Phân tích động lực học tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp mem

Luận văn này tập trung phân tích ứng xử động của kết cấu tấm dày Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM Moving Element Method.. Chuyển vị của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

-

NGUYỄN HOÀNG THẾ

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC TẤM TRÊN NỀN CÓ ĐỘ CỨNG BIẾN THIÊN CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS.TS Bùi Công Thành Chủ tịch Hội đồng

2 PGS.TS Nguyễn Trung Kiên Ủy viên

3 TS Nguyễn Hồng Ân Ủy viên (Phản biện 1)

4 TS Vũ Tân Văn Ủy viên (Phản biện 2)

5 TS Nguyễn Văn Hiếu Thư ký

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS TS BÙI CÔNG THÀNH PGS TS NGUYỄN MINH TÂM

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN HOÀNG THẾ MSHV: 13210166

Ngày, tháng, năm sinh: 27/03/1985 Nơi sinh: Nghệ An

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích động lực học tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Trình bày cách thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cảncho các phần tử kết cấu tấm dày trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phươngpháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method)

2 Dùng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập các công thức cho bài toán

3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình bằng cách so sánh kết quả của chươngtrình với kết quả của các tác giả khác

4 Thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan trọngđến ứng xử của tấm và rút ra các kết luận, kiến nghị

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/07/2015

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 13/12/2015

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS LƯƠNG VĂN HẢI

PGS TS NGUYỄN MINH TÂM

60 58 02 08

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nằm trong hệ thống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả năng tự nghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng… Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học

Để hoàn thành Luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lương Văn Hải Thầy

đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và góp ý cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cũng như cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến NCS Trần Minh Thi, NCS Cao Tấn Ngọc Thân và NCS Nguyễn Hữu Phú đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện Luận văn này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 13 tháng 12 năm 2015

Nguyễn Hoàng Thế

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trong thực tế, chúng ta có thể bắt gặp nhiều kết cấu chịu tác động của tải trọng di động, trong đó đường sắt, đường cao tốc, tàu sân bay là những ví dụ điển hình Đặc biệt, kết cấu tấm chịu tải trọng di động được sử dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp, dân dụng, cầu đường … Chính vì tính ứng dụng thực tiễn rộng rãi mà vấn đề này nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước Luận văn này tập trung phân tích ứng xử động của kết cấu tấm dày Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) Các nghiên cứu trước đây thường chỉ mô hình kết cấu trên nền có độ cứng đồng nhất, tuy nhiên độ cứng đồng nhất chỉ phù hợp với

mô hình ứng xử của nền được đơn giản hóa Do đó, mô hình nền có độ cứng biến thiên của Luận văn nhằm mô phỏng chính xác hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực tế Ý tưởng mới của Luận văn nhằm phát triển phương pháp MEM trong việc giải quyết bài toán tấm chịu tải trọng di động Trong

đó độ cứng đất nền được cho biến thiên dọc theo phương chiều dài tấm, các phần tử tấm được xem như di chuyển và tải trọng được xem là đứng yên Điều này hoàn toàn ngược lại so với phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method) truyền thống Các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho hệ kết cấu tấm trên nền có độ cứng biến thiên được trình bày Ảnh hưởng của sự tương tác giữa kết cấu và đất nền được khảo sát vì đây là một trong những yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến sự vận hành an toàn của các hệ thống kết cấu trong thực tế Các phân tích số được triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của tấm trên nền có độ cứng biến thiên Ngoài ra, ứng xử của hệ nền Pasternak biến thiên, trong đó kể đến thông số thứ hai của đất nền cũng được phân tích và so sánh với các kết quả của nền Winkler biến thiên và nền đàn nhớt có độ cứng, cản nhớt cùng biến thiên Các kết quả nghiên cứu trong Luận văn hy vọng sẽ

là một trong những tài liệu tham khảo hữu ích nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho công việc thiết kế, thi công và bảo dưỡng các kết cấu trong thực tế

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy PGS TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 13 tháng 12 năm 2015

Nguyễn Hoàng Thế

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ii

LỜI CẢM ƠN i

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ ii

LỜI CAM ĐOAN iii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xiv

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Tình hình nghiên cứu 4

1.2.1 Ngoài nước 4

1.2.2 Trong nước 7

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 9

1.4 Cấu trúc Luận văn 10

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 11

2.1 Cơ sở lý thuyết tấm chịu uốn 11

2.1.1 Các khái niệm và phân loại 11

2.1.2 Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff 12

2.1.3 Lý thuyết tấm dày của Reissner - Mindlin 14

2.2 Phần tử đẳng tham số 20

2.2.1 Khái niệm về phần tử đẳng tham số 20

2.2.2 Hệ tọa độ tự nhiên và phần tử đẳng tham số dạng tứ giác 9 nút 22

2.3 Nền có độ cứng biến thiên 25

2.4 Phương pháp phần tử chuyển động MEM cho kết cấu tấm trên nền có độ cứng biến thiên 27

2.5 Tích phân số 33

2.6 Nền có độ cứng và cản nhớt cùng biến thiên 34

2.7 Phát triển phần tử MEM trong phân tích động lực học tấm Mindlin

trên nền Pasternak biến thiên 34

2.8 Phương trình cân bằng của kết cấu 37

2.9 Phương pháp Newmark 37

2.10 Thuật toán sử dụng trong Luận văn 39

2.10.1 Thông số đầu vào 40

2.10.2 Giải bài toán tìm nghiệm dạng chuyển vị 40

2.11 Lưu đồ tính toán 42

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 43

3.1 Kiểm chứng chương trình tính toán 45

3.1.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải trọng tĩnh trên nền đàn hồi có độ cứng đồng nhất 45

3.1.2 Bài toán 2: Phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải trọng tĩnh trên nền có độ cứng biến thiên 47

3.1.3 Bài toán 3: Phân tích dao động tự do của tấm 50

3.1.4 Bài toán 4: Phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải trọng di động trên nền có độ cứng là hằng số 59

3.2 Phân tích động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động 62

3.2.1 Bài toán 1: Khảo sát sự hội tụ của bài toán 62

3.2.2 Bài toán 2: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng k f biến thiên chịu tải trọng di động 64

3.2.3 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi hệ số tương quan α thay đổi 68

3.2.4 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi số mũ n thay đổi 69

3.2.5 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi hệ số cản c f thay đổi 71

3.2.6 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có

độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi vận tốc tải di

chuyển V thay đổi 73

3.2.7 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi chiều dày tấm h thay đổi 75

3.2.8 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi module đàn hồi E thay đổi 78

3.2.9 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động khi giá trị tải di chuyển P thay đổi 81

3.2.10 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng và cản nhớt cùng biến thiên chịu tải trọng di động 83

3.2.11 Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền có độ cứng và cản nhớt cùng biến thiên chịu tải trọng di động khi hằng số độ cứng nền k0 thay đổi 85

3.2.12 Bài toán 12: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền Pasternak biến thiên chịu tải trọng di động 87

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90

4.1 Kết luận 90

4.2 Kiến nghị 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

KẾT QUẢ CÔNG BỐ ĐẠT ĐƯỢC TỪ LUẬN VĂN 99

PHỤ LỤC 101

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 114

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Ứng dụng của tấm trong tàu sân bay 1

Hình 1.2 Ứng dụng của tấm trong đường cao tốc 2

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và tấm cố định (FEM) 3

Hình 1.4 Mô hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM) 3

Hình 2.1 Khái niệm tấm 12

Hình 2.2 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff 14

Hình 2.3 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin 15

Hình 2.4 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt 16

Hình 2.5 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay β x , β y của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt 17

Hình 2.6 Phần tử đẳng tham số 9 nút trong hệ tọa độ tổng thể 23

Hình 2.7 Phần tử tứ giác 9 nút trong hệ tọa độ tự nhiên 23

Hình 2.8 Mô hình tấm trên nền có độ cứng biến thiên 27

Hình 2.9 Mô hình tấm Mindlin trên nền Pasternak biến thiên 35

Hình 2.10 Lưu đồ tính toán 42

Hình 3.1 Chuyển vị dọc theo chiều dài của tấm (kết quả của Luận văn) 46

Hình 3.2 Chuyển vị dọc theo chiều dài của tấm theo lời giải của Huang và Thambiratnam (2001) [13] 46

Hình 3.3 Chuyển vị của tấm chịu tải trọng tĩnh trên nền có độ cứng biến thiên với các phương pháp khác nhau 48

Hình 3.4 Chuyển vị của tấm khi tải trọng đặt ở giữa tấm dọc theo trục x (a) và dọc theo trục y (b) 49

Hình 3.5 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode dao động thứ nhất của tấm 51

Hình 3.6 Tần số dao động không thứ nguyên chín mode dao động đầu tiên của tấm 51

Hình 3.7 Hình dạng chín mode dao động đầu tiên của tấm 53

Hình 3.8 Sự hội tụ của tần số dao động khi hằng số độ cứng nền k 0 thay đổi 55 Hình 3.9 Quan hệ giữa tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên và tỉ số

chiều dày/chiều dài tấm 56 Hình 3.10 Sự hội tụ tần số dao động không thứ nguyên của tấm biên tựa với

các tỉ lệ chiều dài/chiều rộng khác nhau 58 Hình 3.11 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm với điều kiện

biên khác nhau 58 Hình 3.12 Chuyển vị dọc theo chiều dài của tấm (kết quả của Luận văn) 60 Hình 3.13 Chuyển vị dọc theo chiều dài của tấm theo lời giải của Beskou và

Theodorakopoulos (2011) [53] 60 Hình 3.14 Chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động trên nền có độ cứng hằng

số khi tải di chuyển đến các vị trí 1/4 tấm, 2/4 tấm và 3/4 tấm 62 Hình 3.15 Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian 64 Hình 3.16 Chuyển vị của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di

động khi tải di chuyển đến các vị trí 1/4 tấm, 1/2 tấm và 3/4 tấm 65 Hình 3.17 Chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động trên nền có độ cứng biến

thiên và nền có độ cứng hằng số theo phương pháp MEM 66 Hình 3.18 Chuyển vị theo thời gian khi tải trọng ở các vị trí khác nhau trong

Hình 3.24 Chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị c f thay đổi khi tải

đổi khi tải trọng ở vị trí giữa tấm 77

Hình 3.29 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị chiều dày h thay

đổi khi tải trọng ở vị trí giữa tấm 78

Hình 3.30 Chuyển vị của tấm ứng với các giá trị module đàn hồi E thay đổi

khi tải trọng ở các vị trí 1/4 tấm, 2/4 tấm và 3/4 tấm 79

Hình 3.31 Chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị module đàn hồi E thay

đổi khi tải trọng ở vị trí giữa tấm 80

Hình 3.32 Chuyển vị lớn nhất của tấm khi giá trị module đàn hồi E thay đổi 81 Hình 3.33 Chuyển vị của tấm ứng với giá trị tải trọng di chuyển P thay đổi 82 Hình 3.34 Chuyển vị của tấm theo thời gian ứng với các giá trị P thay đổi khi

tải trọng ở vị trí giữa tấm 83 Hình 3.35 Chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động trên nền có độ cứng biến

thiên và nền có độ cứng, cản nhớt cùng biến thiên 84 Hình 3.36 Chuyển vị theo thời gian ứng với các vị trí khác nhau của tải trọng

trên nền có độ cứng và cản nhớt cùng biến thiên 85 Hình 3.37 Chuyển vị của tấm trên nền có độ cứng và cản nhớt cùng biến

thiên khi hằng số độ cứng nền k0 thay đổi 86

Hình 3.38 Chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị k0 thay đổi khi tải

trọng ở vị trí giữa tấm 87 Hình 3.39 Chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động trên nền Winkler biến

thiên, nền Pasternak biến thiên và nền có độ cứng, cản nhớt cùng biến thiên 88

Hình 3.40 Phối cảnh 3D chuyển vị của tấm tại các vị trí khác nhau của tải

trọng di động trên nền Pasternak biến thiên 89

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss 33

Bảng 2.2 Thông số tấm Mindlin 40

Bảng 2.3 Thông số nền đàn nhớt 40

Bảng 2.4 Thông số xe 40

Bảng 3.1 Thông số tấm 43

Bảng 3.2 Thông số tải trọng 44

Bảng 3.3 Thông số đất nền 44

Bảng 3.4 So sánh chuyển vị tại giữa tấm của Luận văn với kết quả của Huang và Thambiratnam (2001) [13] 47

Bảng 3.5 So sánh chuyển vị của tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng tĩnh bằng các phương pháp khác nhau 48

Bảng 3.6 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên  của mode dao động thứ nhất của tấm 50

Bảng 3.7 So sánh tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của chín mode dao động đầu tiên của tấm 52

Bảng 3.8 Ảnh hưởng của hệ số nền không thứ nguyên K đến tần số dao động không thứ nguyên ϖ của tấm 54

Bảng 3.9 Tần số dao động không thứ nguyên ϖ của tấm khi hằng số độ cứng nền k 0 thay đổi 55

Bảng 3.10 Tần số dao động không thứ nguyên ϖ khi tỉ số chiều dày/chiều dài tấm thay đổi 56

Bảng 3.11 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với 6 mode dao động đầu tiên của tấm biên tựa (h/L=0.05) 57

Bảng 3.12 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm với điều kiện biên khác nhau 59

Bảng 3.13 Sự hội tụ chuyển vị w (x10-5m) của FEM-3 và Luận văn khi chịu tải trọng di động trên nền có độ cứng là hằng số 61

Bảng 3.14 Kết quả khảo sát sự hội tụ của chuyển vị tấm với các kích thước

lưới khác nhau 63

Bảng 3.15 Sự hội tụ chuyển vị w (x10-5m) của FEM-3 và Luận văn 65 Bảng 3.16 Chuyển vị của tấm trên nền có độ cứng biến thiên và nền có độ

cứng hằng số chịu tải trọng di động theo phương pháp MEM 67

Bảng 3.17 Chuyển vị khi tải trọng xe ở giữa tấm với hệ số tương quan α thay

đổi 68

Bảng 3.18 Chuyển vị khi tải trọng xe đến vị trí giữa tấm với số mũ n thay đổi 70 Bảng 3.19 Chuyển vị khi tải xe đến giữa tấm với hệ số độ cản nền c f thay đổi 72 Bảng 3.20 Chuyển vị khi tải trọng xe ở vị trí giữa tấm với vận tốc tải di

chuyển V thay đổi 74 Bảng 3.21 Chuyển vị ở giữa tấm khi chiều dày tấm h thay đổi 76

Bảng 3.22 Chuyển vị của tấm khi tải trọng ở vị trí giữa tấm với các giá trị

module đàn hồi E thay đổi 79 Bảng 3.23 Chuyển vị ở giữa tấm khi giá trị tải trọng di chuyển P thay đổi 82

Bảng 3.24 So sánh chuyển vị ở giữa tấm khi nền có độ cứng biến thiên và

nền có độ cứng, cản nhớt cùng biến thiên 84 Bảng 3.25 Chuyển vị của tấm trên nền có độ cứng và cản nhớt cùng biến

thiên khi tải trọng ở giữa tấm với các hằng số độ cứng nền k0 thay đổi 86

Bảng 3.26 Chuyển vị w (x10-5m) tại vị trí giữa tấm trên các nền khác nhau 88

Bảng A.1 Chuyển vị lớn nhất w (x10-3m) trong bài toán tấm chịu tác dụng

của tải trọng tĩnh trên nền đàn hồi khi chiều dài tấm thay đổi 101 Bảng A.2 Sai số (%) của chuyển vị trong bài toán khảo sát sự hội tụ theo các

bước thời gian 101

Bảng A.3 Hệ số độ cản nền trong bài toán phân tích c f thay đổi 101

Bảng A.4 Vận tốc trong bài toán phân tích V thay đổi 101 Bảng A.5 Chuyển vị của tấm w (x10-5m) với các trường hợp chiều dày tấm h

(m) thay đổi 101

Bảng A.6 Module đàn hồi vật liệu trong bài toán phân tích E thay đổi 101

Bảng A.7 Chuyển vị của tấm w (x10 m) với các trường hợp module đàn hồi

Bảng A.8 Giá trị của tải di động trong bài toán phân tích P thay đổi 102 Bảng A.9 Hằng số độ cứng nền trong bài toán phân tích k0 thay đổi 102

u Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của kết cấu tấm

d Véctơ chuyển vị nút của phần tử

y Véctơ chuyển vị tổng thể của tấm

x Góc xoay của tấm quay quanh trụcy

y Góc xoay của tấm quay quanh trụcx

E Module đàn hồi của vật liệu

D Độ cứng chống uốn của vật liệu

G Module đàn hồi trƣợt của vật liệu

 Hệ số poisson của vật liệu

 Khối lượng riêng của vật liệu

L Chiều dài tấm theo phương x

B Chiều dài tấm theo phương y

V Vận tốc di chuyển của tải trọng

Hình 1.1 Ứng dụng của tấm trong tàu sân bay

Hình 1.2 Ứng dụng của tấm trong đường cao tốc

Việc sử dụng phương pháp giải tích để giải bài toán động sẽ gặp khó khăn khi tải là một hệ gồm nhiều bậc tự do, do đó việc sử dụng chúng cho phân tích động còn hạn chế Trong khi đó, giải quyết bài toán chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần

tử hữu hạn FEM cũng gặp khó khăn khi tải trọng tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên, ngoài ra phương pháp này còn yêu cầu phải luôn cập nhật vị trí của véctơ tải trọng, do đó việc giải quyết bài toán sẽ tốn nhiều chi phí tính toán và mất nhiều thời gian hơn

Trong Luận văn này, bài toán tấm dày dài vô hạn đặt trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sẽ được giải quyết nhanh hơn và ít tốn kém hơn bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) thể hiện trong Hình 1.4 Đây là một hình thức mới của phương pháp phần tử hữu hạn được xây dựng trong một hệ tọa độ tương đối gắn liền với tải trọng chuyển động thay vì một hệ tọa độ cố định như trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống Theo phương pháp này, tấm sẽ được chia nhỏ thành những “phần tử chuyển động”, những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với tải di chuyển trên tấm Lợi thế chính của phương pháp này

là tải di động sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử được đề xuất luôn chuyển động

Điểm thuận lợi thứ hai là tải di động sẽ không phải di chuyển từ phần tử này đến phần tử khác do đó tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng Điểm thuận lợi thứ ba

là phương pháp này cho phép các phần tử có kích thước không bằng nhau và điều này giúp cho việc chia lưới hiệu quả hơn trong trường hợp khoảng cách giữa các điểm tác dụng của tải khác nhau

Nghiên cứu này cho thấy MEM là một trong những phương pháp thích hợp để phân tích bài toán động lực học kết cấu tấm chịu tải trọng di động

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và tấm cố định (FEM)

Hình 1.4 Mô hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM)

s

r

x

y

1.2 Tình hình nghiên cứu

1.2.1 Ngoài nước

Bài toán kết cấu chịu tải trọng di động là một vấn đề thường gặp trong thực

tế, việc giải quyết các bài toán này liên quan đến các vấn đề toán học phức tạp cũng như đòi hỏi một khối lượng tính toán lớn và đây cũng là một trong những bài toán được nghiên cứu từ rất sớm Achenbach và Sun (1965) [1] đã phân tích ứng xử của một dầmTimoshenko tựa đơn chịu tác dụng của lực tập trung di chuyển, ảnh hưởng của hệ số cản và vận tốc lực di chuyển đến chuyển vị của dầm đã được khảo sát Kerr (1972) [2] đã phân tích ứng xử của đường sắt như một dầm liên tục chịu tác dụng của lực dọc trục và một tải trọng tập trung chuyển động Suzuki (1977) [3] đã

sử dụng phương pháp năng lượng để thiết lập phương trình tổng quát của phần tử dầm chịu tải trọng di chuyển liên quan đến gia tốc, phương pháp tích phân Fresnel

và giải pháp phân tích được trình bày để giải quyết các vấn đề trong phân tích ứng

xử động Jezequel (1981) [4] đã nghiên cứu bài toán dầm Euler - Bernoulli dài vô hạn tựa trên nền đàn hồi chịu một lực tập trung di chuyển với vận tốc không đổi có xét đến độ cứng xoay và độ cứng phương ngang, hệ tọa độ di chuyển đã được sử dụng thông qua phương pháp biến đổi Galilean, phương pháp biến đổi Fourier cũng

đã được sử dụng để giải bài toán Hino và cộng sự (1984) [5] đã khảo sát một cầu console tiết diện thay đổi với một nhịp nhỏ chịu hệ thống khối lượng trên các lò xo, bằng cách thiết lập các ma trận phần tử, tính toán dựa trên một số các hàm dạng chuyển vị và được kết hợp với nhau để tạo thành ma trận kết cấu tổng thể, thiết lập phương trình chuyển động của hệ, đồng thời sử dụng phương pháp Newmark và phương pháp Wilson để giải bài toán động lực học theo miền thời gian Giải pháp này đã được Hino và cộng sự (1985) [6] tiếp tục phát triển để phân tích phi tuyến hình học cho một dầm có tiết diện mặt cắt ngang thay đổi tựa trên các gối cố định Olsson (1985) [7] đã sử dụng phương pháp FEM để giải quyết vấn đề của một cây cầu được mô hình hóa bằng các phần tử tấm và cột, ảnh hưởng của các mô hình xe khác nhau, số lượng các mode dao động và độ nhám bề mặt cũng đã được nghiên cứu Katz và cộng sự (1987) [8] đã giải quyết vấn đề ổn định động học và dao động

theo phương ngang của một dầm đơn giản tựa trên hai gối cố định chịu tải di động Sau đó Kim và Roesset (1988) [9] đã nghiên cứu đến trạng thái ứng xử của một tấm

vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đổi Yadav và Upadhyay (1991) [10] đã nghiên cứu đáp ứng động của hệ thống tàu - ray - nền thu được từ sự chuyển động của tàu với vận tốc thay đổi, những đặc điểm đáp ứng động của hệ thống được kiểm tra, khảo sát Zaman và cộng sự (1991) [11] đã dùng phần

tử FEM bốn nút để phân tích phản ứng động của kết cấu tấm dày trên nền đàn nhớt chịu tải di động có xét đến biến dạng cắt cũng như uốn của tấm Chen và Huang (2000) [12] đã xét một tải không đổi di chuyển với vận tốc cố định dọc theo một dầm Timoshenko dài vô hạn trên nền đàn nhớt, phương trình tổng quát cho một dầm vô hạn được thiết lập trong lúc phối hợp di chuyển, các ma trận độ cứng động lực học cho các dầm bán vô hạn thu được trong lúc số bước sóng phức tạp và các hình dạng chuyển vị phức tạp Huang và Thambiratnam (2001) [13] đã sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích ứng xử của kết cấu tấm trên nền đàn hồi Winkler Gbadeyan và Dada (2006) [14] đã thực hiện phân tích phản ứng động của tấm chữ nhật Mindlin chịu vật thể chuyển động có khối lượng phân bố đều, trong bài báo này tác giả tập trung vào các yếu tố khác biệt trong trường hợp tấm dày, dùng lý thuyết Mindlin có kể đến biến dạng trượt, thực hiện so sánh với lý thuyết tấm Kirchhoff

Trong một nỗ lực để khắc phục những khó khăn của FEM trong vấn đề tải di chuyển, Krenk và cộng sự (1999) [15] đã đề xuất sử dụng phương pháp FEM trong

hệ tọa độ chuyển đổi để xác định ứng xử của nửa không gian đàn hồi chịu một lực

di chuyển Ưu điểm của phương pháp này là khả năng giải quyết tốt các vấn đề còn tồn tại khi lực di chuyển trên một miền hữu hạn Andersen và cộng sự (2001) [16] cũng đã xây dựng và phát triển phương pháp phần tử biên trong hệ tọa độ quy ước cho vấn đề mô hình tàu - ray được xem như dầm trên nền Kelvin chịu tải trọng di động điều hòa

Vấn đề phân tích dao động của tấm cũng nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Michael và Edward (1989) [17] đã thực hiện phân tích dao động của tấm chịu tải trọng di động dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn Karlstrom

(2006) [18] đã dùng cách phân tích tiếp cận để khảo sát sự rung động của mặt đất

do sự tăng tốc và giảm tốc của hệ thống tàu, các giải pháp được thực hiện dựa trên thuật toán biến đổi Fourier theo miền thời gian Auersch (2008) [19] đã tiến hành một nghiên cứu về dầm vô hạn trên nền bán không gian để so sánh với dầm hữu hạn

và vô hạn trên nền Winkler Gupta và cộng sự (2009) [20] đã trình bày ứng xử xoắn

và dao động của tấm tròn trực hướng tựa trên nền Winkler với các độ dày khác nhau dựa trên lý thuyết tấm cổ điển Ngoài mô hình nền với độ cứng là hằng số thì mô hình nền đàn hồi biến thiên với độ cứng nền thay đổi cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và cho thấy sự phù hợp hơn với thực tế làm việc của đất nền Eisenberger và Clastornik (1987) [21] đã phân tích ổn định và dao động tự do của dầm trên nền đàn hồi biến thiên Zhou (1993) [22] đã đưa ra lời giải tổng quát để phân tích dao động tự do của dầm trên nền đàn hồi Winkler biến thiên Tiếp đến, Eisenberger (1994) [23] đã phân tích dao động tự do của dầm trên nền một và hai thông số đàn hồi biến thiên Kacar và cộng sự (2011) [24] đã phân tích dao động tự

do của dầm Euler - Bernoulli trên nền đàn hồi Winkler với độ cứng nền biến thiên dọc theo chiều dài dầm

Trong phương pháp FEM, các ma trận kết cấu được tính toán trên một hệ trục tọa độ cố định, khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì véctơ tải trọng phải được cập nhật sau mỗi bước thời gian Đồng thời, tải trọng có thể tiến tới biên và vượt ra khỏi biên Để khắc phục những nhược điểm trên của FEM, Koh và cộng sự (2003) [25] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM để khảo sát ứng xử động của hệ thống tàu - đường ray (train - track system), trong đó đường ray được xem như dầm Euler dài vô hạn và tàu được đơn giản hóa bởi một hệ thống khối lượng - lò xo - cản nhớt Koh và cộng sự (2007) [26] đã tiếp tục sử dụng phương pháp MEM trong việc nghiên cứu tấm bán không gian chịu tải tập trung và tải phân bố trên một dải Phương pháp MEM dùng để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchoff đặt trên nền Kelvin tiếp tục được nghiên cứu bởi Xu và cộng sự (2009) [27] Phương pháp này được mở rộng bởi Ang và Dai (2013) [28] trong việc nghiên cứu ứng xử của tàu khi độ cứng đất nền thay đổi đột ngột.Thi và cộng sự (2013) [29] đã phân tích động lực học của tàu cao

tốc trên nền hai thông số Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Lei và Wang (2013) [30] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường ray, dựa trên phần tử xe

và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Ang và cộng sự (2014) [31] đã sử dụng MEM để khảo sát hiện tượng “nảy lên” của bánh xe khi tàu cao tốc di chuyển với vận tốc không đổi trên một vùng chuyển tiếp, nơi có

sự thay đổi độ cứng đột ngột của đất nền Hiện tượng xảy ra khi có sự mất liên kết tạm thời giữa bánh xe và tàu

1.2.2 Trong nước

Với sự ra đời và phát triển của phương pháp số, các nghiên cứu phân tích ứng xử động của kết cấu chịu tải di động ngày càng được nhiều nhà nghiên cứu trong nước quan tâm Toàn (1999) [32] đã khảo sát phản ứng động lực học của tấm trên nền đàn hồi đối với tải trọng chuyển động có vận tốc không đổi, tải trọng được

mô hình hóa là tải phân bố đều Tùng (2001) [33] đã phân tích động lực học bài toán đường ray xe lửa chịu tải trọng chuyển động, tác giả đề xuất một mô hình mới

có xét đến hầu hết các thành phần cấu tạo chính của đường ray gồm ray, tà vẹt, lớp đệm và lớp nền Ngoài ra, tác giả còn quan tâm đến tác động của bánh xe theo hai tính chất vật lý đó là tải trọng tạo ra các lực nút và khối lượng tạo ra lực quán tính Phong (2009) [34] đã phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động có xét đến khối lượng vật theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Cường (2011) [35] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động Nghiên cứu này đã lựa chọn mô hình cụ thể để mô phỏng bài toán thực tế, biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm Mindlin nhưng sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Duy (2012) [36] đã phân tích dầm Tomoshenko sử dụng hệ cản khối lượng dưới tác dụng của tải trọng di động bằng phương pháp phần

tử hữu hạn Phước và cộng sự (2014) [37] đã phân tích động lực học của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt biến thiên có xét đến khối lượng di động sử dụng phương pháp FEM

Sau khi được giới thiệu bởi Koh và cộng sự (2003) [25] thì phương pháp MEM cũng nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong nước Anh (2013) [38] đã sử dụng phương pháp MEM để phân tích ứng xử động của tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền, sự tương tác giữa bánh

xe và ray được tính toán thông qua mô hình phi tuyến Hertzian, ảnh hưởng của các thông số như vận tốc tàu, độ cứng đất nền, độ nhám thanh ray trong quá trình tàu chuyển động với vận tốc không đổi hay biến đổi đều được khảo sát Duy (2013) [39] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để khảo sát ứng xử của tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền Kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp MEM có nhiều ưu điểm hơn phương pháp FEM truyền thống thông thường như: tải sẽ không bao giờ đến biên vì các phần tử được đề xuất di chuyển Ngoài ra, tải chuyển động sẽ không phải đi từ phần tử này sang phần tử khác, do đó tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng hoặc chuyển vị do sự thay đổi điểm tiếp xúc trên các phần tử Thanh (2014) [40] đã tiếp tục sử dụng phương pháp MEM để khảo sát ứng xử của dầm Timoshenko 3 nút, kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp này cho phép các phần tử có kích thước khác nhau, điều này giúp xây dựng lưới phần tử có kích thước hợp lý Đồng thời phương pháp cũng giúp tính toán chính xác chuyển vị dầm trong trường hợp dầm dày mà lý thuyết Euler không thể tính toán chính xác Hùng (2014) [41] cũng đã dùng MEM để phân tích ứng xử tấm composite laminate chịu tác dụng các loại tải trọng trên nền đàn nhớt Cũng trong năm này, Nhi (2014) [42] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM để phân tích ứng xử động lực học của kết cấu tấm đặt trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động, kết quả cho thấy phương pháp MEM hiệu quả hơn FEM trong phân tích bài toán động Xuyên (2015) [43] đã dùng phương pháp phần tử chuyển động để phân tích ứng xử của tấm trên nền có gia cường Top base chịu tải di động, các kết quả phân tích cho thấy phương pháp MEM có thể tin cậy trong phân tích bài toán tĩnh

và bài toán động Nha (2015) [44] đã tiếp tục sử dụng phương pháp MEM để phân tích ứng xử của tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tam giác chuyển động

Qua những phân tích và dẫn chứng ở trên, chúng ta có thể thấy rằng phương pháp phần tử chuyển động MEM là một cách tiếp cận mới đã được sử dụng thành công để giải quyết các vấn đề ứng xử động của một hệ kết cấu và phương pháp này cũng mang lại nhiều ưu điểm so với các phương pháp trước đó Đồng thời, đất nền cũng là một thành phần quan trọng ảnh hưởng đến ứng xử động của hệ kết cấu Trong khi nền Winkler chỉ phù hợp với mô hình ứng xử của nền được đơn giản hóa

so với thực tế Do đó cần phải có một mô hình phản ánh thực tế hơn ứng xử của đất nền khi chịu tải trọng di chuyển, đặc biệt là mô hình nền không đồng nhất Dựa trên

sự tìm hiểu và tiếp nối sự quan tâm đến phương pháp MEM và nền đàn hồi biến thiên, Luận văn sử dụng phương pháp MEM để giải quyết bài toán tấm trên nền có

độ cứng biến thiên dọc theo phương chiều dài tấm Mô hình nền hai thông số đàn hồi - cản nhớt biến thiên được khảo sát trong Luận văn nhằm mô phỏng chính xác hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực tế Phương pháp này như đã đề cập có nhiều ưu điểm khắc phục được những hạn chế so với các phương pháp trước đó để giải quyết các bài toán phức tạp, mô phỏng chính xác và phù hợp hơn với thực tế làm việc của đất nền Vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ xét đến mô hình nền đồng nhất Đồng thời, trong Luận văn, các đại lượng như: hệ số tương quan, số mũ, hệ số cản nhớt, vận tốc, chiều dày tấm, module đàn hồi, độ lớn tải trọng tác dụng, hằng số độ cứng nền cũng được nghiên cứu để tìm hiểu ứng xử động của hệ kết cấu tấm dày - đất nền

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu của Luận văn nhằm phân tích ứng xử động lực học của kết cấu tấm dày Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động Trong đó phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) được phát triển nhằm khắc phục những hạn chế của các phương pháp FEM (Finite Element Method) truyền thống và thể hiện chính xác hơn ứng xử động của hệ kết cấu, cũng như mô phỏng chính xác hơn mô hình nền không đồng nhất trong thực tế Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề cần nghiên cứu trong Luận văn bao gồm:

 Trình bày cách thành lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần

tử tấm trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp MEM

 Phát triển chương trình tính toán bằng Matlab để giải hệ phương trình tĩnh, dao động tự do và phương trình động của bài toán

 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của Luận văn với kết quả nghiên cứu của tác giả khác

 Thực hiện các ví dụ số để phân tích đánh giá kết quả bài toán và rút ra các kết luận

1.4 Cấu trúc Luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết để phân tích động lực học tấm trên nền

có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM

Chương 3: Trình bày các ví dụ số và kết quả của bài toán

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày chi tiết các giả thiết, công thức tính toán và mô hình được sử dụng trong Luận văn, cơ sở lý thuyết của tấm chịu uốn và các công thức để phân tích động lực học tấm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM Phương pháp Newmark để giải bài toán động lực học theo miền thời gian cũng được giới thiệu trong phần này

2.1 Cơ sở lý thuyết tấm chịu uốn

Phần này trình bày các công thức cơ bản của lý thuyết tấm chịu uốn làm cơ

sở cho việc lập các phương trình cơ bản của bài toán

2.1.1 Các khái niệm và phân loại

Hình 2.1 Khái niệm tấm

2.1.1.2 Phân loại

Kết cấu tấm được sử dụng rộng rãi trong xây dựng: các tấm sàn, panel, tấm lợp nhà công nghiệp, nền đường ôtô, đường băng

Theo bản chất của trạng thái ứng suất thì tấm có thể được phân làm ba loại sau [45]:

 Tấm dày (tấm Reissner - Mindlin): là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn

hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn 1

Tấm thuộc loại này khi

4

h

2.1.2 Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff

Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Tính đơn giản được thể hiện bằng các giả thiết như sau:

 Giả thiết về các đoạn thẳng pháp tuyến: các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và

độ dài của chúng là không đổi

+ Từ giả thiết này dễ thấy rằng các góc vuông tạo bởi các phần tử thẳng vuông góc

với mặt trung bình (có phương dọc trục z) vẫn còn là góc vuông trong quá trình biến

dạng, như vậy không có sự trượt trong các mặt phẳng đó (yz xz 0), khi đó

các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng u, v, w được biểu diễn như sau:

0

w

x w

+ Vì độ dài của các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ thấy rằng biến

dạng dài theo phương z là bằng 0 (z 0)

 Giả thiết về mặt trung bình: tại mặt trung bình tấm không hề có biến dạng kéo, nén hay trượt Khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa Từ đó dễ thấy trên mặt trung bình các chuyển vị: u0 v0 0

 Giả thiết về sự tương tác giữa các lớp của tấm: sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ qua Tức là ứng suất pháp zcó thể bỏ qua (vì rất nhỏ so với xvà y)

Hình 2.2 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff

2.1.3 Lý thuyết tấm dày của Reissner - Mindlin

Trong lý thuyết tấm mỏng, với những giả thiết Kirchhoff các biến dạng trượt

xzvà zy là bằng 0 Tuy nhiên, cũng như lý thuyết dầm chịu uốn ngang phẳng, khi

tỉ số h

a (a là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) là không đủ nhỏ thì sự bỏ

qua các biến dạng này sẽ không chính xác Reissner (1945) [46] đã công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol qua chiều dày tấm Sau đó Mindlin (1951) [47] đã đưa ra lý thuyết có kể đến ảnh hưởng của quán tính xoay và biến dạng trượt trong dao động của tấm đàn hồi đẳng hướng và hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này lại vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng 0 tại biên tự do của tấm Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm

u(x,y,z)

Reissner - Mindlin Lý thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng của lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung bình Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin được cho trong [47]:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm trước biến dạng vẫn thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo và nén

Hình 2.3 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin

2.1.3.1 Mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị

Xét tấm Mindlin được đặt trên nền đàn nhớt với chiều dài L, chiều rộng B, chiều dày h và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E, khối lượng riêng

w(x,y)

, hệ số Poisson  được thể hiện như trong Hình 2.4 Trong đó, thành phần đàn hồi

và thành phần đàn nhớt của nền được mô hình bởi các lò xo và các cản nhớt đặt trên

bề mặt tấm, lần lượt được đặc trưng bởi các hệ số k và f c f

Hình 2.4 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Với giả thiết tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyzđược chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình 2

R

  và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Mindlin với w là độ võng tấm, x, y lần lượt là các góc xoay pháp tuyến của mặt trung bình quanh trục Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với qui ước

chiều dương cho ở Hình 2.5,  là mặt trung bình của tấm Các thành phần u , v và

bình (giả thiết biến dạng màng: u0  v0 0)

Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin được tạo bởi:

Hình 2.5 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay β x , β y của

tấm Mindlin trên nền đàn nhớt

2.1.3.2 Mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm:

hay công thức (2.5) đƣợc viết cách khác:

,x , , ,

Ứng suất uốn của tấm:

σb   x y xyT Dε D κ  z b (2.16) với

  là hệ số hiệu chỉnh cắt, G là module đàn hồi trượt của vật liệu

2.1.3.3 Phương trình năng lượng của tấm

Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:

Eh v

2.2.1 Khái niệm về phần tử đẳng tham số

Trong phương pháp phần tử hữu hạn khi miền khảo sát là đường cong hoặc

có biên là các đường cong hay mặt cong, nếu ta chỉ sử dụng phần tử một chiều thẳng, các phần tử hai chiều dạng tam giác, tứ giác hay các phần tử ba chiều dạng khối, mặt thì không đủ đảm bảo độ chính xác của kết quả Điều này dẫn đến việc cần phải xây dựng và phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ với biên là các đường cong hay mặt cong Các phần tử này được gọi là các phần tử có biên cong hay là phần tử đẳng tham số (izoparametric element)

Như vậy phải có một mối quan hệ giữa tọa độ 1 điểm P(x,y,z) bất kỳ thuộc phần tử thực trong hệ tọa độ vuông góc tổng thể (x,y,z) và điểm tương ứng P (r,s,t) thuộc '

phần tử chuẩn trong hệ tọa độ tự nhiên địa phương (r,s,t) Nếu phần tử có n nút thì

mối quan hệ giữa các tọa độ này được viết như sau [48]:

  được dùng trong phép biến đổi (2.22) giúp ta xác

định dạng hình học của phần tử thực n nút trong hệ tọa độ vuông góc

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, khi đã biết các chuyển vị nút phần tử

tức biết (u1,v1,w1), (u2,v2,w2), ., (u n ,v n ,w n) hay biết các chuyển vị theo phương

thành phần (u,v,w) tại một điểm bất kỳ thuộc phần tử nhờ vào các hàm dạng hay hàm nội suy chuyển vị [N] thông qua các quan hệ:

i n

i n

để xấp xỉ trường tọa độ Trong các trường hợp khi sự xấp xỉ trường tọa độ được sử dụng các hàm nội suy có bậc cao hơn so với trường chuyển vị, tức số tham số để biểu diễn dạng hình học của phần tử là nhiều hơn số tham số có mặt trong các đa thức xấp xỉ của trường chuyển vị thì phần tử được gọi là phần tử nhiều tham số (superparametric element) Với phần tử nhiều tham số số nút dùng để mô tả dạng hình học phần tử là nhiều hơn số nút dùng để xấp xỉ hóa trường chuyển vị Trường hợp ngược lại, khi số nút dùng để xấp xỉ hóa trường chuyển vị là nhiều hơn số nút

để mô tả dạng hình học phần tử thì phần tử được gọi là phần tử ít tham số (subparametric element)

2.2.2 Hệ tọa độ tự nhiên và phần tử đẳng tham số dạng tứ giác 9 nút

Hệ tọa độ tự nhiên là một hệ tọa độ địa phương cho phép xác định vị trí của một điểm bất kỳ thuộc phần tử bởi một tập hợp các thông số không thứ nguyên có giá trị nằm trong khoảng [-1;1] Thường chọn sao cho tại các nút chính (các đỉnh góc phần tử) tọa độ tự nhiên tương ứng có giá trị bằng đơn vị Các phần tử có dạng hình học khác nhau sẽ có các hệ tọa độ tự nhiên khác nhau

Hệ tọa độ tự nhiên của phần tử tứ giác 9 nút mà Luận văn sử dụng là một hệ tọa độ

địa phương sao cho các trục ξ và η của nó đi qua các điểm giữa của các cặp cạnh đối diện Các cạnh này được xác định bởi phương trình ξ=±1 và η=±1 Khi đó điểm

P bất kỳ thuộc phần tử có tọa độ (x,y) trong hệ tọa độ vuông góc tổng thể sẽ có tọa