Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

Khi thêm một cực có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở thì QĐNS của hệ kín có xu hướng tiến gần về phía trục ảo, hệ thống sẽ kém ổn định hơn, độ dự trữ biên và độ dự trữ pha giảm, độ v[r]

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

(CT377)

CBGD: Nguyễn Chánh Nghiệm

Đơn vị: Bộ môn Tự động hóa

Email: ncnghiem@ctu.edu.vn

Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

6.1 Khái niệm về thiết kế hệ thống điều khiển

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh đến chất

lượng của hệ thống 6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

6.5 Thiết kế hệ bộ điều khiển PID

6.6 Thiết kế hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái

6.1 Khái niệm về thiết kế hệ thống điều khiển

Thiết kế là toàn bộ quá trình bổ sung các thiết bị phần cứng

cũng như thuật toán phần mềm vào hệ thống cho trước để

được hệ mới thỏa mãn yêu cầu về tính ổn định, độ chính xác,

đáp ứng quá độ, …

Cách 1: Hiệu chỉnh nối tiếp

Thêm bộ điều khiển nối tiếp với hàm truyền của hệ hở

Bộ điều khiển: sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha, P, PI, PD,

PID, …

Phương pháp: QĐNS, biểu đồ Bode, …

Cách 2: Điều khiển hồi tiếp trạng thái

Tất cả các trạng thái của hệ thống được phản hồi trở về ngõ vào

Bộ điều khiển: u(t) = r(t) – Kx(t)

6.1 Khái niệm về thiết kế hệ thống điều khiển

Cách 1: Hiệu chỉnh nối tiếp

Cách 2: Điều khiển hồi tiếp trạng thái

( )

( t Ax t Bu t

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của cực và zero

Khi thêm một cực có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở thì QĐNS của hệ kín có xu hướng tiến gần về phía trục

ảo, hệ thống sẽ kém ổn định hơn, độ dự trữ biên và độ dự

trữ pha giảm, độ vọt lố tăng.

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của cực và zero

Khi thêm một zero có phần thực âm vào hàm truyền hệ

hở thì QĐNS của hệ kín có xu hướng tiến xa trục ảo, hệ

thống sẽ ổn định hơn, độ dự trữ biên và độ dự trữ pha

tăng, độ vọt lố giảm.

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền:

Hiệu chỉnh sớm pha làm cho

đáp ứng của hệ thống nhanh hơn,

cải thiện đáp ứng quá độ

Các thông số cần chú ý:

) 1

( 1

1 )

Slide 7

O1 sua lai cho thong nhat ham truyen voi phia duoi (kiem tra lai sach)

Owner, 28/10/2014

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh trễ pha

1 sin

Slide 8

O2 sua lai cho thong nhat ham truyen voi phia duoi (kiem tra lai sach)

Owner, 28/10/2014

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh sớm trễ pha

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh tỉ lệ (P)

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh vi phân tỉ lệ (PD)

Hàm truyền:

Hiệu chỉnh PD là trường hợp riêng của hiệu chỉnh sớm

pha nên giảm thời gian quá độ và

độ vọt lố

Do hệ số khuếch đại ở tần số cao

là vô cùng lớn nên là cho hệ thống

rất nhạy với tần số cao

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh vi phân tỉ lệ (PD)

Thời hằng vi phân (TD) càng lớn thì đáp ứng càng nhanh,

nếu TD lớn quá thì sẽ có vọt lố mặc dù không có dao động

c

G s  K  K s K T s

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ (PI)

Hàm truyền:

PI có đặc điểm của hiệu chỉnh trễ

pha nên làm chậm đáp ứng quá độ,

tăng vọt lố, giảm sai số xác lập

PI là bộ lọc thông thấp nên triệt

tiêu nhiễu tần số cao

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ (PI)

Thời hằng tích phân (TI) càng nhỏ vọt lố càng cao

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

Ảnh hưởng của hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ (PID)

6.2 Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh …

So sánh các khâu hiệu chỉnh PI, PD, PID

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Nguyên tắc thiết kế dùng phương pháp QĐNS

Dựa vào phương trình đặc tính sau khi hiệu chỉnh:

Ta cần chọn các thông số cho bộ điều khiển Gc(s) sao cho

R(s)

) ( ) ( 1

) ( )

( )

(

)

(

s G s G

s G s

G s

R

s Y

()(

s G s

G

180)

()(

1)

()( (Điều kiện biên độ)

(Điều kiện pha)

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền có dạng:

Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế

Bước 2: Xác định góc pha cần bù để s*

1,2 nằm trên QĐNS

Trong đó: pi và z i là các cực và zero của hệ thống G(s)





















i

i

n

i

i

1

* 1 1

* 1

2

* 2 ,

  

              n n n j s Độ vọt lố POT Thời gian quá độ, …       

180

Góc từ các cực của G(s) đến cực s *

1

Góc từ các zero của G(s) đến cực s *

1

) 1

( )

/ 1 (

) /

1 ( )





T s

T s

K s

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Vẽ hai nửa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực s * sao

cho hai nửa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng

Φ * Giao điểm của hai nửa đường thẳng này với trục thực

là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Phương pháp đường phân giác

Phương pháp triệt tiêu nghiệm

Bước 4: Tính hệ số khuếch đại K C bằng công thức:

1)

()

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển GC(s) sao cho hệ thống

sau khi hiệu chỉnh thỏa POT < 20%, tqđ < 0.5 giây (tiêu

chuẩn 2%)

* Giải:

Vì yêu cầu thiết kế là cải thiện đáp ứng quá độ nên dùng

khâu hiệu chỉnh sớm pha.

)1

()

/1(

)/

1

()

T

s K s

50)

(





s s s

G

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển GC(s) sao cho hệ thống

sau khi hiệu chỉnh thỏa POT < 20%, tqđ < 0.5 giây (tiêu

50)

(





s s

s G

Xét quỹ đạo nghiệm số của G(s)

-15 -10 -5 0 5 10

Quy dao nghiem so cua he chua hieu chinh G(s) = 50/(s*(s+5))

Real Axis (seconds -1 )

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

.10

* 2 ,

5

10 tan

5 10

5

10 tan

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha



o

6.72



6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Giải:

Bước 3: Xác định cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng

phương pháp đường phân giác

;1

x P

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Giải:

Bước 3: Xác định cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp đường phân giác

12 28 2

6 72 2

135 sin

2

6 72 2

135 sin 15 2

2

ˆ sin

2 2

ˆ sin

x P O OP

6 72 2

135 sin

2

6 72 2

135 sin 15 2

2

ˆ sin

2 2

ˆ sin

x P O OP

OC

*

2 F

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Giải:

Bước 4: Tính KC

1)

()

G

65 6

1 85 11 85 14 41 20

50 79

5 (

50 28

8

5 10 5 10

s K

1 )

5 5 10 5

10 )(

5 10 5

10 (

50 28

5 10 5

10

8 5 10 5

j

j

K C

8( ) 6.65

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Quy dao nghiem so cua he co hieu chinh som pha

40

System: sys Gain: 15.6 Pole: -11.9 + 23.6i Damping: 0.45 Overshoot (%): 20.5 Frequency (rad/s): 26.5 System: sys

Gain: 6.65 Pole: -10.4 + 10.5i Damping: 0.705 Overshoot (%): 4.42 Frequency (rad/s): 14.8

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền có dạng:

Bước 1: Xác định β từ yêu cầu sai số xác lập

Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh sao cho:

Trong đó:

s *

1,2 là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh

K p , K v , K a là hệ số vị trí, vận tốc, gia tốc trước khi hiệu chỉnh

K * , K * , K * là hệ số vị trí, vận tốc, gia tốc sau khi hiệu chỉnh

* 1,2

V P

P

K

K K

K K

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:

Bước 4: Tính hệ số khuếch đại K C bằng công thức:

1 )

( )

2 ,

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển GC(s) sao cho hệ thống

sau khi hiệu chỉnh có sai số với tín hiệu vào là hàm dốc là

0.02 và đáp ứng quá độ thay đổi không đáng kể

R(s)

) 4 )(

3 (

10 )

s s

G

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

* Giải:

Hệ số vận tốc của hệ thống trước khi hiệu chỉnh:

Sai số xác lập của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dốc là:

Vì yêu cầu thiết kế là giảm sai số xác lập nên sử dụng

khâu hiệu chỉnh trễ pha:

83

0)

4)(

3(

10lim

)(

V

2

183

.0

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

* Giải

Bước 1: Xác định β

Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh:

của phương trình:

017

0 50

83

0

0 )

(

0 10 12

7

0 )

4 )(

3 (

s

j

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

s1*,2  1,2   1 

1 )

4 1

)(

3 1

)(

1 (

10 )

0017

0 1

(

) 1 0 1

j j

j

K C

10042

0

1

0 )

G C

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha

Hàm truyền có dạng:

Trong đó:

Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha G C1 (s) để thỏa mãn yêu

cầu về đáp ứng quá độ (Xem phương pháp thiết kế sớm

pha)

Bước 2: Đặt G 1 (s)=G C1 (s).G(s)

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha G C2 (s) mắc nối tiếp vào

G 1 (s) để thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập (Xem phương pháp thiết kế hiệu chỉnh trễ pha)

) ( )

( )

) ( 2

1

s G

s G C

C là khâu hiệu chỉnh sớm pha

là khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha

1 Thiết kế bộ điều khiển trễ pha để giảm sai số xác lập

Hệ sau khi hiệu chỉnh có dạng:

( )( )

C C

là khâu hiệu chỉnh sớm pha

là khâu hiệu chỉnh trễ pha

) ( )

( )

Thiết kế khâu trễ pha trước:

6.3 Thiết kế hệ thống dùng quỹ đạo nghiệm số

2 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha để cải thiện đáp ứng

quá độ Hệ sau khi hiệu chỉnh có dạng:

Sai số xác lập với đáp ứng dốc của hệ sớm trễ pha:

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền có dạng:

Bước 1: Xác định K C để thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập

Bước 2: Đặt G 1 (s) = K C G(s) Vẽ biểu đồ Bode của G 1 (s).

Bước 3: Xác định tần số cắt biên ω C của G 1 (s):

Bước 4: Xác định độ dự trữ pha của G 1 (s) (độ dự trữ pha

của hệ trước khi hiệu chỉnh)

)1

(1

1)

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

Yêu cầu: Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha sao cho hệ thống sau hiệu chỉnh có:

) 2 (

4 )

(





s s

s G

dB GM

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

(1

1)

10 2

v c

v

s s K

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

(1

1)

s

) 1 5

0 (

20 )

2 (

4 10

) ( )

s s

s G K s

Bode Diagram for 20/(s * (0.5s + 1))

Gm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/s)

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Lời giải

20*log(20) =

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Lời giải:

Bước 3: Tần số cắt của hệ trước khi hiệu chỉnh

 Theo công thức:

sec)/

40 1

) 2 (

40

1 )

C C

C

j j

j G

17

60

(17

C 

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Lời giải:

Bước 4: Độ dự trữ pha của hệ trước khi hiệu chỉnh

tan 90

180 _

) 2 (

40 arg

180

) (

180

1 0

0 0

1 0

C C

C

C

j j

0 0

1 0

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

sin1

37sin

1sin

0

0



6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

0057

.0

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha

* Lời giải:

Bước 9: Kiểm tra các điều kiện về biên độ

Vì tần số cắt pha ω-π trước và sau khi hiệu chỉnh đều bằng vô

cùng nên độ dự trữ biên của hệ trước và sau khi hiệu chỉnh

đều bằng vô cùng (> 10 dB)

* Kết luận:

Hàm truyền vừa thiết kế thỏa mãn yêu cầu đặt ra.

3 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Bước 9: Kiểm tra điều kiện về độ dự trữ pha

arg057

.01

arg228

.01

arg

2

4

*057

.01

228

0

110arg

arg180

24

057

01

228

0

110)

j j

j j

j j

j G j

G M

s s

s

G

s

s s

G

c

c C

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền có dạng:

Bước 1: Xác định K C để thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập

Bước 2: Đặt G 1 (s) = K C G(s) Vẽ biểu đồ Bode của G 1 (s).

Bước 3: Xác định tần số cắt biên ω ’

C của G1(s) sau hiệu chỉnh:

Trong đó: ΦM * là độ dự trữ pha mong muốn, θ = 5o ÷ 20o

Bước 4: Tính α từ điều kiện:

)1

(1

1)

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Hiệu chỉnh trễ pha

Bước 5: Chọn zero của khâu trễ pha sao cho:

Bước 6: Tính hằng số thời gian từ điều kiện:

Bước 7: Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn yêu cầu về độ

dự trữ biên hay không? Nếu không, trở lại bước 3



 1

1

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

Yêu cầu: Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho hệ

thống sau hiệu chỉnh có:

) 1 5

0 )(

1 (

1 )

s

s G

dB GM

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

(1

1)

s

) 1 5

0 )(

1 (

5 )

(



s s

s

s G

5

C C

s

C s

s s

s Ts

Ts sK

s G s sG

1 lim

) ( ) (

lim

0 0

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

* Lời giải

Bước 3: Xác định tần số cắt mới ω ’

C :

 Cách 2: Dùng biểu đồ Bode

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

28 0 1

56 0 56 0

5

1 )

1 56 0 5 0 )(

1 56 0 ( 56 0

j

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

Tính α theo cách 2 không khác nhiều so với cách 1, ở

126

0 10

9 0 lg

lg 20 18

9

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

* Lời giải

Bước 5: Chọn zero của khâu trễ pha:

Bước 6: Tính hằng số thời gian T:

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

005

.0133

0

11

6.4 Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

Ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

* Lời giải

Bước 5: Chọn zero của khâu trễ pha:

Bước 6: Tính hằng số thời gian T:

Bước 7: Dựa vào biểu đồ Bode ta thấy độ hệ thống thỏa

mãn yêu cầu

56 0

005

.0133

0

11

(

)120

(5)

G C

Tóm tắt: Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

-Hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền có dạng

Bước 1: Xác định K c để thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập

Bước 2: Đặt G 1 (s) = K c G(s) Vẽ biểu đồ Bode của G1(s).

Bước 3: Xác định tần số cắt biên ωC của G1(s): hoặc

Bước 4: Xác định độ dự trữ pha của G1(s)

Tóm tắt: Thiết kế hệ thống dùng biểu đồ Bode

-Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền có dạng:

Bước 4: Tính α từ điều kiện: hoặc

Bước 7: Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn yêu cầu về độ dự trữ biên hay

) 1

( 1

1 )



 1

1

6.5 Thiết kế bộ điều khiển PID

Bộ điều khiển PID là trường hợp đặc biệt của hiệu chỉnh sớm trễ pha nên về nguyên tắc có thể thiết

kế bộ điều khiển PID bằng phương pháp QĐNS

hoặc dùng biểu đồ Bode.

Một số phương pháp khác cũng thường được

dùng để thiết kế bộ điều khiển PID:

Phương pháp giải tích

Phương pháp Zeigler - Nichols