Câu 1. Điểm đó chính là tâm quay O. Cho tam giác đều tâm. Cho tam giác đều ABC Hãy xác định góc quay của phép quay tâm.. Cho hình vuông tâm. Cho hình vuông tâm. Cho hình chữ nhật tâm. [r]
Trang 1 BÀI 05
PHÉP QUAY
1 Định nghĩa
Cho điểm O và góc lượng giác a Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi
điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM'=OM và góc lượng giác (OM OM; ') bằng a
được gọi là phép quay tâm O góc a
· Điểm O được gọi là tâm quay, a được gọi là góc quay của
phép quay đó
· Phép quay tâm O góc a thường được kí hiệu là Q(O,a)
Nhận xét
· Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn
lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ
· Với k là số nguyên ta luôn có:
Å Phép quay Q(O,2k p) là phép đồng nhất
Å Phép quay Q(O, 2(k+1)p) là phép đối xứng tâm O
2 Tính chất
Tính chất 1
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Tính chất 2
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc a với a¹ k2p ( k là
một số nguyên)?
Câu 2 Cho tam giác đều tâm O Với giá trị nào dưới đây của j thì phép quay Q(O,j) biến tam giác đều thành chính nó?
M'
M
O
O
M
M'
O
C'
B'
B
A I'
I
R
R
O
M M’
O
Trang 2A
3
p
3
p
2
p
2
p
j =
Câu 3 Cho tam giác đều ABC Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C
A j = 30 ° B j = 90 °
Câu 4 Cho tam giác đều tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a< 2p, biến tam giác trên thành chính nó?
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 5 Cho hình vuông tâm O Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay j Với giá trị nào
sau đây của ,j phép quay Q biến hình vuông thành chính nó?
A
6
p
4
p
3
p
2
p
Câu 6 Cho hình vuông tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0£ a<2p, biến hình vuông trên thành chính nó?
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 7 Cho hình chữ nhật tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0£ a< 2p, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
Câu 8 Cho hình thoi ABCD có góc · ABC = 600 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng
hồ) Ảnh của cạnh CD qua phép quay
(A,60 0)
Q là:
Câu 9 Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA', BB', CC (các đỉnh của tam ' giác ghi theo chiều kim đồng hồ) Ảnh của đường cao AA qua phép quay tâm O góc quay ' 0
240
là:
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng 0
60 (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ) Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay 600 là:
A AD
B AI với I là trung điểm của CD
C CJ với J là trung điểm của AD
D DK với K là trung điểm của AC
Câu 11 Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d' Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d
thành đường thẳng 'd ?
A 0 B 1 C 2 D Vô số
Câu 12 Cho phép quay Q(O,j) biến điểm A thành điểm A và biến điểm M thành điểm ' M'
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A AMuuuur= A Muuuuur' '. B (·OA OA, ')=(·OM OM, ')=j .
C (·AM A M, ' ')=j
uuuur uuuuur
với 0£ j £ p. D AM = A M' '.
Câu 13 Mệnh đề nào sau đây là sai?
A Phép quay Q(O;j) biến O thành chính nó
B Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180- °
C Nếu Q(O,90°)( )M = M¢(M ¹ O) thì OM¢>OM
D Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180°
Trang 3Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0) Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm A
qua phép quay tâm O(0;0) góc quay
2
p
A A¢(0; 3 - ) B A ¢(0;3 ) C A¢ -( 3;0 ) D A ¢(2 3;2 3 )
Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0) Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm A
qua phép quay tâm O(0;0) góc quay
2
p
-A A¢ -( 3;0 ) B A ¢(3;0 ) C A¢(0; 3 - ) D A ¢ -( 2 3;2 3 )
Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A(1;0) thành điểm ( )
' 0;1
A Khi đó nó biến điểm M(1; 1- ) thành điểm:
A M -'( 1; 1 - ) B M' 1;1 ( ) C M -'( 1;1 ) D M' 1;0 ( )
Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(2;0) và N(0;2 ) Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N , khi đó góc quay của nó là:
A j = 30 ° B j = 30° hoặc j = 45 °
Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M( )1;1 Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của
M qua phép quay tâm O góc quay j = 45 ?0
A /( )
1 1;1
2 1;0
3 2;0
4 0; 2
M
Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần
lượt là 2x+ y+5= 0 và x- 2y- 3= 0 Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường
thẳng kia thì số đo của góc quay j ( 0)
0£ j £180 là:
A 45 0 B 60 0 C 90 0 D 120 0
Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là
4x+3y+5= 0 và x+7y- 4= 0 Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng
kia thì số đo của góc quay j ( 0)
0£ j £180 là:
A 0
45 B 0
120
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc a với a¹ k2p ( k là
một số nguyên)?
Lời giải Chọn B Điểm đó chính là tâm quay O
Câu 2 Cho tam giác đều tâm O Với giá trị nào dưới đây của j thì phép quay Q(O,j) biến tam giác đều thành chính nó?
A
3
p
3
p
2
p
2
p
j =
Lời giải Các góc quay để biến tam giác đều thành chính nó là 0; 2 ; 4 ; 2
p
Chọn B
Câu 3 Cho tam giác đều ABC Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C
A j = 30 ° B j = 90 °
Trang 4Lời giải Tam giác ABC đều · BAC = 60 °
Khi đó Q(A,j)( )B =CÞ j = ±60 ° Chọn D
Câu 4 Cho tam giác đều tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a< 2p, biến tam giác trên thành chính nó?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Chọn C Do 0£ a< 2p nên ta có các góc quay 0; 2 ; 4
Câu 5 Cho hình vuông tâm O Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay j Với giá trị nào
sau đây của ,j phép quay Q biến hình vuông thành chính nó?
A
6
p
4
p
3
p
2
p
Lời giải Các góc quay để biến hình vuông thành chính nó là 0; ; ; 3 ; 2
Chọn D
Câu 6 Cho hình vuông tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0£ a<2p, biến hình vuông trên thành chính nó?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Chọn D Do 0£ a< 2p nên ta có các góc quay 0; ; ; 3
p
Câu 7 Cho hình chữ nhật tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0£ a< 2p, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A 0 B 2 C 3 D 4
Lời giải Chọn B Do 0£ a< 2p nên ta có các góc quay 0; .p
Câu 8 Cho hình thoi ABCD có góc · 0
60
hồ) Ảnh của cạnh CD qua phép quay
(A,60 0)
Q là:
Lời giải Xét phép quay tâm A góc quay 0
60 :
· Biến C thành ; B
· Biến D thành C
Vậy ảnh của CD là BC Chọn B
Câu 9 Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA', BB', CC (các đỉnh của tam ' giác ghi theo chiều kim đồng hồ) Ảnh của đường cao AA qua phép quay tâm O góc quay ' 2400
là:
Lời giải Do tam giác ABC đều nên
Khi đó xét phép quay tâm O góc quay 0
240 :
· Biến A thành ;B
· Biến 'A thành B '
Vậy ảnh của AA là ' BB Chọn B '
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng 60 (các đỉnh của tam giác ghi theo 0 ngược chiều kim đồng hồ) Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay 0
60 là:
A AD
D
C
B
A
O C' B'
A'
A
B
C
Trang 5B AI với I là trung điểm của CD .
C CJ với J là trung điểm của AD
D DK với K là trung điểm của AC
Lời giải Từ giả thiết suy ra ABC là nữa tam giác
đều, do đó AC= 2AB
Xép phép quay tâm A góc quay 600, ta có:
· Biến B thành K ;
· Biến C thành D
Vậy ảnh của BC là KD Chọn D
Câu 11 Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d ' thành đường thẳng 'd ?
A 0 B 1 C 2 D Vô số
Lời giải Chọn D Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng
Câu 12 Cho phép quay Q(O,j) biến điểm A thành điểm A' và biến điểm M thành điểm M'
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A AMuuuur= A Muuuuur' '. B (·OA OA, ')=(·OM OM, ')=j .
C (·AM A Muuuur uuuuur, ' ')=j với 0£ j £ p. D AM = A M' '.
Lời giải Chọn A Vì với góc quay khác k p (k Î ¢ thì hai vectơ AM) uuuur và uuuuurA M' ' không cùng phương ¾ ¾® AMuuuur¹ A Muuuuur' '.
Câu 13 Mệnh đề nào sau đây là sai?
A Phép quay Q(O;j) biến O thành chính nó
B Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180- °
C Nếu Q(O,90°)( )M = M¢(M ¹ O) thì OM¢>OM
D Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180°
Lời giải Chọn C Vì phép quay bảo toàn khoảng cách nên OM¢=OM
Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0) Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm A
qua phép quay tâm O(0;0) góc quay
2
p
A A¢(0; 3 - ) B A ¢(0;3 ) C A¢ -( 3;0 ) D A ¢(2 3;2 3 )
Lời giải Gọi A x y¢( ; ). Ta có ( )
, 2
,
2
O
OA OA
Q A A
OA OA
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
ïï ïï
¢
¢ = ïïïî
uuur uur
Vì A(3;0) Ox (OA OA, ) 2 A Oy A (0;y)
p
¢=
Î ¾ ¾ ¾ ¾ ® Î Þ
uuuur uuur
Mà OA=OA¢Þ y = 3
p
j = Þ > Vậy A ¢(0;3) Chọn B
Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0) Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm A
qua phép quay tâm O(0;0) góc quay
2
p
-A A¢ -( 3;0 ) B A ¢(3;0 ) C A¢(0; 3 - ) D A ¢ -( 2 3;2 3 )
Lời giải Chọn C Tương tự như câu trên, để ý y <0
K
D
A
C
B
Trang 6Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A(1;0) thành điểm ( )
' 0;1
A Khi đó nó biến điểm M(1; 1- ) thành điểm:
A M -'( 1; 1 - ) B M' 1;1 ( ) C M -'( 1;1 ) D M' 1;0 ( )
Lời giải Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta thấy
góc quay là
2
p
Khi đó phép quay tâm O góc quay
2
p
biến điểm (1; 1)
M - thành điểm M' 1;1 ( )
Chọn B
Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(2;0) và N(0;2 ) Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N , khi đó góc quay của nó là:
A j = 30 ° B j = 30° hoặc j = 45 °
C j = 90 ° D j = 90° hoặc j = 270 °
Lời giải Ta có M thuộc tia Ox , N thuộc tia Oy Þ j = 90 ° Chọn C
Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M( )1;1 Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của
M qua phép quay tâm O góc quay j = 45 ?0
A /( )
1 1;1
2 1;0
3 2;0
4 0; 2
M
Lời giải Gọi M'(x y là ảnh của '; ') M qua phép quay tâm ,O góc quay 0
45
' 0; 2
x
M
Chọn D Cách 2 Dùng hình vẽ
Tính được OM = 2 và · 0
, 45
OM Oy =
Suy ra ' ' 0; 2 ( )
M OM
ì Î
íï =
ïî
Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần
lượt là 2x+ y+5= 0 và x- 2y- 3= 0 Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường
thẳng kia thì số đo của góc quay j ( 0)
0£ j £180 là:
Lời giải Ta thấy hai đường thẳng a và b có phương trình 2 x+ y+5= 0 và x- 2y- 3= 0 là vuông góc với nhau Suy ra 0
90
j = Chọn C
Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là
4x+3y+5= 0 và x+7y- 4= 0 Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng
kia thì số đo của góc quay j ( 0)
0£ j £180 là:
Lời giải Đường thẳng : 4a x+3y+5=0 có vectơ pháp tuyến n =uura (4;3 )
Đường thẳng :b x+7y- 4= 0 có vectơ pháp tuyến n =uurb (1;7 )
Góc a là góc tạo bởi a và b ta có
-1
1
1
M'
M
A'
A
O
x
y
1
1
M'
y
x
O
M
Trang 7( ) 0
2
a b
n n
uur uur
45
j = Chọn A
