Tổng hợp các dạng toán và công thức giải nhanh khảo sát hàm số toán 12

Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D... Kết hợp với điều kiện 1 đưa ra kết quả..  Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1  Viết phương trình đường thẳng 

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y f x m( , ) có tập xác định D Tìm điều kiện của

tham số m để hàm số đơn điệu trên D.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) đơn điệu trên một khoảng ( ; )a b

 Hàm số đồng biến trên Dy'  0, x D

 Hàm số nghịch biến trên Dy'  0, x D

 Chú ý:

+ Với hàm số

a x b y

c x d





 đồng biến khi y'0 , nghịch biến khi 'y 0

+ Nếu y'ax2bx c thì

TH1: 0

TH2:

0

a











và

TH1: 0

TH2:

0

a











 Hàm số đồng biến trên ( ; )a b y'  0, x ( ; )a b

 Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b y'  0, x ( ; )a b

 Sử dụng kiến thức tam thức bậc 2 lớp 9 hoặc rút m đưa về dạng:

( ; )

a b

m f x  x a b mmax f x và

( ; )

( ), ( ; ) min ( )

a b

m f x  x a b  m f x

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số 3 2

( , )

y f x m ax bx  cx d đơn điệu trên một khoảng độ dài bằng k cho trước

'

y A x B x c

 Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;x x1 2) PT: 'y 0 có hai nghiệm phân biệt x và 1

2

0 (1) 0

A

x  

 Biến đổi x1x2 k thành 2 2

(x x ) 4x x k (2)

 Sử dụng định lý Viet

1 2

1 2

B

x x

A c

x x A

   







đưa phương trình (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) có cực trị

 Đối với hàm số 3 2

yax bx  cx d, Khi đó, ta có: 2

' 3 2

y  ax  bx c Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT  PT: y'3ax22bx c 0

có hai nghiệm phân biệt 0

0

a



 Đối với hàm số: y ax2 bx c

mx n

 



 Khi đó, ta có:

2

'

amx anx bn cm g x

y

Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT

2

PT g x amx anx bn cm

      có hai nghiệ phân biệt khác n

m

Suy ra

0

0

0

a

n f

m



 





Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) đạt cực trị tại điểm x 0

 Hàm số đạt cực trị tại điểm x thì 0 y x'( 0)0 GPT này ta tìm được giá trị của m

 Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?

 Nếu yBËc 3 hoặc yBËc 4 thì vận dụng kiến thức:

''( ) 0

y x  x là điểm CĐ y x''( 0) 0 x0 là điểm CT

 Nếu yBËc 2

BËc 1 thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y f x( )

 Đối với hàm số 3 2

:

yax bx  cx d

 Thực hiện phép chia đa thức y cho 'y và viết hà số dưới dạng: yu x y( ) 'MxN

 Gọi A x y( ;1 1) và B x y( 2; 2) là hai d diểm cực trị Khi đó: y1Mx1N và y2Mx2N

 Do đó, phương trình dường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N 

 Đối với hàm số

2

ax bx c y

mx n

 





 Chứng minh bồ để:Nếu hàm số ( )

( )

u x y

v x

0

( ) 0 ( ) 0

y x

v x





0 0

0

'( ) ( )

'( )

u x

y x

v x

 Gọi A x y và 1( ;1 1) B x y( 2; 2) là hai điểm cực trị Khi đó: 1

1

2ax b y

m



2

2ax b y

m



 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y2a xb

Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) có cực trị tại

hai điểm x x và các điểm cực trị đó thỏa mãn một hệ thức ( )1, 2 I nào đó

 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1)

 Vận dụng định lý ViEt, ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x 2

 Biến đổi hệ thức ( )I đã cho và vận dụng định lí Viet để tìm được m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm cực

trị nằm về hai phía đối với trục tung

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các đặc điểm

cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 A và B nằm về hai phía đối với trục Oyx x1 2 0 (sử dụng hệ thức (2))

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lí ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như Dạng 7) 2

 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oyy y1 2 0 (sử dụng hệ thức (2))

 Kết hợp điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các đặc điểm

cực trị nằm về hai phía đối với đường thẳng d Ax: By C 0 cho trước

Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm CĐ

và CT đối xứng với nhau qua đường thẳng :d AxBy C 0

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

 1; 1 , 2; 2

A x y B x y Để A và B nằm về hai phía đối với d

(Ax By C Ax)( By C) 0

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 A và B đối xứng nhau qua AB d

d

I d





 trong đó I là trung điểm của AB  giá trị m Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm CĐ

và CT cách đều đường thẳng :d AxBy C 0

Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , )có các điểm cực trị

A và B thỏa mãn một hệ thức nào đó (VD: ABk AB, ngắn nhất, OA 2OB )

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

( ; ), ( ; )

A x y B x y Để A và B cách đều đường thẳng

I AB

/ /

trong đó là trung đie

AB d

m

I d

 

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

( ; ), ( ; )

A x y B x y

 Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm ,A B ta tìm được giá trị của m

Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng : d AxBy C 0 sao cho tổng khoảng

cách từ điểm M đến hai điểm cực trị cả đồ thị hàm số y f x( ) là nhỏ nhất

 Tìm các điểm cực trị A x y( ;1 1) và B x y( 2; 2) của ĐTHS y f x( )

 Viết phương trình đường thẳng AB

 Kiểm tra xem A và B nằm về cùng một phía hay nằ về hai phía đối với đường thẳng d + Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0 A và B nằm về hai phía đối với d Khi đó: MA MB AB. Do đó: MA MB nhỏ nhất M là giao điểm của AB với

đường thẳng d + Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0 A và B nằm về cùng một phía đối với d

- Xác định tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Khi đó:MA MB MA'MBA B' nên MA MB nhỏ nhất Mlà giao điểm của '

A B

Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm

CĐ, CT và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng

d AxBy C một góc bằng 

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị

Khi đó

/ /

tao voi goc tan

1

d d

d d

d k k

k k d

k k























giá trị của m

Đường thẳng d

A' A

B A

B

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m dể đồ thị hàm số yax4bx2c có các

điểm CĐ, CT tạo thành một tam giác vuông cân Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS

2

ax bx c y

mx n

 



 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng k

 Tìm điều kiện của m để hà số có các điểm cực trị (1)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị , ,A B C của ĐTHS

 Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

 Khi đó: ABC vuông cân OA OB  0 giá trị của m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT

ĐTHS có ba điểm cực trị

 Tìm đường tiệm cân xiên của ĐTHS

 Tìm tọa độ giao điểm (A x A; 0) và (0;B y B) của TCX với các trục tọa độ

OB y S  OA OB x y

 Từ đó, suy ra kết quả của m

Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 sao cho tổng khoảng cách từ

điểm M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS  Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận

 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng: q

y p

cx d

 

(với ,p q )

 Gọi M m p; q ( )C

cm d

  Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận

 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm  kết quả

Chú ý: Khoảng cách từ điểm M x y( ;0 0) đến đường thẳng :AxBy C 0 là:

( ; )

M

Ax By C d

A B





- Bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm A và B A:  B 2 AB Dấu “=” xảy ra

A B

- Đối với hàm số dạng

2

ax bx c y

mx n

 



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( ) tại điểm M x y( ;0 0)

 Xác định x và 0 y Tính '.0 y Từ đó suy ra: y x'( 0)

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: yy x'( 0)(xx0)y0

Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( )biết tiếp tuyến đó có hệ

số góc bằng k

 Xác định k: ( / /ya x   b k a,vuông góc 1

k a

  ; tạo Oxgóc  ktan)

 Tính f'( )x và giải phương trình f '( )x k để tìm hoành độ tiếp điểm x Từ đó 0

suy ra: y0  f x( 0)

 PT tiếp tuyến cần tìm: yk x( x0)y0

Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( )biết tiếp tuyến đó đi

qua điểm ( ;A x A y A)

 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm (A x A;y A) có hệ số góc

kPT  k xx y (*)

  là tiếp tuyến của (C)  HPT ( ) ( ) (1)

'( ) (2)

f x k x x y

k f x



 

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: ( )f x  f '( )(x xx A)y A (3)

 Giải phương trình (3) ta được x0k và y (thay vào (2)) 0  PT tiếp tuyến cần tìm

(thay vào (*))

Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị

( ) :C y f x( ) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

 Giả sử M x y( 0; 0) Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng:

yk xx y

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ( 0) 0 (1)

'( ) (2)

f x k x x y

k f x



 

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( ) f'( )(x xx0)y0 (3)

 Khi đó, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có 2 nghiệm phân biệtx và1 x 2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f '( ) '(x1 f x2)  1 kết quả

Chú ý: Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến nằm về hai phía đối

với trục hoành

(3) co hai nghiem phan biet ( ) ( ) 0

f x f x



Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị

( ) :C y f x( )

 Giả sử M x y( 0; 0) Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng:

yk xx y

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ( 0) 0 (1)

'( ) (2)

f x k x x y

k f x



 

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( ) f '( )(x xx0)y0 (3)

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

tại n điểm phân biệt

Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: F x m( , )0

 (C cắt 1) (C2) tại n điểm phân biệt  PT: ( ; )f x m g x( ) có n nghiệm phân biệt

 Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hau, dựa vào

bảng biến thiên, dưa vào đồ thị,…  kết quả

 Biến đổi phương trình F x m( ; )0 về dạng: ( )f x g m( ), trong đó đồ thị y f x( )

đã vẽ đồ thị

 Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị ( ) :C y f x( ) với đường thẳng d y: g m( ) Dựa vào số giao điểm của d với ( )C  kết quả

Dạng 26: Tìm các giá trị m để đường thẳng d y:  pxq cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





tại hai điểm phân biệt M N, sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

Dạng 27: Tìm các giá trị của m để đường thẳng d y: pxq cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của ( ).C

 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt PT:ax b px q

cx d



 có hai nghiệm phân biệt

2

PT Ax Bx C

    (1) có hai nghiệm phân biệt khác d

c

  điều kiện của m(*)

 Khi đó, d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt M x y và ( ;1 1) N x y( 2; 2) Theo định lý Viet

ta có mối liên hệ giữa x và 1 x (2 x và 1 x là hai nghiệm của pt (1)) 2

MN  x x  y y  kết quả của m để MN nhỏ nhất

Chú ý: - Khi tính y và 1 y ta thay 2 x và 1 x vào phương trình của đường thẳng 2 d

- OMN vuông OM ON  0 x x1 2y y1 20

- Đối với đồ thị của hàm số

2 ( ) :C y ax bx c

mx n

 



 cách làm hoàn toàn tương tự

 Xác định tiệm cận đứng của ( )C

 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của ( )C

  PT: ax b

px q

cx d

 có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ

  PT: Ax2Bx C 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác d

c

 và nằm về cùng một phía với TCĐ  kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)

Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2 cx d cắt trục

Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

 Điều kiện cần: Hoành độ các giao điểm x x x là nghiệm của PT: 1, 2, 3

0

ax bx cx d (1) Theo định lí Viet, ta có: x1 x2 x3 b

a

    (2) Do x x x lập thành một cấp số cộng, 1, 2, 3

nên: x1x32x2 Thay vào (2) ta được: 2

3

b x a

Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không rồi kết luận

Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2 cx d cắt

trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân

 Điều kiện cần: Hoành độ các giao điểm x x x là nghiệm của PT: 1, 2, 3

ax bx cx d (1) Theo định lí Viet, ta có: 1 2 3 d

x x x

a

    (2)

Do x x x lập thành một cấp số cộng, nên: 1, 2, 3 2

x x x Thay vào (2) ta được:

3

2

d

x

a



 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm

hay không rồi kết luận

Dạng 30: Cho họ đường cong (C m) :y f x m( , ), với m là tham số Tìm điểm cố định

mà họ đường cong trên đi qua với mọi giá trị của m

 Gọi A x y( ;0 0) là điểm cố định của họ (C m) Khi đó ta có:

y  f x m  m Am  B m 0 0

0

A

x B





   và y0 điểm cố định A

 Kết luận các điểm cố định mà họ (C m) luôn đi qua

Dạng 31: Cho họ đường cong (C m) :y f x m( , ), với m là tham số Tìm điểm cố định

mà họ đường cong trên không đi qua với mọi giá trị của m

 Gọi A x y( ;0 0) là điểm mà họ (C m) không đi qua m

 Khi đó phương trình ẩn m y: 0  f x m( 0; ) vô nghiệm  điều kiện của x và 0 y 0

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị (C1) : y f (x, m) cắt đồ thị (C2) : yg(x)

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )

(- ) 0

f x x

y f x







nÕu nÕu

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm ở bên phải trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )

( ) ( ) 0

f x f x

y f x

f x f x







nÕu nÕu

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x  là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm ở bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị ( )C ở bên dưới trục Ox qua trục Ox Dạng 34: Cho đồ thị ( ) :C y f x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y  f x( ) Dạng 35: Cho đồ thị ( ) :C y f x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y f x( )u x v x( ) ( )

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )

 Ta có:

( ) 0

( )

f x

y f x y f x

y f x











 Do đó, đồ thị của hàm số y  f x( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )

 Ta có: ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

u x v x u x y

u x v x u x







nÕu nÕu

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( ) u x v x( ) ( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C trên miền ( )u x 0

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị ( )C trên miền ( )u x 0 qua trục Ox

CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Hàm số yax3bx2cxd

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox: ax3bx2cx d 0 Nhẩm

một nghiệm x đưa về 0 0

x x

ax b x c







+ Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt  yCD.yCT 0

+ Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành  yCD.yCT 0

+ Đồ thị có một điểm chung với trục hoành  yCD.yCT 0 hoặc hàm số không có cực

trị

+ Nếu y' 3ax2 2bx c 0 nhẩm được hai nghiệm thì tính yCD, yCT dể dàng Trường

hợp không nhẩm được nghiệm thì dùng mối liên hệ hai nghiệm đó là hệ thức Viet

+ Đồ thị hàm số 3 2

y ax bx cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

lập thành cấp số cộng thì phương trình ax3 bx2 cx d 0 có một nghiệm

0

3

b

x

a Nếu lập thành cấp số nhân thì có một nghiệm là

3 0

d x

a

+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d có

9

y AxB với  

   

0

B T







''

2

y

T  ay y

Hoặc lấy y y: ' được phần dư là ax b đường thẳng qua CĐ – CT là : yaxb

+ Hàm số có hai cực trị: 2

b  ac + Hàm số không có cực trị: b22ac0

●Hai cực trị thỏa mãn:

+ x1  x2 x1x2 0

0 2

x x

x x









0 2

x x

x x









+ Điểm uốn không thuộc Oyac0 + Đường thẳng qua điểm uốn tạo với đồ thị hai phần có diện tích bằng nhau

+ Hàm số đồng biến trên :

0 0 0 0

a

a b c



 



  



 

 



 

 

+ Hàm số nghịch biến trên :

0 0 0 0

a

a b c



 



  



 

 



 

  + Hàm số không đơn điệu khi: a  b c 0

+ Hàm đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng e khi:

0 0

a

x x e

 



 





+ Khoảng cách hai cực trị:

;

9

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 32: Cho đồ thị (C) : y f (x). Vẽ đồ thị của hàm số y fx Dạng 33: Cho đồ thị (C) : y f (x). Vẽ đồ thị của hàm số y f ( )

Hàm số yax4 bx2c

+ Có 1 cực trị ab0 , nếu a0 đó là cực tiểu, a0 là cực đại

+ Có 3 cực trị ab0, nếu a0 : có một cực đại và hai cực tiểu, a0 có hai cực đại

và 1 cực tiểu

+ Tọa độ 3 cực trị là: 0; , ; , ;

2

2

b

BC

a

4

2

;

2 16

AB AC

a

2 4

b ac

+ Phương trình qua các điểm cực trị :

● Gọi BAC , luôn có

3

3

8 cos

8

b a ● Diện tích tam giác ABC là

5

3 32

b S

a

● Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

3 8 8

R

a b

+ y ax4 bx2 c cắt Ox tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng

2

0

100 9

ac ab



 



 



 

 + Diện tích phần trên phần dưới của đồ thị với trục hoành bằng nhau: 2 36

5

+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : 2 2 2 2

        

Với a b 0 ta có:

+ B C, Oxb24ac0 + 2

BCm am  b

ABACn  a n b  ab

BCkABkACb k3 28a k 240 + ABOC nội tiếp 2 0

4

c



   

  + ABOC là hình thoi

+ ABCvuông cân tại A8ab30 + ABC đều 24ab30

8 tan 0

2

BAC  ab  

+ ABC có 3 góc nhọn b8ab30

ABC

S S  a S b 

+ ABC có diện tích lớn nhất:

5

32

b S

a

  + ABC có trọng tâm Ob26ac0 + ABC trực tâm Ob38a4ac0 + ABC có tâm đường tròn nội tiếp là 3

Ob  a abc , bán kính đường tròn nội tiếp:

2

3

4 1 1

8

b r

b a

a



+ ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là Ob38a8abc0 , bán kính đường tròn ngoại tiếp

2 2

R

+ ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2

b ac

+ Trục hoành chia ABC thành hai phần diện tích bằng nhau: 2

4 2

b  ac

Hàm số y ax b ;ad bc 0

cx d



 + Tiệm cận đứng: 1:x d 0

c

   ; + Tiệm cận ngang: 2:y a 0

c

+ Nếu M x y 0; 0 y ax b

cx d



 

0

M x y

cx d





● Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận:

0

0

, ,

d cx d

a ad bc

c c cx d







+

0

0

+ 1 2

2

c

d1 d2min d1 d2 2 ad 2bc 2 p x0 d p

c c



+ Điểm M x y0; 0 có hoành độ 0 d

c

ngắn nhất 2 p Khoảng cách đến tâm đối xứng nhỏ nhất 2 p

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa A B, trên hai nhánh đồ thị là: ABmin 2 2 ad 2bc

c

●Giao của đường thẳng :d y kx p với y ax b

cx d tại hai điểm phân biệt M ,N

Phương trình hoành độ giao điểm 2

0

ax b

cx d





1

A



+ MN nhỏ nhất khi nhỏ nhất + OMN cân    2

O x x k  kp

O x x k  x x kpp 