = n} ∈ Fn.Bây giờ ta thu được các đẳng thức quan trọng cho moment bậc 1 và momentbậc 2 của tổng dừng

Định lý 1.2.4 [[29], Định lý 1.5.3] Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d (Xk)k≥1 Nếu E[X1] = µ và E[N ] < ∞ thì

Hơn nữa, nếu σ2 = Var[X1] < ∞ thì

E[(SN − N µ)2] = σ2E[N ]. (1.2.7)

1.2.2 Quá trình tái tạo

Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d (Xk)k≥1 Nếu (Xi)i≥1 là cácbiến ngẫu nhiên không âm, thì ta cũng gọi (Sn)n ≥ 0 là một quá trình tái tạo(renewal process) Chúng ta đặt

Nt = max{n ≥ 1 : Sn ≤ t},

là số lần tái tạo của quá trình trong đoạn [0, t]

Bây giờ ta có một số kết quả cơ bản đầu tiên:

Khẳng định 1 [[29], Định lý 2.3.1] Nếu X1 ≥ 0 và tồn tại a > 0 sao choP(X1 ≥ a) > 0 thì

(i) P(Nt < ∞) = 1 ;

(ii) E[Ntr] < ∞ với mọi r > 0 ;

(iii) Tồn tại s0 > 0 thỏa mãn E[esNt] < ∞ với mọi s < s0

Một mối liên hệ quan trọng mà một số chứng minh sẽ sử dụng đó là quan

hệ ngược giữa quá trình tái tạo và quá trình đếm,

{Nt ≥ n} = {Sn ≤ t}

Tuy nhiên, Nt không phải là một thời gian dừng (stopping time) Thay vào

đó, chúng ta có thể xét dãy thời gian vượt đầu tiên (νt)t≥0 (first passage timeprocess), định nghĩa bởi

Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu đến các định lý giới hạn quan trọng như luậtmạnh của số lớn, định lý giới hạn trung tâm của cho quá trình đếm tái tạo.Các định lý này được đưa ra bởi Doob (1948), Feller (1941) và Hatori (1959),Smith (1954).

Đầu tiên, chúng ta nhận xét rằng khi t → ∞,

Định lý 1.2.5 [Luật mạnh của số lớn cho quá trình đếm] Giả sử 0 < µ =

E[X1] < ∞ Khi đó, khi t → ∞,

(i)

Ntt

Ta sẽ chứng minh tính chất cộng tính dưới của quá trình (νt)t≥1 Trước hết, tathấy để đạt được mức (t + s) thì phải đạt đến mức t Khi điều này hoàn thànhthì quá trình bắt đầu làm lại Vì Sν t > t nên khoảng cách còn lại cần đi nhiềunhất là s, do vậy thời gian cần đi bị chặn bởi biến ngẫu nhiên đồng phân phốivới νs Nghĩa là,

νt+s ≤ νt+ min{k − νt : Sk − Sνt > s}

= νt + νs0,với νs0 cùng phân phối với νs

Bây giờ với n ≥ 1 là số nguyên bất kỳ Bởi lập luận đệ quy chúng ta có

νn ≤ ν1,1 + + ν1,n,với (ν1,k)k≥1 là đồng phân phối với ν1 Kết hợp với bất đẳng thức Minkowskithu được

kνnkr ≤ nkν1kr.Cuối cùng bởi νt ≤ ν[t]+1 nên ta có với mọi t ≥ 1,

Nhận xét 1.2.6 Trong chứng minh trên ta sử dụng tính chất nếu một họ biến

ngẫu nhiên bị chặn theo Lp với 1 < p < ∞ thì họ biến ngẫu nhiên đó là khảtích đều

Cuối cùng, chúng ta có định lý giới hạn trung tâm cho quá trình đếm táitạo:

µ3 + o(t)

Vị trí Xn theo thời gian thông qua luật ngẫu nhiên sau Ở bước n nếu vị trí

Xn của người đi bộ nhỏ hơn hẳn vị trí cực đại Mn, thì ở bước tiếp theo, người

đi bộ đang ở vị trí hiện tại có thể reset (quay lại) về vị trí cực đại với xác suất

r cố định Với xác suất (1 − r) còn lại, người đi bộ có thể bước sang trái hoặcphải với xác suất 1−r2 như nhau Ngược lại nếu Xn = Mn thì người đi bộ bướcsang trái hoặc sang phải với xác suất 12 như nhau Luật tiến hóa ngẫu nhiênnày có thể mô tả như sau:

Đầu tiên, chúng ta thấy rằng (Xn)n≥0 không phải là một quá trình Markovbởi luật tiến hóa của nó sử dụng trí nhớ về quá khứ (vị trí cực đại mà nó từngđạt được) Tuy nhiên (Xn, Mn)n≥0 là một quá trình Markov trong mặt phẳnghai chiều (X, M ) Các tác giả trong [22] đã sử dụng ý tưởng chìa khóa này

để tìm hiểu các tính chất của mô hình Cụ thể, bởi phương pháp hàm sinh vàcác kỹ thuật giải tích phức tạp, họ tìm ra dáng diệu tiệm cận của kì vọng vàphương sai của Xn và Mn:

khi r = 0 (nghĩa là trường hợp bước đi ngẫu nhiên đơn giản thông thường)thì

E[Xn] = 0, E[Mn] ∼

r2n

V ar[Xn] = n, V ar[Mn] ∼



1 − 2π



và khi r ∈ (0, 1),

E[Xn] ∼ E[Mn] ∼ v(r)n ; (2.1.3)Var[Xn] ∼ Var[Mn] ∼ D(r)n, (2.1.4)

với an ∼ bn nghĩa là an

bn → 1 khi n → ∞, ở đó v(r), D(r) > 0 có công thứctường minh theo r trong phương trình (6) and (10) ở [22] như sau:

Mặc dù (Xn, Mn)n≥0 là một quá trình Markov nhưng trong mặt phẳng haichiều nên sử dụng phương pháp hàm sinh trực tiếp, các tính toán vẫn rất phứctạp Ta quan sát rằng nếu đặt Yn = Mn − Xn thì (Yn)n≥0 là một bước ngẫunhiên trên Z≥0 = {0, 1, } bắt đầu từ 0, với luật tiến hóa như dưới đây:nếu Yn > 0 thì

Như vậy, (Yn)n≥0 bước sang trái hoặc sang phải với xác suất (1−r)2 và reset lại

về 0 với xác suất r Khi Yn = 0 thì nó vẫn ở lại 0 với xác suất 12 hoặc bước tới

1 với xác suất cũng là 12

Quan sát chìa khóa của chúng ta đó là Mi+1 = Mi + 1 nếu Yi = Yi+1 = 0

và Mi+1 = Mi nếu ngược lại Nói một cách khác, Mn đếm số hai lần bằng 0liên tiếp của dãy (Yn)n≥0, hay là

Kn = max{i : τ1 + τ2 + + τi ≤ n}

với v(r) cho bởi (2.1.5).

(ii) Định lý giới hạn trung tâm và phương sai

Mn− µ0λn

√n

với D(r) cho bởi (2.1.6).

Định lý 2.2.1 sẽ được chứng minh trong phần 2.2.2 Trước hết ta cần nghiêncứu một số tính chất của các ngẫu nhiên τ và Kn

Từ đó, ta thu được hàm sinh của τ ,

P(Yi = Yi−1± 1 | Yi−1 6= 0 ; i không là điểm reset) = (1 − r)/2

1 − r =

1

2.Hay nói cách khác, nếu Yi−1 6= 0 và nếu i không là điểm reset thì bước tiếptheo Yi đi lên hoặc đi xuống theo xác suất 1/2 như bước đi ngẫu nhiên đơngiản Do đó ta có phương trình (2.2.11) Kết hợp (2.2.9) và (2.2.11) ta thuđược khẳng định đầu tiên của Bổ đề

+ P(τ = 0)

= s + s − 1

(1 − r)

(1 −√

1 − a2 − a)(a +√1 − a2 − 1)2(a − 1)(1 −√

2r − r2 − r

−1 −p2r − r2

√2r − r2 + r − 1

√2r − r2(√

2r − r2 − r)2



Chứng minh. Đầu tiên ta có đạo hàm bậc nhất của K(s)

(1 − r)(√

2r − r2 − r) + 1

√2r − r2)(√

2r − r2 + r)(1 − r)(√

2r − r2 − r)(√2r − r2 + r) + 1

= r(1 − 2r) +

√2r − r2

K00(1) = 2



(1 − r)

√2r − r2 √

2r − r2 − r

−1 −p2r − r2

√2r − r2 + r − 1

√2r − r2(√

2r − r2 − r)2



Từ đó, ta thu được công thức cho E[τ2] như trong phát biểu của Hệ quả.Các định lý giới hạn như luật mạnh của số lớn và định lý giới hạn trung tâmcủa quá trình đếm (Kn)n≥1 được nghiên cứu tường minh trước đó, ta có thểtìm trong một số tài liệu như khóa học trong [38] Đặc biệt trong cuốn sáchStopped Random Walk: Limit Theorems and Applications [29] của Allan Guttổng kết nhiều kết quả quan trọng về bước đi ngẫu nhiên và quá trình tái tạo.Các kết quả này đã được giới thiệu trong phần kiến thức chuẩn bị của Chương1

Sử dụng lần lượt Định lý 1.2.5 và Định lý 1.2.7 chúng ta có tương ứngluật mạnh của số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho quá trình đếm tái tạo(Kn)n≥0 sau đây:

Định lý 2.2.4 [Các định lý giới hạn cho Kn] Ta đặt

λ := 1E[τ ]

2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mnvà Xn

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.2.1

I Luật số lớn và kì vọng của Mn Trước hết, ta nhớ lại rằng,

h.c.c

−−→ λ = 2v(r) khi n → ∞,bởi Định lí 2.2.4, ta thu được luật mạnh của số lớn cho Mn

II Định lí giới hạn trung tâm và phương sai của Mn

Bởi phần trước, chúng ta biết rằng E[Mn] = (µ0λ + o(1))n Chúng ta thựchiện biến đổi

Var[Vi] = Var[V ] = E[V2] = E[(I(τ = 1) − µ0λτ )2]

= (µ0)2λ2E[τ2] − 2µ0λE[τ I(τ = 1)] + E[(I(τ = 1))2]

= (µ0)2λ2E[τ2] − 2(µ0)2λ + µ0.Thay µ0 = 12, λ = 1

E[τ ] = 2v(r) và sử dụng Hệ quả 2.2.3 cùng các tính toánđại số, chúng ta thu được

với D(r) là hằng số trong (2.1.6) Bởi Định lý 1.2.3 (ii) ta có

SKnpVar[V ]nλ

Chứng minh. Trước hết, vì 0 ≤ Yn ≤ n − TKn nên chúng ta chỉ cần chứngminh các khẳng định cho dãy n − TK n Theo định nghĩa của Kn, ta thấy vớimọi k ≥ 1,

Từ đó, sử dụng Bổ đề Borel-Cantelli ta thu được điều phải chứng minh

Kết hợp (2.2.24) và bổ đề trên ta suy ra định lý giới hạn trung tâm cho Mn:khi n → ∞,

2 n≥1

là khả tích đều (2.2.28)Thật vậy, đặt νn = min{s : Ts > n} Khi đó, νn là dãy thời gian dừng và

νn = Kn + 1 Do đó, chúng ta có

 Mn− µ0λn

√n

2

2 n≥1

là khả tích đều vì moment bậc 4 của (n − TKn) bị chặn (Bổ

đề 2.2.5) Sử dụng định lý về sự bị chặn của dãy khả tích đều, ta suy ra điềuphải chứng minh

Mặt khác, bởi E[Mn] = µ0E[Kn] và E[Kn] = λn + o(√

n) (xem (2.2.16)),chúng ta có thể thay thế µ0λn bởi E[Mn] trong (2.2.28) và thu được rằng dãy

 Mn− E[Mn]

√n

2 n≥1

Chứng minh Định lý 2.2.1 được hoàn tất