Thông tin tóm tắt về những đóng góp mới của luận văn thạc sĩ: Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình Elliptic suy biến phi tuyến.

Với các lí do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là “Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến”.. Kết q[r]

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán học, Họcviện Khoa học và Công nghệ, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH.Nguyễn Minh Trí Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túccủa thầy trong suốt quá trình thực hiện đề tài đã giúp tác giả trưởngthành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Học viện, Phòng Đàotạo Sau đại học, Khoa Toán học và các thầy giáo, cô giáo của ViệnToán học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020

Tác giả

Hà Đức Thái

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫncủa GS TSKH Nguyễn Minh Trí Trong quá trình nghiên cứu vàhoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trongluận văn là trung thực và đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020

Tác giả

Hà Đức Thái

Mục lục

1.1 Không gian Lp và các bất đẳng thức 8

1.2 Không gian S1p(Ω) 10

1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin 12 2 Tính nhiều nghiệm của bài toán biên elliptic suy biến 20 2.1 Đặt bài toán 20

2.2 Chứng minh định lý 22

2.3 Định lý 44

2.4 Ví dụ 47

Tài liệu tham khảo 50

Lời mở đầu

Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứuđầu tiên trong các công trình của J D’Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707 - 1783), D Bernoulli (1700 - 1782), J Lagrange (1736 -1813), P Laplace (1749 - 1827), S Poisson (1781 - 1840) và J Fourier(1768 - 1830), như là một công cụ chính để mô tả cơ học cũng như

mô hình giải tích của Vật lí Vào giữa thế kỷ XIX với sự xuất hiệncác công trình của Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàmriêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toánhọc Cuối thế kỷ XIX, H Poincaré đã chỉ ra mối quan hệ biện chứnggiữa lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toánhọc khác Sang thế kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàmriêng phát triển vô cùng mạnh mẽ nhờ có công cụ giải tích hàm, đặcbiệt là từ khi xuất hiện lí thuyết hàm suy rộng do S L Sobolev và

Có một số lớp phương trình, trong đó có lớp phương trình ellipticsuy biến, ở một khía cạnh nào đó cũng có một số tính chất giốngvới phương trình elliptic Tuy nhiên các kết quả đạt được cho cácphương trình phi tuyến elliptic vẫn còn ít, chưa đầy đủ Với các lí

do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn củamình là “Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biêncho phương trình elliptic suy biến phi tuyến” Kết quả củaluận văn được trình bày dựa trên bài báo của Dương Trọng Luyện và

Nguyên Minh Trí [D T Luyen and N M Tri, Infinitely many tions for a class of perturbed degenerate elliptic equations involv-ing the Grushin operator,Complex Variables and Elliptic Equations

solu-2020, doi: 10.1080/17476933.2020.1730824]

Nội dung của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, định lý được sửdụng trong luận văn và trình bày về phương trình elliptic suy biếndạng Grushin

Chương 2 Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết phầnchứng minh các bổ đề và định lý kết quả chính trong bài báo “In-finitely many solutions for a class of perturbed degenerate ellipticequations involving the Grushin operator"

Tôi hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho nhữngngười quan tâm đến lĩnh vực này Tuy nhiên, với phạm vi thời gian

và kiến thức của tôi có hạn, luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót.Kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô và các bạnđồng nghiệp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản vềkhông gian Lp, không gian Sobolev có trọng và định lý nhúng trong.Chương này gồm ba phần:

- Phần thứ nhất: Trình bày không gian Lp vá một số bất đắngthức liên quan đến không gian Lp.

- Phần thứ hai: Trình bày không gian Sobolev có trọng và định lýnhúng

- Phần thứ ba: Trình bày phương trình elliptic suy biến chứa toán

tử Grushin

1.1 Không gian Lp và các bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho Ω là một miền đo được theo nghĩaLebesgue trong Rn. Họ các hàm số f : Ω → R có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) của mođun khả tích trên Ω, nghĩa là R

Ω

|f |pdµ < +∞ được gọi là không gian Lp(Ω, µ) hay Lp(Ω).

Ví dụ 1.1.1 [1] Cho Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên trơn,

µ là độ đo thể tích, nghĩa là

µ(A) = V ol(A), ∀A ⊂ R3.Khi đó với 1 ≤ p < +∞ thì không gian các hàm đo được Lp(Ω) = {f : Ω → R} thỏa mãn R

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức H¨older) ChoΩ ⊂ Rn là miền bị chặnvới biên trơn,p, q ∈ R thỏa mãn 1 < p, q < +∞, 1p+1q = 1 và f ∈

(i) f1f2 fn ∈ Lr(Ω).

(ii) ||f1f2 fn||Lr (Ω) ≤ ||f1||Lp1 (Ω) ||fn||Lpn (Ω).

Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Young) Cho Ω ⊂ Rn là miền bịchặn với biên trơn và các số thực p1, p2, , pn ∈ (1, +∞) thỏamãn

bị chặn với biên trơn và số thực p ≥ 1 thì ∃c > 0 sao cho

1.2 Không gian S1p(Ω)

Cho Ω ⊂ RN 1 ×RN 2 là miền bị chặn với biên trơn và số thực α > 0.Định nghĩa 1.2.1 (Xem [2]) Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa tậptất cả các hàm u ∈ Lp(Ω) sao cho ∂x∂u

Nếu p = 2 chúng ta định nghĩa tích vô hướng trong S1p(Ω) nhưsau:

Dễ dàng chứng minh được S1p(Ω) và S1,0p (Ω) là các không gianBanach, các không gian S12(Ω) và S1,02 (Ω) là các không gian Hilbert

Từ Mệnh đề 4 trong [8] chúng ta có định lí nhúng sau:

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử Nα = N1+ N2(1 + α) > 2 Khi đó phépnhúng

S1,02 (Ω) ,→ L2∗α (Ω) , trong đó 2∗α = 2Nα

Nα − 2 ,

là liên tục Hơn nữa, phép nhúng S2

1,0(Ω) ,→ Lq (Ω) là compactvới mỗi q ∈ [1, 2∗α)

Nhận xét 1.2.1 Chúng ta có hai chuẩn kukS2

là tương đương

Định nghĩa 1.2.2 Cho H và H là các không gian Banach, O(u)

là lân cận của điểm u Ánh xạ E : O(u) ⊂ H → H được gọi

là khả vi Fréchet tại điểm u nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ

T ∈ L (H,H) sao cho:

kE(u + h) − E(u) − T hkH = o(khkH), h > 0,

với mọi h nằm trong lân cận của điểm 0 Khi đó T gọi là đạohàm Fréchet của E tại u và ký hiệu là DE(u) = T

Định lý 1.2.1 Giả sử E là ánh xạ khả vi Fréchet trên khônggian Banach H cùng với không gian đối ngẫu H0, đối ngẫu giữa

H và H0 là h., i : H × H0 −→ R, và giả sử DE : H −→ H0định nghĩa là đạo hàm Fréchet của E Khi đó đạo hàm của E tại

u theo hướng v ký hiệu bởi hv, DE(u)i = DE(u)(v)

1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán

tử Grushin

Năm 1970, nhà toán học người Nga V V Grushin đã đưa ra toán tử

Gα := ∆x+|x|2α∆y với (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 +N 2, N1, N2 ≥ 1, α ∈ Z+trong [7], đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưngkhông là elliptic Nhà toán học V V Grushin đã chứng minh đượcnếu Gαu là hàm khả vi vô hạn trong miền Ω thì u cũng khả vi vôhạn trong miền Ω và các tính chất địa phương của Gα được tác giảnghiên cứu khá đầy đủ trong [7] Trong mục này chúng tôi trình bày

các khái niệm cơ bản về phương trình elliptic suy biến chứa toán tửGrushin.

Dα = (−i)|α| ∂

|α|

∂x1α1∂x2α2 ∂xnαn.Hàm số

Định nghĩa 1.3.1 Toán tử P (x, D) được gọi là elliptic tại x ∈

Ω nếu ∀ζ ∈ Rn thì Pm(x, ζ) ≤ 0 và Pm(x, ζ) = 0 ⇐⇒ ζ = 0.Toán tử P (x, D) được gọi là elliptic trên miền Ω nếu nó elliptictại ∀x ∈ Ω.

là toán tử elliptic trong Ω.

Nhưng Gα(x, y, D) không elliptic tại các điểm dạng (0, y).

Do đó toán tử Gα(x, y, D) elliptic trong miền Ω\{(0, y)} vàkhông elliptic trong miền {(0, y) |(0, y) ∈ Ω}.

Ví dụ 1.3.3 Xét toán tử Pα,β(x, y, z, D) = ∆x+∆y+|x|2α|y|2β∆z,trong đó x ∈ RN 1, y ∈ RN 2, z ∈ RN 3, α, β ≥ 0, α + β > 0 có biểu

ζ0 ∈ Rn sao cho Pm(x0, ζ0) = 0.

Các toán tử Gα và Pα,β trong ví dụ 1.3.2, ví dụ 1.3.3 là các toán

tử elliptic suy biến trong Ω

Định lý 1.3.1 Cho Ω là miền bị chặn với biên trơn trong RN.Ánh xạ f : Ω → R là ánh xạ Carathéodory (tức là f (., ζ) đo được

∀ζ ∈ R và f (x, y, ) liên tục với mọi (x, y) ∈ Ω) thỏa mãn

|f (x, y, ζ)| ≤ f1(x, y) + f2(x, y)|ζ|θ, hầu khắp nơi trên Ω × R,

trong đó f1(x, y) ∈ Lp1(Ω), f2(x, y) ∈ Lp2(Ω), p1

p1−1 ≤ 2∗

α, θ > 0, (θ + 1) p2

p2−1 ≤ 2∗

α, p1 > 1, p2 ≥ 2∗α

2 ∗

α −θ−1.Khi đó ta có Φ1(u) ∈ C1(S1,02 (Ω),R) và

Chứng minh Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau.

Bước 1 Ta chứng minh Φ1 có đạo hàm theo nghĩa Gâteaux Thật

vậy, cho u, v là hai hàm bất kỳ trong S1,02 (Ω), với mọi (x, y) ∈

Ω, t ∈ R và 0 < |t| < 1 theo Định lý giá trị trung bình sẽ tồn tại

≤ C||f1||Lp1 (Ω)||v||S2

1,0 (Ω),Z

Ω

|v(x, y)|(θ+1)p2p2−1 dxdy

 p2−1 (θ+1)p2

≤ C||f2||Lp2 (Ω)||u||θS2

1,0 (Ω)||v||S2

1,0 (Ω),Z

≤ ||f2||Lp2 (Ω)||v||θ+1S2

1,0 (Ω).

∈ L1(Ω).

Nên theo Định lý giá trị trung bình và Định lý Lebesgue thì tồn tại

đạo hàm Gâteaux của Φ1 tại u và

DΦ1(u)(v) =

Z

Ω

f x, y, u(x, y)
v(x, y)dxdy, ∀v ∈ S1,02 (Ω).

Bước 2 Ta chứng minh đạo hàm Gâteaux của Φ1 chính là đạo hàm

Fréchet Tức là ta sẽ chỉ ra đạo hàm Gâteaux của Φ1 sẽ liên tục tại

u trong S2

1,0(Ω)
∗

-topology Thật vậy, giả sử un → u trong S2

1,0(Ω)theo Mệnh đề 1.2.1 thì dãy {un}∞n=1 chứa một dãy con để cho đơn

giản ta vẫn ký hiệu là {un}∞n=1 thỏa mãn

||v||H1

0 (Ω).

≤ C

f x, y, un(x, y)

2∗αp2p2θ+2∗α

+ C

f x, y, u(x, y)

2∗αp2p2θ+2∗αdxdy = 0.

Chương 2

Tính nhiều nghiệm của bài toán

biên elliptic suy biến

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về tính nhiều nghiệm củabài toán biên elliptic suy biến chứa toán tử Grushin Các kết quả củachương này đư trình bày trong bài báo “D T Luyen and N M Tri,Infinitely many solutions for a class of perturbed degenerate el-liptic equations involving the Grushin operator,Complex Variablesand Elliptic Equations 2020, doi: 10.1080/17476933.2020.1730824."

Ánh xạ f : Ω × R → R là ánh xạ Carathéodory thỏa mãn cácđiều kiện sau:

ˆ

F (x, y, ζ) ≥ C2(|ζ|ρ − 1), ∀(x, y, ζ) ∈ Ω × R,trong đó F (x, y, ζ) = ˆ 1

|g(x, y, ζ)| ≤ g1(x, y) + g2(x, y)|ζδ h.k.n trên Ω × R.

Định nghĩa 2.1.1 Hàm u ∈ S1,02 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của

bài toán (2.1) nếu đẳng thức

thỏa mãn với mọi ϕ ∈ C0∞(Ω)

Định lý 2.1.1 Giả sử f, g là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện

(T1)-(T5), (G) và

2pp2

Nα(pp2 − 2p2 + 2) − 1 > ρ

ρ − δ − 1 .Khi đó bài toán (2.1) có một dãy nghiệm yếu không bị chặn trong

với mọi v ∈ S1,02 (Ω), trong đó dX := dxdy. Từ Định nghĩa 2.1.1,

chúng ta có điểm tới hạn của hàm Φ là nghiệm yếu của bài toán

(2.1) Do vậy để chứng minh bài toán (2.1) có vô số nghiệm chúng ta

đi chứng minh phiếm hàm Φ có vô số điểm tới hạn Để chứng minh

điều đó chúng ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1 Chúng ta giả sử các hàm f, g thỏa mãn điều kiện(T2), (T5), (G) và u là điểm tới hạn của hàm Φ Khi đó tồn tạihằng số C3 thỏa mãn

Z

Ω

|u(x, y)|ρdX ≤ C3(Φ2(u) + 1)12.

Chứng minh Vì u là điểm tới hạn của hàm Φ nên Φ0(u) = 0. Dovậy chúng ta có

Z

Ω

|u|(δ+1)p4p4−1 dX

p4−1 p4.

Bởi điều kiện (G), áp dụng định lý nhúng trong không gian Lp và

− C6. (2.6)

Nếu ||u||

L

(δ+1)p4 p4−1 (Ω)

≤ 1 Khi đó từ (2.6) ta cóΦ(u) ≥ C2

Nếu ||u||

L

(δ+1)p4 p4−1 (Ω)

≤ C5 + p4 − 1

p4Z

L ρ (Ω) ≤ ||u||ρLρ (Ω) =

Z

Ω

|u|ρdX.

Do vậy tồn tại hằng số C3 > 0 không phụ thuộc vào u sao cho

Z

Ω

|u|ρdX ≤ C3Φ2(u) + 1

1 2.

Tiếp theo cho χ ∈ C∞(R,R) thỏa mãn

.

Ta đặt

κ(u) = 2AΦ2(u) + 1

1 2, ∀u ∈ S1,02 (Ω)

Theo mệnh đề 2.2 trong [3] thì Φ(u) khả vi Fre’chet và

Φ

0: S1,02 (Ω) → S1,02 (Ω)

Bổ đề 2.2.2 [4] Giả sử f thỏa mãn các điều kiện (T1), (T2), (T5),

và g thỏa mãn điều kiện (G1), u ∈ supp Ψ thì

Z

Ω

G(x, y, u)dX ≤ C8|Φ(u)|δ+1ρ + |Φ(u)|1ρ + 1.

Chứng minh Vì g thỏa mãn điều kiện (G1) nên tương tự chứngminh của bổ đề trên ta có

L

p3 p3−1+||g2||Lp4 (Ω)||u||δ+1

≤ C9|Φ(u)| + 1.

=⇒ ||u||ρ ≤ C9(|Φ(u)| + 1)

1 ρ.Như vậy ta có

Bổ đề 2.2.3 [4] Giả sử f thỏa mãn các điều kiện (T1), (T2), (T5),

và g thỏa mãn điều kiện (G1), thì

(A1) ∃C10 > 0 sao cho ∀u ∈ S2

Chứng minh Ta chứng minh điều kiện (A1), ta có

Ω

G(x, y, u)dX

+ |Ψ (−u)|

Z

Ω

G(x, y, −u)dX

.

Ta xét 4 khả năng có thể xảy ra như sau:

a) Trường hợp 1 : u, −u ∈ supp Ψ.

Theo Bổ đề 2.1.2 ta có

|G(x, y, u)| ≤ C8|Φ(u)|δ+1ρ + |Φ(u)|1ρ + 1 (2.0.8)

Từ định nghĩa của ψ ta có 0 ≤ ψ(u) ≤ 1, do đó

|Φ(u) − Φ(u)| ≤ 2

Z

Ω

G(x, y, u)dX ... 2

Tính nhiều nghiệm tốn

biên elliptic suy biến< /h2>

Trong chương trình bày tính nhiều nghiệm củabài tốn biên elliptic suy biến chứa toán tử Grushin Các kết củachương đư trình. .. data-page="22">

Định nghĩa 2.1.1 Hàm u ∈ S1,02 (Ω) gọi nghiệm yếu của< /p>

bài toán (2.1) đẳng thức

thỏa mãn với ϕ ∈ C0∞(Ω)...

chúng ta có điểm tới hạn hàm Φ nghiệm yếu toán

(2.1) Do để chứng minh toán (2.1) có vơ số nghiệm

đi chứng minh phi? ??m hàm Φ có vơ số điểm tới hạn Để chứng minh