Nghiên cứu ổn định mái dốc bờ sông tiền có xét đến ảnh hưởng của mực nước sông tại khu vực thị xã tân châu, an giang (đọan thuộc xã vĩnh xương)

Trong đề tài này, tác giả đi s u ph n tích khả năng ổn định của mái dốc bờ k nh khi c gia cố thảm b t ng bằng các phư ng pháp tính toán tr n c sở thuyết cũng như sự hổ trợ của máy tính..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN VĂN THUẬN

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH MÁI DỐC BỜ SÔNG TIỀN

CÓ XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA MỰC NƯỚC SÔNG

(ĐOẠN THUỘC XÃ VĨNH XƯƠNG)

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH NGẦM

MÃ SỐ NGÀNH : 60.58.02.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2014

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC

BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS VÕ PHÁN

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM, ngày….tháng … năm 201

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1

2

3

4

5

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

-

Tp Hồ Chí Minh, ngày 7 tháng 12 năm 2014

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 29-4-1989 Nơi sinh: AN GIANG Địa chỉ mail: tranthuan549@gmail.com Điệnthoại: 0989.866.532 Chuyên ngành: Kỹ Thuật XD Công Trình Ngầm K2013 MSHV: 13091320

I- TÊN ĐỀ TÀI:

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH MÁI DỐC BỜ SÔNG TIỀN CÓ XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA MỰC NƯỚC SÔNG TẠI KHU VỰC THỊ XÃ

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

1 - NHIỆM VỤ:

 Nghiên cứu đánh giá khả năng ự ổn định của mái dốc rong k u vực

 Xây dựng mối q an hệ giữa hệ số mái m và hệ số an oàn FS,làm cơ sở cho việc ựa chọn phươn án hợp ý khi thiếtkế mái dốc công rình

2 - NỘI DUNG:

Chương 1:Tổng quan về c c phươn pháp ổn địn máidốc kết hợp giải p áp

thảm gia cố máiChương 2:Cơ sở ý hu ếtt nh oán ổn định máidốc công rình

Chương 3:Ứng dụng ính oán ổn định mái dốc cho công rình bờ kè Vĩnh

Xương,TX Tân Châu,An Giang Kếtluận và kiến n hị

Tàil ệu ham khảo

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 7/7/2014

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 7/12/2014

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS VÕ PHÁN

Ngày………tháng………năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá tr nh học tập và hoàn thành uận văn này, t i đ nhận

được sự hướng dẫn, gi p đ qu báu của các thầy c , các anh chị và các bạn

Với ng kính trọng và biết n s u s c t i xin được bày t ời cảm n ch n

thành tới:

Ban giám hiệu, Ph ng đào tạo sau đại học, Bộ m n Địa c – Nền m ng

Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh đ tạo mọi điều kiện thuận ợi

gi p đ t i trong quá tr nh học tập tại trường

Ph giáo sƣ- Ti n s V Phán, người thầy kính mến đ hết ng gi p

đ , dạy bảo, động vi n và tạo mọi điều kiện thuận ợi cho t i trong suốt quá

tr nh học tập và hoàn thành uận văn tốt nghiệp

in ch n thành cảm n các thầy c trong hội đồng chấm uận văn đ cho

t i những đ ng g p qu báu đ hoàn ch nh các thiếu s t

in gửi ới cảm n tới bạn b , các anh chị em trong ớp cao học Địa

KT D, KT D C ng Tr nh Ngầm khoá 2012 và 2013 đ động vi n và gi p đ

t i trong những c t i g p kh khăn

Cuối cùng, t i xin ch n thành cảm n cha m , anh chị em trong gia đ nh

t i đ u n ở b n cạnh động vi n và gi p đ t i học tập, àm việc và hoàn thành

uận văn này

TP Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 12 năm 2014

Học viên

TRẦN VĂN THUẬN

Tiền có xét đến ảnh hưởng của mực nước sông tại khu vực Thị Xã Tân Châu, An Giang (đoạn thuộc xã Vĩnh Xương)" nhằm gia cố, chống x i ở cho

bờ s ng Trong đề tài này, tác giả đi s u ph n tích khả năng ổn định của mái dốc bờ k nh khi c gia cố thảm b t ng bằng các phư ng pháp tính toán tr n c

sở thuyết cũng như sự hổ trợ của máy tính Từ đ r t ra kết uận và đánh giá khả năng ứng dụng của đề tài vào thực tiễn cho khu vực

ABSTRACT

In recent years, slope failures of the riverbanks in the An Giang province are happening very complicated, directly effecting to the social and economic life and people's living Mainly status due to velocity of flow is too large and the change in direction due to objective and subjective reasons, that’s the main causing to cause erosion and to creat chasm on the riverbanks In this situation , the choice of solution to slop stabilize of the riverbanks (Tien and Hau rivers) is

extremely urgent Thus, the author choses the topic "Studying for slope

stability of Tien river and considering to the impact of the river water level in

TX Tan Chau , An Giang (a part of Vinh Xuong commune)" In the topic, the

author have only analysis for the stability of the slope had protected by concrete-mats in the calculation method based on theory as well as the support

of the computer Therefrom, drawning general conclusions and ratting the ability applications of the topic to practice for the area

BẢNG LIỆT KÊ CÁC KÝ HIỆU

Chú ý: dấu (‘) sau các k hiệu bi u thị cho trường hợp ph n tích ứng suất c

w KN/ m 3 trọng ượng ri ng của nước

x, y, z KN/ m 2 các thành phần ứng suất theo các phư ng x,y,z

 KN/ m 2 ứng suất c t

f KN/ m 2 ứng suất c t phá hoại

Chú ý: dấu (‘) sau các ký hiệu biểu thị cho trường hợp phân tích ứng suất có hiệu (ESA)

s u KN/ m 2 sức chống cắt không thoát nước

T KN/ m 2 lực trượt hoặc sức kháng trượt

 KN/ m 3 trọng lượng riêng của đất

’ KN/ m 3 trọng lượng riêng đẩy nổi

sat KN/ m 3 trọng lượng riêng bão hòa

w KN/ m 3 trọng lượng riêng của nước

x, y, z KN/ m 2 các thành phần ứng suất theo các phương x,y,z

 KN/ m 2 ứng suất cắt

f KN/ m 2 Ứng suất cắt phá hoại

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Tính khoa học và thực tiễn của đề tài 2

5 Hạn chế của đề tài 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH MÁI DỐC BỜ KÈ

KẾT HỢP GIẢI PHÁP THẢM BÊ TÔNG GIA CỐ MÁI 1.1 Tổng quan về công trình kè bảo vệ bờ sông 4

1.1.1 Các dạng mặt cắt ngang 4

1.1.3 Một số giải pháp mới trong công trình phòng chống xói lở 7

1.2 Tổng quan về thảm bê tông tự chèn 10

1.2.1 Giới thiệu 10

1.2.2 Cấu tạo và vai trò 11

1.2.3 Ưu và khuyết điểm 12

1.3 Tổng quan về phương pháp tính toán ổn định mái dốc công trình bờ kè 13

1.3.1 Biểu thức tổng quát tính toán ổn định tổng thể công trình 13

1.3.2 Ổn định của hệ gia cố mái bờ kè 16

1.3.3 Ổn định của kết cấu mái 16

1.4 Nhận xét chương 16

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH MÁI DỐC 2.1 Trượt tịnh tiến trên mái dốc vô hạn 17

2.1.1 Mái dốc vô hạn không thoát nước 18

2.1.2 Mái dốc vô hạn có thoát nước 18

2.2 Vị trí cung trượt nguy hiểm nhất 20

2.3 Phương pháp tính toán ổn định mái dốc trên cơ sở trạng thái cân bằng giới hạn – Phương pháp phân mảnh 22

2.3.1 Phương pháp Fellenius 1927 25

2.3.2 Phương pháp Bishop - Phương pháp cung trượt tròn 25

2.3.4 Trình tự tính toán của phương pháp phân mảnh theo Bishop 1955 30

2.4 Mối quan hệ của FS trong các phương pháp tính toán trong Geoslope 31

2.4.1 Phương pháp Bishop’s Simplified 31

2.4.2 Phương pháp Janbu Simplified 32

2.4.3 Phương pháp Spencer 33

2.4.4 Phương pháp Morgenstern-Price 34

2.5 Ổn định thảm bê tông lắp ghép tự chèn gia cố mái 36

2.6 Nhận xét chương 36

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH MÁI DỐC CÔNG TRÌNH BỜ KÈ VĨNH XƯƠNG, TX TÂN CHÂU, AN GIANG 3.1 Giới thiệu về vị trí địa lý, điều kiện tự nhiên và điều kiện địa chất 37

3.1.1 Vị trí địa lý và điều kiện tự nhiên 37

3.1.2 Điều kiện địa chất trong khu vực 37

3.2 Tổng quan về dự án 38

3.3 Kiểm tra ổn định thảm bê tông lắp ghép tự chèn gia cố mái 39

3.4 Ứng dụng phần mềm Geo Slope [7],[8],[9],[10] 39

3.4.1 Tổng quan về Geo Slope 39

3.4.2 Các phương pháp tính toán 40

3.4.3 Lựa chọn phương pháp tính 40

3.4.4 Ứng dụng Geo Slope kiểm tra độ ổn định 41

3.4.5 Đánh giá kết luận 50

3.5 Mô phỏng bằng phần mềm Plaxis [12] 51

3.5.1 Tổng quan về Plaxis 51

3.5.2 Các chỉ tiêu cơ lý của đất nền thu thập được từ công tác khảo sát địa chất – thông số đầu vào [13] 53

3.5.3 Mô phỏng bài toán 53

3.5.4 Đánh giá kết quả mô phỏng bài toán 62

KẾT LUẬN 64

KIẾN NGHỊ 65

Hình 1.1 Các dạng mặt cắt ngang công trình bờ kè 3

Hình 1.2 Cấu tạo các bộ phận của kết cấu bờ kè 4

Hình 1.3 Kết cấu mái bằng tấm BTCT đổ tại chỗ 5

Hình 1.4 Kết cấu bờ kè có cọc chân khay 5

Hình 1.5 Trải vải địa kỹ thụât là tầng lọc mái kè 6

Hình 1.6 Một số loại thảm túi khuôn được bơm đầy bằng bê tông 6

Hình 1.7 Thảm tấm bê tông liên kết bằng dây nilon 7

Hình 1.8 Thảm đá bảo vệ mái dốc bờ kênh 7

Hình 1.9 Thảm rồng đá túi lưới 8

Hình 1.10 Cấu kiện bê tông đúc sẵn cao 18cm 9

Hình 1.11 Cấu kiện bê tông đúc sẵn lắp ghép trên mặt bằng 9

Hình 1.12 Cấu tạo mái dốc bằng thảm BT kết hợp thảm đá có cọc đỡ chân khay 10

Hình 1.13 Lát mái bằng thảm bê tông lắp ghép tự chèn 10

Hình 2.1 Các lực tác dụng lên lăng thể ở mái dốc vô hạn 17

Hình 2.2 các yếu tố ảnh hưởng đến vị trí của cung trượt giới hạn 20

Hình 2.3 Vị trí thử đầu tiên của cung trượt giới hạn 21

Hình 2.4 Mặt trượt giả định a) theo cung tròn ; b) không theo cung tròn 22

Hình 2.5 Tổ hợp lực tác dụng lên mảnh 23

Hình 2.6 a) Mặt trượt giả định theo Janbu; b) Các lực tác dụng lên mảnh 28

Hình 2.7 Hệ số điều chỉnh f0 theo Janbu 29

Hình 2.8 Biểu đồ xác định hệ số mj theo phương pháp Bishop 31

Hình 2.9 FS xác định theo Spencer 33

Hình 2.10 Các hàm số biểu diễn tỷ số X/E trong phương pháp M-P 34

Hình 2.11 FS trong phương pháp M-P 34

Hình 3.1 Mô hình tính toán điển hình với hệ số mái m=1.(MNS max) 43

Hình 3.2 Mô hình tính toán điển hình với hệ số mái m=2.(MNS min) 44

Hình 3.3 Mô hình tính toán điển hình với cọc đóng ở cao trình -1.00 ( m=2) 46

Hình 3.4 Mô hinh tính toán điển hình với cọc đóng ở cao trình +7.00 ( m=2) 48

Hình 3.5 Mô hinh tính toán điển hình trog trường hợp có xét ảnh hưởng của thảm bê tông gia cố mái và rọ đá ( m=1.5) 49

hưởng của thảm bê tông gia cố mái và rọ đá ( m=1.5) 50

Hình 3.7 Mặt cắt 2D mô phỏng Phase 1 54

Hình 3.8 Biểu đồ vùng biến dạng trên mái dốc khi vừa thi công xong 55

Hình 3.9 Chuyển vị Ux theo phương ngang trong Phase 1 55

Hình 3.10 Chuyển vị Uy theo phương đứng trong Phase 1 55

Hình 3.11 Mặt cắt 2D mô phỏng Phase 2 56

Hình 3.12 Biểu đồ vùng biến dạng khi mái dốc đạt độ ổn định 57

Hình 3.13 Chuyển vị theo phương ngang Ux khi công trình đạt độ ổn định 57

Hình 3.14 Tổng chuyển vị theo phương đứng Uy khi công trình đạt độ ổn định 58

Hình 3.15 Mô hình mô phỏng mái dốc có xét ảnh hưởng của thảm gia cố mái 59

Hình 3.16 chuyển vị theo phương x khi thi công xong phần rọ đá và thảm BT gia cố 60

Hình 3.17 chuyển vị theo phương y khi thi công xong phần rọ đá và thảm BT gia cố 60

Hình 3.18 chuyển vị theo phương x khi thi công xong đường giao thông 61

Hình 3.19 chuyển vị theo phương y khi thi công xong đường giao thông 61

Hình 3.20 tổng chuyển vị theo phương x khi công trình ổn định 61

Hình 3.21 Biểu đồ vùng biến dạng của mái dốc công trình 62

Bảng 2.1 Các phương pháp phân tích ổn định mái dốc bằng trạng thái cân bằng giới hạn 24

Bảng 2.2 Kết quả thí nghiệm thảm bê tông trên máng sóng tại Viện KHTL Việt Nam 35

Bảng 3.1 Thông số đầu vào của các lớp đất trong chương trình GeoSlope/W 42

Bảng 3.2 FS ứng với hệ số mái m=1→3, trong trường hợp mực nước sông max 42

Bảng 3.3 FS ứng với hệ số mái m=1→3, trong trường hợp mực nước sông min 43

Bảng 3.4 FS ứng với hệ số mái m=1→3 trong trường hợp cọc đóng ở cao trình chân kè 45

Bảng 3.5 FS ứng với m=1→3 trong trường hợp cọc đóng ở cao trình đỉnh kè 47

Bảng 3.6 FS ứng với m=1→3 trong trường hợp có xét ảnh hưởng của thảm bê tông và rọ đá gia cố mái tại mực nước sông min 48

Bảng 3.7 FS ứng với m=1→3 trong TH có xét ảnh hưởng của thảm bê tông và rọ đá gia cố mái tại mực nước sông min và cọc ở vị trí đỉnh kè 49

Bảng 3.8 Quan hệ FS và m khi có đóng cọc và không đóng cọc theo phương pháp M-P 50

Bảng 3.9 Thông số đất nền sử dụng cho bài toán 53

Bảng 3.10 Chuyển vị theo phương x của các giai đoạn tính toán 58

Bảng 3.11 Chuyển vị theo phương x của các giai đoạn tính toán trong TH có xét ảnh hưởng của thảm gia cố mái 62

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

 Cùng với lũ lụt, bão lốc, sạt lở bờ sông đang là vấn đề lớn của nhiều quốc gia trên thế giới nói chung và Việt Nam nói riêng Sạt lở bờ sông là một quy luật tự nhiên, nhưng gây thiệt hại nặng nề cho các hoạt động dân sinh kinh tế vùng ven sông như: gây mất đất nông nghiệp, hư hỏng nhà cửa, chết người, thậm chí có thể huỷ hoại toàn bộ một khu dân cư, đô thị

 Quá trình xói, bồi, biến hình lòng dẫn, sạt lở mái bờ sông trong các điều kiện tự nhiên và có tác động của con người vô cùng phức tạp

 Việc xác định các nguyên nhân, cơ chế, tìm các giải pháp quy hoạch, công trình nhằm phòng, chống và hạn chế tác hại của quá trình sạt lở là việc làm có ý nghĩa rất lớn

và rất cần thiết đối với sự an toàn của các khu dân cư, đô thị, đối với công tác quy hoạch, thiết kế và xây dựng các đô thị mới

 Dọc theo bờ sông Tiền đoạn đi qua xã biên giới Vĩnh Xương, thị xã Tân Châu tình trạng sạt lở đang diễn ra hết sức phức tạp, cùng với đó là tình trạng ngập lụt vào mùa lũ gây ảnh hưởng trực tiếp đến đời sống người dân Do đó, cần phải đầu tư xây dựng công trình bảo vệ bờ sông kết hợp nâng cao trình mặt đất tự nhiên để vượt lũ là điều hết sức cần thiết Một trong những giải pháp hợp lý cho công trình xây dựng bờ kè ven sông là việc sử dụng thảm bê tông tự chèn bảo vệ mái, thảm đá chống xói lở chân mái dốc bờ kè và kết hợp với hệ cọc BTCT nhằm ổn định thảm bê tông cũng như hạn chế sự dịch chuyển ngang của đất nền ven sông

 Với điều kiện địa chất chủ yếu là đất phù sa, dưới tác dụng của lớp đất đắp cao, tải trọng đường giao thông trên bờ kè, quá trình cố kết diễn ra trong đất nền gây biến dạng và tác động đến độ ổn định tổng thể của mái dốc Đây là vấn đề rất quan trọng trong việc tính toán mà các nhà thiết kế cần hiểu rõ để lựa chọn phương án hợp lý

2 Mục tiêu nghiên cứu

 Phân tích ảnh hưởng của cao trình mực nước đến độ ổn định mái dốc công trình

 Phân tích ảnh hưởng của cọc đỡ chân khay đến hệ số an toàn FS, ảnh hưởng của

tải trọng do thảm bê tông và rọ đá gia cố mái tác dụng

 Đánh giá và so sánh hệ số an toàn FS trong các trường hợp tính toán, từ đó rút

ra sự tương quan giữa m và FS

3 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu về lý thuyết: Nghiên cứu các phương pháp lý thuyết phân tích tính toán độ ổn định của mái dốc công trình

 Tính toán và kiểm tra độ ổn định bằng phần mềm Geo Slope/W 2007

 Mô phỏng bằng phần mềm Plaxis 2D: sử dụng phương pháp PTHH thông qua phần mềm Plaxis để mô phỏng, phâ

 Phân tích sự làm việc của đất nền và kết cấu công trình

4 Tính khoa học và thực tiễn của đề tài

 Khoa học đã đạt được những thành tựu đáng kể trong cơ học vật rắn biến dạng

và trong phương pháp phần tử hữu hạn Do đó việc nghiên cứu tính toán sự làm việc của công trình và ứng xử của đất nền là một trong những ứng dụng đó, cho ta cái nhìn khoa học tổng quát về công trình từ quá trình thi công cho đến quá trình sử dụng

 Với việc mô phỏng gần giống với điều kiện thực tế sẽ cho ta có thể kiểm soát được trạng thái ứng xử của đất và các nguyên nhân tác động lên chúng, bằng cách lựa chọn và xác định các thông số phù hợp

 Với việc sử dụng các phần mềm chuyên dụng địa kỹ thuật sẽ giúp các kỹ sư thiết kế có thể tìm ra lời giải chính xác hơn, tối ưu hơn,…và có thể dự đoán các yếu tố phức tạp ảnh hưởng trong quá trình thi công nhằm giảm nguy cơ gây hại đến công trình

 Vấn đề sạt lở bờ sông đang xảy ra nghiêm trọng ở ĐBSCL và đặc biệt là ở các khu vực đầu nguồn với lưu tốc lớn Việc tìm hiểu đánh giá đúng khả năng làm việc của đất nền là rất cần thiết, vì nó quyết định việc lựa chọn phương án kè Một số phương án

kè như: tường chắn BTCT, tường thép, tường cọc bản BT DWL,… thì cho hiệu quả về mặt kinh tế là không cao khi chiều dài bờ sông cần gia cố là quá lớn Trong đề tài này tác giả tập trung nghiên cứu khả năng tự ổn định của mái dốc với hệ số mái thích hợp, tận dụng tối đa sự làm việc của đất nền dưới tác động của tải trọng Đồng thời đảm bảo được an toàn về kỹ thuật và tiết kiệm tối đa về chi phí để có thể áp dụng rộng rãi trong khu vực

5 Hạn chế của đề tài

 Trong đề tài này tác giả chỉ phân tích trên cơ sở lý thuyết tính toán, mô phỏng tính toán bằng phần mềm, chưa có điều kiện quan sát chuyển vị và biến dạng thực tế của công trình, từ đó chưa có cơ sở để so sánh giữa thực tế và lý thuyết tính toán

 Do còn nhiều hạn chế nên tác giả chỉ khảo sát nghiên cứu ở một đoạn sông ngắn, để có cái nhìn tổng quát hơn cần phải có công trình nghiên cứu với quy mô rộng lớn hơn với nhiều đặc điểm địa chất khác nhau Từ đó tổng hợp và đưa ra kết luận chung cho vùng

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH MÁI DỐC BỜ

KÈ KẾT HỢP GIẢI PHÁP THẢM BÊ TÔNG GIA CỐ MÁI

1.1 Tổng quan về công trình kè bảo vệ bờ sông

Việc tính toán ổn định mái dốc công trình kè bảo vệ bờ sông đang được sử dụng rộng rãi đê ổn định bờ sông tránh xói lở, cũng như bảo vệ các công trình HTKT ven sông đang được sử dụng rộng rãi và khá phổ biến ở một số quốc gia Tuy nhiên, hiệu quả của công trình trong việc phòng chống xói tại những khu vực có khả năng sạt lở cao bên bờ sông Tiền cần phải được tính toán ổn định một cách chính xác nhất, an toàn nhất

để tránh các sự cố có thể xảy ra trong quá trình thi công cũng như sử dụng

1.1.1 Các dạng mặt cắt ngang

Trong thực tế xây dựng công trình bờ kè, thường gặp các dạng mặt cắt ngang như sau:

 Bờ kè dạng thẳng đứng (a): khối lượng xây lắp lớn nhưng tiện lợi trong qua trình

sử dụng Dạng này thường được sử dụng ở những nơi có dòng sông sâu, có nhiều tàu thuyền qua lại, ít chiếm diện tích

 Bờ kè nghiêng (b): đơn giản và ít tốn kém nhưng không thuận tiện trong việc khai thác và sử dụng, chủ yếu dùng để bảo vệ bờ

 Bờ kè hỗn hợp nửa nghiêng nửa đứng (c) và (d): được sử dụng ở những nơi có mực nước thấp hoặc mực nước cao kéo dài trong năm

Tùy địa hình và công năng của sử dụng của công trình mà có sự lựa chọn hợp lý nhất, mỗi giải pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng, trong đó bờ kè hình (b) là kinh tế hơn các dạng còn lại và thường được áp dụng rộng rãi do chi phí thấp

Hình 1.1 Các dạng mặt cắt ngang công trình bờ kè

1.1.2 Các bộ phận kết cấu của công trình bờ kè

Cấu tạo các bộ phận bờ kè thông thường gồm 3 bộ phận chính: kết cấu đỉnh mái, kết cấu mái và kết cấu chân khay (hình 1.1.2)

Hình 1.2 Cấu tạo các bộ phận của kết cấu bờ kè

1.1.2.1 Kết cấu đỉnh mái:

Đỉnh mái thường được kết hợp với các công trình phụ như: công viên, nền

đường,… các giải pháp cấu tạo đỉnh mái thường dùng là:

 Đá hộc xây với chiều dày lớn hơn hoặc bằng chiều dày của nền đường phía trong

 Sử dụng các khối bê tông trọng lực kết hợp với các công trình phụ trợ

 Kết cấu cọc hoặc cừ trong các trường hợp có công trình phụ trợ kết hợp như: lan can công viên, chỗ neo đậu tàu thuyền…

1.1.2.2 Kết cấu mái

 Mái là bộ phận cốt lõi của kết cấu bờ kè, kết cấu mái phụ thuộc vào độ dốc mái vừa để ổn định tổng thể vừa để duy trì các ổn định cục bộ chống lại mọi tác nhân bên ngoài: tàu thuyền, dòng chảy và các nguyên nhân gây xói lở, tạo vẻ mỹ quan…

 Yêu cầu chung của kết cấu mái không đòi hỏi quá kiên cố, thiết kế thi công trên nguyên tắc tận dụng triệt để các vật liệu địa phương, cũng như khả năng thi công tại chỗ Một số dạng kết cấu mái phổ biến:

 Đá hộc lát một lớp hoặc hai lớp phía trong có tầng lọc ngược

 Thảm lưới VĐKT, thảm thực vật…

 Mái bằng bê tông cốt thép đúc sẵn có kích thước hoặc tấm BTCT đổ tại chỗ

Hình 1.3 Kết cấu mái bằng tấm BTCT đổ tại chỗ

1.1.2.3 Kết cấu chân khay

 Chân khay là điểm tựa cho kết cấu mái và đỉnh, thường được thi công dưới nước nên đòi hỏi mức độ ổn định cao hơn các bộ phận khác của bờ kè Giải pháp thông thường của chân khay là sử dụng đá hộc,kết cấu bê tông trọng lực

 Ở nhũng vùng đất yếu chân khay thường được làm bằng cừ hoặc cọc BTCT hạ xuống tầng đất tốt

Hình 1.4 Kết cấu bờ kè có cọc chân khay

1.1.3 Một số giải pháp mới trong công trình phòng chống xói lở

1.1.3.1 Sử dụng VĐKT để gia cường nền đất thân kè

Khi các công trình kè gia cố mái, mỏ hàn bằng đất đắp có chiều cao đất đắp lớn,

có thể dẫn đến khả năng trượt mái hoặc chuyển vị ngang của đất đắp, vải địa kĩ thuật có thể đóng vai trò cốt gia cường cung cấp lực chống trượt theo phương ngang nhằm gia tăng ổn định của mái dốc Trong trường hợp này vải địa có chức năng gia cường

Cọc chân khay

Hình 1.5 Trải vải địa kỹ thụât là tầng lọc mái kè

1.1.3.2 Các loại thảm bảo vệ mái và chống xói đáy

Để tăng cường tính ổn định và mềm dẻo của khối bảo vệ mái, từ lâu đã có nhiều nghiên cứu chế tạo các loại thảm được chế tạo từ vải địa kỹ thụât, vải bằng sợi tổng hợp

có cường độ cao, sợi nilon để chứa bêtông hoặc chứa đất, cát làm thảm bảo vệ mái bờ sông và chống xói đáy chân bờ sông như là thảm phủ bằng vải địa kỹ thụât, thảm bêtông túi khuôn, thảm túi cát, ống, túi địa kỹ thụât

Hình 1.6 Một số loại thảm túi khuôn được bơm đầy bằng bê tông

1.1.3.3 Thảm tấm bêtông liên kết bằng dây mềm

Thảm tấm bê tông liên kết bằng dây mềm là loại thảm sử dụng các khối bê tông liên kết chúng lại với nhau bằng móc nối, dây nilon Kết cấu loại này đã được ứng dụng rộng rãi ở nhiều nước như Đan Mạch, Trung Quốc, Nhật Bản để chống xói đáy và bảo

Hình 1.8 Thảm đá bảo vệ mái dốc bờ kênh

1.1.3.5 Thảm rồng đá bằng túi lưới (Rock Rolls)

Thảm rồng đá bằng túi lưới được sử dụng rộng rãi ở Anh Đá hộc được bọc trong các túi lưới tạo nên tấm thảm và được đặt dưới chân bờ để chống xói Loại thảm này rất linh hoạt, mềm dẻo và tạo được các kẽ hở thụân lợi để thực vật mọc lên, tăng cường ổn định chân bờ Có thể sử dụng các loại đá có kích thước nhỏ hơn so với đá để tạo rọ đá

Độ bền của loại thảm này phụ thuộc vào vật liệu làm túi lưới

Hiện nay, thảm đang được ứng dụng rộng rãi và thành công tại một số nơi thuộc tỉnh An Giang và ĐBSCL, mang lại hiệu quả tích cực trong việc phòng chống sạt lở bờ sông

Hình 1.10 Cấu kiện bê tông đúc sẵn cao 18cm

Hình 1.11 Cấu kiện bê tông đúc sẵn lắp ghép trên mặt bằng

1.2.2 Cấu tạo và vai trò

Thảm BT lát mái được cấu tạo từ 3 lớp : lớp 1 là vải địa kỹ thuật, lớp 2 là lớp đá dăm 1x2, lớp 3 là các cấu kiện bê tông đúc sẵn được lắp ghép vào đúng vị trí

Hai đầu thảm được khoá bằng dầm BTCT, riêng phần chân mái thảm có thể được

cố định bằng cọc BTCT có dầm chặn

Đất giữa khoảng cách hai cọc có thể bị xói lở do sóng nên được khắc phục bằng

hệ gồm bao tải cát tạo mái, VĐKT, thảm rọ đá

Cọc BTCT

Thảm đáĐá dăm

Vải địa KTThảm BT

Hình 1.12 Cấu tạo mái dốc bằng thảm BT kết hợp thảm đá cĩ cọc đỡ chân khay

Hình 1.13 Lát mái bằng thảm bê tơng lắp ghép tự chèn

1.2.3 Ƣu và khuyết điểm

Mặt đáy tiếp xúc nền cĩ diện tích nhỏ, độ xốp lớn tạo nên đệm nước, đệm khí, giảm áp tốt, giảm lực đẩy nổi và giảm dịng chảy dưới lớp đệm cơng trình hạn chế hiện tượng mất đất, tiết kiệm vật tư xây dựng từ 30~50% so với khối lập phương

Khe lắp ghép mặt trên nhỏ, gấp khúc che kín nền phân bố đều, thốt nước đều và nhanh trong mái cơng trình giảm tải gây trượt tốt

Mảng lắp ghép liên kết mềm lún đồng bộ với nền, sát nền, không lún cục bộ, bảo

vệ nền chống xói lở Hệ thống mố nhám tiêu năng giảm sóng tối ưu từ 8~10%

1.3 Tổng quan về phương pháp tính toán ổn định mái dốc công trình bờ kè

Các vấn đề chính trong việc tính toán ổn định công trình bảo vệ bờ bao gồm ổn định mái dốc, ổn định hệ gia cố

1.3.1 Biểu thức tổng quát tính toán ổn định tổng thể công trình

Tính toán ổn định tổng thể là một trong những nội dung quan trọng trong tính toán thiết kế Trong một số trường hợp, nhất là khi bờ kè được xây trên nền đất yếu thì việc tính toán ổn định tổng thể của công trình là một trong những nội dung chính, quyết định việc lựa chọn phương án kè

Tính toán ổn định tổng thể là kiểm tra ổn định của nền đất có xét đến ảnh hưởng chống trượt của các cấu kiện mà mặt trượt cắt qua, chống lại các tải trọng và tác động gây mất ổn định công trình [2]

Xác định hệ số an toàn ổn định của công trình làm việc đồng thời với nền đất Bằng hệ số an toàn ổn định đánh giá khả năng giữ được trạng thái làm việc bình thường của công trình trong mối tương tác với môi trường xung quanh Hệ số an toàn ổn định được mở rộng theo các hướng sau:

 Theo tương quan giữa lực chống trượt và lực gây trượt

 Theo các đặc trưng cường độ đất nền

1.3.1.1 Hệ số an toàn ổn định tính theo tương quan giữa lực chống trượt và lực gây trượt

Biểu thức tính toán hệ số an toàn ổn định:

Rt – tổng các lực gây trượt

Tổng các lực gây trượt và chống trượt được xác định tùy vào phương pháp tính ổn

định Các lực này có thể là mômen, lực, hoặc theo một trạng thái ứng suất của nền đất

Tổng các lực gây trượt: Rt = Rtd + Rtp

Rtd – lực gây trượt do khối đất gây ra

Rtp – lực gây trượt do tải trọng ngoài như: hoạt tải (tải trọng hang hóa, thiết bị,…),

áp lực song, áp lực nước lỗ rỗng… gây ra

Tổng các lực chống trượt: Rg = Rgd + Rgc

Rgd – lực chống trượt do khối đất tạo ra thông qua góc ma sát trong, lực dính và

dung trọng của đất nền

Rgc – lực chống trượt do nền cọc tạo ra khi mặt trượt đi qua nền cọc, hay nói cách

khác là lực kháng trượt được tạo ra do kết cấu

1.3.1.2 Hệ số an toàn ổn định tính theo các đặc trưng cường độ của đất nền

Biểu thức tính toán hệ số an toàn ổn định:

giới hạn của Coulomb f = .tg + c

Hệ số an toàn ổn định của công trình tính theo hướng này về bản chất là coi hệ số an

toàn ổn định của công trình cũng là hệ số an toàn ổn định của phần nền đất nằm bên

dưới công trình Công trình ổn định được là nhờ nền, nền ổn định được là nhờ sức

chống trượt của từng phân tố đất Công trình được coi là ổn định khi FS ≥ [FS]; trong

đó [FS] là hệ số an toàn ổn định cho phép, phụ thuộc vào các yếu tố sau:

 Tầm quan trọng của công trình cụ thể là cấp công trình

 Tải trọng và tổ hợp tải trọng tính toán

(1.2)

 Điều kiện làm việc của công trình

 Độ tin cậy của các kết quả thí nghiệm khảo sát nền đất và các yếu tố khác

Phương pháp tính theo lý thuyết cân bằng giới hạn (GLEM) Phương pháp mặt trượt giả định

Theo kết quả quan trắc thực tế và kết quả thí nghiệm, các trường hợp mái dốc bị mất

ổn định cho thấy nền đất bị đẩy trượt theo những mặt trượt nhất định Phương pháp dùng mặt trượt giả định không giải quyết vấn đề tìm hình dạng của mặt trượt mà gán cho mái dốc các mặt trượt khả dĩ (theo kinh nghiệm) có thể xảy ra, từ đó tìm ra hệ số an toàn ổn định chống trượt Tổng hợp các mặt trượt khả dĩ đó, có thể tìm ra được mặt trượt bất lợi nhất tương ứng với hệ số an toàn ổn định nhỏ nhất (FSmin) để đánh giá khả năng ổn định của công trình

Trong số các mặt trượt khả dĩ nhất có thể xảy ra khi công trình bị mất ổn định là mặt trượt cung tròn và mặt trượt gãy khúc, trong đó mặt trượt gãy khúc có dạng bất kỳ và có thể coi là dạng mặt trượt tổng quát Tùy theo cấu trúc địa tầng của nền đất mà công trình

có thể xảy ra theo một trong hia dạng mặt trượt trên Việc xác định hệ số an toàn ổn định cho mỗi mặt trượt thường được thực hiện theo hai cách sau:

 Cách 1: thử đúng dần vòng tròn ma sát để tìm ra hệ số FSmin Phương pháp này chỉ sử dụng trong trường hợp giả thiết mặt trượt là cung tròn và chỉ thích hợp cho nền đất đồng nhất Trong các trường hợp nền đất không đồng nhất và tải trọng phân bố phức tạp, việc sử dụng phương pháp này sẽ gặp nhiều khó khăn do việc xác định tổng lực ma sát và lực dính trên mặt phức tạp Mặt khác theo phương pháp này, với mỗi mặt trượt giả định ta phải thử dần để tìm ra hệ số an toàn ổn định, do vậy phương pháp này ít được sử dụng

 Cách 2: phân mảnh khối trượt, đây là thủ thuật được sử dụng chủ yếu để xác

định hệ số an toàn ổn định cho các dạng mặt trượt khác nhau

Ổn định của mái dốc của công trình đề cập trong nội dung đề tài chủ yếu là ổn định của mái dốc trên nền đất tự nhiên ven sông

Mặt trượt mái dốc loại này thường đi qua một độ sâu nhất định dưới lớp đất yếu Mái dốc loại này có khả năng mất ổn định, đất nền thường lún xuống và trồi ra ở mép dốc tạo ra độ lún lớn

1.3.2 Ổn định của hệ gia cố mái bờ kè

Hệ gia cố mái, chân bờ kè có nhiệm vụ duy trì ổn định của khối đất và hệ kết cấu gia

cố mái Hệ có thể bị mất ổn định do trượt nông hoặc trượt sâu, xói mòn do sóng dẫn đến hiện tượng sụt lở đất

1.3.3 Ổn định của kết cấu mái

Trong tính toán ổn định của hệ kết cấu mái gia cố mái dốc cần xét đến:

 Khả năng trượt của kết cấu mái theo mái dốc của khối đất, phương pháp tính toán dựa trên ma sát giữa đất và vật liệu kết cấu mái

 Ổn định của nội lực bản thân kết cấu mái

1.4 Nhận xét chương

Việc xây dựng các công trình phòng chống xói lở bờ sông là vô cùng quan trọng

và cần thiết Bên cạnh đó, một vấn đề được đặt ra là cần có một giải pháp đảm bảo an toàn về mặt kỹ thuật, thời gian thi công nhanh và tiết kiệm chi phí Tính toán ổn định mái dốc công trình cần được tiến hành một cách cẩn thận, việc áp dụng thảm bê tông gia

cố mái có tác dụng giúp hệ số mái dốc của công trình luôn được đảm bảo, tránh được những tác động của sóng, dòng chảy gây xói lở và để công trình luôn làm việc như thiết

kế đề ra

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH MÁI DỐC

Việc tính toán ổn định mái dốc bờ kè ven sông bao gồm các vấn đề sau: ổn định trượt nông, trượt sâu mái dốc, xói lở chân mái dốc

2.1 Trượt tịnh tiến trên mái dốc vô hạn [3]

Xét một mặt cắt của mái dốc vô hạn bị phá hoại dọc theo một mặt trượt phẳng

song song với mặt đất có góc là α s Sự ổn định của mảnh có bề rộng b phụ thuộc vào

các lực được thể hiện trong hình sau :

Hình 2.1 Các lực tác dụng lên lăng thể ở mái dốc vô hạn

 Trọng lượng của lăng thể:

 Nội lực tương tác giữa các mảnh: và

 Phản lực pháp tuyến lên mặt phẳng trượt:

 Lực tiếp tuyến thực tế trên mái dốc:

 Áp lực thấm (nếu có): , với i là gradient thủy lực

Giả thuyết mái dốc vô hạn là đồng nhất, ta có các cặp nội lực và được xem là bằng nhau và ngược chiều, vì thế triệt tiêu

Để giải quyết vấn đề ta nhắc lại định nghĩa hệ số an toàn FS theo công thức (1.2) như sau:

Theo điều kiện cân bằng giới hạn của Coulomb, ứng suất tiếp giới hạn của đất trên mặt trượt trong trường hợp phân tích ứng suất có hiệu là, Hệ

số an toàn FS được viết như sau:

Theo lý thuyết phá hoại của Tresca, ứng suất tiếp giới hạn của đất dính trên mặt trượt trong trường hợp phân tích ứng suất tổng là, Với su là sức chống cắt không thoát nước của đất, FS được viết:

Trong đó, T m là tổng ứng suất cắt huy động trên mặt trượt

2.1.1 Mái dốc vô hạn không thoát nước

Vì trong đất không có xuất hiện dòng thấm và MNN nằm dưới mặt trượt, phân tích ứng suất có hiệu ta được:

Ở trạng thái cân bằng giới hạn, FS=1 Khi đó:

Theo quan hệ trong công thức (2.5) thì góc dốc lớn nhất trong đất hạt thô khi phân tích ứng suất có hiệu là luôn ≤ ’

2.1.2 Mái dốc vô hạn có thoát nước

Xét trường hợp có xuất hiện MNN bên trong khối đất và giả thuyết rằng dòng thấm song song với mái dốc Ta có áp lực thấm là:

Vì giả thuyết dòng thấm song song với mái dốc nên Xét điều kiện cân bằng tĩnh học,

Ở trạng thái cân bằng giới hạn, FS=1, khi đó:

Với hầu hết các loại đất,

Vì thế, dòng thấm song song với mái dốc làm giảm góc giới hạn của mái dốc trong đất hạt thô khoảng ½

Đối với đất dính, phân tích ổn định mái dốc trong giai đoạn ngắn ngày theo ứng suất tổng là phù hợp nhất

Theo công thức (2.3),

Ở trạng thái cân bằng giới hạn, FS=1, khi đó:

Giá trị tới hạn của z khi =450 ,

Đó là độ sâu của khe nứt Vì thế, với các giả thuyết cơ chế phá hoại mái dốc dài

vô hạn dưới tác dụng của tải trọng ngắn hạn (short-term loading), gốc dốc lớn nhất của các loại đất hạt mịn là 450 Trượt tịnh tiến trên mái dốc vô hạn thường xảy ra trong các loại đất hạt thô hơn hạt mịn Đối với các loại đất dính thường phá hoại trượt theo cung tròn hơn

2.2 Vị trí cung trƣợt nguy hiểm nhất [4]

Hình 2.2 các yếu tố ảnh hưởng đến vị trí của cung trượt giới hạn

a) qua chân mái dốc nếu φ > 30 hay α s > 53 0 ; b) trước chân mái dốc nếu φ < 30 hay α s ≤ 53 0

Hình 2.3 Vị trí thử đầu tiên của cung trượt giới hạn

Cung trượt nguy hiểm nhất là một cung trượt có hệ số an toàn thấp nhất Hệ số an toàn tối thiểu là tiêu chuẩn cho việc thiết kế Vị trí cung trượt nguy hiểm nhất có thể thực hiện bằng một trong hai cách sau:

 Thử và sai số Trong phương pháp này phải thay đổi 3 thông số hình học: vị trí tâm, bán kính, khoảng cách cắt ở phía trước chân mái dốc Thực hiện với nhiều cung thử khác nhau, sau đó chọn hệ số an toàn hợp lý nhất

 Phương pháp ước lượng để chỉ định cung thử cực hạn giả định Đặc trưng của cung trượt ta có thể quan sát được trước một số hình dạng xác định, chẳng hạn như trong hình 2.2

1 2 3

Trong điều kiện đồng nhất không thoát nước, tâm thử đầu tiên được tìm trong

α s, trong đó:

Xc – khoảng cách ngang từ chân mái dốc tới tâm cung thử,

Yc – khoảng cách đứng từ chân mái dốc tới tâm cung thử

Thay đổi bán kính cung trượt dần để xác định tâm trượt nguy hiểm nhất ứng với

Hình 2.4 Mặt trượt giả định a) theo cung tròn ; b) không theo cung tròn

Một phép tính gần đúng để giải bài toán là phân chia khối trượt thành nhiều mảnh tùy ý Tất nhiên, việc phân chia khối trượt thành nhiều mảnh hơn sẽ cho kết quả

có độ chính xác cao hơn Bây giờ chúng ta phân tích tất cả các lực tác dụng và nội lực giữa hai mảnh

Phân tích tổ hợp lực tác dụng lên mảnh ABCD trong hình 2.4 Xem cạnh BC của mảnh là đường thẳng

Hình 2.5 Tổ hợp lực tác dụng lên mảnh

Trong các thành phần lực trên hình 2.5, có tất cả 13 giá trị của thông số mà chúng ta phải tìm Trong đó chúng ta có thể xác định được các giá trị: , từ kích thước của mảnh trượt, trọng lượng của đất và vị trí của MNN Để giải quyết được vấn đề ta cần đưa ra các giả định liên quan đến các ẩn số còn lại

Một số phương pháp đã đưa ra hướng giải quyết bài toán với các giả thuyết và điều kiện cân bằng (lực đứng, mô men hoặc cả hai) được giới thiệu trong bảng sau:

Bảng 2.1 Các phương pháp phân tích ổn định mái dốc bằng trạng thái cân bằng giới hạn

Trong phần tiếp theo tác giả đi sâu phân tích các phương pháp được phát triển bởi Fellenius (1927), Bishop (1955) và Janbu (1973) Tuy nhiên cơ sở lý thuyết tính toán của các phương pháp Fellenius (1927), Bishop (1955) và Janbu simplized (1956)

mới chủ yếu và là cơ sở tính toán của các phương pháp Morgenstern-Price và Spencer trong GeoSlope mà tác giả sẽ đề cập đến trong phần sau (điều 2.4)

Với hai phương pháp của Bishop và Jabu simplized, các giả thuyết về sự tồn tại của các cặp nội lực là giống nhau, được tính toán theo trạng thái cân bằng tới hạn, tuy nhiên theo Bishop là cân bằng tổng mô men còn theo Janbu là cân bằng lực ngang.

Trong điều kiện dài hạn hoặc có thoát nước thì chỉ cần phân tích ứng suất có hiệu Đối với các loại đất dính, trong điều kiện ngắn hạn hoặc không thoát nước thì phải phân tích ứng suất tổng

2.3.1 Phương pháp Fellenius 1927

Đây là phương pháp đầu tiên và cũng được xem là nền tảng phát triển của các phương pháp sau này Fellenius sử dụng mặt trượt dạng trụ tròn và phân chia khối đất thành nhiều mảnh nhỏ để tính toán Theo Fellenius, lực tương tác giữa các mảnh bằng nhau và ngược chiều nên triệt tiêu lẫn nhau, vì vậy bỏ qua lực tương tác giữa các mảnh

Sơ đồ tính ban đầu của Fellenius chỉ gồm trọng lượng bản thân, phản lực của đất nền lên mảnh phân tố và sức kháng dọc mặt trượt Để có thể xét thêm ảnh hưởng của ngoại lực, ta đặt thêm lực Q là tải trọng ngoài nằm trong phạm vi mảnh phân tố

Xét một tâm trượt có tâm bất kỳ như trong hình 2.4, hệ số an toàn FS được xác định theo công thức sau:

∑[ ]

∑

Trong đó giá trị N được đề cập trong phương pháp Bishop trong điều 2.3.2 với giả thuyết là không tồn tại các cặp lực X và E giữa các mảnh

2.3.2 Phương pháp Bishop - Phương pháp cung trượt tròn

Bishop sử dụng mặt trượt dạng trụ tròn và phân khối đất thành n mảnh nhỏ để tính toán ổn định

Với phương pháp này Bishop giả thuyết rằng các lực tác động tiếp tuyến với mặt hông của mảnh bằng nhau Xj = Xj+1 , lực pháp tuyến khác nhau Ej ≠ Ej+1 ,áp lực nước Uj

Kết hợp hai công thức (2.15) và (2.16), ta được

Với là hệ số áp lực nước lõ rỗng

Thay công thức (2.18) vào (2.17), ta được,

Bishop xét khối trượt cân bằng mô ment,

[ ] Thay FS ở công thức (2.23) vào (2.21), ta được

∑[ ]

∑ Khi phân tích ESA theo công thức đơn giản của Bishop, nếu MNN nằm dưới mặt trượt,

và

∑

∑ Bây giờ chúng ta phân tích bài toán với ứng suất tổng (TSA) Lực cắt huy động trên mặt trượt là