Tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phương pháp multis cale và phân tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (es fem)

TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI : TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP MULTISCALE KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH ES_FEM Trong luận văn này phươ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

Công trình được hoàn thành tại : Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1 : TS LÊ VĂN CẢNH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS.NGUYỄN SỸ LÂM

Cán bộ chấm nhận xét 1:………

Cán bộ chấm nhận xét 2:………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày……

tháng…… năm………

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm 1………

2………

3………

4………

5………

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

- -oOo

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: ĐOÀN QUANG PHÁT Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 10/04/1986 Nơi sinh : Thái Bình

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình DD & CN MSHV : 11210241

1- TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU DỰA TRÊN PHƯƠNG

PHÁP MULTI-SCALE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH (ES_FEM)

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

 Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) vào trong bài toán Multi-Scale

 Chuyển đổi giữa FEM và ES-FEM trong bài toán Multi-scale ở hai cấp độ vĩ mô

và vi mô để tìm ra cách áp dụng ES-FEM tối ưu nhất

 Lập trình và thực hiện tính toán số cho các bài toán phẳng được khảo sát trong các bài báo đã được xuất bản

 Phân tích so sánh kết quả thu được với kết quả số đã được công bố

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: tháng 01 năm 2013

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: tháng 6 năm 2013

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS LÊ VĂN CẢNH

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS NGUYỄN SỸ LÂM

Tp.HCM, ngày 21 tháng 6 năm 2013 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

TS LÊ VĂN CẢNH TS NGUYỄN SỸ LÂM

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TRƯỜNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

LỜI CÁM ƠN

Em xin gửi đến thầy TS Lê Văn Cảnh hiện đang công tác tại trường Đại học Quốc Tế TP.HCM lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất Trong suốt quá trình làm luận văn này thầy luôn tận tâm trong việc hướng dẫn và cung cấp em những kiến thức

cơ bản cần thiết để em có thể tìm hiểu đề tài này Ngoài các lĩnh vực về chuyên môn thầy cũng luôn nhiệt tình động viên tinh thần và tạo một môi trường nghiên cứu thuận lợi để giúp em thực hiện luận văn này Những kiến thức và những lời khuyên bổ ích mà

em nhận được từ thầy đã giúp em từng bước một vượt qua những khó khăn để hoàn thành đề tài luận văn này và em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS Nguyễn

Sỹ Lâm hiện đang công tác tại trường Đại học Bách Khoa TP.HCM Thầy đã cùng thầy

Lê Văn Cảnh đã nhiệt tình chỉ bảo cho em những kiến thức khoa học bổ ích để em bổ xung những kiến thức còn thiếu và khắc phục những sai sót trong luận văn này Đồng thời mình cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên cao học khóa K2011 hiện đang nghiên cứu cùng nhóm với mình Trong suốt thời gian qua nhóm đã luôn tạo một không khí học tập bình đẳng và sẵn sàng hỗ trợ lẫn nhau để cùng nhau tiến bộ hơn trên con đường tìm tòi và khám phá những kiến thức khoa học bổ ích

Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn sau sắc đến Ba mẹ Ba mẹ vẫn và mãi luôn là nguồn động viên chân thành và sâu sắc nhất của con đã luôn hết sức ủng hộ con,giúp con hoàn thành giấc mơ của mình

Tp.HCM, ngày 28 tháng 6 năm 2013

Học Viên Cao Học

Đoàn Quang Phát

TÓM TẮT LUẬN VĂN

TÊN ĐỀ TÀI : TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP MULTISCALE KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ

HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH (ES_FEM)

Trong luận văn này phương phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) sẽ được áp dụng vào trong quy trình tính toán đồng nhất vật liệu theo phương pháp Multi-scale là một trong những phương pháp tính toán đồng nhất hóa cho kết quả chính xác nhất hiện nay Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh sẽ được sử dụng ở cả hai tỉ lệ vi mô và vĩ mô để giải toàn bộ bài toán với vật liệu được giả định là đàn hồi tuyến tính và có biến dạng nhỏ Điều kiện biên tính tuần hoàn được sử dụng để tính toán các thành phần vật liệu đồng nhất của một cấu trúc vi mô RVE Từ các kết quả tính toán ta tấy rằng ESFEM-FEM cho kết quả chính xác đồng thời chi phí tính toán giảm đáng kể do sử dụng biến dạng trung bình tại một điểm Gauss Các ví dụ

số với các phần tử RVE khác nhau và các bài toán phẳng sẽ được phân tích được phân tích trong luận văn này Kết quả thu được sẽ được so sánh và đánh giá thông qua các phương pháp khác

SUMMARY OF THESIS TITLE OF THESIS:

“COMPUTATIONAL HOMOGENIZATION FOR THE MULTI-SCALE ANALYSIS

OF MULTI-PHASE MATERIAL USE EDGE-BASED SMOOTH FINITE ELEMENT

METHOD (ES-FEM)”

In this thesis the Egde-base smooth finite element method (ES-FEM) will be applied to the computation procedure homogeneous materials by multi-scale modelling scheme is probably one of the most accurate techniques The Egde-base smooth finite element method is used at both scales macro and micro to solve the entire problem with linear material behaviour undergoing small strains The periodic boundary condition is used to computing homogenized material properties for a RVE It can be seen from numerical solutions that ESFEM-FEM can provide accrurate solutions while computional cost was redued significaltly because of that when smoothed strains were used only one Gauss needed Numerical example with several different RVEs and 2D problem will be analysed Obtained solutions are validated by comparing to those in the literature

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ iii

LỜI CÁM ƠN iv

TÓM TẮT LUẬN VĂN v

DANH MỤC HÌNH ẢNH ix

DANH MỤC BẢNG BIỂU xi

1 TỔNG QUAN 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 2

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước 2

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 3

1.3 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn 4

2 TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002)) 5

2.1 Giả thiết cơ bản 5

2.1.1 Tính tuần hoàn cục bộ 5

2.1.2 Nguyên lý tính toán đồng nhất hóa 6

2.1.3 Quy trình tính toán đồng nhất hóa 6

2.1.4 Các quy trình điều khiển các đại lượng động học Multi-scale 7

2.2 Xác định các biến của bài toán ở cấp độ vi mô 8

2.2.1 Phần tử thể tích đại diện 8

2.2.2 Phương trình cân bằng và các đặc trưng cơ bản ở tỉ lệ vi mô 9

2.2.3 Chuyển đổi tỉ lệ từ vĩ mô sang vi mô 9

2.3 Các điều kiện biên ở tỉ lệ vi mô 10

2.3.1 Điều kiện biên chuyển vị 10

2.3.2 Điều kiện biên chịu kéo 10

2.3.3 Điều kiện biên tuần hoàn 11

2.4 Kết hợp tính toán ở hai cấp độ vi mô- vĩ mô 12

2.4.1 Biến dạng 12

2.4.2 Ứng suất 13

2.4.3 Công nội 14

2.4.5 Ma trận mô đun đàn hồi vật liệu 15

3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN TRÊN CẠNH

(ES-FEM) (G.R Liu et al (2008)) .18

4 VÍ DỤ TÍNH TOÁN .22

4.1 Ảnh hưởng của các thành phần cấu trúc vi mô rời rạc đến các đặc trưng đồng nhất của vật liệu 22

4.1.1 Mẫu RVE với 2 pha vật liệu khác nhau 22

4.1.2 Mẫu RVE có chứa lỗ rỗng 23

4.1.3 Mẫu RVE có hai thành phần vật liệu 27

4 2 Bài toán dầm một đầu ngàm chịu uốn 30

4.2.1 Áp dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở vi mô 31

4.2.2 Áp dụng FEM ở cấp độ vĩ mô và ES-FEM ở vi mô 32

4.2.3 Áp dụng ES-FEM ở cả hai cấp độ vĩ mô vi mô 33

4.3 Bài toán tấm vô hạn có lỗ tròn 35

KẾT LUẬN 42

KIẾN NGHỊ 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

PHỤ LỤC 50

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 55

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mô liên tục dưới cấu trúc vi mô rời rạc 5

Hình 2: Tính tuần hoàn cục bộ (a) và tính tuần hoàn tổng thể (b) 6

Hình 3: Quy trình tính toán đồng nhất hóa bậc nhất 7

Hình 4: Phần tử thể tích đại diện (RVE) trong bài toán phẳng 8

Hình 5: Phân chia miền trơn k,m 19

Hình 6: Các mẫu RVE với các pha vật liệu phân bố khác nhau 22

Hình 7: Các mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm với các kích thước lỗ rỗng khác nhau trong đó V là thể tích lỗ rỗng , Vo là thể tích của RVE không có lỗ rỗng 24

Hình 8: Các mẫu RVE có hai lỗ rỗng bên trong với các kích thước lỗ rỗng khác nhau đó V là thể tích lỗ rỗng , Vo là thể tích của RVE không có lỗ rỗng 25

Hình 9: Các mẫu RVE 4 có bốn lỗ rỗng bên trong với các kích thước lỗ rỗng khác nhau đó V là thể tích lỗ rỗng , Vo là thể tích của RVE không có lỗ rỗng 26

Hình 10: Sự suy giảm Mô đun cắt G khi kích thước lỗ rỗng gia tăng của các mẫu RVE có 1,2,4 lỗ rỗng Trong đó Go là mô đun cắt của vật liệu đồng nhất không có lỗ rỗng 27

Hình 11: các mẫu RVE với hai thành phần vật liệu, với thành phần vật liệu bên trong chiếm chỗ lần lượt là (a) 10% ; (b) 30% ; (c) 50% 28

Hình 12: So sánh tỉ số giữa G/Gmatrix giữa nghiệm giải tích của Nemat-Nasser và các hương pháp khác (trong đó Gmatrix là mô đun cắt của RVE khi chỉ có 1 thành phần vật liệu Epoxy) 29

Hình 13: Dầm 1 đầu ngàm chịu tải tập trung ở đầu tự do 30

Hình 14: chia lưới ở phần tử vĩ mô và vi mô 31

Hình 15: So sánh chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ 10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3 .32

Hình 16: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ 10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3 .32

Hình 17: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ

10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3 .33

Hình 18: Chuyển vị tại trục trung hòa với các phương pháp khác nhau thể tích lỗ rỗng là 50% .33

Hình 19: chia lưới phần tử vĩ mô và hình dáng chuyển vị của dầm 1 đầu ngàm .34

Hình 20: Tấm vô hạn có lỗ tròn chịu kéo ở vô cực theo phương x 36

Hình 21: Chia lưới phần tử vĩ mô và hình dáng chuyển vị của ¼ tấm 36

Hình 22: Ba phẩn tử thể tích đại diện với các cấu trúc khác nhau 37

Hình 23: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE2 và ESFEM-M với mẫu RVE đồng nhất 37

Hình 24: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE2 và ESFEM-M với mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm 38

Hình 25: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE2 và ESFEM-M với mẫu RVE có hai thành phần vật liệu 38

Hình 26:Chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái x(y=0), sử dụng phương pháp ESFEM-M với 3 mẫu RVE khác nhau và so sánh với nghiệm chuyển vị giải tích 39

Hình 27:Chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái y(x=0) sử dụng phương pháp ESFEM-M với 3 mẫu RVE khác nhau và so sánh với nghiệm chuyển vị giải tích 40

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu với các kiểu phân bố khác

nhau 23

Bảng 2 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có lỗ rỗng tại tâm 24

Bảng 3 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 2 lỗ rỗng 25

Bảng 4 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 4 lỗ rỗng 26

Bảng 5 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có 2 vật liệu như hình 11 28

Bảng 6: so sánh sự gia tăng thời gian và chuyển vị so với phương pháp FE2 34

Bảng 7: so sánh kết quả chuyển vị giữa FE2 và ESFEM-M 39

Bảng 8: so sánh chênh lệch chuyển vị khi sử dụng các phần tử RVE khác nhau so với nghiệm chuyển vị giải tích 40

TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP MULTISCALE KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH

lệ của toàn bộ bài toán thì khối lượng tính toán của bài toán bài toán này bằng phương pháp phần tử hữu hạn sẽ trở nên quá lớn, để khắc phục những vấn đề này một phương pháp tính toán đồng nhất hóa khác đã được phát triển, đó là kỹ thuật đồng nhất Multi-Scale phương pháp này làm giảm bớt khối lượng tính toán nhưng vẫn giữ được các đặc tính không đồng nhất của vật liệu Ma trận độ cứng tại các điểm vật liệu sẽ được tính toán thông qua các phần tử thể tích đại diện (RVEs), được rời rạc hoá thông qua phương pháp phần tử hữu hạn thông thường và các điều kiện biên về tính tuần hoàn sẽ được áp đặt lên các RVEs Về cơ bản phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp, một điều kiện biên ở cấp độ vi mô và một điều kiện biên ở cấp độ vĩ mô, các ten sơ biến dạng vĩ mô (gradient) được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và tiếp tục được sử dụng

để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại điện RVE ở cấp độ vi mô Sau khi giải quyết được bài toán giá trị biên ở cấp độ vi mô, các ten sơ ứng suất ở cấp

độ vĩ mô sẽ đạt được bằng cách lấy trung bình các kết quả của trường ứng suất vi

mô trên toàn bộ thể tích của phần tử đại điện RVE

Trong luận văn này sẽ thay thế phương pháp phần tử hữu hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) vào trong tính toán ở cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô của bài toán multi-scale với vật liệu được giả định đàn hồi

có biến dạng nhỏ Ý tưởng cốt lõi của phương pháp phần tử hữu hạn trơn là sử dụng giá trị trung bình của biến dạng (biến dạng trơn) thay vì sử dụng biến dạng tương thích như trong phương pháp hữu hạn truyền thống Khi biến dạng trơn được sử dụng, ma trận độ cứng sẽ được mềm hóa và vì vậy phương pháp này sẽ cho kết quả chính xác hơn phương pháp phần tử hữu hạn

1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Hầu hết các bài báo về tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phương pháp Multi-scale trên thế giới hiện nay đều dùng phương pháp phần tử hữu hạn thông thường để tính toán Tên các bài báo và sách nước ngoài mà đề tài tham khảo:

[1] Miehe, C and Koch, A (2002) Computational micro-to-macro transition of

discretized microstructures undergoing small strain.Arch Appl Mech., 72:300–

317

[2] Nemat-Nasser, S and Hori, M (1993).Micromechanics: overall properties of

heteroge-neous materials Elsevier, Amsterdam

[3] V.-D Nguyen, E B ´ echet, C Geuzaine, L Noels (2011) Imposing periodic

boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation

Computational materials Science, 00:1–28

[4] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., and Baaijens, F P T (2000a)

Micro-macro modeling of heterogeneous materials In Proceedings of the European

Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS,on CD–ROM, CIMNE, Barcelona, Spain

[5] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., and Baaijens, F P T (2001a) An

approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials.Comput Mech.,

27:37–48

[6] Kouznetsova, V (2002) Computational homogenization for the multi-scale

analysis of multi-phase materials PhD thesis Technische Universiteit

Eindhoven

[7] H W Zhang· J K Wu· J Lv (2011) A new multiscale computational method

for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials Computational Mechanics, 49:149-169

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Nghiên cứu trong nước về đề tài này vẫn chưa được thực hiện nhiều

[8] Canh V Le, Harm Askes, Inna M Gitman FE2computational homogenization

for effective properties of heterogeneous materials The 1st International Conference on Computational Science and Engineering in Ho-Chi-Minh City, Vietnam on December 19-21th, 2011

[9] Vinh Phu Nguyen, Oriol Lloberas-Valls, Martijn Stroeven and Lambertus

Johannes Sluys (2011) Computational homogenization for multiscale crack

modeling.Implementational and computational aspects, International Journal

For Numerical Methods In Engineering, 89:192–226

[10] Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung

(2012) Isogeometric-based Heterogeneous Multiscale Method International

Conference on Advances in Computational Mechanics.

[11] Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung

(2012) An efficient high order NURBS-based heterogeneous multiscale

method 9th National Congress in Mechanics.

1.3 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu này là phát tiển phương pháp Tính toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi bằng phương pháp multi-scale kết hợp với phần

tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) bao gồm các giai đoạn

 Rời rạc hóa miền vật liệu của bài toán vĩ mô bằng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) Xác định các điểm gauss và gán cho mỗi điểm Gauss là một phần tử RVE

 Sử dụng phương pháp tính toán đồng nhất hóa bậc nhất (first order) của Multi-scale để thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô và kết hợp chuyển đổi tỉ lệ vi mô- vĩ mô

 Lập trình tính toán số cho các bài bài toán phẳng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

 Phân tích đánh giá tính hiệu quả của phương pháp thông qua việc so sánh kết quả thu được với kết quả số khác

2 TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002))

2.1 Giả thiết cơ bản

Trong tính toán đồng nhất hóa, vật liệu được xem là đồng nhất và lien tục ở cấp độ vĩ

mô nhưng ngược lại rời rạc ở cấp độ vi mô Điều này được minh họa trong hình 1 Tỉ lệ

chiều dài vi mô lmicro thì lớn hơn nhiều lần so với kích thước của các phân tử ldiscrete, Tương tự như vậy tỉ lệ chiều dài vi mô được giả định là nhỏ hơn nhiều lần chiều dài

của phần tử vĩ mô lmacro

discrete micro macro

Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mô liên tục dưới cấu trúc vi mô rời rạc

2.1.1 Tính tuần hoàn cục bộ

Hầu hết các phương pháp tiếp cận đồng nhất đều đưa ra một giả định dựa trên tính chu

kỳ thổng thể của các cấu trúc vi mô, điều này được hiểu là toàn bộ miền vật liệu vĩ mô chứa đựng những phần tử đơn vị không gian lặp lại Trong phương pháp tính toán đồng nhất hoá, một giả định sát với thực tế hơn là tính tuần hoàn cục bộ đã được đề xuất Theo giả định này, các cấu trúc vi mô có thể có những hình thái tương ứng khác nhau tại các điểm vĩ mô khác nhau, trong khi nó tự lặp lại trong một vùng kế cận nhỏ tại mỗi điểm vĩ mô riêng biệt Khái niệm về tính tuần hoàn cục bộ và tổng thể được minh hoạ trong hình 2 Giả định về tính tuần hoàn tổng thể và cục bộ được áp dụng trong tính toán đồng nhất hoá cho phép mô hình hoá các tác động của sự phân bổ không đồng đều của các cấu trúc vi mô vào trong ứng xử của cấu trúc vĩ mô (ví dụ như theo chức năng cường độ của các loại vật liệu)

(a) tuần hoàn cục bộ (b) Tính tuần hoàn tổng thể

Hình 2: Tính tuần hoàn cục bộ (a) và tính tuần hoàn tổng thể (b)

2.1.2 Nguyên lý tính toán đồng nhất hóa

Nguyên lý cơ bản của tính toán đồng nhất hoá bậc nhất (first order) đã được phát triển dần dần từ những khái niệm đã được sử dụng trong nhiều phương pháp đồng nhất hoá khác và thõa mãn theo quy trình 4 bước đồng nhất hoá được đưa ra bởi Suquet(1985):

1 Định nghĩa một phần tử thể tích cấu trúc vi mô đại diện (RVE) , với các ứng

xử cơ bản của các thành phần cấu tạo độc lập, được giả định là đã biết trước;

2 Thành lập các điều kiện biên cấp độ vĩ mô từ các biến đầu đầu vào cấp độ vĩ

mô và áp đặt lên các RVE (phép chuyển đổi từ vĩ mô sang vi mô);

3 Tính toán các biến đầu ra của cấp độ vĩ mô từ việc phân tích biến dạng của cách phần tử cấu trúc vi mô RVE (chuyển đổi từ vi mô sang vĩ mô);

4 Có được mối liện hệ (về số) giữa các biến đầu vào và các biến đầu ra

2.1.3 Quy trình tính toán đồng nhất hóa

Trong phương pháp tính toán đồng nhất hoá bậc nhất, một ten sơ biến dạng vĩ mô FM

thì được tính toán tại mỗi điểm vật liệu của cấu trúc vĩ mô (ví dụ tích hợp các điểm vĩ

mô vào trong môi trường phần tử hữu hạn), trong nghiên cứu này chỉ số “M” được xem là đại lượng vĩ mô, còn chỉ số “m” được kí hiệu là đại lượng vi mô Ten sơ biến

dạng M tại một điểm vĩ mô tiếp tục được sử dụng để xây dựng các điều kiện biên đối với phần tử đại diện RVE đã được gán cho điểm này Sau khi giải quyết bài toán giá trị biên cho phần tử đại diện RVE , sẽ thu được ten sơ ứng suất M sẽ bằng cách lấy kết quả trung bình của trường ứng suất RVE trên toàn bộ thể tích của phần tử RVE Theo

đó, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng tại các điểm vĩ mô thì dễ dàng được nhận thấy Ngoài ra ma trận mô đun đàn hồi tuyến tính của vật liệu sẽ được suy ra từ độ cứng của cấu trúc vi mô, cơ chế này được minh hoạ trong hình 3 Toàn bộ kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa được định nghĩa theo hướng này, là hoàn toàn phù hợp với các nguyên lý ứng xử của cơ học môi trường liên tục Do đó, phản ứng tại các điểm vật liệu

vĩ mô chỉ phụ thuộc vào độ dốc ban đầu của trường chuyển vị

Hình 3: Quy trình tính toán đồng nhất hóa bậc nhất

Trong khuôn khổ của phương pháp tính toán đồng nhất hóa vĩ mô này phương pháp này có thể được xếp loại là hướng pháp tiếp cận bậc nhất

2.1.4 Các quy trình điều khiển các đại lượng động học Multi-scale

Quy trình chuyển đổi vi mô và vĩ mô được đưa ra ở trên gọi là “điều khiển chuyển vị” tức là trên cấp độ vĩ mô cục bộ bài toán được xây dựng như sau: cho 1 ten sơ biến dạng

vĩ mô, xác định ứng suất và các thành phần mô đun đàn hồi, dựa trên phản ứng ở cấp

độ vi mô đơn giản Một phương pháp khác gọi là “điều khiển ứng suất” cũng có thể thực hiện được (cho một ứng suất vĩ mô cục bộ, thu được biến dạng).Tuy nhiên phương pháp này không trực tiếp thỏa mãn với các chuẩn chuyển vị của phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được sử dụng để giải quyết những bài toán giá trị điều kiện biên cấp độ vĩ mô Ngoài ra trong trường hợp biến dạng lớn bị ảnh hưởng của góc xoay cấp độ vĩ mô được kể thêm vào một ten sơ ứng suất để xác định ten sơ biến dạng,

do đó việc thực hiện trở nên phức tạp Vì vậy phương pháp “điều khiển ứng suất”, chỉ được sử dụng trong phân tích những phần tử đơn giản và không áp dụng trong quá trình kết hợp tính toán đồng nhất hoá giữa cấp độ vi mô và vĩ mô

2.2 Xác định các biến của bài toán ở cấp độ vi mô

2.2.1 Phần tử thể tích đại diện

Các đặc trưng hình học và vật liệu của các cấu trúc vi mô thì được xác định bởi 1 phần

tử thể tích đại diện (RVE), Hình 4 mô tả một phần tử RVE hai chiều Sự lựa chọn thực

tế các phần tử RVE là một cách lựa chọn hợp lý, phần tử RVE phải đủ lớn để đại diện cho các cấu trúc vi mô mà không đưa ra những đặc tính không tồn tại (ví dụ các thuộc tính bất đẳng hướng không mong muốn) Do đó các bài toán ở cấp độ phần tử RVE có thể thiết lập các bài toán giá trị biên như trong cơ học vật rắn biến dạng

Hình 4: Phần tử thể tích đại diện (RVE) trong bài toán phẳng

2.2.2 Phương trình cân bằng và các đặc trưng cơ bản ở tỉ lệ vi mô

Các trường biến dạng của phần tử RVE tại 1 điểm với vec tơ vị trí ban đầu X (trong

miền tham chiếu V0) và vec tơ vị trí thực tế x (trong miền V thực tại), được mô tả bởi

ten sơ biến dạng cấu trúc vi mô m=(0m x)c , trong đó toán tử gradient 0,m được lấy đối với các hình dạng tham chiếu của cấu trúc vi mô Ký hiệu “c” là chỉ số liên hiệp

Phần tử RVE ở trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng ten sơ ứng suất Cauchy (bỏ qua lực khối):

0

m m

Trong đó toán tử gradient 0mcó mối liên hệ với hình dạng hiện tại ở tỉ lệ vi mô

Những đặc trưng cơ học của các thành phần cấu trúc vi mô sẽ được mô tả bởi các định luật cơ bản

2.2.3 Chuyển đổi tỉ lệ từ vĩ mô sang vi mô

Chuyển đổi từ tỉ lệ vĩ mô sang vi mô là sự áp đặt các gradient ten sơ biến dạng vĩ mô

M hay ứng suất vĩ mô M lên cấu trúc RVE vi mô Để thực hiện quá trình này ta có các phương pháp như sau:

 Bằng cách áp đặt tất các các thành phần cấu trúc vi mô chịu một biến dạng hằng

số giống như ở cấp độ vĩ mô (giả định Taylor hay giả định Voigt)

 Bằng cách áp đặt toàn bộ ứng suất của các thành phần là không đổi (kể cả góc xoay), giả định này gọi là giả định Sachs (hay Reuss)

 Bằng các phương pháp trung gian, trong đó các giả định của Sachs và Taylor chỉ

áp dụng được cho một số thành phần ten sơ biến dạng và ten sơ ứng suất nhất định

Những phương pháp trên chưa thỏa mãn hết tất cả các phương trình cân bằng tĩnh học

và các điều kiện tương thích Do đó chỉ cung cấp những đánh giá rất sơ bộ về tính chất tổng thể của vật liệu và không thích hợp ứng dụng cho trạng thái làm việc phi tuyến Giả định Taylor thường đánh giá quá cứng độ cứng tổng thể, trong khi giả định Sach lại đánh giá quá mềm độ cứng tổng thể, Tuy nhiên các phương pháp lấy trung bình theo Taylor và Sachs đôi khi được sử dụng để có những ước lượng ban đầu về độ cứng tổng thể của vật liệu liên hợp

2.3 Các điều kiện biên ở tỉ lệ vi mô

Có nhiều phương pháp lấy trung bình chính xác để giải quyết chi tiết bài toán về giá trị biên của cấu trúc vi mô thông qua việc chuyển đổi các biến số vĩ mô về vi mô qua các điều kiện biên Có 3 kiểu điều kiện biên của phần tử RVE được sử dụng:

2.3.1 Điều kiện biên chuyển vị

Vector vị trí tại mỗi điểm nằm trên biên phần tử RVE được xác định thông qua ten sơ biến dạng vĩ mô theo công thức sau:

M

x  X với X ở trên biên trước khi biến dạng o (2.2)

2.3.2 Điều kiện biên chịu kéo

Điều kiện biên này được xác định bởi tất cả các lực kéo ràng buộc trên biên RVE thông qua các ten sơ ứng suất vĩ mô theo công thức sau:

M

Trong đó: t là lực kéo trên biên mcủa phần tử RVE

Tuy nhiên trong điều kiện biên chịu kéo (2.3) không xác định được hoàn toàn bài toán giá trị biên cấp độ vi mô như được miêu tả ở mục 2.2.2 Hơn nữa chúng không thích hợp trong phương pháp điều khiển chuyển vị Vì vậy các điều kiện biên chịu kéo không được sử dụng trong phương pháp này Chúng trình bày ở đây chỉ mang tính chất tổng quát

2.3.3 Điều kiện biên tuần hoàn

Dựa trên các giả định về tính tuần hoàn cục bộ của cấu trúc vi mô được minh hoạ trong Hình 4 điều Điều kiện về tính tuần hoàn của RVE dưới dạng cấu trúc vi mô được viết dưới dạng tổng quát như sau:

Đối với các RVE 2 chiều được mô tả trên hình 4, điều kiện (2.4) có thể được tính toán lại thành các mối quan hệ ràng buộc như sau (phù hợp hơn trong việc tính toán thực tế)

4 1

T B

Trong đó: x x x và L, R, B x là các kí hiệu véc tơ tại các điểm trái, phải, dưới và trên của T

biên phần tử RVE tương ứng; x i i, 1, 2, 4 là véc tơ vị trí tại các điểm góc 1, 2, 4 ở trạng thái biến dạng

2.4 Kết hợp tính toán ở hai cấp độ vi mô- vĩ mô

Sự kết hợp thực tế giữa cấp độ vi mô và vĩ mô là dựa trên lý thuyết trung bình Biểu thức lấy tích phân trung bình theo biến dạng nhỏ được đề cập lần đầu tiên bởi Hill (1963), và sau đó được mở rộng ra biến dạng lớn bởi Hill (1984) và Nemat-Nasser(1999)

2.4.1 Biến dạng

Những mối quan hệ cần được lưu ý đầu tiên của việc kết hợp vi mô- vĩ mô chính là các đại lượng động học Nó được mặc định rằng ten sơ biến dạng vĩ mô M được lấy trung bình từ thể tích của ten sơ biến dạng vi mô m

Trong đó định lý phân Green’s Lemma sử dụng để chuyển đổi tích phân từ đạng thể

tích Vm sang tích phân mặt của RVE

Kiểm tra điều kiện biên (2.4) thực sự đáp ứng đƣợc (2.9) Thay thế (2.4) vào (2.9) và

sử dụng định lý trung bình với m X I biên m chia thành các phần m và m

m

dV V

 

Biễu diễn theo cách khác ten sơ ứng suất vĩ mô M bằng các đại lƣợng của cấu trúc

vi mô trên bề mặt RVE bằng cách sử dụng các mối liên hệ sau:

Sau khi giải quyết xong bài toán điều kiện biên kết cấu vi mô RVE với kỹ thuật giải quyết xấp xỉ (ví dụ FEM) Ten sơ ứng suất M bằng cách tích phân trên biên RVE theo (2.13), trong trường hợp giới hạn điều kiện biên chuyển vị dẫn đến phương trình đơn giản sau:

M

1

1 N p

i i i m

- Np là số nút trên biên Dùng các điều kiện (2.7)-(2.9) cho phần tử 2D mô tả trong hình 2.4 ta nhận thấy tích phân (2.17) chỉ phụ thuộc vào nội lực tại 3 điểm góc

M

1,2,4

1

i i i

Vế trái của công thức (2.16) có thể chuyển đổi về dạng các đại lượng bề mặt RVE:

c m

2.4.5 Ma trận mô đun đàn hồi vật liệu

Khi thực hiện tính toán từ vi mô lên vĩ mô bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng tại mỗi điểm tích phân vĩ mô sẽ được tính toán Bởi vì phương pháp tính toán đồng nhất hóa ở đây không phải là dạng chính xác với các quy luật ứng xử thành phần ở cấp độ vĩ mô là giai đoạn tính toán ưu tiên, ma trận độ cứng được xác định từ mối liên hệ bằng phương pháp số từ các biến ứng suất và biến dạng vĩ

mô tại một điểm Điều này có thể thực hiện bằng nhiều phương pháp số khác nhau của các mối liện hệ ứng suất-biến dạng số khác nhau Các ví dụ sử dụng các phương pháp

số trên đã được trình bày bởi Miehe (1996) Một phương pháp khác gọi là thu gọn độ cứng của cấu trúc vi mô thành độ cứng của cấu trúc vĩ mô được Mục tiêu của phương pháp này là làm giảm số phương trình hệ thống từ mối quan hệ lực tác dụng trên biên của RVE và kết hợp với điều kiện biên chuyển vị Phương pháp này sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để áp đặt điều kiện biên đã được chứng minh bởi Miehe và Koch (2002) Hiện nay phương pháp này đã được thay đổi bằng cách rút gọn số bậc tự

do bị ràng buộc, đã được chứng minh bởi Kouznetsova và các công sự (2001a)

Trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn, đối với các RVE 2 chiều được mô tả như trên Hình 4 trong đó điều kiện biên tuần hoàn được sử dụng theo công thức (2.6)-(2.8) Bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, chia lưới phần tử sao cho các nút trên các biên đối diện nhau của phần tử RVE là bằng nhau Theo cách rời rạc đó các công thức (2.6) và (2.7) được viết lại như sau:

d di i

Trong đó:

Việc loại trừ các bậc tự do phụ thuộc từ phương trình hệ thống có thể sử dụng các phương pháp phương pháp khác của cơ học kết cấu như là, phương pháp hàm phạt và phương pháp nhân tử Lagrangian, xem các ví dụ của Cook et al (1989) Theo phương pháp này phương trình tuyến tính hệ thống tổng quát sẽ được phân chia như sau:

Chú ý rằng K là một ma trận [6x6] (trong trường hợp bài toán phẳng) M*

Cuối cùng từ mối liện hệ giữa lực và chuyển vị theo công thức (2.25) được chuyển

về mối quan hệ giữa ten sơ ứng suất và ten sơ biến dạng như sau:

C là ma trận mô đun đàn hồi vật liệu tại từng điểm tích phân vĩ mô

Để thu được các thành phần của ma trận mô đun đàn hồi hồi vật liệu từ độ cứng đã được rút gọn *

i, j=1,2,4 : trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn

Thay (2.27) vào (2.15) ta được:

   K 

(2.28) Thay thế phương trình u j  X j cM vào phương trình (2.28) ta được:

ij M

Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta rời rạc hóa phần

tử theo phương pháp phần tử hữu hạn thông thường giả sử ta chia miền  bằng Nephần tử sao cho : e1

e N

s N

k k

   và ,

Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn

k

s

 dựa trên cạnh k được tạo ra bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xét và phần tử tam giác kề bên được minh họa trong hình 5

Hình 5: Phân chia miền trơn k,mDùng kỹ thuật làm trơn trên cạnh, biến dạng trơn có thể đạt được bằng biến dạng tương thích   su thông qua quá trình làm trơn trên toàn bộ miền

k

N j k

e j

1

s

N k

Trong đó Bj là ma trận gradient biến dạng của phần tử thứ j quanh cạnh k

Đối với phần tử tam giác ba nút có hàm dạng tuyến tính, khi đó ma trận Bj là hằng số vì vậy ma trận BI x k cũng là hằng số Độ cứng trơn ở phương trình (3.5) được tính lại theo công thức:

k

k

k k

x k

y y x

4 VÍ DỤ TÍNH TOÁN

Trong phần này tác giả sẽ sử dụng phương pháp tính toán đồng nhất hóa Multi-scale kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên cạnh (ES-FEM) để tính toán các bài toán phẳng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab (V.2009a) Đầu tiên Phương pháp phần

tử hữu hạn (FEM) sẽ được áp dụng trong phân tích bài toán ở cấp độ vi mô áp dụng trên phần tử RVE để xác định được ảnh hưởng của các cấu trúc vật liệu vi mô đến các đặc trưng đồng nhất của vật liệu ứng với từng dạng phân bố vật liệu khác nhau.Tiếp theo các bài toán biến dạng phẳng và ứng suất phẳng sẽ được tính toán ở 2 cấp độ vi

mô và vĩ mô để tìm ra cách áp dụng ES-FEM tối ưu nhất trong bài toán 2 cấp độ này

4.1 Ảnh hưởng của các thành phần cấu trúc vi mô rời rạc đến các đặc trưng đồng nhất của vật liệu

Khảo sát các mẫu RVE khác nhau với các pha vật liệu vi mô được phân bố khác nhau

4.1.1 Mẫu RVE với 2 pha vật liệu khác nhau

Khảo sát các mẫu RVE với 2 pha vật liệu được phân bố như trong hình 6 với các thông

số vật liệu của 2 pha như sau:

Pha 1: Mô đun đàn hồi E1= 70GPa, hệ số poisson 1 = 0.2, mô đun cắt G1=29.2 GPa

Pha 2: Mô đun đàn hồi E2= 700GPa, hệ số poisson 2 = 0.3, mô đun cắt G2=269 GPa

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x 10-3-6

-4 -2 0 2 4 6

x 10-3

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

x 10-3-6

-4 -2 0 2 4 6

x 10-3

(a) vật liệu phân bố theo

phương x

(b) vật liệu phân bố theo

phương y (c) Vật liệu phân bố xen kẽ

Hình 6: Các mẫu RVE với các pha vật liệu phân bố khác nhau