Xây dựng chương trình thiết kế tối ưu kết cấu bằng matlab và c++ báo cáo tổng kết kết quả đề tài khoa học công nghệ cấp trường msđt t khud 2010 27

Đề tài này được xây dựng với mục tiêu chủ đạo là kết hợp khả năng của máy tính điện tử và tính ưu việt của phương pháp số, nhằm phục vụ cho quá trình tính toán thiết kế các kết cấu cơ họ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Thời gian thực hiện: 01/04/2010 đến 01/04/2011

Chủ nhiệm đề tài: TS Vũ Công Hòa

Cán bộ tham gia đề tài: KS Nguyễn Công Đạt

KS La Hiếu Khương

Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 06/2012

MỤC LỤC

Trang

I Giới thiệu chung về đề tài……… 2

II Khái quát về thiết kế tối ưu 2

2.1 Tổng quan về tính toán thiết kế kết cấu 3

2.2 Phân loại tính toán tối ưu kết cấu cơ học 4

2.3 Đặc điểm và các hướng đi tính toán tối ưu kết cấu cơ học 5

III Cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn và thành lập ma trận độ cứng của phần tử thanh 6

3.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) .6

3.2 Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH 8

IV Lý thuyết tối ưu .8

4.1 Khái quát chung về lý thuyết tối ưu có ràng buộc 8

4.2 Các phương pháp giải bài toán tối ưu có ràng buộc 9

V Tối ưu thiết kế kết cấu hệ dàn bằng chương trình TRUSS ANALYSIS 12

5.1 Mô hình toán tối ưu kết cấu hệ dàn 13

5.3 Chương trình TrussAnalysis 19

VI Kết luận và hướng phát triển 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

I Giới thiệu chung về đề tài

Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, các phương pháp số trong tính toán cơ học ngày càng chứng tỏ sức mạnh và khả năng ứng dụng hiệu quả vào thực tiễn

Đề tài này được xây dựng với mục tiêu chủ đạo là kết hợp khả năng của máy tính điện tử và tính ưu việt của phương pháp số, nhằm phục vụ cho quá trình tính toán thiết kế các kết cấu cơ học khác nhau trong thực tế nhằm đạt được sự tối ưu

về chi phí độ bền vững dưới nhiều tác động khác nhau

Chương trình tập trung khai thác chính vào dạng kết cấu hệ khung dàn trong

cơ học.Tùy vào cách sử dụng của người dùng, chương trình cho phép một công

cụ đắc lực hộ trợ cho việc thiết kế tối ưu

Các giải pháp mà chương trình đưa ra chưa hẳn là tối ưu nhất nhưng chắc chắn sẽ đem lại hiệu quả rõ rệt hơn so với ban đầu

Chương trình được xây dựng bởi đề tài này là một thể hiện của hướng đi ứng dụng các phương pháp số vào thực tiễn tính toán, thiết kế kết hợp với lập trình

mô phỏng Một hướng đi vô cùng thú vị, cũng như đầy tiềm năng phát triển và ứng dụng

II Khái quát về thiết kế tối ưu

Thực tiễn thiết kế và sản xuất bao gồm hai khối chính: khối tính toán thiết kế

và khối tối ưu [12-13] Khối tính toán thiết kế có mục đích nhằm xác định các đặc trưng và ứng xử của kết cấu dưới tác động của ngoại cảnh Khối tính toán thiết kế

về mặt cơ học của thiết kế có thể dự đoán ứng xử của hệ trong tương lai Nó làm căn cứ để đánh giá khả năng duy trì và phát triển của mô hình Khối tối ưu có nhiệm vụ tối ưu kết cấu mô hình thiết kế nhằm tăng hiệu quả đạt được, tăng độ tin

cậy độ bền vững, giảm bớt hao phí cũng như độ rủi ro hay biến cố có thẻ xảy ra Trong thực tiễn hiện nay, nó đóng vai trò quan trọng liên hệ trực tiếp với sản độ

an toàn xuất Yêu cầu của khối này là hạ thấp chi phí sản xuất và tăng độ bền cũng như độ an toàn

2.1 Tổng quan về tính toán thiết kế kết cấu

Khối thiết kế với sự hộ trợ của máy tinh đề cao tính tự động trong việc định hướng cũng như thăm dò các phương án tác động thay đổi các thông số đầu vào, cuối cùng là so sánh và lựa chọn phương án tối ưu

Với sự trợ giúp của máy tính điện tử, khả năng tính toán của chương trình được hỗ trợ mạnh mẽ Từ đó phép tính lặp sử dụng trong mô hình thiết kế được tận dụng đầy hiệu quả

Hiện nay việc xây dựng cách thức hoạt động của thiết kế tự động đang được nghiên cứu và phát triển song song với quá trình xây dựng trí tuệ nhân tạo của máy tính Lý thuyết của khối thiết kế tự động dựa phần lớn vào việc xây dựng và phát triển lý thuyết trí tuệ nhân tạo trên máy tính

Khối thiết kế tự động phải bao gồm được các yếu tố sau:

9 Sự mềm dẻo trong việc thu nhận mô hình cần thiết kế

9 Sự mềm dẻo trong việc thu nhận các ràng buộc và yêu cầu đặc biệt của người dùng

9 Sự mềm dẻo và tính chính xác trong tính toán định hướng nhằm tìm ra con đường tốt nhất cho bài toán được đặt ra

Quá trình thiết kế tự động đôi lúc gặp bế tắc trong những trường hợp quá phức tạp và có quá nhiều ràng buộc giữa các mô hình trong bài toán Tuy nhiên với những trường hợp có thể các chương trình tính toán thiết kế thường đi theo hướng tận dụng các yếu tố tối ưu có sẵn trong tự nhiên Đó là những yếu tố được chọn lọc rất khắt khe qua thời gian dài bởi tự nhiên [14]

Với việc tận dụng khả năng của phương pháp phần tử hữu hạn, các chương trình tính toán mô phỏng hiện nay có được khả năng mạnh mẽ giải quyết được nhiều mô hình bài toán khác nhau.Với đặc trưng là một phép tính xấp xỉ nhưng phương pháp này có khả năng áp dụng vào nhiều mô hình bài toán khác nhau

Bên cạnh khả năng tính toán chính xác các chương trình hiện nay còn có khả năng tối ưu tĩnh nhằm mục đích đạt được sự tối ưu trong các vấn đề và chỉ tiêu mong muốn Lý thuyết tối ưu là các phương pháp số hoặc kết hợp với quy hoạch toán học

2.2 Phân loại tính toán tối ưu kết cấu cơ học

Tối ưu hóa là một quá trình tính toán nhằm đạt được các yêu cầu đặt ra với chi phí về trọng lượng, giá thành…Có thể được phân loại như sau:

Cách phân loại thứ hai

9 Phương pháp cổ điển: dựa trên thiết lập bài toán dưới dạng phương trình toán học, chọn trước một số các điều kiện ràng buộc tới hạn ở các điểm tối ưu Lời giải tối ưu khi các ràng buộc tới hạn xảy ra Kĩ thuật tính toán, thiết kế để đạt được các yêu cầu đặt ra với chi phí thấp nhất

về trọng lượng, thể tích, ứng suất giá thành… nói cách khác thiết kế tối

ưu là thiết kế có hiệu quả nhất Sau đây xin đưa ra hai cách phân loại:

9 Phương pháp tiêu chuẩn tối ưu: dùng phương pháp lặp Mỗi lần lặp sẽ thay đổi giá trị biến thiết kế cho đến khi tiêu chuẩn tối ưu đặt ra được thỏa Phương pháp này tùy thuộc vào ứng xử của kết cấu không đảm bảo tính hội tụ của kết quả

9 Phương pháp quy hoạch toán học: một phương pháp tìm hướng bằng phương pháp số, cực tiểu hóa hàm mục tiêu sao cho thỏa các ràng buộc

2.3 Đặc điểm và các hướng đi tính toán tối ưu kết cấu cơ học

Một số đặc điểm của hệ cơ học:

9 Biến dạng chuyển vị của hệ được xem gần đúng và liên tục với chuyển dịch bé

9 Biến dạng chuyển dịch của hệ không liên tục với chuyển vị lớn hoặc đến gần với biên ràng buộc

các yêu cầu cần xác định (chuyển vị, biến dạng, ứng suất, phản

lực….) Các biến xi là các đặc trưng của hệ (vị trí, ngoại lực, ràng buộc

9 Dữ liệu đối với hệ chỉ bao gồm thông số đầu vào và kết quả thu được

9 Kết quả của hệ phụ thuộc nhiều tham số là các biến đầu vào và các yếu

3.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH)[2, 15]

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó Tuy nhiên PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền khảo sát mà chỉ thực hiện trong từng miền con nằm trong miền khảo sát

Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt các bài toán vật lý và kĩ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học vật lý khác nhau chịu những điều kiện khác nhau Phương pháp này ra đời từ trực quan phâp tích kết cấu rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư

có trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử

Trong PP PTHH miền khảo sát được chia thành những miền con gọi là phần

tử Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên phần

tử gọi la nút Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong

một dạng hàm đơn giản được gọi là các hàm xấp xỉ Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các nút trên phần tử Các giá trị này được gọi

là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng và cơ cấu, tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ người ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:

9 Mô hình tương thích: người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước

và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn số này được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên

cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần hay biến phân Lagrange

9 Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần Các ẩn số được xác định gần đúng từ hệ phương trình thiết lập trên nguyên lý năng lượng toàn phần hay nguyên

lý biến phân về ứng suất

9 Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng suất trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình dựa trên nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa ta tìm ra được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử Và từ đó cũng tìm được các đại lượng còn lại Trong ba

mô hình trên mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả

3.2 Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH

Bước 1: Rời rạc hóa: miền khảo sát được chia thành một tập các phần tử đơn

giản

Bước 2: Xây dựng phương trình phần tử, dựa vào bản chất vật lý của bài toán sử

dụng các phương pháp điển hình

Bước 3: Tập hợp, các phương trình cho mỗi phần tử trong lưới FEM được tập

hợp thành một phương trình toàn cục mô tả hệ

Bước 4: Áp dụng điều kiện biên,

Bước 5: Giải các biến chính tại các node

Bước 6: Tính các biến liên quan dựa vào biến chính

IV Lý thuyết tối ưu [1]

4.1 Khái quát chung về lý thuyết tối ưu có ràng buộc

So với tối ưu không ràng buộc thì tối ưu có ràng buộc, có sự khác biệt khá lớn bởi vì mục đích tìm của tối ưu có ràng buộc không tìm trên toàn cục nó chỉ tìm trên miền được giới hạn bởi các ràng buộc Tuy nhiên tối ưu có ràng buộc vẫn

sử dụng tối ưu không ràng buộc như là một bước trung gian trong quá trình tìm

giá trị tối ưu Có nhiều phương pháp có thể tìm kết quả cho tối ưu có ràng buộc, sau đây là một trong số đó Mô hình của tối ưu có ràng buộc

Dạng dưới đây là mô hình tổng quát cho bài toán tối ưu có ràng buộc:

minimize ( )

subject to ( ) 0, 1, ,

( ) 0, 1, ,

j i

4.2 Các phương pháp giải bài toán tối ưu có ràng buộc

Trong vô số phương pháp giải mô hình tối ưu có ràng buộc, sau đây chỉ tập trung vào một số phương pháp sau

a Phương pháp sử dụng hàm phạt

Phương pháp này có thể giải quyết cho bài toán tối ưu chịu đồng thời hai ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Phương pháp này áp dụng cho giải thuật tối ưu không ràng buộc với một hàm phạt dựa trên hàm mục tiêu và các ràng buộc Phương pháp hàm phạt được mô tả dưới dạng tổng quát sau:

Lúc này bài toán trở về mô hình tối ưu không ràng buộc Tuy nhiên chúng

b Phương pháp nhân tử Lagrange

Từ dạng tổng quát trên ta có thể chuyển đổi về dạng sau

Cực tiểu hóa hàm

p m

là nhân tử Lagrange Dựa hàm Lagrange này ta có thể chuyển đổi từ tối ưu có ràng buộc về tối ưu không ràng buộc Lợi thế của hàm lagrangre này là cho ta biết được điều kiện cần cho lời giải tối ưu

i i

Trong trường hợp ràng buộc bất đẳng thức, bài toán được biểu diễn ở dạng sau:

minimize ( )subject to ( ) 0,j 1, ,

Nếu si = 0, thì gi(x) = 0 ngược lại si ≠ 0, thì gi(x) < 0

Với L x u s( * , , * *) = f x( )* →u g x i⎡⎣ i( ) + s i2 ⎤⎦ = 0

Suy ra khi

( ) ( )

( )

0 0

0

0 0

0

0

i i

i

i i i

i

i

u s

g x

u g x u

Với hai mô hình ràng buộc được khảo sát trên, ta có thể đưa ra điều kiện cần và đủ cho bài toán tổng quát

minimize ( )subject to ( ) 0, 1, ,

( ) 0, 1, ,

j i

p m

i j j

0 1, ,

i j

V Tối ưu thiết kế kết cấu hệ dàn bằng chương trình TRUSS ANALYSIS

Trong đề tài nghiên cứu này, quá trình tối ưu kết cấu được thảo luận Đề tài này đã xây dựng được chương trình tối ưu hệ giàn bằng MATLAB [17] Qua đó việc so sánh giữa thiết kế ban đầu và chương trình sẽ đưa ra một hướng tiếp cận mới về thiết kế tối ưu

Quá trình thiết kế bao gồm hai quá trình, thiết kế ban đầu và tối ưu kết cấu Quá trình thiết kế ban đầu nhấn mạnh hay nói cách khác đảm bảo kết cấu được đứng vững Quá trình tối ưu nhấn mạnh việc tìm hướng thiết kế tốt nhất nhưng vẫn đảm bảo được sự cứng vững của kết cấu Tuy nhiên, với một kết cấu thì có nhiều khía cạnh được cải thiện

5.1 Mô hình toán tối ưu kết cấu hệ dàn

Mô hình toán cho bài toán tối ưu két cấu hệ dàn, với những ràng buộc về

độ võng và ứng suất được phát biểu như sau:

Cực tiểu hóa :

1

n

i i i

1

i

cho phép trong thanh

2

i

tới hạn cho phép trong thanh

thanh chịu nén và tổng số nút của hệ

a Hiệu chỉnh mô hình tối ưu

Dựa trên phương pháp hàm phạt, ta hiệu chỉnh mô hình tối ưu như sau: Cực tiểu hóa :

1

n

i i i

=

=∑ L

n m n

⎩

b Tối ưu tiết diện và hình học kết sử dụng thuật toán mô phỏng luyện kim

Như ta đã biết khi đốt nóng các phân tử của thủy tinh hoặc kim loại chuyển động tự do, nhiệt độ là thước đo mức năng lượng trong từng phần tử cũng như toàn bộ hệ thống Nếu như nhiệt độ giảm nhanh chóng, các phần tử ấy sẽ đông đặc lại như một kết cấu phức hợp Tuy nhiên nếu nhiệt độ giảm chậm hơn thì dạng tinh thể của chúng sẽ mịn hơn nhiều Trong trường hợp này những phần

tử của các tinh thể rắn ấy ở trạng thái năng lượng cực tiểu Năm 1983, S Kirkpatrick, C D Gelatt và M P Vecchi [16], đã mô phỏng lại quá trình tự nhiên xảy ra với mạng tinh thể của thủy tinh hoặc kim loại khi làm nguội để tìm nghiệm tối ưu, do vậy phương pháp được đề xuất có tên là Mô phỏng luyện kim (SA)

Vấn đề tối ưu hóa cấu trúc bao hàm việc tìm kiếm lời giải tối ưu của một hàm mục tiêu đã nêu chịu sự ràng buộc khác nhau như ứng suất và biến dạng, và

cũng có bị hạn chế bởi kích thước tối thiểu, hoặc kích thước của các thành phần của cấu trúc Nếu biến thiết kế có thể được liên tục bài được gọi là liên tục, trong khi nếu các biến thiết kế đại diện cho một lựa chọn từ một tập hợp của các bộ phận, vấn đề được xem là rời rạc

Thuật toán mô phỏng luyện kim được phát triển nhằm giải quyết các bài toán tối ưu cỡ lớn, dựa trên nguyên tắc xác suất thống kê do đó thuật toán này giải quyết vấn đề bế tắc trong tìm kiếm cực tiểu toàn cục Nguyên tắc của thuật toán này là luôn chấp nhận một “phương án” mới, nếu phương án đó tốt hơn phương

án hiện tại Tuy nhiên, nếu phương án mới “xấu” hơn phương án hiện tại, phương

án mới sẽ chỉ được chấp nhận với một xác suất xác định Xác suất này giảm dần theo thời gian trong quá trình làm mát

Sơ đồ giải thuật mô phỏng luyện kim

Hình 1: Sơ đồ giải thuật mô phỏng luyện kim

Dựa trên tính hiệu quả của thuật toán mô phỏng luyện kim và phương phương pháp hàm phạt cho ta một hướng tiếp cận mới trong bài toán tối ưu kết cấu

5.2 Ví dụ minh họa

a Bài toán 10 thanh

Hình 2: Sơ đồ kết cấu bài toán 10 thanh

Ba giải pháp được trình bày trong bảng1: TRUSS ANALYSIS, Auer [9], Romero [8] và Uri Kirsch [10] Mỗi giải pháp trình bày diện tích tối ưu và ứng suất tối ưu Ứng với lời giải được trình bày bởi Romero (2004) có khối lượng thấp hơn lời giải khác, nhưng vi phạm ràng buộc ứng suất

b Mô hình bài toán 18 thanh

Hình 3: Sơ đồ kết cấu bài toán 18 thanh

Bảng 2

Biến thiết

kế

Hasancebi, Erbatuer [11]

Kaveh, Kalatjariv [7]

TRUSS Analysis

a Giới thiệu chung về chương trình

Với mong muốn xây dựng một chương trình tính để phục vụ cho việc nghiên cứu tối ưu kết cấu được hiệu quả, đề tài này đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn làm cơ sở, lý thuyết tối ưu và kết hợp với ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng một giao diện người dùng để tính một số bài toán tiêu biểu của tối ưu kết cấu