Thông tin tóm tắt về những đóng góp mới của luận văn thạc sĩ: Sử dụng kỹ thuật "Phễu" và "Cây phễu" để tìm đường đi ngắn nhất trên bề của mặt khối đa diện.

Trong chương này, luận văn trình bày thủ tục lật phẳng một dãy mặt tam giác theo các cạnh chung và việc xác định đường đi ngắn nhất từ một điểm nguồn s tới các đỉnh còn lại trên bề mặt c[r]

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Phan Thành An

Hà Nội - 2020

Tôi xin cam đoan mọi kết quả của đề tài: Sử dụng kỹ thuật “phễu”

và “cây phễu” để tìm đường đi ngắn nhất trên bề mặt của khối đa diện đãđược trình bày trong ba bài báo [7], [10] và [5], các ví dụ và số liệu trongluận văn là trung thực Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàntoàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình

Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2020Nguyễn Thị Mỹ Hạnh

Lời đầu tiên trong bản luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn chân thànhtới PGS TS Phan Thành An đã hướng dẫn tôi hoàn thiện bản luận vănnày Mặc dù rất bận rộn với công việc nhưng thầy vẫn luôn dành nhữngthời gian quý giá của mình để hướng dẫn và chỉ bảo tôi tận tình Trongquá trình làm luận văn bản thân tôi còn có nhiều thiếu sót, tuy nhiên thầy

đã luôn luôn động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thiệnbản luận văn của mình

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô trongViện Toán học đã truyền đạt, chia sẻ cho tôi những kiến thức bổ ích Đồngthời, tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới các thầy cô và các anh chị

em của Học viện Khoa học và Công nghệ đã giúp đỡ và quan tâm tôi trongsuốt quá trình học tập

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và anh chịtrong nhóm nghiên cứu đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong quátrình tham gia nhóm nghiên cứu để tôi củng cố được kiến thức và trau dồicác kĩ năng sử dụng các phần mềm hỗ trợ cho đề tài của mình

Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2020Nguyễn Thị Mỹ Hạnh

LỜI CAM ĐOAN 3

1 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG

1.1 ĐA GIÁC ĐƠN 61.2 ĐỒ THỊ, CÂY VÀ CHU TRÌNH, CÂY ĐỐI NGẪU 81.3 HÌNH ỐNG TAY VÀ HÌNH “PHỄU” 111.4 THUẬT TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI

ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN 14

2 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA

2.1 PHÉP LẬT 192.2 THUẬT TOÁN DÙNG NGUỒN SÁNG VÀ BÓNG 23

3 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONGMỘT DÃY MẶT TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN

3.1 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA THẲNG NHẤT VÀ CÁC PHỄU DỌC

THEO DÃY MẶT TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN BA

CHIỀU 31

1

3.2 THUẬT TOÁN TÌM CHÍNH XÁC ĐƯỜNG ĐI NGẮN

NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM DỌC THEO DÃY MẶT TAM

GIÁC 353.3 ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN NFU TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN

NHẤT TỪ MỘT ĐIỂM TỚI TẤT CẢ CÁC ĐIỂM TRÊN

BỀ MẶT KHỐI ĐA DIỆN 43

DANH MỤC KÍ HIỆU

[a, b] Một đoạn thẳng giới hạn bởi hai điểm a và b

E = (e1, , em) Một dãy các cạnh chung

F = (f1, , fm+1) Một dãy mặt có m + 1 tam giác liền kề

Fpq(s) Một phễu dọc theo F tương ứng với [p, q] có chóp là điểm s

G Một đồ thị vô hướng

P = (q1, q2, , qn) Một đa giác đơn có n đỉnh

di Một đường chéo của đa giác P

vi(1) ; vi(2) Hai điểm đầu mút của đường chéo di

SP (s, vi(j)) Đường đi ngắn nhất từ s tới điểm cuối vi(j)

Ri Phễu được giới hạn bởi SP (v, vi(1) ), SP (v, vi(2) ) và đường chéo di

Iei Ảnh của của điểm nguồn s lên cạnh ei

P roj eIeii Hình chiếu của Iei lên cạnh ei

CF(u, v) Đường trắc địa thẳng nhất từ u tới v

MỞ ĐẦU

Hiện nay, một trong những vấn đề đang được các nhà khoa họcnghiên cứu trong lĩnh vực tối ưu, hình học tính toán là tính được đường đingắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của một khối đa diện, điều này rất cóích trong ngành công nghiệp chế tạo rô-bốt, tối ưu hệ thống thông tin địa

lý và điều hướng (xem [1, 2, 3, 4]) Để giải quyết bài toán nói trên, nhiềunhà khoa học đã đưa ra các phương án cho việc tìm đường đi ngắn nhấtgiữa hai điểm trong một dãy mặt tam giác trên bề mặt của khối đa diện(xem [5, 6])

Năm 1984, Lee và Preparata [7] đã giới thiệu một thuật toán để tìmđường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong một đa giác đơn với độ phức tạpthời gian là O(n log n) với n là số đỉnh của đa giác đơn Năm 1986, Sharirand Schorr [8] đã trình bày một thuật toán tìm đường đi ngắn nhất giữahai điểm trên bề mặt của khối đa diện lồi với n đỉnh của một khối đa diệncùng độ phức tạp thời gian là O(n3log n) Thuật toán này cũng được cảitiến hơn với độ phức tạp thời gian là O(n2log n) bởi Mount vào năm 1987[9] Với bài toán tìm các đường đi ngắn nhất từ một điểm cố định tới cácđỉnh còn lại trên bề mặt của khối đa diện, khối đa diện ở đây không nhấtthiết phải lồi, năm 1990, Chen and Han công bố một thuật toán với độphức tạp thời gian là O(n2) [10] với n là số mặt của khối đa diện đangxét Tuy nhiên, điểm yếu của thuật toán mà Chen và Han đưa ra là phảilật các mặt tam giác của một dãy mặt tam giác liền kề và sắp xếp chúnglại theo thứ tự Năm 2019, An đã sử dụng kĩ thuật lật phẳng cùng với ýtưởng "Phễu" dọc theo dãy mặt tam giác để tính toán đường đi ngắn nhấtgiữa hai điểm cùng với độ phức tạp thời gian là O(n2) với n là số mặt củadãy tam giác đang xét

Luận văn trình bày lại một số thuật toán về tìm đường đi ngắn nhấttrong một đa giác đơn, một khối đa diện và một dãy mặt tam giác trongkhông gian ba chiều theo ba chương.

Chương 1: Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong đa giácđơn Chương đầu tiên, luận văn trình bày lại một số khái niệm về lýthuyết đồ thị, giới thiệu khái niệm về đa giác đơn, cây đối ngẫu để

từ đó hình thành khái niệm về hình ống tay, hình phễu Bên cạnh đó,luận văn cũng trình bày thuật toán tìm đường đi ngắn nhất giữa haiđiểm trong đa giác đơn của Lee và Preparata (hay còn gọi là thuậttoán "Phễu") năm 1984 [7] và đưa ra một ví dụ minh hoạ cho thuậttoán

Chương 2: Tìm đường đi ngắn nhất trên bề mặt khối đa diện.Trong chương này, luận văn trình bày lại khái niệm về phép lật dãymặt tam giác lên cùng một mặt phẳng, định nghĩa về hình chiếu củaảnh nguồn lên một cạnh, bóng của hình chiếu và thuật toán về "tìmđường đi ngắn nhất từ một điểm nguồn tới tất cả các đỉnh còn lại trên

bề mặt khối đa diện" bằng việc sử dụng nguồn sáng và bóng Thuậttoán này được trình bày trong [10] năm 1990

Chương 3: Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong dãymặt tam giác trong không gian ba chiều Ở chương cuối cùng,luận văn trình bày thuật toán “Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểmtrong dãy mặt tam giác trong không gian ba chiều” được đưa ra bởi

An năm 2019 [5] bằng việc sử dụng ý tưởng “phễu” và kĩ thuật lậtphẳng Luận văn trình bày lại khái niệm đường trắc địa thẳng nhất,khái niệm “phễu” và việc xác định "phễu" mới qua phép lật phẳng.Bên cạnh đó, luận văn chứng minh được rằng ảnh của các “phễu” saukhi lật không bị đè lên nhau Phần cuối cùng, luận văn sẽ trình bày vềviệc ứng dụng thuật toán “tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm dọctheo dãy mặt tam giác trong không gian ba chiều” để giải bài toán

“tìm đường đi ngắn nhất trên bề mặt khối đa diện”

đa giác đơn có sử dụng kĩ thuật “Phễu”.

Để giải quyết được bài toán về tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm

s và t nằm trong đa giác đơn mà đường đi ngắn nhất đó không cắt biêncủa đa giác, chúng tôi sẽ trình bày lại một vài định nghĩa sau:

Hình 1.1 Một đường gấp khúc đơn.

Định nghĩa 1.1.1 [7] Một đường gấp khúc đơn là một dãy các điểm qi

thành một đoạn (i = 1, 2, , k − 1) và không có hai đoạn không liên tiếpnào cắt nhau (xem hình 1.1)

Khi chuỗi đường gấp khúc đơn là một vòng tròn khép kín sẽ xác địnhđược một đa giác

Định nghĩa 1.1.2 [7] Một đa giác đơn có n đỉnh P = (q1, q2, , qn) làmột chuỗi đa giác với qn+1 = q1, tức là qn được nối với q1 Một đường chéocủa P là một đoạn [qi, qj], j 6= i + 1 và không cắt bất kì một cạnh nào của

P P được tam giác phân nếu miền trong của nó được chia ra bởi n − 2

tam giác và n − 3 đường chéo

Hình 1.2 Một đa giác đơn P = (q1, q2, q3, q4, q5, q6).

Hình 1.3 Đa giác đơn P được tam giác phân bởi các đường chéo [q1, q3], [q3, q6], [q6, q4].

Chúng ta thấy trên hình 1.3 là một đa giác đơn 6 đỉnh đã được tamgiác phân thành 4 tam giác bởi 3 đường chéo

1.2 ĐỒ THỊ, CÂY VÀ CHU TRÌNH, CÂY ĐỐI NGẪU

Các khái niệm sau đây sẽ là kiến thức cơ sở cho bài toán về tìmđường đi ngắn nhất trong một đa giác đơn hoặc một khối đa diện Ở đây,luận văn chỉ trình bày các khái niệm liên quan đến đồ thị vô hướng

Hình 1.4 Minh hoạ một đồ thị vô hướng.

Định nghĩa 1.2.1 [15] Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự

G = (V, E), trong đó V là một tập khác rỗng gồm các đỉnh, E là một tậpgồm các cạnh - mỗi cạnh có hai đầu mút tạo bởi hai đỉnh của đồ thị vôhướng G

Khi biểu diễn một đồ thị vô hướng trên mặt phẳng ta biểu diễn cácđỉnh của đồ thị bởi các đường tròn nhỏ, các cạnh còn lại được biểu diễnbằng một đường cong nối các đỉnh của cạnh Ta kí hiệu một cạnh e đượcgiới hạn bởi hai đầu mút là hai đỉnh a và b là e = [a, b], khi đó a và b đượcgọi là hai đỉnh kề nhau, hai cạnh có chung một đỉnh được gọi là hai cạnh

kề nhau Cung dạng [b, b] với b ∈ V được gọi là khuyên (xem Hình 1.4).Bậc của v là số các đỉnh kề với v

Ví dụ 1.2.1 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e} và E =

biểu diễn như Hình 1.4

Định nghĩa 1.2.2 [15] Với G = (V, E) là một đồ thị vô hướng, một hànhtrình được định nghĩa trong G là một dãy v0e1v1e2 envn sao cho với mọi

là chu trình nếu nó có độ dài ít nhất là 3 và khi xoá đi một đỉnh cuối thìtrở thành đường

Định nghĩa 1.2.3 [15] Một đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông nếuhai đỉnh vi và vj khác nhau bất kì của G tồn tại một hành trình vô hướngtrong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj

Định nghĩa 1.2.4 [15] Một đồ thị vô hướng liên thông không có khuyên,không có chu trình được gọi là cây

Hình 1.5 Minh hoạ một cây.

Coi một đa giác đơn P đã được tam giác phân giống như một khônggian đồ thị G mà ở đó mỗi mặt của tam giác sẽ tương ứng với một nútđiểm của đồ thị và mỗi cạnh sẽ được tạo thành bởi việc nối hai nút điểmvới nhau Khi đó, đồ thị đối ngẫu sẽ trở thành một cây mà các đỉnh của

nó có bậc lớn nhất là 3

Định nghĩa 1.2.5 [7] Cây đối ngẫu của một đa giác đơn P đã được tamgiác phân là một đồ thị G = (V, E) sao cho mỗi nút của V tương ứng vớimột tam giác thuộc đa giác đơn P và mỗi cạnh của E nối hai nút thuộc Vcủa hai tam giác có chung một đường chéo trong P.

Ví dụ 1.2.2 Xét một đa giác đơn P = (q1, q2, , q11) được tam giác phânbởi các đường chéo [q2, q3], [q2, q4], [q4, q5],[q5, q6], [q6, q7], [q7, q8], [q8, q9],

[q6, q8] Xác định một cây đối ngẫu của đa giác đơn P

Hình 1.6 Đa giác đơn được P được tam giác phân bởi các đường chéo.

Hình 1.7 Cây đối ngẫu là đường màu đỏ của đa giác đơn P

Kí hiệu 4(s) là tam giác chứa điểm svà 4(t) là tam giác chứa điểm

t, đường đi ngắn nhất từ điểm s tới t trong đa giác đơn P là π

đường đi nối hai đỉnh của V tương ứng với 4(s) và 4(t) (hai đỉnh này cóthể không trùng với s và t) Hơn nữa, mỗi cạnh thuộc π lần lượt cắt mỗiđường chéo của P (theo thứ tự từ s đến t) tại một điểm duy nhất, và mỗiđường chéo của P chia P thành hai miền tương ứng chứa s và t Vì thếđường đi ngắn nhất từ s tới t nằm trong P cũng sẽ cắt mỗi đường chéo

củaP tại một điểm duy nhất Hay nói một cách khác, đường đi ngắn nhấtgiữa hai điểm s và t cũng sẽ là một đường gấp khúc và bổ đề sau đây sẽlàm rõ hơn về điều này.

Bổ đề 1.2.1 [7] Xét một đa giác đơn P có n đỉnh đã được tam giác phânbởi các đường chéo, ta kí hiệu là di (trong đó i = 1, , n − 3) Cho S làtập hợp tất cả các điểm đầu mút của các đường chéo di (i = 1, , n − 3)

và đường đi ngắn nhất, khi đó tất cả các đỉnh của đường đi ngắn nhất giữa

s và t sẽ nằm trong tập S ∪ {s, t}

Do S là tập hợp các điểm đầu và điểm cuối của các đường chéo nên

ở đây S chính là tập hợp tất cả các đỉnh của đa giác đơn P Vậy để tìmđường đi ngắn nhất giữa hai điểm s và t chúng ta sẽ cần phải tìm đường

đi ngắn nhất từ s tới tất cả các điểm đầu mút của các đường chéo của P

và điểm cuối cùng là điểm t Hợp tất cả các đường đi ngắn nhất này sẽtạo thành một cây G với gốc là điểm s

Để tìm các đỉnh của cây G = (V, E) không cần phải đi xét hết tất

cả các đỉnh của đa giác đơn P mà chỉ cần tìm ra một miền thuộc đa giácđơn P cũng chứa đường đi ngắn nhất giữa hai điểm s và t Để xác địnhđược hình ống tay hay miền đa giác P cần xác định được miền chứa đườngngắn nhất từ s tới t

Định nghĩa 1.3.1 [7] Một đa giác đơn P đã được tam giác phân đượcgọi là hình ống tay nếu cây đối ngẫu của đa giác đơn P đó là một đườnggấp khúc đơn

Chuyển bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm của một đagiác đơn thành bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm của mộthình ống tay, việc tìm hình ống tay giúp giảm bớt việc xét các đỉnh thuộc

đa giác đơn P mà đường ngắn nhất từ s tới t không đi qua, nhưng để giảiquyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong đa giác đơnthì Lee và Preparata đã đưa ra khái niệm về “phễu” Xét một hình ống tay

Hình 1.8 Hình ống tay P0 là miền được tô màu nâu.

P có n đỉnh, s là điểm thuộc hình ống tay P, di là các đường chéo của P

ˆ vi(1) vàvi(2) là hai điểm đầu mút của đường chéodi (với 1 ≤ i ≤ n−3)

nằm trong đa giác đơn P Theo Bổ đề 1.2.1 thì tập tất cả các đỉnh màđường SP (s, vi(j)) đi qua với (j = 1, 2) đều là các đỉnh thuộc đa giácđơn P

ˆ Gọi v là điểm chung của SP (s, vi(1)) và SP (s, vi(2)) sao cho v là đỉnh

xa nhất tính từ s

ˆ SPi = SP (s, vi(1)) ∪ SP (s, vi(2))

Hình 1.9 Hình ảnh minh hoạ cho hình phễu Ri với chóp phễu là v và cạnh chung di.

Định nghĩa 1.3.2 [7] Một miềnRi được giới hạn bởiSP (v, vi(1)),SP (v, vi(2))

và đường chéo di với (1 ≤ i ≤ n − 3) sẽ được gọi là “phễu”, v được gọi làchóp của phễu

Giả sử các đường gấp khúc con đề cập sau khác rỗng, khi đóSP (v, vi(j))

ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1 [7] Nếu SP (v, vi(j)) là các đường gấp khúc lồi hướng vàotrong thì cũng có nghĩa là mặt lồi của nó hướng vào miền trong của P

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta sẽ chỉ ra được phễu

Ri nằm hoàn toàn trong đa giác đơn P

Xét các đường chéo ds, ds+1, , di−1 bị cắt bởi các đường gấp khúc

trong đa giác đơn P

Giả sử rằng Ri−1 ⊂ P, khi đó miền Ri mới được tạo thành từ miền

Ri−1 hợp thêm với một phần hoặc toàn bộ một tam giác (tam giác chứacạnh di) nằm trong đa giác đơn P Từ đó, chúng ta cũng suy ra được

Trong trường hợp SP (v, v(j)i ) không là đường gấp khúc lồi trong thìtheo bất đẳng thức tam giác (tổng của hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnhcòn lại), ta luôn tìm được một đường đi ngắn nhất từ v tới vi và đườngngắn nhất đó luôn nằm trong đa giác đơnP Điều này trái với giả thiết banđầu khi SP (v, vi(j)) là đường ngắn nhất từ v tới vi (xem Hình 1.10)

Tính chất lồi này cũng chỉ ra rằng SP (v, v(1)i ) và SP (v, v(2)i ) bị chianhánh nhiều nhất chỉ tại một đỉnh v, nếu chúng bị chia nhánh ở một đỉnh

u1 nào đó thì nó sẽ lại gặp nhau tại một đỉnh u2 nào đó, và hai đường gấpkhúc tách rời từ u1 tới u2 này phải là đường gấp khúc lồi trong Khi đó,

khúc lồi hướng trong

Ở đây, một trong hai đường gấp khúc có thể là rỗng (nhưng khôngthể hai đường gấp khúc đó cùng rỗng, vìv(1)i 6= vi(2)) Nếu SP (v, vi(1)) rỗngthì rõ ràng SP (v, v(2)i ) = di và ngược lại Trong trường hợp này, phễu Ri

suy biến không có miền trong và SPi trở thành một đường gấp khúc đơn

Hình 1.10 Hình ảnh minh hoạ cho tính lồi trong của SP (s, vi(j)).

Để làm rõ được ý nghĩa của tính lồi trong, và một trong hai đườnggấp khúc có thể rỗng, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu kĩ hơn về thuật toántìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm trong một đa giác đơn của Lee vàPreparata trong phần dưới đây

HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN

Xuất phát từ một đỉnh nguồn s thuật toán sau đây xây dựng cácđường SPi = SP (v, vi(1)) ∪ SP (v, vi(2)) chứa đường biên của phễu Ri chotới khi tới điểm đích (tức là vi(2) ≡ t), chúng ta cùng đi xét bài toán sau:

Bài toán: Xét một hình ống tay P và hai điểm cho trước svà tthuộchình ống tay P đó Tìm đường đi ngắn nhất từ s tới t nằm trong P

Hình 1.11 Hình ảnh minh hoạ cho bước tổng quát; hình a) uj ∈ ua ua−1 u0; hình b) uj ∈

uaua+1 ub.

Algorithm 1 Thuật toán Lee và Preparata

1: Bước khởi tạo: Xây dựng SP1 bằng cách nối s với v1(1) và v(2)1 .

2: Bước tổng quát : (Xây dựng SPi+1 từ SPi)

Xét v là đỉnh của SPi= SP (v, vi(1)) ∪ SP (v, vi(2))

SPi được chia làm hai nhánh tại v

Chúng ta kí hiệu hai nhánh đó là uaua+1 ub và uaua−1 u0

Ở đó v = ua, v(1)i = ub, v(2)i = u0

Bắt đầu duyệt từ điểm u0, u1, , ub

j là chỉ số nhỏ nhất sao cho v(2)i+1uj là đường tiếp tuyến của biên Ri.

Chúng ta sẽ xét hai trường hợp:

ˆ Trường hợp 1 : j ≤ a (xem Hình 1.11 a))

– Xoá hết các cạnh ulul+1 với 0 ≤ l ≤ j − 1.

– Thêm cạnh uj v(2)i+1.

ˆ Trường hợp 2 : j > a (xem Hình 1.11 b))

– Xoá hết các cạnh ujul+1với 0 ≤ l ≤ j − 1.

– Thêm cạnh uj v(2)i+1.

– Miền Ri+1 sẽ nhận uj là đỉnh mới.

3: Bước kết thúc: Sau khi xây dựng được SPn−3, đường chéo dn−2 chia P thành hai miền, và một trong hai miền này sẽ chứa điểm đích t.

sử dụng thuật toán Lee và Preparata

Hình 1.12 Đa giác đơn P = (q1, q2, , q13) có điểm nguồn là s và điểm tới là t.

Hình 1.13 Đa giác đơn P được tam giác phân bởi các đường chéo nét đứt.

Hình 1.14 Cây đối ngẫu của đa giác đơn P là đường màu đỏ.

Hình 1.15 Miền P0 màu xanh lá là hình ống tay chứa đường đi ngắn nhất từ s tới t.

Hình 1.16 Phễu thứ nhất giới hạn bởi SP (s, q11), SP (s, q13) và đường chéo [q11, q13] có chóp là s.

Hình 1.17 Phễu thứ hai giới hạn bởi SP (s, q11), SP (s, q3) và đường chéo [q3, q11] có chóp là s.

Hình 1.18 Phễu thứ ba giới hạn bởi SP (s, q11), SP (s, q4) và đường chéo [q4, q11] có chóp là s.

Hình 1.19 Phễu thứ tư giới hạn bởi SP (s, q10), SP (s, q4) và đường chéo [q4, q10] có chóp là s.

Hình 1.20 Phễu thứ năm giới hạn bởi SP (s, q4), SP (s, q9) và đường chéo [q4, q9] có chóp là s.

Hình 1.21 Phễu thứ sáu giới hạn bởi SP (s, q5), SP (s, q9) và đường chéo [q5, q9] có chóp là s.

Hình 1.22 Phễu thứ bảy bị suy biến, miền trong bằng rỗng, SP (s, q9) là đường màu hồng.

Hình 1.23 SP (s, t) = SP (s, q9) ∪ SP (q9, t) là đường đi ngắn nhất từ s tới t.

mà các mặt đã được tam giác phân trong không gian ba chiều bằng cách

sử dụng một thuật toán nguồn sáng và bóng [10] Bên cạnh đó, luận văncũng trình bày một ví dụ minh hoạ cho thuật toán

Xét P là một mặt đa diện với các mặt đã được tam giác phân trongkhông gian ba chiều, với s là một đỉnh của khối đa diện P cần tìm ra mộtđường ngắn nhất từ điểm nguồn stới các đỉnh còn lại trên bề mặt khối đadiện P Luận văn sẽ trình bày lại một số khái niệm về dãy mặt, dãy cạnh

mà Mitchell đưa ra năm 1987 [9]

F = (f1, f2, , fm+1) và E = (e1, e2, · · · , em) lần lượt là một dãycác mặt và một dãy các cạnh, fi∩ fi+1 = ei, f1 là tam tam giác chứa đỉnhnguồns Ngoại trừ các trường hợp cụ thể khác, các dãy mặt tam giác được

đề cập đến sau đây đều dãy mặt mà các tam giác khác nhau từng đôi một

Kĩ thuật phép lật phẳng (planar unfolding) là phương pháp được

sử dụng để tìm đường đi ngắn nhất Ta thực hiện lật phẳng các mặt

f1, f2, , fm lần lượt theo e1, e2, , em lên mặt phẳng chứa mặt fm+1

Hình 2.1 Một dãy các mặt tam giác (f1, f2, , fm+1) lần lượt liền kề theo các cạnh (e1, e2, · · · , em).

Thủ tục của phép lật dãy mặt F được mô tả như sau [10]:

Quy trình này dừng lại khi các mặt f1, f2, , fm cùng nằm trên mặt phẳng chứa mặt fm+1.

Ưu điểm của phép lật khi sử dụng để giải bài toán tìm đường đi ngắnnhất là giúp chúng ta đưa bài toán từ không gian ba chiều về bài toántrong không gian hai chiều mà không mất đi độ chính xác về khoảng cáchgiữa hai điểm trên một mặt và độ lớn các góc trong cùng một mặt phẳng

Bổ đề 2.1.1 Với một dãy mặt F = (f1, f2, · · · , fm+1) và dãy cạnh chung

E = (e1, e2, · · · , em) khi thực hiện phép lật phẳng các mặt f1, f2, , fm

lên mặt phẳng chứa mặt phẳng fm+1 thì độ lớn của các góc trong một mặttam giác fi và khoảng cách hai điểm p và q (với p, q ∈ fi, 1 ≤ i ≤ m + 1)được bảo toàn

Ví dụ 2.1.1 Xét dãy mặt tam giác F = {4v0v1v2, 4v1v2v3, 4v1v3v4} và dãycạnh E = {[v1, v2], [v1, v3]} như hình 2.2, các đỉnh v0(0, 0, 3), v1(0, 0, 0),

và4v1v2v3 lên mặt phẳng chứa 4v1v3v4 lần lượt theo dãy cạnh {[v1, v2], [v1, v3]}

Hình 2.2 Minh hoạ dãy mặt tam giác {4v0v1v2, 4v1v2v3, 4v1v3v4}.

Ta thực hiện theo đúng quy trình phép lật phẳng dãy mặt tam giác:

ˆ Bước 1: Ta chọn F := {4v0v1v2}, quay F quanh cạnh [v1, v2] tớikhi mặt 4v0v1v2 và mặt 4v1v2v3 cùng nằm trên một mặt phẳng vàhai mặt phẳng này nằm khác phía so với cạnh v1v2 Khi đó, F :=

F ∪ {[v1, v2], 4v1v2v3}

Nhận thấy rằng hai mặt4v0v1v2, 4v1v2v3 tạo với nhau một gócψ = 90o,khi thực hiện quay mặt chứa F lên mặt phẳng chứa 4v1v2v3 bằng matrận quay [14] ta có thể tính được toạ độ của I[v1,v2](x0, y0, z0) - là ảnhcủa của v0 sau khi lật ứng với cạnh [v1, v2], x0, y0, z0 lần lượt là toạ độcủa I[v1,v2] theo các trục Ox, Oy, Oz







Hình 2.3 Minh hoạ phép lật mặt phẳng 4v0v1v2 lên mặt phẳng chứa 4v1v2v3 qua cạnh [v1, v2].

Mặt khác khi lật chúng ta cần mặt chứa 4v3v0v1 nằm ở mặt còn lạicủa cạnh v1v2 nên φ = −(180o − ψ)







Vậy toạ độ của I[v1v2] là (−3, 0, 0)

ˆ Bước 2: Với F := F ∪ {[v1, v2], 4v1v2v3}, quay F quanh cạnh [v2, v3]

tới khi F và mặt 4v2v3v4 cùng nằm trên một mặt phẳng, F vàmặt 4v2v3v4 nằm ở hai bên của cạnh [v2, v3] Khi đó, F := F ∪{[v2, v3], 4v2v3v4}

Nhận thấy rằng F và 4v2v3v4 tạo với nhau một góc ψ = 90o, khi thựchiện quay F lên mặt phẳng chứa 4v1v2v3 ta có thể tính được toạ độcủa I[v2,v3](x00, y00, z00) - là ảnh của của I[v1,v2] sau khi lật, x00, y00, z00 lầnlượt là toạ độ của I[v2,v3] theo các trục Ox, Oy, Oz

Hình 2.4 Minh hoạ dãy mặt tam giác {4v0v1v2, 4v1v2v3, 4v1v3v4}.







Vậy toạ độ của I[v2,v3] là (−3, 0, 0)

Thuật toán dùng nguồn sáng và bóng là một thuật toán xác địnhđường đi ngắn nhất từ một điểm nguồn tới các đỉnh còn lại trên bề mặtcủa khối đa diện Thuật toán sử dụng kĩ thuật lật phẳng, lật tất cả các

chung ei Kí hiệu fi là ảnh của fi với 1 ≤ i ≤ m, Iei là ảnh của của điểmnguồn s lên cạnh ei với 1 ≤ i ≤ m

Định nghĩa 2.2.1 [10] Hình chiếu của Iei lên cạnh ei là một đoạn thẳngnằm trên cạnh ei và được kí hiệu là P rojeiIei sao cho đường ngắn nhất từđiểm nguồn s tới điểm t với t ∈ P rojeiIei đi qua dãy các cạnh e1, e2, , ei−1

được lật thành một đoạn thẳng (hay chính là đường trắc địa) Điều này cónghĩa là với bất kì t ∈ P rojeiIei có thể nối Iei và t với nhau bằng một đoạnthẳng chỉ đi qua dãy các cạnh e1, e1, , ei−1 (xem Hình 2.5)

Hình 2.5 Hình chiếu của Iei lên cạnh ei.

Tính chất sau về đường đi ngắn nhất [10]:

1 Một đường ngắn nhất đi qua một mặt không quá một lần

2 Hai đường ngắn nhất không thể cắt nhau ngoại trừ tại hai điểm: điểmnguồn và điểm tới

Định nghĩa 2.2.2 [10] Nguồn sáng ứng với cạnh ei là tập hợp tất cả cácđường đi ngắn nhất từ ảnh điểm nguồn s là Iei tới t với t ∈ P rojeiIei.Định nghĩa 2.2.3 [10] Bóng của hình chiếu P rojeIi−1ei−1 trên mặt fi là miềngiới hạn bởi các đường đi ngắn nhất từ ảnh nguồn Iei tới cạnh ei và cáchình chiếu của ảnh nguồn Iei lên các cạnh của mặt fi chứa nguồn sángtương ứng với cạnh ei (xem Hình 2.6)