Tích Vô Hướng Của 2 Vecto Trong Không Gian Toán Lớp 10

a) Góc giữa hai vectơ. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu.. Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta [r]

CHUYÊN ĐỀ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ ar và b

r đều khác 0

r

Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA = a

uuur r

và OB = b

uuur r

Số đo góc

A OB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a

r

và b

r

+ Quy ước : Nếu a = 0r r hoặc b = 0

r r thì ta xem góc giữa hai vectơ a

r

và b

r

là tùy ý (từ 0

0 đến 0

180 ) + Kí hiệu: ( )a b;

r r

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ ar và b

r

là một số thực được xác định bởi: a b = a b cos( , )a b

r r r r r r

2 Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a b c, ,

r r r

và mọi số thực k ta luôn có:

a b b a

a b c a b a c

ka b k a b a kb

=

1)

3) ( ) ( ) ( )

r r r r

r r r r r r r

r r r r r r

Chú ý: Ta có kết quả sau:

+ Nếu hai véc tơ a

r

và b

r khác 0

r

thì a ^ b Û a b = 0

r r r r

+ a a = a = a

gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a

r

+ a± b 2 = a2 ± a b+ b2 a + b a- b = a2 - b2

3 Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn

a) Công thức hình chiếu

Cho hai vectơ A B CD,

uuur uuur

Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có

A B CD= A B CD

uuur uuur uuuur uuur

b) phương tích của một điểm với đường tròn

Cho đường tròn (O R và điểm M Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B Biểu ; ) thức MA MBuuur uuur được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O R Kí hiệu là ; ) P M/( )O

Chú ý: Ta có P M/( )O = MA MBuuur uuur = MO2- R2 = MT2

với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = ( ; )x y1 1

r

và b = ( ;x y2 2)

r

Khi đó 1) a b = x x1 2 + y y1 2

r r

2) a = x y Þ a = x2 + y2

( ; ) | |

x y x y

a b

+

1 2 1 2

cos( , )

r r

r r

r r

Hệ quả:

2

Chương

+ a ^ b Û x x1 2 + y y1 2 = 0

+ Nếu A x y( A; A) và B x( B;y B) thì A B = x B - x A 2 + y B - y A 2

Câu 1 Trong mp Oxy cho A 4; 6 , B 1; 4 , 7;3

2

C Khảng định nào sau đây sai

2

  

AC B.AB AC 0

C. AB  13 D. 13

2



BC

Lời giải Chọn D

Phương án A: AB   3; 2, nên loại A

Phương án B: AB AC 0nên loại B

Phương án C : AB  13 nên loại C 3; 9

2

  

AC

Phương án D: Ta có 6; 5

2

  

2

6

 

 

Câu 2 Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 Trong các kết quả sau đây, hãy

chọn kết quả đúng:

A.a b  a b B.a b 0 C.a b  1 D.a b   a b

Lời giải Chọn A

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau

Bài toán cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 suy ra   0

, 0

a b

a b a b a b nên chọn A

Câu 3 Cho các vectơ a1; 2 ,  b   2; 6 Khi đó góc giữa chúng là

Lời giải Chọn A

Ta có a1; 2 ,  b   2; 6, suy ra   10 2

cos ;

2

5 40

a b

 a b 

Câu 4 Cho OM    2; 1, ON3; 1  Tính góc của OM ON, 

2

2

Lời giải Chọn A

2

5 10



Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy cho a 1;3 ,b  2;1 Tích vô hướng của 2 vectơ a b là:

Lời giải Chọn A

Ta có a 1;3 ,b  2;1, suy ra a b 1.  2 3.1 1

Câu 6 Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?

A a2; 1  và b  3; 4 B a3; 4  và b  3; 4

Lời giải Chọn C

Phương án A: a b 2.     3 1 4  10 0 suy ra A sai

Phương án B: a b 3.     3 4 40 suy ra B sai

Phương án C: a b    2. 6 3.4  0 a b suy ra C đúng

Phương án D: a b 7.3    3  7 420 suy ra D sai

Câu 7 Cho 2 vec tơ aa a1; 2,bb b , tìm biểu thức sai: 1; 2

A.a b a b1 1a b2 2 B.a b  a b .cos a b,

2 2

1 2

2 2

1 2

a b a b a b

Lời giải Chọn C

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a b a b1.1a b2 2 nên loại A

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a b  a b .cos a b, nên loại B

2

a b a b  a b a b ab ab nên chọn C

Câu 8 Cho tam giác đều ABC cạnh a2 Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.AB AC BC  2BC B.BC CA  2

C.ABBC AC  4 D.BCAC BA 2

Lời giải Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án So sánh vế trái với vế phải

AB AC AB AC x AB AC BC BCnên loại A

BC CA BC AC nên loại B

Phương án C:ABBC AC  AC AC 4, BC CA 2.2.cos120o  2 nên chọn C

Câu 9 Cho tam giác ABC cân tại A , o

120



A và ABa Tính BA CA

A.

2

2

a

B.

2

2

2

3 2

a

2

3 2

a Lời giải

Chọn B

Ta có cos120o 1 2

2

BA CA BA CA a

Câu 10 Cho ABC là tam giác đều Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.AB AC 0 B.AB AC  AC AB

C.AB AC BC  AB AC BC  D.AB AC BA BC

Lời giải Chọn D

AB AC AB AC nên loại A



AB AC

AB AC AC AB

AC AB

nên loại B

Phương án C: DoAB AC BC  vàAB AC BC  không cùng phương nên loại C

Phương án D:AB ACBCa ,

2

2

AB AC BA BC nên chọn D

Câu 11 Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B1;1, C5; 1 .Tính cos A

A. 2

1 5



2 5



Lời giải Chọn B

   2 2 2  2

2 4 1 3

cos =

AB AC A

Câu 12 Cho hình vuông ABCD tâm O Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.OA OB 0 B. 1

2



OA OC OA AC

C.AB AC  AB CD D.AB AC AC AD

Lời giải Chọn C

Phương án A:OAOBsuy ra OA OB 0nên loại A

Phương án B:OA OC 0và 1 0

2OA AC suy ra 1 0

2

OA OC OA AC nên loại B

2

AB AC AB AC AB AB AB

AB CD AB DC AB AB AC  AB CD nên chọn C

Câu 13 Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 1, B 3;1 , C 6;0 Khảng định nào sau đây đúng

Lời giải Chọn B

Phương án A: do AB 4; 2 nên loại A

Phương án B:

Ta có AB 4; 2 suy ra AB  20, BA   4; 2; BC3; 1  BC 10

o

 BA BC    

Câu 14 Cho hình vuông ABCD cạnh a Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.DA CB a2 B.AB CD  a2

AB BC AC a D.AB AD CB CD  0

Lời giải Chọn B

DACB DACB cos a nên loạiA

AB CD AB CD a nên chọn B

Câu 15 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB4a , đáy nhỏ CD2a , đường cao AD3a ; I

là trung điểm của AD Câu nào sau đây sai?

A.AB DC 8a2 B.AD CD 0 C.AD AB 0 D.DA DB 0

Lời giải Chọn D

AB DC AB DC a nên loại A

Phương án B:ADCD suy ra AD CD 0 nên loại B

Phương án C:AD AB suy ra AD AB 0nên loại C

Phương án D:DA không vuông góc với DBsuy ra DA DB 0 nên chọn D

Câu 16 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB4a , đáy nhỏ CD2a , đường cao AD3a ; I

là trung điểm của AD Khi đó IAIB ID bằng :

A.

2

9

2

a

2

9 2

Lời giải Chọn B

9

2

IA IB ID IA IA AB ID IA ID nên chọn B

Câu 17 Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH BK, ; vẽHI AC Câu nào sau đây

đúng?

A.BA BC 2BA BH B.CB CA 4CB CI

C.ACAB BC 2BA BC D.Cả ba câu trên

Lời giải Chọn D

Phương án A:BC2BHBA BC 2BA BH nên đẳng thức ở phương án A là đúng

Phương án B:CA4CICB CA 4CB CI nên đẳng thức ở phương án B là đúng

Phương án C: 

 

2

2

1

2 2

2







AC AB BC BC BC a

AC AB BC BA BC

BA BC a a a

nên đẳng thức ở

phương án C là đúng

Vậy chọn D

Câu 18 Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH BK, ; vẽHI AC Câu nào sau đây

đúng?

AB AC BC a B.

2

8

CB CK C.

2

2

AB AC D.

2

2

CB CK Lời giải

Chọn C

AB AC BC AB BC AC BC nên loại A

Phương án B:do

2 o

.cos 0

2

CB CK CB CK nên loại B

Phương án C:do

2 o

2

AB AC AB AC nên chọn C

Câu 19 Cho hình vuông ABCD cạnh a Mệnh đề nào sau đây sai?

A.AB AD 0 B.AB AC a2

(AB CD BC AD) a

Lời giải Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án

Phương án A:ABADAB AD 0 nên loại A

AB AC AB AC a nên loại B

 cos180  

AB CD a a a nên chọn C

Câu 20 Tam giác ABC vuông ở A và có góc B50o Hệ thức nào sau đây là sai?

A.  o

AB BC B.  o

BC AC C.  o

, 50

AB CB D.  o

AC CB

Lời giải Chọn D

AB BC AB CB nên loại A

BC AC CB CA nên loại B

Phương án C:    o

AB CB BA BC nên loại C

AC CB CA CB nên chọn D

Câu 21 Trong mặt phẳng O i j; ,  cho 2 vectơ : a 3i 6j và b 8i 4 j Kết luận nào sau đây sai?

A.a b 0 B.ab C. a b 0 D. a b 0

Lời giải Chọn C

 3;6 ; 8; 4

Phương án A:a b 24 24 0 nên loại A

Phương án B:a b 0 suy ra a vuông góc bnên loại B

Phương án C: 2 2 2  2

 3 6 8  4 0

Câu 22 Trong mặt phẳng Oxy cho A     1; 2 ,B 4;1 ,C 5; 4 Tính BAC ?

Lời giải Chọn B

Ta có AB3; 1 , AC 4; 2 suy ra   10 2

cos ;

 AB AC  

AB AC

AB AC

 AB AC 

Câu 23 Cho các vectơ a1; 3 ,  b 2;5 Tính tích vô hướng của a a 2b

Lời giải Chọn D

Ta có a a 10, a b  13 suy ra a a 2b 16

Câu 24 Cho hình vuông ABCD, tính cosAB CA, 

A.1

1 2

2 2



Lời giải Chọn D

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc AB CA,  sau đó mới tính cosAB CA, 

2

Câu 25 Cho hai điểm A3, 2 ,   B 4,3 Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam

giác MAB vuông tại M

A.M 7;0 B.M 5;0 C.M 3;0 D.M 9;0

Lời giải Chọn C

Ta có A3, 2 ,   B 4,3 , gọi M x ;0 ,x0 Khi đó AM x 3; 2, BM x 4; 3

Theo YCBT 2 2   

3

 







Câu 26 ChoA    2; 5 , B 1; 3 , C 5; 1  Tìm tọa độ điểm K sao cho AK 3BC2CK

A.K4;5 B.K4;5 C.K4; 5  D.K 4; 5

Lời giải Chọn B

Gọi K x y ;  với x y, 

Khi đó AK x2;y5, 3BC12; 12 , 2CK2x10; 2y2

Theo YCBT AK 3BC2CK nên 2 12 2 10



     



5

 



Câu 27 Cho tam giácABC vuông cân tại A có BCa 2.Tính CA CB

2

a

CA CB D.CACB a 2

Lời giải Chọn A

2

Câu 28 Cho hình vuông ABCD có cạnh a Tính AB AD

2

2

a

Lời giải Chọn A

Ta có AB AD a a .cos 90o 0

Câu 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho a2; 1  và b  3; 4 Khẳng định nào sau đây là sai?

A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là 10 B.Độ lớn của vectơ a là 5

C.Độ lớn của vectơ b là 5 D.Góc giữa hai vectơ là 90o

Lời giải Chọn D

Ta có 2  2

   

Câu 30 Cho M là trung điểm AB , tìm biểu thức sai:

A.MA AB  MA AB B.MA MB  MA MB

C.AM AB AM AB D.MA MB MA MB

Lời giải Chọn D

Phương án A:MA AB, ngược hướng suy ra MA AB MA AB .cos180o MA AB nên loại A Phương án B:MA MB, ngược hướng suy ra o

MA MB MA MB MA MB nên loại B Phương án C: AM AB, cùng hướng suy ra AM AB AM AB .cos 0o AM AB nên loại C Phương án D:MA MB, ngược hướng suy ra MA MB MA MB cos180o  MA MB nên chọn

D

Câu 31 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC Tính AH CA

2

3

4

a

2

3 4

2

3 2

a

2

3 2

Lời giải Chọn B

o

Câu 32 Biếta, b 0 và a b  a b Câu nào sau đây đúng

A.avà b cùng hướng

B.avà bnằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc 120o

C.avà b ngược hướng

D A, B, C đều sai

Lời giải Chọn C

Ta có a b   a b  a b cos a b,   a b cos a b,  1nên avà b ngược hướng

Câu 33 Tính  a b, biết 1

2

 

a b a b , (a, b 0)

Lời giải Chọn A

   

a b a b a b a b a b a b nên   o

, 120

a b

Câu 34 Cho tứ giác lồi ABCD có AD6 cm Đặt v ABDC CB Tính v AD

48 cm

Lời giải Chọn C

v AB DC CB AB CD BC AD suy ra v AD  AD2 36 cm2

Câu 35 Cho 2 vectơ a và b có a 4, b 5 và   o

, 120

a b Tính ab

Lời giải Chọn A

a b a b a b a b a b a b a b

Câu 36 Cho tam giác ABC có cạnh BC6 cm và đường cao AH , H ở trên cạnh BC sao cho

2



BH HC Tính AB BC

24 cm

18 cm

Lời giải Chọn A

AB BC AH HB BC AH BC HB BC HB BC

Câu 37 Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B1;1, C5; 1 .Tính AB AC

Lời giải Chọn D

Ta có AB AC   2 4    1   3 5

Câu 38 Trong mặt phẳngOxy cho A1;1, B 1;3 , C1; 1  Khảng định nào sau đây đúng

A.AB 4; 2 , BC2; 4  B.ABBC

C Tam giác ABC vuông cân tại A D Tam giác ABC vuông cân tại B

Lời giải Chọn C

Phương án A: do AB 2; 2 nên loại A

Phương án B:AB 2; 2 ,BC0; 4 ,AB BC  8suy raAB không vuông gócBC nên loại

B

Phương án C : Ta có AB 2; 2 , AC2; 2 , BC0; 4 , suy ra ABAC  8,

AB AC Nên Tam giác ABC vuông cân tại A Do đó chọn C

Câu 39 Cho a1; 2 , b   1; 3 Tính  a b,

, 120

a b B.  o

, 135

a b C.  o

, 45

a b D.  o

, 90

a b Lời giải

Chọn C

2

1 1 2 3

5 10 2

a b

a b

Câu 40 Cho tam giác ABC vuông tại A có B60o,ABa Tính AC CB

A. 2

3

Lời giải Chọn B

Ta có cos150o 3.2 3 3 2

2

Câu 41 Cho tam giác ABC vuông tại A có AC12 cm M là trung điểm AC Tính BM CA

cm Lời giải

Chọn D

BM CA BA AM CA BA CA AM CA AM CA

Câu 42 Cho tam giác ABC có đường cao BH ( H ở trên cạnh AC ).Câu nào sau đây đúng

A.BA CA BH HC B.BA CA AH HC C.BA CA AH AC D.BA CA HC AC

Lời giải Chọn C

Ta có BA CA BHHA CA BH CA HA CA HA CA AH AC nên chọn C

Câu 43 Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏaa b 2 Hãy xác định 3a4b2a5b

Lời giải Chọn C

1

3a4b 2a5b 6a 20b 7 a b 7

Câu 44 Cho tam giác ABC Lấy điểm M trên BC sao cho AB AM AC AM 0.Câu nào sau đây

đúng

A M là trung điểm của BC B AM là đường phân giác của góc A

C.AM BC D A, B, C đều sai

Lời giải Chọn C

Ta có AB AM AC AM  0 AM AB AC 0 AM CB 0 nên AM BC

Câu 45 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB4a , đáy nhỏ CD2a , đường cao AD3a

.Tính DA BC

Lời giải Chọn A

DA BC DA BA AD DC DA AD a nên chọn A

Câu 46 Cho tam giác ABC vuông tại C có AC9, BC5 Tính AB AC

Lời giải ChọnB

Ta có AB AC ACCB AC AC AC CB AC AC AC 81nên chọn B

Câu 47 Cho hai vectơ avà b Biết a =2 , b= 3 và   o

, 120

a b Tínhab

Lời giải Chọn C

a b a b a b a b a b a b cos a b

Câu 48 Cho hai điểm B C, phân biệt Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM CB CM2 là :

A.Đường tròn đường kínhBC B Đường trònB BC; 

C Đường tròn C CB;  D Một đường khác

Lời giải

Chọn A

CM CB CM CM CB CM CM MB

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC

Câu 49 Cho ba điểm A B C, , phân biệt Tập hợp những điểm M mà CM CB CA CB là :

A Đường tròn đường kính AB

B.Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

C Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC

D Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB

Lời giải Chọn B

CM CB CA CB CM CB CA CB CM CA CB AM CB

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Câu 50 Cho hai điểm A 2, 2 , B5, 2  Tìm M trên tia Ox sao cho AMB  90o

A.M 1, 6 B M 6, 0 C.M 1, 0 hay M 6, 0 D.M 0,1

Lời giải Chọn C

Gọi M x ; 0 , với x Khi đó AM x 2; 2 , BM x5; 2 Theo YCBT ta có

 

1 1; 0

6 6; 0

 



 

 



x M ,nên chọn C