Bài Tập Về Tích Của Một Vecto Với Một Số Lớp 10 Nâng Cao

Câu 7: Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ AB và AC của tam giác ABC với trung tuyến AM.. Đẳng thức nào sau đây đúng.[r]

Trang 1

VECTO

CHUYÊN ĐỀ 4 TÍCH CỦA HAI VECTO VỚI MỘT SỐ

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Tích của vectơ ar với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka

r , cùng hướng với cùng

hướng với ar nếu k > 0 , ngược hướng với ar nếu k < 0 và có độ dài bằng k ar

Quy ước: a =0 0

và k0 = 0

2 Tính chất :

k

a

é = ê

= êë

0

0 v) 1 , ( 1)

3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

 b

r

cùng phương a

r (a ¹ 0

) khi và chỉ khi có số k thỏa b = ka

 Điều kiện cần và đủ để A B C, , thẳng hàng là có số k sao cho A B = kA C

uuur uuur

4 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho a

r

không cùng phương b

r

Với mọi vectơ xr luôn được biểu diễn x = ma+ nb

với m n là các số , thực duy nhất

Câu 1: Chọn phát biểu sai?

A Ba điểm phân biệt , , A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k BC k , 0

B Ba điểm phân biệt , , A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AC k BC k , 0

C Ba điểm phân biệt , , A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k AC k , 0

D Ba điểm phân biệt , , A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC

Lời giải Chọn D

Ta có ba điểm phân biệt , , A B C thẳng hàng khi và chỉ khi  k ,k0sao cho AB = k AC

Câu 2: Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G Khi đó GA

2 3

 AM D 1

2AM

Lời giải Chọn C

G

M

A

1

Chương

Trang 2

Ta có 2

3

GA AM

Mặtkhác GA và AM ngược hướng 2

3

GA  AM

Câu 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM Khẳng định nào sau đây là sai:

A GA2GM 0 B OA OB OC  3OG , với mọi điểm O

C GA GB GC  0 D AM  2MG

Ta có AM 3MG

Mặtkhác AM và MG ngược hướng

3

  

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Tổng các vectơ ABACAD là

A AC B 2AC C 3AC D 5AC

Lời giải Chọn B

Do hình bình hànhABCD Ta có ABACADABADAC2AC

Câu 5: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP Điểm P được xác định đúng trong

hình vẽnào sau đây:

A Hình 1 B Hình 2 C Hình 3 D Hình 4.

Ta có MN 3MP nên MN 3MP vàMN và MP ngược hướng ChọnC

Câu 6: Cho ba điểm , , A B C phân biệt Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là

A M MA MB MC:   0 B M MA MC:  MB

C AC AB BC  D  k R AB: k AC

Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A B C phân biệt thẳng hàng là , ,

:

 k R ABk AC

G

M A

Trang 3

Câu 7: Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ ABvàAC của tam giác ABC

với trung tuyến AM

A AM  ABAC B AM 2AB3AC

2

3

AM AB AC

Do M là trung điểm của BCnên ta có 1( )

2

AM AB AC

Câu 8: Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây đúng?

A ACADCD B ACBD2CD C ACBC AB D ACBD2BC

Ta có

A Sai doACADDC

B Sai doACBD2CDABAD  ADAB2CD2AB2CD

C Sai doACBC ABACAB BCBCCB

D Đúng doACBD ABBCBCCD2BCAB CD 2BC 0 2BC

Câu 9: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC

Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?

A 2AM 3AG B AM 2AG C 3

2

 

AB AC AG D ABAC2GM

Lời giải Chọn A

G

M

A

D A

G

M A

Trang 4

Ta có 3

2

AM  AG

Mặtkhác AM và AG cùng hướng 3

2

  hay2AM 3AG

Câu 10: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và Glà trọng tâm của tam giác ABC Câu

nào sau đây đúng?

A GB GC 2GM B GB GC 2GA C ABAC2AG D ABAC3AM

Do M là trung điểm của BCnên ta có:GB GC 2GM

Câu 11: Nếu Glà trọng tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng

A

2



 AB AC

3



 AB AC

2



 AB AC

3



 AB AC

Gọi M là trung điểm của BCnên ta có

2

3

Câu 12: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB

Điểm O là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi OAOB OA; và ngược hướng

Vậy OA OB 0

Câu 13: Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:

A 3AIAB0 B 3IA IB 0 C BI3BA0 D AI3AB0

G M

A

G

M A

Trang 5

Ta có AB3AI AI; và AB ngược hướng nên AB 3AI 3AIAB0

Vậy 3AIAB0

Câu 14: Cho tam giác ABC có trung tuyến BMvà trọng tâmG Khi đó BG

A BA BC  B 1 

2 BA BC  C 1

3BABC D 1 

3 BA BC 

Ta có

BG BM   BA BC  BA BC

Câu 15: Gọi CMlà trung tuyến của tam giác ABC và Dlà trung điểm củaCM Đẳng thức nào sau đây

đúng?

A DA DB 2DC0 B DA DC 2DB0

C DA DB 2CD0 D DCDB2DA0

Lời giải

Chọn A

Ta có

DA DB  DC DM  DC DM DC  

Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn IB3IA0 Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết

này?

A

M G

A

D M

A

Trang 6

Ta cóIB3IA 0 IB 3IA

Do đó IB3.IA;IA và IB ngược hướng Chọn Hình 4

Câu 17: Cho tam giác ABCcó D M, lần lượt là trung điểm của AB CD, Đẳng thức nào sau đây đúng?

A MA MC 2MB0 B MA MB MC  MD0

C MC MA MB  0 D MCMA2BM0

Ta có

MA MC  MB MD MB MD MB  

Câu 18: Cho vectơ b0, a 2 , b c a b Khẳng định nào sau đây sai?

A Hai vectơ b v c à bằng nhau B Hai vectơ b v c à ngược hướng

C Hai vectơ b v cà cùng phương D Hai vectơ b v c à đối nhau

Ta cóa 2 b        c a b 2b b b

Vậy hai vectơ b v c à đối nhau

Câu 19: Gọi Olà giao điểm hai đường chéo ACvà BD của hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau

đây là đẳng thức sai?

A OB OD 2OB B AC2AO C CB CD CA D DB2BO

Lời giải

Chọn D

Ta có DB2OB ChọnD

Câu 20: Cho hình vuông ABCD cạnh a 2 TínhS  2ADDB ?

A A 2a B A a C A a 3 D A a 2

Lời giải

M

D A

O

D A

Trang 7

Chọn A

Ta có

 AD DB  AD AD DB

S  ADAB  AC a 2 22a

Câu 21: Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:

A 2AI3AB0 B 3BI2BA0 C 2IA3IB0 D 2BI3BA0

; 3

BA BI BI và BA ngược hướng nên 2

3

BA  BI

2

3

BA  BI  BI BA

Vậy 2BI3BA0

Câu 22: Cho tam giác ABC và Ithỏa IA3IB Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

A CI CA3CB B 1 

3 2

CI CB CA C 1 

3 2

CI CA CB D CI 3CB CA 

2

IA IBCA CI  CB CI  CI  CB CA CI  CB CA

Câu 23: Phát biểu nào là sai?

A Nếu ABAC thì AB  AC B ABCD thì A B C D, , , thẳng hàng

C Nếu 3AB7AC0 thì A B C, , thẳng hàng D AB CD DCBA



AB CD thì AB/ /CD



 

 Nên Đáp án B SAI

Câu 24: Cho hai tam giác ABC và A B C   lần lượt có trọng tâm là G và G Đẳng thức nào sau đây là

sai?

A 3GG'AA'BB'CC ' B 3GG'AB'BC'CA '

C 3GG'AC'BA'CB ' D 3GG'A A B B C C '  '  '

Do Gvà G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABCvà A B C   nên

0

AGBGCG và A G' 'B G' 'C G' '0

D A

B

Trang 8

A AA'BB'CC'AGBGCG  GAGBGC 0 3GG'

B AB'BC'CA'AGBGCG  GAGBGC 0 3GG'

C AC'BA'CB'AGBGCG  GAGBGC 0 3GG'

D A A B B C C'  '  ' A G' 'B G' 'C G' '  G A G B G C'  '  '  0 3 'G G (SAI)

Câu 25: Cho hai vectơ a và b không cùng phương Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A  3a b và 1 6

2

 a b và  2a b 

C 1

2a b và  1

2

2a b và  a2b

     

  nênchọn Đáp ánC

Câu 26: Cho hai vectơ a và b không cùng phương Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?

A u2a3b và 1 3

2

 

5

 

u a b và 2 3

5

 

v a b

C 2 3

3

 

u a b và v2a9b D 2 3

2

 

u a b và 1 1

  

v a b

v  a b   a b  u

Hai vectơ u và vlà cùng phương

Câu 27: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2 a3b và ax1b cùng

phương Khi đó giá trị của x là:

A 1

3 2

2

Ta có 2a3b và ax1b cùng phương nên có tỉ lệ:1 1 1

x



   

Câu 28: Cho tam giác ABC , có trọng tâm G Gọi A B C lần lượt là trung điểm của 1, 1, 1 BC CA AB, ,

Chọn khẳng định sai?

A GA1GB1GC1 0 B AG BG CG  0

C AA1BB1CC10 D GC2GC 1

Trang 9

Ta cóGC 2GC1nên GC2GC sai 1

Chọn D

Câu 29: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng?

2



 AB AC

3



 AB AC

3



 AB AC

2



 AB AC

Gọi Mlà trung điểm BC

Câu 30: Cho a b, không cùng phương, x  2 a  b Vectơ cùng hướng với x là:

A 2 a  b B 1

2

  C 4a 2b D  a  b

2

Câu 31: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thoả mãn: MA MC AB Khi đó M là trung điểm của:

A AB B BC C AD D CD

Ta cóMA MC 2MI AB

Vậy M là trung điểm của AD.

Câu 32: Cho tam giác ABC , tập hợp các điểm M sao cho MA MB MC 6 là:

A.một đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC

B.đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 6

C.đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2

D.đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 18

G

B 1

A 1

C 1 A

I

D A

Trang 10

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA MB MC3MG

Thay vào ta được : MA MB MC  6 3MG  6 MG2, hay tập hợp các điểm Mlà

đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2

Câu 33: Cho tam giác ABC , điểm I thoả mãn: 5 MA2MB Nếu IAmIMnIB thì cặp số  m n;

bằng:

A 3 2;

5 5

 

 

2 3

;

5 5

 

 

  C

3 2

;

5 5

 

  D

;

  

 

Ta có

MA MB MIIA  MIIB  IA IM  IBIA IM  IB

Câu 34: Xét các phát biểu sau:

(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA 2AC

(2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CBCA

(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ2PM

Trong các câu trên, thì:

A Câu (1) và câu (3) là đúng B Câu (1) là sai

C Chỉ có câu (3) sai D Không có câu nào sai

Ta có

(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA 2AC

(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ2PM

Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CBCA

Do đó câu (1) và câu (3) là đúng

Câu 35: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB3MA Khi đó, biễu diễn AM

theo AB và AC là:

4

AM  AB AC

AM AB AC

M A

Trang 11

Ta có 3 3  1 3

AM ABBM  AB BCAB BAAC  AB AC

Câu 36: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho CM  2MB và I là trung điểm củaAB

Đẳng thức nào sau đây đúng?

IM AB AC

Ta có

IM IBBM  AB BC  AB ACAB  AB AC

Câu 37: Cho hai vectơ a và b không cùng phương Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A 1

2

 a b và a2b B 1

2a b và 1

2a b 

D 1 2

2a b và1 1

2a2b D  3a b và 1 100

2

 a b

2

     nên chọn A.

Câu 38: Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN2NC Đẳng thức nào sau đây đúng?

  

AN AB AC

Ta có

M

I A

N A

Trang 12

 

Câu 39: Cho hai điểm cố định A B, ; gọi I là trung điểm AB Tập hợp các điểm M thoả:

MA MB MA MB là:

A Đường tròn đường kính AB B Trung trực của AB

C Đường tròn tâm I , bán kính AB D Nửa đường tròn đường kính AB

2

BA

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB

Câu 40: Tam giác ABC vuông tại , A AB AC2 Độ dài vectơ 4ABAC bằng:

Lời giải

Chọn D

Vẽ AB'4AB; AC' AC Vẽ hình bình hành AC DB 

Ta có: 4ABAC  AB AC AD  AD

AD AB AC   

Câu 41: Cho tam giác ABCcó M thuộc cạnh AB sao cho AM 3MB.Đẳng thức nào sau đây đúng?

CM  CA CB

CM  CA CB

Lời giải

Chọn A

Câu 42: Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN 2NC và I là trung điểm của AB

Đẳng thức nào sau đây đúng?

D C'

B' C

A

B

M C

Trang 13

A 1 2

  

NI AB AC

  

NI AB AC

Lời giải

Chọn B

  AB ACAB  AB AC

Câu 43: Cho tam giác ABC có I D, lần lượt là trung điểmAB CI , điểm N thuộc cạnh , BC sao cho

2

BN NC Đẳng thức nào sau đây đúng?

A AN DN B AN 2ND C AN 3DN D AD4DN

Gọi K là trung điểm BN

Xét CKI ta có

/ /

1 1

2 2







Xét ABN ta có

/ /

2 1

2



 

Từ (1) và (2) suy ra AN2IK2.2DN 4 DN

Câu 44: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM ,gọi I là trung điểm AM Đẳng thức nào sau đây đúng?

A 2IAIBIC0 B IAIBIC0

C 2IAIBIC4IA D IBICIA

Ta có 2IAIBIC2IA2IM 2IAIM2.00

Câu 45: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 5?

A 1 B 2

I

N

A

I

M

A

D I

A

Trang 14

C vô số D Không có điểm nào

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA MB MC3MG

3

MA MB MC MG MG , hay tập hợp các điểm Mlà

đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 5

3

Câu 46: Cho tam giác ABC có I D, lần lượt là trung điểmAB CI Đẳng thức nào sau đây đúng?,

  

BD AB AC

  

  

BD AB AC

  AB IA AC   AB AB AC 3 1

  AB AC

Câu 47: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB4MC Khi đó

5

AM AB AC

Lời giải

Chọn D

Câu 48: Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Mệnh đề nào sau

đây đúng?

D I

A

C M A

B

Trang 15

C 4MNACBD D MNACBD BC AD

Do M là trung điểm các cạnh AB nên MBMA0

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên 2MNMCMD

Ta có

2MN MCMDMBBCMAAD ADBC MA MB  ADBC

Mặt khác ACBDACBCCDBCACCDBCAD

Do đóACBDBCAD4MN

Câu 49: Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AD BC của tứ giác, ABCD Đẳng thức nào sau

đây sai?

A ACDB2MN B ACBD2MN C AB DC 2MN D MB MC 2MN

Do M là trung điểm các cạnh AD nên MDMA0

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MNMCMB Nên D đúng

Ta có

2MN MCMBMDDCMAAB ABDC MDMA  ABDC

Vậy AB DC 2MN Nên C đúng

Mà ABDCACCBDC ACDB2MN Nên A đúng

Vậy B sai

Câu 50: Gọi AN CM là các trung tuyến của tam giác, ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?

AB AN CM

Lời giải

N M

A

D

N M

A

B

Trang 16

Chọn D

AN  ABAC  AB AC

CM CAAM  CM  CA AM

AB AN CM

N M

A

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	859,89 KB