Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất về trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn và đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của các[r]
Trang 1VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-
Quản Thị Hoài Thu
TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2020
Trang 2VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-
Quản Thị Hoài Thu
TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường
Hà Nội – 2020
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Hữu Tiệp và thầy ĐoànTrung Cường Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu
có đều được trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệtại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công
bố trên bất kì một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời camđoan
Hà Nội, tháng 12 năm 2020
Học viên
Quản Thị Hoài Thu
Trang 4Hơn nữa, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số và lýthuyết số, Viện Toán học vì những sự góp ý và tạo điều kiện để tôi hoàn thànhluận văn Đặc biệt, tôi xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Duy Tân vì những sự giúp
đỡ và chỉ dẫn quý báu của thầy
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ
sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin được gửi đến gia đình, người thân và bạn bè đãluôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu
Hà Nội, tháng 12 năm 2020
Học viên
Quản Thị Hoài Thu
Trang 5Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục 3
Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm 7
1.2 Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh 17
2 Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn 25 2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát 25
2.1.1 Bảng đặc trưng của nhómGL(2, q) 27
2.1.2 Bảng đặc trưng của nhómGL(3, q) 35
2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt 43
2.2.1 Bảng đặc trưng của nhómSL(2, q) 43
2.2.2 Bảng đặc trưng của nhómSL(3, q) 48
3 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.1 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53
3.2 Chứng minh của Định lý 3.1.8 đối với nhóm tuyến tính đặc biệt 63 3.3 Một số ví dụ 75
3
Trang 7MỞ ĐẦU
Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là một lĩnh vực trong Đại số có liên hệsâu sắc với nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học Cho V là một không gianvéctơ hữu hạn chiều trên trường F, biểu diễn của một nhómGlà một đồng cấunhóm từGvào nhóm các tự đẳng cấu củaV Nếu ta cố định một cơ sở củaV thìmỗi tự đẳng cấu trênV tương ứng với một ma trận khả nghịch lấy hệ số trên F,hay ta có tương ứng mỗi phần tử của Gvới một ma trận khả nghịch Đặc trưngcủa một nhóm được định nghĩa là một ánh xạ tương ứng mỗi phần tử củaGvớivết của ma trận khả nghịch đó Nếu ta xét F là trường số phức C thì giá trị củacác đặc trưng này nằm trong vành các số nguyên đại số của C Trường giá trịcủa một đặc trưng là một mở rộng trên Q bởi các giá trị của đặc trưng Cho tớibây giờ, còn rất nhiều bài toán và câu hỏi hấp dẫn liên quan đến các đặc trưngcủa một nhóm
Đối với luận văn này, chúng tôi hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất củatrường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn Trướctiên chúng tôi nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữuhạn như: các nhóm tuyến tính tổng quátGL(2, q), GL(3, q)và các nhóm tuyếntính đặc biệtSL(2, q), SL(3, q) Tiếp theo chúng tôi tập trung tìm hiểu một sốkết quả về trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm
hữu hạn được công bố trong bài báo "I.M Isaacs, M.W Liebeck, G Navarro,
P.H Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị củacác đặc trưng bất khả quy, dựa trên bảng đặc trưng của một số nhóm được tìmhiểu
Nội dung của luận văn gồm này gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của biểu diễn vàđặc trưng của nhóm hữu hạn để chuẩn bị cho các chương tiếp theo Một số định
Trang 8lý quan trọng trong chương này là Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) và Định lýthuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói về mối quan hệ giữa đặc trưng củamột nhóm với các nhóm con của nó.
Chương 2: Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn
Chương này gồm 2 mục lớn, trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của một
số nhóm hữu hạn Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảngđặc trưng của các nhóm tuyến tính tổng quát: nhómGL(2, q), nhómGL(3, q).Bảng đặc trưng của các nhóm này được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưngcảm sinh từ nhóm con và được dựa theo các kết quả của R Steinberg Ở mụcthứ hai, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của các nhóm tuyếntính đặc biệt: nhómSL(2, q), nhómSL(3, q) Bảng đặc trưng của các nhóm nàyđược xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng hạn chế từ các nhómGL(2, q),
GL(3, q)và được dựa theo các kết quả của Simpson-Frame
Chương 3: Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ
Trong chương này, chúng tôi tập trung tìm hiểu một số tính chất của trường giátrị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ được nghiên cứu bởi nhóm các nhà Toánhọc Isaacs-Liebeck-Navarro-Tiệp Một trong những kết quả độc đáo về trườnggiá trị của các đặc trưng này là Định lý 3.1.4 Ở mục thứ hai, chúng tôi trình bàychứng minh của Định lý 3.1.8, chỉ xét đối với nhóm tuyến tính đặc biệt Định lý3.1.8 cho ta một kết quả quan trọng, là một công cụ được sử dụng trong chứngminh của Định lý 3.1.4 Trong mục thứ ba, chúng tôi đưa ra một số ví dụ tínhtoán trường giá trị của đặc trưng bất khả quy, dựa trên các nhóm đã được tìmhiểu
Trang 9Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kiến thức cơ bản vềbiểu diễn và đặc trưng của nhóm hữu hạn, các kết quả chính như Bổ đề Schur,Định lý Clifford và Định lý thuận nghịch Frobenius Các kiến thức này được sửdụng cho các chương tiếp theo và được tham khảo theo các tài liệu [1], [2].Trong luận văn này, ta luôn ký hiệuGlà một nhóm hữu hạn
1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm
Ký hiệu GL(n,F) là nhóm các ma trận khả nghịch cỡn × n lấy hệ số trênmột trường F Nếu F là trường hữu hạn chứa q phần tử thì GL(n,F) được kýhiệu làGL(n, q)
Định nghĩa 1.1.1 Một biểu diễn của nhómG trên F là một đồng cấu nhóm ρ
từGvào nhómGL(n,F)với số nguyênn > 1 Sốnđược gọi là bậc củaρ
Ví dụ 1.1.2. 1 Cho G là nhóm hữu hạn bất kỳ, đồng cấu nhóm ρ : G →
C, g 7→ 1là một biểu diễn bậc1của nhómG Biểu diễn này còn được gọi
là biểu diễn tầm thường củaG
2 Nhóm D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1 có một biểu diễn bậc hai
7
Trang 10Định nghĩa 1.1.3 Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F Khi
đó V được gọi là một FG-môđun nếu trên V có một phép nhân G × V →
V, (g, v) 7→ vg thỏa mãn các điều kiện sau
2 Cho V là C-không gian véctơ 2 chiều với một cơ sở {v1, v2} và nhóm
D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1 TrênV định nghĩa phép nhân
v1a := v2, v2a := −v1;
v1b := v1, v2b := −v2
V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CD8-môđun
Trang 11Từ định nghĩa của FG-môđun, nếu ta xét một ánh xạ trên V xác định bởi
ϕg : v 7→ vg thìϕg là một ánh xạ tuyến tính trênV Khi đó, cố định một cơ sở
BcủaV, ϕg có ma trận biểu diễn tương ứng là ma trận vuông lấy hệ số trên F,
ma trận này ta đặt là[g]B Khi đó, ánh xạ g 7→ [g]B cũng là một biểu diễn củanhómG
Định nghĩa 1.1.5 ChoV là một FG-môđun Một không gian véctơ conW của
V được gọi là một FG-môđun con của V nếu wg ∈ W với mọi w ∈ W và
g ∈ G
Định nghĩa 1.1.6 Một FG-môđunV được gọi là bất khả quy nếuV 6= 0vàV
không có bất kỳ môđun con nào khác ngoại trừ0và chính nó
Nếu FG-môđun V có ít nhất một FG-môđun con khác 0 và khác chính nóthìV được gọi là khả quy.
Ví dụ 1.1.7 Cho nhóm xyclic C3 = a | a3 = 1 Giả sử V là một F-khônggian véctơ 3 chiều với một cơ sở {v1, v2, v3} Xét phép nhân trên V được chobởi
v1a = v2, v2a = v3, v3a = v1
V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một FC3-môđun V cómột FC3-môđun con W sinh bởiv1+ v2 + v3 Hơn nữa,W còn là FC3-môđunbất khả quy vìW có chiều bằng1
Định lý 1.1.8 (Định lý Maschke) [2, Định lý 8.1] Cho F = R hoặc C vàV là
Định lý Maschke nói chung là không đúng nếu F là trường có đặc sốp Thậtvậy, cho nhóm xyclic G = Cp = ha | ap = 1i và Fp là trường hữu hạn gồm p
phần tử Xét FpG-môđun V với một cơ sở{v1, v2}và
v1aj = v1, v2aj = jv1 + v2,
Trang 12trong đó0 ≤ j ≤ p − 1 Rõ ràng,U = hv1i là một FpG-môđun con củaV Giả
sử tồn tại một FpG-môđun con1chiều W củaV sao cho V = U ⊕ W, giả sử
W = hλ1v1 + λ2v2i Khi đó (λ1v1 + λ2v2)aj = k(λ1v1 + λ2v2) với k ∈ F×p.Mặt khác,
trong đó cácUi là các CG-môđun con bất khả quy của V
Bổ đề Schur cho ta một số kết quả về biểu diễn của nhóm giao hoán
Bổ đề 1.1.9 (Bổ đề Schur) [2, Bổ đề 9.1] Cho V và W là hai CG-môđun bất khả quy.
hoặcϕ(v) = 0với mọiv ∈ V.
Một kết quả quan trọng nhờ Bổ đề Schur được phát biểu như sau
Mệnh đề 1.1.10 [2, Mệnh đề 9.5] Mọi biểu diễn bất khả quy của nhóm giao
Trang 13là các biểu diễn bậc1của nhómG.
Hai phần tửx, y ∈ Gđược gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phần tửg ∈ G
sao cho y = xg := g−1xg Tập hợp tất cả các phần tử trong G liên hợp với x
được ký hiệu là
xG := {xg : g ∈ G}
và được gọi là lớp liên hợp củaxtrong G
Ví dụ 1.1.12 Giả sử G = S3 là nhóm hoán vị bậc 3 Khi đóS3 có đúng 3lớpliên hợp là1G, (1 2)G = {(1 2), (1 3), (2 3)}và (1 2 3)G = {(1 2 3), (1 3 2)}
Mệnh đề 1.1.13 [2, Định lý 12.8] Số phần tử của lớp liên hợp của x ∈ Glà
xG = |G|
|CG(x)|,
Từ bây giờ, ta luôn giả sử F là trường số phức C
Định nghĩa 1.1.14 Giả sửGlà nhóm hữu hạn vàV là một CG-môđun với một
cơ sở làB Khi đó hàm χ : G → C cho bởi
χ(g) = tr[g]B,
được gọi là đặc trưng của nhóm Gtương ứng với CG-môđun V Số chiều củakhông gianV được gọi là bậc của đặc trưngχ
Các đặc trưng có bậc bằng 1 được gọi là đặc trưng tuyến tính Đặc trưng
tương ứng với CG-môđun bất khả quy được gọi là đặc trưng bất khả quy Tập
hợp tất cả các đặc trưng bất khả quy của một nhómGđược ký hiệu làIrr(G).Lưu ý rằng giá trị của χ không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của V nhờtính chất của hàm vết Hơn nữa, giá trị củaχlà bằng nhau tại mọi phần tử thuộccùng một lớp liên hợp Mặt khác, nếu ρ : G → GL(n,C) là biểu diễn của
Trang 14nhómGthì χ(g) = tr(ρ(g))cũng là một đặc trưng của nhóm Gvà tương ứngvới CG-môđun Cn.
Định nghĩa 1.1.15 Choχlà một đặc trưng củaG Khi đó hạt nhân củaχđượcđịnh nghĩa là
Mệnh đề 1.1.17 [2, Mệnh đề 13.15] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G.
χ(g) := χ(g)
chỉ khiχlà bất khả quy.
Sau đây ta có một số tính chất của đặc trưng của nhóm Với g ∈ G bất kỳ,
ký hiệu|g|là cấp của phần tử g trong nhómG
Mệnh đề 1.1.18 [2, Mệnh đề 13.9] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G
Trang 15(1) χ(1) = dimV,
(2) χ(g)là tổng của các căn đơn vị bậc m,
(3) χ(g−1) = χ(g),
(4) χ(g)là số thực nếu g liên hợp vớig−1.
Mệnh đề 1.1.19 [2, Định lý 22.11] Nếuχlà một đặc trưng bất khả quy củaG
thìχ(1) | |G|.
Theo Mệnh đề 1.1.18(2), χ(g) nằm trong vành số nguyên đại số của C vớimọig ∈ G Hơn nữa, mệnh đề sau cho ta một điều kiện để χ(g)là số nguyên
Mệnh đề 1.1.20 [2, Hệ quả 22.6] Cho g là một phần tử có cấp bằng n trong
Nếuχ(g) ∈ Z vàgcó cấp là lũy thừa của một số nguyên tốpthì giá trịχ(g)
có liên hệ với bậc của đặc trưng bởi tính chất như sau
Mệnh đề 1.1.21 [2, Hệ quả 22.27] Cho p là một số nguyên tố Giả sửg ∈ G
choχ(g) ∈Z thì
χ(g) ≡ χ(1) (mod p)
Khái niệm tích vô hướng của hai đặc trưng cho ta một công cụ quan trọng đểxác định tính bất khả quy của một đặc trưng, mối quan hệ giữa một đặc trưngbất kỳ với các đặc trưng bất khả quy
Định nghĩa 1.1.22 Giả sửχ, ψ là các ánh xạ từGvào C Khi đó tích vô hướng
củaχ, ψ được định nghĩa như sau
Trang 16Để ý, nếu χ, ψ là hai đặc trưng của nhómGthì ta có
Định lý 1.1.23 [2, Định lý 14.12] Giả sửχ và ψ là hai đặc trưng bất khả quy
hχ, χi = 1, hχ, ψi = 0
Mặt khác, nhờ tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy, một đặc trưngbất kỳ của một nhóm luôn viết được thành một tổ hợp tuyến tính của các đặctrưng bất khả quy với hệ số là các số nguyên không âm
Định lý 1.1.24 [2, Định lý 14.17] Giả sử Irr(G) = {χ1, , χk} và ψ là một đặc trưng bất kỳ của G Khi đóψ có thể được viết thành
Trang 17Các đặc trưng χi có hệ sốdi 6= 0 trong sự phân tích trên được gọi là thành
sau, được áp dụng nhiều trong việc tính toán các đặc trưng bất khả quy của mộtnhóm
Hệ quả 1.1.25 [2, Định lý 14.20] Một đặc trưngχ của nhómGlà bất khả quy khi và chỉ khihχ, χi = 1.
Mặt khác, số lượng các đặc trưng bất khả quy và số các lớp liên hợp của mộtnhóm là bằng nhau [2, Định lý 15.3] Tính chất thú vị này cho ta thông tin vềbảng đặc trưng của một nhóm
Định nghĩa 1.1.26 Giả sử Irr(G) = {χ1, , χk} và g1, , gk là đại diệncủa các lớp liên hợp củaG Bảng đặc trưng của nhómGlà một ma trận vuông
cỡk × k mà giá trị tại mỗi vị trí(i, j)là χi(gj)
Định nghĩa 1.1.27 Trường giá trị của một đặc trưngχ là mở rộng trên Q bởicác giá trị của đặc trưngχ, ký hiệu là Q(χ)
Trang 182 −
√ 5 2
χ5 3 −1 0 12 −
√ 5 2
1
2 +
√ 5 2
Ở đây, trường giá trị củaχ4 là
Q(χ4) = Q 3, −1, 0, 1
2 +
√5
2 ,
1
2 −
√52
Trang 19ω ∈ Ωlàm cơ sở và ký hiệu không gian véctơ này là CΩ Các véctơ thuộc CΩ
Giả sử π là đặc trưng hoán vị tương ứng với CG-môđun CΩ Cố định một
cơ sở{ω ∈ Ω}của CΩ, khi đó giá trị củaπ tạig ∈ Gcho bởi
π(g) = |fixΩ(g)|
trong đófixΩ(g) = {ω ∈ Ω | ωg = ω}
1.2 Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh
Việc tạo ra những biểu diễn và đặc trưng mới của một nhóm là rất quan trọngtrong lý thuyết biểu diễn Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh là hai cáchtạo ra đặc trưng mới rất hữu ích cho mục đích này
Cho H là nhóm con của nhóm G Nếu V là một CG-môđun thì V cũng
là một CH-môđun Vì các điều kiện (1)-(5) để V là một CH-môđun trongĐịnh nghĩa 1.1.3 cũng được thỏa mãn với mọi g, h ∈ H Ký hiệu V ↓ H là
CH-môđun tương ứng vàV ↓ H được gọi là hạn chế củaV lênH
Định nghĩa 1.2.1 Nếuχlà đặc trưng tương ứng với CG-môđunV thì đặc trưngcủa nhómH tương ứng với CH-môđunV ↓ H chính là hạn chế củaχtrên các
Trang 20phần tử củaH Đặc trưng này được gọi là đặc trưng hạn chế củaχxuống H và
ký hiệuχ ↓ H
Tập hợp tất cả các thành phần bất khả quy có mặt trong sự phân tích của
χ ↓ H được ký hiệu làIrr(χ ↓ H)
ChoN G vàθ ∈ Irr(N ) Vớig ∈ G, hàm θg : N → C được cho bởi
Từ định nghĩa trên, ta thấy nhómGtác động liên hợp lên tập Irr(N ) Giả sử
H ≤ G, khi đóθđược gọi là H-bất biến nếuθ bất biến dưới tác động liên hợpcủa mọi phần tử thuộcH
Định lý Clifford dưới đây cho ta một số thông tin về đặc trưng hạn chế củamột nhóm xuống nhóm con chuẩn tắc của nó
Định lý 1.2.3 (Định lý Clifford) [1, Định lý 6.5] Giả sử N là một nhóm con
Ký hiệu θ1, , θt là các đặc trưng bất khả quy khác nhau củaN liên hợp với
Trang 21Sau đây là một số kết quả về đặc trưng mở rộng, các kết quả này sẽ được sửdụng nhiều trong Chương 3.
Mệnh đề 1.2.5 [1, Hệ quả 11.22] ChoN Gsao choG/N là nhóm xyclic và
θ ∈ Irr(N )là G-bất biến Khi đóθ mở rộng được lên nhómG.
Mệnh đề 1.2.6 [1, Hệ quả 11.29] ChoN G,χ ∈ Irr(G)và θ ∈ Irr(χ ↓ N ) Khi đóχ(1)/θ(1) là ước của[G : N ].
Mệnh đề 1.2.7 [1, Hệ quả 11.31] ChoN Gvàθ ∈ Irr(N )là một đặc trưng
Định lý 1.2.8 [3, Định lý 5.6] Cho N G, θ ∈ Irr(N ) là đặc trưng G-bất
(i) Z = Ker(π) ⊂ Z(H),
Đặc trưng cảm sinh của một nhóm từ các đặc trưng của nhóm con của nócũng là một công cụ để tạo ra các đặc trưng mới Cụ thể các môđun và đặc trưngcảm sinh được định nghĩa như sau
Định nghĩa 1.2.9 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G và U là một CHmôđun con của đại số nhóm CH Nếu xemU là một không gian véctơ con củađại số nhóm CGvà xét không gian véctơ con sinh bởi tất cả các phần tử
-U (CG) = {ug, u ∈ U, g ∈ G}
trong CG thì không gian véctơ trên có cấu trúc của một CG-môđun và đượcgọi là CG-môđun cảm sinhtừU Ký hiệuU ↑ G
Trang 22Định nghĩa 1.2.10 Giả sử ψ là đặc trưng tương ứng với CH-môđun U Khi
đó đặc trưng tương ứng với CG-môđun cảm sinh U ↑ Gđược gọi là đặc trưng
thành phần bất khả quy củaGcó mặt trong sự phân tích của ψ ↑ G
Quan hệ giữa đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh được mô tả ngắn gọntrong định lý rất quan trọng sau đây
Định lý 1.2.11 (Định lý thuận nghịch Frobenius) [2, Định lý 21.16] Giả sử
H ≤ Gvà χ, ψlần lượt là các đặc trưng tương ứng vớiG,H Khi đó
hψ ↑ G, χiG = hψ, χ ↓ HiH
Giả sử N G,θ ∈ Irr(N ) vàχ ∈ Irr(G|θ) Theo Định lý ta có 1.2.11,
hθ ↑ G, χiG = hθ, χ ↓ N iN 6= 0 Khi đó, χ còn được gọi là nằm trên θ và θ
được gọi là nằm dướiχ
Mệnh đề 1.2.12 [2, Hệ quả 21.20] Nếu ψ là một đặc trưng của nhóm con
H ≤ Gthì bậc củaψ ↑ Gbằng
(ψ ↑ G)(1) = |G|
|H|ψ(1).
Kết quả sau được xây dựng dựa trên Định lý thuận nghịch Frobenius và được
sử dụng rất nhiều để tính giá trị của các đặc trưng cảm sinh
Mệnh đề 1.2.13 [2, Mệnh đề 21.13] Cho H ≤ G, ψ là một đặc trưng của nhóm H vàx ∈ G.
G)(x) = 0.
(2) NếuxG có các phần tửx1, x2, , xm nằm trong nhómH và các phần tử
Trang 23x1, x2, , xm đôi một chứa trong các lớp liên hợp khác nhau của H thì
Tiếp theo, ta nói đến cách xây dựng tích hai đặc trưng của một nhóm Cho
V là CG-môđun với một cơ sở là v1, v2, , vm và W là CG-môđun với một
cơ sở là w1, w2, , wn Với mọi1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nvà với mọi g ∈ G, tađịnh nghĩa phép nhân trên V ⊗
Giả sử χ, ψ lần lượt là đặc trưng của nhómG tương ứng với các môđun V,
W Đặt χψ là đặc trưng tương ứng với CG-môđun V ⊗
C
W Khi đó giá trị của
χψ được cho như trong mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.14 [2, Mệnh đề 19.6](χψ)(g) = χ(g)ψ(g)
Bây giờ, ta sẽ trình bày một số kết quả về đặc trưng cảm sinh của một nhóm.Giả sử N G và θ ∈ Irr(N ) Gọi T là nhóm con ổn định của θ đối với tácđộng liên hợp củaGlênIrr(N ) (Định nghĩa 1.2.2) Khi đóT là một nhóm concủaGvà chứaN
Định lý 1.2.15 [1, Định lý 6.11] ChoN Gvà θ ∈ Irr(N ) Khi đó
Định lý 1.2.16 [1, Định lý 6.16] Cho N G, λ, θ ∈ Irr(N ) là các đặc trưng
Trang 24Hệ quả 1.2.17 [1, Hệ quả 6.17] ChoN Gvà χ ∈ Irr(G)sao cho χ ↓ N =
θ ∈ Irr(N ) Khi đó ánh xạ β 7→ βχtừIrr(G/N )vàoIrr(G|θ) là song ánh.
Cho một nhóm con chuẩn tắc N G Mỗi biểu diễn ρcủa G/N đều tươngứng với một biểu diễn ˜ của G qua đồng cấu pr : G → G/N Do đó mỗiđặc trưng χ của G/N đều tương ứng với một đặc trưng χ˜ của G và thỏa mãn
˜
χ = χ ◦ pr Đặc trưng χ˜ xây dựng như vậy được gọi là đặc trưng nâng của χ
lên nhóm G
Định lý 1.2.18 [2, Định lý 17.3] Giả sử N G Khi đó ta có tương ứng 1-1
thỏaN ≤ Ker(χ).
Ký hiệu [G, G] là nhóm con hoán tử của G sinh bởi tất cả các phần tử códạng [a, b] := aba−1b−1 (a, b ∈ G) của nhóm G Do [G, G] chứa trong hạtnhân của các đặc trưng tuyến tính nên theo Định lý 1.2.18, ta có một tính chất
về số lượng các đặc trưng tuyến tính của một nhóm được phát biểu như sau
Định lý 1.2.19 [2, Định lý 17.11] Tất cả các đặc trưng tuyến tính của nhómG
Mệnh đề 1.2.20 [2, Mệnh đề 17.14] Giả sửχlà một đặc trưng của nhómGvà
χλ(g) := χ(g)λ(g)
quy.
Nếu đặc trưng χ trong Mệnh đề 1.2.20 là một đặc trưng tuyến tính thì χλ
cũng là một đặc trưng tuyến tính Ta thấy rằng tập các đặc trưng tuyến tính của
Trang 25Glập thành một nhóm với phép nhân hai đặc trưng, phần tử đơn vị là đặc trưngtầm thường và phần tử nghịch đảo củaχlà χ(Mệnh đề 1.1.17).
Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G tương ứng với biểu diễn ρ Khi đóánh xạdetχ : G → C× cho bởi
detχ(g) := det(ρ(g))
là một biểu diễn tuyến tính củaG Đặc trưng tương ứng với biểu diễn tuyến tínhnày cũng chính là detχ Ký hiệu o(χ) là cấp của đặc trưng detχ trong nhómcác đặc trưng tuyến tính củaG
Mệnh đề 1.2.21 [1, Hệ quả 6.28] Cho N G và giả sử G/N là giải được,
θ ∈ Irr(N ) là một đặc trưng G-bất biến Giả sử ([G : N ], o(θ)θ(1)) = 1, khi
Mệnh đề sau cho ta công cụ để xác định tất cả các đặc trưng bất khả quy củamột tích trực tiếp của hai nhóm khi biết các đặc trưng bất khả quy của các nhómthành phần
Mệnh đề 1.2.22 [2, Mệnh đề 19.18] Cho Glà nhóm hữu hạn,H và K là các
Irr(K) = {ψ1, , ψb} Khi đó, H × K có đúng ab đặc trưng bất khả quy phân biệt, mỗi đặc trưng này được cho như sau
(χiψj)(h, k) = χi(h)ψj(k),
với1 ≤ i ≤ a, 1 ≤ j ≤ b.
Mệnh đề 1.2.23 Giả sử G = H × K trong đó H, K là các nhóm con củaG
Chứng minh. Giả sửχlà một đặc trưng bất khả quy củaG Khi đó,χcó thể viếtđược thành tích của hai đặc trưng bất khả quy ψ, θ củaH và K, χ = ψθ (theo
Trang 26Mệnh đề 1.2.22) Hơn nữa, do K là nhóm giao hoán nên χ ↓ H = χ(h, 1) =ψ(h)θ(1) = ψ(h)1 = ψ(h) Vậy χ ↓ H = ψ là đặc trưng bất khả quy củanhómH.
Giả sử có nhómG = HK, trong đóH vàK là các nhóm con củaGsao chovới mọih ∈ H, k ∈ K và hk = kh Khi đó, xét ánh xạ
ϕ : H × K → HK(h, k) 7→ hk
Dohk = khvới mọih ∈ H, k ∈ K nên ϕlà một đồng cấu nhóm, hơn nữa còn
là thương của nhómH × K Do đó, các đặc trưng bất khả quy củaHK đều cóthể có được từ các đặc trưng bất khả quy củaH × K Áp dụng Định lý 1.2.18,mọi đặc trưng bất khả quy củaHK cũng có thể viết được thành tích của hai đặctrưng bất khả quy của nhóm H và nhómK Do vậy, ta cũng có bổ đề tương tựnhư Mệnh đề 1.2.23
Bổ đề 1.2.24 [4, Mệnh đề 4.5] Giả sử G = HK thỏa mãn các điều kiện vừa
Trang 27Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu
hạn
Trong chương này chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng củamột số nhóm hữu hạn: các nhóm tuyến tính tổng quát GL(2, q), GL(3, q) vàcác nhóm tuyến tính đặc biệtSL(2, q), SL(3, q) Bảng đặc trưng của các nhómnày được xây dựng chủ yếu dựa trên một số kết quả về đặc trưng cảm sinh vàđặc trưng hạn chế (Mệnh đề 1.2.13 và Định lý 1.2.3) Tài liệu tham khảo chínhcủa chương này là [4] và [5]
2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát
Trước tiên, ta định nghĩa một số nhóm con quan trọng của nhómGL(n, q).Một bộ gồm k số nguyên dương λ = (n1, n2, , nk) được gọi là một phân
hoạchcủannếuk ≥ 1và n = n1 + n2 + + nk
Định nghĩa 2.1.1 Giả sửλ = (n1, n2, , nk) là một phân hoạch củan
(1) Nhóm con parabolic Pλ tương ứng với λ của GL(n, q) là nhóm chứa tất
25
Trang 28trong đóAii ∈ GL(ni, q)với mọi1 ≤ i ≤ k.
(2) Nhóm con LeviLλcủaPλlà nhóm chứa tất cả các phần tử của Pλ có dạng
diag(A11, A22, , Akk)thuộc Lλ
Trang 292.1.1 Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q)
Để xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q), ta thực hiện các bước sau
• Phân loại các lớp liên hợp của nhómGL(2, q)dựa theo dạng chuẩn Jordancủa mỗi phần tử
• Xây dựng các đặc trưng tuyến tính
• Xây dựng các đặc trưng hoán vị bằng cách xét tác động của nhómGL(2, q)
lên tập hợp các điểm thuộc đường thẳng xạ ảnh P1(Fq)
• Xây dựng các đặc trưng cảm sinh từ nhóm conP(1,1) và từ một nhóm conxyclic cấpq2 − 1củaGL(2, q)
Cụ thể từng bước xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) sẽ được trìnhbày trong tiết này
Đầu tiên, ta có |GL(2, q)| = q(q − 1)2(q + 1) Gọi σ là phần tử sinh củanhóm nhân F×q2 và đặt ρ := σq+1 là một phần tử sinh của F×q Hai phần tử bất
kỳ thuộc cùng một lớp liên hợp trongGL(2, q) khi và chỉ khi chúng đưa được
về cùng một dạng chuẩn Jordan Mặt khác mỗi phần tử thuộcGL(2, q)đều đưa
về được một trong các dạng chuẩn Jordan sau
Trang 30• Đối với các lớp liên hợp có dạngA4, vì ta cóq2− qphần tử thuộc Fq 2\Fq
và A(a)4 = A(aq)4 nên số lượng các lớp A(a)4 là 12(q2 − q) Để tính cấp củanhóm tâm hóa của phần tử P =
Trang 32Bảng 2.1: Bảng các lớp liên hợp của GL(2, q) Lớp Đại diện g Điều kiện tham số Số lượng |CGL(2,q)(g)|
Mệnh đề 2.1.2 Mỗi đặc trưng tuyến tính của GL(2, q) đặt là χ(m)1 với 0 ≤
m ≤ q − 2được cho bởi
χ(m)1 : GL(2, q) →C×
g 7→ detgm
Giá trị củaχ(m)1 (0 ≤ m ≤ q − 2)tại các lớp liên hợp của GL(2, q)là
A(a)1 : 2ma, A(a)2 : 2ma, A(a,b)3 : m(a+b), A(a)4 : ma
Ngoài ra, theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng tuyến tínhχ(m)1 của
GL(2, q) còn được ký hiệu là S(ρm, (2)) trong đó (2) là một phân hoạch của
n = 2
Tiếp theo, xem mỗi phần tử thuộcGL(2, q)là một phép biến đổi xạ ảnh trên
Trang 33fM : P1(Fq) → P1(Fq)(x : y) 7→ (ax + by : cx + dy).
Khi đó, nhóm GL(2, q) tác động lên tập hợp tất cả các điểm nằm trên đườngthẳng xạ ảnh P1(Fq) bởi các phép biến đổi xạ ảnh Tác động này cho ta mộtbiểu diễn hoán vị của nhóm GL(2, q) (Định nghĩa 1.1.30) Gọi ψ là đặc trưnghoán vị tương ứng với biểu diễn này Với mọi M ∈ GL(2, q), ψ(M ) bằng sốcác điểm nằm trên P1(Fq)được giữ cố định bởifM
Các điểm thuộc đường thẳng xạ ảnh P1(Fq) là(x : 1),x ∈ Fq và(1 : 0)
• Rõ ràng A(a)1 giữ cố định toàn bộ q + 1 điểm trên đường thẳng xạ ảnh
Trang 34• Các phần tử thuộc A(a)4 không giữ cố định điểm nào trên đường thẳng
P1(Fq)
Do đó, ta có giá trị củaψtại các lớp liên hợp của GL(2, q)là
A(a)1 : q + 1, A(a)2 : 1, A(a,b)3 : 2, A(a)4 : 0
Dựa vào công thức tích vô hướng của hai đặc trưng (Công thức (1.1.1)), ta cóD
ψ, χ(0)1 E = 1 Đặt χq := ψ − χ(0)1 , khi đó theo Hệ quả 1.1.25, ta chứng minhđượcχqlà một đặc trưng bất khả quy củaGL(2, q) Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề1.2.20,χqχ(m)1 =: χ(m)q với 0 ≤ m ≤ q − 2 cũng là các đặc trưng bất khả quycủaGL(2, q)
Mệnh đề 2.1.3 Các đặc trưng χ(m)q với 0 ≤ m ≤ q − 2 được xây dựng như trên là các đặc trưng bất khả quy bậcq củaGL(2, q) Giá trị củaχ(m)q trên mỗi lớp liên hợp là
A(a)1 : q2ma, A(a)2 : 0, A(a,b)3 : m(a+b), A(a)4 : −ma
khả quy, vì theo Hệ quả 1.1.25 ta có
hχq, χqi = q
2(q − 1)q(q − 1)2(q + 1) +
1/2(q − 1)(q − 2)(q − 1)2 + 1/2(q
Trang 35Khi đó, ta thấy χq = χ(0)q được ký hiệu là S(1, (1, 1)) và S(ρm, (1, 1)) =S(1, (1, 1))S(ρm, (2)), trong đóS(ρm, (2))là đặc trưng tuyến tính củaGL(2, q).
Để xây dựng các đặc trưng bất khả quy tiếp theo của GL(2, q), ta xét nhómcon parabolic tương ứng với phân hoạch(1, 1)của n = 2,
Xét nhóm con LeviL(1,1) của nhómP(1,1), doL(1,1) = GL(1, q) × GL(1, q)
nên theo Mệnh đề 1.2.22 các đặc trưng bất khả quy củaL(1,1) được cho như sau
trong đó0 ≤ m, k ≤ q − 2 Do P(1,1)/U(1,1) = L(1,1)nên ta có thể nâng φ(m,k)
lên thành một đặc trưng bất khả quy của nhómP(1,1), sau đó cảm sinh đặc trưngnày thành một đặc trưng của nhómGL(2, q) Đặt χ(m,k)q+1 là đặc trưng cảm sinh
Trang 36tương ứng với φ(m,k), giá trị của χ(m,k)q+1 được tính dựa vào Mệnh đề 1.2.13 vàBảng 2.2, tính bất khả quy của các đặc trưng này được dựa theo [5, trang 226].
Mệnh đề 2.1.4 Các đặc trưngχ(m,k)q+1 với0 ≤ m < k ≤ q − 2 trong cách xây dựng trên là các đặc trưng bất khả quy bậcq + 1củaGL(2, q) Giá trị của đặc trưngχ(m,k)q+1 tại các lớp liên hợp là
A(a)1 : (q + 1)(m+k)a, A(a)2 : (m+k)a, A(a,b)3 : ma+kb + ka+mb, A(a)4 : 0
Theo ký hiệu của Dipper-James [6], ta có φ(m,k) = S(ρm, (1))S(ρk, (1)),
trong đóS(ρm, (1)),S(ρk, (1))là các đặc trưng tuyến tính củaGL(1, q).χ(m,k)q+1
là đặc trưng cảm sinh tương ứng với đặc trưngφ(m,k)của nhóm Levi, nênχ(m,k)q+1
nhóm xyclic H có q2 − 1 phần tử Đặt ι = e2πi/q2−1 ∈ C, xét các đặc trưng
tuyến tính củaH cho bởi
A(a)1 : (q2 − q)ιma(q+1), A(a)2 : 0, A(a,b)3 : 0, A(a)4 : ιma+ ιmaq
Các đặc trưng bất khả quy còn lại củaGL(2, q), đặt làχ(m)q−1 được tính như sau,dựa vào kết quả của [5, trang 227]
χ(m)q−1 = χ(0)q χ(0,m)q+1 − χ(0,m)q+1 − ψq(q−1)(m)
Trang 37Mệnh đề 2.1.5 Các đặc trưng χ(m)q−1 được xây dựng như trên là đặc trưng bất
χ(m)q−1 = χ(mq)q−1 Giá trị của đặc trưngχ(m)q−1 tại các lớp liên hợp là
A(a)1 : (q − 1)ιma(q+1), A(a)2 : −ιma(q+1), A(a,b)3 : 0, A(a)4 : − (ιma + ιmaq)
Theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng χ(m)q−1 được ký hiệu là
S(σm, (1)) Để ý bậc của σm bằng2trên trường Fq doσm ∈ Fq2 \Fq
Bảng 2.3 là bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q), trong đó = e2πi/q−1,
A(a)1 2ma q 2ma (q + 1) (m+k)a (q − 1)ι ma(q+1)
A(a,b)3 m(a+b) m(a+b) ma+kb+ ka+mb 0
2.1.2 Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q)
Để xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q)ta cũng thực hiện các bướcxây dựng tương tự như nhómGL(2, q)
• Phân loại các lớp liên hợp của nhómGL(3, q)
• Xây dựng các đặc trưng tuyến tính
• Xây dựng các đặc trưng hoán vị bằng cách xét tác động của nhómGL(3, q)
lên mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq)
Trang 38• Xét các đặc trưng cảm sinh từ nhóm conP(2,1) và từ một nhóm con xycliccấpq3 − 1của GL(3, q).
Trước tiên, ta có|GL(3, q)| = q3(q − 1)3(q + 1)(q2+ q + 1) Tương tự nhưnhómGL(2, q), ta cũng phân loại các lớp liên hợp của GL(3, q) dựa vào dạngchuẩn Jordan của mỗi phần tử thuộcGL(3, q) Gọiρ, σvà τ lần lượt là phần tửsinh của các nhóm nhân F×q , F×q2 và F×q3 sao choρ = σq+1 = τq2+q+1 Khi đó,các lớp liên hợp củaGL(3, q) được phân loại như trong Bảng2.4
Mệnh đề 2.1.6 Với0 ≤ m ≤ q−2, các đặc trưng tuyến tínhχ(m)1 củaGL(3, q)
Trang 39được cho bởi
χ(m)1 : GL(3, q) →C
g 7→ detgm
Giá trị của các đặc trưng tuyến tính này được cho trong Bảng 2.5.
Các đặc trưng tuyến tínhχ(m)1 củaGL(3, q)còn được ký hiệu làS(ρm, (3)),trong đó(3) là một phân hoạch củan = 3[6, Ký hiệu của Dipper-James].Tiếp theo, xem mỗi phần tử của GL(3, q) là một phép biến đổi xạ ảnh trên
Khi đó, nhóm GL(3, q) tác động lên tập hợp các điểm của mặt phẳng xạ ảnh
P2(Fq) bởi các phép biến đổi xạ ảnh Tác động này cho ta đặc trưng hoán vị
ψq2 +q+1 bậc q2 + q + 1củaGL(3, q)(Định nghĩa 1.1.30) Hơn nữa,
D
ψq2 +q+1, χ(0)1 E = 1 (theo Công thức (1.1.1)) Đặt χq2 +q := ψq2 +q+1 − χ(0)1 ,theo Hệ quả 1.1.25 ta chứng minh được χq2 +q là bất khả quy Mặt khác, theoMệnh đề 1.2.20,χq2 +qχ(m)1 =: χ(m)q2 +q,0 ≤ m ≤ q − 2cũng là các đặc trưng bấtkhả quy củaGL(3, q)
Mệnh đề 2.1.7 Các đặc trưng χ(m)q2 +q(0 ≤ m ≤ q − 2) bậc q2 + q được xây
trưng tại các lớp liên hợp được cho trong Bảng 2.5.
Theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng χ(m)q2 +q được ký hiệu là
S(ρm, (2, 1))với 0 ≤ m ≤ q − 2và (2, 1) là một phân hoạch củan = 3 Khi
Trang 40đó,χq2 +q = χ(0)q2 +q được ký hiệu làS(1, (2, 1)) và ta thấy rằng S(ρm, (2, 1)) =S(1, (2, 1))S(ρm, (3)), trong đóS(ρm, (3))là đặc trưng tuyến tính củaGL(3, q).Mặt khác, xét các bộ gồm hai đối tượng hình học trên P2(Fq), mỗi bộ nàygồm một điểm và một đường thẳng đi qua điểm đó trong mặt phẳng xạ ảnh
P2(Fq) Xét tập hợp tất cả (q + 1)(q2 + q + 1)bộ như vậy trong mặt phẳng xạảnh P2(Fq) Khi đó, nhómGL(3, q) tác động lên tập hợp này bởi các phép biếnđổi xạ ảnh Tác động này cho ta một biểu diễn hoán vị bậc(q+1)(q2+q+1)của
GL(3, q) Đặtψ(q+1)(q2 +q+1) là đặc trưng hoán vị tương ứng với biểu diễn trên,
ta có thể tính được giá trị củaψ(q+1)(q2 +q+1) trên các lớp liên hợp củaGL(3, q)
như sau
A(a)1 : (q + 1)(q2 + q + 1), A(a)2 : 2q + 1, A(a)3 : 1, A(a,b)4 : 3(q + 1),
A(a,b)5 : 3, A(a,b,c)6 : 6, A(a,b)7 : 0, A(a)8 : 0
0 ≤ m ≤ q − 2cũng là các đặc trưng bất khả quy củaGL(3, q)
Mệnh đề 2.1.8 Các đặc trưng χ(m)q3 , 0 ≤ m ≤ q − 2được xây dựng như trên
Tương tự, theo ký hiệu của Dipper-James,χ(m)q3 còn được ký hiệu làS(ρm, (13)),trong đó(13) là một phân hoạch củan = 3 vàS(ρm, (13)) =
S(1, (13))S(ρm, (3))
Tiếp theo, ta xét nhóm con parabolic củaGL(3, q)tương ứng với phân hoạch
... nhóm, cịnlà thương nhómH × K Do đó, đặc trưng bất khả quy củaHK cóthể có từ đặc trưng bất khả quy củaH × K Áp dụng Định lý 1.2.18,mọi đặc trưng bất khả quy củaHK viết thành tích hai đặctrưng... hai đặc trưng bất khả quy< /i>
hχ, χi = 1, hχ, ψi =
Mặt khác, nhờ tính trực giao đặc trưng bất khả quy, đặc trưngbất kỳ nhóm ln viết thành tổ hợp tuyến tính đặctrưng bất khả quy. .. 1.1.25 [2, Định lý 14.20] Một đặc trưng< /b>χ của nhóm< /i>Glà bất khả quy khihχ, χi = 1.
Mặt khác, số lượng đặc trưng bất khả quy số lớp liên hợp mộtnhóm [2, Định lý 15.3]
