Phân tích giới hạn cho bài toán địa kỹ thuật sử dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp tối ưu hình nón bậc hai

NGUYỄN MINH TOÃN PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CHO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC KẾT HỢP TỐI ƯU HÌNH NÓN BẬC HAI Chuyên ngành: Địa Kỹ Thuật Xây Dựng Mã số: 60.58.60 L

NGUYỄN MINH TOÃN

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CHO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC KẾT HỢP

TỐI ƯU HÌNH NÓN BẬC HAI

Chuyên ngành: Địa Kỹ Thuật Xây Dựng

Mã số: 60.58.60

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS TRẦN TUẤN ANH

Cán bộ chấm nhận xét 1:………

Cán bộ chấm nhận xét 2:………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM ngày………tháng………năm………

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 ………

2 ………

3 ………

4 ………

5 ……… Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

- -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Địa Kỹ Thuật Xây Dựng Mã số: 60.58.60

TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CHO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT SỬ

DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC KẾT HỢP TỐI ƯU HÌNH NÓN BẬC HAI

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

NHIỆM VỤ:

Nội dung của luận văn tập trung vào việc xây dựng một phương pháp số mới - phương pháp đẳng hình học - cho bài toán phân tích giới hạn theo định lý cận trên để xác định tải phá hủy và cơ chế phá hủy cho một số bài toán địa kỹ thuật xây dựng Đồng thời đánh giá hiệu quả tính toán của phương pháp đẳng hình học so với phương pháp số khác

NỘI DUNG:

- Chương 1 Mở đầu

- Chương 2 Phân tích giới hạn theo định lý cận trên và chương trình hình nón

- Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn

- Chương 4 Phương pháp đẳng hình học

- Chương 5 Ví dụ áp dụng cho bài toán địa kỹ thuật

- Kết luận chung

- Kiến nghị

- Danh mục các bài báo đã viết

- Tài liệu tham khảo

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 24/06/2013

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 23/05/2014

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS TRẦN TUẤN ANH

LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy TS Trần Tuấn Anh, người

đã nhiệt tình chỉ bảo và hướng dẫn trong thời gian thực hiện luận văn Thầy là người gợi ý, định hướng tôi theo đường nghiên cứu phương pháp số, đó là tiền đề để luận văn này được hình thành Cám ơn thầy về những kiến thức cơ học đất, những buổi báo cáo nghiên cứu và những chia sẻ về cách viết một bài báo khoa học Đó là những bài học và những hành trang cho tương lai vô cùng quý giá

Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến người anh, người thầy - Ths Nguyễn Chánh

Hoàng Anh đã giúp tôi giữ ngọn lửa đam mê phương pháp số từ ngày đầu tiên gặp

nhau cho đến hiện tại bây giờ Anh đã giúp tôi phát huy khả năng sáng tạo và từng bước hướng dẫn nghiên cứu phương pháp số Tôi vẫn nhớ ngày làm ra kết quả đầu tiên, cảm giác thật tuyệt vời khi tự tay mình tạo ra một sản phẩm khoa học và anh đã chia sẻ niềm vui ấy rất vô tư, chân thành

Kính gửi lời cám ơn đến quý thầy cô trong bộ môn Địa Cơ Nền Móng Trường

Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM: thầy PGS TS Võ Phán, thầy PGS TS Châu

Ngọc Ẩn, thầy TS Nguyễn Minh Tâm, thầy TS Bùi Trường Sơn Những người

thầy đã dạy chúng tôi với rất nhiều tâm huyết

Kính gửi lời cám ơn đến thầy GS TS Dương Nguyên Vũ, người đã giúp tôi có

được niềm đam mê nghiên cứu khoa học Những bài giảng vô cùng quý giá của thầy

là kim chỉ nam để tìm hiểu mọi vấn đề

Xin cám ơn bạn HVCH Nguyễn Tấn đã đồng hành cùng tôi trong quá trình nghiên cứu Cám ơn anh NCS Võ Minh Thiện, anh Ths Trương Phước Trí, bạn

HVCH Vũ Hoàng Trân đã ủng hộ và giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần

Và cuối cùng, niềm động viên lớn nhất để giúp con hoàn thành luận văn này là

Ba Mẹ, chị Lụa, anh Toàn, em Hương Cám ơn gia đình đã nuôi dạy, ủng hộ, động

viên để con hoàn thành chương trình nghiên cứu

Tp HCM, ngày 23 tháng 05 năm 2014

Học Viên Cao Học

Nguyễn Minh Toãn

TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CHO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC KẾT HỢP TỐI ƯU HÌNH NÓN BẬC

HAI

Một phương pháp số mới được áp dụng cho phân tích giới hạn theo định lý cận trên Phương pháp đẳng hình học (IGA) được dùng để rời rạc trường biến dạng, từ đó thiết lập năng lượng tiêu tán dẻo cho từng phần tử Bài toán phân tích giới hạn được đưa về bài toán tối ưu toán học và được giải bằng chương trình hình nón (SOCP) để tìm tải phá hủy và cơ chế phá hủy Sử dụng cùng khái niệm đẳng tham số giống phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) truyền thống nhưng phương pháp IGA đảo ngược ý tưởng bằng cách dùng hàm NURBS xây dựng chính xác hình học trong CAD

để thực hiện tính toán phân tích trong phương pháp số Cách tiếp cận này khắc phục được nhược điểm tốn chi phí, thời gian và không chính xác trong việc tạo lưới hình học bằng đa thức Lagrange của phương pháp FEA Bên cạnh đó phương pháp IGA còn thể hiện tính năng giảm số bậc tự do trong bài toán bậc cao, từ đó tính toán phân tích nhanh hơn so với phương pháp FEA Vì sử dụng chung nền tảng phương pháp

số Galerkin nên luận văn trình bày phương pháp IGA trên cơ sở so sánh với phương pháp FEA, đồng thời thuật toán Bézier extraction biến đổi bài toán IGA thành cấu trúc tính toán giống bài toán FEA cũng được nghiên cứu Bằng cách so sánh kết quả với các nghiên cứu trước và đánh giá thời gian giải bài toán tối ưu bằng phần mềm Mosek, luận văn chứng minh những ưu điểm nổi bật của phương pháp IGA khi áp dụng cho bài toán sức chịu tải nền, phân tích ổn định mái dốc và phân tích ổn định Tunnel

SUMMARY OF THESIS TITLE OF THESIS:

LIMIT ANALYSIS OF GEOTECHNICAL PROBLEMS USING

ISOGEOMETRIC ANALYSIS AND SECOND ORDER CONE

PROGRAMMING

A novel numerical method is applied to upper bound limit analysis Isogeometric analysis (IGA) is used to approximate the kinematically admissible velocity fields so that the plasticity dissipation energy of element is calculated The upper bound limit analysis formulation becomes an optimization problem, which is solved by second order cone programming (SOCP) to determine collapse load as well as failure mechanism Isogeometric analysis (IGA) employs the same isoparametric concept as finite element analysis (FEA) However IGA turns this idea around, selects NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) of exact CAD geometry and uses it as a basis for the solution space of the numerical method IGA geometry improves FEA mesh for instance the construction of FEM geometry is costly, time consuming, and creates errors by using Lagrange polynomials Furthermore, for the same number of elements, the mesh of IGA contains fewer control points than nodes in equal mesh of FEA The consequence is fewer global degree of freedom for the same mesh and quicker analysis in numerical method Since IGA employs the same Galerkin‘s method, it is convenient to compare IGA and FEA Moreover, the Bézier extraction

of NURBS are presented to make IGA easier to implement into existing FEA code Then numerical limit analysis is applied to estimate the bearing capacity of strip footing, the stability of slopes, and the stability of Tunnels The investigated results are compared with the former results Besides, computational resources of Mosek are measured to evaluate the efficiency of the solution

LỜI CAM ĐOAN

Tôi Nguyễn Minh Toãn làm đề tài luận văn thạc sĩ: “Phân tích giới hạn cho bài toán địa kỹ thuật sử dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp tối ưu hình nón bậc hai” Tôi xin cam đoan:

- Toàn bộ nội dung của luận văn hoàn toàn dựa vào nỗ lực nghiên cứu của bản thân tôi, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Tuấn Anh

- Tôi xác định rõ ràng rằng luận văn có sự kế thừa một số kết quả nghiên cứu trước, cũng như những đóng góp mới của cá nhân tôi

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Tổng quan 1

1.2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước 2

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới 2

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 3

1.3 Ý nghĩa khoa học của đề tài 3

1.4 Tính thực tiễn của đề tài 3

1.5 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 4

1.5.1 Mục tiêu 4

1.5.2 Nhiệm vụ 4

CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH GIỚI HẠN THEO ĐỊNH LÝ CẬN TRÊN VÀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NÓN 5

2.1 Dẻo lý tưởng và tiêu chuẩn phá hủy cho đất 5

2.1.1 Giới hạn đàn hồi và mặt ngưỡng dẻo 5

2.1.2 Mặt thế năng dẻo và luật chảy dẻo kết hợp 6

2.1.3 Hàm ngưỡng dẻo Mohr - Coulomb 7

2.2 Lý thuyết phân tích giới hạn 8

2.2.1 Định lý cận dưới 9

2.2.2 Định lý cận trên 9

2.3 Chương trình tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) 11

2.3.1 Tối ưu tuyến tính 12

2.3.2 Tối ưu hình nón 12

2.4 Xây dựng bài toán tối ưu 13

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 17

3.1 Giới thiệu phần tử đẳng tham số 17

3.2 Tích phân số Gauss 21

3.3 Phần tử tứ giác Q4 22

3.4 Phần tử tứ giác Q9 24

3.5 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp FEA 25

3.5.1 Mô hình bài toán 26

3.5.2 Tính biến dạng trung bình 28

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC 32

4.1 Đường cong Bézier 33

4.1.1 Thuật toán De Casteljau 34

4.1.2 Dạng đa thức Bernstein của đường cong Bézier 36

4.1.3 Tính chất của đường cong Bézier 37

4.1.4 Đánh giá đường cong Bézier 37

4.2 B-Spline 39

4.2.1 Knot vector 40

4.2.2 Hàm cơ sở B-Spline (B-Spline basis function) 41

4.2.3 Ví dụ tính toán các hàm cơ sở B-Spline từ knot vector mở 43

4.2.4 Đường cong B-Spline (B-Spline curves) 47

4.2.5 Mặt B-Spline (B-Spline surfaces) 48

4.2.6 Thuật toán làm mịn lưới trong IGA: Knot insertion 50

4.3 NURBS 52

4.3.1 Đường cong NURBS theo quan điểm hình học 52

4.3.2 Đường cong NURBS theo quan điểm đại số 53

4.3.3 Ví dụ xây dựng đường cong NURBS 54

4.4 Bézier extraction 58

4.4.1 Hàm cơ sở Bézier và phần tử Bézier 58

4.4.2 Thuật toán Bézier extraction 59

4.4.3 Toán tử Bézier extraction của phần tử Ce 63

4.4.4 Toán tử Bézier extraction hai biến 66

4.5 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA 67

4.5.1 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA gốc 68

4.5.1.1 Mô hình bài toán 68

4.5.1.2 Tính biến dạng trung bình 73

4.5.2 Rời rạc hóa bài toán bằng thuật toán Bézier extraction 79

4.5.2.1 Mô hình bài toán 79

4.5.2.2 Tính biến dạng trung bình 79

4.6 Nhận xét về phương pháp IGA 83

CHƯƠNG 5 VÍ DỤ ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT 84

5.1 Bài toán sức chịu tải nền 84

5.1.1 Đặt vấn đề 84

5.1.2 Mô hình nền đất 85

5.1.2.1 Dùng phương pháp IGA 85

5.1.2.2 Dùng phương pháp FEA 88

5.1.3 Kết quả 88

5.1.3.1 Hệ số sức chịu tải N c 88

5.1.3.2 Hệ số sức chịu tải N 92

5.1.3.3 Hệ số sức chịu tải N q 97

5.2 Bài toán phân tích ổn định mái dốc 100

5.2.1 Đặt vấn đề 100

5.2.2 Mô hình nền đất 101

5.2.3 Kết quả trường hợp nền đồng nhất 102

5.2.4 Kết quả trường hợp nền sét có lực dính tăng theo chiều sâu 107

5.3 Bài toán phân tích ổn định Tunnel hình chữ nhật 113

5.3.1 Đặt vấn đề 114

5.3.2 Mô hình nền đất 115

5.3.3 Kết quả 117

5.3.4 Công thức xác định hệ số ổn định N của Tunnel hình chữ nhật 122

5.4 Bài toán phân tích ổn định Tunnel hình tròn 125

5.4.1 Đặt vấn đề 125

5.4.2 Mô hình nền đất 126

5.4.3 Kết quả 131

5.4.4 Công thức xác định hệ số ổn định N của Tunnel hình tròn 135

KẾT LUẬN CHUNG 137

KIẾN NGHỊ 139

DANH MỤC CÁC BÀI BÁO ĐÃ VIẾT 140

TÀI LIỆU THAM KHẢO 141

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 145

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1: Quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu đàn hồi - dẻo lý tưởng 6

Hình 2.2: Sự minh họa hình học của luật chảy dẻo kết hợp 7

Hình 2.3: Ứng xử thật của đất và ứng xử đàn hồi - dẻo lý tưởng 7

Hình 2.4: Mô hình Mohr - Coulomb 8

Hình 2.5: Phương của vector gia số biến dạng dẻo trên hệ trục  -  8

Hình 2.6: Nghiệm của định lý cận trên và định lý cận dưới 9

Hình 2.7: Các điều kiện biên của vật thể 10

Hình 2.8: Sơ đồ phân tích giới hạn theo định lý cận trên 16

Hình 3.1: Các phần tử đẳng tham số và phép ánh xạ hình học 17

Hình 3.2: Phép cầu phương Gauss với các sơ đồ có số điểm Gauss khác nhau 21

Hình 3.3: Phần tử tứ giác Q4 trong hệ tọa độ tự nhiên 23

Hình 3.4: Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên 24

Hình 3.5: Mô hình bài toán FEA trong hệ tọa độ Descartes 26

Hình 3.6: Ma trận biến dạng chuyển vị Be= const trung bình của phần tử e 29

Hình 3.7: Sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp FEA 31

Hình 4.1: Xấp xỉ hình học trong FEA và xây dựng hình học trong IGA 32

Hình 4.2: Thuật toán xây dựng đường cong P(t) 35

Hình 4.3: Ví dụ đường cong Bézier bậc 2 36

Hình 4.4: Thay đổi đường cong mong muốn 38

Hình 4.5: Phép ánh xạ từng phần tử sang không gian thực trong FEA 40

Hình 4.6: Phép ánh xạ một patch sang không gian thực trong B-Splines 40

Hình 4.7: Giá trị knots không ảnh hưởng đến hàm cơ sở B-Spline 41

Hình 4.8: Hàm cơ sở B-Spline bậc p = 1 và bậc p = 2 của knot vector đồng dạng  0,1,2,3,4,5,6    42

Hình 4.9: : Hàm cơ sở B-Spline bậc p = 2 của knot vector không đồng dạng  0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5    42

Hình 4.10: Các hàm cơ sở B-Spline bậc p = 0 trong không gian chỉ số 44

Hình 4.11: Các hàm cơ sở B-Spline bậc p = 1 trong không gian chỉ số 45

Hình 4.12: Các hàm cơ sở B-Spline bậc p = 2 trong không gian chỉ số 46

Hình 4.13: Các hàm cơ sở B-Spline bậc p = 2 trong không gian tham số 47

Hình 4.14: Đường cong B-Spline bậc p = 2 với knot vector mở  0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5    48

Hình 4.15: Vùng hỗ trợ của hàm cơ sở B-Spline hai biến 49

Hình 4.16: Thuật toán làm mịn lưới trong IGA: Knot insertion 51

Hình 4.17: Đường cong B-Spline C w  chiếu lên mặt phẳng z = 1 để xây dựng đường cong NURBS C  53

Hình 4.18: Hàm cơ sở NURBS và B-Spline với knot vector 0,0,0,1,2,2,2 56

Hình 4.19: Đường cong NURBS và B-Spline 57

Hình 4.20: Thay đổi trọng số điểm kiểm soát của đường cong NURBS 57

Hình 4.21: Các hàm cơ sở Bézier bậc p 1 đến bậc p4 59

Hình 4.22: Phân tích các điểm kiểm soát B-Spline thành các điểm kiểm soát Bézier 61

Hình 4.23: Hàm cơ sở B-Spline và Bézier trên các khoảng knot spans 64

Hình 4.24: Ví dụ thuật toán Bézier extraction cho bài toán 2D 67

Hình 4.25: Mô hình bài toán IGA trong hệ tọa độ Descartes 68

Hình 4.26: Quá trình xây dựng hình học 71

Hình 4.27: Các không gian được sử dụng trong IGA 74

Hình 4.28: Sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp IGA gốc 78

Hình 4.29: Sơ đồ tính hàm cơ cở NURBS bằng thuật toán Bézier extraction 80

Hình 4.30: Sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng thuật toán Bézier extraction (IGA) 81

Hình 4.31: Phép ánh xạ từng phần tử sang không gian thực trong Bézier extraction 82

Hình 5.1: Bài toán móng băng đặt trên nền đồng nhất 85

Hình 5.2: Mô hình IGA của bài toán sức chịu tải móng băng 85

Hình 5.3: Các điểm kiểm soát ban đầu của bài toán sức chịu tải móng băng 86

Hình 5.4: Các điểm kiểm soát Bézier của bài toán sức chịu tải móng băng 87

Hình 5.5: Mô hình FEA của bài toán sức chịu tải móng băng 88

Hình 5.6: Tốc độ hội tụ bài toán N c cho trường hợp đất không thoát nước 89

Hình 5.7: Ảnh hưởng của góc ma sát trong φ đến hệ số sức chịu tải N c 91

Hình 5.8: Cơ chế phá hủy của đất nền trong bài toán N c 91

Hình 5.9: Mô hình IGA và FEA cho trường hợp tiếp xúc mềm (smooth footing) 93

Hình 5.10: Mô hình IGA và FEA cho trường hợp tiếp xúc cứng (rough footing) 93

Hình 5.11: Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp tiếp xúc mềm (smooth footing) 94

Hình 5.12: Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp tiếp xúc cứng (rough footing) 95

Hình 5.13: Ảnh hưởng của góc ma sát trong φ đến hệ số sức chịu tải N q 98

Hình 5.14: Cơ chế phá hủy của đất nền trong bài toán N q 99

Hình 5.15: Sơ đồ mái dốc 100

Hình 5.16: Mô hình IGA của bài toán ổn định mái dốc 101

Hình 5.17: Ảnh hưởng của góc mái dốc β(o) 103

Hình 5.18: Cơ chế trượt của mái dốc (góc ma sát trong φ = 0o) 104

Hình 5.19: Ảnh hưởng của góc ma sát trong của đất (o) 105

Hình 5.20: Ảnh hưởng của hệ số chiều sâu D ( = 0o) 106

Hình 5.21: Cơ chế trượt thay đổi khi hệ số chiều sâu D = 1 106

Hình 5.22: Chức năng S = f(datum) trong phần mềm SLOPE/W 108

Hình 5.23: Ảnh hưởng của sự tăng sức kháng cắt theo chiều sâu  (D = 2) 110

Hình 5.24: Ảnh hưởng của góc mái dốc (o)(D = 2) 111

Hình 5.25: Cơ chế trượt của mái dốc (hệ số chiều sâu D = 2) 112

Hình 5.26: Bài toán ổn định không thoát nước của Tunnel hình chữ nhật 114

Hình 5.27: Mô hình IGA của bài toán ổn định Tunnel hình chữ nhật 115

Hình 5.28: Các điểm kiểm soát ban đầu của bài toán Tunnel hình chữ nhật 116

Hình 5.29: Ảnh hưởng của bề rộng B/D (H/D = 1÷10) 119

Hình 5.30: Ảnh hưởng của chiều sâu H/D (B/D = 1 và B/D = 4) 119

Hình 5.31: Cơ chế phá hủy của Tunnel hình chữ nhật 121

Hình 5.32: So sánh kết quả của công thức thiết kế và IGA (B/D = 1) 123

Hình 5.33: So sánh kết quả của công thức thiết kế và IGA (B/D = 4) 124

Hình 5.34: Bài toán ổn định không thoát nước của Tunnel hình tròn 126

Hình 5.35: Bài toán lỗ tròn của T J Hughes et al [10] 127

Hình 5.36: Mô hình IGA của bài toán ổn định Tunnel hình tròn 128

Hình 5.37: Mô hình IGA ban đầu của bài toán ổn định Tunnel hình tròn 128

Hình 5.38: Áp lực t trong Tunnel hình tròn 130

Hình 5.39: Ảnh hưởng của trọng lượng đất D/c uo (H/D = 2) 132

Hình 5.40: Ảnh hưởng của trọng lượng đất D/c uo (H/D = 4) 132

Hình 5.41: Ảnh hưởng của chiều sâu H/D (D/c uo = 2) 133

Hình 5.42: Ảnh hưởng của chiều sâu H/D (D/c uo = 4) 133

Hình 5.43: Cơ chế phá hủy của Tunnel hình tròn 134

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Các điểm tích phân Gauss, các trọng số tương ứng 22

Bảng 4.1: Knot vectors ban đầu và điểm kiểm soát ban đầu của tứ giác 69

Bảng 5.1: Hệ số sức chịu tải N c cho trường hợp đất không thoát nước 89

Bảng 5.2: Hệ số sức chịu tải N c cho trường hợp  = 0o45o 90

Bảng 5.3: Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp tiếp xúc mềm (smooth footing) 94

Bảng 5.4: Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp tiếp xúc cứng (rough footing) 95

Bảng 5.5: So sánh hiệu quả tính toán trong bài toán N 97

Bảng 5.6: Hệ số sức chịu tải N q cho trường hợp  = 0o45o 98

Bảng 5.7: Kết quả tính toán hệ số ổn định N f (hệ số chiều sâu D = 2) 103

Bảng 5.8: Ảnh hưởng của hệ số chiều sâu D ( = 0o) 106

Bảng 5.9: Chi phí tính toán của phương pháp số IGA (β = 70o,  = 35o) 107

Bảng 5.10: Kết quả tính toán bằng phương pháp phân tích giới hạn (D = 2) 109

Bảng 5.11: Kết quả tính toán bằng phương pháp cân bằng giới hạn (D = 2) 109

Bảng 5.12: Ảnh hưởng của góc mái dốc (o)(D = 2) 111

Bảng 5.13: Hệ số ổn định của Tunnel hình chữ nhật 118

Bảng 5.14: Hệ số ổn định của Tunnel hình chữ nhật trường hợp B/D = 1 123

Bảng 5.15: Hệ số ổn định của Tunnel hình chữ nhật trường hợp B/D = 4 124

Bảng 5.16: Các điểm kiểm soát trong bài toán lỗ tròn của T J Hughes et al [38] 127

Bảng 5.17: Các điểm kiểm soát NURBS ban đầu của Tunnel hình tròn 129

Bảng 5.18: Hệ số ổn định của Tunnel hình tròn 131

Bảng 5.19: Hệ số ổn định của Tunnel hình tròn (D/c uo = 2 và D/c uo = 4) 136

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU 1.1 Tổng quan

Đối với một kỹ sư thiết kế nền móng thì việc xác định sức chịu tải của nền là rất quan trọng Đây là bài toán then chốt trong ngành địa kỹ thuật xây dựng Chúng ta cần phải biết giá trị giới hạn của tải trọng, từ đó đưa ra được hệ số an toàn hợp lý Để xác định giá trị này thường có hai phương pháp phân tích:

- Phương pháp từng bước (step-by-step) nghiên cứu quá trình phát triển biến dạng theo tải trọng tác dụng để tìm tải trọng phá hủy, như trong cách phân tích của phần mềm Plaxis Việc phân tích này cho phép ta hiểu biết được toàn bộ quá trình phát triển dẫn đến phá hoại kết cấu, nhưng không có lợi về mặt tính toán số

- Phương pháp phân tích giới hạn (limit analysis), hướng này rất thực dụng vì tìm trực tiếp giá trị tải trọng phá hủy và cơ chế phá hủy của kết cấu Phương pháp phân tích giới hạn dựa trên hai định lý cơ bản: định lý cận dưới (trường ứng suất) sẽ cho giá trị tải trọng giới hạn nhỏ hơn giá trị chính xác, và định lý cận trên (trường chuyển

vị hay trường biến dạng) sẽ cho giá trị tải trọng giới hạn lớn hơn giá trị chính xác Do

đó khi một bài toán được giải quyết cả cận trên và cận dưới thì giá trị trung bình nghiệm cận trên và cận dưới sẽ cho giá trị gần với nghiệm chính xác, đồng thời thỏa mãn các điều kiện nghiêm ngặt về bản chất cơ học

Quá trình tìm lời giải của bài toán phân tích giới hạn được thực hiện qua hai bước: Bước 1: Rời rạc hóa miền đang xét để xấp xỉ trường ứng suất (cận dưới) hoặc trường biến dạng (cận trên) bằng các phương pháp số như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM), phương pháp không lưới (Mesh-free), phương pháp đẳng hình học (Isogeometric Analysis - IGA)…

Trong luận văn này, phương pháp đẳng hình học (IsoGeometric Analysis - IGA)

là công cụ rời rạc hóa trường biến dạng (cận trên) Phương pháp đẳng hình học được giới thiệu năm 2005 bởi Thomas Hughes và các đồng nghiệp ở Texas [38] Đây là phương pháp số rất mới ra đời nhằm khắc phục sự xấp xỉ hình học của phương pháp phần tử hữu hạn (FEA), đồng thời tích hợp CAD (Computer Aided Design) vào quá trình phân tích kết cấu

Bước 2: Khi trường ứng suất hoặc trường biến dạng được rời rạc thì bài toán phân tích giới hạn trở thành bài toán tối ưu toán học Có thể dùng các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến để giải bài toán tối ưu Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là:

- Để dùng thuật toán tối ưu tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa,

do đó số ẩn số và điều kiện ràng buộc sẽ tăng, dẫn đến chi phí tính toán rất lớn

- Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến Tuy nhiên, hàm mục tiêu không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo, trong khi các thuật toán tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi nơi

Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai (Second Order Cone Programming – SOCP) được phát triển để khắc phục các vấn đề trên Hơn nữa, phần lớn các tiêu chuẩn dẻo đều có thể đưa về dạng nón bậc hai Do đó, trong luận văn này thuật toán tối ưu nón bậc hai sẽ được áp dụng để giải bài toán phân tích giới hạn

1.2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Phân tích giới hạn đã trở thành một công cụ rất mạnh cho việc phân tích các bài toán ổn định trong kết cấu lẫn địa kỹ thuật Nhiều phương pháp số cũng như kỹ thuật tối ưu được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn Phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật được triển khai nghiên cứu và đạt được nhiều thành quả trong vài thập kỷ vừa qua Một số tác giả đạt nhiều thành quả quan trọng trong lĩnh vực địa kỹ thuật như S W Sloan và các đồng nghiệp ở Newcastle (1995) [35]; A V Lyamin

và S W Sloan (2002) [5]; J S Shiau, A V Lyamin và S W Sloan (2003) [23] Gắn liền với sự phát triển của phân tích giới hạn là kỹ thuật xấp xỉ số cho trường ứng suất hoặc trường biến dạng, và thuật toán giải quyết các bài toán tối ưu

Xét về mặt phương pháp số, nhiều phương pháp số đã được nghiên cứu để xấp xỉ cho trường ứng suất hoặc trường biến dạng như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM), phương pháp không lưới (Mesh-free)… Cùng với sự phát triển phương pháp số, thuật toán tối ưu cũng được phát triển, các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến đã được dùng để giải bài toán tối ưu

Thuật toán tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) cũng được sử dụng để giải bài toán phân tích giới hạn trong nghiên cứu của C M Martin (2006) [26]

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật bằng phương pháp số và tối ưu nón bậc hai đã được triển khai nghiên cứu trong nước Như nhóm nghiên cứu của PGS TS Lê Văn Cảnh [11], [12] với sự tài trợ của quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia Nafosted đã thực hiện các bài toán phân tích thích nghi và giới hạn cho kết cấu công trình

Bên cạnh đó hướng nghiên cứu này cũng đã được thực hiện ở Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM:

- Luận văn của Ths Nguyễn Chánh Hoàng [8]: “Phân tích giới hạn nền đất sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và tối ưu toán học” Trong đó phương pháp số được áp dụng để rời rạc hóa trường biến dạng (cận trên) là phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM)

- Luận văn của Ths Trương Phước Trí [31]: “Phân tích giới hạn nền đất sử dụng phương pháp không lưới và tối ưu toán học” Trong đó phương pháp số được áp dụng

để rời rạc hóa trường biến dạng (cận trên) là phương pháp không lưới (Mesh-free)

1.3 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Thiết lập một phương pháp số mới - phương pháp đẳng hình học (IGA) - vào phân tích giới hạn theo định lý cận trên và áp dụng cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Việc kết hợp phương pháp đẳng hình học (IGA) và chương trình tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) trở thành một công cụ mạnh mẽ, hiệu quả và tiết kiệm chi phí tính toán Bên cạnh đó, phương pháp đẳng hình học (IGA) còn được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) và cho thấy những ưu điểm nổi bật Đây là một nghiên cứu rất hữu ích cho khoa học tính toán địa kỹ thuật (Computational Geomechanics)

1.4 Tính thực tiễn của đề tài

Phân tích giới hạn có ý nghĩa rất quan trọng trong thực tiễn Vì giúp ta xác định trực tiếp được tải trọng phá hủy cũng như cơ chế phá hủy tương ứng cho các bài toán địa kỹ thuật như: phân tích sức chịu tải nền, phân tích ổn định mái dốc, phân tích ổn định Tunnel…

Phương pháp đẳng hình học (IGA) là một công cụ rất mạnh mẽ trong thiết kế ngày nay Việc tích hợp CAD vào quá trình phân tích kết cấu giúp khắc phục nhược điểm xấp xỉ hình học của phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) và giảm thiểu chi phí tính toán Luận văn này cho thấy việc áp dụng phương pháp đẳng hình học (IGA) vào bài toán địa kỹ thuật xây dựng cho kết quả rất ổn định và hiệu quả về tính toán

1.5 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

1.5.1 Mục tiêu

Vận dụng lý thuyết phân tích giới hạn theo định lý cận trên, sử dụng phương pháp đẳng hình học (IGA) và chương trình tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) để xác định tải trọng phá hủy và cơ chế phá hủy của một số bài toán địa kỹ thuật:

- Rời rạc hóa kết cấu bằng phương pháp đẳng hình học (IGA), đây là nội dung chính của luận văn Luận văn cũng trình bày phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) nhằm mục đích so sánh với phương pháp đẳng hình học (IGA) Điều này cho thấy những điểm mới, nổi bật của phương pháp đẳng hình học (IGA) Ngoài ra luận văn còn trình bày thuật toán Bézier extraction biến đổi bài toán IGA thành cấu trúc tính toán giống bài toán FEA

- Thiết lập bài toán phân tích giới hạn dựa trên tiêu chuẩn Mohr – Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp

- Đưa bài toán phân tích giới hạn về bài toán tối ưu có ràng buộc dạng nón bậc hai

- Lập trình mô phỏng số (dùng ngôn ngữ lập trình Matlab) cho các bài toán trên

- Kết luận chung về tính hội tụ và chính xác của tiến trình mới phân tích giới hạn theo định lý cận trên thông qua việc so sánh kết quả thu được với các kết quả số khác

CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH GIỚI HẠN THEO ĐỊNH LÝ CẬN

TRÊN VÀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NÓN

Chương này trình bày lý thuyết tìm tải trọng phá hủy và cơ chế phá hủy bằng định

lý cận trên Bài toán phân tích giới hạn được đưa về bài toán tối ưu toán học, ở đây

là cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo của toàn miền hình học đang xét Mô hình dẻo lý tưởng Mohr - Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp được giả định để dễ dàng tính thành phần gia tăng biến dạng dẻo khi trạng thái ứng suất của đất nền nằm trên mặt ngưỡng dẻo Mohr - Coulomb và như vậy năng lượng tiêu tán dẻo được thiết lập

Nội dung chương này được tham khảo từ tài liệu [8] và [31]

2.1 Dẻo lý tưởng và tiêu chuẩn phá hủy cho đất

Một vật liệu được lý tưởng hóa nghĩa là vượt qua giới hạn đàn hồi, quan hệ ứng suất - biến dạng được xấp xỉ là đường thẳng nằm ngang Do đó, biến dạng dẻo được giả định là xảy ra dưới ứng suất hằng số

Sự lý tưởng hóa này dẫn đến sự đơn giản trong việc phân tích bài toán kết cấu phức tạp Đặc biệt, là sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn tiếp cận từ trường chuyển

vị (biến dạng), tuy rất đơn giản nhưng là công cụ hữu hiệu trong việc tiên đoán tải trọng và cơ chế phá hủy

2.1.1 Giới hạn đàn hồi và mặt ngưỡng dẻo

Giới hạn đàn hồi hay “nhượng” là hiện tượng “biến dạng không hồi phục” bắt đầu xuất hiện trong quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu Ứng xử sau đàn hồi đối với thủy tinh hay gốm là vở, bể vụn, còn với kim loại dẻo là chảy dẻo Cả hai hiện tượng này đều có trong ứng xử đất và đá Riêng đối với đất hiện tượng sau “nhượng” là do các hạt đất bị gãy, bể vụn đồng thời tái cấu trúc hạt cùng xảy ra

Tiêu chuẩn nhượng là tập hợp các hàm toán học diễn tả đặc trưng nhượng của vật liệu, có rất nhiều tiêu chuẩn nhượng đã được đề xuất bởi các kỹ sư và các nhà nghiên cứu, đầu tiên là của Coulomb công bố năm 1773 Tiêu chuẩn nhượng của Mohr - Coulomb đã trở thành nền tảng cho sự hiểu biết ứng xử của đất đến ngày nay

Tổng quát, nhượng là giới hạn trạng thái đàn hồi của vật liệu và nếu sau đó vật liệu chuyển sang ứng xử dẻo thuần túy hoặc đàn hồi - dẻo thì nhượng là ngưỡng dẻo

Trong không gian ứng suất quỹ đạo các điểm nhượng là mặt ngưỡng dẻo thường

được ký hiệu là hàm f(ij ,k) của các thành phần ứng suất:

 : Theo định luật chảy dẻo

Hình 2.1: Quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu đàn hồi - dẻo lý tưởng

2.1.2 Mặt thế năng dẻo và luật chảy dẻo kết hợp

Vấn đề cốt lõi của lý thuyết dẻo là làm sao tính toán được biến dạng dẻo khi trạng thái ứng suất nằm trên mặt ngưỡng dẻo Hầu hết các lý thuyết dẻo đang được sử dụng hiện nay dựa trên gia số biến dạng dẻo:

như quy luật chảy dẻo là cơ sở để tính gia số biến dạng dẻo Khi đó vector gia số biến

dạng dẻo có phương vuông góc với mặt thế năng dẻo g(ij ,k) = 0

Để có mối liên hệ đơn giản giữa vector gia số biến dạng dẻo và mặt ngưỡng dẻo

ta giả định mặt ngưỡng dẻo trùng với mặt thế năng dẻo  gọi là quy luật chảy dẻo kết hợp Khi đó, gia số biến dạng dẻo có thể tính như sau:



p ij



e ij

Mối liên hệ giữa vector gia số biến dạng dẻo và mặt ngưỡng dẻo f(ij , k) = 0 được

tính theo luật chảy dẻo kết hợp như Hình 2.2:

Hình 2.2: Sự minh họa hình học của luật chảy dẻo kết hợp

Như vậy, nếu biết được hàm ngưỡng dẻo f(ij , k) sẽ tìm được gia số biến dạng dẻo

theo luật chảy kết hợp và khi đó vector gia số biến dạng dẻo sẽ vuông góc với mặt ngưỡng dẻo

2.1.3 Hàm ngưỡng dẻo Mohr - Coulomb

Quan hệ ứng suất - biến dạng của đất thể hiện qua Hình 2.3 Thông thường, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thu được từ kết quả cắt trực tiếp hoặc thí nghiệm

ba trục Dễ dàng nhận thấy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thật của đất bao gồm

cả tăng và giảm bền không như ứng xử của dẻo lý tưởng Tuy nhiên, trong phân tích giới hạn, để dễ dàng thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, mô hình dẻo

lý tưởng Mohr - Coulomb được áp dụng

Hình 2.3: Ứng xử thật của đất và ứng xử đàn hồi - dẻo lý tưởng

p ij

và đất thoát nước được thể hiện qua Hình 2.5

Hình 2.5: Phương của vector gia số biến dạng dẻo trên hệ trục  - 

2.2 Lý thuyết phân tích giới hạn

Một khuynh hướng mạnh nhất của lý thuyết dẻo trong việc xác định giá trị gần đúng của tải phá hủy P ult là phân tích giới hạn Điều này xuất phát từ hai định lý cận

do Drucker đề xuất năm 1952 [14]: “Một vật thể đàn hồi – dẻo thuần túy hoặc chịu phân bố ứng suất tránh bị phá hủy hoặc sẽ bị phá hủy nếu điều kiện khả dĩ động xuất hiện” Định lý cận dưới và định lý cận trên được sử dụng để phân tích bài toán tải giới hạn

(a) Đất không thoát nước (b) Đất thoát nước

d

p ij

d

Phân tích giới hạn nhằm xác định trạng thái của cấu kiện khi phá hủy và cơ chế phá hủy ứng với trạng thái đó Để giải một bài toán phân tích giới hạn ta có thể tiếp cận từ 2 trường: trường ứng suất (áp dụng định lý cận dưới) và trường biến dạng (áp dụng định lý cận trên) và nghiệm cho như Hình 2.6 Bài toán phân tích giới hạn được chuyển thành bài toán tối ưu Nếu tiếp cận từ cận dưới ta cần tìm cực đại  và ngược lại nếu tiếp cận từ cận trên ta cần tìm cực tiểu 

Hình 2.6: Nghiệm của định lý cận trên và định lý cận dưới

2.2.1 Định lý cận dưới

Phân tích giới hạn theo định lý cận dưới được phát biểu như sau:

“Sự phá hủy sẽ không xảy ra khi tất cả các điểm trong vật thể và trên biên đều không vượt ngưỡng dẻo” (trong điều kiện đàn hồi – dẻo thuần túy) Hiểu một cách đơn giản là tất cả các điểm trong vật thể chưa vượt điều kiện cân bằng Mohr – Coulomb

2.2.2 Định lý cận trên

Trong luận văn này, trường biến dạng (chuyển vị) sẽ được áp dụng để giải quyết một số vần đề trong địa xây dựng liên quan đến tải phá hủy của nền móng băng, mặt trượt và độ ổn định của bài toán mái dốc, Tunel Do vậy, định lý cận trên sẽ được trình bày kỹ trong phần này

Xét một vật thể đàn hồi - dẻo lý tưởng trong miền R 2 như Hình 2.7 Miền 

này bị giới hạn bởi biên Γ Γ uΓt, trong đó Γu là biên chuyển vị và Γt là biên lực





ult

P

Định lý cận trên sử dụng trường biến dạng

Định lý cận dưới sử dụng trường ứng suất

Hình 2.7: Các điều kiện biên của vật thể Theo định lý cận trên, vật thể bị sụp đổ khi và chỉ khi tồn tại trường chuyển vị khả

- Công của lực trực tiếp gây phá hủy vật thể Thành phần này được tính bằng tải phá hủy  nhân với công ngoại của lực đơn vị W ext unit ( u )

Vậy ta có: D ( ( u )) p  W ext unit ( u ) W o ext ( u ) (2.13) Việc xét riêng hai thành phần công ngoại giúp ta đưa định lý cận trên về bài toán tối ưu cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo như sau:

 min D ( ( u )) W p   o ext ( u ) (2.14)

,( )

u uo u

unit ext

Về ý nghĩa vật lý ta hiểu như sau: Vật thể bị sụp đổ khi và chỉ khi bên trong vật thể không còn khả năng hấp thu năng lượng do công của ngoại lực sinh ra Ứng với mỗi trường biến dạng dẻo sẽ thiết lập được năng lượng tiêu tán dẻo cho toàn miền Thông qua bài toán tối ưu, trường biến dạng dẻo ứng với cơ chế phá hủy sẽ được tìm Bài toán tối ưu được hiểu là cho cả miền vật thể bị phá hoại dẻo – tương ứng với công ngoại của tải trọng rất lớn, sau đó dùng thuật toán tối ưu để tìm ra vùng phá hoại dẻo nhỏ nhất trong vật thể – tương ứng với công ngoại của tải trọng phá hủy 

Do phân tích giới hạn theo định lý cận trên tiếp cận từ trường biến dạng, sử dụng năng lượng và công để đưa về bài toán tối ưu nên cách xây dựng bài toán khác với phương pháp phân tích từng bước nghiên cứu quá trình phát triển biến dạng theo tải trọng tác dụng Ở đây, ta không tính ứng suất và biến dạng ở một trạng thái bất kỳ trên lộ trình ứng suất, mà ta xác định được trạng thái phá hủy của vật thể thông qua bài toán tối ưu Lúc này, trạng thái ứng suất của vật thể đã chạm đường bao chống cắt Mohr – Coulomb

2.3 Chương trình tối ưu hình nón bậc hai (SOCP)

Trong vài thập niên gần đây, kỹ thuật tối ưu đã đạt nhiều thành tựu đáng kể Điều này tạo ra một lợi thế lớn khi giải quyết bài toán phân tích giới hạn Như đã đề cập ở

phần trước, bài toán phân tích giới hạn được đưa về bài toán tối ưu Trong đó bài toán tối ưu được xây dựng là cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo

Hiệu quả của việc giải các bài toán phân tích giới hạn phụ thuộc rất lớn vào thuật toán tối ưu được dùng Trong luận văn này, chương trình tối ưu hình nón bậc hai (Second Order Cone Programming - SOCP) được sử dụng Một trong những ưu điểm lớn khi bài toán tối ưu được đưa về dạng nón bậc hai là bài toán phân tích giới hạn với số biến lớn (số biến lên tới hàng triệu) sẽ được giải quyết với tốc độ rất nhanh, thông qua chương trình tối ưu Mosek [37] được phát triển bởi các nhà toán học Trước khi trình bày tối ưu hình nón (conic optimization), ta tìm hiểu về tối ưu tuyến tính (linear optimization) – đây là bài toán tối ưu cơ bản nhất

2.3.1 Tối ưu tuyến tính

Ví dụ một bài toán tối ưu tuyến tính như sau:

Trong đó, ngoài các ràng buộc giống bài toán tối ưu tuyến tính còn có ràng buộc

dạng nón bậc hai: x 4  x 1 2x 2 2 và ràng buộc dạng nón bậc hai xoay: 2x x 5 6  x 3

2.4 Xây dựng bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu được xây dựng là cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo trong toàn miền

 Trong nghiên cứu trước đây, C M Martin [26] đã dùng phương pháp phần tử hữu

hạn (FEA) để rời rạc miền  thành nhiều miền con e là những phần tử tam giác 6 nút và thiết lập năng lượng tiêu tán dẻo cho từng phần tử như sau:

d ( ( u )) p   A c cos e  ( e xx e yy ) 2 (e xy ) 2 (2.31) Trong đó: A e là diện tích phần tử e

c,  là lực dính và góc ma sát trong của đất

xx, yy, xy

   là các thành phần biến dạng của phần tử e Như vậy, năng lượng tiêu tán dẻo của phần tử e được thiết lập dựa trên các thành

phần biến dạng của phần tử và thông số lực dính, góc ma sát trong của đất nền Ứng với mỗi trường biến dạng sẽ thu được năng lượng tiêu tán dẻo trong toàn miền , và trường biến dạng ứng với cơ chế phá hoại sẽ được tìm thông qua bài toán tối ưu Chú ý rằng các thành phần biến dạng là hằng số trong miền e đối với trường hợp phần tử tam giác 3 nút (FEA) như trong luận văn của Ths Nguyễn Chánh Hoàng [8] Hoặc là các biến dạng trung bình ij e của phần tử đối với trường hợp phần tử có các thành phần biến dạng thay đổi như trong luận văn này sẽ được trình bày trong CHƯƠNG 3 và CHƯƠNG 4

Để xây dựng bài toán tối ưu có ràng buộc dạng nón bậc hai ta đặt thêm biến phụ:

t e  (xx e e yy ) 2(e xy ) 2 (2.32) Vậy ta có: d ( ( u )) p   A c cos e  ( xx e e yy ) 2(e xy ) 2  A c cos t e  e (2.33)

Bài toán tối ưu trở thành: (với nel là tổng số phần tử trong miền )

 min nel e 1 A c cos t e  eW o ext ( u ) (2.34)

Với các ràng buộc:

u

,( )

o unit ext

Cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo:  T

Trong đó X là vector biến của bài toán:

[ 1 2 SDOF 1 nel 1 1 nel nel]

Trong đó: Số biến chuyển vị nút là số bậc tự do của bài toán SDOF

Số biến phụ t e đặt thêm bằng số phần tử nel

Thành phần biến dạng m e    e xx e yy và n e  e xy của phần tử e

eq

A

  là ma trận được thiết lập từ các điều kiện sau:

- Điều kiện biên về chuyển vị

- Công ngoại bằng một

- Ràng buộc bởi cách đưa biến phụ t e vào bài toán

Như vậy bài toán tối ưu được xây dựng theo dạng cố định và đưa vào chương trình Mosek để tìm kết quả tối ưu Vấn đề quan trọng nhất của bài toán phân tích giới hạn

là cách rời rạc hóa miền  sao cho số bậc tự do là tối thiểu để tăng nhanh thời gian

tính toán Trong những nghiên cứu trước đây, phương pháp phần tử hữu hạn (FEA)

đã được sử dụng là một công cụ rất hiệu quả Trong luận văn này, phương pháp đẳng hình học (IGA) là một công cụ rời rạc mới được áp dụng Vì vậy luận văn sẽ tập trung vào việc rời rạc hóa bài toán bằng IGA và so sánh sự khác biệt cơ bản giữa IGA và FEA Sau đây là các bước chính của bài toán phân tích giới hạn theo định lý cận trên

SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN THEO ĐỊNH LÝ CẬN TRÊN ĐƯỢC

TIẾN HÀNH TRONG LUẬN VĂN

Mô hình bài toán

 Dạng hình học

 Điều kiện biên chuyển vị

 Điều kiện biên lực

Xây dựng bài toán tối ưu

o nel

Các ràng buộc

Hình 2.8: Sơ đồ phân tích giới hạn theo định lý cận trên

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Chương này trình bày nội dung cơ bản về phần tử đẳng tham số (isoparametric element) của phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) Trong đó, phần tử tứ giác Q4 và phần tử tứ giác Q9 được trình bày vì hai phần tử này phù hợp cho việc so sánh giữa phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) và phương pháp đẳng hình học (IGA)

Nội dung chương này được tham khảo từ tài liệu [9] và [36]

3.1 Giới thiệu phần tử đẳng tham số

Trong FEA, khi sử dụng trực tiếp các phần tử có hình dạng tổng quát trong hệ tọa

độ Descartes vuông góc thông thường để tạo hàm dạng cho các phần tử tam giác bậc cao (bậc lớn hơn hay bằng 2) và các phần tử tứ giác (từ bậc 1 đến bậc cao) ta sẽ gặp hai trở ngại sau:

- Tính tương thích của hàm dạng tại nút sẽ bị vi phạm Tức các hàm dạng tại nút

sẽ không liên tục dọc theo các biên phân cách giữa các phần tử bao quanh nút đó

- Việc đánh giá tích phân trong các ma trận phần tử (ma trận độ cứng, ma trận biến dạng chuyển vị) và vector tải phần tử sẽ rất khó khăn và ngay cả không thể

Để có thể giải quyết hai trở ngại này một cách hiệu quả, ta cần sử dụng đồng thời các phần tử đẳng tham số và tích phân số Gauss trên các phần tử đẳng tham số đó Khái niệm về phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi (phép ánh xạ - mapping) một phần tử được gọi là phần tử chuẩn (parent element) trong hệ tọa độ tự nhiên địa phương thành phần tử thực (physical element) tương ứng có dạng tùy ý hơn trong hệ tọa độ vuông góc như ví dụ trong Hình 3.1

1

1 1 0

mapping

mapping

Phần tử chuẩn (Parent element)

Phần tử thực (Physical element)

Hình 3.1: Các phần tử đẳng tham số và phép ánh xạ hình học

Như vậy phải có một mối quan hệ giữa tọa độ một điểm P(x,y) bất kỳ thuộc phần

tử thực trong hệ tọa độ vuông góc và điểm tương ứng P’(,h) thuộc phần tử chuẩn trong hệ tọa độ tự nhiên địa phương Nếu phần tử e có n e nút thì mối quan hệ giữa các tọa độ này được viết như sau:

diễn qua các tọa độ tự nhiên (,h) Các hàm dạng N ( , ) i  h được dùng trong phép

biến đổi (3.1) giúp ta xác định dạng hình học của phần tử thực n e nút trong hệ tọa độ vuông góc

Trong FEA, khi đã biết các chuyển vị nút phần tử ( u ,v ) i i thì có thể xác định được các chuyển vị thành phần ( u,v ) tại một điểm bất kỳ thuộc phần tử nhờ vào các hàm

dạng hay hàm nội suy chuyển vị N ( , ) i  h bằng các quan hệ quen thuộc sau:

Các chuyển vị thành phần (u,v) tại một điểm bất kỳ thuộc phần tử được nội suy

theo các chuyển vị nút như đã cho trong (3.2) có thể được viết trong dạng chung theo

vector chuyển vị nút của phần tử

hàm N i lấy đối với biến x và y của hệ tọa độ vuông góc Các đạo hàm này được tìm

theo quy tắc đạo hàm hàm hợp như sau:

Hay ở dạng ma trận: i, , , i,x J i,x

Chú ý rằng nghịch đảo của J tồn tại khi có sự tương quan một – một giữa các tọa

độ tự nhiên và tọa độ vuông góc cho bởi (3.3)

Ngoài ra, ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử được cho bởi công thức:

e

T e

Xét tích phân xác định của bài toán một chiều (1D) như sau:

1 1

Cách đơn giản và gần đúng nhất là xem tích phân trên là bằng tích giá trị của hàm

f() tại điểm giữa khoảng tích phân với chiều dài của khoảng tích phân đó (Hình 3.2(a)), tức là xem gần đúng I = 2f(0) = 2f 1

Hình 3.2: Phép cầu phương Gauss với các sơ đồ có số điểm Gauss khác nhau

Dễ thấy rằng kết quả trên là chính xác nếu đường f() là đường thẳng hay hàm f() là bậc nhất Trong trường hợp tổng quát, phép cầu phương Gauss với bài toán 1D

i là tọa độ của điểm Gauss thứ i

W i là trọng số của điểm Gauss thứ i

Hình 3.2 giới thiệu phép cầu phương Gauss với sơ đồ 1, 2 hoặc 3 điểm Gauss Trong phép cầu phương Gauss, vị trí các điểm Gauss được xác định sao cho với số

điểm n đã cho thì đạt được độ chính xác lớn nhất Các điểm Gauss được đặt đối xứng

với tâm của khoảng tính tích phân Các trọng số là như nhau với các điểm Gauss đối xứng nhau Bảng 3.1 cho biết cho biết vị trí và trọng số tương ứng của các điểm Gauss của phần tử chuẩn có kích thước [-1,1] trong miền 1D Chú ý rằng phép cầu phương

Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm f() là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng (2n-1)

Bảng 3.1: Các điểm tích phân Gauss, các trọng số tương ứng

3.3 Phần tử tứ giác Q4

Trong hệ tọa độ tự nhiên (,h) phần tử tứ giác Q4 là một phần tử chuẩn kích thước

[-1,1]×[-1,1] có 4 nút như Hình 3.3 Vì là phần tử đẳng tham số nên các hàm nội suy tọa độ đồng nhất với các hàm nội suy chuyển vị như sau:

Hình 3.3: Phần tử tứ giác Q4 trong hệ tọa độ tự nhiên

Ma trận Jacobi J có kết quả như sau:

Trong đó x i và y i là tọa độ của nút thứ i trong hệ tọa độ vuông góc (x,y)

Biến dạng của một điểm thuộc phần tử:

Do các đạo hàm Ni,  const ; N i,h  const nên ma trận biến dạng chuyển vị Be

không bằng hằng số và là một hàm theo giá trị của  và h (được viết ở dạng Be (,h))

3.4 Phần tử tứ giác Q9

Trong hệ tọa độ tự nhiên (,h) phần tử tứ giác Q9 cũng là một phần tử chuẩn kích

thước [-1,1]×[-1,1] nhưng có 9 nút như Hình 3.4 Cả 9 hàm nội suy của phần tử Q9 đều là đa thức Lagrange bậc 2 theo từng phương  và h như sau:

(3.24)

Hình 3.4: Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên

Ma trận Jacobi J có kết quả như sau: