Tối ưu hóa chọn sau tham số điều chỉnh tikhonov giải bài toán phi tuyến đặt không chỉnh

17 2 TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHÔNG CHỈNH 21 2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh... Luận văn này nghiên cứu tối ưu hóa việc chọ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Kính

Cán bộ nhận xét 1:

Cán bộ nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường đại học bách khoa, ĐHQG Tp.HCM, ngày tháng năm 2013 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1

2

3

4

5

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã sửa chữa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - tự do - hạnh phúc

Tp.HCM, ngày tháng năm 2013

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : Nguyễn Hiếu Định Phái : Nam

Ngày sinh : 19/03/1981 Nơi sinh : Hải Phòng

Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng MSHV : 11240494

I - TÊN ĐỀ TÀI:

TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOVGIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh và phương pháp điều chỉnhTikhonov

• Nghiên cứu tối ưu hóa việc chọn sau tham số điều chỉnh Tikhonov giảibài toán phi tuyến đặt không chỉnh

• Áp dụng cho bài toán cụ thể

III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2013

IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2013

V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Nguyễn Văn Kính

PGS.TS NGUYỄN VĂN KÍNH

TRƯỞNG KHOA:

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập thể Thầy, Cô giáo bộmôn Toán Ứng dụng - Khoa Khoa học Ứng dụng, phòng Đào tạo Sau Đạihọc - Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh,

đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu trongsuốt khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể các bạn khóa K2011 lớp cao học ToánỨng dụng, các bạn đồng nghiệp, những người thân trong gia đình đã đồnghành, chia xẻ những khó khăn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và làm luận văn

Nguyễn Hiếu Định

Mục lục

1.1 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 1

1.1.1 Toán tử liên hợp 1

1.1.2 Toán tử tự liên hợp 2

1.1.3 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 2

1.1.4 Phổ của toán tử tự liên hợp 3

1.2 Đạo hàm Fréchet 5

1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 7

1.4 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh 12

1.5 Phương pháp điều chỉnh tổng quát 13

1.6 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 17

2 TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHÔNG CHỈNH 21 2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh 21

2.2 Chiến lược chọn sau tham số điều chỉnh 26

2.3 Đánh giá tốc độ hội tụ 37

Bảng ký hiệu

C[a;b] Không gian các hàm liên tục trên [a; b]

C[a;b]1 Không gian các hàm khả vi liên tục trên [a; b]

L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]

◦ (.) Đại lượng vô cùng bé bậc cao

Đại lượng vô cùng bé cùng bậc

lim Giới hạn trên

lim Giới hạn trên

E⊥ Không gian trực giao của E

⊕ Tổng trực tiếp

L (X, Y ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

L (X) Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

LỜI NÓI ĐẦU

Trong khoa học tự nhiên cũng như trong thực tiễn có rất nhiều vấn đềdẫn tới việc tìm nghiệm phương trình toán tử loại 1

F x = y, y ∈ Y, (1)trong đó F là toán tử tác động từ không gian Hilbert X vào không gianHilbert Y và y cho trước thuộc Y

Bài toán này, nói chung, là đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩaHadamad Ban đầu người ta cho rằng những bài toán đặt không chỉnh

là không có ý nghĩa thực tế (vật lý), do đó người ta ít quan tâm nghiêncứu Tuy nhiên, trên thực tế có rất nhiều bài toán đặt không chỉnh Khoảngnhững năm 1950, nhà toán học A N Tikhonov đưa ra khái niệm ổn địnhyếu để giải thích ý nghĩa thực tế của các bài toán đặt không chỉnh (không

ổn định) Từ đó, có rất nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu phươngpháp giải các bài toán đặt không chỉnh

Đến nay, có nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của bài toántrên Lý thuyết về các bải toán đặt không chỉnh tuyến tính tương đối làhoàn chỉnh Tuy nhiên, đối với các bài toán phi tuyến đặt không chỉnh cònnhiều vấn đề mở

Luận văn này nghiên cứu tối ưu hóa việc chọn sau tham số điều chỉnhTikhonov giải một lớp bài toán phi tuyến đặt không chỉnh và đưa ra ví dụ

áp dụng

Ngoài lời nói đầu, mục lục, kết luận và tài liệu tham khảo, luận vănđược chia thành 3 chương

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả đã biết của giải tíchhàm liên quan đến nội dung nghiên cứu của luận văn như: phổ của toán

tử tuyến tính liên tục, đạo hàm Fréchet, toán tử ngược Moore-Penrose,tiếp cận bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh cũng như phươngpháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp điều chỉnh Tikhonov

Chương 2: TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNHTIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHÔNG CHỈNHChương này nghiên cứu và trình bày chiến lược chọn tham số điều chỉnh

và chọn sau tham số điều chỉnh, chứng minh sự hội tụ

và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục

1.1.1 Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và T :

X → Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, T∗ : Y → X được xác địnhbởi

kT k = sup {|hT x, xi| : kxk ≤ 1} = sup {|hT x, xi| : kxk = 1}

Định lý 1.1.3 [1] Giả sử X là không gian Hilbert phức và T là toán

tử tuyến tính liên tục trong X Điều kiện cần và đủ để T tự liên hợp là

Khi đó P là toán tử chiếu lên không gian con đóng M = R (P )

1.1.3 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.1.4 [1] Cho T ∈ L (X) và I là toán tử đồng nhất trên X

Khi đó, λ ∈ K được gọi là giá trị phổ của toán tử T nếu không tồn tạitoán tử ngược (T − λI)−1 : X → X liên tục

Tập tất cả các giá trị phổ của toán tử T được gọi là phổ của T và được

ký hiệu σ (T )

Nếu µ /∈ σ (T ), thì µ được gọi là một giá trị chính quy của T Tập tất

cả các giá trị chính quy của T được gọi là tập giải của T, kí hiệu là ρ (T ).Định lý 1.1.5 [1] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L (X) Nếu

Hệ quả 1.1.1 [1] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L (X) Nếu

λ ∈ K thỏa mãn |λ| > kT k, thì λ ∈ ρ (T ) và toán tử ngược liên tục

(T − λI)−1 được xác định bởi

Hệ quả 1.1.3 [1] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L (X) Khi đó

sup |σ (T )| = sup {|λ| : λ ∈ σ (T )} ≤ lim

n→∞

n

q

kTnk

1.1.4 Phổ của toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.1.5 [3] Một họ {Eλ}λ∈R các phép chiếu trực giao xác địnhtrên không gian Hilber thực X được gọi là họ phổ nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện sau

Giả sử X là không gian Hilbert và T ∈ L (X) , λ ∈ R Ta kí hiệu

Định nghĩa 1.1.6 [4] Họ {Eλ}λ∈R xác định trong Mệnh đề 1.1.2 đượcgọi là phổ sinh bởi toán tử tự liên hợp T (hay họ phổ của toán tử T)

Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta mối liên hệ giữa họ phổ của toán tử

tự liên hợp T và tập phổ σ (T ) của nó

Mệnh đề 1.1.3 [3] Giả sử T là toán tử tự liên hợp trong không gianHilbert X với họ phổ {Eλ}λ∈R Khi đó

(i) λ0 ∈ σ (T ) khi và chỉ khi Eλ0 6= Eλ0+ε, với mỗi ε > 0

(ii) λ0 là một giá trị riêng của T khi và chỉ khi Eλ0+0 = lim

ε→0Eλ0−ε; khônggian con riêng tương ứng được cho bởi (Eλ0+ε− Eλ0) (X)

Định nghĩa 1.1.7 [3] Giả sử f : R → R là hàm số liên tục, {Eλ}λ∈R

là họ phổ xác định trên không gian Hilbert X Gọi σn là phép phân hoạchđoạn [a; b], với các điểm chia λi, i = 1, , n, sao cho

a = λ0 < λ1 < < λn = b,

Định lý 1.1.6 [4] Giả sử T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

X với họ phổ {Eλ}λ∈R Khi đó, với mọi a ≤ mT, MT < b, ta có

Mệnh đề 1.1.4 (Bất đẳng thức nội suy) [3] Cho T : X → Y là toán tửtuyến tính liên tục Khi đó, với q > r ≥ 0 và với mọi x ∈ X, ta có

Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường

số K và D là tập mở khác rỗng trong X Một ánh xạ (có thể không tuyến

tính) f : D → Y được gọi là khả vi Fréchet tại x0 ∈ D nếu tồn tại toán tửtuyến tính liên tục A ∈ L (X, Y ) (phụ thuộc vào x0) sao cho:

• Đạo hàm Fréchet của f tại x0 nếu có thì duy nhất

• Nếu X là không gian Hilbert và f : X → R khả vi Fréchet tạix0 ∈ X

thì f0(x0) là hàm tuyến tính liên tục trên X Do đó, theo Định lýRiez, tồn tại duy nhất vectơ trong X, được kí hiệu bởi ∇f (x0) gọi làgradient của f tại x0, thỏa mãn

Vậy f có đạo hàm theo mọi phương tại x0

Bổ đề 1.2.1 Cho X là không gian Hilbert thực, F : X → R là phiếmhàm xác định bởi F (u) = kuk2 Khi đó F0(u) (v) = 2 hv, ui

Chú ý: Nếu X, Y là không gian Hilbert phức thì F0(u) (v) = hv, ui +

hu, vi

Bổ đề 1.2.2 Với các giả thiết như Bổ đề 1.2.1 và T là toán tử tuyến tínhliên tục, khi đó ta có

i) Nếu F (u) = kT uk2 thì F0(u) (v) = 2 hT∗T u, vi

ii) Nếu F (u) = kT u − yk2 thì F0(u) (v) = 2 hT∗T u − T∗y, vi

iii) Nếu F (u) = kT u − yk2+αkuk2 thìF0(u) (v) = 2 hT∗T u − T∗y + αu, vi

1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose

Cho phương trình

F x = y, (1.1)với F là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào khônggian Hilbert Y và y ∈ Y cho trước

Nếu tồn tại toán tử ngược F−1 thì nghiệm của phương trình (1.1) là

x = F−1y

Nếu F không khả nghịch, ta xét F := F |N (F )⊥ : N (F )⊥ → R (F ) Khi

đó F là song ánh tuyến tính liên tục từ N (F )⊥ lên R (F ) Do đó tồn tạitoán tử ngược

F−1 : R (F ) → N (F )⊥

Từ nhận xét trên ta có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.3.1 [3]Toán tử ngược Moore-PenroseF+củaF ∈ L (X, Y )

được định nghĩa là mở rộng tuyến tính duy nhất của F−1 trên

D F+
:= R(F ) ⊕ R(F )⊥ ⊂ Y,

với N (F+) = R(F )⊥, trong đó F := F |¯

N (F )⊥ : N (F )⊥ → R (F )

• Định nghĩa trên là hợp lý, vì N (F ) = {0} và R(F ) = R(F ) nên F−1

tồn tại Mặt khác, vì N (F+) = R(F )⊥ nên với mọi y ∈ D(F+) thì y

có biểu diễn duy nhất dạng

y = y1 + y2, y1 ∈ R(F ), y2 ∈ R(F )⊥

Do đó

F+y = F−1y1

• Toán tử ngược Moore-Penrose là khái niệm mở rộng của toán tử ngượcthông thường.

Định nghĩa 1.3.2 [3] Cho F là một toán tử tuyến tính liên tục từ khônggian Hilbert X vào không gian Hilbert Y

(i)x ∈ X được gọi là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.1)nếu

kF x − yk = inf{kF z − yk : z ∈ X}

(ii)x ∈ X được gọi là nghiệm xấp xỉ tốt nhất của phương trình (1.1) nếu

x là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.1) và

kxk = inf{kzk : z là nghiệm bình phương tối tiểu của (1.1)}.Nhận xét

• Nếu phương trình (1.1) có nghiệm thì nghiệm đó chính là nghiệm bìnhphương tối tiểu Do đó, khái niệm nghiệm bình phương tối tiểu là mởrộng của khái niệm nghiệm thông thường

• Nói chung nghiệm bình phương tối tiểu của (1.1) là không tồn tại Nếutồn tại thì chưa chắc nó duy nhất

Định lý 1.3.1 [3] Giả sử P là phép chiếu trực giao từ X lên N (F ) và Q

là phép chiếu trực giao từ Y lên R(F ) Khi đó, R(F+) = N (F )⊥ và(i)F F+ = Q|D(F+ )

(i) Với mọi y ∈ D(F+), từ (*) ta có

F+F x = F−1F P x+F−1F (I−P )x = F−1F (I−P )x = (I−P )x, ∀x ∈ X

(i) F x = Qy, với Q là phép chiếu trực giao của Y lên R(F )

(ii) F∗F x = F∗y

(iii) kF x − yk ≤ kF z − yk , ∀z ∈ X

Chứng minh (i) ⇔ (ii) Vì Q là phép chiếu trực giao từ y lên R(F ) và

y ∈ D(F+) = R(F ) ⊕ R(F )⊥

Thật vậy, vì R(F ) ⊕ R(F )⊥ là không gian con trù mật trong Y, nên nếu

Qy ∈ R(F ) thì

y = Qy − (I − Q)y ∈ R(F ) ⊕ R(F )⊥ = R(F ) ⊕ R(F )⊥

Ngược lại, nếu y ∈ R(F ) ⊕ R(F )⊥ thì rõ ràng Qy ∈ R(F )

Định lý 1.3.3 [4] Giả sử F là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y và y ∈ D(F+) Khi đó, x+ := F+y lànghiệm bình phương tối tiểu duy nhất của phương trình (1.1) trongN (F )⊥

Chứng minh Giả sử x, z là hai nghiệm bình phương tối tiểu của phươngtrình (1.1) trong N (F )⊥ Khi đó (x − z) ∈ N (F )⊥ Vì x, z là hai nghiệmbình phương tối tiểu nên F x = Qy và F z = Qy, do đó F (x − z) = 0 hay

(x − z) ∈ N (F ) Suy ra x = z

Mặt khác, nếu y ∈ D(F+) thì F+y là nghiệm xấp xỉ tốt nhất củaphương trình (1.1) trong N (F )⊥ Thật vậy, giả sử F+y /∈ N (F )⊥, khi đótồn tại véctơ z ∈ N (F ) với kzk = 1 sao cho hF+y, zi 6= 0 Vì z ∈ N (F )

Chứng minh F+ tuyến tính Vì D(F+) trù mật trong Y, nên lấy y1, y2 ∈D(F+) và α, β ∈ K, ta có

F F+(αy1 + βy2) = Q(αy1 + βy2) = αQy1 + βQy2

đó, x = F+y Vậy F+ đóng.

Mệnh đề 1.3.1 [3] Giả sử F là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, F+ : D(F+) → X liên tụcnếu và chỉ nếu R(F ) đóng trong Y

Chứng minh Giả sử R(F ) đóng Khi đó Y = D (F+) Theo định lý đồthị đóng thì F+ bị chặn Ngược lại, giả sử F+ bị chặn Khi đó F+ có duynhất một mở rộng liên tục, kí hiệu F+ trên Y Ta có F F+ = Q Do đó,với y ∈ R (F ), ta có

y = Qy = F F+y ∈ R (F )

Suy ra R (F ) ⊆ R (F ) Vậy R(F ) đóng

1.4 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn và

F : X → Y là một toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) Bài toán tìmnghiệm của phương trình

F x = y, (1.3)được gọi là đặt chỉnh (well-posed) theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãncác điều kiện sau đây:

(i) Với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈ X sao cho F x = y;

(ii) Với mỗi y ∈ Y, có duy nhất x ∈ X sao cho F x = y;

(iii) Bài toán tìm nghiệm của (1.2) là ổn định, tức là toán tử F tồn tạitoán tử ngược F−1 : Y → X liên tục trên Y

Nếu có ít nhất một trong ba điều kiện trên bị vi phạm thì người ta nóibài toán tìm nghiệm của phương trình trên là đặt không chỉnh (ill-posed).Đặc biệt, chỉ có điều kiện (iii) không thỏa mãn thì ta nói bài toán tìmnghiệm của phương trình trên là không ổn định (unstable)

Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh: Bài toán tìm đạo hàm của hàm

số cho trước là đặt không chỉnh

Trên hai không gianC[0;1] vàC[0;1]1 cùng với một chuẩnkf k = max

t∈[0;1]

|f (t)|,xét toán tử

1

nsin nt

Điều này suy ra A−1 không liên tục tại mọi h ∈ C[0;1]1

1.5 Phương pháp điều chỉnh tổng quát

Lý thuyết bài toán đặt không chỉnh ban đầu không thu hút được cácnhà toán học vì người ta cho rằng vấn đề này không có ý nghĩa thực tiễn

Tuy nhiên, sau khi Tikhonov đưa ra khái niệm ổn định yếu hơn (F+ liêntục) và giải thích ý nghĩa vật lý của bài toán, thì vấn đề này nhận đượcnhiều sự quan tâm và được tổng quát lên cho các không gian trừu tượng.Sau đây chúng ta sẽ trình bày phương pháp điều chỉnh này và một số kếtquả cơ bản của nó.

Trở lại với bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử loại I

F x = y,

trong đó F là toán tử compact từ không gian Hilbert X vào không gianHilbert Y, y cho trước thuộc Y

Trong bài toán nêu trên, F và y có được nhờ quan sát, đo đạt mà có, do

đó kết quả nhận được thường chỉ là gần đúng Vì vậy, bài toán trên đượcchia thành các lớp bài toán cơ bản:

(i) Quy luật F biết chính xác và dữ kiện y chỉ biết gần đúng

(ii) Cả F và y đều chỉ biết gần đúng

Trong luận văn này ta chỉ quan tâm nghiên cứu đến lớp thứ nhất, thay vìbiết chính xác y, giả sử chỉ biết giá trị gần đúng của nó là yδ, sao cho

y − yδ ≤ δ, 0 < δ → 0

Khi đó, yδ gọi là nhiễu của y và δ được gọi là mức nhiễu

Trong trường hợp tổng quát, điều chỉnh có nghĩa là xấp xỉ một bài toánđặt không chỉnh bởi một họ các bài toán đặt chỉnh gần với nó Để dễ dàngtiếp cận với phương pháp, ta bắt đầu với trường hợp toán tử F là tuyếntính

Định nghĩa 1.5.1 [3] Cho F : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục từkhông gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y, α0 ∈ (0; +∞] Với mỗi

được gọi là nghiệm điều chỉnh của bài toán trên.

Định nghĩa 1.5.2 [3] Giả sử α là quy tắc chọn tham số của phương phápđiều chỉnh được định nghĩa ở trên Nếu α chỉ phụ thuộc vào δ mà khôngphụ thuộc vào yδ, thì ta nói α là một quy tắc chọn trước tham số (tiênnghiệm) và ký hiệu α = α(δ) Các trường hợp còn lại, ta nói α là quy tắcchọn sau tham số (hậu nghiệm)

Chúng ta cũng có thể nghĩ rằng có hay không một chiến lược chọn tham

số điều chỉnh chỉ phụ thuộc vào dữ kiện yδ mà không phụ thuộc vào mứcnhiễuδ Định lý sau sẽ chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát, đây khônghẳn là một quy tắc chọn tham số của một phương pháp điều chỉnh hội tụđối với bài toán đặt không chỉnh

Định lý 1.5.1 [3] Giả sử F : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục,

{Rα} là một chiến lược điều chỉnh (đối với F+) với quy tắc chọn tham

số điều chỉnh α chỉ phụ thuộc vào yδ mà không phụ thuộc vào δ sao chophương pháp điều chỉnh {Rα, α} hội tụ Khi đó, F+ là toán tử bị chặn.Chứng minh Theo giả thuyết, ta có

lim

δ→0{ Rα(δ,yδ )yδ− F+y :yδ ∈ Y, yδ− y ≤ δ} = 0, (1.6)với mỗi y ∈ D (F+) Trong biểu thức trên, chọn y = yδ, kết hợp với α

không phụ thuộc vào δ, ta được Rαy = F+y, với mỗi y ∈ D (F+) Bâygiờ, với mỗi dãy {yn} ∈ D (F+) sao cho yn → y ∈ D (F+), vì Rα liên tụcnên

F+yn=Rαyn → Rαy=F+y

Do vậy, F+ là liên tục

Như vậy, nếuF+không liên tục thì chưa hẳn có phương pháp điều chỉnh

sự hội tụ của F+ Bài toán đặt ra là bằng cách nào để xây dựng chiến lượcđiều chỉnh hội tụ của F+

(i) Xây dựng họ toán tử điều chỉnh như thế nào?

(ii) Xây dựng quy tắc chọn tham số α ra sao?

(iii) Quá trình thực hiện hai vấn đề trên để đạt được tốc độ tối ưu?Định lý sau đây sẽ cho chúng ta một hướng để xây dựng họ toán tử điềuchỉnh

Định lý 1.5.2 [3] Giả sử Rα là toán tử liên tục (có thể không tuyến tính),với mỗi α> 0 Khi đó, họ {Rα} là chiến lược điều chỉnh đối với F+ nếu

Rαy → F+y, α → 0, y ∈ D F+
(1.7)Hơn nữa, với mỗi y ∈ D (F+), tồn tại một quy tắc chọn trước tham số

α = α(δ) sao cho (Rα, α) là một phương pháp điều chỉnh sự hội tụ củaphương trình F x = y

Chứng minh Lấy tùy ý y ∈ D (F+) VìRαy → F+y nên tồn tại một hàm

số đơn điệu σ : R+ → R+ với lim

ε→0σ(ε) = 0, thỏa mãn với mọi α> 0 chotrước, ta có

Bây giờ, với mọiε(chọn ở trên), tồn tạiδ = ρ(ε)sao cho nếu yδ − y < δ,thì (1.7) và (1.8) là đúng Khi đó

Rσ(δ)yδ− F+y ≤ Rσ(δ)yδ− Rσ(δ)y + Rσ(δ)y − F+y ≤ ε

2 +

ε

2 = ε

Vậy Rα là chiến lược điều chỉnh của F+

Nhận xét: Điều ngược lại của vấn đề trên vẫn đúng Thật vậy, nếu

(Rα, α) là phương pháp điều chỉnh hội tụ của bài toán (1.3) thì (1.4) làđúng Trong biểu thức này chọn y = yδ, ta suy ra lim

δ→0Rσ(δ,y)y = F+y, vớimỗi y ∈ D(F+)

Từ đây ta có thể kết luận rằng chiến lược điều chỉnh của bài toán tổngquát là chiến lược xấp xỉ từng điểm đối với toán tử F+

1.6 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov

Với phương pháp điều chỉnh tổng quát ở phần trên, có rất nhiều phươngpháp điều chỉnh đã được phát triển để giải các bài toán đặt không chỉnhtrong trường hợp tuyến tính lẫn không tuyến tính Trong các phương pháp

đó, thì phương pháp điều chỉnh Tikhonov được biết đến nhiều nhất vì cókhả năng áp dụng rộng rãi Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp này trongtrường hợp tuyến tính

Giả sử F : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, Tikhonovđưa ra phiếm hàm điều chỉnh

Jα(x) = kF x − yk2 + αkxk2, x ∈ X (1.10)Phần tử xα được gọi là cực tiểu của phiếm hàm trên nếu

F∗F xα+ αxα = F∗y, y ∈ Y (1.11)

Chứng minh Lấy {xn} là một dãy trong X sao cho

Vế trái của bất đẳng thức trên hội tụ về 2I, khi n, m → ∞ Điều này chỉ

ra rằng {xn} là một dãy Cauchy trong không gian Hilbert X Do đó {xn}

tức là Jα(xα) = I Vậy {xn} là cực tiểu của phiếm hàm Jα

Bây giờ ta chứng minh xα thỏa phương trình (1.10) Với mỗi giá trị

x, ta được

hαx + F∗F x, xi = α hx, xi + hF x, F xi ,

suy ra x = 0 Vậy xα là nghiệm duy nhất của (1.10)

Phương trình (1.11) được gọi là phương trình chuẩn Euler của phiếmhàm Tikhonov

Bây giờ giả sử yδ là nhiễu của y Khi đó, cực tiểu xδα của phiếm hàm(1.10) với yδ thế chỗ của y được dùng để xấp xỉ nghiệm xấp xỉ tốt nhấtcủa bài toán (1.1) Phương pháp điều chỉnh trên được gọi là phương phápđiều chỉnh Tikhonov.

Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng phương pháp điều chỉnh nói trên là hội tụ, tức

là nghiệm điều chỉnh xδα sẽ hội tụ về nghiệm xấp xỉ tốt nhất x+ = F+y,với tham số điều chỉnh α được chọn thích hợp

Định lý 1.6.2 Giả sử yδ là dữ kiện nhiễu của y với mức nhiễu δ, tức

là y − yδ ≤ δ, và tham số điều chỉnh α(δ) thỏa mãn α(δ) → 0 và

Chứng minh Lấy dãy {δn} các số thực dương thỏa mãn δn → 0 Đặt

αn = α(δn) Khi đó, với mỗi yδn tồn tại duy nhất xn là cực tiểu của phiếmhàm (1.10) với yδn thế chỗ của y Theo định nghĩa của xn, ta có

Do tính chất của dãy hội tụ yếu, nên từ (1.13), suy ra

Do đó, xnk → x+, khi xnk → x+, k → ∞ Như vậy, với mọi dãy con hội

tụ yếu của {xn} đều hội tụ tới x+ Vậy xn → x+

2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh

2.1.1 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov cho bài toán phi tuyếnXét phương trình

F (x) = y, (2.1)trong đóF : D(F ) ⊂ X → Y là toán tử phi tuyến giữa không gian Hilbert

X và Y Trong phần này ta giả sử rằng

(i)F là liên tục,

(ii)F là đóng yếu (theo dãy), nghĩa là, với bất kỳ dãy{xn} ⊂ D(F ) hội tụyếu đến x trong X và F (xn) hội tụ yếu đến y trong Y, thì x ∈ D(F )

và F (x) = y

Định nghĩa 2.1.1 [3] Với x∗ là tiên nghiệm của bài toán (2.1), phần tử

x+ được gọi là nghiệm có chuẩn cực tiểu ứng với tiên nghiệm x∗, kí hiệu

x∗−M N S, nếu

(i)F (x+) = y;

(ii)kx+− x∗k = min

x∈D(F ){kx − x∗k : F (x) = y}.Trong phần này chúng ta giả sử rằng x∗−M N S là tồn tại với mọi giá trịchính xác của y

Tương tự bài toán tuyến tính, đối với bài toán phi tuyến, nghiệm điềuchỉnh xδα là cực tiểu bài toán

F (x) − yδ 2 + αkx − x∗k2 → min, x ∈ D(F ), (2.2)trong đó α > 0 là tham số điều chỉnh, yδ ∈ Y là dữ kiện xấp xỉ của y, vớimức nhiễu δ, thỏa mãn yδ − y ≤ δ và x∗ ∈ X là tiên nghiệm

Với các giả thuyết của toán tử F thì bài toán (2.2) là có nghiệm, nhưng

vì F không tuyến tính nên nghiệm này nói chung không duy nhất Bây giờchúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu nghiệm điều chỉnh xδα được chọn là cực tiểucủa (2.2) thì bài toán (2.1) là ổn định theo nghĩa nghiệm phụ thuộc liêntục vào dữ kiện yδ

Định lý 2.1.1 [3] Giả sử α > 0 và {xk} và {yk} là hai dãy sao cho

yk → yδ và {xk} là một cực tiểu của (2.2) với yδ được thay bởi yk Khi

đó, tồn tại một dãy con hội tụ của {xk} và giới hạn của dãy con này làcực tiểu của (2.2)

Chứng minh Vì {xk} là cực tiểu của (2.2), nên ta có

kF (xk) − ykk2 + αkxk− x∗k2 ≤ kF (x) − ykk2 + αkx − x∗k2, (2.3)với mọi x ∈ D(F ) Hơn nữa, vìkF (xk)k ≤ kF (xk) − ykk+kykkvà kxkk ≤

kxk− x∗k + kx∗k nên kF (xk)k và kxkk bị chặn Từ đó, tồn tại một dãycon {xkl} của {xk} và x sao cho

với mỗi x ∈ D(F ) Từ đó, ta suy ra x là một cực tiểu của (2.2) và

Điều này mâu thuẫn với (2.4), do đó xkl → x, l → ∞

Tương tự như bài toán tuyến tính, định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng vớinhững điều kiện thích hợp của tham số α (δ), dãy nghiệm điều chỉnh xδα,

α = α (δ) sẽ hội tụ về một nghiệm x∗ − M N S của bài toán (2.1)

Định lý 2.1.2 [3] Giả sử yδ là một dữ kiện nhiễu của y với mức nhiễu

δ, tức là yδ− y ≤ δ, và tham số điều chỉnh α (δ) thỏa mãn α (δ) → 0

F (xδk

α k) − yδk 2

+ αk xδk

α k − x∗ 2 ≤ δk2 + αk x+− x∗ 2 (2.7)Trong biểu thức trên, cho k → ∞, ta được

2.1.2 Nguồn gốc của chiến lược chọn tham số

Với xδα là nghiệm điều chỉnh tổng quát của (2.2) và xα là nghiệm củabài toán (2.2) với yδ được thay bởi y Ta ước lượng

1

2 x

δ

α − x+ 2 ≤ xα− x+ 2 + g2(α, δ) , (2.12)trong đó g2(α, δ) là một ước lượng chỉ phụ thuộc vào tham số điều chỉnh

α và mức nhiễu δ Chiến lược chọn tham số dựa trên cơ sở cực tiểu hóa

vế phải của (2.12) khi ta sử dụng hàm g2(α, δ) = cδα2 Vì ta chưa biết

x∗ − M N S, x+ và dữ liệu chính xác y, chúng ta phải xấp xỉ vế phải củaphương trình Bây giờ, chúng ta giả sử có dữ liệu không nhiễuy Biểu thứcsau là điều kiện cần để tối ưu phiếm hàm Tikhonov (2.2) (khi ta thay dữliệu bị nhiễu yδ bởi dữ liệu không nhiễu y

F0(xα)∗(F (xα) − y) + α (xα − x∗) = 0 (2.13)Đạo hàm theo α phương trình trên ta được

Từ (2.14), sử dụng hàm kiểm tra đặc biệt xα− x+ kết hợp (2.13) ta được

Thay (2.17) vào (2.16) ta được

Nếu chúng ta xấp xỉ F0(xα) (xα − x+) bởi F (xα) − F (x+) và bỏ qua tích

vô hướng có chứa đạo hàm cấp 2 của F, ta được

Nếu chúng ta thay thế y bởi yδ trong (2.13), (2.15) và (2.18) (và do đó xα

bởi xδα khi đó chúng ta đi đến một chiến lược: tất cả được thể hiện trong

2.2 Chiến lược chọn sau tham số điều chỉnh

Quy tắc R [7] Giả sử c ≥ 1 là một hằng số và x∗ ∈ D(F )

2.1.1 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov cho toán phi tuyếnXét phương trình

F (x) = y, (2.1)trong đóF : D(F ) ⊂ X → Y toán tử phi tuyến không gian... dựng họ toán tử điều chỉnh nào?

(ii) Xây dựng quy tắc chọn tham số α sao?

(iii) Quá trình thực hai vấn đề để đạt tốc độ tối ưu? Định lý sau cho hướng để xây dựng họ toán tử điềuchỉnh... chọn trước tham số (tiênnghiệm) ký hiệu α = α(δ) Các trường hợp lại, ta nói α quy tắcchọn sau tham số (hậu nghiệm)

Chúng ta nghĩ có hay không chiến lược chọn tham

số điều chỉnh phụ