Chuyên đề Luyện thi vào đại học Lượng giác - Trần Văn Hạo chủ biên

[r]

CHUYEN DE LUYEN THI VAO BAI HOC LUONG GIAC

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HEN HANH

(Tái bản lần thứ năm có chỉnh lí và bỗ sung)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học được biên soạn nhằm mục đích giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo, năm vững phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản, thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm

Nội dung bộ sách bám sát theo chương trình bộ môn Toán THPT nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ôn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại

học và Cao đăng môn Toán của Bộ, Giáo dục và Đảo tạo Bộ sách gồm 7

tập, tương ứng với 7 chuyên đề :

A Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thống kiến thức trọng tâm

B Ví dụ áp dụng : gồm nhiều ví dụ, có hướng dẫn giải Mỗi ví dụ là

một dạng bài tập cơ bán, thường gặp trong các kỉ thi tuyển sinh vào các

trường Đại học và Cao đăng

Trong mỗi (§) có phần Luyện tập : gồm nhiêu bài tập, giúp học sinh

tự rèn luyện kĩ năng giải toán.

quả giải bài tập của mình

Cuối sách có phần phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyển sinh

Đại học (2005 — 2008) Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyển sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 — môn Toán, có liên quan đến phần

Lượng giác, có hướng dẫn giải ; giúp học sinh làm quen với các dạng câu hỏi của dé thi tuyên sinh Đại học l Tập thể tác giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12, bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học Chúng tôi tin tường bộ sách này, sẽ góp phần giúp các em học sinh 12, nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết quả mĩ mãn trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng

Chủ biển

PGS, TS TRAN VAN HAO

II PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 DIEM)

Câu I (3 điểm) :

~ Khao sat, vé dé thi cua ham SỐ

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của dao ham va đỗ thị của hàm SỐ : chiều biến thiên của hàm số Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đô thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thăng) ;

Câu II (2 điểm) :

— Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại SỐ ;

¬ Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

Câu V (1 điểm) :

Bài toán tổng hợp

II PHAN RIENG (3 DIEM) :

Thí sinh chi được làm một trong 2 phân (phan I hoac 2)

1 Theo chương trình chuẩn :

Câu VLa (2 điểm) :

Nội dung kiến thức : Phương pháp toa độ trong mặt phăng và trong không gian :

- Tính góc ; tinh khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đổi của đường thắng, mặt phẳng và mặt cầu

Cau VIL a (1 diém) :

Nội dung kiến thức :

- Số phức

~ Tổ hợp, xác suất, thông kê

— Bất đăng thức Cực trị của biểu thức đại số

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu VIb (2 điểm) :

Nội dung kiến thức :

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ

~ Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng

— Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thăng, VỊ trí tương đôi của đường thăng, mặt phăng và mặt câu

Câu VII.hb (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :

— Té hop, xác suất, thông kê

- Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số,

1 Dấu của các giá trị lượng giác

2 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

3 Các hệ thức lượng giác cơ bản

4 Tính chất tuần hoàn và chu kì của các hàm số lượng giác

5 Sự biến thiên của các hàm số lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

* Cung dỗi nhau

tan (—x) = - tan x cot(—x)=—cotx

* Cung bù nhau

tan (— x) =— tan x cot(x—x)=-—cotx

* Cung hon kém nhau x

sin(x + x) =—sinx cos(x + x) =—cosx

tan(x +7) =tanx cotÍx + 7) = cot x

* Cung phụ nhau

sin| ——x'|=cosx cos[ ——x |=sỉinx

1— tan atanb l+ tanatanb

Công thức nhân đôi

2cosacos b = cos(a ~ b}+ cos(a + b)

2sinasinb = cos(a — b)— cos(a + b)

tance + tanB = (+B) tano — tang = Si" (e = B)

cos ơ cos B €cos œcos B

Công thức rút gọn asinx + bcosx, acosx + bsinx

b mn 1

* Giả sử a > 0 Đặt tan =— với 0€ “5 2] Ta có :

a

asinx + beosx = Va’ +b’ sin(x +)

acosx + bsinx = va” + bỶ cos(x — @)

Muôn chứng mình một đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác

để biến đổi biểu thức lượng giác ở một về thành biểu thức lượng giác ở về kia

Đề ý rằng một biểu thức lượng giác có thể được biến đổi thành nhiều dạng

khác nhau Chắng hạn ta có :

* sinˆ2x =l—cos” 2x (Hệ thức lượng giác cơ bản)

=(I[—eos2x)(† +cos 2x}

Il

* sin’ 2x = 2ú —cos 4x) (công thức hạ bậc)

* sin? 2x = 4sin’ xcos” x (Công thức nhân đôi)

Tuỳ theo mỗi bài toán, ta chọn công thức thích hợp để biến đối

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ ï : Chứng minh các công thức sau (công thức nhân ba) :

1) cos3a = 4cos?”a — 3cosa ; 2) sỉn 3a =3sìna — 4sin a ;

3~— tan?

3) tan 3a = tana an a)

(—3tanˆ a

Hướng dẫn giải

1) cos3a = cos(2a + a) = cos2acosa — sin 2a sỉn a

= (2cos? a ~1)cosa _ 2cosa(1 —cos” a) =4cos” a —3cosa

_ ]—tan?a +tana _3tana—tan?a _ tana(3~tan?a)

2 COSX cos2?x 2cos” x —cos2x

3) cotx —cos tan 2x = _ =

sinx sin2x sin 2x

_l+cos2x—cos2x Ì

sin 2X sin 2x

Vi dy 3: Chimg minh :

tả 4 4 l _3 6 6 3 5 Ì) sin” x +cos X= 7 cos4x +7 2) sin’ xX +cos X= gcosdx +e

3) sin® x +cos* x = -Ủ cos8x + cos 4x +2>

=({1—2sin“° xcos x) —2sin° xcos x

=}—4sin* xcos* x + 2sin‘* xcos‘ x

1) sin(a + b)sin(a — b) = cos’ b—cos’ a ;

2) cos{a + b)cos(a —b) = cos’ a+cos” b-1

a

2} cos(a + b)cos(a — b) = 5 (£08 2a + cos 2b)

=2.(2cos"a ~1+2eos”b ~ 1) =cos?a +cosˆ b— Í

Ví dụ $ : Chủng minh :

1) cos3xsin* x + sin 3x cos? x ~ 3 sin ax ;

2) cos3xcos’ x +sin3xsin’ x =cos® 2x

Hướng dan giải

1) Ta có : 4cos” x = cos3x + 3cos x,

Asin’ x = 3sin x — sin3x,

Do đó, ta tính 4 lần về trái (VT)

4{VT) = cos3x (3sin x — sin 3x) + sin 3x(eos3x + 3cos x)

=3(cos3xsin x + sin 3xcos x) = 3sin 4x

Suy ra công thức phải chứng minh

2) 4(VT) = cos3x(cos3x + 3cosx) + sin 3x (3sin x — sín 3x)

3 2 ; :

=cosr 3x —sinˆ 3x + 3(cos 3x eos x + sin 3x sin x)

= cos6x + 3cos2x

= 4cos* 2x (Do cos6x = 4cos’ 2x - 3cos 2x)

Suy ra công thức phải chứng minh

3) Tu két qua bai | va bai 2, suy ra kết qua bai 3

Sau đây là cách giải trực tiếp bài 3

I) VT= sin 5x - 2símn xcos 4x — 2 sin xeos 2x

=sin5x— (sin 5x — sin 3x) - (sin 3x — sin x) = sin x

2) cosS* cos3X +sin IX gig X = “cos ax +cos x)+-_(eos3x —cos4x)

1)sin a + sin b +sine — sin (a + b+ c) =Gin a + sin b} + [sine — sin(a + b+ c)]

a—b a+b+2c _ a+b

= —4sin sin sin = 4s1n sin sin

a+b a-b a+b+2c a+b

=2cos cos + 2cos —————co 5

a+b a—-b a+b+2c a*+b bic c+a

=2cos COs + cos —————_ | = 4cos 2 cos 2 cos 2

Vĩ dụ 19 : Cho a + k2n, k e Z Chứng minh rang :

na (n + La

sin — sin 1) sina +sin 2a +sin3a+ +sinna=—*——_2_;

sin —

2 na (n+l)a sin — cos— >

2) cosa+cos 2a + cos3a+ +cosna =

a sin —

2

Hướng dẫn giải

Đặt : Š = sin a + sin 2a + sin 1a + + sinria Ta có :

(2sn3s = 2sin sina + 2sin= sin 2a+ Lot 2sin= sinna =

S uy ra: S : S=———————— <=

sin -

14

2) Đặt : t = cosa + cos2a + cos3a + + cosna Ta có :

[2sin3 ]T = 2sinŠ cosa + 2gin Scos2a + 2sin 5 cosna

=| sin— — sin— |+| sin-——-—sin— |+]| sin— — sin— |+

sinŠ

2 LUYEN TAP

Chứng minh :

1) cos{x tnz)=(-1)" cosx (ne N);

2) sin(x + nr}=(—I)” sin x (neN)

Cheng minh :

1) cos? (a — b)— cos” (a + b) = sỉn 2sin 2b ;

2) cos? (a —b) -sin? (a + b) =cos2acos 2b

Chứng minh :

L) sin” x(I+ cot x)+ cosỶ x (I + tan x) = sỈn X + cOS x ;

2) sin 3x — 2sin” 3x + cos2xsin x = cos 5xsin 4x ;

3) sin’ x + cos‘ (x+%)=-3- 22 sin( 2x +) 4) 4 2 4

Chứng minh :

1) cos4a =8cos‘a —-8cos* a+];

2) cos` xcos3x —sin” xsin 3x = 7 cos 4x +

Chứng minh : tanx+ tan| x + =) tan [x -5) = 3tan 3x

1.6

1.7

18

sin{a+ b+c) Chimg minh : tana+ tanb+ tanc = tanatanbtanc +

cosacosbcosc

Chứng minh :

l—cos”a — cos” b— cos”c +2cosaeosbeosc

a+b+c., a+b-c b+c-a c+a-b

=4sin sin sin sin

2

2) sinx +sin(x +a)+sin(x +2a)+ +sin(x+na)

l m) (n+l)a Simn| X + - ISIN -: —-

* Muốn rút gọn một biếu thức lượng giác, ta dùng các công thức lượng giác

để biến đổi biểu thức đã cho

* Muốn tính giá trị của một biểu thức lượng giác, nói chung ta tìm cách rút gọn biểu thức này Ngoài việc sử dụng các công thức lượng giác, nên xét xem biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó có thể chọn cách giải

thích hợp

= c0sx + 2e08xe0s “= = cosx —cosx =0 (Do cos = 1)

Ghi cha + Goi M, N, P lần lượt là điểm ngọn của các cung có số đo

X,X +> X “> trên đường tròn lượng giác Thế thì MNP là một tam giác

đều, do đó : OM+ON +OP =0

Chiếu đăng thức vectơ này trên trục cosin và trục sin, ta được :

cosxX +cos| x +— |+ cos) x -— |=0

2n 2ñ SinX + sin xt +sin xe =0

Ví dụ 2 : Rút gọn biêu thức :

A =sin x + sin Íx =5 | ~sinxsin| x— 5]

Hướng dẫn giải Cách l :

Taco: cos| 2x — B = -eod| 2x + =|

Suy ra: A= 23) cosax eo 2-2) +cos{ 2+) =

Vi du 3 : Tính giá trị của các biêu thức sau :

¬ —4sin 70° ; 2) B= | ~ v3 sin L0°9 sint0° cosl10°

ĐA=

Á

3

4

20

Suy ra: cos6°.B =sin6° cos6° cos! 2° cos 24° cos 48° = + sin 96° = - cos 6°

I Vay: B=— ay 16

Vidu 5 : Tính giá trị các biéu thức sau :

1l) A =sin20° sin 40” sin 80” ; 2) B=sin10° sin 50° sin 70°

Hướng dẫn giải 1) A =sin20° sin 40° sin 80° = sin 20° (cos 40° ~cos120°)

= Lin 20° cos 40° + đàn 20° = 1 (gìn 60° —sin 20°) + | Sin 20°

_ 1 goo M3

2 8g

Ghi chú : Cách tính giá trị của biểu thức A trên đây giống như cách chứng

minh đăng thức trong ví dụ 6 của Vấn đề 1

Cách † : Twong ty cau |, ta tinh duge B= an 30° -!

Cach 2 : Tacé B=sint0° cos 20° cos 40°

l

Suy ra : cos10”R =sin 10” cos10° cos20° cos 40° =asin 80° =| costo°

Vay : pu! ay : §

Vĩ dự 6 : Tính giá trị các biểu thức sau :

ly A=cosÃ+cosS Seo 5, 2) B= cose + cos 4” + cos 8:

3) C= cos - cos + cos

Nhận xéi : B có dạng cosa + cos 2a + cos3a

Ta tính 2sin5.B (xem vi dy 6 Van dé 1) Ta có :

2 sin B= sin cos — 4 2sin Teos + 2sin “eo S5

Ví dụ 7 : Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x :

l) A =cos” x—2cosacosxeos(x + a) + cos° (x+a);

2) B=cos” x— 2sinacos xsin(x +a) +sin?(x+a)

Hướng dẫn giải

1) A =cos” x+cos? (x+a) —cosa[2cos xcos(x +a)|

=1+ 2 eos2x + cos(2x + 2a)]~ cosa[eos(2x +a)+cosal

=†+cos(2x +a)cosa — cosacos(2x +a}—cos?a =l —cos? a = sin? a

2) B=cos’ x +sin’ (x +a)—sina[2sin(x +a)cosx}

=l+ sleos2x — cos(2x + 2a) | — sin a[sin (2x +a) + sìn a]

=l—sin(2x +a)sin(—a}~ sin asin(2x +a)T—sinˆa =1— sin? a = cos? a

Vi du 8 : Voi gid tri nào của œ thì biểu thức

E =cos’ x +cos" (x +a) —cosxcos(x + a) không phụ thuộc x ?

Hướng dẫn giải

2E=2cos” x+2cos” (x + œ}— 2cos(x + œ)C0S x

=l+cos2x+l + cos(2x + 2a)—cos(2x +a)-cosa

=2~cosứ + [cos2x + cos(2x + 2œ) ~ cos(2x + œ)]

=2-cosœ +[2cos(2x + œ)cos œ —cos(2x + œ)]

=2 ~cosœ +2cos(2x +a)[ cose =5)

Biểu thức E không phụ thuộc x khi và chỉ khi

cosg =2 có 0= LÔ + kVn, keZ

Khi đó : E= cos? x+eos[xz 5) ~cosneos{ x+2)= 3

DA =sin’ x +cos* x+sin'(x+™ |e cost[ x +2];

2) B=sin xe0s{ 2x + = )cos| 2x -2) + sin3xsin{ x +E sin| -F I

3) C =cot!10° tan 20° tan 40°

x ; %Ắa ek ae tan x — sin x 4 Cho tan—=m Tinh theo m giá trị của biéu thire A = ——————- Tham s6

m phai thoa man diéu kién gi ?

Chứng minh biêu thức sau đây không phụ thuộc x :

E = simx —sin| x +— |+sin| x +— |- sin| x +— |+sin| x+— |;

§ 3 HỆ THỨC GIỮA CÁC CUNG, CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Gọi biểu thức ở về trái của (1) là A Ta cd’:

A =cos” x+(I +€os2y +1+ cos22) — Í

= COs x+(6082y + cos 2z) = cos’ x + cos(y + z)cos(y —z)

Từ giả thiết x + y + 2 =nz, suy ra:

cosx =cos(nt— y —z)=cos{y +z—nn) =(-1)" cos{y +2)

cos(y +z) =cos(nn~ x) =cos(x —nx) =(-1)" cos x

Do đó : A =cosx| (~1)" cos(y +z) ]+(-1)" coxcos(y —z)

=(-1) cos x| cos(y +z) +cos(y —z) | =(-1)" 2cos x cosy cosz

Ghi chủ : Với ne N, ta có :

sin(a + nt) =(~1)” sina

cos(a # nr) =(—I)” eosa

Ví dụ 2 : Cho hai góc nhọn a và b thoả mãn điều kiện :

3sin”a + 2sin” b =l (2)

Chứng minh : a + 2b =

2|

Hướng dẫn giải

Ta có : (1) = sin 2b = =sin 2a, (2) cos 2b = 3sin” a

Do đó : cos(a + 2b)> cosa cos 2b — sin a sin 2b

=cosa(3sin" a)-sina{ 3sin2a

# Do giả thiết x + y# i +kz, keZvado cosy-— 2 #0, nên (3) được xác định

* Ta có : sin x =sin(x +-y — y} =sin(x + y)cos y ~ cos(x + y)sin y

Do đó, từ (1) = (cosy — 2)sin{(x + y) = cos(x + y)sin y

=> tan(x+y)=— ` —

cos y —2 Ghỉ chú : Nếu hai góc x và y thoả mãn giả thiết (1) thi x + y r5 +kn That

vay néu Kty= tke thi sin(x+y)=+1, suy ra sinx=+2 (V6 li) Do vậy, có thể bỏ bớt giả thiết (2).

Trong trường hợp dé bài chỉ cho giả thiết (1) học sinh phải biết suy ra điều kiện tye > thn ke Z

Ta có : 2cosacosb = cos(a + b}+ cos(a — b)

| =(m+1)cos(a—b) #0 (do gia thiét (2))

Vay tana vatanb đều được xác định

(1) cosacos b— sinasinb = m(cosacosb+sinasinb)

Ví đụ $ : Cho a+b+c =2 {1) Chứng minh :

sin” a + sinˆ b + sin? c =1 — 2sinasin bsinc (2)

Đảo lại, tìm mối liên hệ giữa a, b, c biết rằng chúng thoả mãn hệ thức (2)

E=sin’a + ~(1—cos 2b +1—cos2e)—1 = sin” a — 5 (cos2b + cos 2c)

= sin* a ~cos(b +c)cos{b—c) =sin’ a —sinacos(b-c)

= sina[cos(b +.c)—cos(b—c)] =-2sinasinbsine (dpcm)

Đảo lại, giả sự a, b, c thoả mãn điêu kiện (2), ta có ;

(2) I—sin” a~— sìn” b — sin” € — 2sỉn asin bsin c = 0

©(I~sin?a)(I— sin? b) —(Sin” asin? b + sin” e + 2sin asin bsinc ) = 0

«>(cosacosb}' —(sinasinb+sinc) =0

<> (cosa cosb + sin asin b + sinc)(eosaeos b — sin a sin b — sinec) = Ô

& [eos(a — b)+ sine |[cos(a + b) — sỉn c|= 0

1) cos(a - b}= —sine = cos{ t3]

3.1 Cho (1+ tana)(1+tanb)=2 Chung minh: a+b =7t kr (keZ)

3.2 Cho cota+cotb+cotc =cotacot bcote

Chứng ninh : arbres tkn(keZ)

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A KIEN THỨC CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

x=a+k2n

sinx =sỉinœ © (keZ) '

x=7nr—-œ + k2m cosx ~cosa <©> x = +œơ + k2 (ke Z)

tan x = tang © x = œ + kí (k € Z)

cotx=cota @x=at+knz (ke Z)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VẺ DẠNG CƠ BAN

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có đạng ;

asin x +bcosx =c > Va” + BŸ sin(x +@)=c

acosx + bsinx =¢ @ Va’ +b’ cos(x—@)=c

UI

28

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

f[u(x)]=0

với u(x)=sinx hoặc u(x}=cosx hoặc u(x)= tan x

Đặt t= u(x), ta duoc phương trình f(t)=0

Phương trình có dạng f(sinx + cosx, sinxcosx = 0)

Đặt : t= sin x + cosx - lt|<2 Ta được phương trình đại số theo t

Phương trình đăng cấp theo sinx và cosx

* Phương trình đẳng cấp bậc hai :

Phương trình đăng cấp bậc hai có dạng

„v7

asin’ x + bsinxcosx +ccos’” x =d

Cách ¡ : Thay sin” x = sú —cos2x), cos’ x= 5 +cos2x),

c) Giải phương trình cuối cùng ;

d) So với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm.

H

Phương pháp dùng an phy : Khi sử dụng phương pháp dùng ân phụ, các

bước thực hiện như sau :

a) Dat t= u(x)

c)(2) ©teT

đ)(1) ©u(x)eT

Ta còn gặp một số phương trình lượng giác mà ta không thể biến đối vé dang

cơ bản Các phương trình này sẽ được xét trong Vẫn đề 5 dưới đây

Chẳng hạn, với phương trình sin ax + cosbx = 2, ta có cách giải như sâu :

Sin ax = Ì Sinax + cosbx = 2 <>

Ta có : sn(10,5+10x)= si I0 +2 +10x)

=sin[ 10x +5 ]=eosl0x

Do đó : (1} 2q —eos§x)~ 2 ( + cos12x) =cosl0x

o 2 (eosl2x + cos8x)+ cosl0x =0

<> cos10x cos2x +cosl0x =0

& cosl0x(cos2x+1)=0 é> cosl0x cos’ x =0

* Ta có : sin’ x +cos! x =1—2sin? xcos’ x

1 -_ sin? 2 2x =1 ~~ cos4x) = Leos 4x +2 4 4

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện ban đầu, nên được chấp nhận

Ví dụ 3 : Giái phương trình : 8cos` [x + =) = COS 3x (1)

(Trích dé thi Dai hoc Quéc gia Ha Noi, Khoi A, nam 1999)

Nướng dẫn giải

Dat t= xin x=t “3 = cos3x = cos(3t - 1) = —cos3t

Phuong trinh (1) tro thanh :

§cos” t + cos3t =0 8cos? t + (4cos? t— 3cos t) = 0

| (công thức nhân ba)

cos? 2x + 2(Sín x + cosx)” — 3sin 2x — 3= 0 : (1)

(Trích đà thi Đại học Quốc gia Tp HCM, Khối A, nim 1999)

Hướng dẫn giải

Cách Ì

Nhún xét :

i = cos* x —sin? x = (cos x — sin x )(cos x + sinx)

sin 2x +1=(sinx +cosx)”

Do dé: (1) (sin x+ eosx)” (cos x — sin x)” + 2(sinx + cos x)”

~3(sinx +cosx) =0

& (sin x + cosx)” [ (cosx — sin x)? +2(sinx +cosx)—3|=0

a) sinx + cosx = 0 > tanx = -1epx=—7 +kn, (k € Z)

b) (cos x —sin x)’ + 2(sinx +cosx}-3=0

©>] - 2sin xcos x + 2(sin x + eos x)— 3 =0

<> 1+sinxcosx —sin x — cosx = Ú © (I—sin x)(I~ cos x) ~ 0

a) L=Ô © Sinx + cosx =Ô G X= =7 + kn (ke Z)

b) t=l<©sinx+cOsx = Ì ¬- =5

ft ne X —— " +k2n e> cos x2] = cos & 2 (k € Z),

* Điều kiện : cosx # Ô © Xứ +kn (k € Z)

* (1) = cosx(3sinx + 2cosx)=3sinx + 3cosx—1

© cos x(3sin x + 2cosx -1) =3sinx + 2c0sx — Ì

© (cosx -1)(3sinx + 2cos x —l)= 0

a) cosx =1@x=k2n (k € Z)

Nhận xét :

x=mt+k2r (k e Z) không phải là nghiệm của phương trinh (2)

Dat t= tes Tu (2) suy ra:

a) tSsinx =Ics x =2 + k2m (ke 2)

x=ơ+k2r :

(k € Z) b) t=sinx=-Lo

4 x=7n-œ+k2mx

m mil J (ae|~5 ‘ z| va sina = —}

Ví dụ 7 : Giải phương trình

sin? x(tan x + 1) =3sin x (cos x —sin x) +3 (1)

(Trich dé thi Dai hoc Néng nghiép I, Khoi B, nam 1999)

Hướng dẫn giải

* Điều kiện : cosx #Ú © x Z2 +Ám (k € Z)

* Chia hai về của phương trình cho cos” x, ta được :

tan? x(tan x +l)= 3 tan x(1— tanx)+3ÍI+ tan? x}

Đặt f = tan x, ta được phương trình :

5+ cos2x = 2(2 - cos x)(sin x — cas x) (1)

(Trich dé thi Dai hoc Hang hai Tp HCM, nam 1999)

Hướng dẫn giải

( ©5+2cosˆ°x— = 2(2sin x — 2cosx ~ sin xcos x + cos” x)

© 4= 4(sin x - cos x)— 2sïn Xeos x

Đặt t=sinx —cosx — |tÍ< V2 và =1- 2sin xeosx

Từ (2) suy ra :

f[-t° -4t+4=00t +4t-S=00

t=-5 (loai) Voit = 1, ta duoc:

snx =eosx = 1e Ý2sin| x = 5 Ì=I

x= =+k2z

Csin|x— 7 Ì=sin" | 2 {k € Z)

4 4

x=mr+k2rm

36

Ví dụ 9 : Giải phương trình

sinx — 4sin’ x + cosx = 0 (1)

(Trích đề thi Đại học Y Hà Nội, năm 1999)

:Hướng dẫn giái

Có thể xem (l) là phương trình đăng cấp bậc ba

Nhận xét : cosx =0 không thoả mãn phương trình (Ì),

Chia hai về của phương trình (1) cho cos’ x, ta duge :

tanx (tan? x +1)—4 tan? x + tan? x + 1=0 Dat t = tanx, ta duoc phuong trinh:

2sin* x —cos 2x +cosx =0 (1)

(Trich dé thi Dai hoc Néng nghiép I, Khéi A, năm 1999) Hướng dẫn giải

(1) © 2sin’ x —(1-2sin? x) +cosx =0

2sin” x1 +sỉn x}— (I—~ eos x)= 0

© 2(~cosx)(I +eos x)(Œ + sin x}~ (T~ cosx) = 0

© (I— cosx)[2(I + eosx)(1 + sin x)— I]= 0

a) cosx=l<>x=k2m (ke Z)

b) 2(I+cos x)( + sin x)—I =0 © 2i + sin x + cos x + sin xcos x) — Ì = 0

c> l+ 2sin xeosx + 2(sỉn x + cos x)= 0 (*)

<> (sinx + cosx)’ +2(sinx +cos x) =0

& (sinx + cos x)Ísin x + cos x + 2) = 0

Giải phương trình : sỉn" x + cos x = 2ÍsinŸ x + eosŠ x)

"(Trích đề thì Đại học Quéc gia Hà Nội, năm 1999)

" 7

Giải phương trình : sin” x + cos° x = TP

(Trích để thì Đại học Huế, năm † 999)

Giải phương trình : sin” xeos3x + cos” xsin 3x = sin” 4x

(Trích dé thi Dai hoc Ngoat thuong, K héi A, nam I 999)

- ` > cos’ x—cos’ x-1

Cho phương trinh : cos 2x — tan’ x=——————>————

cos” x

a) Giat phurong trinh trén

b) Tinh tong tat ca các nghiệm của phương trình trên thoả man 0 < x < 99

(Trich dé thi Dai hoc Thai Nguyên, Khái A & B, năm 1999)

Giải phương trình : cos2x — X3 sìn 2x — V3 sin x — cosx + 4 = Ú

(Trích để thi Học viện Kĩ thuật quân sự, năm: 1998)

Giải phương trình ; 2+cosx = 2tan~

(Trích đề thi Học viện Ngân hàng, năm 1998)

Giải phương trình : tan § -") = tan x~ Ï

(Trích đề thi Học viện Công nghệ BCVT Tp.HCM, năm 1999)

4.8 Giải phương trình : cos”x+cos” x+2sinx—2=0

(Trích đề thì Học viện Ngân hàng, năm 1999)

2 COS” X

4.9 Giai phuong trinh : 3tan? x —tanx + 30 =sinx) 9 og? (z - B =0

(Trích đề thì Đại học Kiến trúc Hà Nội, năm 1999)

4.10 Giải phương trinh : cos” x + sin x— 3cosxsin” x = 0

(Trích để thì Đại học Huế, Khôi A & B, năm 1998)

_ §5, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHỨA ÀN Ở MẪU

I PHƯƠNG PHÁP

1 — Cách giải phương trình chứa ân ở mẫu gồm ba bước :

a) Đặt điều kiện xác định ;

b) Rút gọn phương trình đã cho rồi giải phương trình cuối cùng ;

e) Đối chiếu điều kiện xác định để chọn nghiệm

2 Đổi với phương trình lượng giác, việc chọn nghiệm (nhận nghiệm nảo, loại nghiệm nảo) đôi khi rât phức tạp Tuy theo từng bài toán, ta dùng phương

pháp đại sô hoặc phương pháp hình học

Gia su rang :

x AE in , ` m27 : ` : a, é

Điều kiện xác định là : xz#xạ +———, trong đó m 6 Z và p là một số

p

nguyên dương đã biết,

#* Phương trình có một họ nghiệm là : x =a , ken trong đó k e Z và n là

n một số nguyên dương xác định

Ngọn cung nảo thuộc L thì bị loại, trái lại thì được nhận

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 : Giải phương trình 1+cot2x =2 —Ê932X (1)

sin” 2x (Trích đề thi Đại học Sư phạm Vinh, năm 1998) Hướng dẫn giải

* Điều kiện xác định :

sin 2x #0 © 2x z mz (me Z2)

Tập các điểm bị loại gồm 4 điểm (Hình I)

* Khi do, taco:

(1) <> sin? 2x + cos 2x.sin 2x =1 —cos 2x Hinh 1

<> cos” 2x — cos 2x.sin 2x ~ cos 2x = 0 < cos2x (cos 2x — sin 2x — )=0