Phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng

HCM NGUYỄN DUY VÂN QUANG PHÂN TÍCH BIẾN DẠNG DẺO XUNG QUANH ĐỈNH VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU HAI CHIỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NGUYỄN DUY VÂN QUANG

PHÂN TÍCH BIẾN DẠNG DẺO XUNG QUANH ĐỈNH VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU HAI CHIỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2013

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 09 tháng 09 năm 2013

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS.TS Đỗ Kiến Quốc

2 PGS.TS Trương Tích Thiện

3 TS Lê Văn Cảnh

4 TS Bùi Đức Vinh

5 TS Ngô Hữu Cường

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa

Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Bộ môn quản lý chuyên ngành

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Duy Vân Quang MSHV: 09210203

Ngày, tháng, năm sinh: 01-09-1983 Nơi sinh: Tiền Giang

Chuyên ngành: Xây dựng công trình DD&CN Mã số : 60.58.20

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

1 Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), lý thuyết cơ học nứt và

lý thuyết dẻo để lập trình mô phỏng ứng xử vùng biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt, dự đoán khả năng tăng trưởng vết nứt trong kết cấu hai chiều (xem như một tấm mỏng mặt cắt tiết diện ngang hình chữ nhật) cho bài toán biến dạng phẳng của vật liệu thép C45 trên chương trình Matlab

2 Mô phỏng ứng xử vùng biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai chiều bằng chương trình ANSYS trong cho bài toán biến dạng phẳng

3 So sánh kết quả giữa 2 phương pháp trên

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/07/2012

II NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS Trương Tích Thiện

LỜI CÁM ƠN

Luận văn tốt nghiệp này được hoàn thành vào tháng 06 năm 2013 trong bộ môn Khoa Học Ứng Dụng tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh Thời gian thực hiện luận văn từ 02/07/2012 đến 21/06/2013 Trong khoảng thời gian này đã trải qua nhiều biến cố lớn trong cuộc sống và ảnh hưởng ít nhiều đến quá trình học tập, nghiên cứu luận văn

Để đạt được những thành quả khoa học này, ngoài nỗ lực không biết mệt mỏi, vươn lên của bản thân, tác giả chắc chắn sẽ không thể hoàn thành luận văn này nếu không có sự giúp đỡ, động viên của gia đình, thầy cô, bạn bè và các bạn đồng nghiệp…

Đầu tiên, tác giả tỏ lòng cảm ơn chân thành đến PGS.TS Trương Tích Thiện, người thầy đã tiếp nhận, giao đề tài và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này Tác giả cũng gửi lời cám ơn sâu sắc đến nghiên cứu sinh Nguyễn Ngọc Minh tại Đại học Bochum của Đức, nghiên cứu sinh Trần Kim Bằng đã cung cấp những tài liệu, hướng dẫn con đường ngắn nhất để đi đến kết quả cuối cùng

Kế đến, tác giả cám ơn anh Hồ Đại Bảo, giám đốc công ty Cổ phần Không Gian Hòa Bình đã tạo điều kiện học tập và thực hiện luận văn; các anh đồng nghiệp trong công ty Licogi 16.1 đã gánh vác một phần công việc của tác giả trong thời gian thực hiện luận văn

Cuối cùng, tác giả cảm ơn sâu sắc đến ba mẹ đã động viên, khuyến khích, giúp đỡ công việc trong quá trình thực hiện luận văn Tác giả cũng cám ơn đến chị

Lý Kim Chi, kỹ sư hóa học trường Đại học Bách khoa Tp.HCM đang công tác tại công ty Cổ phần Cơ Khí Xây Dựng Tân Định FICO, người đã trang trải kinh tế trong suốt quá trình học tập và làm luận văn của tác giả

Một lần nữa, tác giả chân thành cảm ơn tất cả

Tp HCM, ngày 21 tháng 06 năm 2013

Học viên thực hiện

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn “Phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng” là luận văn kết hợp giữa hai lý thuyết: Lý thuyết cơ học nứt và lý thuyết dẻo Trong đó, phương pháp số dùng để tính toán là phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) Lý thuyết dẻo áp dụng theo hướng tiếp cận hiện đại của Simo và Hughes (1998) [6], tham khảo thêm của nhóm Owen và Petric (2008) [8] Lý thuyết này được tính toán theo dữ liệu đường cong thí nghiệm chảy của thép C45, được đưa về mô hình phi tuyến vật liệu bilinear (2 đường thẳng, 1 đường là đàn hồi, 1 đường dẻo) và multilinear (đường cong ứng suất biến dạng gồm nhiều đoạn thẳng nhỏ nối lại với nhau) Do mô hình phi tuyến vật liệu này, thuật toán giải lặp Newton Raphson được áp dụng để giải hệ phương trình phi tuyến Quá trình phân tích đàn dẻo là tải trọng tác dụng được chia thành nhiều vòng lặp tải (load step), tải trọng tăng dần đến khi quá trình chảy dẻo xảy ra Sau mỗi bước tải, sai số giữa nội lực và ngoại lực tác dụng được kiểm tra, khi nào đạt giá trị thấp nhất định trước mới chuyển sang bước tải mới Các kết quả này được

so sánh với phần mềm ANSYS Thuật toán trong lý thuyết dẻo là thuật toán return mapping (thuật toán cập nhật ứng suất sau khi đã biết biến dạng, trong đó biến dạng được tính từ đạo hàm của chuyển vị; còn XFEM dùng cho giai đoạn lắp ghép ma trận để tính chuyển vị và biến dạng Do đó, mục tiêu chính của luận văn là kết hợpthuật toánreturn mapping và thuật toán của XFEM Bên cạnh đó, luận văn cũng chỉ

ra những tồn tại của phương pháp XFEM trong thuật toán phát hiện vết nứt (Level Set), và hướng khắc phục nhược điểm đó

LỜI CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ

Luận văn này là một nỗ lực tìm tòi của chính bản thân tác giả dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Trương Tích Thiện, NCS Trần Kim Bằng và NCS Nguyễn Ngọc Minh Các thuật toán trong tính toán số được ghi lại chính xác theo các lý thuyết trong các tài liệu tham khảo tương ứng Các kết quả tính toán lập trình trên Matlab được so sánh với phần mềm ANSYS cũng được trình bày Do đề tài luận văn là một hướng đi mới nên đa phần sẽ không có kết quả giải tích trên các bài báo dẫn đến việc so sánh kết quả số rất khó khăn Tuy nhiên, tác giả đã cố gắng xây dựng thuật toán dựa trên những lý thuyết tính toán sẵn có để đưa ra những kết quả tối ưu nhất, và cũng có những kết quả không tốt lắm Tác giả cam đoan những gì trình bày trong luận văn là những kết quả trung thực và chính xác

Học viên thực hiện

Nguyễn Duy Vân Quang

MỤC LỤC

TRANG BÌA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN

LỜI CÁM ƠN

TÓM TẮT LUẬN VĂN

LỜI CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ

MỤC LỤC i

DANH MỤC CÁC HÌNH iv

DANH MỤC CÁC BẢNG viii

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu đề tài 1

1.2 Sơ lược tình hình nghiên cứu phương pháp số XFEM và lý thuyết dẻo 1

1.3 Mục tiêu Luận văn 2

1.4 Bố cục của Luận văn 3

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG TRONG CƠ HỌC NỨT 5

2.1 Các phương trình chủ đạo 5

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 6

2.2.1 Phương trình xấp xỉ chuyển vị 6

2.2.2 Ý nghĩa của các hàm làm giàu 9

2.3 Phần tử 2 chiều dạng tứ giác trong FEM 10

2.4 Mối quan hệ giữa tọa độ vật lý và tự nhiên 11

2.4.1 Chuyển từ tọa độ tự nhiên sang tọa độ vật lý 11

2.4.2 Đạo hàm các hàm dạng trong hệ tọa độ tổng thể (vật lý) 12

2.4.3 Chuyển từ tọa độ tổng thể sang tọa độ tự nhiên 14

2.5 Ma trận độ cứng phần tử 16

2.6 Kỹ thuật chuyển (shifting technique) 17

2.7 Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong XFEM 18

2.7.1 Xác định ma trận B, B* 18

2.7.2 Đạo hàm các hàm nhánh (hàm làm giàu của phần tử chứa đỉnh vết nứt 20

2.8 Kỹ thuật phát hiện vết nứt 21

2.8.1 Phương pháp level set- Ưu nhược điểm 21

2.8.2 Phương pháp phát hiện vết nứt bằng hình học 25

2.9 Tích phân số trong XFEM 28

2.9.1 Tích phân số trong XFEM đối với các phần tử làm giàu 28

2.9.2 Lựa chọn số điểm Gauss trong phần tử làm giàu 29

2.10 Cơ học phá hủy 30

2.10.1 Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor) 30

2.10.2 Tích phân tương tác 31

2.10.3 Miền tích phân tương tác 34

2.10.4 Lựa chọn bán kính vòng tròn tính tích phân cho bài toán nứt dẻo 35

2.11 Tích phân tương tác trong FEM/XFEM 36

2.11.1 Trạng thái 1 36

2.11.2 Trạng thái 2 37

2.11.2.1 Trường tiệm cận thuần mode I 37

2.11.2.2 Trường tiệm cận thuần mode II 38

2.12 Điều kiện vết nứt phát triển 38

2.13 Cơ học nứt đàn hồi tuyến tính cho vùng dẻo quanh đỉnh vết nứt 39

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT DẺO 41

3.1 Ứng dụng lý thuyết dẻo trong Luận văn 41

3.2 Các khái niệm cơ bản trong lý thuyết dẻo 41

3.3 Điều kiện dẻo 44

3.4 Tiêu chuẩn von Mises 45

3.5 Lý thuyết biến dạng đối với vật liệu J2 46

3.6 Qui luật chảy kết hợp 46

3.7 Tính chất quan trọng của vật liệu dẻo 46

3.8 Các mô hình chảy dẻo 46

3.9 Các mô hình biến cứng 47

3.10 Tính toán dữ liệu thực nghiệm thép C45 48

3.10.1 Đường cong thực nghiệm vật liệu thép C45 48

3.10.2 Ứng suất chảy ban đầu 51

3.11 Thuật toán return mapping cho trường hợp biến dạng phẳng tính toán cho 1 điểm Gauss 55

3.11.1 Sơ lược về thuật toán return mapping 55

3.11.2 Qui trình thuật toán return mapping trong một bước tải 58

3.11.3 Thuật toán return mapping cho bài toán biến dạng phẳng 59

3.11.4 Điều kiện Kun-Tucker 68

3.12 Thuật toán Newton-Raphson giải bài toán cân bằng tĩnh học 70

3.12.1 Các phương pháp giải bài toán cân bằng phi tuyến 70

3.12.2 Ý nghĩa thuật toán giải bài toán cân bằng 70

3.12.3 Giải thuật giải bài toán cân bằng 71

CHƯƠNG 4: VÍ DỤ SỐ 75

4.1 Tính toán trên phần mềm ANSYS 75

4.2 Bài toán tấm chữ nhật chịu kéo 75

4.3 Bài toán dầm chịu tải phân bố đều có vết nứt thẳng 79

4.4 Bài toán kết cấu khung L chịu kéo vết nứt thẳng 82

4.5 Bài toán kết cấu khung L chịu kéo có vết nứt xiên 87

4.6 Bài toán kết cấu khung U chịu tải phân bố đều 91

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

PHỤ LỤC 102

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Mô hình kết cấu chi lưới theo XFEM và FEM 2

Hình 2.1 Vật thể với trạng thái cân bằng khi có tải tác dụng 5

Hình 2.2 Tọa độ cực tại đỉnh vết nứt 9

Hình 2.3 Phần tử trong tọa độ vật lý tổng thể và tọa độ tự nhiên 10

Hình 2.4 Xác định tọa độ địa phương của vết nứt 21

Hình 2.5 Vết nứt bất kỳ trong lưới phần tử có 2 đỉnh 22

Hình 2.6 Hàm dấu 22

Hình 2.7 Dấu của các hàm  và  để xác định vị trí vết nứt 23

Hình 2.8 Nhận diện phần tử có vết nứt cắt qua bị sai 24

Hình 2.9 Sự phát hiện sai phần tử có vết nứt cắt qua và phần tử chứa đỉnh vết nứt khi vết nứt phát triển 25

Hình 2.10 Minh họa tọa độ vết nứt, cạnh phần tử và tọa độ giao điểm vết nứt với cạnh phần tử 26

Hình 2.11 Kết quả phát hiện vết nứt bằng cách tìm giao điểm trên Matlab 27

Hình 2.12 Chia nhỏ phần tử dạng tam giác tại phần tử có vết nứt cắt qua và phần tử chứa đỉnh vết nứt 28

Hình 2.13 Chia nhỏ phần tử dạng tam giác tại phần tử có vết nứt cắt và phần tử chứa đỉnh vết nứt trong Matlab 28

Hình 2.14 Chia nhỏ phần tử dạng tam giác tại phần tử có vết nứt cắt qua theo tài liệu của Rabczuk 29

Hình 2.15 Lựa chọn điểm Gauss trong phần tử thường và phần tử làm giàu 30

Hình 2.16 Biểu diễn trục tọa độ tại đỉnh vết nứt 31

Hình 2.17 Mô hình tấm chịu kéo vết nứt góc 31

Hình 2.18 Quy ước cho miền J: miền A được bao quanh bởi Γ, C+, C- và C0; pháp tuyến đơn vị mj = nj trên C0 và mj = -nj trên Γ 34

Hình 2.19 Hàm trọng lượng q trên các phần tử và bán kính chọn để tính

tích phân tương tác 35

Hình 2.20 Các phần tử được lựa chọn quanh đỉnh vết nứt để tính toán tích phân tương tác 36

Hình 2.21 Vết nứt góc với vùng dẻo tại đỉnh vết nứt 39

Hình 3.1 Biểu đồ ứng suất biến dạng khi gia tải, cất tải, gia tải lại 44

Hình 3.2 Mô hình chảy dẻo lý tưởng & chảy dẻo có biến cứng 47

Hình 3.3 Minh họa bề mặt chảy trong mô hình chảy dẻo lý tưởng .47

Hình 3.4 Biến cứng đẳng hướng Thí nghiệm đơn trục và mặt phẳng  48

Hình 3.5 Các đường cong thực nghiệm của thép C45 49

Hình 3.6 “Đường cong” vẽ bởi nhiều đường thẳng (mulilinear) từ các điểm ứng suất-biến dạng của đường cong thực nghiệm 50

Hình 3.7 Ứng suất chảy ban đầu offset=ys 51

Hình 3.8 Mô hình bilinear 55

Hình 3.9 Lưu đồ thuật toán tính toán dẻo của 1 điểm 56

Hình 3.10 Thuật toán return mapping 57

Hình 3.11 Minh họa thuật toán return mapping 57

Hình 3.12 Bước thử nghiệm (trial) vi phạm điều kiện f  0 58

Hình 3.13 Minh họa thuật toán return mapping cho mô hình von Mises trong không gian ứng suất chính 60

Hình 3.14 Minh họa cập nhật ứng suất lệch trong mặt phẳng lệch  61

Hình 3.15 Giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton-Raphson 72

Hình 4.1 Tấm có vết nứt chịu kéo và mô hình bilinear 75

Hình 4.2 Chuyển vị ux trong tấm 76

Hình 4.3 Chuyển vị uy trong tấm 76

Hình 4.4 So sánh biến dạng trong tấm 77

Hình 4.5 Phần tử biến dạng dẻo và vòng tròn tính tích phân tương tác trong tấm 77

Hình 4.6 Dầm chịu tải phân bố đều có vết nứt 79

Hình 4.7 Mô hình multilinear trong ANSYS 80

Hình 4.8 Chuyển vị ux trong dầm 80

Hình 4.9 Chuyển vị uy trong dầm 80

Hình 4.10 So sánh biến dạng trong dầm 81

Hình 4.11 Kích thước kết cấu khung L có vết nứt ngang 82

Hình 4.12 Chuyển vị ux trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình bilinear 83

Hình 4.13 Chuyển vị uy trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình bilinear 83

Hình 4.14 So sánh biến dạng trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình bilinear……… 83

Hình 4.15 Chuyển vị ux kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình multilinear 85

Hình 4.16 Chuyển vị uy kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình multilinear 85

Hình 4.17 So sánh biến dạng kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình multilinear 85

Hình 4.18 Kích thước kết cấu khung L có vết nứt xiên 87

Hình 4.19 Chuyển vị ux trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 87

Hình 4.20 Chuyển vị uy trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 88

Hình 4.21 So sánh biến dạng kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 88

Hình 4.22 Chuyển vị ux trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình multilinear 89

Hình 4.23 Chuyển vị uy trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình multilinear 90

Hình 4.24 So sánh biến dạng kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 90

Hình 4.25 Kích thước kết cấu khung U có vết nứt thẳng góc 900 92

Hình 4.26 So sánh chuyển vị ux trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mô hình bilinear 92

Hình 4.27 So sánh chuyển vị uy trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mô hình bilinear 92

Hình 4.28 So sánh biến dạng trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900

mô hình bilinear 93

Hình 4.29 Chuyển vị ux trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mô

hình multilinear 94 Hình 4.30 Chuyển vị uy trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mô

hình multilinear 94 Hình 4.31 Ứng suất tương đương von Mises trong kết cấu khung U 94 Hình 4.32 So sánh biến dạng kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mô hình

multilinear 95

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Độ bền phá hủy KIC cho 1 số vật liệu 40

Bảng 3.1 Ứng suất-biến dạng tổng của thép C45 49

Bảng 3.2 Ứng suất-biến dạng tổng-biến dạng dẻo của thép C45 52

Bảng 4.1 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong tấm 78

Bảng 4.2 So sánh giá trị KI trong tấm 78

Bảng 4.3 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong dầm 81

Bảng 4.4 So sánh giá trị KI trong dầm 81

Bảng 4.5 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình bilinear 84

Bảng 4.6 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình bilinear 84

Bảng 4.7 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình bilinear 84

Bảng 4.8 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình multilinear 86

Bảng 4.9 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình multilinear 86

Bảng 4.10 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt ngang mô hình multilinear 86

Bảng 4.11 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 88

Bảng 4.12 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 89

Bảng 4.13 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear 89

Bảng 4.14 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình multilinear 90

Bảng 4.15 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt xiên

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu đề tài

Lý thuyết dẻo và lý thuyết cơ học nứt đã được áp dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khoa học thực tiễn Cả hai lý thuyết này đều phát triển dựa trên nền tảng của lý thuyết đàn hồi Cả hai lý thuyết này phát triển theo hai hướng khác nhau, nhưng trong một số trường hợp phải kết hợp với nhau để mơ tả hiện tượng trong thực tế như bài tốn ứng xử của kết cấu khi cĩ xuất hiện vết nứt khi tiếp tục gia tải

Sự kết hợp giữa lý thuyết dẻo và lý thuyết cơ học nứt để giải quyết bài tốn biến dạng dẻo của vùng xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu là một hướng đi mới mang nhiều ý nghĩa thực tiễn và khoa học

Luận văn này áp dụng một phương pháp số mới là phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Extended Finite Element Method hay XFEM) phát triển dựa trên nền tảng lý thuyết cơ học nứt (một biến thể của phương pháp phần tử hữu hạn cổ điển FEM) để giải quyết vấn đề trên do những ưu điểm nổi trội của XFEM trong bài tốn kết cấu cĩ vết nứt Bên cạnh đĩ, lý thuyết dẻo được đưa vào để xử lý giá trị ứng suất ngồi miền đàn hồi

1.2 Sơ lược tình hình nghiên cứu phương pháp số XFEM và lý thuyết dẻo

Moës (1999) [23] của đại học Northwestern (U.S.A) đã mơ phỏng sự phát triển của vết nứt trong kết cấu tấm bằng XFEM, phương pháp tích phân tương tác dùng để tính hệ số cường độ tập trung cường độ ứng suất cũng được giới thiệu Thời điểm năm 1999 được xem như thời điểm sơ khai của XFEM Ưu điểm của phương

pháp là cho phép sự xuất hiện độc lập của tồn bộ vết nứt với việc chia lưới dựa

trên việc xây dựng hàm làm giàu (enriched function) thể hiện trong hình 1.1 Phương pháp này đưa thêm vào một số bậc tự do ảo để xấp xỉ trường chuyển vị Sau

đĩ XFEM đã được tiếp tục phát triển và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là bài tốn kết cấu cĩ vết nứt Phạm Trọng Sinh (2010) [19] đã ứng dụng XFEM để

mơ phỏng vết nứt lan truyền trong luận văn thạc sĩ tại đại học Bách Khoa Tp.HCM Nguyễn Ngọc Minh (2011) [18] đã cĩ một số hiệu chỉnh hàm dạng trong XFEM để

mô phỏng sự phát triển của vết nứt trong luận văn thạc sĩ tại đại học Bochum (Đức) dựa trên nền tảng của tài liệu [23] Tuy nhiên các nghiên cứu này chỉ dừng lại trong

cơ học nứt đàn hồi tuyến tính

Hình 1.1 cho thấy các lưới trong (a) XFEM vẫn thẳng góc không phụ thuộc vào phần tử trong khi hình (b) FEM lưới phải chia lưới lại trong từng phần tử để có

1.3 Mục tiêu của Luận văn

Sự kết hợp thuật toán của phương pháp số XFEM trong các tài liệu [3], [23]

và thuật toán đàn dẻo (return mapping) trong tài liệu [6] là mục tiêu chính của luận văn, cũng là một hướng đi mới Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này, tác giả

Hình 1.1 Sự khác biệt về lưới giữa XFEM và FEM [26]

(a) Mô hình kết cấu được chia lưới XFEM (b) Mô hình kết cấu được chia lưới FEM

tiếp tục sử dụng XFEM với lý thuyết tính toán đã có trong các tài liệu đã công bố kết hợp với việc đưa thuật toán tính toán đàn dẻo để phân tích vùng biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt có sẵn trong kết cấu kết cấu hai chiềucho bài toán biến dạng phẳng (xem như tấm mỏng có mặt cắt ngang hình chữ nhật, chiều dài rất lớn

so với bề rộng có thể bỏ qua sự làm việc của bề dày tấm) Bên cạnh đó, tác giả cố gắng khắc phục một hạn chế của phương pháp level set trong XFEM (kỹ thuật phát hiện vết nứt) đã được chỉ ra bởi Nguyễn Ngọc Minh (2011) [18] Đó là hai đóng góp chính của luận văn này Tiêu chuẩn von Mises dùng vật liệu kim loại (ở đây là thép C45 có số liệu thí nghiệm) được áp dụng cho tất cả các ví dụ số Thuật toán giải lặp Newton-Raphson đưa vào để giải bài toán phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng (phi tuyến vật liệu) trong quá trình tăng tải (dẻo) Mô hình biến cứng đẳng hướng được khảo sát ở cả dạng biến cứng tuyến tính (bilinear) và biến cứng phi tuyến (multilinear) Sau mỗi bước tải, điều kiện hội tụ được kiểm tra, ứng suất và các thông số vật liệu được cập nhật bằng thuật toán return mapping trong tài liệu về tính toán biến dạng dẻo của J.C.Simo và T.J.R.Hughes (1998) [6] Các tính toán này được so sánh kết quả với thuật toán phần tử hữu hạn trên phần mềm mô phỏng ANSYS®

1.4 Bố cục của Luận văn

Luận văn sẽ gồm 4 chương với nội dung sau:

Chương 1: Tổng quan: Giới thiệu sơ lược mục tiêu, các đóng góp chính của Luận văn, các thuật toán, phương pháp tính sẽ áp dụng trong Luận văn…

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng trong cơ học nứt: Trình bày các lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng được áp dụng tính toán vào cơ học nứt, một số lý thuyết của cơ học nứt cho bài toán nứt-dẻo, ưu khuyết điểm của phương pháp level set để phát hiện vị trí vết nứt và hướng khắc phục

Chương 3: Lý thuyết dẻo: Trình bày một số lý thuyết về tính toán bài toán biến dạng dẻo, thuật toán cập nhật ứng suất ngoài miền đàn hồi (return mapping) và cách kết hợp thuật toán này với thuật toán XFEM

Chương 4: Ví dụ số: Trình bày các ví dụ số về phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trên thuật toán XFEM được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và

so sánh với thuật toán FEM trên phần mềm ANSYS®

Chương 5: Kết luận và hướng phát triển: là phần đưa ra các đánh giá, kết luận

và hướng mở rộng luận văn Các danh mục tài liệu tham khảo chính của luận văn sẽ liệt kê trong phần cuối cùng của Luận văn

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG TRONG

CƠ HỌC NỨT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

2.1 Các phương trình chủ đạo [23]

Xem miền  được bao bởi biên  minh họa trong hình 2.1

Hình 2.1 Vật thể với trạng thái cân bằng khi có tải tác dụng [23]

Điều kiện biên mô tả bởi biên chuyển vị u và biên đặt lực t Vì thế

    Bề mặt vết nứt c giả định như biên kéo tự do

Phương trình cân bằng và điều kiện biên cho bởi:

 : Ten xơ ứng suất Cauchy

n: véc tơ pháp tuyến đơn vị

Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính:

Dạng yếu của phương trình vi phân là dạng đã biến đổi để có thể tính toán xấp

xỉ Từ dạng yếu mới đưa các hàm xấp xỉ vào và rút ra hệ phương trình   K u=F để giải tìm ẩn chuyển vị

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng [3], [21]

2.2.1.Phương trình xấp xỉ chuyển vị

Phương trình xấp xỉ chuyển vị trong XFEM được phát triển dựa trên nền tảng của phương pháp FEM bằng cách thêm vào các bậc tự do Thành phần bậc tự do thêm vào này gọi là phần làm giàu hay mở rộng XFEM đặc biệt hữu dụng cho các bài toán có tồn tại yếu tố bất liên tục, suy biến… (ở đó chuyển vị bất liên tục) như: vết nứt, lỗ rỗng, bề mặt phân cách giữa 2 vật liệu, sự thay đổi độ cứng…Dạng tổng quát của phương trình xấp xỉ chuyển vị:

đi qua Tuy nhiên, ta sẽ không đi sâu vào phần này mà sẽ đi sâu vào ưu điểm của XFEM là không quá phụ thuộc vào việc chia lưới phần tử Với bất kỳ hệ lưới nào định trước, XFEM sẽ giải quyết được bằng cách tăng số bậc tự do phần tử Số lượng bậc tự do trong XFEM sẽ nhiều hơn FEM Cụ thể, tại mỗi nút của phần tử có vết nứt cắt qua sẽ tăng thêm 1 bậc tự do (do hàm làm giàu Heaviside) và mỗi nút tại phần tử chứa đỉnh vết nứt sẽ tăng thêm 4 bậc tự do (do 4 hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt), nên tổng số bậc tự do của hệ sẽ tăng lên theo công thức:

total dof  numnode*nsd  numsplitnode*1*nsd  numstipnode*4*nsd total dof: tổng số bậc tự do của hệ

numnode: tổng số nút của hệ

numsplitnode: tổng số nút của phần tử có vết nứt cắt qua

numstipnode: tổng số nút của phần tử chứa đỉnh vết nứt

nsd: số bậc tự do tại mổi nút của phần tử thường

Điều thuận lợi khi sử dụng các hàm làm giàu trong XFEM là vết nứt độc lập với lưới so với FEM, nghĩa là không phải chia lại lưới tại vị trí vết nứt như FEM Đối với mô phỏng vết nứt, có hai loại hàm làm giàu được sử dụng: Hàm Heaviside thường được chọn như hàm xét dấu dùng mô phỏng các sự bất liên tục đối với phần

(2.7)

tử có vết nứt cắt qua (split element) và 4 hàm làm giàu cho phần tử chứa đỉnh vết nứt, còn gọi là 4 hàm nhánh (xem [23]) dùng mô phỏng sự bất liên tục phần tử chứa đỉnh vết nứt (tip-element) Dạng chung của XFEM dùng mô phỏng vết nứt nhận được bởi:

u b c là các bậc tự do chưa biết phụ thuộc vào I J K, ,

I: là tổng số nút trong toàn miền

J: tổng số nút làm giàu bởi hàm dấu S x  

K: tổng số nút làm giàu bởi hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt l 

 hàm level set (được trình bày trong mục 2.8.1)

Hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt F xl  được biết đến như các hàm nhánh:

Hình 2.2 Tọa độ cực tại đỉnh vết nứt [3]

Bài toán có vết nứt là bài toán có trường chuyển vị bất liên tục Trong FEM thông thường ta đã có hàm xấp xỉ chuyển vị Bây giờ XFEM là cộng thêm vào một vài cụm nữa để biểu diễn sự bất liên tục đó (tăng bậc tự do-phần làm giàu), mà

không làm thay đổi lưới phần tử

Trong XFEM cho bài toán vết nứt ta quan tâm 2 hàm làm giàu quan trọng:

 Hàm làm giàu dạng Heaviside (Heaviside-type enrichment)

 Hàm làm giàu cho đỉnh vết nứt (crack tip-enrichment)

2.2.2 Ý nghĩa của các hàm làm giàu

Vết nứt là yếu tố bất liên tục nên chuyển vị cũng như ứng suất, biến dạng đều bất liên tục tại vết nứt Trước khi có XFEM, người ta phải "xé" phần tử ra, tức là phải chia lại lưới (remeshing) đối với bài toán vết nứt phát triển Việc chia lại lưới rất phức tạp về mặt thuật toán nên sẽ không xét trong luận văn này Với XFEM, trong bài toán 2D thì thông tin về vết nứt chỉ là tọa độ các điểm mà vết nứt đi qua Các mô tả về sự bất liên tục của trường chuyển vị đều thể hiện ở các hàm làm giàu Hàm làm giàu (enrichment function) là để biểu diễn đặc tính bất liên tục, không trơn (non-smooth) của vết nứt như bước nhảy (jump) và suy biến (singularity),

Ta có một hàm H(x) cho các nút thuộc phần tử có vết nứt cắt qua; và 4 hàm

F1(r,), F2(r,), F3(r,), F4(r,) cho mỗi nút thuộc phần tử chứa đỉnh vết nứt Đây là kết quả nghiên cứu của những người đi trước Về mặt ý nghĩa, thì hàm H(x) biểu diễn sự "xé" ra, còn các hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt (tip-enriched functions) thì

rút ra từ các trường tiệm cận (asymptotic fields) cho trường chuyển vị và ứng suất quanh đỉnh vết nứt trong lời giải giải tích

Hàm làm giàu  x có thể được chọn để áp dụng thích hợp trong việc phân tích các giải pháp của dạng bất liên tục Mục đích chính cho việc sử dụng khác nhau của hàm làm giàu trong XFEM có thể được diễn tả như sau:

 Thể hiện được bản chất của miền kỳ dị lân cận đỉnh vết nứt Sự tập trung, suy biến ứng suất tại phần tử chứa đỉnh vết nứt

 Thể hiện sự liên tục trong chuyển vị giữa các PTHH gần nhau

 Miền biến dạng phía trên bề mặt vết nứt độc lập với miền biến dạng phía dưới bề mặt vết nứt (đối với phần tử có vết nứt cắt qua)

Hàm xét dấu H x t,  tăng thêm tại mỗi nút 1 bậc tự do; mỗi hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt tăng thêm tại mỗi nút 1 bậc tự do, vì có 4 hàm nên tăng cả thảy là

4 bậc tự do cho mỗi nút của phần tử chứa đỉnh vết nứt

2.3 Phần tử hai chiều dạng tứ giác trong FEM

Hệ tọa độ tự nhiên cho phần tử tứ giác là một hệ tọa độ địa phương sao cho các trục r, s của nó đi qua các điểm giữa của các cặp cạnh đối diện thể hiện ở hình 2.3 Các cạnh này được xác định bởi phương trình r  1 và s 1 Khi đó điểm bất kỳ thuộc phần tử có tọa độ (x,y) trong hệ tọa độ vuông góc tổng thể sẽ có tọa độ (r,s) trong hệ tọa độ tự nhiên Các tọa độ tự nhiên này không thứ nguyên và có giá trị trong khoảng -1 đến 1 Trong XFEM, phần tử tứ giác 4 nút với hàm dạng tuyến tính thường được sử dụng làm phần tử thường (phần tử không được làm giàu)

Hình 2.3 Phần tử trong tọa độ vật lý tổng thể và trong tọa độ tự nhiên [21]

2.4 Mối quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên

2.4.1 Chuyển từ tọa độ tự nhiên sang tọa độ vật lý

Quan hệ giữa các tọa độ vuông góc tổng thể và các tọa độ tự nhiên này được xác định như sau:

1 4

x N r s x N N N N

x x

y N r s y N N N N

y y

41( , ) (1 )(1 )

41( , ) (1 )(1 )

41( , ) (1 )(1 )

1(1 )(1 )4

( , )

1(1 )(1 )4

1(1 )(1 )4

2.4.2 Đạo hàm các hàm dạng trong hệ tọa độ tổng thể (vật lý)

Việc tính toán ma trận độ cứng phần tử liên quan đến việc lấy đạo hàm các hàm dạng trong hệ tọa độ vật lý tổng thể (X,Y) Mối quan hệ giữa đạo hàm các hàm dạng trong hệ tọa độ tổng thể và tự nhiên như sau:

x r

x s

y r

y s

N1,r,N2,r,N3,r,N4,rlà đạo hàm riêng các hàm dạng theo r tương ứng với các nút

1, 2, 3, 4 trong hệ tọa độ địa phương của phần tử chủ

1,s, 2,s, 3,s, 4,s

N N N N là đạo hàm riêng các hàm dạng theo s tương ứng với các nút

1, 2, 3, 4 trong hệ tọa độ địa phương của phần tử chủ

Từ ma trận Jacobi J (2.15), ta tính được ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi

là 1

J Thế 1

J vào công thức (2.7) ta tính được giá trị đạo hàm riêng của hàm dạng

N theo tọa độ (x,y) tương ứng với điểm có tọa độ (r,s):

1 ,x ,y (4 2)x ,r ,s (4 2)x (2 2)x

Trong hệ tọa độ tổng thể ban đầu, ta có thể tính toán tọa độ tất cả các điểm bằng hình học, nhưng khi cần tính toán tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss bắt buộc phải chuyển tọa độ điểm đó sang hệ tọa độ tự nhiên (cụ thể ở đây là tọa độ tự nhiên các điểm Gauss phân bố trong phần tử tam giác, tứ giác, ) Ngoài

ra trong một số bài toán tính giao điểm (trình bày sau) cũng cần phải tìm tọa độ tự nhiên

Ở đây ta trình bày cách tính tọa độ tự nhiên bất kỳ của 1 điểm thuộc phần tử tứ giác khi biết tọa độ tổng thể của điểm đó và 4 điểm nút của phần tử Ta sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson để tìm tọa độ tự nhiên của điểm

Nghiệm thu được trong phương pháp lặp phương trình phi tuyến f x  0:

Giả sử điểm A x y 1, 1 là điểm có tọa độ tự nhiên cần tìm

Gán giá trị tọa độ tự nhiên điểm A cần tìm 1 giá trị ban đầu:

   r,s  0, 0

Tọa độ tổng thể điểm A tương ứng với tọa độ  0, 0 :

    

1 1 4

x r

x s

y r

y s

C : Ma trận đàn hồi của vật liệu (sẽ trình bày rõ hơn trong chương 3)

Ma trận Jacobi J tính được theo (2.15)

2.6 Kỹ thuật chuyển (shifting technique)[18]

Shifting technique là một kỹ thuật dùng để duy trì thuộc tính Kronecker delta cho các phần tử có nút được làm giàu

Phương trình xấp xỉ trong XFEM:

và tip element)

2.7 Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong XFEM

Dưới dạng ma trận, trường biến dạng được xấp xỉ cho mỗi phần tử cho bởi công thức:

Ma trận B là ma trận chứa các giá trị đạo hàm của hàm dạng tính tại các nút phần tử trong tọa độ tổng thể có dạng:

00

Hàm làm giàu  ( ) x được thay thế bởi hàm dấu S x ( ) đối với phần tử làm giàu

có vết nứt cắt qua hoặc thay thế bởi hàm làm giàu đỉnh vết nứt F xl( ) đối với phần

tử làm giàu chứa đỉnh vết nứt Còn đối với phần tử không được làm giàu, ma trận

*

B bị triệt tiêu

2.7.2 Đạo hàm các hàm nhánh (hàm làm giàu của phần tử chứa đỉnh vết nứt)

Để nhận được B* trong (2.56) đối với phần tử chứa đỉnh vết nứt (tip-element), cần thiết phải tính toán các giá trị đạo hàm của hàm nhánh Đạo hàm của các hàm nhánh theo tọa độ tổng thể (X,Y) nhận được:

Với  là góc nghiêng của vết nứt so trục X tổng thể, xem hình 2.4

Hình 2.4 Xác định tọa độ địa phương của vết nứt

Như vậy, từ tọa độ tổng thể ta tính được tọa độ địa phương thông qua ma trận chuyển sau:

2.8.1 Phương pháp level set-Ưu nhược điểm

Ưu điểm phương pháp level set

Level set là một kỹ thuật để phát hiện vị trí của vết nứt (nhất là khi phần vết nứt đấy phát triển) Phương pháp này được giới thiệu trong tài liệu [24] Trọng tâm của phương pháp đó là tính khoảng cách (có xét dấu) của một điểm x đến vết nứt Dựa vào phương pháp level set, sẽ biết được những phần tử nào, và từ đó là những nút nào, có thêm thành phần làm giàu Nói chung kĩ thuật level set dùng được trong 2D, vì khi đó bề mặt vết nứt được biểu diễn dưới dạng các đoạn thẳng (hoặc đường cong) như hình 2.5

Hình 2.5 Vết nứt bất kỳ trong lưới phần tử có 2 đỉnh [18]

Trong phạm vi giới hạn của luận văn chỉ xét trường hợp vết nứt chỉ có 1 đỉnh, đỉnh còn lại sẽ nằm trên biên phần tử cho tất cả các bài toán Vì vậy ta sẽ chỉ xét 1 phần tử chứa đỉnh vết nứt (tip element)

Khoảng cách từ một điểm x đến bề mặt vết nứt được thể hiện trong hình 2.6

Hình 2.6 Hàm dấu [18]

Với: x là các điểm nút phần tử, x là hình chiếu từ x đến vết nứt, d là khoảng cách ngắn nhất của bất kỳ điểm nút nào đến vết nứt (do lấy hình chiếu thẳng góc) Khoảng cách có dấu của hàm dấu  x xác định bởi:

n là pháp tuyến đơn vị của C tại x

Tại điểm kết thúc của vết nứt, đỉnh vết nứt được giới thiệu thêm một hàm vuông góc với hàm  x t, đó là hàm  x t,

Đối với vết nứt có 2 đỉnh nằm trong vật thể thì  x t, phát triển thành 2 hàm

Hình 2.7 Dấu của các hàm  và  để xác định vị trí vết nứt [18]

Nhược điểm phương pháp level set

Kỹ thuật phát hiện vị trí vết nứt giới thiệu trong tài liệu [24] nhưng không tổng quát trong một số trường hợp, đã được chỉ ra trong [18] thể hiện ở hình vẽ bên dưới

Hình 2.8 Nhận diện phần tử có vết nứt cắt qua bị sai [18 ]

Trên hình ta để ý phần tử 2 thực sự là phần tử có vết nứt cắt qua (split element) nhưng theo công thức (2.61) không nhận ra được bới vì có một nút (màu đỏ) có giá trị dương

Một trường hợp khác, khi theo dõi sự phát triển của vết nứt, tài liệu [18] cũng chỉ ra sự phát hiện sai giữa phần tử split element và tip element

Hình 2.9 Sự phát hiện sai phần tử có vết nứt cắt qua

và phần tử chứa đỉnh vết nứt khi vết nứt phát triển [18]

2.8.2 Phương pháp phát hiện vết nứt bằng hình học

Như đã trình bày ở trên, kỹ thuật phát hiện vết nứt dùng hàm level set để tính toán trong thuật toán XFEM có những trường hợp không chính xác, đặc biệt với những bài toán có vết nứt xiên Hiện tại, phương pháp XFEM đã phát triển rất nhiều

và đã đưa vào cả phần mềm thương mại như ABAQUS, nhưng những tài liệu công khai về việc xác định phần tử split element và tip element thì rất ít, và đã có từ khoảng 10 năm về trước Nghĩa là những kỹ thuật mà các tác giả dùng để bổ sung cho điều kiện phát hiện vết nứt trong [24] không được công bố một cách rõ ràng

Do đó, để khắc phục những nhược điểm trên, bằng khả năng của cá nhân và sự hướng dẫn của nghiên cứu sinh Nguyễn Ngọc Minh, tác giả cố gắng đưa ra phương pháp phát hiện vết nứt bằng cách tìm giao điểm của vết nứt với các cạnh phần tử Các bước thực hiện được trình bày dưới đây và được minh họa bởi hình 2.10 Bước 1: Từ tọa độ 2 điểm của vết nứt, xác định được phương trình đường thẳng vết nứt theo dạng y=a1 * x + b1

Bước 2: Từ tọa độ 4 điểm của phần tử, xác định được phương trình đường thẳng 4 cạnh của phần tử cũng theo dạng y2 = a2 *x + b2

Bước 3: Tìm giao điểm của vết nứt với các cạnh phần tử Lưu ý là giao điểm này phải nằm thuộc vết nứt và nằm trên cạnh của phần tử chứ không phải nằm trên