Giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu trúc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG - BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG TRẦN THẮNG GIẢI BÀI TOÁN NƯỚC NÔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THể TÍCH HữU HạN VỚI LƯỚI PHI CẤU TRÚC Thành phố H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG - BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

   TRẦN THẮNG

GIẢI BÀI TOÁN NƯỚC NÔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THể TÍCH

HữU HạN VỚI LƯỚI PHI CẤU TRÚC

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2016

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Trịnh Anh Ngọc

……….…………

……….…………

……….…………

Cán bộ nhận xét 1 : ………

……….…………

……….…………

……….…………

Cán bộ nhận xét 2 : ………

……….…………

……….…………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày … tháng 01 năm 2016 Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 ………

2 ………

3 .………

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sữa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp HCM, ngày … Tháng … Năm 2016

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : Trần Thắng Phái : Nam

Ngày sinh : 10-07-1989 Nơi sinh : Ninh Thuận

Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV : 12240581

I – TÊN ĐỀ TÀI :

GIẢI BÀI TOÁN NƯỚC NÔNG PHƯƠNG PHÁP THể TÍCH HữU HạN VỚI LƯỚI PHI CẤU TRÚC

II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

 Thành lập phương trình nước nông

 Giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu trúc

 So sánh nghiệm số với các bài báo khác

 Mở rộng bái toán cho những ví dụ ứng dụng thực tế

III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/2015

IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 12/2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tập thể Thầy, Cô giáo bộ môn Toán Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng, phòng Đào Tạo Sau Đại Học – Trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt khiến thức cho tôi suốt quá trình khóa học

Trần Thắng

TÓM TẮT

Trong lược đồ thể tích hữu hạn trung tâm nút Godunov – type, trong luận văn này tác giả đề xuất giải bài toán nước nông 2D với lưới phi cấu trúc sử dụng lược đồ “Contract wave restored” (HLL) Trong mô hình này, tác giả dựa vào lược đồ van Alibada giới hạn để làm mới lại các giá trị của biến bảo toàn tại trung điểm cạnh khi kéo giá trị từ tâm phần tử ra Và tái cấu trúc lại để mực nước không bị âm và áp dụng một số kĩ thuật số để tăng tính chính xác

và không bị phi vật lý Tại những bề mặt khô – ướt tránh trường hợp không ổn định phương pháp số, thì tác giả giới hạn và tái cấu trúc lại Đối với trao đổi thông lượng và khối lượng giữa các phần tử, tác giả đề xuất sử dụng HLL để tính toán và bậc sai số theo không gian là hai Để điều trị nguồn ma sát ảnh hưởng lên dòng chảy, tác giả dùng khai triển Taylor theo thời gian và chặc cụt nó ở bậc hai, mục dích tăng độ chính xác của giải số Còn đối với nguồn góc nghiêng, tác giả cũng sử dụng định lý Green, xử lý tương tự như thông lượng Để kiểm tra

độ chính xác của bài toán, tác giả so sánh với những bài báo có giá trị, được đăng trên các tạp chí uy tính đế tăng tính chính xác kết quả của tác giả

MỤC LỤC  

MỤC LỤC 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5

DANH MỤC HÌNH 6

LỜI CẢM ƠN 8

TÓM TẮT 9

TỔNG QUAN VẤN ĐÊ 10

1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam 10

2 Tính cấp thiết của đề tài 11

3 Mục tiêu 12

4 Nội dung nghiên cứu 12

5 Phương pháp nghiên cứu 12

6 Tính mới 13

CHƯƠNG I: THÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG 14

1 Phương trình nước nông hai chiều 14

2 Định luật bảo toàn cơ bản 14

3 Nhận xét và đánh giá 19

CHƯƠNG II: RỜI RẠC PHƯƠNG TRÌNH 21

1 Giới thiệu 21

2 Phương trình liên tục 22

3 Thể tích hữu hạn cho lưới tam giác 23

4 Xấp Xỉ HLL Riemann Solver 28

5 Xử lý trao đổi lưu lượng 29

5.1 Tính M i q và M k q 32

5.2 Tái cấu trúc lại độ sâu của mực nước 33

6 Xử lý thành phần nguồn góc nghiêng 34

7 Xử lý thành phần nguồn ma sát 37

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỐ 42

1 Tính toán lưới 42

2 Điều kiện hội tụ của bài toán 43

3 Lưới xấp xỉ 43

4 Phương pháp tính 44

CHƯƠNG IV: SO SÁNH KẾT QUẢ SỐ 47

1 Mô hình nước nông một chiều không có địa hình 47

1.1 Mô hình một 48

1.2 Mô hình hai 51

2 Mô hình nước nông một chiều có địa hình 53

3 Mô hình nước nông hai chiều có địa hình 57

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu Ý nghĩa

q Véc-tơ của biến bảo toàn

f Véc-tơ thông lượng theo phương x

g Véc-tơ thông lượng theo phương y

S Véc-tơ nguồn ảnh hưởng lên dòng chảy

u v Thành phần của véc-tơ vận tốc dòng chảy trung bình theo độ sâu

trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy (m/s)

h Độ sâu tính từ mực nước tĩnh đến đáy (m)

  Lần lượt diện tích tam giác và biên của tam giác (m2,m)

l Chiều dài cạnh của tam giác (m)

 Khối lượng riêng của chất lỏng (kg/m3)

g Gia tốc trọng trường (m/s2)

HLL Công thức xấp xỉ của Harten, Lax và van Leer [12]

DANH MỤC HÌNH

HÌNH 1: DÒNG VÀO VÀ RA CủA CHấT LỏNG TRONG THể TÍCH KIểM TRA 14 

HÌNH 2: MÔ Tả DÒNG CHảY BAO GồM CAO TRÌNH, CAO TRÌNH ĐÁY VÀ CHIềU CAO CủA ĐịA HÌNH 17 

HÌNH 3: KÍ HIệU BIếN TạI Bề MặT TRÊN LƯớI PHI CấU TRÚC 21 

HÌNH 4: MÔ HÌNH DÒNG CHẢY 23 

HÌNH 5: RờI RạC MIềN TÍNH VớI LƯớI TAM GIÁC 25 

HÌNH 6: ĐỊNH NGHĨA VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA TAM GIÁC 26 

HÌNH 7: NHỮNG TAM GIÁC CHUNG CạNH VớI TAM GIÁC TI 27 

HÌNH 8: ĐịNH NGHĨA TAM GIÁC KIểM TRA 30 

HÌNH 9: XÁC ĐịNH CÁC GIÁ TRị LƯU LƯợNG TạI Vị TRÍ D 32 

HÌNH 10: XÁC ĐịNH CÁC GIÁ TRị LƯU LƯợNG TạI Vị TRÍ M 33 

HÌNH 11: THủ TụC TÁI CấU TRÚC DÒNG CHảY ƯớT-KHÔ TạI CạNH ĐANG XÉT 34 

HÌNH 12: GÓC NGHIÊNG TRONG 2D 35 

HÌNH 13: DạNG TÍCH PHÂN CủA NGUồN GÓC NGHIÊNG 36 

HÌNH 14: CÁC BIếN DÒNG CHảY NGHIÊNG ĐƯợC TÍNH TOÁN TRONG TAM GIÁC 37 

HÌNH 15: ĐỊNH NGHĨA CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 42 

HÌNH 16: LƯỚI TAM GIÁC PHI CẤU TRÚC 43 

HÌNH 17: LƯỚI THỂ TÍCH KIỂM TRA CỦA MÔ HÌNH NƯỚC NÔNG 44 

HÌNH 18: MÔ HÌNH NƯớC NÔNG 1D KHÔNG CÓ ĐịA HÌNH Gồ GHề VớI CHIềU CAO NƯớC KHÁC NHAU 48 

HÌNH 19: CHIềU CAO NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.2 NGHIệM CHÍNH XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI) 49 

HÌNH 20: VậN TốC NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.2 NGHIệM CHÍNH XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI) 49 

HÌNH 21: MÔ HÌNH HAI 51 

HÌNH 22: CHIềU CAO NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.15 NGHIệM CHÍNH XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI) 52 

HÌNH 23: VậN TốC NƯớC TạI TạI THờI ĐIểM T=0.15 NGHIệM CHÍNH XÁC(TRÁI) VÀ NGHIệM Số(PHảI) 53 

HÌNH 24: MÔ HÌNH BÀI TOÁN NƯớC NÔNG 1D VớI NÚI Gồ GHề 54 

HÌNH 25: TạI THờI ĐIểM T=3S 55 

HÌNH 26: TạI THờI ĐIểM T=5S 56 

HÌNH 27: TạI THờI ĐIểM T=10S 56 

HÌNH 28: TạI THờI ĐIểM T=20S 57 

HÌNH 29: THIếT Kế ĐịA HÌNH VớI BA NÚI Gồ GHề 58 

HÌNH 30: TạI THờI ĐIểM T=0S 59 

HÌNH 31: TạI THờI ĐIểM T=0S 59 

HÌNH 32: TạI THờI ĐIểM T=6S 59 

HÌNH 33: TạI THờI ĐIểM T=12S 60 

HÌNH 34: TạI THờI ĐIểM T=30S 60 

HÌNH 35: TạI THờI ĐIểM T=300S 60 

TỔNG QUAN VẤN ĐÊ

1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam

Việc nghiên cứu các vấn đề về dòng chảy trên biển và các quá trình tự nhiên chịu sự ảnh hưởng của dòng chảy như sự lan truyền các chất ô nhiễm hay sự bồi, xói đáy là một bài toán khó Dòng chảy trên biển chịu sự tác động của nhiều yếu tố tự nhiên như: sóng gió, địa hình đáy, … nên rất đa dạng và phức tạp Do vậy, ngay từ đầu thế kỷ 20 đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu về vấn đề này

 Các nghiên cứu trên thế giới

Hiện tại trên thế giới đã có nhiều bài báo quốc tế giải và mô phỏng bài toán nước nông bằng nhiều phương pháp khác nhau (PP sai phân hữu hạn, PP phần tử hữu hạn, PP thể tích hữu hạn tại nút, PP thể tích hữu hạn tại tâm …)

Phần mềm MIKE3 được ứng dụng phổ biến nhất và mô hình MIKE3 là một hệ thống số trị phi thủy tĩnh tổng quát được phát trển bởi DHI (Viện Thủy Lợi Đan Mạch)[13], với một loạt các ứng dụng cho Đại dương, vùng ven biển, cửa sông và hồ Nó cũng mô phỏng được dòng ba chiều không đều và đưa vào các biến thiên mật độ, địa hình đáy và các ngoại lực tác động như là khí tượng, biến động mực nước (dao động của thủy triều), dòng chảy và các điều kiện thủy văn khác Phương pháp này được gọi là phương pháp giả nén nhân tạo (mô hình giải nén), cho phép giữ lại toàn bộ các phương trình động lượng, do vậy tránh được giả thuyết của các chất lỏng không nén được Có thể áp dụng MIKE3 để tình toán ảnh hưởng của lũ lụt và sự khô cạn của các vùng nước nóng ven bờ

Ngoài các ứng dụng Đại dương, MIKE (MIKE11) còn là một phần mềm kỹ thuật chuyên dụng mô phỏng lưu lượng, chất lượng nước và vận chuyển bùn cát ở cửa sông, sông, hệ thống tưới, kênh dẫn và các hệ thống dẫn nước khác, bao gồm: Dự báo lũ vận hành hồ chứa, các phương pháp mô phỏng kiểm soát lũ, nghiên cứu của sóng thủy triều và dòng chảy do mưa ở sông và cửa sông

Năm 2013, Yaxin Huang, NingChuan Zhang và Yuguo Pei [6] đã giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn với bất kì địa hình đáy Để giải bài toán, cả ba tác giả trên

sử dụng lược đồ “Godunov-type” thể tích hữu hạn giải quyết dòng chảy không dừng Dùng HLL Riemann solver để tính thông lượng Và một điều quang trọng trong bài báo [6] là sử dụng kỹ thuật mực nước không âm để cân bằng dòng chảy khi vận tốc trung bình bằng không

và cao trình là hằng số Bên cạnh đó, kết quả số bài báo [6] cũng cho ta thấy sự tin cậy và ổn định phương pháp số và sau này tác giả dùng nó để kiểm chứng lại phương pháp của mình Năm 2015, Jingming Hou , Qiuhua Liang , Hongbin Zhang và Reinhard Hinkelmann cũng giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn, nhưng điểm mới của ba tác giả này là tập trung tính đạo hàm tại nút của thể tích kiểm tra để cân bằng phương pháp số và tăng

sự chính xác của lược đồ

 Các nghiên cứu ở Việt Nam

Võ Thanh Tân, Lê Quang Toại [14] sử dụng mô hình hai chiều không dừng có tính đến các thành phần phi tuyến và ma sát rối ngang phương pháp phần từ hữu hạn tuyến tính và phương pháp lặp để nghiên cứu dòng chảy vịnh Gành Rái Mô hình được xây dựng cho trường ứng suất gió trên mặt biển thay đổi theo thời gian và không gian trong mạng lưới tính Ảnh hưởng của độ sâu đáy biển lên dòng chảy được đánh giá bằng cách so sánh dòng chảy tính toán với dòng chảy tính toán trong vùng biển giả định có độ sâu đáy biển không đổi Mô hình được áp dụng để tính toán cho dòng chảy ở vịnh Gành Rái với dao động mực nước biển tuần hoàn trên biên lỏng và dòng chảy gió ứng với các trường gió mùa đặc trưng trong năm Nhằm khắc phục những hạn chế của các trạm đo dòng chảy riêng lẻ, không liên tục, đồng bộ (về không gian, thời gian) nên không khái quát hóa được dòng chảy trên vùng đầm phá Tam Giang - Cầu Hai ở các thời điểm khác nhau cũng như dự báo sự biến đổi chế độ dòng chảy do ảnh hưởng quá trình địa chất tự nhiên (bồi, xói, đóng mở cửa sông, cửa biển …)

Bùi Đức Chi [15], ứng dụng phương pháp thể tích hữu hạn phi cấu trúc để tính toán dòng chảy và lan truyền chất trên kênh sông Kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ cho ta thấy được lưu lượng, mực nước, vận tốc dòng chảy, mức độ ô nhiễm tại điểm giao nhau (điểm hợp lưu) của các nhánh sông xét trong một trường hợp cụ thể Nếu có một tác động xấu tại điểm hợp lưu thì

ta có thể điều các chỉ số tại các nhánh sông nhằm cải thiện tốt môi trường ở điểm hợp lưu, nhưng thông thường chỉ số mà ta xét chỉ là mức độ ô nhiễm hay nồng độ chất ô nhiễm trong dòng nước.  

2 Tính cấp thiết của đề tài

Trong các nghiên cứu ứng dụng, việc giải quyết các bài toán về mô hình thủy văn luôn là một yêu cầu rất cấp thiết Mô hình thủy văn là sự mô phỏng các quá trình, hiện tượng thủy văn – sự vận động rất phức tạp của nước trong tự nhiên dưới dạng các phương trình toán học, lôgíc

và giải chúng trên các máy tính Mô hình thủy văn có khả năng xem xét những diễn biến của hiện tượng thủy văn từ vi mô tới vĩ mô

Một trong những mô hình mà đa phần các ngành thủy văn trong và nước ngoài đều quan tâm đó chính là làm sao mô phỏng được hiện tượng lũ lụt hay sóng thần, để từ đó có thể đưa

ra dự đoán hay cảnh báo

Đối với các bài toán mô hình hóa trong môi trường, để đạt độ chính xác cao cần phải có những mô hình toán đáng tin cậy để đảm bảo kết quả tính toán tương ứng với kết quả đo đạc thực tế

Trước nhu cầu cần phải có những mô hình thủy văn tốt áp dụng cho vùng biển nước nông hoặc cho vùng sông nước nông, tác giả thực hiện đề tài này nhằm mục đích cải tiến độ chính xác của tính toán như tính dòng chảy của biển hoặc sông Từ việc tìm tài liệu nghiên cứu và viết thuật toán để giải quyết các bài toán môi trường ở Việt Nam, tác giả xây dựng thuật toán trong trường hợp bất kỳ, tính toán thử nghiệm và kiểm tra độ tin cậy của mô hình

Xuất phát từ vấn đề đó đề tài: “Giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn cho lưới phi cấu trúc” được thực hiện với mục tiêu dùng lưới phi cấu trúc để mô phỏng

nước nông trong một số trường hợp phức tạp

3 Mục tiêu

Trước nhu cầu cần phải có độ chính xác cho bài toán nước nông tốt áp dụng cho vùng sông khô hạn, tác giả thực hiện luận văn với mục đích nghiên cứu và cải tiến độ chính xác và thể hiện tính vật lý tại những địa hình phức tạp Từ các nghiên cứu và cải tiến này, tác giả xây dựng thuật giải tính toán trong trường hợp tổng quát cho địa hình bất kỳ, tính toán thử nghiệm

và kiểm tra độ tin cậy so với các phương pháp khác

4 Nội dung nghiên cứu

Để đạt mục tiêu trên, luận văn sẽ thực hiện những nội dung cơ bản sau:

 Thành lập phương trình nước nông

 Giải bài toán nước nông bằng phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu trúc

 So sánh nghiệm số với các bài báo khác

 Mở rộng bái toán cho những ví dụ ứng dụng thực tế

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu sau đây được sử dụng trong đề tài:

 Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễn

 Phương pháp mô hình hóa: xây dựng mô hình dựa trên các tính chất cơ học của nước nông và các định luật bảo toàn

6 Tính mới

Phương pháp thể tích hữu hạn với lưới phi cấu trúc là một phương pháp đòi hỏi kỷ thuật xử lý số hết sức phức tạp và còn khá mới mẻ ở Việt Nam và trên thới giới trong những năm gần đây cho tính mô phỏng số những bài toán trong cơ học, đặc biệt thích hợp cho cơ học chất lỏng và chất lưu Những mô hình được nghiên cứu trong luận văn gần gũi với thực tiễn

CHƯƠNG I: THÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG

1 Phương trình nước nông hai chiều

Phương trình nước nông là

 Một nhóm các phương trình của phương trình đạo hàm riêng, mà nó mô tả bài toán dòng chảy chất lỏng

 Xuất phát từ định luật vật lý bảo toàn khối lượng và động lượng

 Phương trình 2D , nó xuất phát từ phương trình 3D nhưng trung bình hóa chiều cao (z)

Phương trình nước nông đã được áp dụng vào

 Sóng thần

 Lũ lụt

 Dòng khí quyển

 Dòng chảy xung quanh ống

2 Định luật bảo toàn cơ bản

Để lấy phương trình bảo toàn khối lương trong chất lỏng Ta bắt đầu viết tính dòng vào và ra

của chất lỏng trong thể tích kiểm tra dV như hình 1

Hình 1: Dòng vào và ra của chất lỏng trong thể tích kiểm tra

Hãy vào mặt phẳng vông góc với trục x1

Trong đó: ( , , )u v w và  lần lượt là vận tốc theo phương x, y và z và mật độ khối

Theo định luật bảo toàn khối lượng, tỷ lệ thay đổi khối lương băng với khối lượng ra trừ cho khối lượng vào trong thể tích kiểm tra và được viết dưới dạng biểu thức như sau:

.  0

 (1.7) Trong đó,

v y

p : Áp suất

g : vector lực trọng trường

Khai triển thành phần thứ 2 trong ngoặc và mật độ khối là hằng số, ta viết lại phương trình (1.4) như sau:

v v

0 1

 Đưa ra điều kiện biên và đầu là chúng ta có thể giải được

 Điều kiện biên được áp dụng cho mặt thoáng

so với chiều cao của mực nước

w z

v y

u x

W  trong đó 1

l h

Bỏ qua gia tốc theo chiều dọc

 Giả định lớp biên

s a

z g dz p

p    (1.19) Giả định theo phương z thì mật độ khối là hằng số, chúng ta nhận được từ phương trình (1.13) như sau:

pg(sz) p a (1.20) Gadient áp suất

z b

x g p

u x

uh x

h

t (1.26)

Tương tự cũng lấy tích phân phương trình (1.18) và (1.19), chúng ta cũng nhận được như sau:

z b

x gh uvh

y gh h u x

1(

)( 2 2 (1.27)

y gh gh

h v y

vuh x

1(

)()( 2 2 (1.28) Đặt q x uh và q y vh và thay chúng vào phương trình (1.26), (1.27) và (1.28), chúng ta có phương trình nước nông tổng quát như sau:

h

t (1.29)

x x x z b

x gh vq

y gh uq

1( 2 (1.30)

y y y z b

y gh gh

vq y

uq x

1(

)( 2 (1.31) Viết dưới dạng vecto như sau:

x z gh

gh vq vq q uq

gh uq q q

q h

b

b b

y x y

y x x

y x

/ / 0

, 2 /

, 2 / ,

2 2

S S

g f

q

3 Nhận xét và đánh giá

Như vậy, chúng ta đã có đủ cơ sở lý thuyết về hệ phương trình mô tả dòng chảy hai chiều trung bình theo độ sâu, sơ đồ lưới không gian Điều kiện biên, điều kiện đầu cần thiết để xây dựng quy trình tính toán cho một khu vực cụ thể

Yếu tố tác động đến dòng chảy là ma sát đáy và độ sâu địa hình Để giải quyết tốt bài toán này, chúng ta cần xây dựng được mô hình thủy văn với đầy đủ các tham số thể hiện

sự ảnh hưởng của các yếu tố tự nhiên Bên cạnh đó, các yếu tố tự nhiên luôn thay đội nên khi tính toán cũng phải cập nhật theo các dữ liệu mới thay đổi theo thời gian

Tốc độ tính toán của bài toán mô hình hóa luôn được đặt ra vì thời gian tính toán thường rất dài do sự phức tạp của mô hình toán Do vậy, việc áp dụng cách xác định khô-ướt để giảm bộ nhớ lưu trữ và đẩy nhanh tốc độ tính toán là một điều cần thiết

CHƯƠNG II: RỜI RẠC PHƯƠNG TRÌNH

có độ chính xác cao, hiệu quả và nhất quán Tuy nhiên, nó vẫn gặp thử thách khi tính toán dòng chảy phức tạp chẳng hạng như miền ước và khô trong địa hình phức tạp Với mô hình lưới phi cấu trúc, có thể xấp xỉ tính chính xác của miền tính toán Vấn đề chính của phương pháp giải này là tính chính xác bậc hai theo không gian nhưng vẫn bảo đảm diều kiện cân bằng và định luật bảo toàn và có thể theo dỏi dòng chảy từ miền ướt qua miền khô

trị M (trung điểm của cạnh) bằng cách ngoại suy từ điểm D (nằm trên giao điểm của

LR và cạnh như trong hình 2.1) Giới hạn giá trị chúng bằng giá trị tại tâm của phần tử Với mục đích của việc giải bài toán nước nông số trên lưới phi cấu trúc với độ chính xác và đồng nhất nhưng cách đơn giản Phương trình nước nông 2D với thể tích hữu hạn sẽ được trình bày trong luận văn này Trong mô hình này, Harten Lax and Van Lee xấp xỉ “Remainn solver” với “contract wave” được áp dụng để tính thông lượng

và khối lượng bằng xấp xỉ HLL (Harten Lax and Van Lee )

2 Phương trình liên tục

Để nhận được hệ phương trình mô tả chuyển động thủy triều ta xuất phát từ phương trình chuyển động và phương trình liên tục của chất lỏng không nén được Dưới dạng vectơ, hệ này có dạng:

S g f q

t (2.1) Trong đó:

t là thời gian (s)

x và y là chiều trong hệ tọa độ Descartes (m)

q, f và g lần lượt là thông lượng, luồng theo phương x và y (m2/s)

S là vectơ nguồn, gồm 2 thành phần nguồn góc nghiêng Sbvà ma sát Sf

2 2

2 2

0 /

/ 0

, 2 /

, 2 / ,

v u v C

v u u C y

z gh

x z gh

gh vq vq q uq

gh uq q q

q h

f

f

b

b f

b

y x y

y x x

y x

S S

S

g f

q y =vh là thông lượng theo phương y

u, v lần lượt là thành phần của vectơ vận tốc dòng chảy trung bình theo độ sâu trong hệ tọa độ vuông góc Oxy (m/s)

h là độ sâu tính từ đáy đến mặt nước (m)

z b là cao trình đáy (m), xem hình 1

3 Thể tích hữu hạn cho lưới tam giác

Một lưới của miền không gian DR d bao gồm:

Sao cho

 Điểm x i là tâm của i

 Các thể tích điều khiển phủ lên toàn bộ miền không gian

1

N i i

i i

   và   j j

Kí hiệu i là biên hay cạnh của tam giác i

Khi đó kí hiệu lưới là G  ,X

Ví dụ

Hình 6: Rời rạc miền tính với lưới taiác

Tích phân phương trình (2.1) với thể thể tích kiểm tra :

y x

d t

q

S g

f

(2.3)

Sử dụng định lý Divergence, phương trình (2.3) được viết lại như sau:

Hình 5: Rời rạc miền tính với lưới tam giác

i T

dT d

 là thể tích kiểm tra, trong hai chiều thì nó là diện tích (m2) của tam giác T i

là biên của thể tích kiểm tra, trong hai chiều nó là cạnh của tam giác T i

x y

y x x x

y y x x

y x

n gh vq n uq

n vq n gh uq

n q n q n

n

) 2 / (

) 2 / (

) (

2

2

g f n

(2.6)

Sau mỗi bước thời gian kế tiếp, q của tam giác T i được tính lại theo công thức sau

i f b i

n i

Và tích phân của F(q)ni tại tam giác T i được xấp xỉ bởi phương pháp Euler

tường minh như sau:

k

k k

n k

n F(q)

y y x x x

y y x x

y y

x y

y x x x

y y x x

n

gh h

q n h

q q

n h

q q n

gh h q

n q n q

n gh vq n uq

n vq n gh uq

n q n q

2

2 )

2 / (

) 2 / (

2 2

2 2 2

2

i n

F(q)

(2.9)

Ta có ma trận Jacobian của pt (1):

A h

q h

q h

q

q h

q gh

q q h

q q h

q q h

x y y x

x x

y x

y x

y x

3 3 3

2 2 2

1 1 1

0 2

0 1 0

f f f

f f f

f f f

q f

B h

q h

q gh

h

q h

q h

q q

q q h

q q h

q q h

y y

x y y x

y x

y x

y x

1 0 0

g g g

g g g

g g g

q g

2 2 2 3

3 3

2 2 2

1 1 1

q h

q

q h

q gh A

x y y x

x x

2 2

2

0 2

0 1 0

Trị riêng ma trận A

gh h

q h

q gh

(

inf

} , 2 ,

i k c R

k

k k x k k

i

i x i y i y i

i

i x i x i x i

h

q q q

f

gh h

q q

f q h f

h

q q q

f

gh h

q q f q h f

, , 2

2 , ,

, , 2

2 , ,

)(,2)

(,)

(

)(,2)

(,)

0,

)(

)()

(

0,

)()

(

R i

R L

L R

k i L R i L k R

L k

HLL

s if h

f

s s

if s

s

h h s s h f s h f s

s if h

f h

)(

0,

)(

)()

(

0,

)()

R i

x

R L

L R

k i x L R i x L k x R

L k

x HLL

x

s if q

f

s s

if s

s

q q s s q f s q f s

s if q

f q

)(

0,

)(

)()

(

0,

)()

R i

y

R L

L R

k i y L R i y L k y R

L k

y

HLL

y

s if q

f

s s

if s

s

q q s s q f s q f s

s if q

f q

5 Xử lý trao đổi lưu lượng

Các biên lưu lượng nằm tại tam giác, và tập hợp các tam giác có chung cạnh với tam giácT i,i1,2, ,N

k

l ={T i T k,i1,2, ,N là cạnh của tam giác T i và k = 1,2,3} 

k l

k y x i

n i

n

T

t dl n n T

t k

)(

k

k i

n i

n

T

t T

t

)(

q

(2.12)

Sử dụng bài toán Riemann của Roe[1] để xấp xỉ trao đổi lưu lượng như sau:

)(

~),

i

L k

0,

~min(

~},

~{

~,)

~

~

~(

y x

k y

x

c n v n u

n v n u

c n v n u

0

0

~

~0

00

y

x y

x

n c v n n c v

n c u n n c u P

n n

v n u

n n

n v n

n c

n c

n v n u P

y x

k

x y

y x

y x

~2

~221

~2

~22

1

~2

n

Kí hiệu ~ của các ma trận được tính toán bằng cách sử dụng các giá trị Roe -

trung bình của các biến nguyên thủy như sau:

2

~,

~

,

~,

~

R L

R L

R R L L

R L

R R L L R

L

h h g c h h

v h v h v

h h

u h u h u h h h

L x L L y

x L L y

L x L L x

y

L y x

L x

y

L x

L k

n h g n

v n u q

n h g n

v n u q

n q n q n

n Z

2

2

)(2

1)(

)(2

1)(

))

,(q L n f g

Để tính các giá trị lưu lượng tại điểm M chúng ta phải tính thông qua điểm D

RD k

D k

LR

cent LR

upw L LR

LD i

D i

r r

r r

r r

r r

q q

q q

q q

T ) Các đạo hàm được biểu diễn như sau:

upw R upw k R cent

cent L

upw i

upw L

L R k i LR cent r

) ( ) ( 2 ) ( ) (

) ( ) ( 2 ) ( ) (

) (

q q

q q

q q

q q

q q q q q

Thêm vào đó, ( b a, ) là hàm giới hạn với 2 biến số a và b Giới hạn Van Albada,

nó thực hiện tốt trong việc đạt được độ chính xác bậc 2, và được viết như sau: