Kỹ thuật xử lý số liệu trong ngành dệt bài giảng điện tử

Những điều này nằm trong những kiến thức cơ bản của môn thống kê toá n.Vì việc xử lý các kết quả đo đòi hỏi các phép tính về số gần đúng của đại lượng đo nên không thể áp dụng phép tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN VĂN LÂN

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Có thể coi Xử lý thống kê sốliệu thực nghiệm như là phần tiếp nối môn Xác suất thống kê trong phần kiến thức khoa học cơ bản và rất cần thiết cho kỹsư công tác trong các lĩnh vực kỹthuật sản xuất, lĩnh vực kiểm tra chất lượng và lĩnh vực nghiên cứu thực nghiệm Những kết quả đo lường thửnghiệm kể cả những kết quả đánh giá bằng cảm quan cũng được tính toán xử lý một cách khoa học và tin cậy trên cơ sở áp dụng những thành tựu nghiên cứu của môn xác suất thống kê Ngày nay, sựphát triển của bất kỳmột ngành nào cũng đều có liên quan với sựphát triển của kỹthuật đo lường và điều chỉnh các thông số của quá trình Hầu hết các dụng cụ đo lường và điều khiển tự động được sử dụng trong phòng thí nghiệm cũng như trong dây chuyền thiết bị của các ngành công nghiệp Khi sửdụng các dụng cụđo lường, điều vô cùng quan trọng là phải bảo đảm độ tin cậy của các kết quảđo và phải chú ý đến những sai số xuất hi ện trong khi đo Vì vậy, cần phải bi ết qua đ o lườn g h ọc - môn học vềcác vật đọ, các dụng cụ đo và phương pháp

đo Ngoài ra, tất cảcác phép đo chỉcó thểtiến hành với một độ chính xác hạn chế Nói cách khác, kết quảcủa một phép đo bất kỳ không cho ta giá trịthực của đại lượng đo mà chỉcho một giá trị gần đúng, tức

là xấp xỉ trên dưới giá trịđúng (giá trịthực) Sở dĩ có điều đó là bởi nhiều nguyên nhân về dụng cụ đo, về phương pháp đo, về người thao tác đo, về môi trường đo, v.v Khi đo để đánh giá môt tính chất nào đó của đối tượng, thường chỉ tiến hành trên một bộphận (mẫu) chứ không trên toàn thể (lô sản phẩm) nên tính đại diện nhiều hay ít của mẫu cũng gây nên sai số Như vậy cần phải biết nguyên tắc c h ọn m ẫu sao cho đại diện và biết tính toán sa i sốtheo các kết quả đo Những điều này nằm trong những kiến thức cơ bản của môn thống kê toá n.Vì việc xử lý các kết quả đo đòi hỏi các phép tính về số gần đúng của đại lượng đo nên không thể áp dụng phép tính đúng đã học ở nhà trường phổthông vào lĩnh vực này Giáo trình sẽ lần lượt trình bày một số kiến thức cơ bản và cần thiết phải trang bị cho một kỹ sư sẽ làm việc trong lĩnh vực kỹ thuật và công nghệ

TÁC GIẢ PGS TS NGUYỄN VĂN LÂN

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐO LƯỜNG

Đo lường học là một môn khoa học nghiên cứu về các phép đo, bảo đảm tính thống nhất và độ chính xác cần thiết trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân Tính thống nhất của phép đo biểu hiện bằng những đơn vị hợp pháp có mức tin cậy quy định Độ chính xác của phép đo phản ánh chất lượng đo, thể hiện mức tiệm cận của kết quả đo với giá trị thực của đại lượng đo

Lý thuyết đo - phần nghiên cứu lý thuyết chung về phép đo, về đại lượng

và đơn vị, về sai số, về phương pháp xử lý kết quả đo, v.v

Kỹ thuật đo - phần nghiên cứu về tính chất và công dụng của phương tiện

đo như phân loại phương tiện đo, các đặc trưng đo lường cơ bản, sai số định mức, v.v

Đo lường pháp quyền - phần nghiên cứu về tổ chức , điều lệ, quy định và

biện pháp chung để bảo đảm tính thống nhất và độ chính xác cần thiết của các phép đo

1 PHÉP ĐO

thuật đặc biệt nhằm đạt một giá trị bằng số của đại lượng đo Thí dụ : Một đại

lượng có độ dài Q, dùng một thước đo có đơn vị dài u thì giá trị độ dài đọc được

sẽ là A = Q/u

Theo cách nhận kết quả đo, có :

Phép đo trực tiếp : Giá trị đo nhận trực tiếp từ đại lượng đo khi đại lượng

đo được đem so sánh trực tiếp với vật đọ hoặc với thiết bị đo có khắc đơn vị Thí

dụ : đo độ dài bằng thước cặp, đo thể tích bằng bình định mức, Phép đo này được áp dụng rất phổ biến

Phép đo gián tiếp : Giá trị đo xác định qua mối liên hệ giữa đại lượng đo

với một đại lượng khác được xác định bằng phép đo trực tiếp Mối liên hệ có dạng chung

điện trở R , tiết diện S và chiều dài L của đoạn dây : ρ = R.S/L

Phép đo áp dụng cho những đại lượng chưa có thể đo trực tiếp, những đại lượng vĩ mô (khoảng cách thiên văn) hoặc đại lượng vi mô (nguyên tử, hạt nhân)

Phép đo hợp bộ : Đo đồng thời một số đại lượng cùng loại và giá trị đại

lượng đo xác định bằng cách giải hệ phương trình nhận được từ kết quả phép

đo trực tiếp các tập hợp khác nhau của những đại lượng trên Thí dụ cần hiệu chỉnh khối lượng của một bộ quả cân gồm quả 1 kg, 2 kg, 2’ kg, 5 kg, 10 kg theo khối lượng quả cân chuẩn 1* kg, ta lần lượt thực hiện :

Phép đo phối hợp : Các phép đo đồng thời hai hay một số đại lượng khác

loại để tìm mối liên quan phụ thuộc giữa chúng Thí dụ phép đo hệ số điện trở

Phép đo tĩnh : Đại lượng đo được coi như không đổi trong khoảng thời

gian đủ để đọc và ghi kết quả đo, khi phương tiện đo làm việc trong chế độ tĩnh

và tín hiệu ra coi như không đổi Thí dụ các phép đo độ dài, khối lượng, dung tích,

Phép đo động : Khi đại lượng đo Q(t) biến thiên quá nhanh theo thời gian,

tín hiệu ra R(t) tuy cũng biến thiên nhưng không kịp phản ánh đúng giá trị tức thời (do quán tính, ma sát của dụng cụ đo, ) Phải nghiên cứu các đặc trưng động của phương tiện đo như : thời gian ổn định, phương trình biểu thị quan hệ tín hiệu đầu ra và đầu vào R = β.Q Thí dụ đo nồng độ, thành phần khí trong một công đoạn sản xuất

Theo cách biểu thị kết quả, các phép đo chia ra :

Phép đo tuyệt đối : Kết quả đo tính bằng đơn vị đo hoặc hằng số vật lý Phép đo tương đối : Kết quả đo là tỷ số của đại lượng cần đo và một đại

lượng cùng loại được chọn làm đơn vị hoặc được quy định làm gốc, thường biểu thị bằng hư số, bằng %, bằng ppm (phần triệu), Thí dụ độ ẩm không khí bằng

tính bằng ppm

Phép đo chính xác cao nhất : Kết quả đo có độ chính xác cao nhất mà

trình độ khoa học kỹ thuật hiện tại đạt được Thí dụ phép đo các chuẩn độ dài

1 m, chuẩn khối lượng 1 kg, các hằng số vật lý như gia tốc rơi tự do, khối lượng nguyên tử

Phép đo kiểm tra - kiểm định : Phép đo mà sai số được tính toán và kết

qủ báo cáo phải ghi kèm độ không đảm bảo (theo TCVN 5958 : 1998)

Phép đo kỹ thuật : Sai số kết quả đo được quy định sẵn bởi các đặc trưng

phương tiện đo

1.2 Các đặc trưng chính của phép đo

Để so sánh đánh giá chất lượng phép đo, cần căn cứ trên :

Nguyên lý đo : Đó là tập hợp các hiện tượng vật lý làm cơ sở cho phép

đo Thí dụ khối lượng có được do cân dựa trên hiện tượng trọng lượng của vật

tỷ lệ thuận với khối lượng Có thể dùng nhiều nguyên lý khác nhau để đo một đại lượng và do đó mỗi nguyên lý đều có ưu điểm và nhược điểm riêng

Phương pháp đo : Tập hợp các cách sử dụng nguyên lý và phương tiện

đo Thí dụ phương pháp so sánh trực tiếp, phương pháp vi sai, phương pháp trùng, phương pháp bù, v.v (nói kỹ ở trang 12)

Sai số của phép đo : Đó là độ lệch của kết quả đo Xd với giá trị thực Xtcủa đại lượng đo, ký hiệu bằng Δ :

Chất lượng của một phép đo có thể tính theo :

max ×Δ

và được xem là

cao trung bình thấp rất thấp

δ

kết quả đọc trên thiết bị chuẩn một lượng Δ không vượt quá [Δ], phương tiện đo

đó sẽ được coi như vẫn còn ở tình trạng tốt

Độ đúng của phép đo : phản ánh chất lượng phép đo, là sự tiến đến “0” của sai số hệ thống trong kết quả đo, nó phụ thuộc vào sự đúng đắn của phương tiện được sử dụng

Độ lặp lại của phép đo : phản ánh chất lượng phép đo, là sự gần nhau giữa các kết quả đo thực hiện trong cùng một điều kiện

Độ tái lập của phép đo : phản ánh chất lượng đo, là sự gần nhau giữa các kết quả đo trong những điều kiện khác nhau (như thời gian, địa điểm, phương pháp, phương tiện đo, người đo, )

Độ không đảm bảo của kết quả đo : theo một mức tin cậy chọn trước nói lên phạm vi mà giá trị thực của đại lượng đo có thể tồn tại Nếu ký hiệu độ không đảm bảo của kết quả đo bằng giá trị U và kết quả đo bằng X thì phạm vi

đó là X ± U

2.BẢN CHẤT CỦA KẾT QUẢ ĐO

2.1 Bản chất của kết quả đo

Đo một đại lượng có nghĩa là so sánh nó với đơn vị đo nhờ một dụng cụ

đo xem nó bằng bao nhiêu lần đơn vị đo (số lần có thể là nguyên hay thập phân)

Nếu gọi Q là đại lượng cần đo, u là

đơn vị đo thì số đo A của đại lượng đó

tính bằng :

A Qu

n uu

n n 1

1 1 1

Thí dụ : Một thanh thép có chiều dài L, đo bằng đơn vị u1 = 1 mm có số đo

3 Một mẫu thử có diện tích S (mm 2 ) được nén hỏng bởi lực F (kN) Tính ứng suất nén σ N của mẫu theo đơn vị đo MPa biết rằng 1 Pa = 1 N/m 2

Những đơn vị đo lường hiện nay được thế giới thống nhất sử dụng là thuộc hệ SI (Système International - Hệ Quốc tế) (xem kỹ ở Bảng 18 Phụ lục) Một hệ đơn vị bao giờ cũng gồm một số đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất

Đơn vị cơ bản là những đơn vị lập nên theo một quy ước nào đó và chúng

độc lập với nhau Hệ SI gồm 7 đơn vị cơ bản sau :

1 Chiều dài - mét (m)

2 Khối lượng - kilogam (kg)

3 Thời gian - giây (s)

dụ Hz (héc - đơn vị tần số), N (niutơn - đơn vị lực), Pa (pascal - đơn vị áp suất),

J (joule - đơn vị công, năng lượng, nhiệt lượng), W (watt, đơn vị công suất), v.v

Mỗi đơn vị có quy định gắn tiếp đầu ngữ chỉ ước số và bội số như sau :

Hiện nay trên thế giới, không những trong sinh hoạt, thương mại mà kể cả trong kỹ thuật, người ta vẫn còn dùng các đơn vị đo không theo hệ SI (nhất là ở những phòng thí nghiệm còn sử dụng trang thiết bị thí nghiệm cũ)

đo lường theo hệ SI qua các công thức chuyển đổi nếu có thể Ngoài ra, cũng

cần lưu ý một số quy định mới của ISO trong cách viết ký hiệu đơn vị, thí dụ giờ -

(micron) thay cho μm

Về cách ghi ký hiệu đơn vị cùng với giá trị, SI có một số quy ước như sau :

Về nhiệt độ, đơn vị viết là kelvin (ký hiệu K) chứ không viết Kelvin hoặc độ kelvin; cũng được viết độ Celsius chứ không viết độ bách phân

Không được thêm chữ “s” (chỉ số nhiều) sau ký hiệu đơn vị Thí dụ 10 kgs (sai) và 10 kilograms (được phép)

Một số đơn vị quy định hết thời hạn sử dụng như sau :

Đến 31/12/2002 : kilogam lực (ký hiệu kG, kgf, kp) với 1 kgf = 9,80665 N ;

kilogam lực mét (ký hiệu kgf.m) với 1 kgf.m = 9,80665 J ; calo (ký hiệu cal)

với 1 cal = 4,1868 J

Đến 31/12/2003 : atmotphe kỹ thuật (ký hiệu at) với 1 at = 98,0665 kPa ;

torricelli hay milimet thủy ngân (ký hiệu Torr hay mmHg) với 1 Torr = 133,322

Đến 31/12/2005 : vòng (ký hiệu r) với 1 r = 2π rad ; carat (ký hiệu ct) với 1 ct

= 0,2 g ; curie (ký hiệu Ci) với 1 Ci = 37 GBq ; radi (ký hiệu rad) với 1 rad = 0,01 Gy ; ronghen (ký hiệu R) với 1 R = 0,258 mC/kg

3 PHƯƠNG TIỆN ĐO

Vật đọ là phương tiện đo thể hiện một hay nhiều giá trị của đại lượng Tùy theo cách thể hiện giá trị của đại lượng vật lý , nó được chia ra :

Vật đọ đơn trị : thể hiện một giá trị của đại lượng, thí dụ các quả cân là vật

đọ khối lượng, miếng can chuẩn là vật đọ độ dài, các mẫu chất chuẩn về độ tinh khiết v.v

Vật đọ đa trị : thể hiện một dãy giá trị liên tiếp của đại lượng, thí dụ thước vạch dài 500 mm có vạch chia tới milimét, tụ xoay có điện dung biến thiên 0-150

pF, v.v

Bộ vật đọ : gồm một số vật đọ được chọn lọc và sử dụng kết hợp với nhau để thể hiện một dãy giá trị khác nhau của đại lượng, thí dụ bộ quả cân phân tích (gồm một quả 1 mg, hai quả 2 mg, một quả 5 mg, một quả 10 mg)

Vật đọ có những đặc trưng chính như : giá trị danh định (ghi khắc trên vật đọ), giá trị thực tế (giá trị đã loại trừ sai số hệ thống, xác định bởi phương tiện đo

có cấp chính xác cao hơn), sai số và số hiệu chính Vật đọ có thể dùng đo trực

tiếp một vài đại lượng nào đó hoặc đo thông qua một dụng cụ đo

Dụng cụ đo là phương tiện gồm những khâu, những chi tiết cảm nhận được đại lượng đo hoặc đại lượng có quan hệ hàm với một hiện tượng vật lý, có thể biến đổi tín hiệu cảm nhận thành chỉ số để người quan sát đọc hoặc ghi lại Dụng cụ đo có thể kiêm thêm hoạt động điều chỉnh, phát tín hiệu, định lượng, v.v

Các loại dụng cụ đo

Căn cứ theo cách thu nhận giá trị đo, dụng cụ đo được chia ra :

Dụng cụ đo trực tiếp : được dùng phổ biến , tác động trực tiếp lên đại lượng đo và giá trị đo được biểu hiện trên thang đo, thí dụ máy thử kéo, nhiệt kế,

áp kế, cân đồng hồ, v.v Đặc điểm của loại dụng cụ này là khả năng đo nhanh, bền nhưng độ chính xác không cao vì một phần năng lượng của đối tượng đo bị tiêu hao trong quá trình đo

Dụng cụ đo so sánh : so sánh trực tiếp đại lượng đo với đại lượng có giá trị đã biết (như vật đọ, bộ vật đọ) Vật đọ chuẩn có độ chính xác cao có thể được lắp sẵn trong dụng cụ đo hoặc đi kèm Cân đĩa, áp kế pistông, cầu đo điện trở, vôn kế hiện số, v.v thuộc loại dụng cụ đo này Đặc điểm là có độ chính xác cao nhưng thao tác mất nhiều thời gian và đòi hỏi điều kiện đo nghiêm ngặt

Căn cứ theo cách thể hiện giá trị đo, dụng cụ đo được chia ra :

Dụng cụ đo chỉ thị : cho phép đọc trực tiếp các số chỉ, có thể là dụng cụ

đo liên tục nếu số chỉ có dạng hàm liên tục của đại lượng đo hoặc dụng cụ đo hiện số nếu dụng cụ tự động biến đổi thông tin thành tín hiệu gián đoạn dạng số Dụng cụ đo liên tục thuộc nhóm đo trực tiếp, còn dụng cụ đo hiện số thuộc nhóm

đo gián tiếp và có độ chính xác cao hơn

Dụng cụ đo ghi hoặc in : cơ cấu ghi phản ánh sự biến thiên liên tục của

đại lượng đo theo thời gian bằng một đường liên tục trên băng giấy hoặc bằng các chấm gián đoạn sau từng khoảng thời gian nhất định, còn ở dụng cụ đo in , giá trị đại lượng đo thể hiện bằng con số in trên băng giấy

xử lý số liệu và tiếp tục điều khiển quá trình sản xuất Còn loại ghi và chỉ thị bằng kim thì kim được liên hệ với công tắc tiếp xúc hoặc rơ le đóng ngắt để điều khiển

tự động quá trình sản xuất

Dụng cụ đo có thể làm việc trong phòng thí nghiệm hoặc phục vụ công tác kiểm tra kỹ thuật ở cơ sở sản xuất, trong đó loại dùng trong phòng thí nghiệm có

đo chính xác cao hơn Theo chu kỳ thời gian, dụng cụ đo dùng trong phòng thí

nghiệm phải được hiệu chuẩn bởi Trung tâm Kỹ thuật Đo lường Chất lượng Nhà

nước Khi hiệu chuẩn, chỉ thị của dụng cụ đo được so sánh với chỉ thị của dụng

cụ chuẩn có cấp chính xác cao hơn, từ đó xác nhận độ không đảm bảo hiệu chuẩn của dụng cụ đo dựa trên các sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên trong quá trình hiệu chuẩn Dụng cụ đo dùng trong kiểm tra kỹ thuật hoặc trong sản

xuất cũng theo chu kỳ thời gian được kiểm định bởi Chi cục đo lường hoặc

Trung tâm Kỹ thuật Đo lường Chất lượng Nhà nước nhằm mục đích xác định dụng cụ đo lường có còn bảo đảm cấp chính xác và có thể được tiếp tục sử dụng hay không

Các đặc trưng đo lường học của dụng cụ đo

nANếu Δn biểu thị bằng số vạch chia của thang đo và ΔA tính bằng đơn vị đo của thang đo thì đại lượng c ,nghịch đảo của độ nhạy, bằng giá trị một vạch chia của thang đo :

ΔΔ

AnKhi giảm dần ΔA bé đến mức mà không gây nên chút dịch chuyển nào của kim, khi đó Δn = 0 Điều này thường xảy ra do sự ma sát hoặc sự rơ trong các chi tiết

của dụng cụ đo Giá trị lớn nhất p mà đại lượng đo có thể biến đổi khi Δn = 0 gọi

là ngưỡng độ nhạy Khi đó :

ΔA ≤ p thì Δn = 0

và khi ΔA > p thì Δn > 0

Hằng số dụng cụ đặc trưng cho tính bền vững của số chỉ thị của dụng cụ

đo trong cùng điều kiện sử dụng Nó được xét theo độ biến động, tức là sai lệch

lớn nhất giữa các số chỉ lặp đi lặp lại nhiều lần tương ứng với cùng giá trị thực của đại lượng đo

Với các dụng cụ đo của phòng thí nghiệm, độ biến động không vượt quá 0,2 giá trị vạch chia thang đo, còn dụng cụ đo dùng trong kiểm tra kỹ thuật thì cho phép độ biến động đến 0,5 giá trị vạch chia thang đo

Phương pháp so sánh : Đại lượng đo được so sánh với một đại lượng vật

đọ có giá trị điều chỉnh được và có độ chính xác cao đã được lắp sẵn trên thiết bị

đo Phương pháp này có độ chính xác cao hơn phương pháp đánh giá trực tiếp Sai số của nó chủ yếu phụ thuộc sai số vật đọ và độ nhạy của dụng cụ chỉ thị Phương pháp so sánh còn phân thành các phương pháp sau :

Phương pháp vi sai : Giá trị của vật đọ được chọn gần với giá trị của đại lượng đo Người ta đo giá trị sai lệch giữa giá trị vật đọ và giá trị đại lượng đo Với một vật đọ có độ chính xác cao, chỉ cần một dụng cụ đo thông thường (độ

chính xác thấp) cũng vẫn thu được kết quả đo chính xác cao Thí dụ để đo độ dài thanh kim loại x , ta đo chênh lệch a giữa x và thước chuẩn có độ dài L đã biết độ chính xác Sai số đo của a là ±α Kết quả đo a sẽ là a±α hay a(1 ± α/a) với α/a là sai số tương đối của phép đo a Tương tự , phép đo x sẽ được biểu thị bằng :

x = L + a[1± α/(L+a)] với α/(L+a) là sai số tương đối của phép đo x So sánh hai

Giả sử L = 100 mm, a = 1 mm và α/a = 1% tức 0,01 thì α/(L+a) ≈ α/L = 0,0001 tức 0,01%

Phương pháp chỉ “0” : Đại lượng đo và vật đọ (cùng bản chất) tác dụng đồng thời lên vật chỉ thị Điều chỉnh vật đọ cho tới khi dụng cụ chỉ thị đạt trạng thái cân bằng, lúc đó giá trị đại lượng đo bằng giá trị vật đọ Thí dụ cân có tay đòn cân bằng áp dụng phương pháp chỉ “0” Vật đọ trong phương pháp này có giá trị điều chỉnh được, thí dụ hộp điện trở biến đổi, bộ quả cân, v.v Cũng có thể vật đọ có giá trị cố định nhưng thay đổi tác dụng lên dụng cụ để có được những giá trị khác nhau Phương pháp chỉ “0” áp dụng rộng rãi trong đo lường điện, khối lượng, quang học, nhiệt học, cho độ chính xác cao

Phương pháp thế : Đại lượng đo được thay thế bởi đại lượng thể hiện bằng vật đọ khi đo Thực chất của phép đo này là tạo trạng thái cân bằng thiết bị

có đại lượng đo, sau đó thay đại lượng đo bằng vật đọ và điều chỉnh vật đo sao cho thiết bị đạt trạng thái cân bằng cũ Phương pháp thế là một trong các phương pháp đo loại trừ được sai số hệ thống của phương tiện đo và đạt được

độ chính xác cao Trong phép đo khối lượng, phương pháp này cho kết quả chính xác nhất và đôi khi được gọi là phương pháp cân lặp hoặc phương pháp cân Borda

Phương pháp trùng : Giá trị đại lượng đo được xác định bằng cách tìm sự trùnh khớp của vạch trên thang đo hoặc của tín hiệu thể hiện giá trị đại lượng đo với vạch hoặc tín hiệu tương tự của đại lượng cùng loại có giá trị đã biết chính xác Thí dụ muốn biết 1 inch bằng bao nhiêu mm, ta đặt hai thước khắc vạch theo mm và theo inch cạnh nhau sao cho số “0” của chúng trùng nhau rồi quan sát kỹ trên hai trước tìm một cặp vạch khác trùng khít nhau thí dụ vạch 254 mm trùng với vạch 10 inch, từ đó suy ra 1 inch = 25,4 mm

Du xích trên thước cặp được chế tạo theo nguyên lý của phương pháp trùng Thang chính của thước cặp khắc vạch mm, thang du xích có 10 vạch, giá trị mỗi vạch bằng 0,9 mm làm cho độ chênh giữa giá trị vạch trên thang chính và thang du xích là 0,1 mm Khi vạch “0” của thang du xích nằm giữa một vạch nào

đó trên thang chính có nghĩa là ngoài phần nguyên mm đọc trên thang chính còn phải cộng thêm một số phần mười mm (0,1mm) nào đó (gọi là x) Để xác định x,

ta xem vạch thứ mấy của thang du xích trùng khít với một vạch nào đó của thang chính, thí dụ vạch số 6 Vậy :

0,1(mm).x = 1(mm)×6 − 0,9(mm)×6 = 0,1(mm)×6 = 0,6 mm

5 SAI SỐ

Dù có sử dụng dụng cụ đo chính xác bao nhiêu, thao tác đo cẩn thận đến

mấy, kết quả đo lường thử nghiệm luôn luôn chỉ là số gần đúng với giá trị thực

của đại lượng cần đo Có điều này bởi vì bất kỳ dụng cụ đo và phương pháp đo nào cũng có thiếu sót và tạo nên sai số

Giả sử giá trị thực (giá trị đúng) của đại lượng cần đo là X (không thể biết được) và giá trị đo được là số đo A Sai số của kết quả đo Δ được định nghĩa là :

Δ = |A − X|

biết Trong thực tế, chỉ có thể phỏng đoán một giá trị sai số giới hạn mà Δ không thể vượt quá và thường người ta chấp nhận trường hợp xấu nhất với giá trị sai

thước cặp có du xích có độ phân giải 0,02mm, nếu D gần với 15,26 sẽ được chọn D = 15,26 mm, nếu D gần với 15,24 sẽ được chọn D = 15,24mm Như vậy

0,01mm

Một phép đo sẽ được đánh giá có độ chính xác cao hay thấp là dựa vào

sai số tương đối δ của nó với định nghĩa như sau :

X

Cũng như công thức tính Δ nêu trên, công thức này dùng để định nghĩa chứ không thực hiện tính toán được Trong thực tế, chỉ có thể tính sai số tương đối theo :

phép đo nên được thực hiện trong phạm vi từ 25% đến 75% giá trị lớn nhất của

của dụng cụ đo Những số đo tốt nhất xảy ra ở giữa thang đo, xấp xỉ 50% giá trị lớn nhất của thang đo, khi đó sai số tương đối của mỗi phép đo cũng xấp xỉ gấp

của các bài thí nghiệm cụ thể để trang bị dụng cụ đo hoặc máy đo có cấp chính xác phù hợp

thử kéo cấp chính xác 0,05 thể hiện qua tải trọng tối đa Amax và giá trị vạch chia nhỏ

nhất của thang đo a.

Việc đo một đại lượng có thể ví như công việc bắn bia được minh họa theo hình vẽ dưới đây nhưng với điều kiện người ngắm bắn (người đo) bị bịt mắt :

Sai số kết quả thử nghiệm bao gồm hai loại : sai số ngẫu nhiên và sai số hệ

được gây ra Các yếu tố này có thể là do tính không đồng nhất của chất lượng mẫu, do tính bất nhất trong thao tác của người làm thí nghiệm (khi đong, đo, đọc), do tính không ổn định của dụng cụ đo, v.v Chỉ có thể dễ dàng phát hiện sai

số ngẫu nhiên khi thực hiện phép đo lặp, tức quan trắc nhiều lần Trên hình vẽ, khi bắn 10 lần, độ tập trung (precision) mạnh hay yếu của các vết đạn biểu hiện

rõ sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên sẽ giảm khi tăng số phép đo lặp hay nâng cấp chính xác của dụng cụ đo Sai số ngẫu nhiên luôn luôn hiện diện và không thể khắc phục

5.4 Sai số hệ thống

đạn (bắn 1 lần) so với hồng tâm hoặc giữa vị trí trung tâm của các vết đạn (bắn

10 lần) so với hồng tâm Người ta gọi nó là độ chính xác (accuracy) của điểm bắn tức kết quả thử nghiệm Sai số hệ thống phát sinh do máy móc thiết bị đo dùng lâu bị hao mòn sai lệch không được thường xuyên kiểm định hiệu chỉnh, do phương pháp đo không hợp lý, do tác động không kiểm soát của môi trường thông qua nhiệt độ, độ ẩm, áp suất, do kỹ năng thao tác không đúng của kiểm nghiệm viên, v.v Sai số hệ thống rất khó phát hiện, nhưng nếu biết thì có thể khắc phục được

Một kết quả thử nghiệm thường là tổng hợp của một hay nhiều kiểu phép

đo khác nhau qua một mô hình toán nào đó Sai số của kết quả thử nghiệm có thể tính được từ các sai số (ngẫu nhiên và hệ thống) của tổng hợp các phép đo theo định luật lan truyền sai số Thí dụ : Dùng pipet hút 25mL dung dịch và thực hiện làm hai lần, lần đầu hút 20mL, lần sau hút 5mL, tức là 25 = 20 + 5 Giả sử

5 2

+

kết quả còn lại , làm ta nghi ngờ có thể do đo nhầm, đọc nhầm, ghi nhầm hoặc bởi một lý do bất thường nào khác của đối tượng đo, của thiết bị đo hoặc của

môi trường được tiến hành đo Kết quả đo do sai số thô sẽ làm sai lạc kết quả tính cuối cùng nên phải tìm cách loại bỏ Nếu kết quả đo có phân bố chuẩn và số lần đo tương đối lớn, một kết quả đo bình thường ít khi vượt ra ngoài giới hạn số trung bình (μ) ± 4 lần độ lệch chuẩn s Vậy kết quả đo nào nhỏ hơn μ − 4s hoặc lớn hơn μ + 4s thì xem là sai số thô và bị loại bỏ (quy tắc Graf-Henning)

cân được là như nhau Tính sai số của phép cân mẫu có trừ bì (dụng cụ đựng mẫu) và phép cân mẫu theo phương pháp Borda.

6 CÁCH DIỄN ĐẠT KẾT QUẢ ĐO VÀ KẾT QUẢ TÍNH

Thực chất, các kết quả đo và kết quả tính chỉ là những số gần đúng do các sai số không tránh khỏi gây nên Giá trị của chúng khi ghi chép báo cáo phải thể hiện cho được hai nội dung :

giá trị bằng số

mức độ tin cậy của các chữ số diễn đạt

Sau đây, cần xét quy ước :

Chữ số có nghĩa của một số gần đúng là những chữ số tính từ chữ số khác 0 đầu tiên bên trái đến chữ số cuối cùng bên phải kể cả số 0, nhưng không

độ tin cậy của các số gần đúng đã được thể hiện qua số chữ số có nghĩa Thí dụ hai số 2.4 và 2.40 tuy giống nhau về giá trị nhưng khác nhau về mức độ chính xác Số thứ hai được tính toán chi ly đến đơn vị phần trăm trong lúc số thứ nhất chỉ đến đơn vị phần mười Giả sử hai số đó là khối lượng tính bằng gam thì để

có số thứ hai, phải dùng cân chính xác đến centigam, còn số thứ nhất chỉ cần cân chính xác đến decigam Đừng vì phép chia có thể chọn tùy ý số chữ số có nghĩa cho thương số mà làm tăng mức độ chính xác của số thực nghiệm một cách phi lý và vô nghĩa Giá trị bằng số của các đại lượng vật lý trong cùng tập hợp phải được ghi với cùng mức độ tin cậy như nhau, tức là có số chữ số có nghĩa giống nhau Thí dụ khối lượng của mẫu thử được cân chính xác đến 2mg thì các kết quả sau đây được viết :

sẽ có sai số tuyệt đối bằng 0,1

hy vọng sai số tương đối của chúng lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu ?

2 Các số 0,025; 0,250; 2,05; 2,500 lần lượt có bao nhiêu chữ số có nghĩa

3 Một mẫu thử cân nặng hai phảy năm gam trên cân chính xác đến đơn vị

miligam sẽ được viết khối lượng với bao nhiêu chữ số có nghĩa ?

4 Hãy tính số trung bình của ba kết quả đo 1,23; 1,32; 1,28 và viết ra với số chữ

số có nghĩa hợp lý

Do quá trình tính toán, số chữ số có nghĩa của kết quả cuối cùng thường nhiều quá mức cần thiết Để không gây ngộ nhận về mức độ tin cậy của số gần đúng, cần phải làm tròn nó đến số chữ số có nghĩa quy định

Bản thân việc làm tròn lại tạo thêm một sai số cho số gần đúng Để sai số

phạm phải là nhỏ nhất, cần theo quy tắc sau Giả sử gọi u là đơn vị làm tròn,

tròn số gần đúng đến một số có số chữ số có nghĩa nào đó, u khác nhau sẽ dẫn

tới những kết quả khác nhau Thí dụ X = 12,421 cần làm tròn đến 4 chữ số có nghĩa, nếu u = 0,01 thì X ≈ 12,42 nhưng nếu u = 0,05 thì X ≈ 12,40

Bất kỳ một số gần đúng trước khi làm tròn đều nằm trong phạm vi

m.u ≤ X ≤ (m+1).u

m là phần nguyên của thương số X chia u ; m.u là số gần đúng đã được làm tròn về phía giảm của X và (m+1).u là số gần đúng đã được làm tròn về phía tăng của X Để cho sai số do làm tròn là nhỏ nhất, ta xét ba trường hợp sau : Nếu X < m.u + 0,5.u

Nếu X > m.u + 0,5.u

Nếu X = m.u + 0,5.u

: X sẽ làm tròn thành m.u, : X sẽ làm tròn thành (m+1).u, : X làm tròn thành m.u hay (m+1).u đều được bởi vì trong hai cách , sai số là bằng nhau và đạt giá trị lớn nhất 0,5.u

Một số gần đúng chỉ được làm tròn một lần trong suốt quá trình tính toán

để tránh phạm phải hơn một lần sai số do làm tròn Các kết quả tính trung gian nếu cần ít chữ số có nghĩa để giảm nhẹ công việc tính toán, quy ước được có hơn 1 chữ số có nghĩa so với kết quả cuối cùng Điều này không cần thiết phải đặt ra nếu việc tính toán được máy tính đảm nhiệm từ đầu đến cuối

1 Hãy làm tròn X = 12,284 lần lượt với các đơn vị u = 0,1; 0,2; 0,25 và 0,5

2 Hãy làm tròn X = 2128,5 lần lượt với các đơn vị u = 1; 10; 100 và ghi đúng với số chữ số có nghĩa của nó

6.3 Số chữ số có nghĩa của kết quả tính

Cộng , trừ : lấy đến chữ số có nghĩa ở hàng đơn vị của số hạng có độ chính xác thấp nhất Thí dụ

113,2 + 1,43 = 114,63 chỉ ghi đến 114,6

a Tính và làm tròn cỡ số thể hiện qua Nm và Ttex,

b Sau khi chuyển đổi đơn vị của lực từ kilogam-lực sang niutơn (1 kG = 9,80665 N), hãy tính và làm tròn số độ bền tương đối pđ (đơn vị : cN/tex)

CHƯƠNG 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

VÀ CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT

1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

nhiều giá trị bất kỳ không thể đoán trước chính xác là bao nhiên Chúng xảy ra

một cách ngẫu nhiên nên đại lượng đo còn được gọi là đại lương ngẫu nhiên

- giá trị thực của đại lượng đo,

- sai số ngẫu nhiên,

- sai số hệ thống

thay nó bằng giá trị thực quy ước

2 PHÂN BỐ XÁC SUẤT VÀ HÀM PHÂN BỐ

và được biểu diễn theo đồ thị chữ nhật trên hình 1 dưới đây

Khi tăng số kết quả quan trắc n đến một số vô cùng lớn thì đỉnh của các

hình chữ nhật sẽ nằm trên một đường cong nào đó Tùy theo bản chất của đại lượng đo, đường cong này đặc trưng cho một hàm phân bố xác suất lý thuyết

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Khi kiểm tra một lô sản phẩm nào đó theo hai chỉ tiêu hỏng và tốt, gọi sản

sản phẩm hỏng thì xác suất để lấy từ lô đúng một sản phẩm hỏng là :

Dù vị trí của A và A như thế nào, vế bên phải của đẳng thức vẫn không thay đổi

)) (

−

−

=

trong đó x lấy các giá trị 0, 1, 2, ,n

Tập hợp các f(x) khi x lấy các giá trị từ 0 đến n lập nên phân bố nhị thức

Gọi phân bố nhị thức là vì các f(x) chính là các thành phần được khai triển của

=+

+++

trong khoảng từ (np−q) đến (np+q) Nếu p = q, phân bố nhị thức là đối xứng

Hai tham số cơ bản là :

Số trung bình μ

= npq Nếu thay đại lượng X bằng đại lượng Y = X/n (tức số sản phẩm hỏng bằng tỷ lệ sản phẩm hỏng) thì Y cũng thuộc phân bố nhị thức Các tham số cơ bản trở thành :

Số trung bình μ = p

n

hoàn lại và kiểm tra chọn mẫu có thay sản phẩm hỏng Khi đó với lô có N sản

phẩm , sản phẩm bất kỳ của lần chọn nào trong n sản phẩm của mẫu được chọn cũng đều có cùng xác suất rơi vào sản phẩm hỏng p như sản phẩm hỏng thứ nhất được phát hiện trong n

Thí dụ : Chất lượng sản phẩm của một nhà máy đạt như sau : sản phẩm hợp chuẩn chiếm p = 80%, không hợp chuẩn chiếm q = 20% Nếu lấy một mẫu gồm n = 5 sản phẩm để kiểm tra, hãy tính xác suất xuất hiện x sản phẩm hợp chuẩn và không quá x sản phẩm hợp chuẩn

thường xuyên 50 búp để kiểm tra Hãy xác định xác suất : 1) Không có búp hỏng ; 2)

Có 3 búp hỏng ; 3) Số búp hỏng nhiều hơn 3.

Phân bố siêu bội

quan trọng là chúng độc lập với nhau, trong đó p không thay đổi trong suốt quá trình thử Điều kiện này chỉ có được khi mẫu kiểm tra có hoàn lại hoặc khi số sản phẩm trong lô N khá lớn Nhưng trong thực tế, người ta thường chọn mẫu không hoàn lại, nghĩa là p sẽ thay đổi mỗi khi kiểm tra xong một sản phẩm Thí dụ sau khi kiểm tra đến sản phẩm thứ i và đã phát hiện được k sản phẩm hỏng thì lần kiểm tra thứ (i+1) tiếp theo, p sẽ không còn bằng M/N (M là số sản phẩm hỏng thực có trong lô) mà lúc bấy giờ bằng (M−k)/ (N−i)

Đại lượng X trong trường hợp chọn mẫu không hoàn lại có phân bố xác suất là phân bố siêu bội Với N là cỡ lô (tức số sản phẩm có trong lô), n là cỡ mẫu (số sản phẩm được lấy ra để kiểm tra), giả sử lô chứa M sản phẩm hỏng và

tỷ lệ sản phẩm hỏng do đó bằng p = M/N Xác suất để phát hiện đúng x sản phẩm hỏng trong mẫu kiểm tra sẽ bằng :

chất lượng khi so sánh các kế hoạch chọn mẫu Nó là trường hợp giới hạn của phân bố nhị thức khi N → ∞ và khi thay p bằng M/N

−

−+

−

−Các tham số cơ bản của phân bố siêu bội là :

Phân bố siêu bội áp dụng cho mẫu kiểm tra không hoàn lại và mẫu kiểm tra không thay sản phẩm hỏng , kể cả trường hợp cỡ lô không lớn và n/N vượt quá 0,10

Thí dụ : Một lô có N = 500 sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm hỏng là p = 2% Hãy tính xác suất để trong n = 50 sản phẩm được chọn không có một sản phẩm hỏng nào và xác suất để không có quá p.n = 1 sản phẩm hỏng để từ kết quả kiểm tra của mẫu, lô sản phẩm được chấp nhận ?

−

−

×

= 0,391 F(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,345 + 0,391 = 0,736 Với xác suất chắc chắn 73,6% để cho lô có thể được chấp nhận, rủi ro của phương án chọn mẫu này quá lớn !

nhiễm Trong một thời gian hạn chế, chỉ có thể kiểm tra 3 công ty Nếu biết rằng trong

số 20 công ty có 5 công ty vi phạm, hãy tìm xác suất sao cho khi kiểm tra : 1) Không có công ty nào trong 3 công ty kiểm tra vi phạm ; 2) Toàn bộ 3 công ty kiểm tra đều vi phạm

; 3) Ít nhất 1 trong 3 công ty kiểm tra vi phạm

Phân bố Poisson

Đó là dạng phân bố của các “biến cố hiếm”, tức là những biến cố ít xảy ra trong một đơn tính (như thời gian, chiều dài, diện tích, khối lượng, ) thí dụ số lỗi trên một tấm vải, số hạt kết trên đơn vị diện tích màng xơ máy chải, số sản phẩm may bị lỗi, v.v

khi p → 0 hoặc q → 1, n → ∞ nhưng tích số np = μ vẫn là một số hữu hạn Hàm mật độ xác suất có dạng : f (x) =

với x = 0, 1, 2,

trong đó λ vừa là số trung bình vừa

là phương sai của phân bố

Hình 2.3 Phân bố Poisson

Theo độ lớn của λ, đường cong nối liền các điểm của phân bố Poisson có những dạng khác nhau Giá trị λ càng lớn , đường cong càng trở nên đối xứng nhất là từ khi λ = 10 trở lên

Thí dụ : Kiểm tra một mẫu n = 500 cọc của máy kéo sợi, thấy trung bình

có 0,6 lần đứt sợi Áp dụng phân bố Poisson, hãy xác định xác suất và số cọc lý thuyết có số lần đứt sợi x = 0, 1, 2, 3, 4

được thống kê dưới đây Sau khi tính số lỗi trung bình của một cây vải theo công thức μ

= Σn i x i /Σn i , hãy xác định số cây vải lý thuyết có số lỗi x i tương ứng bằng 0, 1, 2, v.v

x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n i 1 2 3 4 6 4 3 1 0 1

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục lấy các giá trị liên tục trên trục số thực được hiểu một cách quy ước bởi vì thực tế không có một dụng cụ đo nào cho độ chính xác với số chữ số có nghĩa vô hạn Nếu làm trơn đường gấp khúc nối liền các

một đường cong liên tục biểu diễn hàm mật độ xác suất của đại lương ngẫu nhiên liên tục

Đại lượng thể hiện các kết quả đo thuộc loại đại lượng ngẫu nhiên liên tục Có thể kể ra rất nhiều phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục như

phân bố Weibull, phân bố gamma, phân bố mũ, phân bố chuẩn, phân bố Student, v.v Hàm mật độ xác suất có dạng chung là :

cho lực kéo của một lần thử

2 Hãy xác định số trung bình và phương sai của phân

bố tam giác cân trên hình 2.5.

Hình 2.5 Phân bố tam giác cân

Các phân bố thường gặp trong kiểm tra chất lượng là :

−β

− α

−β

Hai tham số cơ bản là :

+αΓ

βα

+αΓ

và khi 1 ≤ Z ≤ 2 , Γ(Z) được cho trong bảng ở Bảng 1 của Phụ lục

Barella qua nghiên cứu nhận thấy khi bị kéo lặp đi lặp lại nhiều lần trên máy dệt, độ mỏi sợi dọc tuân theo phân bố Weibull và đại lượng thời gian được thay bằng số chu trình kéo sau đó xuất hiện sợi đứt

Thí dụ : Tuổi thọ (tính bằng giờ) của một loại mũi khoan trong một quá trình gia công cơ khí thuộc phân bố Weibull với α = 2 và β = 100 Tìm xác suất

mà mũi khoan bị hỏng trước 8 giờ sử dụng và tính tuổi thọ trung bình của loại mũi khoan này

tại một siêu thị tuân theo phân bố Weibull có ( = 2 và ( = 60 Nếu siêu thị muốn xác suất mà thiết bị camera có thể hư hỏng trước thời hạn bảo trì tiếp theo là 0,05 thì chu kỳ bảo trì sẽ là bao nhiêu ?

Phân bố gamma

Nhiều đại lượng ngẫu nhiên như tuổi thọ sản phẩm, chỉ có thể thể hiện bởi những giá trị không âm Các phân bố tần số tương đối của những giá trị kiểu này có thể áp dụng mô hình của hàm mật độ xác suất kiểu gamma như sau :

x 1 /αΓ

βα

β

−

− α

với 0 ≤ x ≤ ∞ và α,β > 0

αΓ αβ

Trừ trường hợp đặc biệt khi α là số nguyên, khó tính được chính xác tích phân của hàm mật độ gamma Vì vậy, hàm phân bố tích lũy của đại lượng ngẫu nhiên chỉ có thể tính theo phương pháp xấp xỉ

M Bona nhận thấy phân bố chiều dài xơ len chải kỹ thuộc phân bố gamma trong đó α thể hiện cường độ tác dụng của quá trình gia công, đạt giá trị lớn nhất ở máy chải thô len (α = 1) và thấp hơn ở các máy khác Đặc biệt ở cúi chải kỹ, α = 4 (có khi đến 5)

Thí dụ : Phân nhóm chiều dài xơ xi (mm) trong một cúi len chải kỹ, thấy số

653,83 từ đó tính ra α = 5,42 và β = 10,98

Khi nghiên cứu về lý thuyết xếp hàng, phân bố gamma còn được gọi là

phân bố Erlang-α (Thí dụ Erlang-1, Erlang-2, ) Trong trường hợp khách hàng chờ được phục vụ (thí dụ côn sợi đứt chờ nối, v.v ) thì thời gian chờ là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân bố Erlang-1 tức là phân bố mũ sẽ được đề cập dưới đây

Phân bố mũ

Phân bố mũ cũng là một dạng của phân bố

Weibull nếu cho α = 1 Nó là phân bố của các

đại lượng như thời gian sửa chữa máy, thời

gian giữa hai lần dừng máy, thời gian giữa hai

−β

Thí dụ : Trong một xí nghiệp có một loại máy mà thời gian giữa hai lần dừng trung bình do sự cố là 2 giờ Thời gian giữa hai lần dừng máy thuộc phân

bố mũ Hãy xác định xác suất để thời gian này lâu hơn 2 giờ

Biểu thức giải tích của phân bố là f(x) =

mũ Một mẫu sợi thô có chiều dài xơ trung bình là 24,66 mm Hãy viết công thức hàm mật độ xác suất lý thuyết của phân bố chiều dài mẫu xơ len này.

Phân bố chuẩn

còn được gọi là phân bố Gauss, có biểu thức giải

tích đường cong như sau :

μ

−

−π

μ

−

−π

σ Hình 2.9 Đường cong phân bố chuẩn

nhất là khi số quan trắc lặp n tương đối lớn

Thí dụ : Một sản phẩm được ghi nhận có chất lượng trung bình là 6,5 đơn

vị và độ lệch chuẩn là 0,4 đơn vị Áp dụng phân bố Gauss, những giá trị nào của chất lượng nằm trong phạm vi 95% và ngoài phạm vi 95% so với chất lượng trung bình ?

Theo phép tính trên , ứng với P = 95% thì z = 1,96 Vậy :

Những giá trị nằm trong phạm vi 95% là : 6,5 − 1,96.0,4 ≤ x ≤ 6,5 + 1,96.0,4 tức là 5,716 ≤ x ≤ 7,284

Những giá trị nằm ngoài phạm vị 95% là x < 5,716 và x > 7,284

trung bình mẫu bằng 12,5 và độ lệch chuẩn mẫu bằng 0,2 Nếu quy định số lạc phải loại bỏ ra khỏi phép tính với xác suất rủi ro 0,1% hãy xác định những x i nào là số lạc ?

Có những đại lượng ngẫu nhiên X không thuộc phân bố chuẩn nhưng nếu qua phép biến đổi giá trị của nó, đại lượng mới Z sẽ thuộc phân bố rất gần phân

Hình 10 Đường cong phân bố chuyển đổi gần với phân bố chuẩn

Trong thực tế, có thể thực hiện việc chuyển đổi này khi n ≥ 20 và 0,3 ≤ p ≤ 0,7

Thực tế chấp nhận việc chuyển đổi khi μ ≥ 3 với P = 0,95 , khi μ ≥ 6 với P = 0,99

và khi μ ≥ 10 với P = 0,999

Phân bố Student

Phân bố Student thường được áp dụng cho những mẫu có số quan trắc n

bé

bố bất kỳ đều thuộc phân bố Student

Biểu thức giải tích của đường cong có

Việc tính xác suất P trong phân bố Student phức tạp hơn nhiều so với phân bố chuẩn do có số bậc tự do ν Trong thực tế , người ta thường dùng xác

3 MỨC TIN CẬY

Mức tin cậy là xác suất chắc chắn để khẳng định một kết luận nào đó Mức tin cậy P = 95% tương đương với trong 100 trường hợp, có khả năng 95 trường hợp đúng như kết luận , còn 5 trường hợp khác với kết luận Ngược với mức tin cậy là mức rủi ro thường ký hiệu bằng α = 100 − P Trong công tác điều tra, người ta thường dùng P = 90 - 95%, công tác nghiên cứu công nghệ và thiết

bị, P = 95 - 98%, công tác kiểm tra chất lượng sản phẩm , P = 95 - 99%

Mức tin cậy có hai loại :

• Mức tin cậy 1 phía : khi kết quả kiểm tra không được vượt quá một giới

hạn nào đó (trên hay dưới), nằm dưới giới hạn thì chất lượng đạt mà vượt quá giới hạn thì chất lượng không đạt Thí dụ khi xét chất lượng nước thải, hàm lượng các chất độc hại không được vượt quá chỉ tiêu cho phép

• Mức tin cậy 2 phía : khi điều kết luận quan tâm đến hai giới hạn trên và

dưới, vượt quá giới hạn trên và nằm dưới giới hạn dưới thì chất lượng sản phẩm không đạt Thí dụ khi xét đường kính các chi tiết cơ khí lắp ghép, đường kính không được lớn quá giới hạn trên và cũng không được nhỏ quá giới hạn dưới

95% và khi cần có sự khẳng định quan trọng mới dùng mức tin cậy 99%, thậm chí 99,9%

CHƯƠNG 3

TÍNH CÁC SỐ THỐNG KÊ CỦA MẪU

Từ số cá thể của một tổng thể hay lô, người ta chọn ra một số n cá thể để kiểm tra Tập hợp số cá thể này gọi là mẫu Các số thống kê sẽ đặc trưng một

cách khái quát chất lượng của mẫu

x

= n

x

n 1

Số phần tư dưới ký hiệu x1/4d nằm ở vị trí dãy số của kết quả đo được sắp xếp

theo thứ tự từ bé đến lớn mà 1/4 của n giá trị không vượt quá nó và 3/4 của n

giá trị còn lại bằng và vượt quá nó

Số phần tư trên ký hiệu x1/4t nằm ở vị trí dãy số của kết quả đo được sắp xếp

theo thứ tự từ bé đến lớn mà 3/4 của n giá trị không vượt quá nó và 1/4 của n

giá trị còn lại bằng và vượt quá nó

Cách tính hai số phần tư này như sau

1 Cho dãy số kết quả đo 21,3 20,5 20,0 23,1 22,2

Hãy tìm trung vị và tính số trung bình

2 Cho dãy kết quả đo : 1,22 1,45 1,28 1,20 1,42 1,38 1,34 1,25 1,30 1,40

Hãy tìm : số trung bình, trung vị, số phần tư dưới và số phần tư trên

2 CÁC SỐ THỐNG KÊ THỂ HIỆN MỨC ĐỘ PHÂN TÁN

Mức độ phân tán của các giá trị xi trong tập hợp thể hiện tính không đồng

nhất nhiều hay ít của chất lượng qua các số thống kê sau đây :

1n

xx

xxx

n

2 2

2 1

−

−++

−+

−

=

1n

xx

n 1 i

2 i

−

−

∑

=

x~

độ rộng, độ rộng phần tư, độ lệch chuẩn, hệ số biến động và hệ số biến động

thô

3 SỐ THỐNG KÊ CỦA NHIỀU MẪU CÙNG THỰC HIỆN

Giả sử khi thử nghiệm, người ta đã thực hiện k mẫu Mỗi mẫu có số quan

i

n 1 j ij i

n

xx

)xx(i

n 1 j

2 i ij

Số trung bình của k mẫu tính theo :

n

xn

kn

)1n(v

k 1 i i

k 1

w

k 1 i

2 i

∑

=

thử nghiệm được thực hiện trên cùng một mẫu trong các điều kiện giống nhau như cùng trang thiết bị đo, cùng một phương pháp, cùng một người thao tác, cùng điều kiện môi trường trong quãng thời gian ngắn Khi được xét với mức

kn

s)1n(s

i

2 i i 2

r Σ −

−Σ

=

Độ lặp lại r được sử dụng để so sánh hai kết quả thử nghiệm do một

người thực hiện trong cùng điều kiện thí nghiệm đã nêu trên Nếu hai kết quả sai

nhau không quá r thì kết quả cuối cùng là trung bình cộng của hai kết quả đó

Còn nếu điều kiện này không đạt, cần xem xét lại phương pháp và làm lại thử nghiệm từ đầu

Độ tái lập ký hiệu R là giá trị thể hiện sai lệch tuyệt đối giữa hai kết quả

thử nghiệm được thực hiện trên cùng một mẫu và cùng phương pháp nhưng trong các điều kiện khác nhau về trang thiết bị đo, người thao tác, phòng thí

nghiệm và thời gian thực hiện Khi được xét với mức chắc chắn 95% thì R được

r

2 i i 2

1k

)xx(nn

1

i

i i

n

xnxΣ

2 i in

nn1k1

Độ tái lập R được sử dụng để so sánh hai kết quả thử nghiệm do hai

người thực hiện trong cùng điều kiện thí nghiệm hoặc khác điều kiện thí nghiệm

như đã nêu trên Nếu hai kết quả sai nhau không quá R thì kết quả cuối cùng là

trung bình cộng của hai kết quả đó Còn nếu điều kiện này không đạt, cần xem xét lại phương pháp thao tác của cả hai người , trang thiết bị của hai phòng thí nghiệm và làm lại thí nghiệm

k2

ws

2 i 2 r

Σ

2

s1k

)xx(s

2 r

2 i 2

L −

−

−Σ

k

x

Chú ý : a Khi tính, nếu thấy sL2 < 0 thì cho sL2 = 0

độ tái lập R' được tính theo :

2 2

n

1 n

1 1 r R

c Nếu có 3 kết quả thử nghiệm tham gia so sánh thì hiệu của kết quả lớn nhất với kết quả bé nhất được xét với R' = 1,2.R

5 SỐ LẠC TRONG THỬ NGHIỆM

Số lạc được coi như là những giá trị hoặc quá lớn hoặc quá bé so với các giá trị còn lại của tập hợp các kết quả đo, có xác suất xuất hiện rất thấp Trong một chừng mực nào đó, có thể coi như chúng không đại diện cho chất lượng mẫu, nếu được loại ra khỏi phép tính thống kê thì kết quả thử nghiệm sẽ gần với giá trị thực hơn

Các tính toán nhằm phát hiện số lạc hầu hết đều dựa trên cơ sở giả thiết các đại lượng đo thuộc phân bố chuẩn hoặc gần với phân bố chuẩn và xác suất rủi ro do việc loại bỏ sai lầm thường lấy bằng 5%

Số lạc có thể là một giá trị cá thể trong tập hợp các giá trị của mẫu và cũng có thể là kết quả thử nghiệm của một mẫu cá thể trong tập hợp nhiều mẫu được lấy ra từ cùng một tổng thể

Đối với tập hợp các giá trị của mẫu, số lạc có thể được phát hiện khi :

s

i −

lượng đo thuộc phân bố chuẩn

hoặc gần với phân bố chuẩn Trong thực tế, với phân bố bất kỳ nếu :

Bài tập 3.5 :

1 Có n = 10 kết quả đo sau đây đã được sắp xếp theo thứ tự tăng

568 570 570 570 572 572 572 578 584 596 Hãy tìm xem có số lạc hay không ?

2 Cũng xét phát hiện số lạc như trên với dãy kết quả đo :

Đây đúng là một trắc nghiệm sơ bộ thực hiện dễ và nhanh chóng trước khi tiến hành tính toán tìm số lạc cụ thể

Thí dụ : Một mẫu cỡ n = 15, tỷ số w/s tính được bằng 4,374 Tra Bảng 3

PL, ứng với α = 0,05 giá trị tới hạn [w/s] = 4,17 Vậy mẫu này chứa ít nhất 1 số lạc

Vì không thể biết chính xác đại lượng của tổng thể nên phải phỏng đoán, ước lượng qua kết quả đo, thử nghiệm trên mẫu

1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ

Các tham số cơ bản của tổng thể gồm có :

Đối với những đại lượng thuộc phân bố chuẩn, μ còn là vọng số của trung vị và của số mốt

định được sẽ tính theo công thức :

kiểu phương sai tổng thể (mẫu số bằng đúng số quan trắc n) thì khi n → N,

phương sai mẫu sẽ tiến chệch khỏi σ2, và người ta gọi nó là phương sai “chệch”,

Mặc dù phương sai mẫu (phương sai không chệch) là vọng số của

số của độ lệch chuẩn mẫu s Từ mẫu, người ta thường ước lượng σ theo :

Γ(X) = (X − 1)(X − 2) 0,5 π : nếu X bằng nửa số nguyên lẻ

Grant và Leavenworth (1980) đề nghị dùng s để ước lượng σ khi n > 15 Với n nhỏ, tốt hơn nên ước lượng σ theo w

1,235 - 1,212 - 1,306 - 1,284 - 1,249 - 1,203 - 1,300 - 1,295 - 1,251 - 1,274 Hãy ước lượng μ và σ qua x , s và w

2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ

2.1 Khoảng tin cậy của số trung bình

• Đối với những đại lượng thuộc phân bố chuẩn, theo ISO 2602 : 1980

a Khi khoảng tin cậy là hai phía và xét với mức chắc chắn cho trước đối với μ :

Trường hợp n của mẫu không quá 12, khoảng tin cậy có thể tính theo độ

rộng của như sau

t0,995

Khi khoảng tin cậy là một phía và xét với mức chắc chắn cho trước đối với μ :

Trường hợp chọn k mẫu từ cùng một tổng thể, các mẫu thực hiện thống

)(

)(

g và dộ lệch chuẩn 0,056 g Xác định khoảng tin cậy 2 phía của khối lượng sợi theo mức tin cậy 95%

• Đối với những đại lượng thuộc phân bố Poisson, có hai trường hợp :

a Khi kết quả đếm của mẫu x < 10

≤

95%, số hạt kết trung bình trên 100 g cúi của máy chải nằm trong phạm vi bao nhiêu ?

ν ν α ν

;

; /

;

; / ( )

)()

(

Khi n khá lớn, có thể tính gần đúng khoảng tin cậy theo :

* Trường hợp khoảng tin cậy 1 phía : thay α/2 trong các công thức trên bằng α

Bài tập 4.5 : Trong một mẫu gồm n = 100 cây vải , quan trắc thấy có x = 6 cây không đạt chuẩn về lỗi dệt Hãy xác định khoảng tin cậy 2 phía của tỷ lệ sản phẩm không đạt chuẩn của lô vải này với α = 0,05

2.2 Khoảng tin cậy của trung vị

Khoảng tin cậy của trung vị được xác định với điều kiện hàm mật độ xác suất liên tục, f(x) > 0 với a < x < b kèm giả thiết a → − ∞ hoặc b → + ∞ hoặc đồng thời a → − ∞ và b → + ∞ , còn f(x) = 0 khi x < a và x > b Tùy thuộc cỡ mẫu

theo thứ tự tăng dần của mẫu được cho trong Bảng 11 Phụ lục

dưới và biên trên của khoảng tin cậy của trung vị xét theo mức chắc chắn P ≥ 0,95, cụ thể là P = 1 − 0,0432 = 0,9568 Giá trị α = 0,0432 nằm ở cột thứ tư của bảng

20 kết quả quan trắc chung của 4 mẫu

trên và biên dưới sau :

Thí dụ : Từ mẫu cỡ n = 100 tìm thấy x~ = 2,52 và độ rộng phần tư chuẩn

hóa (xấp xỉ độ lệch chuẩn) bằng 0,12 Hãy xác định khoảng tin cậy để tìm trung

vị của tổng thể với mức tin cậy P = 0,95

trên và biên dưới của khoảng tin cậy của trung vị tính bằng :

×

π = 2,55 và 2,49

Độ lệch chuẩn có phân bố không đối xứng, đặc biệt ở những mẫu có số

quan trắc n bé Khoảng tin cậy được tính như sau :

−

; /

−

χ

−

; /

Trường hợp mẫu khá lớn (n ≥ 200), các giới hạn trên và dưới gần như đối xứng và có thể áp dụng công thức :

khoảng tin cậy của ( với mức chắc chắn 95% khi n = 10 và khi n = 500

3 CỠ MẪU

Khoảng tin cậy ứng với một mức chắc chắn nào đó càng hẹp thì mức độ tiếp cận của kết quả thử nghiệm với chất lượng tổng thể càng cao Điều này có liên quan mật thiết với số quan trắc, bởi vì số quan trắc càng lớn tính đại diện của mẫu càng tăng

trong đó cv là hệ số biến động Khi đã biết độ lệch chuẩn s hoặc hệ số biến động

cv qua một mẫu thử nghiệm trước và tính được tỷ số E/s hoặc e/cv, tra Bảng 8 của Phụ lục, dò theo cột mức chắc chắn P sẽ tìm thấy n

cao xấp xỉ 1,50 m, tính được vòng ngực trung bình 71,4 cm, s = 2,0 cm Hãy tính

nhiêu người nữa ?

3.2 Đại lượng thuộc phân bố Poisson

2 /

cậy của μ theo

xz2

zxx

z2

z

2 2 / 2

/

2 2 /

α

α α

≤μ

thời gian, là khối lượng mẫu, là chiều dài mẫu, v.v ) sao cho việc thử nghiệm đạt

Thí dụ : Giả sử chọn e = 10% với mức chắc chắn 95%, ta tính được xmin

bảo đảm khoảng tin cậy tương đối 10%, cần phải kiểm tra tối thiểu :

7

100

385 ×

= 5500 g tức 55 mẫu cúi như trên

3.3 Đại lượng thuộc phân bố nhị thức

ASTM E122:1989 đưa ra công thức tính :

Như trên đã nêu, một kết quả đo lường thử nghiệm bất kỳ đều chứa sẵn nhiều sai số làm cho nó không thể bằng giá trị thực của đại lượng đo và qua nó, chỉ có thể tìm phạm vi mà giá trị thực có thể nằm trong đó với một mức tin cậy cho trước Khoảng tin cậy nêu ở mục 2 trên đây coi kết quả đo hoàn toàn không

có sai số hệ thống và chỉ thuận tiện để xét phạm vi tồn tại giá trị thực của đại lượng đo khi tiến hành quan trắc lặp Độ không đảm bảo là giá trị được tính có

kể đến hai loại sai số : sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống

Sai số ngẫu nhiên do nhiều yếu tố không lường trước được gây ra có tính chất ngẫu nhiên, chỉ có thể phát hiện khi tiến hành nhiều quan trắc trên cùng một mẫu Sai số ngẫu nhiên luôn luôn tồn tại và không thể khắc phục Chỉ có giảm sai số ngẫu nhiên cho kết quả thử nghiệm bằng cách tăng số quan trắc Độ lệch chuẩn tính theo công thức đã nêu trong các bài trước thể hiện rất tốt sai số ngẫu nhiên

Sai số hệ thống do những nguyên nhân như độ chính xác của dụng cụ đo, phương pháp đo không hợp lý, thông số môi trường đo và thử nghiệm không đạt yêu cầu, thao tác thử nghiệm không đúng, v.v Có những sai số hệ thống có thể khắc phục được nếu biết rõ, nhưng cũng có những sai số hệ thống không thể khắc phục dù đã biết rõ, chỉ có thể đưa chúng vào phép tính

Độ không đảm bảo có liên quan đến sai số ngẫu nhiên được gọi là độ

không đảm bảo kiểu A, giá trị được lấy là độ lệch chuẩn rút ra từ phép tính thống

kê Còn độ không đảm bảo có liên quan đến sai số hệ thống được gọi là độ

không đảm bảo kiểu B, giá trị được lấy theo cách khác với phép tính thống kê

Kết quả cuối cùng của thử nghiệm là do kết quả đo của nhiều đại lượng khác nhau tạo nên Nếu gọi kết quả tính là y và các kết quả đo của nhiều đại

sẽ tạo nên độ không đảm bảo của giá trị tính y theo công thức sau :

()

(

nên được tính bằng đạo hàm riêng :

=

∂

∂lim

nên trong nhiều trường hợp để cho đơn giản, có thể không cần lấy đạo hàm

Độ không đảm bảo chuẩn phối hợp của y lại có hai kiểu A và B tùy theo

hợp các kết quả đo thuộc phân bố chuẩn :

mà dựa vào đặc tính kỹ thuật của thiết bị thử nghiệm, vào giấy chứng nhận hiệu chuẩn, v.v Thí dụ dù bất kỳ kết quả đo nào của mẫu nếu không vượt quá một

sai số a thì có thể xem tập hợp các sai số thuộc phân bố chữ nhật, thí dụ độ

phân giải của thang đo, độ hồi sai của dụng cụ đo, độ trôi của giá trị chuẩn trong khoảng thời gian giữa hai kỳ hiệu chuẩn Khi đó :

khoảng biết trước có chiều rộng ± a , thí dụ nhiệt độ của một môi trường được

khống chế, thì phân bố có dạng hình tam giác cân với nửa cạnh đáy bằng a và

lượng khi truyền từ nguồn sang tải bị phản xạ khi không có sự phối hợp trở