MÔ PHỎNG hệ THỐNG nối đất TRẠM BIẾN áp BẰNG PHƯƠNG PHÁP RBF FD

Đề tài luận văn “Mô phỏng hệ thống nối đất trạm biến áp bằng phương pháp RBF-FD” là đề tài nghiên cứu giải bài toán phân bố điện thế trên hệ thống nối đất của trạm biến áp khi có dòng đi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG -HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS TS Vũ Phan Tú

Cán bộ chấm nhận xét 1 : TS Trần Hoàng Lĩnh

Cán bộ chấm nhận xét 2 : PGS TS Trương Việt Anh

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 14 tháng 07 năm 2018

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: LÊ ĐỖ DUY THỨC MSHV: 1670353

Ngày, tháng, năm sinh: 28/04 /1972 Nơi sinh: Tp Hồ Chí Minh Chuyên ngành: Kỹ thuật điện Mã số : 60520202

I TÊN ĐỀ TÀI:

Mô phỏng hệ thống nối đất trạm biến áp bằng phương pháp RBF-FDM

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Trình bày về phương pháp RBF-FDM và ứng dụng nó để giải bài toán mô phỏng lưới nối đất của trạm biến áp, nhận xét

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : (Ghi theo trong QĐ giao đề tài) : 15/01/2018

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: (Ghi theo trong QĐ giao đề tài) 17/06/2018

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Ghi rõ học hàm, học vị, họ, tên):

PGS TS Vũ Phan Tú

Tp HCM, ngày tháng năm 2018.

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

(Họ tên và chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỬ

(Họ tên và chữ ký)

Lời đầu tiên tôi xin gởi lời đáp tạ đến PGS-TS Vũ Phan Tú là người đã gợi ý, hướng dẫn tôi thực hiện đề tài này và cũng là người luôn khuyến khích và động viên tôi vượt qua các trở ngại về nhiều mặt để hoàn thành tập luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô của Khoa Điện – Điện tử trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh đã trao cho tôi những kiến thức quý báu, chỉ cho tôi những sai sót để tự hoàn thiện từ đó giúp tôi thêm niềm đam mê trong nghiên cứu khoa học

Để hoàn thành được việc học tập và hoàn chỉnh tập luận văn này, tôi đã được sự tạo điều kiện tốt nhất về thời gian của anh Bùi Văn Hoàng – Giám đốc Truyền tải điện

Tp Hồ Chí Minh, điều không dễ thực hiện trong tình hình sản xuất căng thẳng như hiện nay Tôi cũng nhận được sự giúp đỡ, động viên của bạn đồng nghiệp Nguyễn Xuân Bình – Trưởng phòng Kế hoạch – Vật tư của Truyền tải điện Miền đông 2, người đã có nhã ý cho tôi mượn kết quả tính toán bằng phương pháp FEM để so sánh

Và cuối cùng, không kém phần quan trọng, là Cha Mẹ, người bạn đời và các con tôi, những người luôn tin tưởng vào kết quả học tập của tôi ngay cả những lúc tôi thất vọng nhất, điều này đã giúp tôi có nhiều động lực để hoàn thành hai năm học và hoàn chỉnh tập luận văn này

Xin chân thành cảm tạ

Học viên

LÊ ĐỖ DUY THỨC

Đề tài luận văn “Mô phỏng hệ thống nối đất trạm biến áp bằng phương pháp RBF-FD” là đề tài nghiên cứu giải bài toán phân bố điện thế trên hệ thống nối đất

của trạm biến áp khi có dòng điện (sét, rò điện, đóng cắt…) đi qua bằng phương pháp

số, cụ thể là phương pháp hàm bán kính cơ bản kết hợp sai phân hữu hạn, gọi tắt là RBF-FD (Radial Basis Function – Finite Difference)

Nội dung của luận văn gồm có các chương:

Chương 1: Tổng quan Chương này giới thiệu tổng quan về vấn đề trong

luận văn, mục tiêu, tầm quan trọng và phạm vi nghiên cứu của

đề tài

Chương 2: Hệ thống nối đất và bài toán phân bố điện thế trên hệ thống nối

đất Chương này giới thiệu sơ nét về chức năng và cấu trúc của

hệ thống nối đất được quy định trong TCVN 9358-2013 và tiêu chuẩn IEEE Std 80-2013; lý thuyết cơ sở của bài toán phân bố điện thế trên hệ thống nối đất

Chương 3: Phương pháp RBF-FD trong giải bài toán trường điện từ

Chương này trình bày chi tiết về phương pháp RBF-FD tổng quát và ứng dụng giải bài toán trường điện từ

Chương 4: Mô phỏng cọc nối đất bằng phương pháp RBF-FD Chương này

trình bày cách phân tích và giải bài toán phân bố điện thế trên cọc nối đất hình trụ bằng phương pháp RBF-FD

Chương 5: Mô phỏng hệ thống lưới nối đất bằng phương pháp RBF-FD

Chương này trình bày cách phân tích và giải bài toán phân bố điện thế trên một số dạng lưới nối đất bằng phương pháp RBF-

FD

Chương 6: Phân tích hệ thống nối đất của một trạm biến áp thực tế So sánh

các kết quả tìm được với các quy định trong TCVN 9358-2013

và tiêu chuẩn IEEE Std 80 - 2013, nhận xét

Trong đó các chương 3, 4, 5, 6 là trọng tâm của luận văn tìm hiểu phương pháp RBF-FD, áp dụng giải bài toán phân bố điện thế trên hệ thống nối đất và phân tích kết quả so với một số tình huống thực tế

Do đây là một trong những phương pháp tương đối mới trong nghiên cứu bài toán điện từ, tài liệu không nhiều nên trong quá trình nghiên cứu áp dụng không thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong Quý Thầy Cô và các bạn học viên, đồng nghiệp góp

ý để có thể hoàn thiện hơn trong tương lai

The topic of this thesis: “Simulation of substation grounding system by Radial Basis Function - Finite Different Method” is the one in which the problem

of potential distribution on grounding system of a transformer substation during current flowing through (lightning, leakage, switching…) is studied by numerical method, particularly, Radial Basis Function – Finite Difference Method (RBF-FDM) The content of this thesis includes these following chapters:

Chapter 1: General This chapter basically introduces the topic, goal, the

importance and research domain

Chapter 2: Grounding system and the problem of potential distribution on grounding system This chapter generally describes the function and construction of grounding system which are ruled by TCVN

9358 - 2012 and IEEE Std 80-2013; basic theory of potential distribution on grounding system problem

Chapter 3: RBF-FDM in solving electro-magnetic problem This chapter

presents in detail about RBF-FDM and its application in solving electro-magnetic problem

Chapter 4: Simulating rod electrode by RBF-FDM This chapter describes

how to analyze and solve the problem of potential distribution

on cylindrical rod electrode by RBF-FDM

Chapter 5: Simulating grounding grid system by RBF-FDM This chapter

describes how to analyze and solve the problem of potential distribution on some types of grounding grid system by RBF- FDM

Chapter 6: Analyzing grounding grid system of real transformer

substations Compares the results with regulations in TCVN 9358-2012 and IEEE Std 80-2013, remarks

to solve the problem of potential distribution on grounding grid system and analyzing the results in comparison with some real situations

Because RBF-FDM is one of relatively new methods in studying magnetic problems, there are few reference documents so mistakes are unavoidable during research and application, I wish to have comments from Teachers, trainees and my partners to improve in future

electro-Với việc nộp bản luận văn này, tôi xin cam đoan:

 Bản luận văn tốt nghiệp với đề tài “Mô phỏng hệ thống nối đất trạm biến

áp bằng phương pháp RBF-FD” là do chính tôi thực hiện dựa trên nguồn tài liệu tham

khảo đã nêu tại mục “Tài liệu tham khảo”

 Các số liệu, kết quả tính toán, code lập trình trong luận văn là do chính tôi thực hiện trên phần mềm Matlab, phiên bản R2014a; các số liệu, kết quả tính toán trích dẫn từ nguồn khác sẽ được chỉ rõ nguồn tham khảo và chủ yếu để dùng so sánh với các kết quả tính toán trong luận văn, không phải là dữ liệu chính

Tôi xin chịu trách nhiệm về tính trung thực của bản luận văn này theo những lời cam đoan nêu trên và chịu xử lý theo quy định nếu có bằng chứng rõ ràng cho thấy bản luận văn này có sự sao chép từ tài liệu khác hoặc/và dữ liệu không trung thực

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Chương 1 TỔNG QUAN 4

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG 4

1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI 4

1.3 TẦM QUAN TRỌNG CỦA ĐỀ TÀI 5

1.4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5

Chương 2 HỆ THỐNG NỐI ĐẤT VÀ BÀI TOÁN PHÂN BỐ ĐIỆN THẾ TRÊN HỆ THỐNG NỐI ĐẤT 6

2.1 HỆ THỐNG NỐI ĐẤT 6

2.1.1 Giới thiệu chung 6

2.1.2 Cấu tạo hệ thống nối đất 7

2.1.3 Quá trình tản dòng điện vào trong đất 8

2.1.4 Điện trở suất của đất 10

2.1.5 Điện trở nối đất 10

2.1.6 Yêu cầu an toàn về điện áp bước và điện áp tiếp xúc 12

2.2 BÀI TOÁN PHÂN BỐ ĐIỆN THẾ TRÊN HỆ THỐNG NỐI ĐẤT 13

2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 15

2.3.1 Phương pháp giải tích 15

2.3.2 Phương pháp biến đổi Laplace 16

2.3.3 Phương pháp số 17

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP RBF-FD TRONG GIẢI BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 18

3.1 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH (RBF) 18

3.1.1 Đặt vấn đề 18

3.1.2 Tổng quan về phương pháp không lưới 19

3.1.3 Hàm cơ sở bán kính RBF 21

3.1.4 Nội suy với hàm cơ sở bán kính RBF 22

3.1.5 Ma trận và hàm xác định dương 22

3.1.6 Giải thuật của hàm cơ sở bán kính RBF 24

3.2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN 25

3.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP 28

3.3.1 Phương pháp Jacobi, JOR 28

3.3.2 Phương pháp Gauss – Siedel, SOR 30

3.3.3 Giải bài toán sai phân hữu hạn bằng phương pháp lặp 31

3.4 PHƯƠNG PHÁP HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH KẾT HỢP SAI PHÂN HỮU HẠN RBF-FD 32

3.4.1 Thiết lập công thức vi phân theo cách tiếp cận thứ nhất [11] 34

3.4.2 Thiết lập công thức vi phân theo cách tiếp cận thứ hai [12] 35

3.5 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI BÀI TOÁN BENCHMARK 38

3.5.1 Bài toán Benchmark 38

3.5.2 Giải bài toán Benchmark bằng phương pháp giải tích 39

3.5.3 Giải bài toán Benchmark bằng phương pháp RBF-FD 39

3.5.4 Chọn phương pháp lặp, các giá trị c và  cho bài toán mô phỏng 46

Chương 4 MÔ PHỎNG CỌC NỐI ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP RBF-FD 47

4.1 BÀI TOÁN PHÂN BỐ THẾ TRÊN CỌC NỐI ĐẤT 47

3.1 MÔ PHỎNG CỌC NỐI ĐẤT VỚI PHÂN BỐ ĐỒNG NHẤT 47

3.2 MÔ PHỎNG CỌC NỐI ĐẤT VỚI PHÂN BỐ KHÔNG ĐỒNG NHẤT 51

Chương 5 MÔ PHỎNG HỆ THỐNG LƯỚI NỐI ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP RBF-FD 56

5.1 CẤU TẠO LƯỚI NỐI ĐẤT 56

5.2 CƠ SỞ TÍNH TOÁN 56

5.3 GIẢI THUẬT TÍNH TOÁN 57

5.4 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 59

5.4.1 Lưới nối đất 70x70m không có cọc 60

5.4.2 Lưới nối đất 70x70m có bố trí cọc xung quanh chu vi 64

5.4.3 Lưới nối đất 70x84m không có cọc 69

5.4.4 Lưới nối đất 70x84m có bố trí cọc xung quanh chu vi 73

5.4.5 Lưới nối đất chữ L 70x105 (35)m không có cọc 78

5.4.6 Lưới nối đất hình chữ L 70x105 (35)m có bố trí cọc quanh chu vi 86

5.4.7 Nhận xét về các kết quả tính toán thu được 94

5.5 KHẢO SÁT SỰ THAY ĐỔI ĐỘ CHÔN SÂU CỦA LƯỚI NỐI ĐẤT 95

Chương 6 MÔ PHỎNG LƯỚI NỐI ĐẤT CỦA TRẠM BIẾN ÁP THỰC TỀ 98

6.1 TRẠM BIẾN ÁP 110/22kV HẠT NHÂN NINH THUẬN 2 98

6.1.1 Giới thiệu 98

6.1.2 Mô phỏng hệ thống nối đất của trạm 101

6.2 TRẠM BIẾN ÁP 22/110kV NHÀ MÁY ĐIỆN MẶT TRỜI NỔI ĐA MI 104

6.2.1 Giới thiệu 104

6.2.2 Mô phỏng hệ thống nối đất của trạm 105

Chương 7 KẾT LUẬN 111

7.1 KẾT LUẬN 111

7.2 HƯỚNG NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 112

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113

Chương 1

TỔNG QUAN

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Hệ thống nối đất là một hệ thống kỹ thuật quan trong trong các công trình điện nói chung và trong các trạm biến áp nói riêng, mục đích chung của hệ thống nối đất là bảo vệ an toàn cho con người và thiết bị trong các tình huống sự cố ngắn mạch pha – pha, chạm đất và các tình huống thoáng qua (sét, đóng cắt thiết bị)

Hệ thống nối đất cần được thiết kế để chịu được các trạng thái cực đoan nhất, nghĩa là các thành phần cấu tạo lưới nối đất không bị hư hỏng do điện, nhiệt hoặc cơ trong điều kiện có dòng điện ngắn mạch lớn nhất đi qua trong thời gian lớn nhất Do đó, việc tính toán phân bố điện áp trên hệ thống nối đất trong điều kiện có dòng điện sét đi vào có ý nghĩa thực tiễn cao nhằm xác định được điểm yếu trong trạm biến áp để có những giải pháp đảm bảo an toàn hợp lý cho con người và thiết bị

1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI

Mục tiêu của đề tài là thiết lập và giải bài toán phân bố điện thế trên hệ thống nối đất của trạm biến áp khi có dòng điện (sét, rò điện, đóng cắt…) đi qua bằng phương pháp số, cấu trúc cơ sở của hệ thống nối đất dựa trên Quy phạm trang

bị điện, tiêu chuẩn IEEE Std 80TM - 2013 về nối đất an toàn cho người và thiết

bị theo hai cách:

- Tuân thủ quy định và,

- Không tuân thủ quy định về độ chôn sâu của lưới

Từ đó xác định:

- Các vị trí chịu điện áp cao nguy hiểm

- Xác định ngưỡng điện áp bước, điện áp tiếp xúc an toàn

Kết quả tìm được sẽ được so sánh kiểm chứng với các giá trị quy định của Quy

phạm trang bị điện, tiêu chuẩn IEEE Std 80TM - 2013, nhận xét

Phân tích hệ thống nối đất của một trạm biến áp thực tế

1.3 TẦM QUAN TRỌNG CỦA ĐỀ TÀI

Việc tính toán phân bố điện thế trên hệ thống nối đất khi có dòng điện đi qua đã được thực hiện nhưng cơ bản chỉ mới tính toán lý thuyết chưa so sánh với thực

tế và kiểm chứng với quy phạm, tiêu chuẩn hiện hành Đây là mục tiêu chính

mà đề tài này hướng tới nhằm chứng minh tính đúng đắn hoặc chỉ ra các điểm chưa phù hợp của một hệ thống nối đất so sánh với các quy phạm, tiêu chuẩn đang áp dụng và có thể đề xuất giải pháp

1.4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Áp dụng phương pháp số, cụ thể là phương pháp hàm cơ sở bán kính kết hợp phương pháp sai phân hữu hạn – RBF-FD để giải bài toán phân bố điện thế trên cấu trúc hệ thống nối đất lý thuyết và thực tế So sánh, nhận xét kết quả thu được với các quy phạm, tiêu chuẩn hiện hành

Chương 2

HỆ THỐNG NỐI ĐẤT VÀ BÀI TOÁN PHÂN BỐ ĐIỆN THẾ TRÊN HỆ THỐNG NỐI ĐẤT

2.1 HỆ THỐNG NỐI ĐẤT [16], [17]

2.1.1 Giới thiệu chung

Như đã nêu ở trên, hệ thống nối đất là một hệ thống kỹ thuật quan trong trong các công trình điện nói chung và trong các trạm biến áp nói riêng, nó là tập hợp các cực tiếp địa và dây nối đất có nhiệm vụ tản dòng điện vào trong đất để bảo

vệ an toàn cho con người và thiết bị khi có sự cố ngắn mạch, sét, đóng cắt thiết

bị, rò điện qua cách điện

Về cơ bản có ba loại nối đất: i) nối đất làm việc, ii) nối đất an toàn và iii) nối đất chống sét:

– Nối đất làm việc: nhằm đảm bảo điều kiện làm việc bình thường cho thiết

bị điện và một số bộ phận của thiết bị điện theo chế độ làm việc đã được quy định sẵn Đây là loại nối đất bắt buộc để đảm bảo các điều kiện vận hành của hệ thống, ví dụ như nối đất trung tính máy biến áp, đường dây – Nối đất an toàn: nhằm đảm bảo an toàn cho con người khi làm việc với

thiết bị điện Các bộ phận bằng kim loại của thiết bị điện có khả năng tiếp xúc con người như vỏ máy, trụ tháp sắt, giá đỡ thiết bị… được nối trực tiếp với đất Do đó, khi có sự cố rò điện ra các bộ phận kim loại này thì dòng điện sự cố sẽ dẫn trực tiếp xuống đất không qua người, hay nói cách khác bộ phận kim loại đẳng áp với đất nên khi người tiếp xúc vào sẽ không

có dòng điện chạy qua

– Nối đất chống sét: bảo vệ chống sét đánh trực tiếp hoặc lan truyền vào

thiết bị điện, nối từ bộ phận thu sét xuống đất

Nối đất an toàn và chống sét gọi chung là nối đất bảo vệ Trong trạm biến áp có cấp điện áp 110kV trở lên, ba hệ thống nối đất này thường được sử dụng chung

2.1.2 Cấu tạo hệ thống nối đất

Hệ thống nối đất bao gồm các cực tiếp địa bằng thép hoặc bằng đồng được liên kết với nhau bởi các thanh ngang bố trí thành dạng lưới ô chữ nhật, thường được chôn ở độ sâu nhất định trong đất

Do hệ thống nối đất liên quan đến an toàn cho con người và thiết bị nên nó phải đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật theo quy phạm quốc gia, cụ thể ở Việt Nam là Quy phạm trang bị điện 11-TCN-18 2006, Phần I – Quy định chung, Chương I.7 – Nối đất Theo 11-TCN-18 2006, hệ thống nối đất của trạm biến áp có điện

áp trên 1kV trung tính nối đất hiệu quả phải có cấu trúc đáp ứng các yêu cầu sau:

– Khuyến cáo sử dụng trang bị nối đất chung cho các thiết bị điện có chức năng và điện áp khác nhau Khi đó, điện trở của trang bị nối đất chung phải thỏa mãn yêu cầu của tất cả các thiết bị và có giá trị bằng hoặc nhỏ hơn điện trở nhỏ nhất của một trong các thiết bị đó

– Kích thước các điện cực của trang bị nối đất nhân tạo phải đảm bảo khả năng phân bố đều điện áp đối với đất trên diện tích đặt thiết bị điện Với thiết bị có dòng chạm đất lớn phải đặt mạch vòng nối đất xung quanh thiết

– Điện áp trên trang bị nối đất U đ khi có dòng điện ngắn mạch chạm đất chạy qua không được vượt quá 10kV

– Để san bằng điện thế và đảm bảo kết nối các thiết bị điện với hệ thống điện cực, phải lắp đặt các điện cực theo chiều dài và chiều rộng trên diện tích đặt các thiết bị điện và nối chúng lại với nhau thành lưới nối đất Tất

cả được chôn sâu ở độ sâu từ 0.5m đến 0.7m

– Khoảng cách giữa các điện cực theo chiều dài bố trí tùy theo vị trí thiết bị điện nhưng phải đảm bảo cách móng hoặc bệ đặt thiết bị từ 0.8m – 1m – Khoảng cách giữa các điện cực theo chiều ngang khuyến cáo bố trí với khoảng cách tăng dần tính từ biên chu vi đến trung tâm theo các giá trị 4m; 5m; 6m; 7.5m; 9m; 11m; 13.5m; 16m; 20m và lớn nhất không quá 30m Với quy định ở trên có thể thấy trên thực tế, do phụ thuộc vào việc bố trí thiết

bị trên mặt bằng, nên các ô lưới nối đất có kích thước không giống nhau Cấu trúc lưới nối đất như trên sẽ được dùng để tính toán ở các phần sau ở hai trường hợp tuân thủ và không tuân thủ để so sánh, đánh giá

2.1.3 Quá trình tản dòng điện vào trong đất

Khi có sự cố chạm đất, dòng điện truyền vào đất I d qua các đầu cực tiếp xúc rồi

tỏa ra mọi hướng (xem Hình 2.1) Giả thiết đầu cực tiếp xúc có dạng hình cầu

đường kính D Mật độ dòng điện đi vào đất j chính là dòng điện tính trên một

đơn vị diện tích của nửa bề mặt hình cầu

2

c

S , được xác định theo biểu thức:

2 2

.22

2

c

d d

c

d

r

I D

I S

Cường độ điện trường Ex tại điểm x, hiệu điện thế trên khoảng đất dx và điện

thế x tại điểm x được xác định theo các biểu

dx I

x

d x

x x

.2

hyperbole Với cùng dòng điện I d, cùng điện

trở suất , giá trị điện thế cực đại  = max khi

x  min, nghĩa là x = r c, khi đó:



Hình 2.2 mô tả cách xác định điện áp bước và điện áp tiếp xúc trong vùng ảnh

hưởng của cực tiếp địa Ở đây có thể thấy rằng do biểu thức phân bố điện thế x

có dạng hyperbole nên:

U txM = (max – M ) < U txN = (max – N ) (2.7) Qua kết quả khảo sát

Hình 2.2 Điện áp tiếp xúc và điện áp bước tại vùng ảnh

hưởng của điện cực khi có dòng điện sự cố chạy qua

gần cực tiếp địa, điện áp bước càng cao

– Điện áp tiếp xúc lớn hơn khi ở xa cực tiếp địa hơn và đạt cực đại max khi

đứng ở vùng điện thế bằng không mà chạm vào vỏ thiết bị được nối đất tại cực tiếp địa

Vùng điện thế cực đại là ngay bề mặt của cực tiếp địa (theo (2.6)) còn vùng điện thế bằng không theo lý thuyết là vùng đất cách cực tiếp địa 20 mét trở lên, điều này sẽ được tính toán kiểm chứng ở các phần sau

2.1.4 Điện trở suất của đất

Đất là một môi trường dẫn điện phức tạp, không đồng nhất về thành phần cấu tạo và phụ thuộc vào nhiều yếu tố như lượng ẩm, khả năng giữ ẩm trong đất, tạp chất, nhiệt độ môi trường… nên điện trở suất  (hay điện dẫn suất



của đất khác nhau ở mỗi khu vực, mỗi thời điểm trong năm Do đó, khi tính toán thiết kế hệ thống nối đất, cần phải xác định bằng thực nghiệm giá trị đo (hay

đo) của nơi cần lắp đặt hệ thống nối đất tại một điều kiện tham khảo nào đó,

rồi quy đổi bằng hệ số mùa k m sao cho trị số tính toán tt (hay tt) là bất lợi nhất trong năm

Hệ số k m phụ thuộc vào độ chôn sâu của điện cực, loại nối đất (an toàn, làm việc hay chống sét) và cách nối đất (nằm ngang hay thẳng đứng)

2.1.5 Điện trở nối đất

Điện trở nối đất R d của một vùng đất được định nghĩa là tỷ số giữa điện áp giáng

trên nó U d và dòng điện đi qua nó I d

d

d d

I

U

Từ (2.9) và (2.5) có thể tính được điện trở nối đất R d(x) của vùng đất có bán kính

x tính từ tâm của cực tiếp địa

R d x

.2

)



Điện trở nối đất R d(x) gồm có hai thành phần i) điện trở của bản thân điện cực

R dc và ii) điện trở tản của đất R t R dc thường có giá trị không đáng kể đối với

dòng điện một chiều hoặc tần số công nghiệp 50Hz so với R t nên có thể bỏ qua

trong tính toán nhưng đối với dòng điện xung với độ dốc lớn, R dc có ảnh hưởng

đáng kể nên cần phải xét đến khi tính toán R t có giá trị lớn hơn nhiều so với

R dc, nó phụ thuộc vào cấu trúc hệ thống nối đất, dạng và trị số dòng điện cũng như tính chất, cấu tạo, trạng thái của đất và điều kiện thời tiết, môi trường

Bảng 2.1 cho công thức tính giá trị R t của một số loại điện cực thông dụng

Bảng 2.1 Cách tính giá trị R t của một số loại điện cực thông dụng

Loại điện cực Cách bố trí Công thức tính điện trở tản

h l d

l l

R t coc

7

74ln2

12ln.2

L L

R t ng d

5,1ln.)

L L

R t ng tr

.ln )





Loại điện cực Cách bố trí Công thức tính điện trở tản

Lưới nối đất diện

luoi t

F h F

L

R

20 1

1 1

20

1 1

d

l l



2.1.6 Yêu cầu an toàn về điện áp bước và điện áp tiếp xúc

Quy phạm trang bị điện quy định tính toán điện áp bước và điện áp tiếp xúc cho phép theo tiêu chuẩn IEEE Std 80TM -2000 (phiên bản trước của IEEE Std 80TM-2013) như sau:

s s s touch

t C

s s s step

t C

Trong đó:

 Etouch: điện áp tiếp xúc (V)

 Estep: điện áp bước (V)

109.01

 s: điện trở suất lớp vật liệu bề mặt (m)

 : điện trở suất của đất (m)

 h s: chiều dày lớp vật liệu bề mặt

 t s: thời gian dòng điện qua người, lấy bằng tổng thời gian tác động của bảo

vệ và thời gian cắt toàn phần của máy cắt (s)

Nếu không có lớp bề mặt thì s =  và C s = 1

Các công thức (2.9) và (2.10) đã mặc nhiên quy định cho người có trọng lượng 50kg (hệ số 0.116) và điện trở cơ thể là 1000 Do đó, cần lưu ý khi tính toán với các điều kiện khác (ví dụ người 70kg thì hệ số 0.116 sẽ thay bằng 0.157; điện trở cơ thể người có thể thấp hoặc cao hơn 1000 tùy thuộc nhiều yếu tố sinh lý, môi trường…)

Trang bị nối đất phải đảm bảo điện áp bước và điện áp tiếp xúc không lớn hơn giá trị quy định được tính như trên ở mọi thời điểm trong năm khi có dòng ngắn mạch chạy qua

2.2 BÀI TOÁN PHÂN BỐ ĐIỆN THẾ TRÊN HỆ THỐNG NỐI ĐẤT

Khi có dòng điện (sét, sự cố, xung đóng cắt…) đi vào hệ thống nối đất, điện thế phân bố trên lưới nối đất và tương ứng trong đất sẽ tăng Giả thiết giới hạn phạm

vi khảo sát chỉ đối với đáp ứng xác lập về mặt điện động và bỏ qua nội trở của điện cực (khi đó, điện thế phân bố trên bề mặt điện cực nối đất bằng nhau tại

mọi điểm), mật độ dòng điện J và thế điện (vô hướng) φ tại các điểm trong đất

và trên mặt đất phải thỏa mãn phương trình vi phân từng phần dạng Elliptic bậc hai ba chiều có dạng như sau [7], [8]:

([]φ) = 0 hay div (J) = 0 và J = –  grad (φ) (2.14)

trong miền khảo sát Ω (x) là toàn bộ khối đất đang xét;  là tensor điện dẫn của đất trong miền Ω

Các biên của (2.14) trong một miền khảo sát nào đó là bề mặt của đất Гe, bề mặt

của điện cực nối đất Г và các giá trị của x mà tại đó φ = 0 Theo đó, các điều

kiện biên của bài toán (2.14) gồm:

khi x trên miền Гe; n là vector đơn vị trên miền Гe, hướng từ đất ra

không khí (điều kiện biên Neumann)

 φ = φГ khi x trên miền Г (điều kiện biên Dirichlet)

 φ  0 khi |x|  ∞ (điều kiện biên Dirichlet)

Giải phương trình (2.14) sẽ được giá trị điện thế x và mật độ dòng điện J tại một điểm x tùy ý trong miền Ω khi điện cực đạt được điện áp φГ (gọi là độ tăng

điện thế đất – Grounding/Earthing Potential Rise – GPR/EPR) tương ứng Biết

được φ trên Гe và J trên Г có thể tính toán, kiểm tra được các thông số về an

toàn của hệ thống như điện áp bước, điện áp tiếp xúc và điện trở tương đương của hệ thống

Để đơn giản, giả thiết rằng miền đất khảo sát là đồng nhất và đẳng hướng nên tensor điện dẫn  là đại lượng vô hướng được biểu diễn bằng giá trị biểu kiến 

không đổi xác định qua thực nghiệm Với giả thiết này, phương trình (2.14) trở thành:

([]φ) = 0 (φ) = 0 2φ = 0 hay φ = 0 (2.15) Phương trình (2.15) chính là phương trình Laplace

Khai triển vế trái của (2.15) áp dụng các biểu thức gradient và divergence trong trường hợp tổng quát trên hệ tọa độ cong ta được [2]:

2 1 3 2

2

1 3 2 1

1

3 2 1 3 2 1

1

u h

h h u u

h

h h u u

h

h h u h h h

,,()

,,

(

2

2 2

2 2

z y x x

z y

r

r r

2 2

r

r r

1sin

sin

11

0),,(sin

1),,(tan

),,(),,()

,,(

2

2

2 2 2

2 2

2 2

pháp này khó áp dụng, đôi khi không tìm được lời giải

Các phương pháp giải tích thường dùng trong việc giải các bài toán vật lý là: tách biến, hàm Green, biến đổi Fourier, biến trạng thái, biến phân, tích phân

Ví dụ đối với phương trình (2.17) có thể giải bằng phương pháp tách biến Nghiệm tìm được từ lời giải giải tích cho bài toán phân bố điện thế (2.17) được

biểu diễn như một hàm của x, y, z trên hệ tọa độ Descarte ba chiều như sau [1]:

sinh

sinh)

1(1)1(1)sin(

)sin(

4)

n m

zn m n

m y

n x m z

Ở đây sẽ không đi sâu vào giới thiệu các cách giải bằng phương pháp giải tích

do tính phức tạp của nó và cũng không thuộc lĩnh vực nghiên cứu của luận văn này Một số ví dụ giải bài toán điện từ bằng phương pháp giải tích có thể xem

trong tài liệu “Phương pháp số trong trường điện từ” của PGS TS Vũ Phan Tú

– Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, Chương I, mục I.5

2.3.2 Phương pháp biến đổi Laplace

Ý tưởng của phương pháp này là dùng phép biến đổi Laplace để biến phương trình vi phân thành phương trình đại số để giải Sau đó sẽ biến đổi ngược nghiệm tìm được của phương trình đại số để chuyển thành nghiệm của bài toán

Phương pháp này thích hợp để giải các phương trình vi phân tuyến tính bất biến theo thời gian (Linear Time-Invariant Differential Equation) có dạng:

giải tích không thể giải được

2.3.3 Phương pháp số

Vào những thập niên 1930, 1940, trước khi việc lập trình máy tính phát triển, phương pháp tính toán xấp xỉ các phương trình vi phân đã được thực hiện bằng tay trong lĩnh vực quân sự Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính, phương pháp số được áp dụng trong việc giải các bài toán kỹ thuật, trong đó có điện từ học, từ thập niên 1960 Nguyên lý cơ bản của phương pháp này là tìm lời giải gần đúng tại các điểm rời rạc với một sai số được chấp nhận nào đó rồi

tổ hợp chúng lại thành kết quả của bài toán, số điểm rời rạc càng nhiều, kết quả càng chính xác Về nguyên tắc, phương pháp số có thể giải tất cả các phương trình vi phân đáp ứng được các yêu cầu nghiên cứu kỹ thuật ứng dụng cũng như nghiên cứu hàn lâm

Để giải các phương trình tích phân, ta có các phương pháp moment, Monte Carlo, phương trình tích phân biên, phương trình tích phân mặt; để giải các phương trình vi phân, ta có thể sử dụng các phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), sai phân hữu hạn miền thời gian (FDTD), phần tử hữu hạn, đường, không lưới và ma trận đường dây truyền dẫn

Trong luận văn này sẽ tìm hiểu chi tiết một dạng phương pháp không lưới là phương pháp hàm cơ sở bán kính kết hợp phương pháp sai phân hữu hạn – RBF-

FD (Radial Basis Function – Finite Difference Method)

ta đang cố gắng tìm ra một hàm số P f phù hợp nhất với tập dữ liệu đã cho Có nhiều cách xác định như thế nào là phù hợp và tiêu chuẩn duy nhất đang xét ở

đây là hàm P f phải thỏa một cách chính xác với các phép đo đã thực hiện tại các

vị trí tương ứng của chúng Cách tiếp cận này được gọi là nội suy (interpolation)

và nếu các vị trí thực hiện các phép đo không đồng đều hoặc không nằm trên

một mạng lưới thông thường nào đó, thì quá trình tính toán được gọi là nội suy

dữ liệu rời rạc (scattered data interpolation)

Phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề trên được gọi là phương pháp không lưới (mesh-free) Nó bắt nguồn từ các ứng dụng của khoa trắc địa, địa vật lý, vẽ

bản đồ hoặc khí tượng học và cũng đã được áp dụng trong thống kê dưới tên

gọi phương pháp hồi quy cục bộ (một cách gọi trong thống kê của phương pháp không lưới bình phương tối thiểu – least square RBF-LS) hơn 100 năm trong

các công trình của Gram (1883); Woolhouse (1870); De Forest (1873) và (1874)

Sau đó, phương pháp không lưới được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như: giải phương trình vi phân từng phần bằng phương pháp số, đồ họa máy tính, trí tuệ nhân tạo, lý thuyết thống kê, mạng neuron, xử lý hình ảnh và tín hiệu, nội

suy kriging trong thống kê, tài chính và tối ưu hóa Đối với lĩnh vực điện từ học, phương pháp không lưới chỉ bắt đầu được áp dụng vào những năm 1990 Đối với phương pháp không lưới RBF, mãi đến năm 2011 mới được Vũ Phan Tú và Gregory E Fasshauser áp dụng để tính toán cho bài toán trường điện từ chuẩn

ba chiều

3.1.2 Tổng quan về phương pháp không lưới [1], [14]

Như đã nêu trong mục 3.1.1, vấn đề đặt ra ở đây là cần phải tìm một hàm nội

suy P f sao cho thỏa tập dữ liệu rời rạc đã cho Gọi vị trí thực hiện phép đo là vị

trí dữ liệu, ký hiệu x j , j = 1, 2…, N và giá trị đo được tương ứng là giá trị dữ liệu, ký hiệu y j Đặt X là tập vị trí dữ liệu với giả thiết X   (tại một số vùng

 thuộc ℝS ) Ở đây chỉ xét chủ yếu dữ liệu vô hướng (y j ℝ) Giả thiết rằng giá

trị dữ liệu y j có được là do lấy mẫu trên hàm f (chưa biết) nào đó của vị trí dữ liệu: y j = f(x j ) , j = 1, 2…, N Ký hiệu P f nhấn mạnh sự kết nối giữa phần tử nội suy và hàm dữ liệu f

Với các giả thiết trên, bài toán nội suy dữ liệu rời rạc được phát biểu như sau:

số P f (liên tục) sao cho P f (x j ) = y j , j = 1, 2…, N

Bài toán 3.1 không giải quyết một giá trị cụ thể của x mà trên cả một miền giá trị nào đó của x Do đó, nó tương đương với phát biểu: “Hãy tìm một hàm P f (x)

sao cho miền giá trị của nó chứa các điểm (x 0 , x 1 , x 2 , …, x N ) và hàm này xấp xỉ tốt nhất với tập dữ liệu đã cho (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ),…(x N , y N ) theo một quy luật nào đó” Phát biểu trên cho thấy tập dữ liệu là hữu hạn, trong khi tập giá trị ước lượng là vô hạn nên sẽ có vô số hàm P f (x) nếu không có các điều kiện ràng

buộc, các điều kiện đó là:

 P f (x j ), j = 1, 2,…, N là gần các điểm y j nhất theo một quy luật nào đó

 P f (x) là duy nhất theo một số điều kiện nào đó

 P f (x) là liên tục, không có điểm gấp khúc và ít thay đổi trong mỗi đoạn

[x j , x j+1]

Từ ba yếu tố trên có thể thấy chọn hàm P f (x) là hàm đa thức là thích hợp nhất Còn hàm cơ sở f(x) là thường là hàm thực nghiệm chỉ xác định được giá trị tại

một số điểm nhất định gọi là các mốc nội suy hoặc là hàm khó tìm giá trị chính

xác Người ta chứng minh được rằng đa thức nội suy P f (x) của hàm số f(x) nếu

có thì chỉ có một và chỉ một mà thôi, điều này phù hợp với điều kiện thứ hai nêu

ở trên

Cách tiếp cận thông thường và thuận tiện nhất để giải bài toán 3.1 là giả thiết

hàm P f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở B k

)()

Bài toán 3.1 được thiết lập đúng, nghĩa là nó có lời giải và lời giải này là duy

nhất, nếu và chỉ nếu ma trận nội suy A không suy biến (khả nghịch)

Đối với thiết lập đơn biến, dễ thấy rằng có thể nội suy dữ liệu bất kỳ tại N vị trí

dữ liệu phân biệt bằng cách sử dụng đa thức bậc N – 1 Tuy nhiên, với thiết lập

đa biến lại có kết quả phủ định như sau:

không gian Haar của các hàm liên tục, ngoại trừ các hàm một chiều (định lý Mairhuber-Curtis)

Trong đó, xét không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C() có các cơ sở

{B1 , B2,…, B N }, khi đó B được gọi là không gian Haar trên  nếu: detA  0 tại

bất cứ tập phân biệt x1 , x2,…, x N trong  Ở đây A là ma trận với các thành phần

A jk = B k (x j )

Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy A,

nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy (3.1) với tập dữ liệu xác

định tại x1 , x2,…, x N từ không gian B Các đa thức đơn biến bậc N – 1 hình thành

nên một không gian Haar N chiều cho tập dữ liệu được cho tại (x j , y j ), j = 1,

2,…, N, với x j ℝ S , y j ℝ Cơ sở chính tắc của không gian này là {B1 = 1, B2

= x, B3 = x2,…, B N = x N-1}

Định lý 3.1 cho biết để có được một bài toán nội suy dữ liệu rời rạc đa biến

được thiết lập chính xác, có thể không cần phải định trước tập hàm cơ sở được

dự trù để nội suy dữ liệu rời rạc bất kỳ nữa Lấy ví dụ, không thể thực hiện phép

nội suy duy nhất với các đa thức (đa biến) bậc N cho tập dữ liệu được cho tại

các vị trí bất kỳ trong ℝ2, thay vào đó, hàm cơ sở cần phụ thuộc vị trí dữ liệu Tên gọi phương pháp không lưới là để tạo sự so sánh với các phương pháp số khác như sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn đặt cơ sở trên sự phân chia miền khảo sát thành các lưới sai phân

3.1.3 Hàm cơ sở bán kính RBF

Định nghĩa: Một hàm  : ℝS  ℝ được gọi là bán kính nếu tồn tại một hàm

đơn biến  : [0, )  ℝ sao cho:

từ gốc (hay bất cứ điểm trung tâm cố định nào khác) là hằng số Do đó,  đối xứng theo bán kính (hay theo hình cầu) quanh tâm của nó

Lấy ví dụ xét hàm Gauss: ( )2

)

Trong đó  là thông số hình dạng, có liên hệ với phương sai 2 của hàm phân

bố chuẩn theo biểu thức: 2

)

k

x x

x   

  , x  ℝS

Rõ ràng, mối liên kết giữa k và  là: k (x) = (||x – x k||2) và chính mối liên kết

này đã dẫn đến tên gọi hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF)

Với các trình bày ở trên, cần phân biệt rõ  là hàm cơ bản còn k (||||2) (có tâm

tại x k ) là hàm cơ sở bán kính, trong đó một hàm cơ bản tạo thành tất cả các hàm

cơ sở được dùng để khai triển (3.1)

3.1.4 Nội suy với hàm cơ sở bán kính RBF

Giả thiết rằng:

)(

)

1

k N

k k

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

1 2

1

2 2

2 2

1

2 2

2 2 2 2

1 2

2 1

2 2 1 2

1 1

N N

N N N

N

N N

f

f f

c

c c

x

x x

x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x

suy biến Cho đến nay, chưa có một công thức tổng quát để xác định các hàm

cơ bản  nào có thể tạo thành một ma trận hệ thống không suy biến cho tập dữ

liệu X = {x1, x2, , xN} bất kỳ của các vị trí dữ liệu phân biệt, nên ở đây sẽ xem

xét khái niệm ma trận xác định dương

Định nghĩa: Ma trận đối xứng thực A được gọi là bán định dương nếu dạng

toàn phương tương ứng của nó không âm, nghĩa là:

j c A c

1 1

với c = [c1, c2, , c N]T ℝN

Nếu dạng toàn phương (3.7) chỉ bằng không khi c  0 (c = [0, , 0] T) thì ma

trận A được gọi là xác định dương Tính chất quan trọng của ma trận xác định

dương là tất cả các giá trị riêng của nó là dương, vì vậy ma trận xác định dương không suy biến (điều ngược lại chưa chắc đúng)

Do đó, nếu có các hàm cơ sở  N

k k

B 1 trong khai triển (3.1) mà tạo ra được ma trận nội suy xác định dương, sẽ luôn luôn tìm được bài toán nội suy chính xác Hàm xác định dương được định nghĩa như sau: Một hàm liên tục giá trị phức

: ℝS ℂ được gọi là xác định dương trên ℝ S nếu và chỉ nếu nó là hàm chẵn

j c c

1 1

0)

với bất cứ N điểm khác nhau từng cặp x1,…, xN  ℝS và c = [c1, , c N]T ℂN Hàm  được gọi là xác định dương nghiêm ngặt trên ℝ S nếu dạng toàn phương

(3.8) bằng không khi và chỉ khi c  0

Từ định nghĩa hàm xác định dương và các tính chất của ma trận xác định dương,

có thể sử dụng các hàm xác định dương nghiêm ngặt làm các hàm cơ sở trong

(3.1), nghĩa là B k (x) = (x – x k), hay

 k

N

k k

Như vậy, ma trận nội suy trở thành A jk = B k (x j ) = , j, k = 1, 2,…, N

Việc giải bài toán nội suy với hàm đa biến (x) trong không gian nhiều chiều

là rất phức tạp Do đó, nên chọn giải pháp sử dụng hàm đơn biến  cho tất cả

số chiều s trên miền khảo sát

3.1.6 Giải thuật của hàm cơ sở bán kính RBF

Về nguyên lý phương pháp không lưới RBF sử dụng một tập hợp các nút phân

bố bên trong và trên biên miền khảo sát, từ đó tìm ra lời giải trong toàn miền khảo sát của bài toán Các nút này được phân bố đồng nhất hoặc ngẫu nhiên và không hình thành lưới, điều này phù hợp thực tế vì dữ liệu đo đạc được trên thực tế thông thường là ngẫu nhiên và chính điều này giúp phương pháp không lưới RBF phù hợp với đa số các bài toán kỹ thuật, đặc biệt các bài toán có số lượng thông số lớn

Yêu cầu chính của giải thuật cơ bản trong phương pháp không lưới RBF là phải phân biệt và phân bố được các điểm dữ liệu cần thiết được định nghĩa như sau:

 Điểm dữ liệu (collocation points): là vị trí và các giá trị đo đạc được X = {x j ; j = 1, 2, , N}  ℝS Bộ thông số này luôn được cho trước và là dữ liệu bắt buộc phải có cho quá trình tính toán

 Điểm nội suy (centers): Là các vị trí thêm vào để chọn làm gốc cho việc tính

toán khoảng cách (khoảng cách Euclide) trong hàm nội suy RBF

 Điểm đánh giá (evaluation points): Là các vị trí toàn cục của toàn miền bài

toán

Mục đích của bài toán là tìm hàm P f : ℝS ℝ là hàm nội suy của tập dữ liệu X

cho trước:

P f (x j ) = f (x j ), j = 1, 2, , N (3.10)

 2

1

j N

Trong đó  là hàm cơ sở được giả thiết dương tuyệt đối, c = [c1, c2, , c N]T là hệ

số hình dạng cần tìm theo các ràng buộc nội suy Khi xác định được vector c sẽ

tìm được lời giải của (3.7)

Giải thuật nội suy bằng phương pháp không lưới RBF gồm có các bước:

 Bước 1: Lựa chọn cách phân bố điểm dữ liệu, điểm nội suy, điểm đánh giá

Khác với các phương pháp số cổ điển như sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn thường chia miền khảo sát thành các nút hay phần tử đồng nhất, phương pháp không lưới nói chung cho phép phân bố đồng nhất hoặc không đồng nhất, có hoặc không có quy luật (ngẫu nhiên)

 Bước 2: Xác định vector hệ số c bằng cách giải hệ phương trình Ac = y

 Bước 3: Xác định hàm P f bằng hàm RBF, ma trận khoảng cách giữa các

điểm nội suy và các điểm đánh giá và vector hệ số c tìm được ở bước 2

Chi tiết tính toán sẽ được trình bày và phân tích trong phần áp dụng giải bài toán lưới nối đất

3.2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN [1]

Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Methods – FD) được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1920 bởi kỹ sư người Scotland Alexander Thom

(1894 – 1985) với tên gọi “squares method – phương pháp bình phương” áp

dụng để giải các phương trình thủy động lực học phi tuyến Trong những thập niên 1920 – 1960 phương pháp này được bổ sung, hoàn thiện và được áp dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn để tính toán nhiều bài toán kỹ thuật khác nhau

Ứng dụng quan trọng của phương pháp FD là dùng để giải phương trình vi phân riêng phần (Partial Differential Equation – PDE) bằng cách rời rạc hóa miền liên tục của bài toán khảo sát thành lưới sai phân rời rạc, xấp xỉ các đạo hàm

riêng phần trong PDE bằng các xấp xỉ sai phân hữu hạn được biểu diễn dưới dạng đại số nhằm liên kết các giá trị của biến phụ thuộc tại một điểm đang khảo sát trong miền lời giải với các giá trị của biến đó tại một số điểm lân cận Bằng việc thay thế các xấp xỉ sai phân hữu hạn vào PDE ban đầu, sẽ thu được phương trình sai phân hữu hạn đại số cho các biến phụ thuộc

Ở đây sẽ không đi sâu vào phân tích và trình bày cách thiết lập và chứng minh các công thức sai phân mà chỉ đề cập đến kết quả cuối cùng để áp dụng cho bài toán lưới nối đất theo phương trình (2.14)

Các bước thực hiện để giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân (ví dụ phương trình (2.14)) bằng phương pháp sai phân hữu hạn:

thể chia đồng nhất hoặc không đồng nhất, sẽ trình bày chi tiết ở phần sau

phân hữu hạn: Có 3 cách xấp xỉ được trình bày trong Bảng 3.1

Thay thế các giá trị xấp xỉ vào phương trình vi phân ban đầu ta được phương

trình sai phân hữu hạn Lưu ý Bảng 3.1 chỉ cho các cách xấp xỉ sai phân trên

trục x, đối với các bài toán đa chiều (2D, 3D), chỉ số i sẽ được thay thế bằng chỉ

số của trục tương ứng, ví dụ đối với hệ tọa độ Descarte O (x, y, z) trong luận văn này quy ước x tương ứng với i, y tương ứng với j và z tương ứng với k

Bảng 3.1 Các dạng xấp xỉ sai phân của đạo hàm cấp 1 và cấp 2

Kiểu sai phân

Kiểu sai phân

1

2 1

x

f f

22

2

1 , , , , 1 , , 2

, 1 , , , ,

1 , 2

, , 1 ,

, ,

x

k j i k j i k

j i k j i k j i k j i k j i k j i k

22

2

2

1 , , , , 1 ,

,

2

, 1 , , , ,

1 , 2

, , 1 ,

, ,

, 1 ,

, 1 ,

r r

r r

k j i k j i k

Có thể giải hệ phương trình sai phân hữu hạn (3.12) hoặc (3.13) bằng phương pháp ma trận như đối với hệ phương trình đại số tuyến tính thông thường

[A][X] = [B] bằng các phương pháp Cramer (ít ẩn số), phương pháp khử Gauss

hay Jordan (nếu số ẩn lớn khoảng từ 25 đến 60) Phương pháp khử cho kết quả

chính xác nhưng khó xác định ma trận hệ số [A] và đối với các bài toán lớn tính toán trên nhiều chiều, số khoảng chia nhiều, kích thước [A] sẽ lớn (bằng

tích số khoảng chia theo các chiều), nếu dùng phương pháp khử sẽ mất nhiều thời gian và không còn chính xác do sai số làm tròn quá lớn Với các hệ phương trình dạng này, phương pháp lặp là cách tốt nhất để giải

Các phương pháp lặp thông dụng như Jacobi, Jacobi-over-relaxation – JOR, Gauss – Siedel hoặc Successive-over-relaxation – SOR là giải pháp tốt nhất để giải hệ phương trình (3.12) hoặc (3.13), sẽ được trình bày trong phần sau

3.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP [10]

3.3.1 Phương pháp Jacobi, JOR

Như đã trình bày ở mục 3.2, hệ phương trình sai phân hữu hạn (3.12) hoặc (3.13) thực chất là hệ phương trình đại số tuyến tính có dạng tổng quát:

nn n

n

n n

b

b b

x

x x

a a

a

a a

a

a a

1

2 1

2 22

21

1 12

Giả sử các thành phần trên đường chéo của A khác không, bắt đầu quá trình giải

bằng cách giả định x1 = x2 = … = x n = 0, từ mỗi phương trình tính được x1, x2,

…, x n Tổng quát, gọi giá trị ước lượng tính được sau bước lặp thứ m là

m n m

m

x x

x1 , 2 , , giá trị ước lượng ở bước lặp thứ (m + 1) suy ra từ phương trình

m j ij i

Quá trình lặp được tiếp tục cho đến khi giá trị x i ở hai lần lặp kế tiếp nhau nằm

trong độ lệch cho phép được quy định trước d is, trong đó:

%100

s là độ lệch cho phép

Để kiểm tra sự hội tụ của toàn quá trình lặp, có thể dùng công thức:

%100

1 1 1

n

i

m i

m i

x

x x

và tiêu chuẩn đánh giá cũng là d is

Một biến thể của phương pháp Jacobi là phương pháp lũy biến trên

(over-relaxation) hay còn gọi là JOR (Jacobi over-(over-relaxation), trong đó, sử dụng hệ số lũy biến (hay hệ số tăng tốc)  0, khi đó (3.17) trở thành:

i n

i j j

m j ij i

3.3.2 Phương pháp Gauss – Siedel, SOR

Phương pháp Gauss – Siedel khác với phương pháp Jacobi ở chỗ tại bước thứ

m + 1, phương pháp Jacobi sử dụng toàn bộ giá trị x i tìm được từ bước thứ m để

tính toán, trong khi phương pháp Gauss – Siedel dùng các giá trị vừa tính được

ngay ở bước thứ m + 1 để cập nhật lời giải Do đó, (3.17) trở thành:

m j ij i

j

m j ij i

a

x a

m j ij i

j

m j ij i

ii

m i

m

a x x

m j ij i

j

m j ij i

ii

m i

m

a x x

thường chọn 1 <  < 2 Giá trị  của không phụ thuộc vào bài toán và thường

được chọn bằng phương pháp thử sai Việc thêm hệ số  nhằm mục đích tăng tốc quá trình tính toán bằng cách đưa nó đến gần giá trị chính xác hơn

3.3.3 Giải bài toán sai phân hữu hạn bằng phương pháp lặp

Ở đây sẽ phân tích trên cơ sở phương pháp SOR do có tính tổng quát hơn, các phương pháp khác cũng phân tích tương tự

Xét hệ phương trình sai phân hữu hạn (3.12) trên hệ tọa độ Descarte O(x, y, z):

02

22

2

1 , , , , 1 , , 2

, 1 , , , ,

1 , 2

, , 1 ,

, ,

x

k j i k j i k

j i k j i k j i k j i k j i k j i k

j i k j i k j i k j i k j i k

j i k j i k j i k j i k j i k j i k

R, , có thể xem là lượng hiệu chỉnh thêm vào i,j,k để làm cho nó tiến gần hơn giá trị chính xác Khi i,j,k hội

tụ, m

k j

m

R

k j k

1

6

, ,

k j k

j k

j k j k j k j i k j i k

j k

6

1 1