Đề thi học kì 2 Toán 9 Đồng Nai năm học 2015-2016 có lời giải chi tiết

Tính các kích thước lúc đầu của khu đất. ĐỀ CHÍNH THỨC.. 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh góc.. DHC bằng[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG NAI

KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình 7 2 8

5





 + =



2) Giải phương trình 2

2x +5x − =3 0 3) Giải phương trình: 4 2

2 0

Câu 2 (1,5 điểm)

1) Vẽ đồ thị ( )P của hàm số 2

y =x 2) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị ( )P và đường thẳng ( )d có phương trình y =2x +3

Câu 3 (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Cho một khu đất hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng lên 4m , chiều dài lên 2m thì diện tích khu đất tăng thêm 2

120m , nếu giảm chiều rộng đi 1m và chiều dài đi 4m thì diện tích khu đất

giảm đi 2

45m Tính các kích thước lúc đầu của khu đất

ĐỀ CHÍNH THỨC

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Câu 4 (4,0 điểm)

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn tâm O , kẻ hai tiếp

tuyến AB và AC với đường tròn này ( B và C thuộc đường tròn tâm O )

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC

2) Gọi điểm D là trung điểm của đoạn thẳng AC Đoạn

thẳng BD cắt đường tròn tâm O tại điểm E (E khác B ) Tia

AE cắt đường tròn tâm O tại điểm F (F khác E) Chứng minh

2

3) Gọi điểm H là giao điểm của AO và BC Chứng minh góc

DHC bằng góc DEC

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho phương trình 2

x −mx + m = (x là ẩn, m là tham

số) có hai nghiệm x1; x2 Tìm giá trị của m để biểu thức

1 2

x x M

+

=

+ + + − đạt giá trị nhỏ nhất

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình 7 2 8

5





 + =



Lời giải

5





 + =





⇔ 



5

x





2 5

x

 =





2

x

y

 =





2 3

x y

 =





Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( ; )x y = (2; 3)

2) Giải phương trình 2

2x +5x − =3 0

Lời giải

Phương trình 2

2x +5x − =3 0 có a = 2; b = 5; c = −3

Phương trình 2

2x +5x − =3 0 có hai nghiệm phân biệt:

1

2

3

x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 3;1

2

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

3) Giải phương trình: x +x − =2 0

Lời giải

Đặt 2

x = , t (t ≥ 0)

Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2

2 0

t + − = t

Phương trình 2

2 0

t + − = có t a = 1; b = 1; c = −2

Phương trình có 2

2 0

t + − = hai nghiệm phân biệt: t

t = (thỏa điều kiện), t2 = − (không thỏa điều kiện) 2

Với t = 1 2

1

x

⇒ = ⇒ = hoặc x 1 x = −1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −{ }1;1

Câu 2 (1,5 điểm)

1) Vẽ đồ thị ( )P của hàm số 2

y =x

Lời giải

Tập xác định: x ∈ ℝ

Bảng giá trị:

2

Đồ thị ( )P là đường parabol đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và nhận

trục Oy làm trục đối xứng

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị ( )P và đường thẳng ( )d có phương trình y =2x +3

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )d : 2

x = x +

2

Phương trình (*) có a = 1; b = −2; c = −3

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: x1 = − ; 1 x2 = 3

2

x = − ⇒ y = − = ⇒ ( ; )x y1 1 = −( 1;1)

2

x = ⇒ y = = ⇒ ( ; )x y2 2 = (3;9)

Vậy tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d là: ( 1;1)− và (3;9)

Câu 3 (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Cho một khu đất hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng lên 4m , chiều dài lên 2m thì diện tích khu đất tăng thêm 2

120m , nếu giảm chiều rộng đi 1m và chiều dài đi 4m thì diện tích khu đất

giảm đi 2

45m Tính các kích thước lúc đầu của khu đất

Lời giải

Gọi ( )x m ; ( )y m lần lượt là chiều dài và chiều rộng lúc đầu của khu đất hình chữ nhật (x > y x; > 4;y > 1)

Diện tích khu đất hình chữ nhật là: 2

( )

xy m

Nếu tăng chiều rộng lên 4m , chiều dài lên 2m thì diện tích khu

đất tăng thêm 2

120m , ta được: (x + 2)(y + 4) = xy +120

4x 2y xy 120 xy 8

4x 2y 112

2x y 56

56 2

Nếu giảm chiều rộng đi 1m và chiều dài đi 4m thì diện tích khu

đất giảm đi 2

45m , ta được: (x − 4)(y −1) = xy − 45

⇔ − − = −

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

49 4

Thay (2) vào (1), ta được: y = 56 2.(49− − 4 )y

56 98 8

42 8

8y y 42

7y 42

6

y

⇔ = (thỏa điều kiện)

Thay y = vào (1), ta được: 6 56 2− x = 6

2x 56 6

2x 50

25

x

⇔ = (thỏa điều kiện)

Vậy kích thước lúc đầu của khu đất hình chữ nhật là:

Chiều dài là 25m và chiều rộng là 6m

Câu 4 (4,0 điểm)

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn tâm O , kẻ hai tiếp

tuyến AB và AC với đường tròn này ( B và C thuộc đường tròn tâm O )

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC

Lời giải

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên ta có: AB ⊥OB

90

ABO

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên ta có: AC ⊥OC

90

ACO

Xét tứ giác ABOC có: ABO + ACO = 90° + 90° = 180°

Mà ABO và ACO là hai góc đối nhau

Suy ra: Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA

Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là trung điểm

của đoạn thẳng OA

O

C B

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2) Gọi điểm D là trung điểm của đoạn thẳng AC Đoạn thẳng

BD cắt đường tròn tâm O tại điểm E (E khác B) Tia AE cắt

đường tròn tâm O tại điểm F (F khác E ) Chứng minh

2

Ta có: = 1

2

EFB sñ BE (Góc nội tiếp)

= 1

2

ABE sñ BE (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

⇒ABE =EFB hay ABE =AFB

Xét ∆ABE và ∆AFB có:

EAB là góc chung

Do đó: ∆ABE ∽ ∆AFB g g( )

F

E

D O

C B

A

3) Gọi điểm H là giao điểm của AO và BC Chứng minh góc

DHC bằng góc DEC

Lời giải

AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn ( )O Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AB = AC

Và ta cũng có: OB =OC = R

OA

⇒ là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Mà H là giao điểm của AO và BC

⇒ ⊥ tại H

AHC

∆ vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền AC nên

2

AC

CDH

⇒ ∆ cân tại D

⇒ = hay DHC = DCB (1)

H

F

E

D O

C B

A

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Ta có: = 1

2

CBE sñCE (Góc nội tiếp)

2

DCE sñCE (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Xét ∆CBD và ∆ECD có:

CDB là góc chung

Do đó: ∆CBD ∽ ∆ECD g g( )

Từ (1) và (2) suy ra: DHC = DEC

H

F

E

D O

C B

A

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho phương trình 2

x −mx + m = (x là ẩn, m là tham số) có

hai nghiệm x1; x2 Tìm giá trị của m để biểu thức

1 2

x x M

+

=

+ + + − đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Phương trình 2

x −mx + m = có a = 1; b = −m, c = 1005m

Để phương trình 2

x −mx + m = có hai nghiệm x1; x2 thì

0

0

m

Theo định lí Vi-et, ta có: x1 +x2 = m; x x1 2 = 1005m

M

Thay x1 +x2 = m; x x1 2 = 1005m vào biểu thức M , ta được:

M

335

M

https://chiasefull.com Thầy Phúc Toán Đồng Nai

2

335

1

M

m

+

2

335

1

M

m

+

2

335

1

M

m

+

335

M

2 2

1

m M

m

Ta có: 2

1 0

(m +3) ≥0 với mọi m

2 2

0 1

m

m

+

+ với mọi m

2 2

1

m

m

+

2 2

1

m m

với mọi m

Dấu “=” xảy ra khi

2 2

1

m m

+

− = − +

2 2

0 1

m m

+

+ 2

Vậy minM = −335 khi m = −3