Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Hai Đường Thẳng Song Song Và Hai Đường Thẳng Chéo Lớp 11

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng [r]

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Có các trường hợp sau đây xảy ra đối

với a và b :

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học

phẳng ta có ba khả năng sau:

- a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a b M

- a và b song song với nhau, ta kí hiệu a b

- a và b trùng nhau, ta kí hiệu a b

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai

đường thẳng chéo nhau

2 Các định lí và tính chất

 Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một

và chỉ một đường thẳng song song với a

 Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến

đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song

 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

 Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng   và   có điểm chung M và lần lượt chứa

hai đường thẳng song song d và d' thì giao tuyến của   và   là đường thẳng đi qua M song song với d và d'

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và  SCD 

A là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD

B là đường thẳng đi qua S

C là điểm S

D là mặt phẳng (SAD)

Lời giải:

b c

a

γ β

α

b c

a

γ β

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB

và CD Gọi , I J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của

tam giác SAB

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và   IJG

A.là đường thẳng song song với AB

B.là đường thẳng song song vơi CD

C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI

Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN ABnên 2

Vậy thết diện là hình bình hành khi AB3CD

Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng

- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba

N M

E

J I

A

S

B G

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm của SA và SB

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

A MN song song với CD

a) Ta có MN là đường trung bình của tam

giác SAB nên MN AB

Lại có ABCD là hình thang AB/ /CD

b) Trong ABCD gọi E AD  BC, trong SCD gọi P SC  EN

Ta có E AD ADN ENAND P ADN

phẳng ADJ cắt  SB SC lần lượt tại , M N Mặt phẳng , BCI cắt  SA SD tại ,, P Q

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A MN song sonng với PQ

D A

S

B

C

Q P

N M

B

C A

S

J I

D

Để chứng minh bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng , a b lần lượt đi

qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh ,a b song song hoặc cắt nhau, khi đó

, , ,

A B C D thuôc mp a b  ,

Để chứng minh ba đường thẳng , ,a b c đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể

chứng minh , ,a b c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng       , ,  trong

đó có hai giao tuyến cắt nhau Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được , ,a b c đồng qui

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi M N E F lần , , ,lượt là trung điểm của các cạnh bên SA SB SC và SD , ,

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A ME NF SO đôi một song song ( O là giao điểm của AC và BD ) , ,

B ME NF SO không đồng quy ( O là giao điểm của AC và BD ) , ,

C ME NF SO đồng qui (, , O là giao điểm của AC và BD )

D ME NF SO đôi một chéo nhau (, , O là giao điểm của AC và BD )

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Trong SAC gọi I ME SO , dễ thấy

I là trung điểm của SO , suy ra FI là

đường trung bình của tam giác SOD

M

O A

D S

D Cả A, B, C đều sai

b) Ba đường thẳng ME NF SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ) , ,a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A ME NF SO đôi một song song ( O là giao điểm của AC và BD ) , ,

B ME NF SO không đồng quy ( O là giao điểm của AC và BD ) , ,

C ME NF SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ) , ,

D ME NF SO đôi một chéo nhau (, , O là giao điểm của AC và BD )

E' N'

F' M'

O

D

A S

M

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

19 Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC Tìm ,giao tuyến của hai mặt phẳng DMN và  BCD 

20 Cho hình chóp S ABC Gọi G G lần lượt là trọng tâm các tam giác 1, 2 SBC và SAB a) Chứng minh G G1 2 AC

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng BG G và 1 2 ABC 

21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và  SCD 

b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC Xác định giao điểm N của SD với ABM Tứ giác ABMN là hình gì?

c) Giả sử IANBM Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh SC

22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N P Q lần lượt là , , ,trung điểm của các cạnh SA SB SC SD , , ,

a) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành

b) Gọi I là một điểm trên cạnh BC Xác định thiết diện của hình chóp với IMN 

23 Cho tứ diện ABCD Gọi , I J lần lượt là trung điểm của BC và BD , E là một điểm

thuộc cạnh AD ( E khác A và D )

a) Xác định thiết diện của tứ diện với  IJE

b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành

c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là

hình thoi

24 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi M N lần lượt là trung điểm của CD và AB ,

a) Hãy xác định các điểm IAC và J DN sao cho IJ BM

26 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang với AD BC M là một điểm di động

trong tứ giác ABCD Qua M vẽ các đường thẳng song song với SA SB cắt các mặt ,

SBC và  SAD lần lượt tại  N P ,

a) Nêu cách dựng các điểm N P ,

b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MN MP lớn nhất

27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD a và BC b Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB CD và SB ,

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADP và  SBC 

b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của ADP và  SMN nằm bên trong hình chóp 

28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi , I J lần lượt là trọng

tâm các tam giác SAB và SAD, M là điểm trên cạnh SA sao cho MA2MS Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MIJ 

29 Cho hình chóp S ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng .qua M và song song SA SB và , SC cắt các mặt SBC , SCA , SAB lần lượt tại các điểm ', ', 'A B C

30 Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng   cắt bốn canhAB BC CD DA , , ,

Lần lượt tại các điểm M N P Q , , ,

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN

19 Do M N lần lượt là trung điểm của ,

C

20 a) Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,

M

M N

A

D S

I

diện của hình chớp với IMN là hình thang MNIJ 

Thiết diện là tứ giác IJEF

b) Để thiết diện IJEF là hình bình hành thì IJ EF mà 1

A

C E

24 a) Trong BCD , từ D kẻ đường thẳng 

song song với BM cắt BC tại K Nối K

và N cắt AC tại I Trong IKD , từ  I kẻ

đường thẳng song song với DK cắt DN

M N

A

C I

SA  SB  hay M là trung điểm của AE và BF ,

do đó tập hợp điểm M là đường trung bình của hình thang ABCD

M A

F

N M

A

S

D

29

a) Gọi E AM BC, trong SAE vẽ 

đường thẳng đi qua M và song song với

A'

I S

B

M

E F

30 Trước tiên do M N E F đồng phẳng nên theo , , ,

định lí Menelauyt trong không gian ta có

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng   , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

 d và   cắt nhau tại điểm M, kí hiêu  M   d   hoặc để đơn giản ta kí hiệu

 Cho đường thẳng d song song với mặt

phẳng   Nếu mặt phẳng   đi qua

d và cắt   theo giao tuyến d' thì

d

h2 α

d' d

h3 α

d'

d

β

α

 4 Cho hai đường thẳng chéo nhau Có

duy nhất một mặt phẳng chứa đường

thẳng này và song song với đường

thẳng kia

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

 Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song

song với một đường thẳng thì giao

tuyến của chúng ( nếu có) cũng song

song với đường thẳng đó

α

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng d songsong

với mặt phẳng   ta chứng minh d song

song với một đường thẳng d' nằm trong

 

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt

phẳng có tâm lần lượt là O và ' O

a) Chứng minh OO song song với các mặt phẳng ' ADF và  BCE 

b) Gọi M N lần lượt là hai điểm trên các cạnh , AE BD sao cho , 1 , 1

AM AE BN BD Chứng minh MN song song với CDEF 

Lời giải:

a) Ta có OO' là đường trung bình của tam

giác BDF ứng với cạnh DF nên OO' DF

Tương tự, OO là đường trung bình của '

tam giác ACE ứng với cạnh CE nên

'

OO CE , CECBEOO' BCE

d' d

h3 α

I O

O' E

b) Trong ABCD , gọi I ANCD

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi G là trọng

tâm tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho

I

C

D S

M

G

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng   đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc   chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất:

a) Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi 

b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là một hình thang

D S

Thiết diện là tứ giác MNPQ

b) Tứ giác MNPQ là một hình thang khi MN PQ hoặc MQ NP

 nên tứ giác MNPQ là hình thang

Vậy để tứ giác MNPQ là hình thang thì điều kiện là MN BC

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều Một điểm M thuộc cạnh BC sao cho BMx 0 x a  ,   mặt phẳng đi qua M song

song với SA và SB

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi  

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

Ba mặt phẳng    , ABCD và SCD đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

31.Cho hình chóp S ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của AB và , BC; G G 1, 2tương ứng là trọng tâm các tam giác SAB SBC ,

32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các cạnh SA SB AD , ,lần lượt lấy các điểm M N P sao cho , , SM SN PD

SA  SB  AD a) Chứng minh MN ABCD 

b) SD MNP 

c) NP SCD 

33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi O là giao điểm của hai

đường chéo AC và BD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua O ,

song song với AB và SC

34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh AB Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng   qua M , song song với BD và SA

35 Cho hình chóp S ABCD Gọi M N là hai điểm bất kì trên hai cạnh SB và CD , ,  

là mặt phẳng đi qua MN và song song với SC

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi  

36 Cho tứ diện ABCD Gọi , ' O O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC

và ABD Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

37 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm của

SC ;   là mặt phẳng qua AM và song song với BD

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  

b) Gọi ,E F lần lượt là giao điểm của   với các cạnh SB SD Tính các tỉ số ,

38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB Gọi M N ,

theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác SCD và SAB

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : ABM và  SCD ;  SMN và  ABC b) Chứng minh MN ABC 

c) Gọi d là giao tuyến của SCD và  ABM còn , I J lần lượt là các giao điểm của d với ,

SD SC Chứng minh IN ABC 

d) Tìm các giao điểm ,P Q của MC với SAB , AN với  SCD Chứng minh , , S P Q

thẳng hàng

39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O M là một điểm di

động trên cạnh SC,   là mặt phẳng qua AM và song song với BD

a) Chứng minh   luôn chứa một đường thẳng cố định

b) Tìm các giao điểm H K của ,   với SB SD Chứng minh , SB SD SC

SHSK SM có giá trị không đổi

b) Thiết diện của hình chóp với   có thể là hình thang được không?

40 Cho tứ diện ABCD có AB CD a BC  , AD b AC , BD c với Một mặt phẳng

  song song với hai đường thẳng AB và CD cắt các cạnh của của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi Tính diện tích của thiết diện

41 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a M và P là hai điểm di động trên các cạnh AD và

BC , sao cho MA PC x, 0  x a Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt

tứ diện theo một thiết diện

a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân

b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất

42 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Một mặt phẳng  

thay đổi đi qua AB và cắt SC SD tại , M N ,

45 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a I là trung điểm của cạnh AC , J là điểm tuộc cạnh

AD sao cho AJ2JD M là một điểm di động trong tam giác BCDsao cho MIJ AB

a) Tìm tập hợp điểm M

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện cắt bởi MIJ 

D

C

B S

G 2

B S

33 Gọi  P là mặt phẳng qua O và song

O A

D S

D S

E

T

I Q

B

A O

I

Xét ba mặt phẳng ABC , ABD , CDOO đôi '

một cắt nhau theo ba giao tuyến là

AB CO DO nên ba giao tuyến này đồng

quy.Gọi I là điểm đồng quy này thì I là chân

các đường phân giác của các góc ,C D trong

các tam giác CAB DAB tương ứng.Theo tính ,

chất đường phân giác ta có: IA DA

Thiết diện là tứ giác AEMF

b) Do ,O M lần lượt là trung điểm của AC SC ,

nên I là trọng tâm của tam giác SAC

Q P

J I

39 a) Trong ABCD gọi d là đường thẳng đi qua 

A và song song với BD thì d cố định

B

C D S

M

Tương tự , NếuAK MH cũng dẫn đến vô lí Vậy

thiết diện không thể là hình thang

40 Giả sử   căt các cạnh AC CB BD DA theo , , ,

MNNPCNBN hay N là trung điểm của

BC Từ dó ta suy ra được M P Q cũng là trung , ,

O

S

A

C M

a

b c

B

D

C