Lý thuyết ổn định lyapunov và một số ứng dụng

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN III.. 5 TÓM TẮT LUẬN VĂN Bài toán khảo sát ổn định chuyển động có tầ

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

1 PGS TS Nguyễn Đình Huy – Chủ tịch Hội đồng

2 TS Nguyễn Quốc Lân – Thư ký Hội đồng

3 TS Nguyễn Bá Thi

4 PGS TS Mai Đức Thành

5 TS Lê Xuân Đại

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

PGS TS Nguyễn Đình Huy TS Huỳnh Quang Linh

3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Trần Vũ Hoàng Đảo MSHV: 09240480

Ngày, tháng, năm sinh: 13-06-1981 Nơi sinh: Long An

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60 46 36

I TÊN ĐỀ TÀI:

LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ ỨNG

DỤNG CỦA NÓ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :21/ 01/2013

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS LÊ XUÂN ĐẠI

4

LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Lê Xuân Đại

Thầy đã luôn khuyến khích, giúp đỡ, truyền đạt kiến thức giúp tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô giáo bộ môn Toán Ứng Dụng –Khoa Khoa Học Ứng Dụng –Đại Học Bách Khoa Tp.HCM đã tận tình truyền đạt kiến

thức cho tôi suốt khóa học

Xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa Học Ứng Dụng, bộ môn Toán Ứng Dụng–Đại Học Bách Khoa Tp.HCM đã tạo mọi điều kiện để luận văn được

hoàn thành

Xin chân thành cảm ơn các bạn học cùng lớp cao học K2010 đã động viên tôi hoàn thành luận văn

Trần Vũ Hoàng Đảo

5

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Bài toán khảo sát ổn định chuyển động có tầm quan trọng trong nhiều ngành khoa học như: vật lý, thiên văn, sinh học, hóa học…và trong nhiều ngành kỹ thuật hiện đại như: kỹ thuật điện tử viễn thông, kỹ thuật điều khiển

…nên từ lâu đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, các kỹ sư ngành điều khiển tự động, viễn thông,…

Kể từ khi nhà toán học người Nga Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp năm 1907 thì lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu có hệ thống

Các chuyện động thực tế thường sai lệch với mô hình toán nghiên cứu do nhiều nguyên nhân khác nhau (sai số đo đạc, tính toán; sự tác động của điều kiện ngoại cảnh; sự thay đổi của điều kiện ban đầu;…) Bài toán đặt ra đối với chúng ta là phải làm giảm sự sai lệch đó đến mức có thể cho phép Việc giải quyết bài toán trên chính là việc giải quyết bài toán ổn định của chuyển động Tính ổn định là quan trọng nhất trong các bài toán điều khiển Hệ thống ổn định đảm bảo rằng: sau khi bị một tác động tức thời, nếu hệ bị đánh bật khỏi vị trí cân bằng thì có khả năng tìm về vị trí cân bằng

Các bài toán động lực học thường được mô tả bởi hệ phương trình vi phân Lý thuyết ổn định Lyapunov cho phép chúng ta khảo sát sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thông qua điểm cân bằng

Luận văn gồm có hai chương : Chương I và chương II

Chương I: Lý thuyết ổn định Lyapunov

= - = với điều kiện đầu e t( )0 =dx0

Việc nghiên cứu độ lệch giữa x*( )t và x t( )sẽ quy về nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng của hệ e t( ) g t e t( , ( ) )

·

=

Ta có thể hình dung một cách hình học về tính ổn định, ổn định tiệm cận, không ổn định như sau:

1-Ổn định tiệm cận 2-Ồn định

3-Không ổn định

Nếu x e= 0 là ổn định tiệm cận thì mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát bên trong hình cầu B r chứa x e = 0 sẽ quay trở về x e = 0 Nếu x e= 0 là ổn định thì mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát bên trong hình cầu B r chứa x e = 0 sẽ không thể rời khỏi hình cầu B R Nếu x e = 0là không ổn định thì tồn tại một quỹ đạo nghiệm xuất phát bên trong hình cầu B r chứa x e = 0 sẽ rời khỏi hình cầu B R

7

Chương này của luận văn trình bày sự ổn định của điểm cân bằng x e = 0khi( )E là hệ tuyến tính với hệ số hằng, khi ( )E là hệ tuyến tính với hệ số biến thiên, khi ( )E là hệ phi tuyến autonomous, khi ( )E là hệ phi tuyến non-autonomous Các định lý được nêu với chứng minh chi tiết Các ví dụ được minh họa kèm theo sau mỗi phần lý thuyết

Chương II: Một số ứng dụng của lý thuyết Lyapunov vào điều khiển tự động

Lý thuyết ổn định Lyapunov cho ta hai phương pháp để phân tích ổn định

và thiết kế điều khiển tự động là phương pháp tuyến tính hóa và phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp hàm Lyapunov còn gọi là phương pháp trực tiếp)

Chương này của luận văn giới thiệu một số ứng dụng của lý thuyết lyapunov vào điều khiển tự động thể hiện qua bài toán về điều khiển trượt, điều

khiển mờ, điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR

Trong bài toán điều khiển trượt, tín hiệu y t( ) được đưa về mặt trượt và bám theo tín hiệu y d( )t một cách tiệm cận Phương pháp hàm Lyapunov được

sử dụng để tìm ra luật điều khiển

Trong bài bài toán thiết kế bộ điều khiển mờ, phương pháp hàm Lyapunov tham gia vào việc mờ hóa dữ liệu vào-ra đảm bào sự ổn định của hệ thống Trong bài bài toán thiết kế bộ điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính

LQR, các phương pháp tuyến tính hóa và phương pháp hàm Lyapunov tham gia

vào việc thiết kế để đảm bào tính ổn định của hệ thống và làm cực tiểu chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương trong điều khiển

8

LỜI CAM ĐOAN

Tuy kiến thức trình bày trong luận văn không mới, có tham khảo tài liệu liên quan nhưng luận văn được viết bởi chính sự tìm tòi, học hỏi và hiểu biết của tôi Tôi xin cam đoan chính tôi là người viết luận văn này

9

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ……… 4

TÓM TẮT LUẬN VĂN ……… 5

LỜI CAM ĐOAN ……….8

CHƯƠNG I LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân ……… 11

1.2 Ổn định, không ổn định ổn định tiệm cận theo Lyapunov ………13

1.3 Ổn định đều, ổn định mũ, ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov……… 14

1.4 Ý nghĩa hình học về tính ổn định, ổn định tiệm cận, không ổn định…… 15

2 ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ TUYẾN TÍNH 2.1 Hệ tuyến tính với hệ số hằng……… 17

2.2 Hệ tuyến tính với hệ số biến thiên……… 20

3 ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHI TUYẾN-HỆ AUTONOMOUS 3.1 Một số định nghĩa………23

3.2 Một số định lý……… 24

3.3 Các phương pháp xác định hàm Lyapunov……….28

3.4 Phương trình Lyapunov……… 32

3.5 Phép tuyến tính hóa và phương pháp Lyapunov gián tiếp……… 34

4 ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHI TUYẾN-HỆ NON-AUTONOMOUS 4.1 Một số định nghĩa………39

4.2 Một số định lý……… 41

10

CHƯƠNG II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀO ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

1 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT LYAPUNOV VÀO ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT

1.1 Bài toán điều khiển trượt……….48

1.2 Ví dụ minh họa ……… 51

2 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT LYAPUNOV VÀO THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN MỜ GIỮ CÂN BẰNG CON LẮC NGƯỢC 2.1 Các bước thiết kế bộ điều khiển mờ dùng phương pháp Lyapunov …….54

2.2 Thiết kế bộ điều khiển mờ giữ cân bằng con lắc ngược dùng phương pháp Lyapunov……… 55

3 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT LYAPUNOV VÀO ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG TUYẾN TÍNH 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR……… 62

3.2 Sử dụng lý thuyết Lyapunov để giải bài toán điều khiền tối ưu toàn phương tuyến tính LQR……… 62

3.3 Ví dụ minh họa ……… ………63

KẾT LUẬN……… 68

Tài liệu tham khảo……… 69

Phụ lục: Bảng hình vẽ……… 70

11

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV

1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Cho hệ phương trình vi phân ( )E : x t( ) f t x t( , ( ) )

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân

a) Định nghĩa điểm cân bằng

Hình 1.1.1: Con lắc đơn

-ï î

Hệ mới thu được có điểm cân bằng y e= 0 Do đó để nghiên cứu điểm cân bằng

bất kỳ của ( )E ta chỉ cần nghiên cứu điểm cân bằng x e = 0 của ( )E

ii) Giả sử x*( )t là một nghiệm của ( )E với điều kiện đầu x*( )t0 = x0 +dx0

và x t( )là nghiệm của ( )E với điều kiện đầu x t( )0 =x0

Hình 1.1.2:Mối quan hệ giữa các nghiệm của ( )E với điều kiện đầu khác nhau

= - = với điều kiện đầu e t( )0 =dx0

Do đó việc nghiên cứu độ lệch giữa x*( )t và x t( ) của ( )E sẽ quy về việc

nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng của e t( ) g t e t( , ( ) )

·

Điểm cân bằng x e = 0 được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov nếu nó ổn

định và r được chọn (chỉ phụ thuộc vào t0) sao cho x t( )0 <r thì

= +Với R> 0 bất kỳ, ta có r= >R 0 sao cho

1 sin 0

t t

Điểm cân bằng x e= 0 của ( )E được gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov

nếu thỏa đồng thởi hai điều kiện sau:

i)x e= 0 ổn định tiệm cận

ii) Với R> 0 bất kỳ, luôn tồn tại r> 0 (rkhông phụ thuộc vàot0 ) và T

( chỉ phụ thuộc vào R) sao cho x t( )0 < Þr x t( ) = x t t x( , , 0 0) <R, " ³ +t t0 T

1.4 Ý nghĩa hình học về tính ổn đinh, ổn định tiệm cận, không ổn định

i) Ta có thể hình dung một cách hình học về tính ổn đinh, ổn định tiệm cận, không ổn định như sau:

Hình 1.1.3: Ý nghĩa hình học về tính ồn định của điểm cân bằng

1-Ổn định tiệm cận

2-Ồn định

3-Không ổn định

16

Nếu x e = 0 là ổn định tiệm cận thì mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát bên trong hình cầuB r chứa x e = 0 sẽ tiến về x e = 0; Nếu x e = 0 là ổn định thì mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát bên trong hình cầuB rchứa x e= 0 sẽ không thể rời khỏi hình cầuB R Nếu x e= 0 là không ổn định thì tồn tại một quỹ đạo nghiệm xuất phát bên trong hình cầuB r chứa x e= 0 sẽ rời khỏi hình cầuB R

ii) Ta gọiB rlà miền ổn định của x e = 0; nếu B r là n

R thì ta có khái niệm ổn định toàn bộ, ổn định tiệm cận toàn bộ

i) Nếu tất cả các giá trị riêng của A có phần thực bé hơn hoặc bằng không và các giá trị riêng có phần thực bằng không là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của ma trận A thì x e= 0là điểm cân bằng ổn định của x t( ) Ax t( )

Nếu A là ma trận hằng cấp n n´ và l1, lk (phân biệt) là các giá trị riêng của

A sao choRe( )lj < <s 0 với j=1, ,k thì tồn tại K > 0 sao cho At t

e £Kes ( Re( )lj là kí hiệu để chỉ phần thực của lj )

Bổ đề 1.2.2

A là ma trận hằng cấp n n´ và tất cả các giá trị riêng l1, lk của A có phần thực bé hơn hoặc bằng 0 và các giá trị riêng có phần thực bằng không là nghiệm đơn là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng ma trận A thì tồn tại hằng số K > 0 sao cho: At

e £K

ii) Theo i) thì x e= 0 là nghiệm ổn định

Theo bổ đề 1.2.1 ta có s <0 sao cho : At t

iii) Từ i) ta hiển nhiên suy ra iii) ■

b) Tiêu chuẩn Hurwitz

Định nghĩa 1.2.2 (ma trận Hurwitz)

19

Xét hệ( )E là hệ tuyến tính hệ số hằng x t( ) Ax t( )

·

= với Alà ma trận hằng cấp

n n´ Giả sử 1

0 n 1 n n 1 n

-+ + + + là đa thức đặc trưng của ma trận A

Ta thành lập ma trận sau và gọi là ma trận Hurwitz của A

1 3

0 2 4

1 3

0

0

0 0

0 n

a a

a a a

a a

a

-Đường chéo là các hệ số từ a1 đến a n

-Hàng lẻ là các hệ số có chỉ số lẻ, tăng dần bên phải đường chéo, giảm dần bên trái đường chéo

-Hàng chẵn là các hệ số có chỉ số chẵn, tăng dần bên phải đường chéo, giảm dần bên trái đường chéo

Định lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Hurwitz)

Điểm cân bằng x e = 0 của x t( ) Ax t( )

·

= là ổn định tiệm cận khi tất cả các định thức con lập theo đường chéo chính của ma trận Hurwitz đều có giá trị dương

Chứng minh Dựa vào kết quả của đại số: khi tất cả các định thức con chứa đường chéo chính của ma trận Hurwitz đều có giá trị dương thì đa thức đặc trưng của ma trận A

có tất cả các các nghiệm có phần thực âm Vậy theo định lý 1.2.1 ta có điều phải chứng minh ■

Ví dụ 1.2.3

Xét hệx t( ) Ax t( )

·

= với A có đa thức đặc trưng : 3 2

l + l + l+

Ma trận Hurwitz

4 2 0

1 3 0

0 4 2

có các định thức con chứa đường chéo:

4 2 0

4 2

1 3

0 4 2

D = D = = D = = Vậy x e = 0 là ổn định tiệm cận

20

2.2 HỆ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN

Cho hệ tuyến tính với hệ số biến thiên ( )E : x t( ) A t x t( ) ( )

·

= với A t( )là ma trận của những hàm số liên tục trên [0;+¥) và có cấp n n´ ( )E luôn có nghiệm duy nhất với x( )0 = x0 và được kí hiệu là x t( ,0,x0)

Định lý 1.2.3

Cho hệ tuyến tính với hệ số biến thiên ( )E : x t( ) A t x t( ) ( )

·

= với A t( )là ma trận của những hàm số liên tục trên [0;+¥) và có cấp n n´

Điểm cân bằng x e = 0 của ( )E là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của

( )E bị chặn

Chứng minh

a) Giả sử tất cả các nghiệm của( )E bị chặn

Gọi F( )t là ma trận cơ sở không gian nghiệm của ( )E

Khi đó tồn tại M > 0 : F( )t £M với mọi t³ 0

Với R> 0 bất kỳ, ta chọn r R

M

= Ta có : x( )0 = x0 <r suy ra: x t( , 0,x0) = F( )t x0 £ F( )t x0 <R

Vậy tất cả các nghiệm của ( )E ổn định

b) Giả sử điểm cân bằng x e= 0 của ( )E là ổn định

23

3 ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHI TUYẾN-HỆ AUTONOMOUS

Cho hệ phương trình vi phân ( )E : x t( ) f x t( ( ) )

i) V x( )được gọi là nửa xác định dương trên Dnếu V x( )³0 với mọi xÎD

ii) V x( )được gọi là nửa xác định âm trên D nếu -V x( ) là nửa xác định dương trên D

b) Gradient vecto

Định nghĩa 1.3.3

24

Gradient vector của V x( )được kí hiệu là ÑV và ta có :

1

2

n

V x V x V

V x

V x DÌR ®R là xác định dương trên D ; khả vi liên tục trên D và V x( )

25

Ta có :V x t· ( ( ) )£ Þ 0 V x t( ( ) )£V x( ( )0 )£b với t³ 0

Suy ra tập Wb có tính chất :

Tất cả các quỹ đạo xuất phát trong Wb phải nằm trong Wb

Ta có V x( ) liên tục và V( )0 =0 nên tồn tại r sao cho x < Þr V x( )<b

ii) Giả sử điểm cân bằng x e = 0 là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận

Từ giả thuyết ta có V x( ) là hàm xác định dương, liên tục và là hàm giảm nên

Hàm V x( ) trong định lý 1.3.1 được gọi là hàm Lyapunov

Mặt V x( )=c c, >0 được gọi là mặt Lyapunov hoặc mặt mức Điều kiện

26

Định lý trên chỉ cho ta điều kiện đủ của sự ổn định Nếu không tìm được

hàm Lyapunov thì không thể khẳng định là hệ không ổn định Do đó, phương

pháp hàm Lyapunov có mặt hạn chế vì đôi khi hàm Lyapunov vẫn có thể tồn

tại nhưng ta chưa tìm được

-ï î

Vì V x( )® +¥khi x ® +¥ nên với c> 0 tồn tại r> 0

28

Nếu với mỗi lân cận của 0 đều tồn tại x0 sao cho V x( )0 >0 và V

·

là xác định dương thì x e = 0 là không ổn định

Chứng minh Giả sử x e= 0 là ổn định

Với R> 0 sao cho B R ={x| x t( ) £R}ÌD

Chọn r> 0 sao cho 0 < <r R Theo giả thuyết ta có :0< x0 <r và quỹ đạo nghiệm x t( ;0;x0) của ( )E với điều kiện đầu x( )0 =x0 phải không rời khỏi B R

Vì V x( ) khả vi liên tục nên ta có max ( )

3 3 Các phương pháp xác định hàm Lyapunov

(V xác định dương; V

·

xác định âm) Định lý 1.3.1 chỉ cho chúng ta điều kiện đủ khi xét sự ổn định.Việc xây dựng các phương pháp tìm ra được hàm Lyapunov là rất cần thiết

a) Ý tưởng về hàm năng lượng

29

Nếu một hệ thống có năng lượng tiêu tán theo thời gian thì hệ thống sẽ định vị ở điểm cân bằng Nhận xét này giúp ta có một cách chọn hàm Lyapunov là hàm năng lượng của hệ thống Ta đến với ví dụ sau:

Xét hệ khối lượng-lò xo có phương trình động học : 3

0 1 0

m x b x x k x k x

·· · ·

với b> 0 có điểm cân bằng x e = 0

Động năng của khối m là

2 1

1 2

n

V x V x

V x

tạo bởi quỹ đạo của x=x( ),t tÎ[ ]0,t

Xét dạng toàn phương Lyapunov V x( ) =x Px T trong đó P là ma trận đối xứng xác định dương Đạo hàm V x( ) x P x x Px T T x T(PA A P x T ) x Qx T .

Phương trình (*) được gọi là phương trình Lyapunov

Định lý 1.3.4

33

Phương trình (PA+A P T ) = -Q (*) với Q là ma trận xác định dương sẽ có nghiệm Pduy nhất xác định dương khi và chi khiAlà ma trận Hurwitz

Chứng minh

Giả sử phương trình (PA+A P T ) = -Q (*) với Q là ma trận xác định dương

sẽ có nghiệm P duy nhất xác định dương

có xác định âm không Trong trường hợp hệ tuyến tính, quá trình trên của

phương pháp Lyapunov có thể được làm ngược lại Giả sử rằng ta chọn Q là

ma trận xác định dương, ta giải (*) để tìm P Nếu (*) có một nghiệm P là ma

trận xác định dương, khi đó ta có thể kết luận điểm cân bằng x e = 0 ổn định

tiệm cận

Ví dụ 1.3.9

3.5 Phép tuyến tính hóa và phương pháp Lyapunov gián tiếp

Cho hệ phi tuyến x t( ) f x t( ( ) )

i) Điểm cân bằng x e= 0 là ổn định tiệm cận nếu mọi trị riêng của A đều có phần thực âm

ii) Điểm cân bằng x e = 0 không là ổn định nếu một hay nhiều trị riêng của

Acó phần thực dương

Chứng minh

35

i) Giả sử Alà ma trận Hurwitz Khi đó từ định lí 1.3.4 trên suy ra với bất kì

ma trận đối xứng xác định dương Q, nghiệm Pcủa phương trình Lyapunov là xác định dương Ta luôn có : f x( )= Ax+g x( )

bên trái khi đó có một ma trận không suy biến T sao cho 1 1

2

00

A TAT