Thông tin tóm tắt về những đóng góp mới của luận văn thạc sĩ: Phương pháp bình phương tối thiểu.

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số ứng dụng của phương pháp bình phương tối thiểu trong đại số tuyến tính và trong giải bài toán ngược. Trước hết, trong chương trước, chúng [r]

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −−

Lê Thị Ngọc Quỳnh

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −−

Lê Thị Ngọc Quỳnh

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐINH NHO HÀO

Hà Nội - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của

bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đinh Nho Hào Mọi kết quả nghiên

cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể Đề tàiluận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luậnvăn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan

Hà Nội, tháng 11 năm 2020.

Học viên

Lê Thị Ngọc Quỳnh

Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới GS TSKH.

Đinh Nho Hào, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu Luậnvăn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thờigian dài Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị, bạn bè của Viện Toán học

vì sự giúp đỡ, góp ý và tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu để tôithực hiện tốt luận văn của mình

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ

sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 11 năm 2020.

Học viên

Lê Thị Ngọc Quỳnh

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình toán tử và một

số tính chất 12

2.2 Phân tích giá trị kỳ dị 21

2.2.1 Toán tử compact 21

2.2.2 Phổ của toán tử compact tự liên hợp 23

2.2.3 Phân tích giá trị kỳ dị 30

2.3 Tiêu chuẩn Picard 36

3 Ứng dụng của phương pháp bình phương tối thiểu 40 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị cho ma trận 40

3.2 Ứng dụng của phương pháp bình phương tối thiểu trong không gian hữu hạn chiều 50

3.3 Ứng dụng của phân tích kỳ dị trong nghiên cứu bài toán ngược 54

MỞ ĐẦU

Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là một môn khoa học thuộclĩnh vực Toán ứng dụng, nhằm mục đích nghiên cứu cách giải gần đúng cácphương trình, các bài toán xấp xỉ, các bài toán tối ưu, Trong việc giải gầnđúng nghiệm của phương trình, tôi xin đề cập trong luận văn này của mìnhphương pháp bình phương tối thiểu cho việc giải hệ phương trình tuyến tính.Bình phương tối thiểu tuyến tính là một kỹ thuật để xấp xỉ một nghiệm gầnđúng cho một hệ phương trình tuyến tính với các dữ kiện không chính xác cũngnhư được ứng dụng rộng rãi trong thống kê Hệ phương trình trong trường hợpđang xét này thường là hệ mà có số phương trình lớn hơn số biến

Các bài toán bình phương tối thiểu được chia thành hai loại: bình phương tốithiểu tuyến tính và bình phương tối thiểu phi tuyến Trong luận văn này, tôi chỉnghiên cứu về phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyếntính Cụ thể là, chúng tôi sẽ tập trung trình bày một cách hệ thống một số tínhchất của nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị vàmột số ứng dụng trong đại số tuyến tính và giải bài toán ngược Luận văn đượcchia làm ba chương như sau:

Chương 1: Chương này chúng tôi sẽ nhắc lại một số định nghĩa, định lý vàtính chất quan trọng của Giải tích hàm phục vụ cho luận văn này

Chương 2: Nội dung phần này trình bày định nghĩa, tính chất của nghiệmbình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng và chứng minh tiêu chuẩn Picard,cái có mối liên hệ quan trọng với phương pháp bình phương tối thiểu và trongviệc phân tích giá trị kỳ dị

Chương 3: Trong chương này, chúng tôi trình bày ứng dụng của phương phápbình phương tối thiểu trong đại số tuyến tính và bài toán ngược

Một số kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất quantrọng của Giải tích hàm để hỗ trợ cho các phần sau Một số tính chất và định lýkhác chưa được đề cập trong chương này thì chúng tôi sẽ nêu một cách xen kẽtrong các chương tiếp theo

Định nghĩa 1.0.1 [1], [2] Cho không gian vectơ X trên trường K = R Một

ánh xạ được cho bởi

k.k : X → K,

x 7→ kxk

được gọi là một chuẩn trênX nếu thỏa mãn các tính chất sau:

(i) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọix, y ∈ X

(ii) kαxk = |α|kxkvới mọix ∈ X,α ∈ K

(iii) kxk ≥ 0với mọix ∈ X vàkxk = 0 nếux = 0

Khi đó không gian vectơ X với một chuẩn như ở trên sẽ được gọi là khônggian định chuẩn Hơn nữa, không gian định chuẩnX sẽ được gọi là không gianBanach nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trongX hội tụ tới một điểm trongX,hay nói cách khác X là không gian định chuẩn đầy đủ

2

Định nghĩa 1.0.2 [1], [2] Cho không gian vectơX trên trường K (K = R hoặc

C) Một ánh xạ được cho bởi

h.i : X × X → K,

(x, y) 7→ hx, yi

được gọi là một tích vô hướng trênX nếu thỏa mãn các tính chất sau

(i) hx, yi = hy, xivới mọix, y ∈ X

(ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zivới mọix, y, z ∈ X

(iii) hαx, yi = αhx, yivới mọix, y ∈ X và α ∈K

(iv) hx, xi ≥ 0với mọix ∈ X và hx, xi = 0nếux = 0

Một không gian vectơX trên trường K cùng với một tích vô hướng trên X nhưtrên được gọi là không gian tiền Hilbert Từ đó ta có định nghĩa về không gianHilbert chính là một không gian tiền Hilbert mà đồng thời cũng là một khônggian Banach với chuẩnkxk = p

hx, xi, ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.0.3 [1], [2] Một tập M trong không gian metric X được gọi

là compact nếu mọi dãy trong M đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểmthuộcM Từ đó ta có tính chất: một tập compact trong không gian metric thì sẽđóng và hoàn toàn bị chặn, nhưng mệnh đề ngược thì chưa chắc đúng, ví dụ đơngiản như hình cầu đóng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều thì khôngcompact TậpM được gọi là compact tương đối (hay tiền compact) nếu như baođóng của nó là compact Nói cách khác,M được gọi là compact tương đối nếumọi dãy trongM đều chứa một dãy con hội tụ trong không gianX Tập M sẽđược gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọiε > 0cho trước, bao giờ cũng tồn tạimột phủ gồm hữu hạn các hình cầu mở (Si) với bán kính ε chứa M Và ta cótính chất là một tập hoàn toàn bị chặn thì sẽ bị chặn

Định lý 1.0.4 [1] Định lý Heine-Borel: Một tậpM trong không gian metricX

được gọi là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở củaM đều chứa một phủ con hữu hạn vẫn chứaM.

Chứng minh. Giả sử M có tính chất Heine-Borel Xét một dãy bất kì (xn) ⊂

M Với mỗik = 1, 2, , kí hiệuAk = {xn : n ≥ k} ChoAk là bao đóng của

Ak và Gk = X \ Ak Với mỗi tập hữu hạnI ⊂ {1, 2, }, rõ ràngT

k∈IAk 6=

∅, cho nênTk∈IAk 6= ∅, và do đóX \S

k∈I(X \ Ak) = X \S

k∈IGk 6= ∅,

tức là hợp các tập mởGk (k ∈ I) không phủ đượcX Vì điều này đúng với mọi

họ hữu hạn{Gk, k ∈ I}nên theo tính chất Heine-Borel thì cả họ cũng khôngthể phủ đượcM Vậy phải cóx 6∈ Gk = X \ Ak, tức làx ∈ Ak ∀k = 1, 2,

Từ đây dễ dàng suy ra một dãy con(xnk) hội tụ Thật vậy, với mỗik, vìx ∈ Ak

nên hình cầu tâmxbán kính1/k phải chứa mộtxnk ∈ (xn) Ta cód(xnk, x) ≤1/k → 0khik → ∞ VậyM compact

Để chứng minh phần đảo, giả sử M compact nhưng có một phủ mở {Gα}

không chứa một phủ con hữu hạn nào Ta lấy một dãy bất kỳ các số dương

εn → 0 Vì M compact nên nó có thể phủ bằng một số hữu hạn hình cầu bánkínhε1 Trong số các hình cầu này ắt phải có một hình cầu, giả sử làS1 sao cho

M1 = M T

S1 không thể phủ được bằng một số hữu hạn tậpGα(nếu không thì

M sẽ phủ được bằng một số hữu hạn tậpGα) TậpM1 cũng compact (vì là tậpcon đóng của một tập compact) nên có thể phủ được bằng một số hữu hạn cáchình cầu bán kínhε2, trong số đó có một cái, giả sửS2 sao choM2 = M1T

S2

không thể phủ được bằng một số hữu hạn tậpGα TậpM2 cũng là compact nên

có thể phủ được bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính ε3 Tiếp tục như thế,

ta sẽ thu được một dãy hình cầu Sn và tập Mn = Mn−1T

Sn (n = 1, 2, )

Ta lấy trong mỗi tập Mn một điểm xn Dĩ nhiên Mn ⊂ Mn−1 ⊂ ⊂ M

nên xn ∈ M và vì M compact nên có một dãy con (xnk) hội tụ tới một điểm

x0 ∈ M Ta có x0 ∈ Gα0 nào đó và do Gα0 mở nên có một hình cầu K

tâm x0 và nằm trọn trong Gα Gọi r là bán kính của K, ta chọn k0 đủ lớn

Định lý 1.0.5 [1] Định lý Hausdorff: Trong một không gian metric đầy đủ

(nghĩa là mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm trong không gian ban đầu), một tập là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và hoàn toàn bị chặn.

Chứng minh.

1) Ta đã biết một tính chất là tập compact thì phải đóng Bây giờ giả sử tập

M compact nhưng không hoàn toàn bị chặn Thế thì có một ε > 0 nào

đó sao cho không thể nào phủ được M bằng một số hữu hạn hình cầubán kính ε Lấy một điểm bất kỳ x1 ∈ M Hình cầu tâm x1 bán kính ε

không phủ được M, cho nên có ít nhất một điểm x2 ∈ M với khoảngcách d(x1, x2) ≥ ε Hai hình cầu tâm x1 và x2 bán kính ε cũng khôngphủ đượcM, cho nên có ít nhất một điểmx3 ∈ M sao cho d(x1, x3) ≥ ε

và d(x2, x3) ≥ ε Tiếp tục cách đó ta sẽ được một dãy xn ∈ M với

d(xn, xm) ≥ ε(n 6= m; n, m = 1, 2, ) Rõ ràng bất cứ dãy con nào của

(xn)cũng không thể là dãy cơ bản, do đó không thể hội tụ Như vậy mâuthuẫn với giả thiếtM compact VậyM phải đóng và hoàn toàn bị chặn

2) Ngược lại, giả sử tập M đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gianđầy đủ X và xét một dãy vô hạn bất kì σ = (xn) ⊂ M Vì tập M cóthể phủ được bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính 1, nên một trongcác hình cầu này, chẳng hạn S1, phải chứa vô số phần tử của dãy σ Gọidãy con của dãy σ chứa trong S1 làσ1 Tập hợp M cũng có thể phủ đượcbằng một số hữu hạn hình cầu bán kính 1/2, nên một trong các hình cầunày, giả sử S2, phải chứa vô số phần tử của σ1 Gọi dãy con của σ1 chứatrong S2 là σ2 Tiếp tục theo cách đó ta sẽ có các dãy σ1, σ2, σ3, với

σ ⊃ σ1 ⊃ σ2 ⊃ và σk ⊂ Sk (k = 1, 2, ), trong đó Sk là hình cầubán kính 1/k Vì mỗi dãy σk có vô số phần tử nên có thể chọn trong σ1

một phần tử xn1, rồi trong σ2 một phần tử xn2 với n2 > n1, trongσ3 mộtphần tửxn3 vớin3 > n2 và cứ thế tiếp tục quá trình Dãy(xnk) là một dãycon củaσ = (xn), và có thể thấy rằng đó là một dãy hội tụ trong X Thậtvậy với k < l thì σl ⊂ σk ⊂ Sk nên xnl, xnk cùng thuộc hình cầu Sk do

đód(xnl, xnk) < 2/k → 0 khik, l → ∞, chứng tỏ rằng(xn) là một dãy

cơ bản, tức hội tụ vì theo giả thiết X là không gian đủ Tóm lại mọi dãy

(xn) ⊂ M đều chứa một dãy con hội tụ Vì M là tập đóng nên giới hạncủa dãy con này thuộcM VậyM là tập compact

Định lý 1.0.6 ChoX,Y là các không gian định chuẩn.T là toán tử tuyến tính

đi từX vàoY Khi đó,T là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy(xn)bị chặn trong

X đều chứa một dãy con (xnk)sao cho dãy (T xnk) hội tụ trongY.

Chứng minh.

(i) Giả sử(xn)n∈N ⊂ X bị chặn Để T compact thì dãy(T xn)n∈N phải pact tương đối trong Y Theo giả thiết, (xn)n∈N chứa dãy con (xnk) saocho (T xnk) ⊂ (T xn)n∈N và (T xnk) hội tụ trong Y Sử dụng định nghĩa

com-về compact tương đối, ta suy raT là toán tử compact

(ii) Giả sử T compact Lấy (xn)n∈N bị chặn trong X, suy ra dãy (T xn)n∈N

compact tương đối trongY Do đó từ dãy(xn)n∈N, ta sẽ trích ra được mộtdãy con(xnk) mà(T xnk) ⊂ (T xn)n∈N và(T xnk)hội tụ trongY

Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chứng minh một tập là pact Chúng tôi phát biểu lại Định lý Arzelà-Ascoli ở dạng đơn giản như sau:Cho D là tập con compact trong Rn Xét (C0(D), k.k∞) Giả sử dãy hàm

com-{fn}n∈N ⊂ C0(D) thỏa mãn hai tính chất:

(i) Bị chặn điểm trênD, tức với ∀x ∈ D, tập{fn(x)}n∈N là bị chặn;

(ii) Đồng liên tục đều, tức ∀ > 0, ∀x ∈ D, ∃δ = δ(x, ) > 0 sao cho với

∀n ∈ N, ∀y ∈ B(x, δ) ∩ D ta luôn có|fn(y) − fn(x)| ≤ 

Khi ấy tồn tại dãy con {fϕ(n)}n∈N (trong đó ϕ : N → N là hàm tăng) và hàm

f ∈ C0(D)sao cho fϕ(n) −→ fk.k∞ khin → ∞

Các bước chứng minh:

• Bước 1.Chỉ ra thực chất dãy hàm {fn}n∈N là đồng liên tục đều

• Bước 2. Lấy A = D ∩ Qn là tập con trù mật đếm được của D Sử dụng

kỹ thuật "diagonal extraction" để chỉ ra có một dãy ϕ(n) chung cho mọi

x ∈ Amàfϕ(n)(x) n→∞−→ f (x), ở đâyf (x) là kết quả giới hạn dãy

Diagonal extraction: Giả sử có họ đếm được các dãy {um}m∈N, trong đódãyum = {umn}n∈N, thỏa mãn tính chất ∀m ∈ N dãy um có một dãy conhội tụ đến điểm mà ta ký hiệu làum∞ Khi ấy có thể chọn dãy chỉ số chungcho tất cả các dãy con mà vẫn đảm bảo kết quả hội tụ cho mỗi dãy, tức tồntại hàmϕ : N →N tăng sao choumϕ(n) n→∞−→ um

Định lý 1.0.7 [1], [2] Định lý Riesz trong không gian Hilbert: Mọi phiếm hàm

tuyến tính liên tục f ánh xạ một không gian Hilbert X vào trường K (K = R

hoặc C) đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng

f (x) = hx, ai,

với mọix ∈ X và alà phần tử thuộcX thỏa mãnkf k = kak.

Bây giờ, chúng tôi đề cập thêm về hệ trực chuẩn và bất đẳng thức Bessel

Gọi (en)n∈N là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert X ( nghĩa là nó làmột hệ trực giao và được chuẩn hóakenk = 1với mọin ∈ N ) Khi đó, với mọi

x ∈ X, ta có bất đẳng thức Bessel như sau

Chứng minh. Gọi E là tập con lồi đóng trongX Đặt λ = inf{kxk : x ∈ E}.

Dokxk ≥ 0nên λ ≥ 0 > −∞ Do đó λtồn tại Với bất kỳ x, y ∈ E, áp dụngđẳng thức hình bình hành cho x2 và y2, ta có

nằm trong E là một tập đóng nên x0 ∈ E Từ tính liên tục của hàm chuẩn, tathu được

kx0k = lim

n→∞kynk = λ

Vì vậy E tồn tại duy nhất phần tử có chuẩn nhỏ nhất Ta có điều phải chứngminh

CHƯƠNG 2

Phương pháp bình phương tối thiểu

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất về nghiệm bìnhphương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng và chứng minh tiêu chuẩn Picard trêncác không gian Hilbert vô hạn chiều Để thuận lợi cho việc theo dõi, trước hếtchúng tôi sẽ đi vào một số dẫn dắt đầu tiên trước khi vào vấn đề chính [3], [4],[5]

Ta cần đi tìm nghiệm của phương trình

Ax = b

VớiAlà ma trận cỡ m × n,m > n vàx, btheo thứ tự là các vectơ cột vớinvà

m phần tử Để giải phương trình này, ta tìmx sao cho kAx − bk2 đạt cực tiểu

Ta kí hiệu[Ax]i là phần tử thứicủa vectơAxvàbi là phần tử thứicủa vectơb.Khi đó, ta có phân tích của đại lượngkAx − bk2 như sau

kAx − bk2 = ([Ax]1 − b1)2 + + ([Ax]m− bm)2 (∗)

Chính vì xuất phát từ lý do cần đi làm tối thiểu bình phương của chuẩn Ơclit

kAx − bk2 cho nên ta mới có tên gọi "phương pháp bình phương tối thiểu"

Ta biết: kvk2 = vTv, trong đó vT là ma trận chuyển vị của v Do đó biểu

11

thức(∗) ở trên có thể được viết lại như sau

kAx − bk2 = (Ax − b)T(Ax − b) = (Ax)T(Ax) − bT(Ax) − (Ax)Tb + bTb

= (Ax)T(Ax) − 2(Ax)Tb + bTb (vìbTAx = (Ax)Tb)

Do đó đểkAx − bk2 đạt cực tiểu thì giá trị cực tiểu đó có thể đạt được tại khôngđiểm của đạo hàm theo biến x của kAx − bk2 Đạo hàm biểu thức trên theobiến x ta suy ra được rằng nghiệm tối thiểu x ở đây sẽ là nghiệm của phươngtrình sau

ATAx = ATb

Điều này tương đương với một hệ phương trình tuyến tính Trong đó, ma trận

ATAở vế trái là một ma trận vuông, khả nghịch nếu nhưrankA = n, và ta gọi

A có hạng đầy đủ theo cột Trong trường hợp này, hệ phương trình tuyến tính

có nghiệm duy nhất và được xác định như sau

x = (ATA)−1ATb

Ở đây, ma trận (ATA)−1AT được gọi là ma trận giả nghịch đảo của ma trận A

và trong phần trình bày phía sau ta sẽ kí hiệu làA+ Thông thường, ta không cónghịch đảo củaA (A−1)doAsẽ thường được giả thiết là ma trận không vuông,hoặc Asuy biến

Bây giờ, chúng tôi sẽ giới thiệu, chứng minh một số tính chất, định lý quantrọng của phương pháp bình phương tối thiểu

2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình toán

tử và một số tính chất

Trước hết, ta nhắc lại định lý phép chiếu trực giao trong không gian Hilbert:ChoX là một không gian Hilbert LấyM là không gian con đóng của X Khi

đó, tồn tại duy nhất một phép chiếu trực giaoP đi từX vàoM sao cho

ky − P yk ≤ ky − uk

với mọiy ∈ X và mọiu ∈ M

Trong phần này, ta giả sử X và Y là các không gian Hilbert và A thuộc

B(X, Y )là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từX vàoY Xét phươngtrình tuyến tính

Ax = y,

trong đóy ∈ Y được cho trước Nếu phương trình này không có nghiệm (theonghĩa thông thường), ta sẽ cố gắng đi tìm một vectơxtrongX để chokAx − yk

là nhỏ nhất, nghĩa là

kAx − yk ≤ kAu − yk,

với mọiu ∈ X Vectơxở đây cũng chính là loại nghiệm mà ta sẽ đi nghiên cứutrong phần này Bây giờ, ta gọiQlà phép chiếu của Y lên R(A) ( ở đâyR(A)

là bao đóng của tập ảnh củaA) Từ định lý phép chiếu trực giao ở trên ta suy ra

kQy − yk ≤ kz − yk,

với y ∈ Y, Qy ∈ R(A) và với mọi z ∈ R(A) Cũng từ hệ quả của định lýphép chiếu trực giao trong không gian Hilbert, với mọiy ∈ Y, ta có:y − Qy ∈R(A)⊥ Ở đây, chúng ta để ý rằngR(A)⊥ = R(A)⊥ Thật vậy, hiển nhiên có

R(A) ⊂ R(A) suy ra R(A)⊥ ⊂ R(A)⊥ Ngược lại, lấy x ∈ R(A)⊥, ta cầnchứng minh x ∈ R(A)⊥ Rõ ràng, nếu lấy y ∈ R(A) thì theo định nghĩa baođóng của một tập hợp, tồn tại dãy(yn) trongR(A) màyn → y khin → ∞.Vì

(yn) ⊂ R(A) suy ra hx, yni = 0 Cho n → ∞ ta có được hx, yi = 0 Do đó

x ∈ R(A)⊥ Vì vậyR(A)⊥ = R(A)⊥

Định lý 2.1.1 [3] Cho y ∈ Y cho trước Với x ∈ X, ba điều kiện sau tương đương

(i) Ax = Qy.

(ii) kAx − yk ≤ kAu − ykvới mọiu ∈ X

(iii) A∗Ax = A∗y với A∗ là toán tử liên hợp của A, nghĩa là hAx, yi =

hx, A∗yi

Chứng minh.

(i)⇒(ii) : Từ y − Qy ∈ R(A)⊥ suy ra Qy − y ∈ R(A)⊥ = R(Q)⊥ Do

Au − Qy ⊥ Qy − y và doAx = Qy, ta có

kAu − yk2 =kAu − Qyk2 + kQy − yk2

=kAu − Qyk2 + kAx − yk2 ≥ kAx − yk2

(ii)⇒(iii) : Do Qy ∈ R(A), tồn tại một dãy (xn) ⊂ X sao cho Qy =lim

n→∞Axn.Do đó

kQy − yk2 = lim

n→∞kAxn− yk2 ≥ kAx − yk2

Mặt khác, theo Định lý Pythagore

kAx − yk2 = kAx − Qyk2 + kQy − yk2

Suy rakAx−Qyk2 = 0hayAx = Qy.Từ đóAx−y = Qy−y ∈ R(A)⊥

Mặt khác dễ thấyR(A)⊥ = N (A∗), với N (A∗) là hạch củaA∗ Thật vậy,lấyy ∈ N (A∗) thì điều này tương đương với A∗y = 0hay hx, A∗yi = 0

với mọix ∈ X Từ đóhAx, yi = 0với mọix ∈ X, nghĩa lày ∈ R(A)⊥ =R(A)⊥ Do đó Ax − y ∈ N (A∗), tức làA∗Ax = A∗y

(iii)⇒(i) : Ta có:Ax − y ∈ N (A∗), vìA∗Ax = A∗y Suy ra

Ax − y ∈ R(A)⊥ = R(Q)⊥

Do đó 0 = Q(Ax−y) = QAx−Qy = Ax−Qy, nghĩa làAx = Qy

Định nghĩa 2.1.2 [3] Một vectơx ∈ X mà thỏa mãn ba điều kiện tương đươngtrong định lý trên thì được gọi là một nghiệm bình phương tối thiểu của phươngtrìnhAx = y

Hệ quả 2.1.3 [3] Choy ∈ Y Khi đó, ta có hai hệ quả sau

(i) L(y) := {x ∈ X|A∗Ax = A∗y} 6= ∅ khi và chỉ khiy ∈ R(A)L

R(A)⊥.

(ii) Nếu y ∈ R(A)L

R(A)⊥ thì L(y)là một tập con lồi đóng khác rỗng của

y = Ax + (y − Ax) ∈ R(A)MR(A)⊥

Ngược lại, nếu y ∈ R(A)L

R(A)⊥ thì y sẽ luôn biểu diễn được dướidạng duy nhất y = y1 + y2, trong đó y1 ∈ R(A)và y2 ∈ R(A)⊥ Suy ra

Qy = y1 và y1 = Axvới một số giá trị x ∈ X, suy ra Qy = Ax TheoĐịnh lý 2.1.1,x ∈ L(y), tức làL(y) 6= ∅.

(ii) Trước hết, theo phần (i) ta dễ thấy ∅ 6= L(y) ⊂ X Để chứng minh L(y)

là tập lồi, ta lấyx1, x2 ∈ L(y)vàλ ∈ [0, 1] Ta có

A∗A(λx1 + (1 − λ)x2) =λA∗Ax1 + (1 − λ)A∗Ax2

=λA∗y + (1 − λ)A∗y = A∗y

Vì thếλx1 + (1 − λ)x2 ∈ L(y), nghĩa là L(y)là tập lồi

Cuối cùng, để chứng minhL(y) đóng, ta chỉ cần lấy một dãy(xn) ⊂ L(y) saocho xn → x khi n → ∞ Từ A∗Axn = A∗y, cho n → ∞thì ta sẽ thu được

A∗Ax = A∗y, tức là x ∈ L(y) Do đóL(y)đóng và ta kết thúc toàn bộ chứngminh

Như vậy, theo Hệ quả 2.1.3, tập L(y)sẽ chứa nghiệm bình phương tối thiểunếu như y ∈ R(A)L

R(A)⊥ và đồng thời khi đó L(y) cũng lồi, đóng trong

X Khi đó, theo Bổ đề 1.0.9 trong chương trước sẽ tồn tại duy nhất phần tử

x ∈ L(y)màkxk = min{kuk : u ∈ L(y)} Tới đây ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.4 [3] ĐặtD(A+) := R(A)L

R(A)⊥ và xây dựng ánh xạ

A+ : D(A+) → X,

y 7→ x

với x là nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất của phương trình

Ax = y (như đã chứng minh ở trên là tồn tại và duy nhất) Khi đó, ánh xạ A+

được định nghĩa như ở trên được gọi là giả nghịch đảo hay nghịch đảo suy rộngcủaA

Ta có một số hệ quả liên quan tới ánh xạ giả nghịch đảoA+ như sau

Hệ quả 2.1.5 [3] ChoA+là ánh xạ giả nghịch đảo của A Khi đó

(i) D(A+)trù mật trong Y vàD(A+) = Y nếu R(A)đóng.

(ii) Nếu R(A)đóng và tồn tại A−1 thìA+|R(A) = A−1.

(iii) R(A+) = N (A)⊥.

(iv) A+là ánh xạ tuyến tính.

(v) A+ bị chặn (nghĩa là sup{kA+yk : y ∈ D(A+), kyk ≤ 1} < ∞) nếu và chỉ nếuR(A) đóng.

R(A)⊥ ⊂ R(A)L

R(A)⊥ Thật vậy,

ta lấy x ∈ R(A), y ∈ R(A)⊥ thế thì x + y ∈ R(A)L

R(A)⊥ Ta sẽchứng minh x + y ∈ R(A)L

R(A)⊥ Theo định nghĩa về tập đóng thì

x + y ∈ R(A)L

R(A)⊥ tương đương với mệnh đề mọi lân cậnUx+y của

x + y (đồng thời cũng là lân cận củax vày) thì

Ux+y ∩ (R(A)MR(A)⊥) 6=∅

Vìx ∈ R(A) và y ∈ R(A)⊥ (do y ∈ R(A)⊥ = R(A)⊥) nên theo địnhnghĩa của tập đóng ta sẽ có Ux+y ∩ R(A) 6= ∅ và Ux+y ∩ R(A)⊥ 6= ∅

Suy ra

Ux+y ∩ (R(A)MR(A)⊥) 6=∅

DoUx+y là bất kỳ nên x + y ∈ R(A)L

R(A)⊥ Như vậy

Y = R(A)MR(A)⊥ ⊂ R(A)MR(A)⊥ = D(A+)

VậyD(A+) = Y hayD(A+)trù mật trongY

(ii) VìR(A) đóng nênD(A+) = Y Với mọiy ∈ R(A)luôn tồn tại duy nhất

x+ ∈ X sao choAx+ = y(do giả thiết tồn tạiA−1) Do đóx+ = A−1y =

A+y Vì vậyA+|R(A) = A−1

(iii) Trước hết, ta chứng minh rằng R(A+) ⊂ N (A)⊥ Thật vậy, lấy x ∈R(A+) (hiển nhiên x ∈ X) thì sẽ tồn tại y ∈ D(A+) để x = A+y.Nhận thấyN (A) là không gian con đóng của X Thật vậy, từ định nghĩa

N (A) = {x ∈ X : Ax = 0}, ta dễ dàng suy raN (A)là một không gian

con, đồng thời mọi dãy con bất kì trongN (A)nếu hội tụ thì đều hội tụ tớimột điểm trongN (A), do đóN (A) là không gian con đóng củaX.Với mọi x ∈ X, ta có biểu diễn duy nhất là x = x1 + x2, trong đó

x1 ∈ N (A) và x2 ∈ N (A)⊥ Khi đó, Ax1 = 0 và theo Định lý 2.1.1, tacó

Lúc này, ta gọiv là một nghiệm bình phương tối thiểu khác của Ax = y.Khi đóAv = Qy = Au, suy ra A(v − u) = 0, nghĩa là v − u ∈ N (A)

Do đó

kvk2 = kuk2 + kv − uk2 ≥ kuk2

Suy ra u chính là nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất của

Ax = y, nghĩa làu = A+y hayu ∈ R(A+) Như vậy,N (A)⊥ ⊂ R(A+)

và kết hợp hai chiều chứng minh lại ta kết thúc hệ quả thứ ba

(iv) Ta lấy bất kỳ y, y0 ∈ D(A+) = R(A)L

R(A)⊥ Bây giờ ta cần chứngminh A+(y + y0) = A+y + A+y0 và A+(λy) = λA+y với mọiλ ∈ K

Thật vậy, ta có

AA+y + AA+y0 = Qy + Qy0 = Q(y + y0) = AA+(y + y0)

Suy raA+y + A+y0− A+(y + y0) ∈ N (A) Lại cóA+y, A+y0, A+(y + y0)

đều thuộcR(A+) = N (A)⊥là một không gian vectơ nên A+y + A+y0 −

A+(y + y0) ∈ N (A)⊥ Như vậyA+y + A+y0 − A+(y + y0) ∈ N (A)⊥ ∩

N (A) = {0} Suy raA+(y + y0) = A+y + A+y0

Tương tự ta cũng chứng minh được rằngA+(λy) = λA+y với mọiλ ∈ K

và khi đó ta kết thúc chứng minh hệ quả này

(v) Giả sử A+ bị chặn Ta sẽ chứng minh R(A) đóng Từ AA+y = Qy vớimọi y ∈ D(A+) và D(A+) trù mật trong Y ( theo chứng minh phầntrước), ta có thể thác triển ánh xạA+thành một toán tử tuyến tính bị chặnb

A ∈ B(Y, X) sao cho AAy = Qyb với mọi y ∈ Y Do đó R(A) =R(Q) ⊂ R(A) Suy raR(A) = R(A), nghĩa làR(A) đóng

Để chứng minh chiều ngược lại, ta sẽ xây dựng ánh xạ sau

N (A) và N (A)⊥ đều là các không gian vectơ nên u1 − u2 ∈ N (A)⊥ ∩

N (A) = {0}, nghĩa làu1 = u2 Do vậy bAlà đơn ánh Hơn nữa, với cáchxây dựng như trên thì dễ thấy rằng bAlà toàn ánh Do vậy bAlà song ánh.Hơn nữa, ta cũng nhận thấy rằng bAtuyến tính liên tục Thật vậy, ta lấy mộtdãy(un) ⊂ N (A)⊥sao cho lim

b

A(u1 + u2) = A(u1 + u2) = Au1 + Au2 = Aub 1 +Aub 2

nên ta suy ra được bAtuyến tính.

Tiếp theo, doR(A), N (A)⊥ lần lượt là các không gian con đóng của cáckhông gian HilbertY và X nên chúng cũng là không gian Hilbert và hiểnnhiên cũng là các không gian Banach Theo Định lý Banach về ánh xạ

mở có đề cập rằng mọi toàn ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gianBanach đều là ánh xạ mở Vì thế từ bAlà song ánh tuyến tính liên tục giữahai không gian Banach nên bA−1 tồn tại và cũng liên tục (theo hệ quả củaĐịnh lý Banach về ánh xạ mở) Mặt khác bA−1 cũng tuyến tính nên bA−1sẽ

bị chặn Do đó tồn tạim > 0sao cho

kA+yk = kAb−1(AAb +y)k ≤ mkAA+yk với mọiy ∈ D(A+) = Y

Do đó với y ∈ Y, ta cókyk ≥ kQyk = kAA+yk ≥ m−1kA+yk.Ở đây

ta giải thích kỹ hơn chi tiếtkyk ≥ kQyk Thật vậy, do có biểu diễn Y =R(A)L

R(A)⊥nên với bất kỳy ∈ Y luôn tồn tại duy nhấtu ∈ R(A)để

kyk2 = kuk2 + ku⊥k2 Suy rakQyk = kQuk = kuk ≤ kyk

Như vậy A+ ∈ B(Y, X) và kA+k ≤ m, tức là A+ bị chặn và ta chứngminh xong hệ quả này

(vi) Để chứng minh hệ quả này ta chỉ việc sử dụng trực tiếp định nghĩa Ta

đã biết, với y ∈ D(A+) = R(A)L

R(A)⊥ thì x = A+y được gọi lànghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất và dĩ nhiên là duy nhấtcủa phương trìnhAx = y Dễ thấyx ∈ R(A+)nên theo kết quả trong hệquả thứ ba thìx ∈ N (A)⊥ và ta có điều phải chứng minh

Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu về phân tích giá trị kỳ dị, nhằm mụcđích chứng minh tiêu chuẩn Picard, một ứng dụng quan trọng trong phươngpháp bình phương tối thiểu cũng như bài toán về phân tích giá trị kỳ dị

2.2 Phân tích giá trị kỳ dị

Mục đích của phần này là để trình bày sự phân tích giá trị kỳ dị cho các toán

tử compact trong không gian Hilbert Sự phân tích này chỉ ra rằng các toán tửcompact có một phổ đơn và đồng thời cũng minh họa một cách cụ thể về tínhchất xấu của một phương trình do bị phụ thuộc vào sự tác động của các toán tửcompact ( những phương trình này thường được gọi là phương trình loạiI )

2.2.1 Toán tử compact

Cho X, Y là các không gian Hilbert và lấyT ∈ B(X, Y ) Toán tử T đượcgọi là compact nếu và chỉ nếu T biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tậpcompact tương đối (hay tiền compact) trongY Ta ký hiệu làT ∈ B∞(X, Y ).Nhận thấy, với T ∈ B(X, Y ) cho trước, nếu dim R(T ) = dim ImT hữuhạn thì T ∈ B∞(X, Y ) Khi đó T được gọi là toán tử có hạng hữu hạn Đểchứng minh tính chất này, trước tiên ta lấy U ⊆ X bị chặn Ta cần chứng tỏrằng T (U ) compact trong Y Vì dim ImT < ∞ nên T (U ) nằm trong khônggian hữu hạn chiều Ta đã biết tính chất là một tập trong không gian hữu hạnchiều sẽ compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn Vì thế ở đây ta chỉ cần chỉ

raT (U ) bị chặn nữa là xong Ta nhận thấy rằng T (U ) ⊂ Y bị chặn, suy ra tồntạik > 0sao cho với mọix ∈ T (U ) thìkxk ≤ k Do đó

T (U ) ⊆ B(0,k) = {y ∈ Y : kyk ≤ k}

MàT (U ) là tập đóng nhỏ nhất chứaT (U ) nên T (U ) ⊆ B(0,k), tức là T (U ) bịchặn Do đóT (U ) compact trongY và ta có đượcT ∈ B∞(X, Y )

Bây giờ, chúng ta sẽ xét một định lý nhằm đưa ra các điều kiện tương đương

để việc chứng minh một toán tử là compact được thuận tiện hơn, thay vì việc tachỉ chứng minh bằng việc sử dụng định nghĩa

Định lý 2.2.1 [3] Cho X, Y là các không gian Hilbert Lấy T ∈ B(X, Y ) Khi đó, các điều kiện sau là tương đương

(i) T là toán tử compact.

(ii) Tồn tại một dãy(Tm)m∈N trongB∞(X, Y )sao cho lim

(i)⇒(ii) : Ta chỉ cần chọn Tm := T với mọim ∈N.

(i)⇒(iii) : Lấyε > 0nhỏ tùy ý vàU ⊆ X là một tập bị chặn ĐặtM := T (U )

thìM sẽ là compact trongY doT là compact theo giả thiết (i) Theo Định

lý Hausdorff, tồn tạiy1, y2, , ym sao cho M được phủ bởi các hình cầu

kT x − Tεxk = kT x − PεT xk ≤ inf{kT x − yik : i = 1, m} ≤ ε

Suy rakT − Tεk ≤ ε Vì điều này đúng với mọiε > 0đủ nhỏ nên rõ ràng

ta đã chỉ ra được cách xây dựng dãy(Tm)m∈Ncác toán tử có hạng hữu hạnsao cho lim

m→∞kT − Tmk = 0

(ii)⇒(i), (iii)⇒(i) : Để chứng minh hai phần này, ta cần chỉ ra rằngB∞(X, Y )

là không gian con đóng củaB(X, Y ) Rõ ràngB∞(X, Y ) ⊆ B(X, Y )và

B∞(X, Y )là một không gian con củaB(X, Y ) Để chứng minhB∞(X, Y )

đóng, ta lấy U ⊆ X là một tập bị chặn và một dãy (Tm)m∈N trong

B∞(X, Y ) sao choTm → T khim → ∞ Theo định nghĩa tập compactthìTm(U )phải compact trongY Chom → ∞ta thu được lim

m→∞Tm(U ) =

T (U ) sẽ compact trong Y Suy ra T ∈ B∞(X, Y ) và do đó B∞(X, Y )

đóng Dựa vào tính chất đóng này ta sẽ suy ra được rằng nếu có điều kiện

(ii) hoặc (iii) thì sẽ thu được điều kiện (i) Tới đây ta kết thúc toàn bộ chứng

minh của định lý

2.2.2 Phổ của toán tử compact tự liên hợp

Cho X là không gian Hilbert trên trường vô hướng K = C Gọi I là ánh xạđồng nhất trênX Ta giả sử trong suốt phần này là X 6= {0}

Định nghĩa 2.2.2 [3] ChoT ∈ B(X) (B(X)là không gian các toán tử tuyếntính liên tục từ X vào X) Khi đó một số λ ∈ C được gọi là một giá trị riêng

củaT nếu tồn tại một vectơx ∈ X, x 6= 0sao choT x = λx.Vectơ xnày đượcgọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêngλ Chiều củaN (T − λI)được gọi là bộicủa giá trị riêngλ

Bổ đề 2.2.3 [3] ChoT ∈ B∞(X) Cho λ ∈C, λ 6= 0 Khi đó ta có

(i) R(T − λI) đóng.

(ii) R(T − λI) = X nếu λkhông là giá trị riêng của T.

Chứng minh. Đặt N := N (T − λI) và M := R(T − λI) Nhận thấy N

là không gian con đóng của X Ta lấy y ∈ M Theo định nghĩa bao đóngcủa một tập hợp, ta luôn giả sử được rằng y = lim

n→∞(T − λI)xn, trong đó

(xn)n∈Nlà một dãy trongX VìX = N L

N⊥nên ta có thể viếtxn dưới dạng

xn = un+ wn, với un ∈ N và wn ∈ N⊥ Đặtyn := (T − λI)xn Ta có

yn = (T −λI)(un+wn) = (T −λI)un+(T −λI)wn = (T −λI)wn (n ∈ N)

(i) Để chứng minh phần này, trước hết chúng ta cần đi chứng minh(wn)n∈Nbịchặn Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng, giả sử rằng lim

Ta lấy chuẩn ở hai vế trong đẳng thức trên, đồng thời sử dụng các điều kiện

đã có ở phần lập luận phía trên, ta sẽ thu được lim

kwnk−1yn = kwnk−1(T −λI)wn = (T −λI)(kwnk−1wn) = (T −λI)vn

Do đó theo chứng minh ở trên, ta suy ra được rằng lim

n→∞kwnk−1yn = 0.Như thế, dãy(λ−1(kwnk−1yn+ T vn))n∈N hội tụ

(ii) Nếu λ không là giá trị riêng của T thì T − λI khả nghịch, tức là tồn tại

(T − λI)−1 Đặt X0 := X và Xn := R((T − λI)n) với n ∈ N Theo

chứng minh phần (i) thìX1 đóng Khi đó X1 là không gian con đóng củakhông gian Hilbert X nên X1 cũng là không gian Hilbert và dĩ nhiên nócũng là một không gian Banach

vàXn+1 ⊂ Xn Do X1 đóng nênXn đóng với mọin ∈N.

Giả sửX 6= X1 := R(T − λI) Bằng phương pháp quy nạp ta cóXn+1 $

Xn với mọi n ∈ N Khi đó với mỗi n, ta chọn xn ∈ Xn ∩ Xn+1⊥ và

kxnk = 1 Theo tính compact của T, lim

n→∞T xn sẽ tồn tại và hữu hạn Do

đó theo Định lý Pythagore, với mọin ∈ N, ta có

kT xnk2 = k(T − λI)xn+ λxnk2

= k(T − λI)xnk2 + |λ|2kxnk2 ≥ |λ|2 > 0

mâu thuẫn với việc tồn tại lim

n→∞T xn < ∞ Ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.2.4 [3] ChoT ∈ B(X) Khi đó

ρ(T ) := {λ ∈ C| T − λI là đơn ánh, (T − λI)−1 ∈ B(X)}

được gọi là tập giải củaT và σ(T ) := C\ ρ(T ) được gọi là phổ củaT

Định lý 2.2.5 [3] Giả sử T : X → X là toán tử compact Khi đó ta có các tính chất sau

(i) Nếudim X = ∞thìσ(T ) = {0} ∪ {λ ∈ C| λlà giá trị riêng của T }

(ii) Nếu dim X < ∞thì σ(T ) = {λ ∈ C| λlà giá trị riêng của T }

(iii) Mỗi giá trị riêng khác không củaT đều có bội hữu hạn.

(iv) T có không quá đếm được số giá trị riêng và dãy các giá trị riêng này có điểm tụ bằng0.

Chứng minh.

(i) Ta lấy (en)n∈N là một dãy trực chuẩn trong X ( nghĩa là hei, eji = 0 vớimọii 6= j và kenkn∈N = 1 ) Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng dãy(en)n∈N hội tụyếu tới0khin → ∞ Thật vậy, lấyT0 là phiếm hàm tuyến tính liên tục đi

từ không gian HilbertX vào trường số K (K = R hoặc C) Áp dụng Định

lý Riesz đã đề cập ở chương trước, ta có biểu diễnT0en = hen, ai, vớialàmột vectơ cho trước trongX thỏa mãnkT0k = kak Lại có, theo bất đẳngthức Bessel trong không gian Hilbert, ta có

|ha, eni|2 hội tụ Do đó số hạng tổng quát của chuỗi

|ha, eni|2 sẽ hội tụ về 0trên trường K, tức là ha, eni cũng hội tụ về0trêntrường K Vì thế, dãy(T0en)n∈N hội tụ về0trên trường số K Như vậy vớimọia ∈ X thì ha, eni → ha, 0ikhin → ∞ Do đó theo định nghĩa về sựhội tụ yếu ta suy ra dãy(en)n∈Nhội tụ yếu tới 0

Vì T compact và theo chứng minh trên (en)n∈N hội tụ yếu tới 0 nên

lim

n→∞T en = 0 Theo định nghĩa của phổ thì rõ ràng0 ∈ σ(T )

Tiếp theo, giả sử0 6= λ ∈ C vàλkhông là giá trị riêng củaT Khi đó theo

Bổ đề 2.2.3 ở trên,T − λI : X → X sẽ là một song ánh và bị chặn Theo

hệ quả của Định lý Banach về ánh xạ mở, ta suy ra(T − λI)−1 : X → X

cũng bị chặn Hơn nữa, ánh xạ này tuyến tính nên(T − λI)−1 ∈ B(X)

Suy raλ ∈ ρ(T ) Vì vậy ta có điều cần chứng minh

(ii) Do dim X < ∞ nên dim ImT = dim R(T ) < ∞, nghĩa là T là toán

tử có hạng hữu hạn Theo định nghĩa của tập giải thì ρ(T ) bao gồm cácgiá trị λ ∈ C sao cho T − λI là đơn ánh, điều này tương đương với

N (T − λI) = {0} Do đó phổσ(T ) sẽ là tập hợp các giá trịλ thỏa mãn

N (T − λI) 6= {0} Vì vậy σ(T ) = {λ ∈ C : λlà giá trị riêng của T }

(iii) Lấy0 6= λ ∈ C là một giá trị riêng của T Giả sửdim N (T − λI) = ∞.Khi đó ta lấy (en)n∈N là một hệ trực chuẩn củaN (T − λI) Theo chứng

minh phần (i) thì lim

n→∞T en = 0.Tuy nhiên từ cách chọn dãy(en)n∈Nthì (T − λI)en = 0hayT en = λen

Do đó với mọin ∈ N, ta có kT enk = kλenk = |λ|kenk = |λ| > 0,điềunày mâu thuẫn với lập luận ở trên Vậydim N (T − λI) < ∞

(iv) Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử rằng tồn tại một

dãy(λn)n∈Ngồm các giá trị riêng củaT sao cho lim

n→∞λn = λ 6= 0 Ta lấy

(en)n∈Nlà một dãy trực chuẩn gồm các vectơ riêng tương ứng với dãy giá

trị riêng(λn)n∈N.

VìT compact và dãy (en)n∈N bị chặn nên dãy(T en)n∈Nhội tụ Mặt khác

kT en− T emk2 = kλnen − λmemk2 = |λn|2 + |λm|2.Áp dụng bất đẳngthức Cauchy ta có

kT en − T emk2 ≥

λm + λn2

2

,

suy ra lim

m,n→∞kT en− T emk2 ≥ |λ|2 > 0.Suy ra dãy(T en)n∈Nkhông hội

tụ, điều này mâu thuẫn Vì vậy ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.2.6 [3] Giả sửT : X → X là một toán tử tự liên hợp (T = T∗) Khi đó

(i) hT x, xi ∈ R với mọix ∈ X

(ii) Mọi giá trị riêng củaT đều là số thực.

Định lý 2.2.7 [3] Giả sửT: X → X là một toán tử compact tự liên hợp Khi

đó ít nhất một trong các giá trịkT k, −kT kphải là một giá trị riêng củaT.

(i) hT x, xi ∈ R với mọix ∈ X

(ii) Mọi giá trị riêng của< /b>T đều số thực.

Định lý 2.2.7 [3] Giả sửT: X → X là... là toán tử compact tự liên hợp Khi

đó giá trịkT k, −kT kphải giá trị riêng của< /i>T.