Tìm các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.. Tất cả thí s[r]
Trang 1www.ebooktoan.com
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
1
x
x−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của (C) Tìm các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: cot 1 2 os( )
x
π
+
2 Giải bất phương trình: 4 3 2
(x+1) 1− ≥x x − −x 3x +5x− −2 1−x
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:
2 0
x x
+
=
+ −
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCA1B1C1, có đáy là tam giác đều cạnh a Điểm A1 cách đều
ba điểm A, B, C và cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA1B1C1.
Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện
1
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: 1 hoặc 2
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ∆ ABC có phương trình cạnh AB: x + y – 3 = 0, phương trình cạnh AC: 3x + y – 7 = 0 và trọng tâm G(2; 1
3) Viết phương trình đường tròn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B, C
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
1
:
− − và d3: 1 1 1
Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC
Câu VIIa: (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng (a), (b) song song với nhau Trên (a) có 15 điểm, trên
(b) có n điểm Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 1725
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; - 3), C(2; - 6) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ( ) :1
d = = và 2
( ) :
− Tìm tọa độ các điểm M thuộc ( )d1 và N thuộc (d2) sao cho đường thẳng
MN song song với mp(P): 7 – 7 x y + 7 -8 z = 0 và độ dài đoạn MN bằng 2
Câu VII.b (1 điểm) Khai triển đa thức: 2011 2 2011
(1−x) = +a a x+a x + + a x Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + + 2012 a2011
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011- LẦN 4
Môn thi: TOÁN – Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 2www.ebooktoan.com
-Hết -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 4
NĂM HỌC 2010 – 2011
I-1
(1 điểm)
TXĐ : D = R\{1}
y’ = 1 2
0,
−
0,25
lim ( ) lim ( ) 1
x f x x f x
→+∞ = →−∞ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim ( ) , lim
x + f x x −
→ = +∞ → = −∞nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0,25 Bảng biến thiên
1 + ∞
- ∞
1
-y y'
x -∞ 1 + ∞
Hàm số nghịch biến trên (−∞;1)và (1;+∞)
Hàm số không có cực trị
0,25
Đồ thị :
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
10
8
6
4
2
2
4
6
8
0,25
Với x0 ≠1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0
0 1
x
x − ) có phương trình :
0 0 2
1
x
− − (d) 0,25
(d) cắt tiệm cận đứng tại 0
0
1
1
x A x
+
Trang 3www.ebooktoan.com
I-2
(1 điểm)
(d) cắt tiệm cận ngang tại B (2 x0 − 1;1)
Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB
Gọi P là chu vi của đường tròn, ta có : P = π AB
P nhỏ nhất khi AB nhỏ nhất khi và chỉ khi AB nhỏ nhất, ta có :
−
= − + = − + ≥
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 0
0 0
0
1
1
x x
x
=
=
− = ⇔ − = ⇔
− + Với x0 = 0 ta có M(0 ;0)
+ Với x0 = 2 ta có M(2 ;2)
0,25
II-1
(1 điểm)
Khi đó
cos 1
(cos sin ) cos sin 2
cos sin 2
x
x
+
⇔(cos - sin )(sin 2x x x− 2 sin )x =0
0,25
4
2
4
π π
π π
Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là: 2
4
và
4
x= +π kπ
0,25
II-2(1
đ iểm)
Điều kiện x≤1 BPT ⇔ +(x 1) 1− ≥ −x (x 1) (3 x+ −2) 1−x 0,25
3 (x 2)[ 1 x (1 x) ] 0
1
x x x
− =
⇔ <
0,25
1
x
x x
=
− ≤ <
III(1
đ iểm)
Ta có:
Đặt: t = x4+3x2 ⇒t2 =x4+3x2 ⇒tdt =(2x3+3 )x dx
x = 0 thì t = 0; x = 1 thì t = 2
0,25
2 0
4
t
= = + = + −
Trang 4www.ebooktoan.com
2 4ln 2
IV(1
đ iểm)
Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên
SABC=
4
3 2
a
G
C1
C
H I
0,25
Mặt khác A1A= A1B=A1C ⇒A1ABC là hình chóp đều
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒A1G là đường cao của tứ diện A1ABC⇒ A G1 ⊥ ( ABC ) 0,25
Trong tam giác vuông A1AG tacó : AG=2
3AH= 3
3
a
và∠A1AG=600
⇒A1G=AG.tan600=a
0,25
.Vậy VLT=A1G.SABC=
4
3 3
a
0,25
V(1
đ iểm)
Giả sử c = min( , , ) a b c
Ta có:
2
b + ≤ + c b bc ≥ c ≥
2
a + ≤ + c a c ≥ c ≥
2 2 ( )2 ( )2
0,25
Từ đó ta có:
M
0,25
Ta có:
+ + + + + + +
0,25
Trang 5www.ebooktoan.com
2
+ +
2
10
10
M
+ + Dấu xảy ra khi
1 0,
2
c = a = = b hoặc các hoán vị của nó
0,25
VIa.1
(1 điểm)
Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình 3 0 2
⇔
Hay A(2; 1)
Gọi B(m ; 3 – m), C(n, 7 – 3n)
0,25
Do ∆ ABC có trọng tâm G(2;1
3) nên ta có hệ phương trình:
⇔
Từ đó ta có B(1; 2), C(3; - 2)
0,25
* Phương trình đường cao AA1: x – 2y = 0
Phương trình đường cao BB1: x – 3y + 5 = 0
Toạ độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình 2 0 10
(10;5)
H
0,25
Gọi phương trình đường tròn đi qua B, C, H là (T): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 > c
Do B, C, H ∈ (S) nên ta có hệ phương trình
− + = − ⇔ = −
+ + = − =
Vậy phương trình đường tròn (T) : x2 + y2 – 12x – 4y + 15 = 0
0,25
VIa.2
(1 điểm)
Gọi A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) lần lượt nằm trên ba đường thẳng
Do A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung điểm của AC
( 1 5 ) 2
+ − + =
⇔ − + + = −
− + + − + = −
0,25
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) 0,25
Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình 2
0,25
VIIa
(1 điểm)
Cứ mỗi điểm trên (a) và hai điểm trên (b) tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là :15 Cn2 0,25
Cứ mỗi điểm trên (b) và hai điểm trên (a) tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là :n C 152 0,25 Theo quy tắc cộng, ta có số tam giác tạo thành là: 15 Cn2 + n C 152 0,25
Ta có phương trình:
15 10 23( )
[
n n
n loai
=
=−
VIb.1
(1 điểm)
Phương trình cạnh AB là : x + y – 2 = 0
Phương trình cạnh AC là: 7x + y – 8 = 0
Phương trình cạnh BC là: x – y – 8 = 0 0,25
Trang 6www.ebooktoan.com
-Phương trình đường phân giác góc A là: x – 2y + 1 = 0 và 2x + y – 3 = 0
Suy ra phương trình đường phân giác trong góc A là d1: 2x + y - 3 = 0
-Phương trình đường phân giác góc B là : y = - 3 và x = 5
Suy ra phương trình đường phân giác trong góc B là d2: y = - 3
0,25
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC ta có I = d1∩ d2 Suy ra I(3; - 3)
Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC là : r = d(I, AB) = 2 0,25 Phương trình đường tròn nội tiếp ∆ ABC là: (x – 3)2 + (y + 3)2 = 2
0,25
VIb.2
(1 điểm)
+ M N, ∈( ), (d1 d2) nên ta giả sử
M t t t N − − t t + t ⇒ NM = + t t + t − t t − − t
+ MN song song mp(P) nên: n NM P = ⇔ 0 1.( t1+ 2 t2+ − 1) 1.( t1− t2) 1(2 + t1− − = t2 1) 0
⇔ = − ⇒ = − + −
+ Ta có:
1
1
0
7
t
t
=
=
+ Suy ra: M(0; 0; 0),N( 1; 0; 1)− hoặc 4 4 8 1 4 3
0,25
+ Kiểm tra lại thấy trường hợp 4 4 8 1 4 3
KL: Vậy có cặp M(0; 0; 0),N( 1; 0; 1)− thoả mãn
0,25
VIIb
(1 điểm)
Ta có:
2011
2011
Đạo hàm hai vế (1) ta có :
2011
0
k
=
Thay x=1 vào cả hai vế của (2) ta có: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + + 2012 a2011 = 2013.22010
0,25
