Phân tích dao động tự do của vỏ mindlin có xét đến tương tác của chất lỏng bằng phương pháp kết hợp cs dsg 3

Cả 2 kỹ thuật mềm hóa dựa trên miền trơn có thể cung cấp hiệu quả mềm hóa thích hợp cho bài toán tương tác kết cấu vỏ - lưu chất, đồng thời sẽ làm giảm đáng kể ứng xử quá cứng của mô hìn

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- -

T HÁI HỒNG SƠN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ MINDLIN

CÓ XÉT ĐẾN TƯƠNG TÁC CỦA CHẤT LỎNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP CS-DSG3/FS-FEM

Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Mã số: 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 10 năm 2012

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- -

T HÁI HỒNG SƠN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ MINDLIN

CÓ XÉT ĐẾN TƯƠNG TÁC CỦA CHẤT LỎNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP CS-DSG3/FS-FEM

Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Mã số: 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 10 năm 2012

5 TS NGUYỄN MINH LONG

6 TS LƯƠNG VĂN HẢI

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lý

Chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: THÁI HỒNG SƠN MSHV: 10210245

Ngày, tháng, năm sinh: 10-10-1981 Nơi sinh: Tiền Giang

Chuyên ngành: Xây Dựng Công Trình Dân Dụng và Công Nghiệp Mã số: 60 58 20

I TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ MINDLIN CÓ XÉT ĐẾN TƯƠNG

TÁC CỦA CHẤT LỎNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP CS-DSG3/FS-FEM

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

 Nội dung chính của luận văn là thiết lập các hệ phương trình ứng xử của bài toán

tương tác vỏ - lưu chất bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM

 Lập trình Matlab phân tích dao động bài toán tương tác kết cấu vỏ - lưu chất Xác

định tần số dao động của vỏ có xét đến tương tác của chất lỏng

 Xử lý và bình luận các kết quả Đánh giá chung về sự hội tụ của kết quả vừa tìm

được so với kết quả của các mô hình phần tử hữu hạn kết hợp khác và phần mềm Ansys

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 06 - 02 - 2012

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30 - 06 - 2012

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN THỜI TRUNG – TS LƯƠNG VĂN HẢI

LỜI CẢM ƠN

Trong 2 năm theo học chương trình đào tạo Thạc sỹ tại Trường Đại học Bách Khoa

Tp Hồ Chí Minh, cuối cùng em cũng đã vượt qua chặng đường sau cùng là hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Có được kết quả này, trước tiên em xin chân thành cảm ơn Thầy TS NGUYỄN THỜI TRUNG và Thầy TS LƯƠNG VĂN HẢI đã tận tình hướng dẫn, uốn nắn,

chỉ bảo, động viên em trong thời gian thực hiện đề tài luận văn này Thầy đã giúp tác giả hình thành nên phong cách làm việc khoa học, hướng dẫn tác giả những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học Xin gởi đến thầy lời biết ơn sâu sắc nhất

Em xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quí thầy cô phụ trách chương trình đào tạo Thạc sỹ đã truyền đạt những kiến thức quí báu, cung cấp nguồn tài liệu kịp thời

Đó là hành trang của em trên đường đời sau này

Em cũng xin cảm ơn ThS Phùng Văn Phúc, ThS Nguyễn Ngọc Nhân đã hỗ trợ

em rất nhiều trong suốt thời gian qua Bạn bè, đồng ngiệp, người thân đã động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn Cảm ơn đến các nhà khoa học, thầy cô đã có rất nhiều cống hiến trong việc nghiên cứu và viết nhiều cuốn sách tham khảo có giá trị

Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến với Bố - Mẹ cùng các anh chị trong gia đình, những người luôn quan tâm, động viên, chia sẻ với tác giả mọi mặt của cuộc sống

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012

Thái Hồng Sơn

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn trình bày một phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM trong phân tích bài toán đa vật lý: tương tác kết cấu vỏ - lưu chất

Trong phương pháp này, miền lỏng được rời rạc hóa bằng những phần tử chất lỏng

tứ diện còn kết cấu vỏ được rời rạc bằng những phần tử vỏ tam giác 3 nút

Mô hình kết hợp được thiết lập dựa trên biến chuyển vị cho kết cấu vỏ và biến áp suất cho lưu chất Phần tử vỏ phẳng CS-DSG3 được sử dụng để làm trơn hóa các biến dạng trong vỏ và phần tử 3 chiều trơn hóa dựa trên mặt FS-FEM cũng được dùng để trơn hóa gradient áp suất trong lưu chất Cả 2 kỹ thuật mềm hóa dựa trên miền trơn có thể cung cấp hiệu quả mềm hóa thích hợp cho bài toán tương tác kết cấu vỏ - lưu chất, đồng thời sẽ làm giảm đáng kể ứng xử quá cứng của mô hình phần tử hữu hạn truyền thống Do đó, phương pháp sẽ cải thiện đáng kể độ chính xác nghiệm của hệ kết hợp Các ví dụ số được trình bày sẽ cho thấy hiệu quả của phương pháp đề xuất so với các phương pháp đã có trước đây

in the fluid domain Two these gradient smoothing techniques based on the smoothing domains can provide proper softening effect for the shell structure-fluid interaction problems, which will effectively relieve the overly stiff behavior of the standard FEM model and thus improve significantly the accuracy of solution of coupled system

Some numerical examples have been presented to illustrate the effectiveness of the proposed coupled method compared with some existing methods for shell structure-fluid interaction problems

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tôi thực hiện Các kết quả và các trích dẫn trong luận văn là đúng sự thật Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc tôi đã thực hiện

Tp HCM, ngày 01 tháng 10 n ăm 2012

Thái Hồng Sơn

MỤC LỤC

- -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii

LỜI CAM ĐOAN v

MỤC LỤC vi

BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA viii

BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU xi

BẢNG KÝ HIỆU xii

Chương 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn 1

1.2 Các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài 6

1.2.1 Nghiên cứu trong nước 6

1.2.2 Nghiên cứu ngoài nước 7

1.3 Phạm vi, phương pháp nghiên cứu và mục tiêu luận văn 9

1.3.1 Mục tiêu luận văn 9

1.3.2 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu 9

1.4 Nội dung luận văn 10

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CS-DSG3 12

2.1 Lý thuyết tấm Mindlin có kể đến biến dạng trượt 12

2.1.1 Dạng yếu cho phần tử tấm Mindlin 12

2.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin 14

2.2 Phát triển phần tử tấm Mindlin thành phần tử vỏ phẳng 15

2.3 Phần tử vỏ phẳng DSG3 18

2.4 Phần tử vỏ phẳng CS-DSG3 22

Chương 3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN TỬ 3D: FS-FEM-T4 29

3.1 Phần tử tứ diện cho miền lỏng FEM-T4 29

3.2 Phần tử tứ diện được làm trơn cho miền lỏng FS-FEM-T4 31

Chương 4 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH TƯƠNG TÁC RẮN – LỎNG 35

4.1 Mô hình bài toán tương tác rắn – lỏng 35

4.2 Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp cho hệ tương tác vỏ – chất lỏng 36

4.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn kết hợp CS-DSG3/FS-FEM cho bài toán tương tác vỏ – chất lỏng 37

4.4 Phân tích động lực học bài toán tương tác vỏ – chất lỏng 38

4.5 Sơ đồ khối chương trình giải bài toán dao động tự do của hệ kết hợp 40

Chương 5 CÁC VÍ DỤ SỐ 41

5.1 Bài toán bể chứa nước hình trụ 42

5.1.1 Phân tích dao động tự do 43

5.1.2 Phân tích dao động cưỡng bức 48

5.2 Bài toán bể chứa nước hình cầu 51

5.2.1 Phân tích dao động tự do 52

5.2.2 Phân tích dao động cưỡng bức 56

5.3 Bài toán bể chứa nước hình nón cụt 58

5.3.1 Phân tích dao động tự do 59

5.3.2 Phân tích dao động cưỡng bức 64

Chương 6 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 66

6.1 Kết luận 66

6.2 Hướng phát triển đề tài 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

PHỤ LỤC 73

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 82

BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA

Hình 2.1 Mô hình tấm dày Mindlin và chiều dương qui ước 12

Hình 2.2 Phần tử vỏ phẳng tam giác 6 bậc tự do 15

Hình 2.3 Phần tử tam giác 3 nút 18

Hình 2.4 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa độ tự nhiên trong DSG3 18

Hình 2.5 Chuyển đổi tọa độ trong phần tử vỏ phẳng tam giác 19

Hình 2.6 Ba tam giác con được tạo từ tam giác 1-2-3 trong CS-DSG3 23

Hình 3.1 Mô hình miền lỏng 29

Hình 3.2 Mô hình miền trơn khối tứ diện trong phương pháp FS-FEM 32

Hình 4.1 Mô hình của bài toán tương tác rắn - lỏng 35

Hình 4.2 Sơ đồ khối chương trình xác định tần số dao động tự do 40

Hình 5.1 Mô hình bể chứa nước hình trụ tròn 42

Hình 5.2 Mô hình rời rạc bể chứa nước hình trụ tròn sử dụng phần tử tứ diện

cho miền lỏng và phần tử tam giác cho miền rắn 43

Hình 5.3 Sự hội tụ của mode thứ nhất (bể chứa nước hình trụ tròn) của mô hình tương tác bằng 4 phương pháp: FEM-flatshell Q4/FEM-H8, CS-DSG3/FS-FEM, FEM-MITC4/FEM-H8 và ANSYS 45

Hình 5.4 Hình dạng và giá trị của 6 mode đầu tiên của hệ tương tác rắn – lỏng bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa trụ tròn) 45

Hình 5.5 So sánh 6 mode riêng đầu tiên của hệ tương tác rắn lỏng bởi 4 phương pháp: FEM-flatshell Q4/FEM-H8, CS-DSG3/FS-FEM, FEM-MITC4/FEM-H8 và ANSYS (bể chứa nước hình trụ tròn) 48

Hình 5.6 Đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm A (nút 36) trong miền rắn với cùng vị trí đặt tải bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa nước hình trụ tròn) 49

Hình 5.7 Đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm A (nút 36) trong miền rắn với vị trí đặt tải tại B (nút 237) trong miền lỏng bằng phương pháp kết kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa nước hình trụ tròn) 50

Hình 5.8 So sánh đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm A (nút 36) trong miền miền rắn với cùng điểm đặt tải giữa CS-DSG3/FS-FEM và

FEM-flatshell Q4/FEM-H8 (bể chứa nước hình trụ tròn) 50 Hình 5.9 Mô hình bể chứa nước hình cầu 51

Hình 5.10 Mô hình rời rạc bể chứa nước hình cầu sử dụng phần tử tứ diện

cho miền lỏng và phần tử tam giác cho miền rắn 52 Hình 5.11 Sự hội tụ của mode thứ nhất (bể chứa nước hình cầu) của mô hình tương tác bằng 2 phương pháp: CS-DSG3/FS-FEM và ANSYS 53 Hình 5.12 Hình dạng và giá trị của 6 mode đầu tiên của hệ tương tác rắn – lỏng

bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa hình cầu) 54 Hình 5.13 Đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm C (nút 65) trong miền rắn với

cùng vị trí đặt tải bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM

(bể chứa nước hình cầu) 57

Hình 5.14 Đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm C (nút 65) trong miền rắn với

vị trí đặt tải tại D (nút 221) trong miền lỏng bằng phương pháp kết

kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa nước hình cầu) 57

Hình 5.15 Mô hình bể chứa nước hình nón cụt 58

Hình 5.16 Mô hình rời rạc bể chứa nước hình nón cụt sử dụng phần tử tứ diện

cho miền lỏng và phần tử tam giác cho miền rắn 59 Hình 5.17 Sự hội tụ của mode thứ nhất (bể chứa nước hình nón cụt) của mô hình

tương tác bằng 4 phương pháp: FEM-flatshell Q4/FEM-H8,

CS-DSG3/FS-FEM, FEM-MITC4/FEM-H8 và ANSYS 61 Hình 5.18 Hình dạng và giá trị của 6 mode đầu tiên của hệ tương tác rắn – lỏng

bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa nón cụt) 61 Hình 5.19 So sánh 6 mode riêng đầu tiên của hệ tương tác rắn lỏng bởi 4

phương pháp: FEM-flatshell Q4/FEM-H8, CS-DSG3/FS-FEM,

FEM-MITC4/FEM-H8 và ANSYS (bể chứa nước hình nón cụt) 64 Hình 5.20 Đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm E (nút 100) trong miền rắn với

cùng vị trí đặt tải bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM

(bể chứa nước hình nón cụt) 65 Hình 5.21 Đáp ứng tần số cưỡng bức tại điểm E (nút 100) trong miền rắn với

vị trí đặt tải tại F (nút 154) trong miền lỏng bằng phương pháp kết

kết hợp CS-DSG3/FS-FEM (bể chứa nước hình nón cụt) 65

BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU

Bảng 5.1 Kết quả tần số 6 mode đầu tiên của bể chứa nước hình trụ 44 Bảng 5.2 Kết quả tần số 6 mode đầu tiên của bể chứa nước hình cầu 53 Bảng 5.3 Kết quả tần số 6 mode đầu tiên của bể chứa nước hình nón cụt 60

BẢNG KÝ HIỆU Chữ viết tắt

FEM, PTHH Phương pháp phần tử hữu hạn

DSG Phần tử rời rạc lệch trượt (Discrete shear gap element)

CS-DSG3 Phương pháp rời rạc lệch trượt trơn hóa dựa trên phần tử con

(Cell-based smoothed discrete shear gap method using triangular elements) FS-FEM-T4 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên mặt (Face-based

smoothed finite element method using tetrahedral elements) FSI Tương tác rắn – lỏng (Fluid – structure interaction)

MITC4 Phần tử nội suy hỗn hợp các thành phần chịu kéo 4 nút (Four node

mixed interpolation of tenorial component) DKT Phần tử Kirchoff rời rạc (Discrete Kirchoff theory)

MIN3 Phần tử vỏ Mindlin 3 nút (Three – node Mindlin plate element)

FEM – H8 Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử lục diện 8 nút (Finite

element method – hexahedral) Flatshell – Q4 Phần tử vỏ phẳng tứ giác 4 nút (Flatshell – quadrilateral)

∂Ω biên chuyển vị của miền rắn (Dirichlet)

t

∂Ω biên lực của miền rắn (Neumann)

Γ biên bài toán

M ma trận khối lượng của miền rắn

n véc tơ pháp tuyến trên biên ∂Ωsf

N ma trận hàm dạng phần tử hữu hạn tại các nút của miền rắn

p vec tơ chứa các giá trị xấp xỉ áp suất tại các nút của miền lỏng

σ ma trận ứng suất của miền rắn

∇su s gradient chuyển vị được trơn hóa

Ký hiệu

( )k

V thể tích của miền trơn Ω( )k

f

p gradient áp suất được trơn hóa

∇s toán tử vi phân đối xứng của miền rắn

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN

Hiện nay nhu cầu phân tích ứng xử, mô phỏng các bài toán đa vật lý đang gia tăng trong nhiều ngành kỹ thuật quan trọng và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học Một trong số đó là bài toán tương tác giữa miền rắn và miền lỏng Những lĩnh vực tương tác rắn - lỏng có sức hấp dẫn và thu hút nhiều sự quan tâm như: công nghệ hạt nhân, không gian, dàn khoan, công nghiệp quốc phòng, thủy lợi, thủy điện, y học, v.v

Việc mô phỏng tính toán trên máy tính tốt sẽ mang đến những lợi ích như:

- Tiết kiệm được nhiều chi phí trong thí nghiệm thực tế và trong quá trình sản xuất

- Tạo nền tảng cơ sở lâu dài cho việc cải tiến và phát triển sản phẩm

Trong bài toán tương tác rắn - lỏng trước đây người ta thường tách miền rắn và miền lỏng riêng rẻ nhau cùng với một quá trình tương tác để đơn giản hóa việc tính toán Hầu hết các nỗ lực phân tích các bài toán tương tác này thường đưa về bài toán 2D Việc phân tích trong mô hình bài toán 3D thường rất hạn chế do bài toán đòi hỏi máy tính phải có bộ nhớ lớn và tốn nhiều chi phí tính toán, đặc biệt là trong những kết cấu có ứng xử phi tuyến hoặc chịu sự chuyển động lớn, có hình dạng phức tạp, những kết cấu chịu thêm ảnh hưởng của nhiệt độ [9], v.v Bên cạnh đó, việc dự đoán các đáp ứng của hệ tương tác rắn - lỏng thường là một nhiệm vụ khá khó khăn Trong hầu hết các bài toán thực tế ta không thể thu được nghiệm gần sát với nghiệm giải tích cho hệ kết hợp Vì vậy, để đảm bảo yêu cầu ngày càng cao về độ chính xác và tính hiệu quả, việc mô phỏng tính toán cần phải được thực hiện trong môi trường kết hợp của cả rắn

và lỏng và kể luôn cả sự tương tác qua lại giữa 2 miền

Ngày nay khi khoa học công nghệ phát triển cùng với sự phát triển của máy tính đã cho ra đời nhiều phương pháp mới trong việc phân tích bài toán tương tác rắn - lỏng Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH, FEM), phương pháp phần tử biên (Boundary element method - BEM) và phương pháp không lưới (Meshfree method - MFM) là

những công cụ mô phỏng bài toán tương tác rắn - lỏng được sử dụng phổ biến nhất Những lời giải số của bài toán tương tác có thể được thực hiện bằng việc chỉ sử dụng

FEM hoặc mô hình kết hợp BEM - FEM, với công thức chuyển vị - chuyển vị, công thức áp suất - chuyển vị, v.v

Trong các phương pháp số dùng để mô phỏng tính toán, phương pháp PTHH thường được sử dụng nhất Trong các bài toán 2D dùng PTHH, phần tử tam giác tuyến tính (FEM-T3) được các kỹ sư ưa chuộng nhất bởi sự đơn giản, hiệu quả, và dễ điều chỉnh lưới Tuy nhiên, do tính chất quá cứng, FEM-T3 vẫn có có những hạn chế nhất định [5]:

- Phương pháp làm gia tăng quá lớn độ cứng của bài toán, từ đó làm giảm độ chính xác của các kết quả tính toán

- Phương pháp bị ảnh hưởng bởi các hiện tượng khóa (locking) trong các bài toán uốn thuần túy hay trong vật liệu không nén

- Kết quả không ổn định đối với những bài toán có biến dạng lớn, lưới méo, các phần tử chồng lấn lên nhau, môi trường không liên tục

Để khắc phục những hạn chế của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống sử dụng phần tử tam giác tuyến tính (FEM-T3), GS Gui Rong Liu và TS Nguyễn Thời Trung đã kết hợp kỹ thuật mềm hóa biến dạng của phương pháp không lưới vào trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống để hình thành nên một chuỗi các mô hình phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) [1]: PTHH trơn dựa trên phần tử con (CS-FEM), PTHH trơn dựa trên nút (NS-FEM), PTHH trơn dựa trên cạnh (ES-FEM), PTHH trơn dựa trên mặt (FS-FEM), phương pháp anpha FEM (αFEM)

So với phương pháp PTHH truyền thống, PTHH trơn có những đặc điểm nổi trội hơn [1, 2, 3]: 1) có độ chính xác cao; 2) tốc độ hội tụ nhanh hơn; 3) áp dụng hiệu quả cho lưới bị méo; 4) áp dụng hiệu quả cho các phần tử đa giác bất kỳ; 5) và có thể cho một đánh giá sai số toàn cục mà không cần biết nghiệm chính xác; 6) ổn định cho cả bài toán tuyến tính lẫn phi tuyến Ngoài ra, do PTHH trơn không cần phải sử dụng đạo hàm của hàm dạng để tính các ma trận biến dạng mà chỉ cần sử dụng trực tiếp giá trị của hàm dạng tại các điểm Gauss dọc theo biên của miền trơn nên trong PTHH trơn, ta không cần sử dụng các phần tử đẳng tham số để tính ma trận độ cứng mà có thể tính toán trực tiếp trên phần tử vật lý

Ý tưởng chính của PTHH trơn [1, 2, 3] là thay thế các trường biến dạng tương thích bằng các trường biến dạng trơn thông qua các miền trơn Các miền trơn này được tạo ra dựa trên lưới phần tử của PTHH tiêu chuẩn như dựa trên phần tử, dựa trên nút,

dựa trên cạnh, hay trên mặt của phần tử Những miền trơn này có thể nằm bên trong phần tử (CS-FEM) hay phủ ra cả những phần tử lân cận (NS-FEM, ES-FEM) Do bao phủ ra cả những phần tử lân cận nên số nút kết hợp với miền trơn sẽ lớn hơn số nút của phần tử Điều này sẽ làm tăng chiều rộng băng của ma trận độ cứng trong mô hình

PTHH trơn và do đó làm tăng chi phí tính toán so với PTHH truyền thống Tuy nhiên,

do miền trơn được kết hợp bởi nhiều nút nên mô hình PTHH trơn thường cho lời giải chính xác hơn Nói chung, khi so sánh hiệu quả tính toán (thời gian tính toán với cùng

độ chính xác) thì mô hình PTHH trơn vẫn hiệu quả hơn mô hình PTHH Phương pháp PTHH trơn có sự kết hợp những đặc điểm của PTHH truyền thống và của phương pháp không lưới Ma trận biến dạng mang thông tin không chỉ trên một phần tử, mà còn mang thông tin của các phần tử lân cận

Sử dụng phần tử vỏ đối với miền rắn, ta có thể lựa chọn 3 dạng sau [15]:

- Phần tử vỏ cong (curved shell) dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển

- Phần tử vỏ suy biến (degenerated shell) nhận được từ phần tử khối 3 chiều

- Phần tử vỏ phẳng (flat shell) thu được từ sự kết hợp của phần tử màng và phần tử tấm chịu uốn

Bên cạnh đó, phần tử vỏ cũng có thể phân loại theo bề dày của vỏ và độ cong của mặt trung hòa Có 2 loại:

- Phần tử vỏ mỏng dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchoff-Love bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang

- Phần tử vỏ dày dựa trên lý thuyết tấm dày Reissner-Mindlin bao gồm cả biến dạng cắt ngang

Trong các loại phần tử vỏ trên, phần tử vỏ phẳng nhận được nhiều sự quan tâm bởi nó dễ dàng trong việc kết hợp phần tử màng và phần tử tấm chịu uốn Phần tử vỏ phẳng được sử dụng sâu rộng và phổ biến bởi có công thức đơn giản so với vỏ cổ điển, hiệu quả trong tính toán và linh hoạt trong việc áp dụng cho cả vỏ và tấm có nếp gấp (folded plate), chi phí tính toán ít

Trong quá trình phân tích, bài toán tấm - vỏ thường gặp hiện tượng quá cứng do bởi phần tử chịu các ảnh hưởng khóa (locking) Vấn đề này làm cho lời giải kém chính xác và có thể xuất hiện các mode năng lượng khác không thừa Có 4 loại khóa cơ bản

sau [15]:

- Khóa cắt (shear-locking), thường xuất hiện khi bề dày tấm trở nên nhỏ, khi đó uốn thuần túy bị chi phối bởi biến dạng cắt của tấm Điều này là do biến dạng cắt không bị khử trong điều kiện uốn thuần túy Sự mâu thuẫn giữa trường biến dạng uốn và trường biến dạng cắt trong trường hợp tấm mỏng dẫn đến bài toán khóa cắt

- Khóa cắt trong mặt phẳng (in plane shear locking) trong kết cấu tấm và vỏ, chỉ quan trọng khi có tải tác dụng trong mặt phẳng

- Khóa màng (membrane locking): xuất hiện trong dầm cong và vỏ khi lưới thô, méo được sử dụng Đặc biệt trong bài toán có biến dạng uốn nổi trội

- Khóa thể tích (volumetric locking): xuất hiện khi hệ số Poison ν = 0.5

Phần tử vỏ phẳng thường có độ chính xác cao và tốc độ hội tụ nhanh cho lời giải

chuyển vị Tuy nhiên, đối với ứng suất hay nội lực chúng thường cho lời giải kém chính xác và cần một quá trình hậu xử lý để cải tiến Bên cạnh đó, khó khăn chính thường gặp phải của phần tử này là hiện tượng khóa cắt mà gây ra hiện tượng quá cứng khi tấm trở nên mỏng

Để tránh hiện tượng khóa cắt (shear-locking) [6], những nghiên cứu đầu tiên đã được đề xuất như: Tích phân suy giảm có chọn lọc của Zienkiewicz [21] và Huge [22]; phân tích ổn định đề xuất bởi Belytschko [23]; phương pháp công thức tự do của Bergan [24]; phương pháp biến dạng cắt thay thế theo đề xuất của Hinton [25] Tuy nhiên, những phần tử này vẫn có những hạn chế như: sự thiếu ổn định do khuyết bậc,

độ chính xác thấp hay công thức biểu diễn phức tạp Để khắc phục những hạn chế trên, Macneal [26] và đồng sự đã giới thiệu phương pháp biến dạng tự nhiên giả định (ANS) mà cho phép xác định biến dạng cắt một cách độc lập từ việc xấp xỉ các biến số động học Trong phương pháp này, trường biến dạng cắt của phần tử tam giác và tứ giác được nội suy độc lập bằng hằng số biến dạng cắt xoay dọc theo cạnh phần tử Ý tưởng của Macneal đã được Bathe và Brezzi [27] chứng minh đúng đắn bằng cơ sở toán học Dựa trên phương pháp ANS, nhiều mô hình thành công khác đã ra đời, gồm có: phương pháp nội suy các thành phần chịu kéo (MITC) [19, 27] đề xuất bởi nhóm của Bathe; phần tử Reissner-Mindlin rời rạc (DRM) [28] và phần tử nội suy liên kết (Q4BL, T3BL) [29, 30] đề xuất bởi nhóm của Zienkiewicz; phần tử Kirchoff rời rạc (DKT, DKQ) [31, 32] của Batoz; phần tử Kirchoff-Mindlin rời rạc (DKMQ, DKMT) [33, 34] của Katili

Gần đây, Bletzinger đề xuất phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt (DSG) [11] cũng khử được hiện tượng khóa cắt Phần tử DSG hơi có phần giống với phương pháp ANS ở số hạng hiệu chỉnh biến dạng trong phần tử, nhưng khác ở việc thay đổi thứ tự sắp xếp của các nút Phương pháp DSG dùng cho các phần tử có hình dạng và bậc khác nhau Phần tử DSG có những ưu điểm: 1) dễ dàng thành lập cho các phần tử tam giác, tứ giác; 2) cho kết quả ổn định hơn các phương pháp khác; 3) bậc của tích phân

số độ cứng có thể giảm đi mà không làm xuất hiện các mode năng lượng bằng không; 4) dễ dàng trong việc viết code lập trình tính toán Tuy nhiên, ma trận độ cứng của phần tử DSG phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp của các nút trong phần tử Do đó, lời giải của DSG bị ảnh hưởng khi thứ tự nút thay đổi, đặc biệt đối với các lưới méo và thô

Để khắc phục nhược điểm trên của phần tử DSG, luận văn ứng dụng phương pháp PTHH trơn: CS-FEM để cải thiện độ chính xác của nghiệm Kỹ thuật mềm hóa biến dạng dựa trên phần tử con (cell-based) trong CS-FEM được kết hợp với phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt ổn định của phần tử DSG, sử dụng phần tử tam giác 3 nút để cho ra đời phương pháp mới có tên gọi CS-DSG3 [6]: phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt trơn hóa dựa trên phần tử con, cho phân tích dao động của bài toán tĩnh và dao động tự do của tấm và vỏ dựa trên lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

Trong quá trình thiết lập công thức ma trận độ cứng tổng thể cho phần tử tấm hoặc

vỏ CS-DSG3 [6, 17], mỗi phần tử tam giác sẽ được chia thành 3 tam giác con, và trong mỗi tam giác con, phần tử DSG3 sẽ được sử dụng để tính biến dạng và khử hiện tượng khóa cắt Sau đó, kỹ thuật mềm hóa biến dạng trên toàn tam giác được sử dụng để làm trơn hóa biến dạng trên 3 tam giác con này Phần tử CS-DSG3 không những khử được hiện tượng khóa cắt mà còn cải thiện được độ chính xác và sự ổn định của phần tử DSG3

Đối với miền lỏng, luận văn sử dụng phần tử khối tứ diện - T4 (tetrahedral) để tính toán, mô phỏng Phần tử khối tứ diện có ưu điểm là dễ mô phỏng các miền hình học 3D phức tạp Ngoài ra, ta cũng dễ dàng thành lập PTHH cho phần tử tứ diện hơn các phần tử 3D khác và hầu hết các code lập trình PTHH cho phân tích đáp ứng (adaptive) hiện nay cho bài toán 3D đều sử dụng phần tử khối tứ diện Tuy nhiên, phần

tử T4 của PTHH cũng có những hạn chế đáng kể như: ứng xử quá cứng, hiện tượng khóa thể tích (volumetric locking), sự không ổn định của lời giải trong bài toán động lực học do sự xuất hiện của các mode thừa

Để khắc phục nhược điểm của phần tử T4 trong PTHH, luận văn ứng dụng phương pháp PTHH trơn dựa trên mặt (FS-FEM) [4] để cải thiện lời giải phân tích cho bài toán 3D Trong FS-FEM, miền bài toán ban đầu được rời rạc thành các phần tử trơn theo cách tương tự như trong PTHH truyền thống Sau đó các miền trơn dựa trên các mặt của các phần tử bằng cách nối các mặt chung với 2 trọng tâm của 2 phần tử T4

kề cận Cơ sở lý thuyết của FS-FEM rõ ràng, không có thông số bất lợi hay bậc tự do thêm vào được sử dụng Phần tử FS-FEM-T4 cho kết quả với độ chính xác cao, ổn định cho cả bài toán tuyến tính và phi tuyến hình học của biến dạng lớn

1.2 CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC VÀ NGOÀI NƯỚC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

1.2.1 Nghiên cứu trong nước

Hiện nay trên thế giới có rất nhiều nghiên cứu về bài toán tương tác rắn - lỏng nhưng tại Việt Nam thì rất ít thấy Qua tìm hiểu thông tin trên internet, các tạp chí khoa học - công nghệ và các hội nghị quốc tế, tác giả chỉ mới tìm thấy được một số tác giả nghiên cứu về vấn đề này Nhưng chủ yếu là khảo sát và mô phỏng bài toán ở dạng

mô hình 2D

 Phùng Văn Phúc, Phát Triển Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trơn Dựa Trên

Cạnh (ES-FEM-T3) Để Mô Phỏng Các Bài Toán Tương Tác Rắn - Lỏng [13],

Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM, 2011 Trong luận văn này tác giả đã đề xuất phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh, sử dụng phần

tử tam giác 3 nút để phân tích bài toán tương tác rắn - lỏng 2D dựa trên công thức

áp suất - chuyển vị Trong phương pháp này, kỹ thuật mềm hóa biến dạng dựa trên miền trơn liên kết các cạnh của tam giác được sử dụng để làm trơn hóa áp suất trong miền lỏng và chuyển vị trong miền rắn ES-FEM-T3 có cách chia lưới và sử

dụng hàm dạng tương tự phương pháp PTHH Tuy nhiên, điểm khác biệt là: T3 tính toán ma trận độ cứng dựa trên phần tử, trong khi ES-FEM-T3 sử dụng kỹ thuật mềm hóa biến dạng tính toán ma trận độ cứng dựa trên miền trơn liên kết với các cạnh

Thông qua việc phân tích dao động của 2 bài toán: bể chứa nước và đập nước Các kết quả phân tích cho thấy ES-FEM-T3 cho kết quả ổn định, không thấy xuất hiện các mode năng lượng khác không thừa Kỹ thuật mềm hóa biến dạng có thể

cung cấp hiệu quả mềm hóa thích hợp mà có thể làm giảm đáng kể ứng xử quá cứng của mô hình PTHH truyền thống và cải tiến đáng kể lời giải của hệ kết hợp Các ví dụ số cũng cho thấy ES-FEM-T3 cho kết quả chính xác hơn trong phân tích trị riêng và đáp ứng tần số so với mô hình FEM-T3 truyền thống

 Nguyễn Ngọc Nhân, Phát Triển Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trơn Anpha

(αFEM- T3) Để Mô Phỏng Các Bài Toán Tương Tác Rắn - Lỏng [14], Luận văn

thạc sĩ, Viện Cơ Học và Tin Học Ứng Dụng Tp HCM, 2011 Trong luận văn này

tác giả đã đề xuất phương pháp PTHH anpha, sử dụng phần tử tam giác 3 nút để phân tích động lực học bài toán tương tác rắn - lỏng 2D dựa trên công thức áp suất

- chuyển vị Trong phương pháp αFEM-T3 có cách chia lưới và sử dụng hàm dạng tương tự phương pháp FEM-T3 Tuy nhiên, điểm khác biệt là ở cách tính ma trận độ cứng: FEM-T3 tính toán ma trận độ cứng dựa trên phần tử Trong khi đó

ma trận độ cứng của αFEM-T3 được tính dựa trên 2 phần: một phần dựa trên phần

tử tam giác như FEM-T3, một phần dựa trên miền trơn dựa trên nút (NS-FEM-T3)

và liên kết với nhau bằng bằng hệ số α∈[0,1]

Trong phương pháp kết hợp αFEM-T3, cả 2 miền rắn và lỏng đều được rời rạc bằng phần tử tam giác và αFEM-T3 được dùng cho cả 2 miền rắn và lỏng Kỹ thuật trơn hóa dựa trên miền trơn liên kết các nút của các phần tử gần kề được dùng để làm trơn hóa áp suất miền lỏng và chuyển vị của miền rắn

Các ví dụ số cũng cho thấy αFEM-T3 cho kết quả chính xác hơn trong phân tích trị riêng, đáp ứng tần số, đáp ứng thời gian so với mô hình FEM-T3 truyền thống Phương pháp αFEM-T3 cho kết quả ổn định, rất thích hợp cho phân tích các bài toán động lực học

1.2.2 Nghiên cứu ngoài nước

Bài toán tương tác rắn - lỏng được rất nhiều nhà khoa học trên giới quan tâm [9] Những nghiên cứu đầu tiên được thực hiện bởi Bathe và Hahn, Liu, Akkas, Wilson và Khalvati, Shantaram, Deshpande Phương pháp cơ bản ở những nghiên cứu này là hiệu chỉnh tiêu chuẩn động lực học kết cấu, bằng cách đưa vào tác động của chất lỏng chuyển động lên kết cấu Trong phương pháp này, mô đun đàn hồi cắt xem như bằng không trong miền lỏng Bề mặt tương tác rắn - lỏng chịu ràng buộc của chuyển vị pháp tuyến liên tục Akkas khi phân tích trị riêng cho thấy sự hiện diện của mode năng

lượng bằng không Wilson và Khalvati đề xuất phương pháp lựa chọn thông số phạt tối ưu để có thể khử được các mode thừa này Deshpande cũng nêu lên một thông số phạt tối ưu để kết hợp lưới miền rắn và lỏng như là một hàm số của trọng lượng riêng của chất lỏng và tốc độ âm thanh trong môi trường lỏng Nhưng phương pháp này chỉ

áp dụng giới hạn được cho một số bài toán, như ứng xử tuyến tính của miền lỏng Hơn nữa nó cũng không chứng minh được tính kinh tế cho phân tích đáp ứng ba chiều, thậm chí đó là bài toán tuyến tính, do bởi kích thước quá lớn của miền lỏng, số phương trình rời rạc trở nên quá lớn

Bên cạnh đó, Park và Felippa cũng đề xuất phương pháp từng phần (partition) với phân tích lời giải so le (staggered) Phương pháp này giúp giải bài toán tương tác trong trạng thái liên tục Phân tích tiến hành cho từng môi trường và ảnh hưởng tương tác được cập nhật vào cả 2 môi trường trong một số hạng tương tác riêng lẻ Phương pháp này khá hữu ích cho bài toán tương tác rắn - lỏng 3 chiều

Ngoài các nghiên cứu trên tác giả cũng xin giới thiệu tóm tắt nội dung bài báo của một số tác giả quốc tế khác nghiên cứu về lĩnh vực này:

 R.K Singh, T Kant, and A Kakodkar, Coupled shell - fluid interaction problems

with degenerate shell and three dimensional fluid elements [9] Trong bài báo này

R.K Singh đề xuất phương pháp từng phần (partitioning method), sử dụng phân tử

vỏ suy biến 9 nút cho miền rắn và phần tử chất lỏng 3D để phân tích động lực học bài toán tương tác giữa vỏ và chất lỏng Phương pháp này có sự khác biệt với các phương pháp truyền thống khi tại mỗi nút của phần tử vỏ suy biến có 8 thành phần biến dạng: εx, εy,γxy,κx,κy,κxy,γxz,γyz Phân tích đáp ứng của bài toán có xét đến

áp suất sóng truyền

Các kết quả số cho thấy phương pháp này tiết kiệm được thời gian tính toán và cho kết quả chính xác, tiết kiệm bộ nhớ máy tính Đồng thời kết quả cũng cho thấy phương pháp có thể mở rộng vào phân tích các bài toán tương tác rắn - lỏng phi tuyến

 Z.C He, G.R Liu, Z.H Long, G.Y Zhang, A.G Cheng , Coupled Analysis of 3D

Structural – Acoustic Problems using the Edge-based Smoothed Finite Element Method/Finite Element Method [16] Trong bài báo các tác giả đề xuất phương pháp kết hợp ES-FEM/FEM cho bài toán tương tác rắn - lưu chất Mô hình tương tác rắn - lưu chất của một tấm tương tác với chất lỏng 3D được thiết lập từ công

thức chuyển vị của kết cấu và công thức áp suất của lưu chất Trong mô hình tương tác, phần tử tấm tam giác Reissner-Mindlin được sử dụng để mô hình hóa tấm chịu uốn kết hợp với phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt (DSG) để khử hiện tượng khóa cắt (shear-locking) Công thức dạng yếu Galerkin được sử dụng

để rời rạc hóa bài toán trong miền kết cấu và tích phân số được thực hiện trên miền trơn dựa trên cạnh

Phương trình chủ đạo của bài toán tương tác rắn - lưu chất thu được khi sử dụng ES-FEM mô hình hóa miền rắn và FEM để mô hình hóa miền lưu chất Kỹ thuật mềm hóa biến dạng sử dụng trong miền kết cấu có thể cung cấp hiệu quả mềm hóa thích hợp, giảm bớt ứng xử quá cứng của mô hình phần tử hữu hạn Do

đó, có thể cải tiến đáng kể độ chính xác lời giải của bài toán tương tác

Trong bài báo các tác giả khảo sát 2 bài toán: a) Khối chất lỏng hình trụ tương tác với nắp đậy hình tròn bên trên b) Tương tác giữa kết cấu và không khí trong cabin xe hơi, cabin máy bay mà gây ra tiếng ồn và dao động

Các kết quả số cho thấy phương pháp đề xuất khử được hiện tượng khóa cắt, cung cấp các kết quả chính xác hơn phương pháp phần tử hữu hạn, thích ứng tốt với cả các dạng hình học phức tạp Phương pháp cho thấy có thể ứng dụng vào

phân tích nhiều bài toán kỹ thuật khác một cách hiệu quả

1.3 PHẠM VI, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ MỤC TIÊU LUẬN VĂN

1.3.1 Mục tiêu của luận văn

Mục tiêu chính của luận văn là áp dụng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM để phân tích bài toán tương tác vỏ - chất lỏng, trong đó miền lỏng được mô phỏng bằng

phần tử hữu hạn trơn tứ diện FS-FEM và miền rắn được mô phỏng bằng phần tử vỏ

phẳng Mindlin CS-DSG3

Luận văn nhằm xác định tần số dao động của vỏ Mindlin có xét đến tương tác của chất lỏng Các kết quả số sẽ được phân tích và so sánh với các kết quả của phần tử hữu hạn kết hợp khác và phần mềm Ansys

1.3.2 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu

Luận văn phân tích ứng xử kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho miền rắn và miền lỏng Trong đó miền rắn xem như biến dạng nhỏ; miền lỏng giả sử xét ở

trạng thái tĩnh, không nhớt, không xoáy, dịch chuyển nhỏ

Luận văn tính toán kết quả bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Đồng thời cũng mô phỏng, tính toán kết quả bằng phần mềm Ansys Các kết quả số từ chương trình lập trình Matlab sẽ được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, phương pháp kết hợp khác và phần mềm Ansys

Nghiên cứu thực hiện trên một tập hợp gồm 3 cấu kiện: a) Bể chứa nước hình trụ tròn; b) bể chứa nước hình cầu; c) bể chứa nước hình nón cụt Trong mỗi cấu kiện có

sự khác biệt nhau về số phần tử Phân tích dao động sẽ tập trung phân tích dao động tự

do và dao động cưỡng bức

Các công thức và mô hình tính toán chủ yếu tham khảo từ các giáo trình, bài báo trên các tạp chí quốc tế

1.4 N ỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN

Luận văn trình bày gồm 6 chương, có nội dung như sau:

Ch ương 1 trình bày ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn Khái quát tình hình

nghiên cứu trong nước và ngoài nước liên quan đến đề tài Đồng thời nêu rõ mục tiêu, phạm vi, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Ch ương 2 trình bày cơ sở lý thuyết phần tử vỏ phẳng CS-DSG3 trên cơ sở ứng

dụng lý thuyết phần tử hữu hạn trơn CS-FEM, phần tử DSG và phần tử tam giác để mô phỏng miền rắn

Ch ương 3 trình bày cơ sở lý thuyết phần tử chất lỏng 3D, FS-FEM-T4, trên cơ sở

ứng dụng lý thuyết phần tử hữu hạn trơn FS-FEM và phần tứ tứ diện ba chiều để mô phỏng miền lỏng

Ch ương 4 trình bày cơ sở lý thuyết phân tích tương tác vỏ - chất lỏng bằng phương

pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM và sơ đồ khối chương trình giải bài toán dao động tự

do của hệ kết hợp

Ch ương 5 trình bày các ví dụ số phân tích tĩnh, dao động tự do của kết cấu vỏ bằng

phương pháp CS-DSG3 và phân tích dao động của kết cấu vỏ có xét đến tương tác của chất lỏng bằng phương pháp kết hợp CS-DSG3/FS-FEM Các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Kết quả số từ chương trình lập trình được so sánh với kết quả từ các phương pháp tham khảo khác và phần mềm Ansys

Ch ương 6 đưa ra các kết luận từ việc phân tích kết quả các ví dụ số và kiến nghị

hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Kế tiếp là danh mục các tài liệu tham khảo sử dụng trong luận văn

Phần cuối cùng là phụ lục với các đoạn mã lập trình Matlab chính để mô phỏng và

tính toán các ví dụ số trong chương 5

CHƯƠNG 2

CỞ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CS-DSG3

2.1 LÝ THUYẾT TẤM MINDLIN CÓ KỂ ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT

Từ đây trở đi, để đơn giản trong trình bày Chúng tôi sẽ viết gọn lại “ tấm (vỏ) Reissner-Mindlin” bằng “ tấm (vỏ) Mindlin ”

2.1.1 D ạng yếu cho phần tử tấm Mindlin [6]

Xét 1 tấm chịu biến dạng uốn Mặt trung hòa của tấm được chọn là mặt phẳng tham chiếu 2

R

Ω ⊂ như trình bày ở Hình 2.1 Đặt w là độ võng, và x y

T =β β 

tơ các góc xoay, trong đó ,β βx y tương ứng là các góc xoay của mặt phẳng trung hòa

quanh trục y và trục x, với chiều dương được qui định như ở Hình 2.1

Hình 2.1 Tấm dày Mindlin và chiều dương qui ước của w , β βx, y

Véc tơ ẩn số của 3 trường biến số độc lập ở điểm bất kỳ trong miền bài toán của tấm Mindlin được viết theo biểu thức sau

0 0

d

x y

ν

=

+ là mô đun đàn hồi trượt [6]

Đối với phân tích dao động tự do của tấm Mindlin, dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn

có thể nhận được từ biểu thức động lực học của nguyên lý năng lượng [35, 36]

2.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin [6]

Rời rạc hóa miền bài toán Ω thành các phần tử sao cho:

1

e

N e

N N

00

trong đó fb là phần còn lại của F chịu tải trọng tập trung cho trước

Đối với phân tích dao động tự do, chúng ta có

2.2 PHÁT TRIỂN PHẦN TỬ TẤM MINDLIN THÀNH PHẦN TỬ VỎ PHẲNG

[6, 10, 17]

PHẦN TỬ TẤM CHỊU UỐN + PHẦN TỬ MÀNG = PHẦN TỬ VỎ PHẲNG

Hình 2.2 Phần tử vỏ phẳng dạng tam giác 6 bậc tự do: u v w , , , β β βx, y, z

Phần tử vỏ phẳng (flat shell) ở Hình 2.2 là phần tử được tạo thành từ sự kết hợp của phần tử tấm Mindlin chịu uốn (có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt) với phần

tử màng Phần tử vỏ phẳng được sử dụng phổ biến bởi có những ưu điểm sau [15]: 1) dễ dàng trong việc xây dựng công thức; 2) hiệu quả trong tính toán và trong lập trình; 3) linh hoạt trong việc áp dụng cho cả vỏ và tấm có nếp gấp (folded plate); 4) chi phí tính toán ít

Dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn của phương trình cân bằng tĩnh cho vỏ phẳng được viết theo biểu thức [18, 37]

x xz

yz

y

w x w y

βγ

I h

I I

Biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng màng sau đó có thể biểu diễn dưới dạng

N N

N N

f là ngoại lực trên miền rắn do miền lỏng tác dụng

q là lực phân bố trên 1 đơn vị diện tích

Ma trận D D là các b, s ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng uốn và biến dạng cắt cho bởi công thức tương tự như các công thức (2.6), (2.7) trong phần tử tấm Mindlin

chuẩn Điều này dẫn đến, ma trận toán tử S liên quan đến phần cắt sẽ được hiệu chỉnh

Các thành phần của S là các hằng số và được tính từ tọa độ nút của phần tử Phần tử

DSG3 khử được hiện tượng khóa cắt và có một số tính chất nổi trội như trình bày ở phần giới thiệu và tài liệu [11] Các công thức tóm tắt của phần tử DSG3 được trình bày dưới đây

Hình 2.3 Ph ần tử tam giác 3 nút

Hình 2.4 Ph ần tử tam giác 3 nút và hệ tọa độ tự nhiên trong DSG3

Hình 2.5 Chuy ển đổi tọa độ trong phần tử vỏ phẳng tam giác

Đầu tiên, sử dụng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút như được trình bày trong Hình 2.3, hàm xấp xỉ h

u cho vỏ Mindlin được viết như sau

d là véc tơ chuyển vị nút của phần tử; B chứa đạo hàm

của các hàm dạng, mà là các hằng số như sau

với a=x2-x1,b= y2- y1, c= y3−y1, d =x3−x1, như trình bày ở Hình 2.4; và

Bletzinger [11] đề xuất phương pháp phần tử rời rạc lệch trượt (DSG3) để thay đổi

trường biến dạng cắt

Biến dạng cắt được biểu diễn trong biểu thức

h e

và Si , i =1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i

Biến dạng màng được biểu diễn trong biểu thức

Thay thế phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) vào phương trình (2.28), ma trận độ cứng tổng thể trở thành

1

e N

= T k T

trong đó ke là ma trận độ cứng phần tử tính toán trong hệ tọa độ địa phương xyz ˆˆ ˆ; và

Tlà ma trận chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ địa phương xyz ˆˆ ˆ vào hệ tọa độ tổng thể xyz như biểu diễn trên Hình 2.5 và có dạng như sau

Trong tài liệu [12], Bischoff và Bletzinger đề nghị đưa vào biểu thức gốc của phần

tử DSG3 một số hạng để làm tăng tính ổn định nhằm cải tiến hơn độ chính xác của lời giải và để tăng sự ổn định cho dao động cắt Hiệu chỉnh được thực hiện bằng cách thay

s

D trong phương trình (2.44) bằng ˆs

D như sau

1 0ˆ

Phần tử DSG3 [11] được thiết lập dựa trên khái niệm khe hở trượt (“shear gap”) của phần tử dầm Timoshenko tuyến tính 1 chiều Trong ý tưởng này khe hở trượt được tính toán từ 2 điểm: một điểm cơ sở và một điểm kết thúc Tuy nhiên, khi ý tưởng khe

hở trượt áp dụng vào phần tử tấm tam giác 2 chiều, công thức không đối xứng bởi vì chỉ có 1 điểm nút phần tử được chọn là nút cơ sở của 2 khe hở trượt dọc theo 2 cạnh phần tử, và 2 nút còn lại là 2 điểm kết thúc của khe hở trượt Điều này dẫn đến, ma trận hằng số biến dạng cắt và biến dạng uốn trong DSG3 khác nhau khi nút phần tử khác nhau được chọn làm điểm cơ sở

Từ các phương trình (2.38), (2.40) và (2.42) ta có thể nhận thấy rằng ma trận độ cứng phần tử trong phương pháp DSG3 phụ thuộc vào thứ tự các nút trong phần tử, và

do đó lời giải của DSG3 bị ảnh hưởng khi thứ tự các nút thay đổi, đặc biệt là cho các lưới thô và méo Nói cách khác, lời giải của phần tử DSG3 không ổn định cho các lưới thô và méo Do đó, phương pháp CS-DSG3 được đề xuất để vượt qua những hạn chế này và cũng để cải thiện độ chính xác cũng như sự ổn định của phần tử DSG3

2.4 PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CS – DSG3 [1, 6, 17]

Trong phương pháp CS-DSG3, mỗi phần tử tam giác được chia thành 3 tam giác con bằng việc kết nối trọng tâm tam giác với 3 nút tam giác, véc tơ chuyển vị ở trọng tâm được xem như là trung bình đơn giản của 3 vec tơ chuyển vị của 3 nút Trong mỗi tam giác con, phương pháp DSG3 được sử dụng để tính toán biến dạng và cũng để khử hiện tượng khóa cắt ngang Sau đó, kỹ thuật mềm hóa biến dạng trên toàn phần tử tam

giác được dùng để trơn hóa biến dạng trên 3 tam giác con Công thức tính toán của phương pháp CS-DSG3 được trình bày chi tiết bên dưới

Hình 2.6 Ba tam giác con được tạo từ tam giác 1-2-3 trong CS-DSG3

Xét 1 phần tử tam giác điển hình Ωe như được thể hiện trong Hình 2.6 Đầu tiên chúng ta chia phần tử thành 3 tam giác con ∆ ,1 ∆2 và ∆3 sao cho

∆ ∩ ∆ = ∅, i ≠ j, bằng việc kết nối trọng tâm O của tam giác với 3 nút như được thể

hiện trong Hình 2.6 Tọa độ [ ]T

trong đó, xi =[x i y i], i =1,2,3, tương ứng là tọa độ 3 nút của tam giác

Trong phương pháp CS-DSG3, chúng ta giả định rằng véc tơ chuyển vị deOở trọng

tâm O được xem như là trung bình đơn giản của 3 vec tơ chuyển vị de1, de2 và de3 của 3 nút