Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Chuyên Đề Hai Mặt Phẳng Song Song Lớp 11

- Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng. - Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta [r]

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

 Nếu mặt phẳng   chứa hai đường

thẳng cắt nhau ,a b và hai đường thẳng

này cùng song song với mặt phẳng  

Nếu d   thì trong   có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất

một mặt phẳng song song với  

Hệ quả 2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song

Hệ quả 3

a b

α

β

M

Cho điểm không nằm trên mặt phẳng   Mọi đường thẳng đi qua A và song song với

  đều nằn trong mặt phẳng qua A song song với  

Định lí Ta-lét( Thales) đảo

Cho hai đường thẳng d d chéo nhau và 1, 2

các điểm A B C trên 1, 1, 1 d , các điểm 1

cùng song song với một mặt phăng

4 Hình lăng trụ và hình chóp cụt

4.1 Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng song song   và  '

Trên   cho đa giác A A1 2 A Qua các đỉnh n

1, 2, , n

A A A vẽ các đường thẳng song song với

nhau cắt  ' lần lượt tại A A'1, '2, ,A n'

Hình gồm hai đa giác A A1 2 A , n A A1' '2 A và các 'n

1 1 2 2, 2 2 3 3, , n n 1 1

A A A A A A A A A A A A

được gọi là hình lăng trụ A A1 2 A A A n 1' '2 A'n

Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình

hộp

4.2.Hình chóp cụt

Cho hình chóp S A A 1 2 A n

Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với

mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên

1, 2, , n

SA SA SA lần lượt tại ' ' '

1, 2, n

A A A Hình tạo bởi thiết diện ' ' '

Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:

- Chứng minh trong mặt phẳng này có

hai đường thẳng cắt nhau cùng song

song với mặt phẳng kia

β α

γ β α

Ta có M O lần lượt là trung điểm của ,

,

SA AC nên OM là đường trung bình của

tam giác SAC ứng với cạnh SCdo đó

Ví dụ 2 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt Trên

các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M N sao cho , AMBN Các đường

thẳng song song với AB vẽ từ M N lần lượt cắt AD và AF tại , M và ' N Chứng 'minh:

a) ADF BCE 

b) DEF MM N N ' ' 

Lời giải:

M N

O

B

A S

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA   VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT  

VỚI MỘT MẶT PHẲNG   CHO TRƯỚC

Phương pháp:

- Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau

N N'

M

- Khi      thì   sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong   và ta chuyển

về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

- Tìm đường thẳng d mằn trong   và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa

d , khi đó   d nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d ( nếu có) theo các giao tuyến song song với d

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M N lần lượt là ,trung điểm của AB CD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ,   đi qua MN và

song song với mặt phẳng SAD Thiết diện là hình gì? 

A.Tam giác B.Hình thang C.Hình bình hành D.Tứ giác

nhau theo các giao tuyến là MN HK BC , mà , ,

MN BCMN HK Vậy thiết diện là một hình

K H

N

A S

a) thiết diện của hình chóp cắt bởi   là hình gi?

A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành

b) Tính diện tích thiết diện theo ,a b và x

Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương

ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều

O

B

A S

I I

Trường hợp 2 Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam

giác đều HKL như  hv

b) Trường hợp 1 I thuộc đoạn OA

S

b a x

I OC a

b) Cho AM CN 0

MB  ND  và P là một điểm trên cạnh AC thiết diện của hình chóp cắt bởi

MNP là hình gì? 

A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành

c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện

Thiết diện là tứ giác MPNQ Xét trường

hợp AP k

PC 

Trong ABC gọi  R BC MP

Trong BCD gọi  Q NR BD thì thiết

a) Gọi  P là mặt phẳng qua AD và song song với

A D CB Gọi ' '   Q là mặt phẳng qua M và song

song với A D CB Giả sử ' '   Q cắt BD tại điểm N'

- Ngoài ra ta có thể sử dụng định lí Menelaus Trong không gian để chứng minh bốn

điểm đồng phẳng

Định lí Menelaus

Gọi M N P Q theo thứ tự là các điểm trên các đường thẳng , , , AB BC CD DA của tứ , , ,

diện ABCD ( M N P Q khác với , , ,, , , A B C D ) thì M N P Q đồng phẳng khi và chỉ khi , , ,

P

N

A' C'

B'

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  Chứng minh các đường phân giác

ngoài tại S của các tam giác SAB SAC SBC cùng nằm trong một mặt phẳng , ,

Lời giải:

Gọi d là đường phân giác ngoài của góc S C

trong tam giác SAB và I là trung điểm

của AB

Do tam giác SAB cân tại S nên SIAB

và SI là phân giác trong của góc S nên

d C

I S

B

Tương tự , gọi d d là các đường phân giác ngoài góc A, B S của các tam giác SBC SCA thì ,

A B C D ) Gọi , , , E F H K lần lượt là chân các đường phân giác trong góc S của các tam

giác SAB SBC SCD SDA , , ,

P N

Theo tính chất đường phân giác ta có

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

46 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M N P lần lượt là , ,trung điểm các cạnh AB CD SA , ,

a) Chứng minh SBN DPM 

b) Q là một điểm thuộc đoạn SP(Q khác , S P ) Xác định thiết diện của hình chóp cắt

bởi   đi qua Q và song song với SBN 

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi   đi qua MN song song với SAD 

47 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O Gọi M N lần lượt là trung ,điểm của SA và CD

48 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O, các tam giác SAD và ABC

đều cân tại A Gọi AE AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và ,

SAB Chứng minh EF SAD 

49 Hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các đường

chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M N sao cho , AMBN Các đường thẳng song

song với AB vẽ từ M N lần lượt cắt , AD AF tại , M N ', '

a) Chứng minh BCE ADF 

b) Chứng minh DEF MNN M ' '

c) Gọi I là trung điểm của MN Tìm tập hợp điểm I khi M N thay đổi trên AC và ,

BF

50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB3 ,a AD CD a  Mặt bên

SAB là tam giác cân đỉnh S và SA2a, mặt phẳng   song song với SAB cắt các 

cạnh AD BC SC SD theo thứ tự tại , , , M N P Q , , ,

a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân

b) Đặt xAM0 x a   Tính x để MNPQ là tứ giác ngoại tiếp được một đường tròn

Tính bán kính đường tròn đó

c) Gọi IMQNP Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên AD

d) Gọi JMPNQ Chứng minh IJ có phương không đổi và điểm J luôn thuộc một

b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua trọng tâm G G của các tam giác 1, 2

', ' '

BDA B D C đồng thời chia đường chéo AC' thành ba phần bằng nhau

c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt A B G Thiết diện là hình gì? ' ' 2

53 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a.Trên các cạnh AB CC C D và , ', ' ' AA lấy các điểm ' M N P Q sao cho , , ,

b) Chứng minh MNPQ đi qua một đường thẳng cố định 

c) Dựng thiết diện của hình hộp khi cắt bởi MNPQ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 

nhất của chu vi thiết diện

54 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SAD vuông tại A Qua

điểm M trên cạnh AB dựng mặt phẳng   song song với SAD cắt  CD SC SB tại , ,, ,

N P Q

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông

b) Gọi INPMQ Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên cạnh AB

55 Cho hình chóp cụt ABC A B C Gọi ' ' ' M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,' ', ',

A B BB BC

a) Xác định thiết diện của hình chóp cụt với MNP 

b) Gọi I là trung điểm của AB Tìm giao điểm của IC với ' MNP 

56 Cho hình hộp ABCD A B C D có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a Các ' ' ' 'điểm M N nằm trên , AD BD sao cho ', AMDNx0 x a 2

a) Chứng minh khi x biến thiên thì MN luôn song song với một mặt phẳng cố định

b) Khi 2

3

a

x , chứng minh MN A C '

57 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' '

a) Gọi , ,I K G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC A B C và , ' ' ' ACC' Chứng minh

IGK BB C C và ' '  A KG'  AIB 

b) Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của BB và ' CC Hãy dựng đường thẳng đi qua 'trọng tâm của tam giác ABC cắt AB và PQ '

58 Cho mặt phẳng   và hai đường thẳng chéo nhau d d cắt 1, 2   tại ,A B Đường

thẳng  thay đổi luôn song song với   cắt d d lần lượt tại M và N Đường thẳng 1, 2

qua N song song với d cắt 1   tại N '

a) Tứ giác AMNN' là hình gì? Tìm tập hợp điểm N'

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s x y 

60 Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy là hình thang, ' ' ' ' AD CD BC a   ,

2

AB a Măt phẳng   đi qua A cắt các cạnh BB CC DD lần lượt tại ', ', ' M N P , ,a) Tứ giác AMNP là hình gì?

b) So sánh AM và NP

N M

A

D S

Q

Thiết diện là hình thang MNEF

47 a) Do ,O M lần lượt là trung điểm của

,

AC SA nên OM là đường trung bình của

tam giác SAC ứng với cạnh

A

D S

K

H I

O

M

N A

D S

J

D S

E F

c) Gọi PMM'BC Q NN,  'BE và J K lần lượt là trung điểm các đoạn , AB và CF

Gọi XN Q' FJ, YM P CJ'  thì XYMPQN'   FCJ Trong M PQN gọi ' '

J N'

F

M

N

mà IXIY nên I thuộc đường trung trung

tuyến JK của tam giác JCF

Mặt khác SAB cân tại SSA SB

d) Gọi K IJ MN , vì MNPQ là hình thang cân nên K là trung điểm của MN Gọi

FEKAB thì F là trung điểm của AB nên F cố định

dễ thấy IJ SF suy ra IJ có phương không đổi và điểm J thuộc mặt phẳng cố định

SEF 

51 Bổ đề:

Cho tam giác ABC các điểm M N thuộc các cạnh ,

,

AB AC sao cho MN BC Gọi , E F lần lượt là

trung điểm của BC MN và , IMB CN thì

E N A

B A'

Vậy I chính là điểm đồng quy của ba mặt phẳng

A

B D'

C' C

Tương tự G cũng là trọng tâm của tam giác 2 CB D' '.Dễ thấy OG và 1 O G là đường ' 2trung bình của các tam giác ACG và 2 A C G nên ' ' 1

b) Do PC MA là hình bình hành nên MP đi qua '

trung điểm O của AC '

O

R

S D'

D

C C'

M

N P

Q

c) Dễ thấy  cắt BC A D tại các trung điểm R và , ' ' S của chúng

Thiết diện là lục giác MPNPSQ Dễ thấy lục giác có tâm đối xứng là O nên

Từ    1 , 2 suy ra MNPQ là hình thang vuông

P Q

M A

B S

N

55 a) Trong ABB A gọi J' ' MNAB,

trong ABC gọi Q JPAC

Ta có ABC A B C nên ' ' '

MNP  A B C' ' 'MR PQ

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

b) Trong ABC gọi  KPQIC thì

56 a) Gọi   là mặt phẳng đi qua M và

song song với A D CB và ' '  N'    BD

1'

R

Q

J

P N

M

C' B'

A

B

C A'

M

N O I

nên A M' và CN cắt nhau tại trung điểm

O G

d2

α

J I

O

N' A

B M

N

b) Ta có MNAN' nên MN nhỏ nhất khi AN nhỏ nhất '  AN'd3

Từ đó ta xác định  như sau:

- Dựng   chứa d và 2   d1

- Dựng giao tuyến d3       

- Gọi N là hình chiếu của A trên ' d 3

- Từ N dựng đường thẳng song song với ' d cắt 1 d tại N 2

- Từ N dựng đường thẳng  song song với N A thì '  là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán

c) Gọi J là trung điểm của AN thì '    OIJ  mà O cố định và   cố định nên  OIJ

cố định Vậy OI thuộc mặt phẳng cố định đi qua O và song song với  

59.a) Ta có ABC , DBC  ,  đôi một cắt nhau

theo các giao tuyến là BC MN PQ nên theo định , ,

lí về giao tuyến thì BC MN PQ hoặc đồng quy , ,

hoặc đôi một song song

Ta chứng minh MNPQ là hình thang cân trong

J I

E

A

C N

P

Vậy MNPQ là hình thang cân

Trường hợp BC MN PQ song song không có gì , ,

khó khăn bạn đọc tự kiểm tra

x-y 2

a-x

K H

PNAJ AM , do đó

a

a a

B

A'

A P

M

C S

PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng   và một đường thẳng  cắt   Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song với  cắt   tại điểm M' xác định

Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng   theo phương 

Mặt phẳng   được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của  gọi là phương chiếu

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M của nó trên '   được gọi là phép chiếu song song lên   theo phương 

Ta kí hiệu Ch   M M'

2 Tính chất của phép chiếu song song

 Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

 Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

 Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng nhau

 Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng

3 Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng

 Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông…)

 Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)

 Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn

 Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH  H CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Để vẽ hình biểu diễn của hình  H ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình  H

- Xác định các yếu tố song song

- Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB

- Trong hình  H phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm ' M chia đoạn AB

Ví dụ 2 Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD lên mặt phẳng  P theo phương chiếu

AB ( AB không song song với  P )

Lời giải:

Vì phương chiếu l là đường thẳng AB nên hình

chiếu của A và B chính là giao điểm của AB và

Chiếu song song lên mặt phẳng   theo phương l không song song với AB sao cho

ảnh của M A B là ba điểm , , M A B mà ta có thể tính được ', ', ' ' '

D

C

C'

D' A

B

Xét phép chiếu song song lên mặt

phẳng A B C D theo phương chiếu ' ' ' '

Gọi NB D' 'KC' Đường thẳng qua

N và song song với AK cắt AC tại '

M Ta có M N là các điểm cần xác ,

định

Theo định lí Thales , ta có

'2

a) Xác định đường thẳng  đi qua M đồng thời cắt AN và 'A B

b) Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của  với AN và 'A B Hãy tính tỉ số IM

IJ

Lời giải:

C B

D A

D'

M

A'

N K

B'

C'

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng 

cắt cả AN và BA Gọi ,' I J lần lượt là giao

điểm của  với AN và BA '

Xét phép chiếu song song lên ABCD

theo phương chiếu A B Khi đó ba điểm '

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

61 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O M là trung điểm của SC

a) Tìm giao điểm I của SD với AMN 

b) Tính SI

ID

62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Cọi N là trung

điểm của SD còn , I J lần lượt là trung điểm của AB và ON

C'

D' B'

B

C A'

M

a) Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi   qua M B và trung điểm E của AC , '

b) Gọi D BC MB E'  Tính tỉ số BD

CD

64 Cho tứ diện ABCD Gọi M P lần lượt là trung điểm các cạnh , AD BC còn N là ,

điểm trên cạnh AB sao cho 1

65 Cho tứ diện ABCD , M là một điểm trên cạnh DB ,   là mặt phẳng đi qua M

song song với AD BC ,

a) Xác định thiết diện của hình chóp với  

b) Xác định vị trí của M để thiết diện là hình thoi

c) Xác định vị trí của   để diện tích thiết diện lớn nhất

66 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm các mặt đối diện với các đỉnh , , , A B C D lần lượt là

', ', ', '

A B C D Gọi M N P Q R S lần lượt là trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện , , , , ,a) Chứng minh AA BB CC DD đồng qui tại ', ', ', ' G( G gọi là trọng tâm của tứ diện,

', ', ', '

AA BB CC DD được gọi là các đường trọng tuyến của tứ diện)

b) Chứng minh bảy đoạn thẳng AA BB CC DD MN PQ RS đồng quy ', ', ', ', , ,

67 Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm của tam giác BCD và M là điểm thuộc miền

trong tam giác BCD Đường thẳng qua M và song song với AG cắt các mặt phẳng

ABC , ACD , ABD tại , , P Q R

a) Chứng minh MP MQ MR  không đổi khi M di động trong tam giác BCD

b) Xác định vị trí của điểm M để MP MQ MR đạt giá trị lớn nhất