Không gian vector (bản thử nghiệm) – Thầy Đồ – Dạy toán – Học toán

4.Cơ sở và số chiều của không gian vector 4.1.Hệ sinh Định nghĩa: Cho là một không gian con của không gian có thể bằng Một hệ vector , , … , của không gian được gọi là một hệ sinh của [r]

Toán cao cấp

Không gian vector

(b ản thử nghiệm)

2011

Lê Cao Nguyên Sinh viên lớp A18 – CLC – TCNH – K50 Đại học Ngoại thương

LÊ CAO NGUYÊN

Sinh viên lớp A18 – CLC – TCNH – K50 Đại học Ngoại thương

TOÁN CAO CẤP

Không gian vector

(B ản thử nghiệm)

2011

L ời nói đầu

Ch ắc các bạn đều biết môn toán cao cấp là một trong những môn "càng học càng không hiểu" trong chương trình giáo dục đại học ở Việt Nam, bởi nhiều kiến thức trong môn này khá phức tạp, thậm chí còn trừu tượng khó hiểu Hơn nữa do không có một giáo trình toán cao cấp thống nhất, cho nên chuyện "thầy dạy sách này, trò học sách kia" là điều dễ xảy

ra, th ậm chí sách của thầy còn có những kiến thức mở rộng, "cao cấp" hơn sách của trò nên trò không hiểu là điều đương nhiên Ngoài ra các giáo trình toán cao cấp thường không có

ph ần tóm tắt kiến thức ở mỗi chương, nên học trò phải tự tóm tắt kiến thức, dẫn đến kiến

th ức có thể không đầy đủ và thiếu sự liên kết Đó là những vấn đề mà hầu như sinh viên nào cũng gặp phải Việc tìm ra một cuốn sách toán cao cấp mà có thể diễn giải một cách đầy đủ,

d ễ hiểu các kiến thức, có phần tóm tắt kiến thức để sinh viên nắm bắt dễ dàng là vô cùng khó khăn, dẫn đến sinh viên phải trao đổi kiến thức với nhau, thậm chí còn không biết trao đổi cái gì vì kiến thức nắm được khá rời rạc và không có hệ thống

B ản thân tôi đã từng trải qua những vấn đề ấy, nên tôi thấu hiểu được nỗi khổ của các

b ạn sinh viên, đặc biệt là các bạn sinh viên lớp A18 của tôi trong việc học môn toán cao cấp

Vì vậy tôi quyết định viết cuốn sách này để diễn giải một cách đầy đủ, dễ hiểu nhất có thể các

ki ến thức của chương "Không gian vector" trong toán cao cấp, một chương khá trừu tượng, khó hiểu mà các cuốn sách tôi đã đọc thường không diễn giải hết

Cu ốn sách này gồm có ba phần Phần đầu cuốn sách là phần "diễn giải kiến thức", trong đó tất cả các kiến thức, từ cơ bản đến phức tạp, của chương "Không gian vector" mà tôi nắm bắt được đều được tổng hợp ở đây Với những kiến thức cơ bản mà khá trừu tượng khó hiểu, tôi đều có một số ví dụ để minh họa Phần thứ hai của cuốn sách là phần "tóm tắt

ki ến thức", phần này là nơi tôi tổng hợp một cách có chọn lọc các kiến thức đã nói ở trên, có

đi kèm hướng dẫn cho các dạng bài tập cơ bản của chương Phần cuối cùng của cuốn sách là

m ột số bài tập cơ bản nhằm mục đích tham khảo Các bạn không chuyên toán cao cấp nên đọc phần "tóm tắt kiến thức" vì phần này viết khá ngắn gọn, giúp các bạn dễ dàng nắm vững

ki ến thức, phục vụ cho việc giải bài tập Còn bạn nào muốn hiểu sâu hơn thì có thể đọc phần

"di ễn giải kiến thức" ở trên, các định lí, tính chất, hệ quả đều đã được chứng minh hoặc có hướng dẫn chứng minh cho bạn

Cu ốn sách này do tôi thu nhặt kiến thức từ nhiều nguồn, mỗi nguồn có khối lượng

ki ến thức và cách diễn giải riêng của mình, cho nên có một số khái niệm tôi phải định nghĩa

l ại cho chuẩn xác, một số định lí thay vì thừa nhận tôi phải tự chứng minh để giúp các bạn

hi ểu sâu hơn Do vậy một số định nghĩa, chứng minh của tôi có thể gặp sai sót, dù đã cố gắng

ki ểm tra phân tích kĩ lưỡng Phong cách viết của tôi cũng không được tốt nên đôi lúc bạn đọc

s ẽ cảm thấy khó hiểu Tôi hi vọng sẽ nhận được nhiều đóng góp, phê bình từ các bạn để cuốn sách này hoàn thiện hơn

Lê Cao Nguyên

1

M ục lục phần "Diễn giải kiến thức"

1 Vector và không gian vector 5

1.1 Nh ắc lại kiến thức cũ 5

1 2 Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát 5

1.3 Các ví dụ về không gian vector 6

1.4 M ột số tính chất của không gian vector 7

1.5 Phép trừ 2 vector 8

1.6 Vector s ố học n chiều và không gian vector số học n chiều 9

1.6.1 Định nghĩa vector số học n chiều 9

1.6.2 Hai vector n chi ều bằng nhau 9

1.6.3 Định nghĩa không gian vector n chiều 9

2 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector 10

2.1 Nói về thuật ngữ tuyến tính 10

2.2 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector 11

2.3 Phép biểu diễn tuyến tính 13

2.4 Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính 14

2.4.1 Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính 14

2.4.2 Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính 14

2.4.3 Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại 18

3 Không gian vector con 19

3.1 Định nghĩa về không gian vector con 19

3.2 Các tính chất của không gian vector con 19

3.3 Ví dụ về không gian vector con 20

3.4 Không gian con sinh bởi hệ vector 20

4 Cơ sở và số chiều của không gian vector 21

4.1 H ệ sinh 21

4.2 H ệ sinh tối thiểu và các đặc điểm của nó 23

4.3 Cơ sở và số chiều của một không gian 26

4.4 T ọa độ của vector trong cơ sở 28

5 H ạng của một hệ hữu hạn vector 29

5.1 Cơ sở của một hệ vector 29

5.2 H ạng của một hệ vector 31

5.3 Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng 32

5.3.1 Phép biến đổi thêm bớt vector 32

5.3.2 Các phép biến đổi sơ cấp 32

2

Danh sách các định nghĩa, ví dụ, tính chất, định lí, hệ quả

Trong phần này, các định nghĩa, ví dụ, tính chất, định lí, hệ quả được đánh số như sau:

Định nghĩa 3.4: Định nghĩa số 4 trong mục 3

Ví dụ 4.3.1: Ví dụ số 1 trong mục 4.3

Tính chất 2.1: Tính chất số 1 trong mục 2

Định lí 4.2: Định lí số 2 trong mục 4

Hệ quả 2.6.1: Hệ quả số 1 được suy ra từ định lí 2.6

Định nghĩa 1.1 5

Ví dụ 1.3.1 6

Ví dụ 1.3.2 7

Ví dụ 1.3.3 7

Ví dụ 1.3.4 7

Tính chất 1.1 7

Tính chất 1.2 7

Tính chất 1.3 7

Tính chất 1.4 8

Tính chất 1.5 8

Tính chất 1.6 8

Định nghĩa 1.2 8

Định nghĩa 1.3 9

Định nghĩa 1.4 9

Định nghĩa 1.5 10

Định nghĩa 2.1 11

Định nghĩa 2.2 12

Tính chất 2.1 12

Tính chất 2.2 13

Định lí 2.1 13

Định nghĩa 2.3 13

Ví dụ 2.3.1 13

Ví dụ 2.3.2 13

Định lí 2.2 14

Định nghĩa 2.4 14

Định lí 2.3 14

H ệ quả 2.3.1 15

H ệ quả 2.3.2 15

Định lí 2.4 15

H ệ quả 2.4.1 15

3

H ệ quả 2.4.2 16

Định lí 2.5 16

H ệ quả 2.5.1 16

H ệ quả 2.5.2 16

Định lí 2.6 17

H ệ quả 2.6.1 17

Định lí 2.7 17

Định lí 2.8 17

Định lí 2.9 18

H ệ quả 2.9.1 18

H ệ quả 2.9.2 19

Định nghĩa 3.1 19

Tính chất 3.1 19

Tính chất 3.2 19

Tính chất 3.3 19

Ví dụ 3.3.1 20

Ví dụ 3.3.2 20

Ví dụ 3.3.3 20

Định lí 3.1 20

Định nghĩa 3.2 21

Định lí 3.2 21

Định nghĩa 4.1 21

Ví dụ 4.1.1 22

Ví dụ 4.1.2 22

Ví dụ 4.1.3 22

Định lí 4.1 22

Định lí 4.2 23

H ệ quả 4.2.1 24

Định lí 4.3 24

Định lí 4.4 24

H ệ quả 4.4.1 25

H ệ quả 4.4.2 25

Định nghĩa 4.2 26

Ví dụ 4.3.1 26

Ví dụ 4.3.2 26

Ví dụ 4.3.3 27

Định nghĩa 4.3 27

Ví dụ 4.3.4 27

Ví dụ 4.3.5 27

Ví dụ 4.3.6 27

Định lí 4.5 27

Định lí 4.6 27

H ệ quả 4.6.1 28

4

Định nghĩa 4.4 28

Định nghĩa 5.1 29

Định lí 5.1 29

Định lí 5.2 30

Ví dụ 5.1.1 30

Định nghĩa 5.2 31

Định lí 5.3 31

H ệ quả 5.3.1 31

H ệ quả 5.3.2 31

Định lí 5.4 31

Định lí 5.5 32

Định nghĩa 5.3 32

Định lí 5.6 32

mỗi vector là một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn) Trong các không gian này có các phép toán giữa các vector (tích vô hướng, tích có hướng, cộng 2 vector, …) và các phép toán giữa số và vector (nhân 1 số với 1 vector, …), nhưng có thể thấy hai phép toán mà các không gian đều có là phép cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector

Trong không gian 2 chiều có 2 vector đơn vị là (1, 0) và (0, 1), trong không gian 3 chiều có 3 vector đơn vị là (1, 0, 0), (0, 1, 0) và (0, 0, 1) Suy rộng ra, trong không gian n chiều có n vector đơn vị là (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) Bằng hai phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector, ta có thể biểu diễn được mọi vector trong không gian từ các vector đơn vị, trong khi đó các phép toán khác mà ta

đã biết như tích vô hướng, tích có hướng thì không thể làm được

Có thể thấy hai phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector là hai phép toán đặc trưng của mọi không gian n chiều Từ đó ta có thể mở rộng định nghĩa

“không gian” đối với mọi tập hợp đối tượng đại số mà trong nó tồn tại 2 phép toán tương tự như 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector ở trên

1.2 Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát

Định nghĩa 1.1

Cho tập (mỗi phần tử trong tập là một đối tượng đại số như số thực, số

phức, đa thức, bộ có thứ tự, ma trận, …) và trường ( hoặc ) với 2 phép toán sau:

+:

(x, y) x y :

(k, x) k x Phép toán thứ nhất ta tạm gọi là phép cộng 2 phần tử, phép toán thứ 2 ta tạm gọi là

phép nhân 1 số với 1 phần tử, sao cho 2 phép toán này thỏa mãn 8 tính chất sau (các tính chất này tương tự như những tính chất của phép cộng và phép nhân trong tập số

thực hoặc số phức):

Cần chú ý là một không gian vector ngoài tập và trường còn phải có 2 phép toán

cộng 2 vector và nhân 1 vô hướng với 1 vector thỏa mãn 8 tính chất ở trên

1.3 Các ví dụ về không gian vector

Ví dụ 1.3.1

{(x , x , x ) x } và

Ta định nghĩa 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 vô hướng với 1 vector như sau :

(x , x , x ), (y , y , y ), k (x y , x y , x y )

k (kx , kx , kx ) Khi đó cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector

Vector không : (0,0,0)

Vector đối của vector (x , x , x ) là ( x , x , x )

7

Ví dụ 1.3.2

( ) là tập các ma trận vuông cấp n (n là số nguyên dương cho trước) với các

phần tử trong ma trận là số phức và Ta xét phép cộng 2 vector là phép cộng 2

ma trận và phép nhân 1 vô hướng với 1 vector là phép nhân 1 số với 1 ma trận

Khi đó ( ) cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector

Ta định nghĩa phép cộng 2 vector như phép cộng 2 đa thức và phép nhân 1 vô hướng

với 1 vector như phép nhân 1 số với 1 đa thức Khi đó P cùng với 2 phép toán trên là

một -không gian vector, trong đó vector không là đa thức 0

1.4.M ột số tính chất của không gian vector

Cho là một -không gian vector:

9

Từ các tính chất 6 và 7, ta dễ dàng suy ra các tính chất tương tự đối với phép trừ 2 vector:

k( ) k k (k l) k l

1.6.Vector s ố học n chiều và không gian vector số học n chiều

1.6.1.Định nghĩa vector số học n chiều

Từ phần 1.1, ta có định nghĩa vector số học n chiều như sau:

Định nghĩa 1.3

Một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn) được gọi là một vector số học n chiều(gọi tắt

là vector n chiều)

Để phân biệt các vector, ta gán tên cho mỗi vector bằng các chữ cái in hoa Để gán tên cho vector (x1, x2, …, xn) là ta viết:

X = (x1, x2, …, xn)

Số thực xi(i 1, 2, …, n) đứng ở vị trí thứ i trong bộ n số thực ở vế phải gọi là thành

phần thứ icủa vector X Bộ n số thực xác định vector X ở trên có thể xếp thành 1 dòng

hoặc 1 cột:

(

xxx)

Cần chú ý rằng vector n chiều không chỉ đơn thuần là một bộ n số thực, mà là bộ n số

thực có thứ tự

1.6.2.Hai vector n chiều bằng nhau

Định nghĩa 2 vector n chiều bằng nhau cũng tương tự như định nghĩa 2 bộ n số thực

có thứ tự bằng nhau:

Định nghĩa 1.4

2 vector n chiều (x , x , … , x ) và (y , y , … , y ) được coi là bằng nhaukhi và

chỉ khi các thành phần ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau:

x y i 1, 2, … , nKhái niệm 2 vector bằng nhau chỉ áp dụng cho các vector có cùng số chiều n

1.6.3.Định nghĩa không gian vector n chiều

Từ phần 1.1 và định nghĩa không gian vector tổng quát, ta có định nghĩa không gian vector số học n chiều như sau:

10

Định nghĩa 1.5

Không gian vector số học n chiều (gọi tắt là không gian vector n chiều) là tập hợp tất

cả các vector n chiều, trong đó phép cộng 2 vector và phép nhân 1 vô hướng (1 số)

với 1 vector được xác định như sau:

(x , x , … , x ), (y , y , … , y ), k

 (x y , x y , … , x y )

 k (kx , kx , … , kx )

 Vector không là vector có tất cả các thành phần bằng 0 : (0,0, … ,0)

 Vector đối của vector (x , x , … , x ) là vector

( 1) ( x , x , … , x )

Dễ thấy 2 phép toán được định nghĩa ở trên thỏa mãn 8 tính chất của không gian vector, nên tập các vector n chiều và 2 phép toán ở trên là một không gian vector (cụ

thể là một -không gian vector)

Không gian vector n chiều được kí hiệu là (Lưu ý rằng cũng là tích Đề-các n lần

của tập số thực , hay cũng chính là tập các bộ n số thực có thứ tự)

Các vector (1,0, … ,0), (0,1, … ,0), … , (0,0, … ,1) được gọi là các vector đơn vịcủa không gian

Trong các phần tiếp theo, ta chỉ xét không gian vector n chiều và các không gian con

của nó Các khái niệm, định lí, tính chất, … được trình bày tiếp theo có thể được suy

rộng cho không gian vector tổng quát và các không gian con của không gian vector

tổng quát

2 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector

2.1 Nói về thuật ngữ tuyến tính

Trong tiếng Hán, từ "tuyến" có nghĩa là đường, tia Như vậy "tuyến tính" hiểu

một cách nôm na có nghĩa là "có tính chất của đường, tia" Do tính chất cơ bản của đường, tia là tính "thẳng", cho nên tuyến tính cũng có thể hiểu là "có tính chất thẳng"

Để hiểu về thuật ngữ tuyến tính, ta xét hai đối tượng "có tính chất thẳng" đã được học trong chương trình THPT là đường thẳng trong không gian 2 chiều và mặt

phẳng trong không gian 3 chiều Phương trình tổng quát của 2 đối tượng này như sau:

Đối tượng Phương trình tổng quát Phương trình sau khi tịnh tiến hệ

trục tọa độ để loại bỏ hệ số tự do Đường thẳng trong

không gian 2 chiều ax+by+c=0 ax+by=0

So sánh với phương trình của một số đường cong như phương trình của các đường cônic, phương trình hình cầu, phương trình đường cong bậc 3 và phương trình đường sin:

ax2 + bxy+cy2+dx+ey=0 ; ax2+by2+cz2+dx+ey+fz=0 ; y=ax3+bx2+cx  ax3+bx2+cx-y=0 ; y=sin(x)  sin(x)-y=0

ta thấy các phương trình đó đều không có dạng trên

Như vậy những đối tượng mà phương trình có dạng ∑ k x 0 đều có tính

chất thẳng, hay còn được gọi là những đối tượng tuyến tính Còn tổng ∑ k x được

gọi là một tổ hợp tuyến tính của tập ẩn số X

Định nghĩa 2.1

Cho m số (ẩn số) x , x , … , x ( hoặc ) Mỗi tổng ∑ k x (k

i 1,2, … , m) được gọi là một tổ hợp tuyến tínhcủa các số (ẩn số) x , x , … , x

2.2 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector

Trước khi đi vào khái niệm tổ hợp tuyến tính của hệ vector, ta cần xét khái niệm hệ vector

Định nghĩa 1

Một tập con khác rỗng gồm hữu hạn hoặc vô hạn các vector có cùng số chiều n (tức là

một tập con khác rỗng của không gian ) được gọi là một hệ vector n chiều (nếu không quan tâm đến số chiều thì có thể gọi tắt là hệ vectorhoặc hệ)

Như vậy khái niệm hệ vector n chiềukhông đòi hỏi các vector trong hệ đôi một khác nhau và không yêu cầu thứ tự của các vector trong hệ Tuy nhiên để đơn giản, ta chủ

yếu xét các hệ hữu hạn vector đôi một khác nhau và có quy định thứ tự của các vector trong hệ

Khi chỉ viết nội dung của một hệ vector mà không viết tên của hệ đó, ta có thể bỏ cặp ngoặc nhọn

Cho hệ m vector , , … , Mỗi tổng ∑ k (k i 1,2, … , m) được gọi là

một tổ hợp tuyến tínhcủa hệ vector , , … ,

Các số k (i 1,2, … , m) được gọi là các hệ sốcủa tổ hợp tuyến tính

Nhìn vào công thức của tổ hợp tuyến tính, ta thấy nó được xây dựng bởi 2 phép toán

cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector Như vậy có thể nói

Mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ , , … , là kết quả của các phép toán cộng 2 vector

và nhân 1 số với 1 vector trên các vector của hệ , , … , Và ngược lại, kết quả

của các phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector trên các vector của hệ

k k k Đặc biệt nếu vector X biểu diễn tuyến tính qua 1 vector ( k ) thì ta nói rằng vector X tỉ lệ với vector Y

Như vậy để kiểm tra xem vector có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , hay không, ta chỉ cần giải phương trình k k k (thông qua việc

giải hệ phương trình tuyến tính) Mỗi nghiệm (k , k , … , k ) của phương trình là một cách biểu diễn tuyến tính vector qua hệ , , … ,

Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng 0) được gọi là tổ hợp tuyến tính

tầm thường của hệ vector

 Dĩ nhiên, mỗi vector , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , :

1 0 0

 Tổng quát hơn, mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ p vector bất kì trong m vector , , … , (p m) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … ,

diễn tuyến tính qua hệ vector , , … ,

(Bạn đọc tự chứng minh thông qua 2 tính chất 2.1 và 2.2)

2.4 Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính

2.4.1.Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 2.4

Cho hệ m vector , , … , Ta nói hệ vector , , … , độc lập tuyến tính khi và

chỉ khi vector không chỉ biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường, tức là:

∑ k

k 0 i 1,2, … , m Ngược lại, nếu tồn tại tổ hợp tuyến tính không tầm thường của hệ vector , , … ,

bằng vector không, tức là:

(k , k , … , k ) (0,0, … ,0) ∑ k

thì ta nói hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính

Như vậy để kiểm tra xem một hệ vector , , … , là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính, ta chỉ cần giải phương trình k k k (thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất):

 Nếu phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (k , k , … , k ) (0,0, … ,0) thì hệ vector , , … , độc lập tuyến tính

 Nếu phương trình có vô số nghiệm thì hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính (do tồn tại nghiệm không tầm thường)

2.4.2.Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính

Định lí 2.3

Một hệ vector có từ 2 vector trở lên phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vector của hệ biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại

Chứng minh: ét hệ vector , , … ,

* Giả sử hệ vector phụ thuộc tuyến tính Dễ dàng thấy rằng trong hệ thức

k k k , vector nào có hệ số khác 0 thì vector đó biểu diễn

( 1)

Tổ hợp tuyến tính ở vế trái có hệ số 1 0, do đó hệ vector phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 2.3.1

Hệ 2 vector phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 2 vector đó tỉ lệ

Do vector không biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vector, nên ta có hệ quả sau:

Chứng minh: Giả sử hệ vector , , … , có một hệ con phụ thuộc tuyến tính, chẳng

hạn như hệ p vector đầu , , … , (p m) Khi đó tồn tại bộ số thực (k , k , … , k ) trong đó có ít nhất 1 số khác 0, sao cho:

Từ đó suy ra:

k k k 0 0 0 Đẳng thức trên chứng tỏ hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả 2.4.1

Nếu một hệ vector độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính

Chứng minh: Theo giả thiết, mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ),

tức là:

…

ét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn số k , k , … , k :

17

Nếu cả hai hệ vector (H ) và (H ) độc lập tuyến tính, đồng thời mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) và ngược lại, mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ), thì hai hệ vector đó có số vector bằng nhau, tức là m p Theo hệ quả 2.5.1, ta có m p và p m, do đó m p

Định lí 2.6

Mọi hệ vector n chiều với số vector lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh: Trước hết ta thấy rằng trong không gian , mọi vector (x , x , … , x ) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector đơn vị , , … , :

x x xNhư vậy mọi vector của hệ vector n chiều , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua

hệ vector đơn vị , , … , Theo định lí 2.5, nếu m > n thì hệ vector , , … ,

Định lí 2.8

Giả sử hệ vector , , … , độc lập tuyến tính Khi đó hệ vector , , … , , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vector U biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , (cách biểu diễn đó là duy nhất theo như định lí 2.7)

Chứng minh:

( ): Suy ra từ định lí 2.3

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2.4.3.Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại

Định lí 2.9

Cho H là một hệ vector n chiều (H có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các vector) Hệ con độc lập tuyến tính H' của hệ H được gọi là tối đại (số vector là lớn nhất) khi và chỉ khi

nếu thêm bất kì vector nào của hệ H vào hệ H' thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính

Hiển nhiên nếu thêm một vector bất kì của H' vào H' thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính, cho nên ta chỉ xét trường hợp thêm một vector không có trong H' vào hệ H' Mà khi

đó hệ H'' gồm vector và các vector của hệ H' là một hệ con của hệ H, cho nên định lí

có thể được viết lại như sau:

Cho H là một hệ vector n chiều (H có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các vector) Hệ con độc lập tuyến tính H' của hệ H được gọi là tối đại khi và chỉ khi mọi hệ con của H mà

thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh: ét hệ H' là một hệ con độc lập tuyến tính của hệ H

( ): Hiển nhiên nếu tồn tại hệ con độc lập tuyến tính H'' của H mà thực sự chứa H' thì hệ H' không thể tối đại Cho nên nếu hệ H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

hệ H thì mọi hệ con H'' của H mà thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính

( ): Giả sử mọi hệ con H'' của H mà thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính ét các hệ con H'' gồm các vector của hệ H' và một vector không có trong hệ H' Theo định lí 2.8, ta suy ra mọi vector không có trong hệ H' đều biểu diễn tuyến tính qua

hệ H', do đó mọi vector của hệ H đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H' Theo hệ quả 2.5.1, mọi hệ con độc lập tuyến tính của hệ H đều phải có số vector nhỏ hơn hoặc

bằng số vector của H' Do đó H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H

Hệ quả 2.9.1

Nếu H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H thì mọi vector của hệ H đều biểu

diễn tuyến tính qua hệ H' (cách biểu diễn đó là duy nhất theo như định lí 2.7)

19

Hệ quả 2.9.2

Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H đều có số vector bằng nhau

Giả sử S và S' là hai hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H Theo hệ quả 2.9.1, ta suy ra mọi vector của hệ S đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S' và ngược lại, cho nên hệ

S và S' có số vector bằng nhau (theo hệ quả 2.5.2)

3 Không gian vector con

3.1 Định nghĩa về không gian vector con

ét một tập hợp vector n chiều L Các phép toán đặc trưng của không gian vector n chiều (phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector) áp dụng cho các vector của tập hợp L sẽ trở thành các phép toán của bản thân nó nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1 L kín đối với phép cộng 2 vector, tức là , L L

2 L kín đối với phép nhân 1 số với 1 vector, tức là L, k k L

Trong trường hợp này, ta có thể xem L như một không gian có cấu trúc phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector

3.2 Các tính chất của không gian vector con

Tính chất 3.1

Mọi không gian con L đều chứa vector không

Thật vậy, lấy 1 vector L ta có 0 L

Trong không gian ta xét tập hợp :

L { (x , x , x ) ax bx cx 0} với a, b, c là 3 số thực cho trước

* Với (x , x , x ) và (y , y , y ) là hai vector bất kì thuộc tập hợp L ta có:

Như vậy tập L kín đối với phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector, do

đó L là một không gian con của không gian

Giao của các không gian con của là một không gian con của

Chứng minh: Giả sử ( ) (I là tập chỉ số) là một họ các không gian con của

, ⋂

, i I i I ⋂

⋂

i I k i I k ⋂

21

Như vậy ⋂ kín đối với phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector, do đó

⋂ là một không gian con của

Từ định lí 1 suy ra rằng với mọi tập con S của luôn tồn tại không gian con bé

nhất của chứa S chính là giao của tất cả các không gian con của chứa S

Định nghĩa 3.2

Không gian bé nhất của chứa S là giao của tất cả các không gian con của

chứa S, kí hiệu span(S)

Nếu S (S là một hệ vector n chiều) thì không gian còn được gọi là không gian

bé nhất của sinh bởi hệ S, và S là hệ sinhcủa không gian

Do span(S) là giao của tất cả các không gian con của chứa S, cho nên nếu S là một không gian con của thì span(S) S

Dễ dàng thấy rằng nếu S thì span(S) { } (do { } là không gian bé nhất của

và { } ) Vậy nếu S thì span(S) gồm những vector nào? Định lí sau sẽ trả lời cho câu hỏi đó:

Định lí 3.2

span(S) bằng tập các tổ hợp tuyến tính của hệ S

Chứng minh: Gọi ' là tập các tổ hợp tuyến tính của hệ S {x , x , … , x } Để chứng minh ' là không gian con bé nhất của chứa S, ta cần chứng minh 3 ý sau:

(i) W' chứa S: Với mọi x S (i 1,2, … , m), ta có x 1 x , vậy S

(ii) ' là không gian con của : Điều này đúng theo định lí 2.1

(iii) W' nhỏ nhất chứa S: Giả sử '' là không gian con bất kì của chứa S

Rõ ràng mọi vector trong hệ sinh , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua hệ sinh

đó Như vậy, khi xét một hệ vector , , … , có phải là hệ sinh hay không, ta chỉ

cần kiểm tra xem các vector không có trong hệ có biểu diễn tuyến tính qua hệ hay không

Không gian L { } chỉ có một hệ sinh duy nhất là S { } Và chỉ có không gian

L { } mới có hệ sinh S { } (do chỉ có vector không là tổ hợp tuyến tính của vector không) Tức là L { } S { }

Ví dụ 4.1.3

(1, 1,2), (2,3,5), (1, 6,1)

Hệ , là hệ sinh của không gian span(S) với S { , , }

Chứng minh: span(S) là tập các tổ hợp tuyến tính của X1, X2, X3 nên mọi vector trong đều biểu diễn tuyến tính qua hệ X1, X2, X3 (hay hệ vector X1, X2, X3 là hệ sinh

của W)

Lại có 3 nên các vector của hệ X1, X2, X3 đều biểu diễn tuyến tính qua hệ

X1, X2 Từ đó suy ra các vector của W đều biểu diễn tuyến tính qua hệ X1, X2, hay hệ vector X1, X2là hệ sinh của W

Qua ví dụ trên, ta thấy hệ vector X1, X2, X3và hệ vector X1, X2đều là hệ sinh của không gian W = span(S)

Định lí 4.1

Nếu hệ vector , , … , là một hệ sinh của không gian L thì mọi hệ vector của L

chứa hệ , , … , đều là hệ sinh của không gian L

23

Chứng minh: Gọi hệ vector chứa hệ sinh , , … , là hệ , , … , , , , … ,

Do mọi vector trong không gian L đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , :

k k knên chúng cũng có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , , , , … , :

k k k 0 0 0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trong các phần tiếp theo, ta chỉ xét các không gian vector hữu hạn sinh và các hệ sinh

hữu hạn của nó

4.2.H ệ sinh tối thiểu và các đặc điểm của nó

Ta thấy không gian L { } có duy nhất một hệ sinh là S { }, hệ sinh này vừa là hệ sinh tối thiểu vừa là hệ sinh tối đại của không gian L Vậy trong các không gian

L { } thì các hệ sinh tối thiểu và không tối thiểu của nó có đặc điểm gì?

Trước khi xem xét hệ sinh tối thiểu, ta sẽ chứng minh một số đặc điểm của hệ sinh không tối thiểu:

Định lí 4.2

Hệ sinh S là một hệ sinh không tối thiểu của không gian L { } khi và chỉ khi hệ sinh

S là hệ vector phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh:

( ): Giả sử hệ sinh S { , , … , } không phải là hệ sinh tối thiểu, tức là tồn tại ít

nhất một hệ sinh S { , , … , } có p < m Do các vector của hệ S đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S' nên theo định lí 2.5 ta có hệ sinh S phụ thuộc tuyến tính

( ): Giả sử S { , , … , } là một hệ sinh phụ thuộc tuyến tính của không gian L

Do L { } S { }, ta suy ra L { } S { }, mà S phụ thuộc tuyến tính cho nên S phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ S phải có ít nhất một vector biểu

diễn tuyến tính qua các vector còn lại Giả sử đó là vector , suy ra mọi vector trong

hệ S đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ S { , … , }

Do mọi vector trong không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S, nên chúng đều

biểu diễn tuyến tính qua hệ S', hay hệ S' là một hệ sinh của không gian L Từ đó suy ra

hệ S không phải là hệ sinh tối thiểu của không gian L

Hệ sinh , , … , là hệ sinh tối thiểu (số vector ít nhất) của không gian L khi và

chỉ khi mọi hệ con thực sự của , , … , đều không phải là hệ sinh

Chứng minh:

( ): Điều này hiển nhiên đúng bởi vì một hệ sinh mà tồn tại ít nhất một hệ con thực

sự của nó là hệ sinh thì nó không phải là một hệ sinh tối thiểu

( ): Theo hệ quả 4.2.1, ta suy ra điều phải chứng minh

Để xác định hệ sinh tối thiểu của một không gian vector theo định lí 4.3 là rất khó Định lí dưới đây sẽ mô tả các đặc điểm của hệ sinh tối thiểu, qua đó cho chúng ta phương pháp tìm hệ sinh tối thiểu của một không gian vector

Định lí 4.4

Giả sử S là một hệ sinh của không gian L { } Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) S là một hệ sinh tối thiểu của L

(ii) S là một hệ sinh độc lập tuyến tính của L

(iii) S là một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L

(iv) S là một hệ sinh mà mọi vector của L biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy

nhất

Chứng minh:

ét S { , , … , } là một hệ sinh của không gian L { }

( ) ( ): Theo định lí 4.2, ta có điều phải chứng minh

( ) ( ): ét mọi hệ vector độc lập tuyến tính của không gian L Do mọi vector

của đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ sinh S, nên theo hệ quả 2.5.1, ta có số vector của W phải nhỏ hơn hoặc bằng số vector của S Do đó S là một hệ vector độc

lập tuyến tính tối đại của L

25

( ) ( ): S { , , … , } là hệ vector độc lập tuyến tính tối đại nên theo hệ

quả 2.9.1, mọi vector của không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S theo cách duy nhất Từ đó suy ra điều phải chứng minh

( ) ( ): Ta chứng minh thông qua bổ đề sau: "Với mọi hệ sinh S phụ thuộc tuyến tính của không gian L { }, tồn tại ít nhất một vector L biểu diễn tuyến tính qua

hệ S theo nhiều hơn 1 cách"

Giả sử S { , , … , } là một hệ sinh phụ thuộc tuyến tính của không gian L { }, suy ra S phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ S phải có ít nhất một vector

biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại Giả sử đó là vector , tức là:

k k kKhi đó vector có ít nhất 2 cách biểu diễn tuyến tính qua hệ S:

0 k k k

1 0 0 0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 4.4.1

Mọi hệ sinh tối thiểu đều có số vector bằng nhau

ét S và S' là 2 hệ sinh tối thiểu bất kì của không gian L { } Theo định lí 4.4, S và S'

là 2 hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của không gian L, do đó hai hệ S và S' phải có

số vector bằng nhau (theo hệ quả 2.9.2)

bằng n

Theo định lí 4.4, nếu S là một hệ sinh tối thiểu của không gian L thì mọi vector của L

biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy nhất Tính "sinh" và tính "duy nhất" này là

những đặc điểm của một cơ sở của không gian L

26

4.3 Cơ sở và số chiều của một không gian

Định nghĩa 4.2

Cho L là một không gian con của (L có thể bằng )

Một hệ vector C {P , P , … , P } của không gian L được gọi là một cơ sở của nó nếu

mọi vector của L đều biểu diễn tuyến tính qua C theo cách duy nhất

Theo định nghĩa, ta suy ra không gian L { } không có cơ sở

Như vậy, để kiểm tra xem một hệ vector C {P , P , … , P } có là cơ sở của không gian

L { } hay không, ta chỉ cần kiểm tra xem hệ C có thỏa mãn ít nhất 1 trong 4 đặc điểm dưới đây hay không:

(i) C là một hệ sinh tối thiểu của L

(ii) C là một hệ sinh độc lập tuyến tính của L

(iii) C là một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L

(iv) C là một hệ sinh mà mọi vector của L biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy

nhất

Trong đó đặc điểm dễ chứng minh nhất là (ii), tức là chứng minh C là một hệ sinh độc

lập tuyến tính của không gian L

Dễ thấy 2 cơ sở của cùng một không gian có số vector bằng nhau (suy ra từ hệ quả 4.4.1)

Ví dụ 4.3.1

Hệ vector đơn vị , , … , là một cơ sở của không gian (do hệ vector đơn vị là

một hệ sinh độc lập tuyến tính của ) Ta gọi hệ vector này là cơ sở đơn vị của không gian

Ví dụ 4.3.2

L { (0, x, y)} là một không gian con của (bạn đọc tự chứng minh) Hệ 2 vector P (0,1,0), P (0,2, 1) là một cơ sở của không gian L

Chứng minh: Rõ ràng 2 vector P (0,1,0), P (0,2, 1) đều thuộc không gian L

 Hệ vector P , P độc lập tuyến tính do 2 vector không tỉ lệ

 Ta chứng minh hệ vector P , P là hệ sinh của không gian L

Với một vector (0, x, y) bất kì của L, ta xét phương trình:

k P k P {0k k 2k 0k 0 x

k y

27

Hệ phương trình luôn có nghiệm (k , k ) (x 2y, y), do đó mọi vector của không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector P , P , hay hệ vector P , P là một hệ sinh

của không gian L

Do hệ vector P , P là hệ sinh độc lập tuyến tính của không gian L nên hệ cũng là một

cơ sở của không gian L

Ví dụ 4.3.3

(1, 1,2), (2,3,5), (1, 6,1) Theo ví dụ 4.1.3, hệ , là hệ sinh của không gian span(S) với S { , , } Hệ , độc lập tuyến tính (do 2 vector , không tỉ lệ), cho nên hệ , là một cơ sở của không gian span(S)

Ta có định nghĩa số chiều của một không gian như sau:

L { (0, x, y)} là một không gian con của

Hệ 2 vector P (0,1,0), P (0,2, 1) là một cơ sở của L, cho nên L 2

Ví dụ 4.3.6

(1, 1,2), (2,3,5), (1, 6,1) Hệ , là một cơ sở của không gian span(S), cho nên 2

Định lí 4.5

Mọi không gian con của không gian đều có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n

Chứng minh: Dễ thấy không gian L { } có L 0 < n

Với L { }, theo định lí 2.6 ta suy ra mọi hệ vector độc lập tuyến tính của không gian

L có số vector nhỏ hơn hoặc bằng n Do đó mọi cơ sở của không gian L đều có số vector nhỏ hơn hoặc bằng n, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Định lí 4.6

Giả sử L r và H { , , … , } là một hệ m vector của L Khi đó: