Chú ý: SV có thể sử dụng công thức Gauss, hoặc tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ, kết quả đúng vẫn chấm điểm tối đa.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
-
Đề thi số: 2
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a Tính giới hạn:
lim (𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦
𝑥2+ 𝑦2
b Cho mặt cong có phương trình 𝑧 = ln (√𝑥3
− √𝑦4 + 1) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm 𝐴 = (1,1) Tính gần đúng 𝑧(1.03; 0.96)
Câu 2: (2đ) Tính diện tích của phần mặt 𝑧 = 𝑥2
𝑎 +𝑦2
𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0) nằm trong mặt trụ 𝑥2
𝑎 2 +𝑦𝑏22 = 1
Câu 3: (2đ) Tính tích phân:
𝐼 = ∮(2𝑥5+ 3𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥)𝑑𝑥 + [(𝑥 + 𝑦)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦]𝑑𝑦 𝐶
,
𝐶 là biên của miền 𝐷 được giới hạn bởi các đường: 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 2 − 𝑥 Chiều của 𝐶 là chiều ngược chiều kim đồng hồ
Câu 4: (2đ) Tính tích phân:
𝐼 = ∬ 4𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑧 + 4𝑦3𝑑𝑧𝑑𝑥 − 6𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
,
𝑆 là phần mặt trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑎2, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 Hướng dương của mặt 𝑆 là phía trên, nhìn từ hướng dương của trục 𝑂𝑦
Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân:
𝑦′′+ 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥 − 1 + 4𝑒𝑥
-
Ghi chú: Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
- Đáp án đề thi số: 2
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a (0.5) | 𝑥 2 𝑦
𝑥 2 +𝑦 2 | ≤ 2𝑥2|𝑥𝑦|𝑦|| =|𝑥|2
(0.25) Vì lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
|𝑥|
2 = 0
(0.25) Nên lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦
𝑥 2 +𝑦 2 = 0
b (0.25) 𝑧𝑥 = 1
3 (3√ 𝑥 −4√ 𝑦 +1)3√ 𝑥 2 , 𝑧𝑦 = −1
4 (3√ 𝑥 −4√ 𝑦 +1)4√ 𝑦 3
(0.25) (𝑥0, 𝑦0) = (1,1) → 𝑧0 = 0
(0.25) Phương trình mặt tiếp diện: 𝑧 = 𝑧(𝑥0, 𝑦0) + 𝑧𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑧𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
=1
3 (𝑥 − 1) −1
4 (𝑦 − 1)
(0.25) 𝑧(1.03; 0.96) ≈1
3(1.03 − 1)−1
4(0.96 − 1)= 0.02
Câu 2: (2đ)
(0.25) Diện tích: 𝐷𝑡 = ∬ 𝑑𝑆𝑆
(0.25) Phương trình mặt 𝑆:𝑧 = 𝑥𝑎2+𝑦𝑏2
𝑧𝑥 =2𝑥
𝑎 , 𝑧𝑦 =2𝑦
𝑏
(0.25) 𝑑𝑆 = √𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = √1 +4𝑥2
𝑎 2 +4𝑦2
𝑏 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) 𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦):𝑥𝑎22+𝑦2
𝑏2 ≤ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0}
𝐷𝑡 = ∬ √1 +4𝑥2
𝑎 2 +4𝑦2
𝑏 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑏𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝐷(𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}
(0.25) 𝐷𝑡 = ∬𝐷(𝑟,𝜑)√1 + 4𝑟 2 𝑎𝑏𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑
= 𝑎𝑏 ∬𝐷(𝑟,𝜑)√1 + 4𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑
(0.25) = 𝑎𝑏 ∫ 𝑑𝜑02𝜋 ∫ √01 1 + 4𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟
(0.25) = 𝑎𝑏𝜋6 (5√5 − 1)
Câu 3: (2đ)
(0.25) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥5+ 3𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥; 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦
𝑄𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦), 𝑃𝑦 = 6𝑦
(0.25) Theo Green:
Trang 3𝐼 = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) 𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≥ 𝑥2, 𝑦 ≤ 2 − 𝑥}
(0.25) Giao điểm của hai đường: 𝐴(1,1), 𝐵(−2,4)
(0.25) 𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): −2 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 2 − 𝑥}
(0.25) 𝐼 = 2 ∫ 𝑑𝑥−21 ∫𝑥2−𝑥2 (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦
(0.25) = 2 ∫ (𝑥−21 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 6𝑥 − 4)𝑑𝑥
(0.25) = −333
10
Câu 4: (2đ)
(0.25) Phương trình mặt 𝑆:𝑥2+ 𝑦2 = 𝑎2
𝑆: 𝑥 = √𝑎2− 𝑦2, vector pháp tuyến của mặt 𝑆: 𝒍 = (1, −𝑥𝑦, 0)
(0.25) 𝑥𝑦 = −𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2
(0.25) 𝐷(𝑦, 𝑧) = {(𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ}
(0.25) 𝐼 = ∬ [4𝑥3+ 4𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦𝑑𝑧
= ∬ [4(√𝑎2− 𝑦2)3+ 4𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦𝑑𝑧
(0.25) = 4 ∫ 𝑑𝑧0ℎ ∫ [(√𝑎2− 𝑦2)3+ 𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦
𝑎
(0.25) = 4ℎ ∫ [(√𝑎2− 𝑦2)3+ 𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦
𝑎
(0.5) =3𝜋ℎ𝑎4
2
Chú ý: SV có thể sử dụng công thức Gauss, hoặc tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ, kết quả đúng vẫn chấm điểm tối đa
Câu 5: (2đ)
(0.25) Pt đặc trưng: 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = 0 có nghiệm 𝑘1,2 = −1
(0.25) Pt thuần nhất tương ứng: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0 có nghiệm tổng quát:
𝑦 = 𝐶1𝑒 −𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 −𝑥
(0.25) Pt: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
(0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦1 = 𝑥 2 − 3
(0.25) Pt: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 4𝑒 𝑥 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝐴
(0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦2 = 𝑒 𝑥
(0.25) Nghiệm tổng quát của ptvp:
𝑦 = 𝐶1𝑒 −𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑥 2 − 3 + 𝑒 𝑥