Phân tích phi tuyến khung thép phẳng sử dụng hàm nội suy đa thức bậc cao

TÓM TẮT Luận văn này mô phỏng ứng xử bậc hai của cấu kiện dầm-cột thép bằng một hàm đa thức bậc 5 để áp dụng phân tích kết cấu khung thép phẳng bằng việc sử dụng một phần tử cho mỗi cấu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG SỬ DỤNG

HÀM NỘI SUY ĐA THỨC BẬC CAO

Chuyên ngành : Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành : 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS NGÔ HỮU CƯỜNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS NGUYỄN MINH LONG

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP HCM, ngày 11 tháng 01 năm 2013

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 TS LÊ VĂN CẢNH – Chủ tịch

2 TS ĐINH THẾ HƯNG – Thư ký

3 PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

4 TS NGÔ HỮU CƯỜNG

5 TS NGUYỄN MINH LONG

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN THỊ THÙY LINH MSHV: 11210238

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số: 60.58.20

I TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG SỬ

DỤNG HÀM NỘI SUY ĐA THỨC BẬC CAO

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Tìm hiểu phương pháp sử dụng hàm nội suy đa thức bậc cao trong phân tích phi tuyến kết cấu khung thép

2 Thiết lập thuật toán giải phi tuyến theo thuật toán Newton Raphson và lập trình ứng dụng chương trình phân tích bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB

3 Phân tích và so sánh kết quả thu được với kết quả số của các bài báo và tài liệu

kỹ thuật đã công bố Rút ra nhận xét và kết luận

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2014

TS NGÔ HỮU CƯỜNG

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ơn chân thành đến các đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã và cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến anh Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả để tác giả hoàn thành khóa học và thực hiện được luận văn này Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Tác giả rất mong nhận được ý kiến góp ý của thầy, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

TÓM TẮT

Luận văn này mô phỏng ứng xử bậc hai của cấu kiện dầm-cột thép bằng một hàm đa thức bậc 5 để áp dụng phân tích kết cấu khung thép phẳng bằng việc sử dụng một phần tử cho mỗi cấu kiện Hàm đa thức bậc 5 được giả thiết là lời giải ổn định của phương trình vi phân cân bằng của một cấu kiện dầm-cột thép chịu tải đầu mút và được thiết lập dựa trên việc áp dụng các điều kiện tương thích ở các điểm nút cũng như việc đảm bảo sự cân bằng của cấu kiện Tác động phi tuyến vật liệu được kể đến bằng việc áp dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh Một chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB được phát triển để phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Phương pháp áp dụng và chương trình đề xuất được chứng tỏ tin cậy và hiệu quả thông qua các ví dụ số minh họa

ABSTRACT

This thesis models nonlinear behavior of steel beam-column member by a 5thorder polynomial function to apply for structural analysis of steel plane frame structure by using one element per member The 5th polynomial function is assumed

as a stability solution of a differential equilibrium equation of a steel beam-column member subjected to end forces and is formulated based on the application of compatibility condition at some special points as well as ensuring the equilibrium condition of the member The inelasticity effect is considered by applying the refined plastic hinge method A computer program written by MATLAB program language is developed for nonlinear analysis of steel frames subjected to static loads The applied method and proposed program is verified for accuracy and efficiency through some numerial examples

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ 7

DANH MỤC BẢNG BIỂU 9

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 11

TÓM TẮT 3

ABSTRACT 3

CHƯƠNG I TỔNG QUAN 12

I.1 Đặt vấn đề 12

I.1.1 Phi tuyến hình học 12

I.1.2 Phi tuyến vật liệu 12

I.2 Tình hình nghiên cứu 13

I.2.1 Trên thế giới 13

I.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 14

I.3 Mục tiêu của đề tài 15

I.4 Cấu trúc luận văn 15

CHƯƠNG II THIẾT LẬP CÔNG THỨC 16

II.1 Giả thiết 16

II.2 Thiết lập ma trận độ cứng 19

II.2.1 Quan hệ giữa lực và chuyển vị nút 19

II.2.2 Tìm các số hạng của ma trận độ cứng tiếp tuyến 22

II.3 Phi tuyến vật liệu 26

II.3.1 Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư 26

II.3.2 Sự chảy dẻo do mô-men uốn 27

CHƯƠNG III THUẬT TOÁN GIẢI PHI TUYẾN VÀ CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG 32

III.1 Thuật toán Newton–Raphson 32

III.2 Lưu đồ thuật toán 35

III.3 Chương trình phân tích 35

CHƯƠNG IV VÍ DỤ MINH HỌA 38

IV.1 Ví dụ 1 – Cột hai đầu khớp chịu tải tập trung 38

IV.2 Ví dụ 2 – Khung Vogel một nhịp một tầng liên kết cứng 40

IV.3 Ví dụ 3 – Khung phẳng Balling hai tầng một nhịp không giằng 42

IV.4 Ví dụ 4 – Khung phẳng Zhou 2 nhịp bốn tầng 43

IV.5 Ví dụ 5 – Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali (1983) 46

IV.6 Ví dụ 6 – Khung 2 nhịp 1 tầng McGuire 48

CHƯƠNG V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50

V.1 Kết luận 50

V.2 Kiến nghị 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình II-1 Ứng xử tải trọng – chuyển vị của phần tử 16

Hình II-2 Mô hình cân bằng đoạn phần tử đầu mút 17

Hình II-3 Ứng xử tải trọng – chuyển vị của phần tử 17

Hình II-4 Biểu đồ so sánh hàm ổn định khi F >0 20

Hình II-5 Biểu đồ so sánh hàm ổn định khi F <0 21

Hình II-6 Mô hình chuyển vị nút ở 2 đầu của dầm 22

Hình II-7 Quan hệ (Et /E và P/Py) 27

Hình II-8 Đường cường độ được phát triển bởi Orbison 29

Hình II-9 Đường cường độ được phát triển bởi Liew cùng cộng sự 30

Hình II-10 Đường cường độ được phát triển bởi Balling 30

Hình III-1 Sơ đồ minh họa thuật toán Newton-Raphson 33

Hình III-2 Sơ đồ minh họa thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh 34

Hình III-3 Lưu đồ thuật toán của chương trình 35

HìnhIV-1 Cột hai đầu khớp chịu tải tập trung 38

HìnhIV-2 Đường cong cường độ của cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm 39

Hình IV-3 Khung Vogel một nhịp một tầng liên kết cứng 41

Hình IV-4 Chuyển vị ngang tại nút 4 của khung Vogel một nhịp một tầng 41

Hình IV-5 Khung phẳng Balling hai tầng một nhịp không giằng 42

Hình IV-6 Chuyển vị ngang tại nút H trong khung Balling không giằng 43

Hình IV-7 Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou 44

Hình IV-8 Biểu đồ quan hệ lực - chuyển vị Khung 2 nhịp, 4 tầng 45

Hình IV-9 Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali (1983) 46

Hình IV-10 Biểu đồ quan hệ lực - chuyển vị Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali 47 Hình IV-11 Khung 2 nhịp 1 tầng (1994) 48 Hình IV-12 Biểu đồ quan hệ lực - chuyển vị nút B- Khung 2 nhịp 1 tầng 49

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1 Định dạng file input.txt 36

Bảng 2 Bảng so sánh về tải tới hạn của cột hai đầu khớp 39

Bảng 3 Đặc trưng hình học của khung Vogel một nhịp một tầng 40

Bảng 4 Đặc trưng hình học của khung Balling hai tầng một nhịp không giằng 42

Bảng 5 So sánh kết quả Khung phẳng Balling hai tầng một nhịp không giằng về hệ số tải cực hạn u 43

Bảng 6 Đặc trưng hình học của khung phẳng Zhou 2 nhịp 4 tầng 44

Bảng 7 So sánh kết quả Khung 2 nhịp, 4 tầng Kukreti và Zhou về hệ số tải 45

Bảng 8 So sánh kết quả Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali về hệ số tải cực hạn u 47

Bảng 9 Thông số tiết diện khung 2 nhịp 1 tầng 48

Bảng 10 So sánh kết quả Khung 2 nhịp 1 tầng về tải tới hạn Pu 49

Bảng 11 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 53

Bảng 12 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 54

Bảng 13 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 55

Bảng 14 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 56

Bảng 15 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 57

Bảng 16 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 58

Bảng 17 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 59

Bảng 18 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 60

Bảng 19 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 61

Bảng 20 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 62

Bảng 21 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 63

Bảng 22 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 64

Bảng 23 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 65

Bảng 24 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 66

Bảng 25 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 67

Bảng 26 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 68

Bảng 27 Bảng số liệu cho ví dụ 2 và 4 (Tiếp theo) 69

Bảng 28 Bảng số liệu cho ví dụ 4 70

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

  góc xoay của mặt cắt ngang ở hai đầu phần tử

E mô-đun đàn hồi của vật liệu

I mô-men quán tính của tiết diện

TỔNG QUAN

I.1 Đặt vấn đề

Phân tích kết cấu là quá trình xác định chuyển vị, biến dạng và ứng suất của

hệ kết cấu khi chịu tải Phân tích đàn hồi tuyến tính giả thuyết bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị đến ứng xử của kết cấu và quan hệ ứng suất – biến dạng là tuyến tính Bởi tính đơn giản, dễ sử dụng nên cách phân tích này hiện đang được sử dụng phổ biến trên thế giới trong thiết kế kết cấu Tuy nhiên, loại phân tích này chưa đề cập đến tính ổn định và ứng xử thực của hệ kết cấu Với sự phát triển công nghệ thông tin và phần mềm ứng dụng trong phân tích kết cấu như hiện nay, việc áp dụng phân tích phi tuyến kết cấu là một yêu cầu mới để tăng độ tin cậy và tính chính xác của

đồ án thiết kế

Một phân tích phi tuyến hoàn chỉnh cho khung thép bao gồm: phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu

I.1.1 Phi tuyến hình học

Phân tích phi tuyến hình học có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học

và sự phân bố ứng suất dư trong cấu kiện, do đó ma trận độ cứng sẽ khác hẳn so với

ma trận độ cứng thông thường vì có thêm các ẩn số chuyển vị Nếu trong phân tích tuyến tính thì lời giải có thể tìm trực tiếp thì trong phân tích phi tuyến hình học lời giải phải dùng đến phương pháp gia tải từng bước do có sự thay đổi hình học của kết cấu sau mỗi lần tăng tải

I.1.2 Phi tuyến vật liệu

Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có kể đến ứng xử ngoài miền đàn hồi của vật liệu Hai phương pháp cơ bản thường được sử dụng khi phân tích kết

cấu thép phi đàn hồi là phương pháp khớp dẻo và phương pháp vùng dẻo

Phương pháp khớp dẻo còn gọi là phương pháp dầm-cột là mô hình đơn giản, dễ sử dụng và phổ biến nhất Trong phương pháp khớp dẻo giả thiết sự chảy dẻo chỉ xảy ra trong một vùng nhỏ ở hai đầu phần tử, phần còn lại được giả thuyết

vẫn còn đàn hồi Một khi giá trị nội lực tại đầu nào của phần tử đạt tiêu chuẩn dẻo, một khớp dẻo được hình thành đột ngột từ trạng thái đàn hồi Khớp dẻo này được xem là “khớp lý tưởng” với ý nghĩa là không tiếp nhận được thêm nội lực được nữa trong bước gia tải kế tiếp

Phương pháp vùng dẻo (plastic zone), hay còn gọi là phương pháp dẻo phân

bố (distributed plasticity), là phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên sự chia phần tử dọc theo chiều dài cấu kiện và chia mặt cắt ngang tiết diện thành nhiều thớ Phương pháp này có thể: mô phỏng sự lan truyền dẻo (spread of plasticity) qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện; dễ dàng kể đến tác động tương hỗ giữa các biến dạng dọc trục, uốn và xoắn; dễ dàng mô phỏng sự tái bền, ứng suất dư và ứng

xử trễ của vật liệu Việc áp dụng phương pháp này là cách chính xác nhất để tiên đoán cường độ khung do nó có thể mô phỏng ứng xử của khung thép gần giống như những gì xảy ra thực trong cấu kiện kết cấu thép khi chịu tải Tuy nhiên khối lượng tính toán và lưu trữ trong phương pháp này là khá lớn do phải chia nhiều phần tử nên số ẩn số trong hệ phương trình tuyến tính là khá lớn, đòi hỏi máy tính phải có cấu hình cao Do vậy, phương pháp này thường chỉ được dùng trong nghiên cứu để kiểm tra độ tin cậy các phương pháp phân tích khác

Trong luận văn này, tác giả áp dụng phương pháp phân tích khớp dẻo trong phân tích phi tuyến vật liệu của hệ kết cấu

I.2 Tình hình nghiên cứu

I.2.1 Trên thế giới

Trên thế giới, phương pháp dầm – cột đã được nghiên cứu sâu rộng để phân tích khung thép chịu tải trọng tĩnh và động Phương pháp này dựa vào việc mô phỏng cấu kiện bằng một hay hai phần tử

Lui và Chen (1986) [1] phân tích ứng xử của khung thép phẳng dùng phương pháp khớp dẻo Ứng xử phi tuyến của liên kết được mô phỏng bằng hàm

mũ và có kể đến sự gia tải và dỡ tải của liên kết Kỹ thuật lặp gia tăng điều khiển tải trọng Newton – Raphson được áp dụng để giải bài toán

Lui và Chen (1987) [2] mô hình toán học khác nhau được đề xuất để mô phỏng ứng xử mô-men – góc xoay phi tuyến của liên kết dầm – cột Một phương pháp phân tích khung thép có liên kết mềm được đề xuất trong đó liên kết cột nối cột được xem là cứng hoàn toàn và phương trình độ dốc – độ võng cho dầm được hiệu chỉnh để kể đến các lò xo xoay thể hiện cho liên kết nửa cứng Bài báo cũng khảo sát ảnh hưởng của liên kết mềm đến cường độ, độ võng và sự phân bố nội lực trong khung thép

Hsieh và Deierlein (1991) [3] phân tích phi tuyến khung không gian có liên kết nửa cứng có giao diện đồ họa nhằm ứng dụng cho việc thiết kế theo trạng thái giới hạn của kết cấu Ứng xử phi tuyến vật liệu được kể đến bởi việc sử dụng phương pháp khớp dẻo có ma trận giảm dẻo dựa trên mặt dẻo ba tham số để mô phỏng sự chảy dẻo của mặt cắt ngang do tác động của lực dọc trục và mômen uốn theo hai phương

Chan và Zhou (1994) [4] đã phát triển một phần tử mới dùng đa thức bậc 5 cho hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu tải đầu mút cho phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh

Balling và Lyon (2010) [5] phần tử đồng xoay kết hợp lý thuyết khớp dẻo

để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung thép Phần tử đồng xoay được phát triển có ưu điểm là chỉ cần mô phỏng một phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt độ chính xác cao

I.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Trần Tuấn Kiệt và Bùi Công Thành (2003) [6] xét đến ảnh hưởng của liên kết nửa cứng thông qua việc đưa độ cứng tiếp tuyến liên kết vào phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh

Phạm Minh Vương (2006) [7] mô phỏng ứng xử không đàn hồi của khung thép phẳng liên kết cứng chịu tải tĩnh dùng phần tử ba khớp dẻo

Trương Thị Mỹ Hạnh (2011) [8] phân tích phi tuyến khung phẳng bằng phương pháp điều chỉnh trực tiếp ma trận độ cứng bằng cách đưa vào các hệ số giảm độ cứng Các hệ số này có xét đến ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt và moment Đặng Xuân Lam (2012) [9] đã phân tích phi tuyến khung thép bằng phương pháp đồng xoay kết hợp với khớp dẻo cứng và hiệu chỉnh

I.3 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu chính của nghiên cứu này là sử dụng hàm đa thức bậc năm là lời giải

ổn định của phương trình vi phân cân bằng cấu kiện dầm-cột thép chịu tải trọng đầu mút để phát triển chương trình phân tích ứng xử phi tuyến của kết cấu khung thép phẳng

I.4 Cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc các chương như sau:

Chương 1: Tổng quan

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Chương 3: Thuật toán giải phi tuyến

Chương 4: Chương trình ứng dụng

Chương 5: Ví dụ minh họa

Chương 6: Kết luận và hướng phát triển của đề tài

Chương II THIẾT LẬP CÔNG THỨC

Một hàm đa thức bậc 5 được giả thiết là lời giải ổn định của cấu kiện dầm-cột chịu tải đầu mút Hàm này được thiết lập bằng cách sử dụng các điều kiện tương thích ở 2 đầu cấu kiện ở giữa nhịp và các điều kiện cân bằng của cấu kiện Phương pháp này đã được đề xuất bởi Chan và Zhou (1994) [4] và được nghiên cứu và áp dụng trong luận văn này

II.1 Giả thiết

Xét một phần tử có chiều dài L với những lực ở đầu mút phần tử là lực nén dọc trục, lực cắt và mô men uốn được biều diễn theo chiều dương như Hình II.1

Hình II-1 Ứng xử tải trọng – chuyển vị của phần tử

Những giả thiết cơ bản của phương pháp cân bằng đa thức Sử dụng giả thuyết dầm – cột Timoshenko (Timoshenko và Gere, 1961 [10]):

(1) Phần tử ban đầu có dạng lăng trụ và làm việc trong miền đàn hồi;

(2) Lực tác dụng ở 2 đầu phần tử;

(3) Bỏ qua biến dạng cắt và xoắn vênh;

(4) Giả thiết biến dạng nhỏ, nhưng chuyển vị có thể lớn;

(5) Cấu kiện kết cấu được giả thiết đã được giằng đủ để không xảy ra mất ổn định xoắn ngang;

(6) Các góc hợp bởi các tiếp tuyến với phần tử tại các đầu mút với đường nối hai điểm đầu mút phần tử nhỏ

Điều kiện tương thích

Điều kiện cân bằng

+ Phương trình cân bằng mômen tại đầu dầm:

L chiều dài phần tử ban đầu

Giả thiết hàm chuyển vị ngang có dạng bậc 5 như sau:

FL q EI

Thay các hệ số a0 đến a5 vào phương trình (4) ta được hàm chuyển vị như sau:

N và N2– là hàm dạng của phần tử của cấu kiện

Có thể thấy rằng chuyển vị trong công thức (13) sẽ được chuyển đổi sang hàm Hermite bậc 3 khi tải trọng dọc trục bằng không (tức q = 0) Sự khác biệt giữa các phần tử bậc 3 và phần tử bậc cao sẽ tăng lên khi tải trọng dọc trục lớn do tác động

phi tuyến hình học

II.2 Thiết lập ma trận độ cứng

II.2.1 Quan hệ giữa lực và chuyển vị nút

Mô men dọc theo chiều dài phần tử:

Quan hệ giữa mô men và góc xoay 2 đầu phần tử:

0

0 2

"

L x

"

L x

b b – hàm hiệu ứng cung (bowing funtions).

II.2.2 Tìm các số hạng của ma trận độ cứng tiếp tuyến

cấu kiện hiện tại

cấu kiện ban đầu

Các thành phần của vectơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương trong

phương trình (35) được xác định như sau

Trong đó, c1, c2, b1, b2 lần lượt là các hàm ổn định và hàm hiệu ứng cung được thiết lập theo hàm dạng bậc 5 đã đề xuất

II.3 Phi tuyến vật liệu

II.3.1 Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư

Để kể đến sự chảy dẻo dần dần do ảnh hưởng của ứng suất dư trong mặt cắt tiết diện dưới tác dụng của lực dọc, Liew và cộng sự (1993) [11] đã đưa ra giá trị của mô-đun tiếp tuyến Et theo công thức sau:

Hình II-7 Quan hệ (E t /E và P/P y )

II.3.2 Sự chảy dẻo do mô-men uốn

Mô-đun tiếp tuyến Et chỉ kể đến tác động của lực dọc trong phần tử mà chưa

kể đến tác động đồng thời của lực dọc và mô-men uốn Việc hình thành khớp dẻo trong phần tử chịu ảnh hưởng nhiều từ mô-men uốn Khái niệm đường cường độ chảy dẻo được đưa ra để kể đến ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mômen uốn trên cơ sở nội lực của phần tử Một số đường cường độ chảy dẻo điển hình đã được

đề xuất như sau:

Đường cường độ chảy dẻo Orbison được đưa ra bởi Orbison và các cộng sự (1982) [1]

P  M  nếu P 0.2

Đường cường độ chảy dẻo do Balling (2010) [5] đề xuất

Trong phương pháp khớp dẻo cứng, mặt cắt tiết diện ở hai đầu cấu kiện được giả định rằng là hoàn toàn đàn hồi trước khi nội lực trong phần tử tiến đến đường cường độ chảy dẻo Khi khớp dẻo được hình thành thì những khớp dẻo này được xem là khớp lý tưởng, trong thuật toán gia tăng với mô-men uốn không đổi trong bước tải kế tiếp Với e là hệ số độ cứng của tiết diện ở hai đầu phần tử Mặt cắt tiết diện được giả định rằng chỉ tồn tại một trong hai trường hợp là hoàn toàn đàn hồi (e

= 1) hoặc hoàn toàn chảy dẻo (e = 0) Do sự xuất hiện đột ngột của khớp dẻo từ trạng thái đàn hồi, phương pháp này được gọi là phương pháp khớp dẻo cứng Mặc

dù phương pháp này đơn giản trong quá trình tính toán nhưng nó chưa kể đến được quá trình chảy dẻo của tiết diện và chưa cho ra được kết quả lý tưởng

Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được phát triển bởi Liew cùng cộng sự (2000) [11] dùng hai đường cường độ chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của đầu mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo cứng Sự chảy dẻo đầu mút phần tử được trình bày bởi hệ

số chảy dẻo e:

Trong đó  là thông số dẻo được tính theo độ lớn của lực dọc và mô-men ở hai đầu của cấu kiện theo đường cường độ chảy dẻo Orbison, hoặc AISC-LRFD, hoặc Balling được trình bày bên trên

Mặt bắt đầu chảy dẻo (  0.5) thì đồng dạng với mặt chảy dẻo (  1) Để tính đến quá trình chảy dẻo từ, hệ số e được tính như sau:

Hình II-9 Đường cường độ được phát triển bởi Liew cùng cộng sự

Hình II-10 Đường cường độ được phát triển bởi Balling

Khi nội lực phần tử di chuyển bên trong hoặc ngay trên đường cường độ bắt đầu chảy dẻo ( 0.5) thì phần tử hoàn toàn đàn hồi Khi nội lực phần tử di chuyển bên ngoài đường cường độ bắt đầu chảy dẻo và bên trong đường cường độ chảy dẻo ( 0.5  1) phần tử bắt đầu chảy dẻo và hệ số e giảm Hệ số e được tính theo công thức (59) Khi nội lực phần tử di chuyển bên ngoài đường cường độ chảy dẻo

( 1) phần tử hoàn toàn chảy dẻo và nội lực phần tử được đưa trở về mặt chảy dẻo trong những lần gia tăng tải tiếp theo

Chương III THUẬT TOÁN GIẢI PHI TUYẾN VÀ CHƯƠNG

TRÌNH ỨNG DỤNG

Sự phát triển của kỹ thuật phân tích phi tuyến xuất hiện từ nhu cầu giải bài toán phi tuyến để tìm đường quan hệ tải trọng – chuyển vị của hệ Hầu hết các kỹ thuật phân tích phi tuyến đều thông qua việc tuyến tính hoá Sự chuyển đổi qua ứng

xử tuyến tính làm cho việc phân tích bài toán phi tuyến được thực hiện qua việc ứng dụng các bước tải trọng gia tăng

Những thuật toán giải phi tuyến thông dụng là thuật toán gia tăng đơn giản Euler và thuật toán Newton – Raphson và phương pháp Newton-Raphson hiệu chỉnh Trong các phương pháp trên thuật toán Newton-Raphson là thuật toán có độ hội tụ cao do lực dư giữa ngoại lực tác dụng và nội lực được khử trong từng bước tăng tải và do đó được áp dụng trong nghiên cứu này

III.1 Thuật toán Newton–Raphson

Kết quả sai số tích lũy của kỹ thuật gia tăng đơn giản Euler có thể được cực tiểu hóa qua việc lặp kết hợp trong mỗi bước tải trọng khi phân tích Việc lặp giúp cực tiểu hóa các lực không cân bằng giữa tác dụng bên ngoài và nội lực bên trong xảy ra ở mỗi bước tải trọng

Có hai phương pháp thường được dùng để lặp bên trong mỗi bước lặp Phương pháp Newton – Raphson và Newton – Raphson hiệu chỉnh

Trong thuật toán Newton – Raphson đầy đủ, ma trận độ cứng của phần tử được cập nhật sau mỗi vòng lặp nên cho độ hội tụ rất cao Trong khi đó, thay vì phải cập nhật ma trận độ cứng phần tử sau mỗi vòng lặp, thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh sử dụng ma trận độ cứng không đổi Tuy thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh đơn giản hơn trong các bước tính toán, nhưng cho tốc độ hội tụ chậm hơn thuật toán Newton – Raphson đầy đủ do cần nhiều bước lặp con hơn

Hình III-1 Sơ đồ minh họa thuật toán Newton-Raphson

Trong thuật toán giải lặp đòi hỏi phải giải phương trình cân bằng phi tuyến giữa véc-tơ ngoại lực P và véc-tơ nội lực Z, với Z là một hàm phi tuyến của véc-tơ chuyển vị D: P = Z(D)

Các bước lặp của thuật toán lặp Newton-Raphson đầy đủ:

Bước 0: Cập nhật trạng thái ban đầu cho vòng lặp mới

Bước 1: Nhập véc-tơ ngoại lực P và véc-tơ chuyển vị ban đầu {D} = 0

Bước 2: Tính véc-tơ nội lực Z(D)

Bước 3: Tính ma trận độ cứng tiếp tuyến kết cấu  T

ZK

D





Bước 4: Giải phương trình tuyến tính K T  D  P  Z để tìm {D} và cập nhật {D} = {D} + {D}

Bước 5: Dừng vòng lặp nếu đạt sai số cho phép, {D}[]; ngược lại, quay

về thực hiện Bước 2

Trong thuật toán Newton – Raphson hiệu chỉnh các bước lặp đều tương tự thuật toán Newton – Raphson đầy đủ ngoại trừ Bước 3 dùng cập nhật lại ma trận độ cứng không được sử dụng trong các vòng lặp con từ thứ hai trở đi như Hình III-2

Hình III-2 Sơ đồ minh họa thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh

Sự giống nhau giữa thuật toán Newton – Raphson và Newton – Raphson hiệu chỉnh Sự khác biệt chủ yếu giữa hai phương pháp là việc tính ma trận độ cứng tiếp tuyến Đối với kết cấu có nhiều bậc tự do, việc tính lại ma trận độ cứng tiếp tuyến tốn rất nhiều thời gian Tuy nhiên, thuật toán Newton-Raphson hiệu chỉnh không có cùng tỷ lệ hội tụ như thuật toán Newton-Raphson, phương pháp này cần nhiều bước lặp hơn để đạt kết quả hội tụ so với thuật toán Newton – Raphson