Phân tích tần số dao động của tấm vật liệu phân lớp chức năng bằng thuật toán nội suy hướng tâm 1d irbfn trong phương pháp không lưới

TÓM TẮT Phân tích tần số dao động của tấm vật liệu phân lớp chức năng bằng thuật toán nội suy hướng tâm 1D-IRBFN trong phương pháp không lưới Trịnh Công Luận Trong luận văn này, thuật t

TRỊNH CÔNG LUẬN

PHÂN TÍCH TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA TẤM VẬT LIỆU PHÂN LỚP CHỨC NĂNG BẰNG THUẬT TOÁN NỘI SUY HƯỚNG TÂM 1D-IRBFN

TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG –HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Trịnh Công Luận MSHV: 10211103

Ngày, tháng, năm sinh: 09/10/1986 Nơi sinh: Hà Tĩnh

Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp Mã số : 60.58.20

I TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA TẤM VẬT LIỆU PHÂN LỚP CHỨC NĂNG BẰNG THUẬT TOÁN NỘI SUY HƯỚNG TÂM 1D-IRBFN TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: 1 Tìm hiểu phương pháp không lưới sử dụng thuật toán nội suy hướng tâm 1D-IRBFN

2 Tìm hiểu lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất áp dụng cho bài toán phân tích tần số dao động tấm FGM

3 Viết chương trình giải bài toán tìm tần số dao động của: thanh dao động dọc trục, tấm Mindlin đồng chất, tấm FGM

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/07/2011

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 24/08/2012

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

Tp HCM, ngày tháng năm 20

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên và chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên và chữ ký) TRƯỞNG KHOA….………

(Họ tên và chữ ký)

LÝ LỊCH SƠ LƯỢC

Họ và tên: TRỊNH CÔNG LUẬN

Ngày, tháng, năm sinh: 09/10/1986

Nơi sinh: Hà Tĩnh

Địa chỉ liện hệ: Bộ môn Kết cấu – Công trình, Khoa Xây dựng và

Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM

Nơi học: Trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh

Ngành học: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

CAO HỌC:

Thời gian học: 09/2010 – 08/2012

Nơi học: Trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh

Ngành học: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

Tên luận văn: Phân tích tần số dao động của tấm vật liệu phân lớp chức

năng bằng thuật toán nội suy hướng tâm 1D-IRBFN trong phương pháp không lưới

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC:

Từ 5/2010 đến nay: Bộ môn Kết cấu – Công trình, Khoa xây dựng và cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô của trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã trực tiếp bồi dưỡng cho em về chuyên môn, giúp em có tầm nhìn mới về khoa học cũng như cuộc sống: PGS.TS Đỗ Kiến Quốc (Động lực học kết cấu), PGS.TS Bùi Công Thành (Cơ kết cấu nâng cao và Tính toán kết cấu tối ưu), PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương (Cơ học vật rắn biến dạng và Ổn định công trình), PGS.TS Chu Quốc Thắng (Phương pháp phần tử hữu hạn và Kết cấu tấm vỏ), TS Hồ Hữu Chỉnh (Kết cấu bê tông cốt thép nâng cao), TS Ngô Hữu Cường (Phân tích phi tuyến kết cấu), TS Nguyễn Minh Long (Cơ học phá hủy)

Đồng thời, em cũng rất biết ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, ThS Trang Tấn Triển, ThS Nguyễn Thế Trường Phong ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, ThS Nguyễn Trung Kiên, ThS Nguyễn Tấn Cường ở trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM

Và cuối cùng con muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến cha mẹ, gửi lời cảm ơn đến các em Quân, Quỳnh, Mai Trang và Ngọc Diễm đã luôn bên cạnh trong suốt chặng đường dài

Xin chân thành biết ơn!

TÓM TẮT

Phân tích tần số dao động của tấm vật liệu phân lớp chức năng bằng thuật toán

nội suy hướng tâm 1D-IRBFN trong phương pháp không lưới

Trịnh Công Luận

Trong luận văn này, thuật toán tích phân hệ thống các hàm cơ bản theo phương pháp nội suy hướng tâm (one-dimensional integrated radial basis function networks - 1D-IRBFN) được dùng để phân tích dao động của tấm vật liệu phân lớp chức năng FGM sử dụng lí thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)

Hệ thống các hàm cơ bản (radial basis function - RBF) được áp dụng trên các đường lưới để xấp xỉ các vi phân của hàm chuyển vị Việc áp đặt điều kiện biên được thực hiện hiệu quả nhờ đưa vào các hằng số tích phân Các dạng tấm được phân tích gồm có: tấm dày đồng chất dùng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, tấm làm bằng vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Material - FGM) với độ dày và sự phân bố vật liệu khác nhau Kết quả phân tích cho thấy rằng thuật toán nội suy hướng tâm khi áp dụng trong phương pháp không lưới

có một số ưu điểm như dễ áp dụng, tránh sự suy biến khi lấy vi phân và độ chính xác khá tốt

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn 4

1.3 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN 6

2.1 Giới thiệu 6

2.2 Vật liệu phân lớp chức năng 7

2.2.1 Khái niệm và đặc tính 7

2.2.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng 8

2.2.3 Sơ lược tình hình nghiên cứu về vật liệu FGM 10

2.3 Các phương pháp rời rạc 11

2.4 Các phương pháp phần dư có trọng số 16

2.5 Hệ thống các hàm cơ bản (RBFN) sử dụng trong xấp xỉ hàm 21

2.5.1 Mô tả 21

2.5.2 Các loại hàm cơ bản 21

2.5.3 Các thuật toán sử dụng RBFN để xấp xỉ hàm 24

2.5.3.1 Hệ thống các hàm cơ bản trực tiếp (DRBFNs) 24

2.5.3.2 Hệ thống các hàm cơ bản gián tiếp (IRBFNs) 25

2.6 Kết luận 27

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 28

3.1 Giới thiệu 28

3.2 Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reisser 29

3.2.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng 29

3.2.2 Quan hệ biến dạng – chuyển vị 31

3.2.3 Nội lực - ứng suất 33

3.3 Lý thuyết cơ học vật rắn cho tấm FGM 34

3.3.1 Các giả thuyết cho tấm FGM 34

3.3.2 Đặc trưng hữu hiệu của vật liệu FGM 34

3.3.3 Ứng suất – Biến dạng và nội lực trong tấm FGM 35

3.4 Phương trình động lực học 37

3.4.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho bài toán tấm FGM 37

3.4.2 Điều kiện biên 38

3.5 Phương pháp nội suy sử dụng hệ thống các hàm cơ bản một chiều 1D-IRBFN 40

3.5.1 Biểu thức các hàm nội suy IRBFN trên một đường lưới 40

3.5.2 Biểu thức các hàm nội suy IRBFN trên toàn miền tính toán 43

3.5.3 Biểu thức các hàm nội suy IRBFN áp dụng cho bài toán tấm FGM 45

CHƯƠNG 4: VÍ DỤ SỐ 48

4.1 Giới thiệu 48

4.2 Kiểm tra chương trình 49

4.2.1 Ví dụ 1: Xác định tần số thanh dao động dọc trục 49

4.2.2 Ví dụ 2: Xác định tần số dao động của tấm Mindlin đồng chất 50

4.2.3 Ví dụ 3: Tần số dao động tấm Mindlin đồng chất 51

4.3 Phân tích tần số dao động của các loại tấm FGM 56

4.3.1 Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ 57

4.3.2 Ví dụ 2: Khảo sát sự ảnh hưởng của các yếu tố đến tần số dao động của tấm FGM 58

4.4 Kết luận 68

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

PHỤ LỤC 77

CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN 1D-IRBFN One-dimensional Indirect Radial Basis Function Network BEM Boundary Element Method

DAMs Diffuse Approximation Methods

DOF Degree of Freedom

DRBFN Direct Radial Basis Function Network

EFG Element-free Garlekin

FDM Finite Difference Method

FVM Finite Volume Method

GFEM Garlekin Finite Element Method

LRPIM Local Radial Point Interpolation Method

ODE Ordinary Differential Equation

PDE Partial Differential Equation

RBF Radial Basis Function

RBFN Radial Basis Function Network RKPM Reproducing Kernel Particle Method SPH Smooth Particle Hydrodynamics

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Ứng dụng FGMs trong tự nhiên 9

Hình 2.2: Ứng dụng FGMs trong cấy ghép sinh học và công nghệ gốm 9

Hình 2.3: Cấu trúc của hệ thống hàm cơ bản (RBFN) 21

Hình 2.4: Đồ thị các hàm cơ bản 23

Hình 3.1: Mô tả các lý thuyết biến dạng 31

Hình 3.2: Tấm vật liệu phân lớp chức năng 35

Hình 3.3: Quan hệ giữa tỉ lệ ceramic Vc theo chiều cao z/t trong tấm FGM 35

Hình 3.4: Nội lực trong tấm dày 36

Hình 3.5: Lưới Đềcac cho bài toán tấm 40

Hình 4.1: Mode shape của dao động dọc trục 50

Hình 4.2: 4 mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất tựa đơn 4 cạnh; a/b = 0.4, h/b = 0.1 với lưới 15x15 55

Hình 4.3: 4 mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất tựa đơn 4 cạnh; a/b = 1, h/b = 0.1 với lưới 15x15 55

Hình 4.4: 4 mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất tựa đơn 4 cạnh; a/b = 0.4, h/b = 0.1 (sử dụng Sap2000, lưới 24x24) 56

Hình 4.5: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh ngàm theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.1 64

Hình 4.6: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh ngàm theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.2 64

Hình 4.7: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh

tựa đơn theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.1 65 Hình 4.8: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh tựa

đơn theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.2 65 Hình 4.9: Tần số dao động mode 1 của tấm vuông FGM 4 cạnh ngàm theo tỉ số

nhịp a/h của các loại vật liệu khác nhau 66 Hình 4.10: Tần số dao động mode 1 của tấm vuông FGM 4 cạnh tựa đơn

theo tỉ số nhịp a/h của các loại vật liệu khác nhau 67

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1: So sánh đặc tính của ceramic và kim loại 8 Bảng 2.2: Một số thuật toán nội suy trong phương pháp không lưới 27 Bảng 4.1: Tần số dao động dọc trục của thanh i 2i 1 E 2

A



   (rad/s) 49 Bảng 4.2: Tần số không thứ nguyên 2 2



    của tấm Mindlin 4 cạnh tựa đơn, tỉ số nhịp a/b = 0.6 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau 52 Bảng 4.5: Tần số không thứ nguyên 2 2



    của tấm Mindlin 4 cạnh ngàm, tỉ số nhịp a/b = 0.4 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau 53 Bảng 4.6: Tần số không thứ nguyên 2 2



    của tấm Mindlin 4 cạnh ngàm, tỉ số nhịp a/b = 0.6 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau 53 Bảng 4.7: Tần số không thứ nguyên 2 2



    của tấm Mindlin 4 cạnh tựa đơn, a/b = 1 , a/b = 0.02 54 Bảng 4.8: Đặc tính vật liệu 56

Bảng 4.9: Tần số dao động không thứ nguyên  i  i h c/E c của tấm

Al/Al2O3 4 cạnh khớp với phân phối vật liệu khác nhau 57 Bảng 4.10: Tần số dao động không thứ nguyên  i  i h c/E c của tấm

Al/Al2O3 4 cạnh khớp với phân phối vật liệu khác nhau 58 Bảng 4.11: Tần số dao động không thứ nguyên 2



   của tấm Al/Al2O3 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 59 Bảng 4.12: Tần số dao động không thứ nguyên 2



   của tấm Al/ZrO2 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 60 Bảng 4.13: Tần số dao động không thứ nguyên 2



   của tấm Ti-Al-4V l/Al2O3 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 60 Bảng 4.14: Tần số dao động không thứ nguyên 2



   của tấm SUSs304/Si3N4 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 61 Bảng 4.15: Tần số dao động không thứ nguyên  i  i h c/E c của tấm

Al/Al2O3 4 cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 61 Bảng 4.16: Tần số dao động không thứ nguyên  i  i h c/E c của tấm Ti-Al-

4V l/Al2O3 4 cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 62 Bảng 4.17: Tần số dao động không thứ nguyên  i  i h c/E c của tấm

SUSs304/Si3N4 4 cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 62

Bảng 4.16: Tần số dao động không thứ nguyên  i  i h c/E c của tấm

Al/Al2O3 4 cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 63

CHƯƠNG 1

MỞ ĐẦU

1.1 Đặt vấn đề

Việc ph}n tích dao động đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực thiết kế

cơ khí, x}y dựng và ứng dụng h{ng không… Sự dao động có thể gây tiêu tốn năng lượng và gây ra những tiếng ồn trong quá trình vận h{nh động cơ, còn đối với lĩnh vực xây dựng, khi công trình dao động với tần số riêng, hiện tượng cộng hưởng có thể xẩy ra gây nên những biến dạng lớn, thậm chí là sự phá hoại công trình Do đó việc phân tích là cần thiết để giảm thiểu những dao động không mong muốn

Ngày nay, khi xã hội ngày càng phát triển hiện đại thì nhu cầu của con người về những vật liệu mới có nhiều tính ưu việc ngày càng cao Yêu cầu đặt ra

là vật liệu mới phải đảm bảo về tính kỹ thuật (bền, dẻo, cứng, chắc…), tính ứng dụng rộng rãi và tính kinh tế (mỏng, nhẹ…) Vật liệu phân lớp chức năng

ứng phần nào yêu cầu trên Đó là một loại vật liệu composite đặc biệt, trong đó c|c đặc tính vật liệu thay đổi theo chiều cao tiết diện để đạt được yêu cầu về độ bền theo mong muốn Để những vật liệu mới n{y được ứng dụng rộng rãi trong đời sống, trong các ngành kỹ thuật nói chung và trong ngành xây dựng nói riêng, những ứng xử của nó cần được phân tích, nghiên cứu chi tiết không

những trong phòng thí nghiệm mà còn thông qua các mô hình vật lý – mô phỏng các bài toán thực tế

Việc ph}n tích dao động của các loại vật liệu composite như FGM bằng c|c phương ph|p giải tích gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí là không thể Do đó đ~ có rất nhiều phương ph|p số được áp dụng để có thể l{m được việc đó C|c phương ph|p số truyền thống để có lời giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng cần thiết phải sử dụng lưới: Có thể l{ lưới miền trong c|c phương ph|p miền như phương ph|p sai ph}n hữu hạn (FDM), phương ph|p thể tích hữu hạn (FVM), phương ph|p phần tử hữu hạn (FEM)…; hoặc lưới biên với c|c phương ph|p biên như phương ph|p phần tử biên (BEM) Những khó khăn trong c|c phương ph|p dựa trên lưới chính là việc xây dựng c|c lưới Vì vậy, nhiều nhà nghiên cứu đ~ cố gắng để phát triển c|c phương ph|p nhằm xây dựng lưới hoặc làm mịn lưới để đạt kết quả tốt cho bài toán Trong những năm gần đ}y, lĩnh vực cơ học tính toán xuất hiện phương ph|p không lưới giúp loại bỏ sự cần thiết sử dụng lưới hoặc giảm thiểu sự phụ thuộc v{o lưới Trong phương ph|p không lưới, Kansa (1990) đề xuất thuật toán dựa trên c|c h{m cơ bản multi-quadric (MQ) cho phương ph|p số để giải c|c phương trình vi ph}n đạo hàm riêng Các kết quả cho thấy thuật to|n MQ đạt độ chính xác cao cho việc xấp xỉ các hàm và vi phân của chúng trong cả trường hợp sử dụng lưới tọa độ hoặc sử dụng c|c điểm ph}n t|n Đ}y được gọi l{ phương ph|p xấp xỉ hàm trực tiếp (Direct Radial Basis Function Network – DRBFN), có nghĩa l{ dùng h{m cơ bản

để xấp xỉ trực tiếp các hàm chuyển vị Đ~ có nhiều tác giả sử dụng phương ph|p DRBFN để ph}n tích dao động của các loại tấm composite: Ferreira và cộng sự đ~ dùng h{m cơ bản Multiquadric để ph}n tích dao động tự do của tấm vật liệu composite nhiều lớp có độ dày trung bình; Ferreira và Fashauser dùng phương ph|p h{m cơ bản không đối xứng của Kansa để ph}n tích dao động tự do của dầm Timoshenko và tấm Mindlin; Liew đề xuất phương ph|p p-Ritz có độ chính x|c cao, nhưng gặp khó khăn trong việc chọn h{m cơ bản thích hợp cho

các bài toán phức tạp Karunasena và cộng sự khảo sát tần số dao động của tấm 4 cạnh bất kì và tấm tam giác tổng quát biến dạng trượt với các tổ hợp điều kiện biên bất kì, sử dụng phương ph|p pb-2 Rayleigh-Ritz kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Liew và cộng sự sử dụng phép cầu phương sai ph}n để phân tích tần số dao động của tấm vuông, tấm tròn và tấm xiên với các điều kiện biên kh|c nhau Phương ph|p không lưới dựa trên việc sử dụng xấp

xỉ các phần tử hạt để ph}n tích dao động và ổn định của tấm biến dạng cắt được thực hiện bởi Liew

Ngo{i phương ph|p DRBFN, Mai Duy Nam và Trần Công Thành đ~ đề xuất sử dụng phép tích phân (IRBFN) xây dựng hệ thống h{m cơ bản xấp xỉ các h{m v{ đạo hàm của chúng để giải c|c phương trình vi ph}n Việc sử dụng phép tích phân thay cho vi ph}n để xây dựng c|c h{m cơ bản xấp xỉ cải thiện đ|ng kể

sự ổn định v{ độ chính xác của phương ph|p số Các kết quả số chỉ ra rằng IRBFN đạt được kết quả chính x|c hơn nhiều so với DRBFN Mai Duy Nam và

h{m cơ bản 1 chiều (1D-IRBFN) để giải c|c phương trình vi ph}n đạo hàm riêng cấp 2 và cấp 4 Dọc theo đường lưới, 1D-IRBFN được xây dựng thỏa mãn phương trình vi ph}n, cũng như c|c điều kiện biên Từ đó c|c h{m v{ c|c đạo hàm theo các biến chuyển vị được xấp xỉ theo chính các chuyển vị của các nút trên đường lưới đó v{ đường lưới vuông góc với nó Phương trình hệ thống được thiết lập cho c|c điểm nút để tìm được các tần số dao động và dạng dao động của bài toán tấm

Trong đề tài luận văn n{y t|c giả tìm hiểu phương ph|p không lưới, cụ thể là với thuật toán 1D-IRBFN để ph}n tích dao động của loại tấm vật liệu phân lớp chức năng (FGM) với mong muốn được tham gia v{o xu hướng mới

ấy của các nhà khoa học; đồng thời có thể rút ra được những kết luận về một phương ph|p số mới để có thể áp dụng cho các bài toán khác nhau trong việc

nghiên cứu lĩnh vực động lực học, và các phản ứng động của các loại vật liệu FGM khác nhau

1.2 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn

Phân tích dao động tự do của tấm FGMs theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT, sử dụng phương ph|p không lưới với thuật toán nội suy 1 chiều 1D-IRBFN để x|c định hệ phương trình dao động của tấm FGM Từ đó xây dựng chương trình tính to|n bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình

vi phân của bài toán, x|c định tần số dao động riêng của các loại tấm Mindlin đồng nhất, tấm composite phân lớp, và tấm FGM Kiểm tra kết quả đạt được v{

so sánh với kết quả của những nghiên cứu của các tác giả khác Phần tiếp theo, tác giả dùng chương trình Matlab đ~ viết để khảo sát tần số dao động riêng của các loại tấm ở các khía cạnh: các loại vật liệu khác nhau, hệ số mũ cho mỗi loại vật liệu, tỷ số giữa nhịp và bề dày tấm, c|c điều kiện biên khác nhau Đưa ra nhận xét, kết luận v{ hướng phát triển của đề tài

1.3 Cấu trúc của luận văn

Trong luận văn n{y, tần số dao động riêng của các loại tấm FGM được phân tích bằng cách áp dụng phương ph|p không lưới với thuật toán nội suy hướng tâm một chiều 1D-IRBFN theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT

Luận văn n{y bao gồm 5 chương, trong đó chương 1 tập trung giải thích

lý do chọn đề tài này, mục tiêu của luận văn cũng như cấu trúc của luận văn Chương 2 giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu ở trong v{ ngo{i nước

có liên quan đến luận văn Chương 3 trình b{y cơ sở lý thuyết của bài toán phân tích các loại tấm, tập trung vào phần lý thuyết dùng cho tấm FGM Đồng thời, hệ phương trình chủ đạo của bài toán ph}n tích dao động riêng của tấm FGM được thiết lập, dạng chi tiết của các ma trận trong phương trình đó cũng được thể hiện Phần thiết lập hệ phương trình cho b{i to|n một chiều (phân tích tần số dao động dọc trục của 1 thanh đồng chất) được trình bày trong phần phụ lục

nhằm l{m rõ hơn phương ph|p Phần đầu chương 4 trình b{y một vài ví dụ số khảo sát sự hội tụ, so sánh với các nghiên cứu trước để chứng minh sự chính xác của phương ph|p v{ chương trình tính trong luận văn n{y Phần tiếp theo trong chương 4 trình b{y về những khảo sát của tác giả đối với bài toán phân tích dao động riêng của các loại tấm FGM Chương 5 trình b{y những kết luận

và kiến nghị chung, hướng phát triển của đề tài Các chương trình tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình Matlab và các tài liệu tham khảo có liên quan đến

đề t{i được trình bày ở phần cuối luận văn

nó thay đổi liên tục theo chiều cao tiết diện để cải thiện tính năng chịu nhiệt và

cơ của vật liệu composite nhiều lớp Khái niệm, đặc tính và khả năng ứng dụng của FGMs cũng như những nghiên cứu gần đây về vật liệu FGMs được trình bày

ở phần đầu của chương, phần tiếp theo giới thiệu chung về tình hình nghiên cứu các phương pháp rời rạc hóa, trong đó thể hiện rõ hơn về tình hình nghiên cứu phương pháp không lưới sử dụng hệ thống hàm cơ bản nội suy hướng tâm (RBFN) và giới thiệu sơ lược về thuật toán sẽ được sử dụng trong luận văn này,

đó là thuật toán sử dụng hàm cơ bản nội suy hướng tâm một chiều Sự khác biệt giữa các yếu tố trong luận văn và các nghiên cứu trước đó được so sánh chi tiết trong phần cuối chương này

2.2 Vật liệu phân lớp chức năng

2.2.1 Khái niệm và đặc tính

Chúng ta đều biết rằng, sự thay đổi đột ngột đặc tính và thành phần vật liệu giữa các lớp vật liệu của cùng một bộ phận cấu thành sẽ gây ra hiện tượng tập trung ứng suất rất lớn tại những vị trí đó Sự tập trung ứng suất này có thể được giảm thiểu đáng kể nếu sự thay đổi từ vật liệu này đến vật liệu khác diễn

ra từ từ Nguyên tắc này là cơ sở quan niệm của phần lớn các loại vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Materials)

Về định nghĩa, vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) là một loại composite đặc biệt có đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục nhằm cải thiện và tối ưu khả năng chịu nhiệt và cơ của kết cấu Điều này có được từ việc chế tạo một loại vật liệu tổng hợp có sự thay đổi dần dần trong các thành phần cấu thành nên vật liệu, vì thế cần phải sắp xếp nó theo các yêu cầu thực hiện chức năng FGMs thường được ứng dụng nhiều trong những môi trường có điều kiện làm việc khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học, các bộ phận động cơ, các thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất lớn Ví dụ như trong các lớp cách nhiệt truyền thống của các thiết bị chịu nhiệt cao, một lớp vật liệu ceramic sẽ được tráng lên các kết cấu kim loại, tuy nhiên sự thay đổi đột ngột tại vị trí tiếp xúc giữa 2 vật liệu khác nhau sẽ gây ra sự tập trung lớn ứng suất, dẫn đến hình thành biến dạng dẻo hoặc nứt Những ảnh hưởng tiêu cực đó có thể được giảm nhẹ bằng cách sắp xếp vật liệu thay đổi liên tục theo các vật liệu thành phần, tại những vị trí cần chịu nhiệt và ăn mòn cao thì hàm lượng ceramic (gốm) cao, ngược lại kim loại được tập trung tại những vị trí cần các tính năng cơ học như tính dẻo dai FGMs là hỗn hợp của nhiều loại vật liệu nhưng thông thường gồm ceramic và kim loại với các đặc trưng cơ học cho như

bảng 2.1

Bảng 2.1: So sánh đặc tính của ceramic và kim loại

Vùng chịu nhiệt cao Ceramic

- Chịu nhiệt cao

- Chống oxy hóa cao

- Dẫn nhiệt thấp

Các lớp bên trong Ceramic – kim loại

- Loại bỏ những vấn đề bề mặt tiếp xúc giữa các vật liệu

Vùng chịu nhiệt thấp Kim loại

- Tính năng chịu lực cao

độ lên đến 2000K trong môi trường oxy hóa, và mặt lạnh với nhiệt độ 1000K, vật liệu có tính năng dẫn nhiệt, bền, dẻo như kim loại được chọn

Ngoài Nhật Bản, số lượng nghiên cứu trên vật liệu FGMs tăng nhanh chóng và trở thành chủ đề được ưa thích trong nghiên cứu vật liệu những năm sau đó bao gồm các nước như Đức, Thụy Sỹ, Mỹ, Trung Quốc, Nga Rất nhiều ứng dụng của FGMs được giới thiệu trong những năm gần đây như mô cấy sinh

học, động cơ tên lửa, kỹ thuật hàng không, các thiết bị cắt, hệ thống chuyển đổi điện trong các nhà máy nguyên tử

nhiên

a) Xương b) Cây tre

2.2.3 Sơ lược về tình hình nghiên cứu về vật liệu FGM

Như đã giới thiệu, FGMs là một loại vật liệu composite đặc biệt, trong đó các đặc tính vật liệu thay đổi theo chiều cao tiết diện để đạt được yêu cầu mong muốn Nó thường là hỗn hợp của ceramic và kim loại để đáp ứng được trong môi trường nhiệt độ cao và loại bỏ những vấn đề bề mặt thường gặp trong vật liệu composite nhiều lớp truyền thống Kể từ khi xuất hiện vào những năm

1980, FGMs đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như: hàng không,

vũ trụ, công nghiệp quốc phòng, điện và công nghệ sinh học

Bởi những ứng dụng rộng rãi đó, những kết cấu làm bằng vật liệu FGMs

đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học trên thế giới kể cả trong lĩnh vực xây dựng thông qua việc phân tích ứng xử của tấm và dầm FGMs Quá trình phát triển và ứng dụng của vật liệu FGMs kể từ sau năm 2000 đã được tóm lược lại trong nghiên cứu của Birman và cộng sự 2007 Những lĩnh vực khác nhau có liên quan đến những khía cạnh khác nhau của cơ sở lý thuyết và ứng dụng của FGM bao gồm tính đồng nhất của vật liệu, các vấn đề về truyền nhiệt, phân tích ứng suất, ổn định và ứng xử động, thí nghiệm, sản suất, thiết kế

và cả vấn đề về vết nứt được phản ánh trong bài báo này Noda và Tsuji nghiên cứu ứng xử nhiệt trong tấm FGP Tanaka và cộng sự sử dụng phương pháp tối

ưu và độ nhạy để thiết kế cho vật liệu FGM Reddy và Chin phân tích đàn hồi nhiệt cho tấm và trụ làm bằng FGM Trong hướng đi tìm nghiệm cho bài toán tấm FGM, Vel và Batra đã đưa ra lời giải cho tấm FGM tựa đơn chịu tải cơ-nhiệt thay đổi theo thời gian Vel và Batra đưa ra lời giải độ võng chính xác cho tấm dày hình chữ nhật FGM Reddy đưa ra nghiệm Navier và mô hình phần tử hữu hạn cho tấm FGM dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (TSDT) Gilhooley và

sự sử dụng phương pháp kp-Ritz phân tích ứng xử đàn nhiệt của tấm FGM Chung quy lại, lời giải cho tấm FGM liên quan đến hai quan niệm khác nhau: mô hình bài toán bởi lý thuyết nào và phương pháp để giải bài toán Lý thuyết tấm

có thể chia làm 3 loại phổ biến: lý thuyết tấm cổ điển (lý thuyết tấm Kirchoff)

áp dụng cho tấm mỏng, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (lý thuyết Mindlin - Reissner) và lý thuyết cắt bậc cao của Reddy Còn về phương pháp giải có thể chia làm 3 loại chính: phương pháp giải tích (cho nghiệm chính xác), phương pháp số (ví dụ như phương pháp năng lượng Rayleigh Ritz, phương pháp Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn), và phương pháp bán giải tích

2.3 Các phương pháp rời rạc

Với hạn chế của phương pháp giải tích trong việc phân tích ứng xử của các loại vật liệu có cơ tính thay đổi, các phương pháp số được ra đời để khảo sát và tối ưu hóa đặc tính vật liệu của các tấm FGM Các phương pháp rời rạc để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng bao gồm các phương pháp sai phân hữu hạn (FDMs), phương pháp phần tử hữu hạn (FEMs), phương pháp thể tích hữu hạn (FVMs) và các phương pháp phần tử biên (BEMs) Những phương pháp này thường cần đưa miền xét của bài toán về việc xét tập hợp các miền con (các phần tử) được kết nối với nhau thông qua các liên kết cố định

FDMs đã ra đời lâu (Crochet và cộng sự, 1984) Các phương pháp này dễ lập trình và hiệu quả với các bài toán có hình dạng đều đặn Tuy nhiên đối với các bài toán có miền khảo sát không đều thì người ta phải chuyển hệ trục để đưa về bài toán có hình dạng đều đặn Do đó phương pháp này ít được ứng dụng trong thực tiễn Ngược lại, FEMs và FVMs có khả năng áp dụng cho các bài toán hình dạng phức tạp một cách trực tiếp Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp mạnh để giải các bài toán tuyến tính và phi tuyến trong các lĩnh vực cơ học vật rắn và cơ lưu chất Tuy nhiên, FEM gặp các hạn chế: tốn nhiều thời gian và chi phí trong việc tạo lưới, độ chính xác thấp trong tính ứng suất, trong việc giải các bài toán biến dạng lớn do sự biến dạng của các

phần tử, khó khăn trong việc giải các bài toán bất liên tục Do đó phương pháp không lưới (Meshfree) ra đời, là một trong những phương pháp tiềm năng để giải quyết các hạn chế trên của FEM

Trong những năm qua, đã có nhiều phương pháp không lưới được phát triển Nayroles và cộng sự đã giới thiệu phương pháp khuếch tán phần tử (DEM), phương pháp không lưới đầu tiên sử dụng xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) để xây dựng hàm dạng Hệ lưới phần tử được loại bỏ trong phương pháp này Belytschko và cộng sự đề xuất phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG) dựa trên DEM với sự hiệu chỉnh đã cho kết quả chính xác hơn và độ hội

tụ tốt hơn Trong phương pháp này, nhân tử Lagrange được sử dụng để áp đặt điều kiện biên Atluri và Zhu đưa ra phương pháp meshfree MLPG, dựa trên hệ phương trình dạng yếu địa phương và xấp xỉ MLS Trong đó các điều kiện biên cần thiết được áp đặt bằng việc sử dụng hàm phạt Liu và Gu đã phát triển phương pháp nội suy điểm (PIM) để xây dựng các hàm dạng nội suy đa thức với đặc tính delta nên các điều kiện biên có thể áp đặt đơn giản như trong FEM Tuy nhiên vấn đề suy biến ma trận có thể xảy ra Phương pháp nội suy điểm dựa trên các hàm cơ bản (RPIM) được đề xuất bởi Wang và Liu để tạo ra ma trận không suy biến Liew và cộng sự đã đề xuất thuật toán dựa trên RPIM để phân tích ổn định của tấm Midlin hình chữ nhật, tròn, hình thang liên kết ngàm chịu tải phân bố không đều trên cạnh Trong PIM và RPIM, đặc tính tương thích không đảm bảo nên các hàm chuyển vị được xấp xỉ có thể không liên tục Liu và

có thể giải quyết vấn đề ma trận suy biến và đảm bảo tính tương thích của chuyển vị

Năm 1990, Kansa đề xuất thuật toán dựa trên các hàm cơ bản quadric (MQ) cho phương pháp số để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng Các kết quả cho thấy thuật toán MQ đạt độ chính xác cao cho việc xấp xỉ các hàm và vi phân của chúng trong cả trường hợp sử dụng lưới tọa độ hoặc sử

multi-dụng các điểm phân tán Điểm yếu của phương pháp dựa trên hàm cơ bản là thiếu cơ sở toán học cho việc chọn lựa giá trị thích hợp cho các thông số hệ thống Ví dụ như bề rộng hàm cơ bản, vốn ảnh hưởng nhiều đến ứng xử của hệ thống hàm cơ bản, vẫn được chọn bằng kinh nghiệm hoặc bằng phương pháp tối ưu hóa Đã có nhiều tác giả sử dụng phương pháp dựa trên hàm cơ bản để phân tích dao động của các loại tấm composite: Ferreira và cộng sự đã dùng hàm cơ bản Multiquadric để phân tích dao động tự do của tấm vật liệu composite nhiều lớp có độ dày trung bình; Ferreira và Fashauser dùng phương pháp hàm cơ bản không đối xứng của Kansa để phân tích dao động tự do của dầm Timoshenko và tấm Mindlin; Liew đề xuất phương pháp p-Ritz có độ chính xác cao, nhưng gặp khó khăn trong việc chọn hàm cơ bản thích hợp cho các bài toán phức tạp Karunasena và cộng sự khảo sát tần số dao động của tấm 4 cạnh bất kì và tấm tam giác tổng quát biến dạng trượt với các tổ hợp điều kiện biên bất kì, sử dụng phương pháp pb-2 Rayleigh-Ritz kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Liew và cộng sự sử dụng phép cầu phương sai phân để phân tích tần số dao động của tấm vuông, tấm tròn và tấm xiên với các điều kiện biên khác nhau Phương pháp không lưới dựa trên việc sử dụng xấp

xỉ các phần tử hạt để phân tích dao động và ổn định của tấm biến dạng cắt được thực hiện bởi Liew

Ngoài phương pháp hệ thống hàm cơ bản bằng phép vi phân (DRBFN),

xây dựng hệ thống hàm cơ bản xấp xỉ các hàm và đạo hàm của chúng để giải các phương trình vi phân Việc sử dụng phép tích phân thay cho vi phân để xây dựng các hàm cơ bản xấp xỉ cải thiện đáng kể sự ổn định và độ chính xác của phương pháp số Các kết quả số chỉ ra rằng IRBFN đạt được kết quả chính xác hơn nhiều so với DRBFN Mai Duy Nam và Trần Công Thành trình bày phương pháp không lưới IRBFN sử dụng TPSs để giải các phương trình vi phân trong hệ

tọa độ vuông góc và tọa độ cong Phương pháp IRBFN cũng được dùng để phân tích các bài toán tĩnh của tấm composite có độ dày trung bình theo FSDT

phân hệ thống hàm cơ bản 1 chiều (1D-IRBFN) để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 và cấp 4 Dọc theo đường lưới, 1D-IRBFN được xây dựng thỏa mãn phương trình vi phân, cũng như các điều kiện biên Từ đó các hàm và các đạo hàm theo các biến chuyển vị được xấp xỉ theo chính các chuyển

vị của các nút trên đường lưới đó và đường lưới vuông góc với nó Phương trình hệ thống được thiết lập cho các điểm nút để tìm được các tần số dao động

và dạng dao động của bài toán tấm Trong luận văn này, 1D-IRBFN được sử dụng để phân tích dao động tự do của tấm FGM dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT

Các hệ thống hàm cơ bản (RBFNs) đang nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học cũng như các kỹ sư nghiên cứu RBFNs là một phương pháp xấp xỉ toàn cục, được sử dụng rộng rãi để xấp xỉ cho các dữ liệu phân tán trong các bài toán đa chiều (Franke, 1982; Wendlen, 1995) Khác với các phương pháp nội suy hàm đa thức đại số bậc cao, RBFNs không chịu sự ảnh hưởng của hiện tượng Runge (Fornberg và Zuev, 2007; Mai Duy Nam và cộng sự, 2009;

(ODE) và các phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE) được đề xuất bởi Kansa (Kansa, 1990a) Từ đó, có nhiều hệ thống hàm cơ bản khác nhau được đề xuất, khiến cho phương pháp dựa trên RBFN đang trở thành một trong những phương pháp số phổ biến hiện nay Sự chính xác và tính hiệu quả của phương pháp này đã được trình bày trong nhiều trường hợp (Li và cộng sự, 2003;

Có hai hướng cơ bản: phương pháp trực tiếp và phương pháp gián tiếp để xây dựng các hàm cơ bản, dẫn đến hai phương pháp sử dụng RBFNs là: DRBFNs

(Kansa, 1990a) và IRBFNs (Mai Duy Nam, 2001; Mai Duy Nam và Trần Công

các hàm cơ bản, sau đó hàm này được đạo hàm để đạt được các xấp xỉ của các đạo hàm Trong phương pháp IRBFNs, đạo hàm cấp cao nhất của bài toán vi phân thường hoặc vi phân đạo hàm riêng được xấp xỉ bởi hàm cơ bản RBF, các đạo hàm cấp thấp hơn và các hàm chuyển vị sẽ được tìm ra bằng phép tích phân Bằng các kết quả số đã được tiến hành (Mai Duy Nam và Trần Công

DRBFN đối với cả việc xấp xỉ hàm và việc giải các phương trình vi phân

Các phương pháp dựa trên hàm cơ bản RBFN hiện nay đã được phát triển cho cả thuật toán xấp xỉ toàn cục và bài toán xâp xỉ cục bộ Đối với phương pháp RBF toàn cục (Kansa, 1990a,b; Mai Duy Nam và Trần Công Thành,

bộ các nút trong miền khảo sát Các kết quả có độ chính xác cao đã được công

bố Tuy nhiên, việc sử dụng những phương pháp này bị giới hạn bởi việc tăng

số nút, cụ thể là khi đạt đến vài trăm nút thì việc tính toán sẽ không thể thực hiện do ma trận quá lớn (Schaback, 1995) Đối với phương pháp RBF cục bộ

dùng một số nút để xây dựng xấp xỉ cho các hàm tại một nút, dẫn đến việc kích thước ma trận sẽ được giảm bớt Do đó, phương pháp RBF cục bộ được công

bố cho mô hình rời rạc với nhiều nút hơn Các chi tiết có thể tìm hiểu trong những khảo sát về phương pháp RBF cục bộ (Sarler, 2007) và nghiên cứu so sánh (Yao, Islam và Sarler, 2010) Trong luận văn này sử dụng phương pháp IRBFN, dựa trên hệ lưới Đề-các và thuật toán 1D-IRBFN để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng cho bài toán elip 2D đã được công bố (Mai Duy

sử dụng các nút nằm trên các đường lưới giao nhau tại nút đó Do đó, quá trình phân tích được chia ra thành nhiều ma trận nhỏ, thay vì một ma trận lớn Phương pháp xấp xỉ 1D-IRBFN đang được một số tác giả Việt Nam công tác tại đại học Queensland – Australia phát triển Một số tác phẩm tiêu biểu đã công bố liên quan đến phương pháp này là: Integrated radial basis function methods for Newtonian and non-Newtonian fluid flows (Luận văn tiến sỹ của Hồ Minh Đạo, 2011), Free vibration analysis of laminated composite plates based on FSDT using one-dimensional IRBFN method (2011)

2.4 Phương pháp phần dư có trọng số

Phương pháp phần dư trọng số (MWR) là một phương pháp xấp xỉ truyền thống dùng để giải các phương trình vi phân Nhiều phương pháp rời rạc (FDM, FEM và BEM) có thể xem như là các trường hợp đặc biệt của MWR Liu và Gu

Lời giải chính xác của u có thể được xấp xỉ bởi:

số hay các hàm dư R , R hay R được xác định bởi:

Các hệ số chưa biết i có thể được xác định bằng cách xây dựng thuật toán

để cực tiểu biểu thức sau:

và Y để điều khiển sự phân bố của các phần dư trên miền bài toán hoặc trên các biên R trong , R trên  , R t êr n  Như vậy, thông qua MWR, hệ phương trình vi phân được thay thế bởi một tập hợp các phương trình tích phân Thông thường các hàm cơ bản được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet,

các phương pháp xấp xỉ khác nhau Phần tiếp theo trình bày bốn phương pháp

 thì mô hình tương tự được gọi là phương pháp Petrov-Garlerkin

Mô hình các miền con sắp xếp:

Các hàm trọng số được chọn là:

i i

Có thể thấy rằng phần dư của các phương trình vi phân được áp đặt bằng

0 trên mỗi phần tử của tập hợp các miền con và phần dư của điều kiện biên được áp đặt bằng 0 tại một tập hợp các điểm sắp xếp trên biên 

Mô hình cực tiểu bình phương:

Các hàm trọng số được chọn là:

2.5.1 Mô tả

Cấu trúc của một hệ thống hàm cơ bản hướng tâm RBFN gồm ba lớp: Lớp đầu vào, lớp ẩn và lớp đầu ra Các hàm kích hoạt được sử dụng trong lớp

ẩn là các hàm cơ bản (RBFs), được kí hiệu là gi(x) Có hai mô hình liên quan: (i)

Mô hình phi tuyến từ lớp đầu vào đến lớp ẩn; và (ii) mô hình tuyến tính từ lớp

ẩn đến lớp đầu ra Hệ thống có thể được mô phỏng bằng công thức toán như sau:

x , d  là một tập hợp các điểm chọn lựa Cần lưu ý rằng, theo

nghịch với điều kiện là các điểm dữ liệu phải riêng biệt Đối với bài toán xấp xỉ,

lý thuyết chuẩn tắc cần được áp dụng để tránh hiện tượng suy biến của ma trận RBF (Poggio và Girosi, 1990) Số tâm của hàm cơ bản thường được chọn nhỏ hơn số vector đầu vào, và tập hợp các trọng số của hệ thống được tìm bằng thuật toán tối ưu:

g ( ) exp , Gaussian functions

Các hàm Gaussian và hàm inverse multiquadrics là các hàm cục bộ, các ma trận nội suy của chúng xác định dương Ngược lại, hàm multiquadrics (MQ) là hàm toàn cục và ma trận nội suy của nó không xác định dương Nhiều kết quả số đã chỉ ra rằng thuật toán MQ cho kết quả chính xác nhất (Franke, 1982) Trong luận văn này chỉ xét hệ thống các hàm cơ bản multiquadric (MQ-RBFNs)

2.5.3 Các thuật toán sử dụng RBFN để xấp xỉ hàm

Phần này trình bày hai phương pháp cơ bản để xây dựng hàm xấp xỉ thông qua các hàm RBF: Phương pháp trực tiếp dựa trên phép vi phân DRBFNs

2.5.3.1 Hệ thống các hàm cơ bản trực tiếp (DRBFNs)

Trong phương pháp trực tiếp, một hàm cơ bản (2.16) được sử dụng để xấp xỉ hàm s, và các đạo hàm của hàm s sau đó đạt được bằng cách đạo hàm (2.16) Có thể mô tả bằng biểu thức toán như sau:

Đối với một bài toán nội suy, tập hợp các điểm dữ liệu được chọn là tập hợp các tâm, nghĩa là  m  N

c   x  với m = N (N là số điểm sắp xếp) Sắp xếp (2.30) tại tập hợp các tâm, ta được:

ˆ ˆ ˆ

Trong đó ˆG là ma trận nội suy được xác định bởi:

2.5.3.2 Hệ thống các hàm cơ bản gián tiếp

Trong phương pháp trực tiếp, một hàm RBFNs (2.16) được sử dụng để xấp xỉ đạo hàm bậc cao nhất của hàm cần xét s, chẳng hạn như ps/xpj, và biểu thức cho các đạo hàm bậc thấp hơn và của hàm s đạt được bằng cách tích phân các biểu thức RBFNs đó Có thể mô tả bằng biểu thức toán như sau: