Sáng kiến kinh nghiệm cấp cơ sở: Vận dụng đồ thị hàm ẩn

Chuyên đề về hàm số là chương quan trọng nhất và chiếm tỷ lệ điểm số cao nhất trong đề thi THPT Quốc Gia môn Toán ,nó có nội dung rất phong phú như tính đơn điệu, cực trị, min- max, đ[r]

Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN

Môn/nhóm môn : TOÁN

Mã môn : 03.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

x

Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THỊ THANH HẢI

Môn/nhóm môn : TOÁN

Mã môn : 03.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

x

MỤC LỤC

PHẦN I MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu: 7

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 7

4 Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: 7

5 Các phương pháp nghiên cứu: 7

6.Cấu trúc của SKKN: 7

PHẦN II : NỘI DUNG 8

A Cơ sở lý luận: 8

B Thực trạng vấn đề: 8

C Giải pháp: 8

D Nội dung: 8

1 Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d ( a ,  0) 8

1.1 Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị 9

1.2 Bài tập vận dụng : 10

2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: 4 2   0 yax bx c, a 18

2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị 18

2.2.Bài tập vận dụng : 19

3 Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất: y ax b cx d    23

3.1 Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhấty ax b cx d    dựa vào đồ thị 23

3.2.Bài tập vận dụng: 23

4 Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số y= f x( ), y= f x'( ), y= f ''( )x , 28

4.1.Lý thuyết cơ sở: 28

4.2 Bài tập vận dụng : 28

5 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên 40

5.1 Lý thuyết cơ sở: 40

5.2 Bài tập vận dụng: 40

6 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên 50

6.2 Bài tập vận dụng: 50

7 Phép biến đổi đồ thị: 56

7.1 Lý thuyết cơ sở: 56

7.2 Bài tập vận dụng: 57

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) từ năm học 2016-2017 cho đến nay Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi

đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc dạy và học

 Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận

 Xuất hiện một số dạng toán mới mẻ thuộc cấp độ vận dụng cao ngày càng gia tăng về số lượng

 

 

 

C 31; 5

đồ thị của hàm số y f x  và yg x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt

là -2;-1;1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng:

 

 

C 16; 5

nghiệm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT tôi lựa chọn đề tài:

o vấn đề biến đổi đồ thị: tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối

o ứng dụng vào phương trình, bất phương trình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này

4 Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12

- Học sinh các đội tuyển lớp 12

- Chương trình môn Toán 12 cơ bản và nâng cao

5 Các phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo chuyên môn

+ Trong mỗi dạng toán đó đều có các ví dụ tiêu biểu được tác giả phân tích

và trình bày có thể bằng nhiều cách khác nhau Cũng có thể xây dựng thêm bài toán tổng quát

+Sau cùng là một số bài toán giúp người học tự luyện tập

PHẦN II : NỘI DUNG

A Cơ sở lý luận:

Chuyên đề về hàm số là chương quan trọng nhất và chiếm tỷ lệ điểm số cao nhất trong đề thi THPT Quốc Gia môn Toán ,nó có nội dung rất phong phú như tính đơn điệu, cực trị, min- max, đồ thị, tiệm cận, sự tương giao, tiếp tuyến, sự biến đổi đồ thị,… và những bài toán ứng dụng trong thực tiễn và đời sống

B Thực trạng vấn đề:

Trong quá trình dạy học phần kiến thức này những bài toán thuộc cấp độ vân dụng cao khiến học sinh còn mơ hồ khó hiểu vì cảm giác nó trừu tượng, giáo viên thì đôi khi lúng túng khi dạy học hay trình bày cũng như việc hướng dẫn học sinh vận dụng giải toán dạng này

+ Hơn nữa mỗi ví dụ tác giả còn trình bày cách giải : tự luận hoặc trắc nghiệm giúp người học có thể tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ

đó tăng khả năng tư duy, kích thích sự sáng tạo của người học

+ Hầu hết các ví dụ được lựa chọn có tính thiết thực gắn với chương trình học và năm trong các đề thi THPTGQ

1.1 Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị

 Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi lên là a>0,

Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi xuống là a<0

 Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là d

Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì d 0

Nếu giao điểm này nằm dưới Ox thì d 0

 Đồ thị có 2 cực trị nằm về hai phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị trái dấu nhau ac  0 a,c trái dấu nhau

Đồ thị có 2 cực trị nằm về cùng 1 phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị cùng dấu nhau thì ac  0 a,ccùng dấu nhau

 Đối với dạng có 2 điểm cực trị thì điểm uốn luôn là trung điểm của đoạn thẳng nối hai cực trị Hoành độ điểm uốn là

3

b x a



 Nếu điểm uốn nằm phía bên phải Oy  0

3

b

a,b a

   trái dấu nhau

Nếu điểm uốn nằm phía bên trái Oy  0

3

b

a,b a

   cùng dấu nhau

 Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:    b 2  3ac 0 

 Hàm số không có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:    b 2  3ac 0 

 Đồ thị đi qua điểm M x ; y 0 0 thì ta có phương trình

0 0

a

d c

Đồ thị có nhánh cuối đi xuống nên a 0

Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên b 0

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a 0

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0

Bài 3: Cho hàm số y ax 3 bx2  cx d a  0 có đồ thị như hình vẽ bên Dấu của

0 0

a

d c

Ta thấy nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị hướng xuốn dưới nên a0

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0

Bài 5: Cho hàm số 3 2

yax bx  cx d có đồ thị là đường cong trong hình dưới

a

a b

b a

+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d 0

+ Hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương nên PT

      

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ( )C ở phía dưới trục hoành

Khi đó, đồ thị ( )C¢ là hợp của hai phần trên

Ta có: f x( )= m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C¢ và đường thẳng ( )d :y= m (song song hoặc trùng với trục hoành)

Dựa vào đồ thị ( )C¢, ta có phương trình f x( )= m có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 1

5

m m

Hàm số y x3 ax2  bx c xác định và liên tục trên Giao điểm của đồ thị hàm

số y x3 ax2  bx c và trục Ox là nghiệm của phương trình 3 2

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực

2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị

 Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0

 Hướng đồ thị có bề lõm quay xuống là a<0

 Hàm số 3 cực trị khi a.b 0 a,b trái dấu nhau

 Hàm số 1 cực trị khi a.b 0 a,b cùng dấu nhau

 Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c Đồ thị đi qua điểm M x ; y 0 0 thì ta

2

c b

x a

c b

x a

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c 0

Bài 15: Dấu của a và b như thế nào để hàm số  4  2    

0

y ax bx c a có đồ thị dạng như hình bên dưới?

x y

2ax b có hai nghiệm phân biệt khác 0; điều này xảy ra khi b 0.

Bài 15: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình bên dưới Số nghiệm của phương trình 2f x   3 0 là bao nhiêu?

   cùng dấu nhau Nếu đường thẳng này nằm bên phải trục Oy thì d 0 d ,c

c

   trái dấu nhau

 Đưởng thẳng song song với Ox là đường tiệm cận ngang y a

c

 Nếu đường thẳng này nằm trên trục Ox thì a 0 a,c

c   cùng dấu nhau Nếu đường thẳng này nằm dưới trục Ox thì a 0 a,c

c   trái dấu nhau

 Hàm số 1 cực trị khi a.b 0

 Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0,

 Hướng đồ thị có bề lõm quay xuống là a<0

 Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c

 (a0 và a, b, c ) có đồ thị như hình bên Dấu

của a,b và hiệu c ab như thế nào?

O y

cx d có dạng như hình bên dưới Tích bc mang dấu

cx d Tích số a.b mang dấu

gì?

Hướng dẫn giải:

TCN: y a  3, 1 

TCĐ: x     b 1 b 1, 2 

Bài 24: Cho hàm số y f x  liên tục trên \ 1  và có bảng biến thiên như sau:





 có đồ thị như hình vẽ Tính T a b

Dựa vào đồ thị hàm số  hàm số nghịch biến trên tập xác định    2a b 0  *

Đồ thị có hai đường tiệm cận: x 2 và y 1

b b

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f x y

y f x y

g    nên g t  0có 3 nghiệm dương phân biệt

Do đó f x  0có 6 nghiệm phân biệt

Bài 28: Cho hàm số y f x  liên tục trên R. Biết đồ thị của hàm số y f ' x

trên R. như hình vẽ bên Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào?

2

V ũ

V ă n

B ắ c

x x

x x x x

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1

Bài 32: Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f 6sinx 8cosx f m m   1  có nghiệm ?

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy hàm số y f x  là hàm số đồng biến trên

6sin 8cos    1  6sin 8cos  1

Bài 33: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên và f x'( )    0 x (0;  ) Biết

Bài 34: Cho hàm số y f x  Biết f x  có đạo hàm là f x và hàm số y f x

có đồ thị như hình vẽ bên Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số y f x  chỉ có hai điểm cực trị

B Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng 1;3

C Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng  ; 2

D Đồ thị của hàm số y f x  chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Vì y  0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số y f x  có ba điểm cực trị

Do đó loại hai phương án A và D

Vì trên  ; 2 thì f x có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án C

Vì trên  1;3 thì f x chỉ mang dấu dương nên y f x  đồng biến trên khoảng

 1;3

Bài 35: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị

A Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  1; 2

B Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng  0; 2

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;1

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng  1;1

y

Ta lập được bảng biến thiên như sau

∞

0

+ +

2

y y'

x

0

∞ +

∞ +

Vậy hàm số f x  đồng biến trên khoảng  1 2;

Bài 38: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm 2

0

x y' y

1 +

+

Vậy hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (1;  ).

Bài 39: Cho hàm số y f x( ) xác định và đồng biến trên R Hỏi hàm số nào

Bài 40: Cho hàm số y f x( )xác định và đồng biến trên R Hỏi hàm số nào được

liệt kê dưới đây nghịch biến trên R?

Bài 41: Cho hàm số y f x( )đồng biến trên khoảng 3;7 ; nghịch biến trên

khoảng  1;2  Hỏi với x x1, 2 nhận giá trị nào được liệt kê dưới đây để

Bài 42: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên R Biết rằng đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Quan sát hình vẽ ta thầy phần đồ thị hàm số y f ' x nằm dưới phần đồ thị hàm

số yg x'  khi x 0;4

Vậy hàm số h x  f x   g x đồng biến trên  0; 4

Bài 44: Cho hàm số y f x  xác định trong khoảng  a b; và có đồ thị như hình

bên dưới Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là sai?

A Hàm số f x  là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng  1; 2

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  0;3

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;3

D Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  0;1

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+) f x    0, x  1;2  f x  là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng  1; 2 +) f x    0, x  2;3  f x  đồng biến trên khoảng  2;3

+) f x    0, x  0;1  f x  đồng biến trên khoảng  0;1

+) f x    0, x  0;3 và f x    0, x  1;2 mà đoạn  1;2 có vô hạn điểm nên

không suy ra được f x  đồng biến trên khoảng  0;3  sai

(Định lí mở rộng trong sách giáo khoa là nếu f x  0 với x a b; và f x  0

chỉ tại hữu hạn điểm trên  a b; thì f x  đồng biến trên  a b; )

Bài 47 : Cho hàm số f x  có đạo hàm trên và f x    0, x 0 Biết f 1  2, hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

5 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên

Bài 48: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới Quan sát đồ thị và hãy chọn

khẳng định sai trong các khẳng định được cho dưới đây

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y 1.

B Hàm số đạt cực tiểu tại x  1.

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 và đồng biến trên khoảng 0; .

D Phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi    1 m 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Vì Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x 0

Bài 49: Cho hàm số f x  có đạo hàm     4  5 3

f x  x x m x Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  5;5 để số điểm cực trị của hàm

số  

Khi m  1 và m  3 thì hàm số f x  có hai điểm cực trị là xm và x   3 0

Để hàm số f x  có 3 điểm cực trị thì hàm số f x  phải có hai điểm cực trị trái dấu  m 0

Vì mZ và m  5;5 nên m nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5

Bài 50: Hàm số y f x  có đồ thị y f x như hình vẽ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại x0

Bảng biến thiên của hàm số y f x 

Dựa vào bảng trên số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1

Bài 51: Cho hàm số f có đạo hàm là 5( ) (2 )3

f x¢ = x x- x+ Hàm số f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn giải:

0

x

é = ê

Mà f ' x  không đổi dấu khi qua nghiệm kép, nên hàm số f x( ) có 2 điểm cực trị

Bài 52: Cho hàm số f x  có đạo hàm

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có hai điểm cực trị

Bài 54: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f  x  x 1 x2  2x4  4 Số điểm cực trị của hàm số y f x  là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 1

Bài 55: Cho hàm số f x  có đạo hàm là     2 4

f x x x x  x Số điểm cực tiểu của hàm số f x  là bao nhiêu?

Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1

Bài 57: Cho hàm số f x  có đạo hàm    2  2 3

f x  x  x x ,  x Số điểm cực trị của hàm số là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có f x có 4 nghiệm phân biệt là  4 2; 0;  2

Tuy nhiên f x chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm  4 2 và  2 nên hàm số f x 

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y= f '( )x cắt trục Ox tại mấy điểm

mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị y= f '( )x tiếp xúc với trục Ox Ta chọn đáp án B

Bài 59: Hàm số ( ) có đạo hàm f x' ( ) trên khoảng K Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x' ( ) trên khoảng K Hỏi hàm số ( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

x y

1

Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại điểm x = - 1 nên chọn đáp án B

Bài 60: Hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K, biết đồ thị của hàm số

g x = f x+ vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm

Bài 61: Cho hàm số f x  có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi

đó trên K, hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?