Một rạp chiếu phim có 120 chỗ ngồi được sắp xếp thành những dãy ghế, mỗi dãy có số ghế như nhau. Sau đó, khi sửa chữa người ta đã bổ sung thêm 2 dãy ghế. Để giữ nguyên số ghế của rạp, [r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN ĐỐNG ĐA
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN 9 Ngày kiểm tra: 10/4/2019
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức
1 2
A
x
=
1
B
− − với x > 0;x ≠ 1
a) Tính giá trị của A khi x = 16;
b) Chứng minh rằng B x 2
x
+
c) Cho P = A B So sánh P với 3
Bài II (2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một rạp chiếu phim có 120 chỗ ngồi được sắp xếp thành những dãy ghế, mỗi dãy có số ghế như nhau Sau đó, khi sửa chữa người ta đã bổ sung thêm 2 dãy ghế Để giữ nguyên số ghế của rạp, mỗi dãy ghế được kê ít hơn so với ban đầu là 2 ghế Hỏi trước khi sửa chữa thì rạp chiếu phim
có bao nhiêu dãy ghế?
Bài III (1,5 điểm)
Cho phương trình: 2
x − m + x + m = , (m là tham số) 1) Giải phương trình khi m = −1
b) Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn 2
x + m + x =
Trang 2Bài IV (3,5 điểm)
Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB sao cho
AC < BC ; E là một điểm thuộc đoạn BC (E khác B và C ) Tia AE
cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai D Kẻ EH ⊥ AB tại H
1) Chứng minh tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp
2) Tia CH cắt ( )O tại điểm thứ hai F Chứng minh rằng EH / /DF 3) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ∆CHO đi qua điểm D
4) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm Ftrên các
đường thẳng CA và CBChứng minh rằng AB DF IK, , cùng đi qua một điểm
Bài V (0,5 điểm)
Cho x y z, , là các số dương thay đổi thỏa mãn x + + =y z 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5 1 1 1
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức
1 2
A
x
=
1
B
− − với x > 0;x ≠ 1
a) Tính giá trị của A khi x = 16;
b) Chứng minh rằng B x 2
x
+
c) Cho P = A B So sánh P với 3
Lời giải
a) Khi x = 16, ta được:
16 6
6
1
2
=
+
+
Kiến thức:
Tính giá trị của biểu thức
Trang 4b) 2 2
1
B
B
( )
B
1
B
=
−
( 12)
B
=
−
1
B
=
− 2
x
B
x
+
=
Kiến thức:
Quy đồng mẫu thức:
.1
x − x = x x −
(Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung)
+ − 2
(x x ) (2 x 2)
( 1) (2 1)
( x 1)( x 2)
Trang 5c) 1 2
2
P
⋅ +
2
x
P
x
⋅ +
=
2
P
+
=
1
x
1
P
x
1 3
P
x
− =
P
x
− =
− =
2 1 3
x P
x
Vì x > 0;x ≠ 1 nên
( )2
x > x − >
2 1
x P
x
Vậy P = A B > 3
Kiến thức:
Nhân hai phân thức:
Trừ hai phân thức:
x − x + ( )2
( )2
1
x
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của 1 hiệu:
Trang 6
Bài II (2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một rạp chiếu phim có 120 chỗ ngồi được sắp xếp thành những dãy ghế, mỗi dãy có số ghế như nhau Sau đó, khi sửa chữa người ta đã bổ sung thêm 2 dãy ghế Để giữ nguyên số ghế của rạp, mỗi dãy ghế được kê ít hơn so với ban đầu là 2 ghế Hỏi trước khi sửa chữa thì rạp chiếu phim
có bao nhiêu dãy ghế?
Lời giải
Gọi số dãy ghế trước khi sửa chữa của rạp
chiếu phim là x ( *
x ∈ ℕ )
Khi đó, số ghế trong mỗi dãy là: 120
x (ghế)
Số dãy ghế sau khi sửa chữa là: x + 2
Số ghế trong mỗi dãy sau khi sữa chữa là:
120
2
x + (ghế)
Theo đề bài, ta có phương trình:
120 120
2 2
+
120(x 2) 120x 2 (x x 2)
2
120x 240 120x 2x 4x
2
2x 4x 240 0
2
10
x
⇔ = (nhận) hoặc x = −12 (loại)
Vậy trước khi sửa chữa rạp chiếu phim có 10
dãy ghế
Kiến thức:
Xác định yêu cầu của
đề bài tìm gì?
Gọi giá trị cần tìm
(Chú ý đặt điều kiện)
Phương trình chứa ẩn
ở mẫu:
Điều kiện xác định Quy đồng và khử
mẫu
Giải phương trình
So sánh điều kiện và
kết luận nghiệm Giải phương trình bậc hai
Phương trình 2
0
ax +bx + =c (a ≠ 0) và biệt thức: 2
4
Khi ∆ >0 phương trình
có hai nghiệm phân biệt:
1
2
b x
a
− + ∆
2
2
b x
a
− − ∆
Trang 7Bài III (1,5 điểm)
Cho phương trình: 2
x − m + x + m = , (m là tham số)
1) Giải phương trình khi m = −1
b) Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn 2
Lời giải
a) Với m = −1, ta có phương trình:
2 ( 1 4) 4.( 1) 0
2
2 ( 3) 4.1( 4) 9 16 25 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
4
2
1
Kiến thức:
Giải phương trình bậc hai
Phương trình 2
0
ax +bx + =c (a ≠ 0) và biệt thức: 2
4
∆ = − Khi ∆ >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
b x
a
− + ∆
2
2
b x
a
− − ∆
Trang 8b) 2
x − m + x + m = (*)
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2 (m 4) 16m 0
2
2
2 (m 4) 0
⇔ − >
4
m
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho (*) ta được:
x + x = m + x x = m
2
2
1 ( 1 2) 2 16
(x x ) x x 16
2
(x x ) 2x x x x 16
2
(x x ) x x 16
Thay x1 + x2 = m + 4; x x1 2 = 4m vào (**)
ta được:
2 (m + 4) − 4m = 16
2
2
m m
0
m
⇔ = hoặc m + =4 0
0
m
⇔ = (thỏa điều kiện)
hoặc m = −4 (thỏa điều kiện)
Vậy m = 0;m = 4 thì phương trình đã
cho có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa
mãn 2
Kiến thức:
Giải phương trình bậc hai
Điều kiện để phương trình 2
0
ax +bx + =c (a ≠ 0) có 2 nghiệm phân biệt là
2
∆ = − >
Hằng đẳng thức:
Định lí Vi-ét
Nếu x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình 2
0
ax +bx + =c
(a ≠ 0) thì:
1 2
1 2
b
a c
x x
a
+ = −
Trang 9Bài IV (3,5 điểm)
Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB sao cho
AC < BC E là một điểm thuộc đoạn BC (E khác B và C ) Tia AE
cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai D Kẻ EH ⊥ AB tại H
1) Chứng minh tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp
2) Tia CH cắt ( ) O tại điểm thứ hai F Chứng minh rằng EH / /DF
3) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp CHO∆ đi qua điểm D
4) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm F trên các đường thẳng CA và CB Chứng minh rằng AB DF IK, , cùng đi qua một điểm
Lời giải
1) Chứng minh tứ giác ACEH
là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác ACEH có:
0
90
ACE = (vì ACB là góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn)
0
90
AHE = (vì EH ⊥ AB tại H )
Mà ACE và AHE là hai góc đối
nhau nên tứ giác ACEH là tứ giác
nội tiếp
Kiến thức:
Chứng minh tứ giác nội tiếp Định lí đảo:
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 0
180 thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp
Góc nội tiếp:
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
O
F
D C
E
A
Trang 102) Chứng minh rằng EH / /DF
Ta có: ACH AEH; là các góc nội
tiếp cùng chắn cung nhỏ AH
Vì bốn điểm , , ,A C D F đều nằm
trên đường tròn tâm O nên tứ giác
ACDF nội tiếp đường tròn ( )O
;
ACF ADF
⇒ là các góc nội tiếp
cùng chắn cung nhỏ AF
=
Mà AEH ADF; là hai góc ở vị trí
đồng vị
Suy ra: EH / /DF
Kiến thức:
Chứng minh hai đường thẳng song song:
Nếu đường thẳng c cắt hai đường
thẳng a b, và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai tam giác đó song song với nhau
Góc nội tiếp Trong một đường tròn:
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng
nhau thì bằng nhau
O
F
D C
E
H
B A
Trang 113) Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp ∆CHO đi qua điểm D
Xét tứ giác HEDB có:
0
90
EHB = (vì EH ⊥ AB tại H )
0
90
EDB = (vì ADB là góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn)
Mà EHB EDB; là hai góc đối nhau
EDBH
⇒ là tứ giác nội tiếp
⇒ = (1) (Hai góc nội
tiếp cùng chắn cung nhỏ ED )
Vì tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp
(câu a)
Nên: EHC = EAC (2) (Hai góc nội
tiếp cùng chắn cung nhỏ EC )
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì tứ giác ABDC là tứ giác nội
tiếp nên EAC EBD; là các góc nội
tiếp cùng chắn CmD
Kiến thức:
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ∆CHO đi qua điểm
D tức là chứng minh tứ giác
OHCD là tứ giác nội tiếp
Chứng minh tứ giác nội tiếp
Định lí đảo:
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp
Dấu hiệu:
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α
Góc ở tâm:
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Góc nội tiếp:
Định lí:
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
m
O
F
D C
E
H
B A
Trang 12= 1
2
2
Mà COD =sñCmD (góc ở tâm)
=
Xét tứ giác OHCD có hai góc:
;
CHD COD cùng nhìn cạnh CD và
CHD =COD
Suy ra tứ giác OHCD là tứ giác nội
tiếp
Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆CHO
đi qua điểm D
Trang 134) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm F trên các đường
thẳng CA và CB Chứng minh rằng
, ,
AB DF IK cùng đi qua một điểm
Gọi giao điểm của DF và AB là M
Hay MF ⊥AB
Xét tứ giác AIFM có:
90 ( )
90
AMF (vì MF ⊥AB)
Mà IAF AMF; là hai góc đối nhau
⇒IMF =IAF (Hai góc nội tiếp cùng
chắn cung IF)
Vì bốn điểm , , ,A C B F đều nằm trên
đường tròn ( )O nên tứ giác ACBF là
tứ giác nội tiếp nên:
=
CBF IAF (cùng bù FAC )
Kiến thức:
Từ vuông góc đến song song:
Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia
Chứng minh tứ giác nội tiếp
Định lí đảo:
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp (T/c)
Định lí:
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 0
180
I
O
F
D C
E
A
Trang 14Hay IMF =KBF (3)
Xét tứ giác BKMF có hai góc
;
BKF BMF cùng nhìn cạnh BF và
90
BKF BMF nên tứ giác BKMF
là tứ giác nội tiếp
180
Từ (3) và (4)
Vậy AB DF IK, , cùng đi qua một
điểm
Trang 15Bài V (0,5 điểm)
Cho x y z, , là các số dương thay đổi thỏa mãn x + + =y z 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5 1 1 1
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số
dương 5
x và 1
x , ta được:
Tương tự:
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Ta có: x2 −2x + =1 (x −1)2 ≥0 ⇒x2 + ≥1 2x
Tương tự: y2 + ≥1 2 ;y z2 + ≥1 2z
⇒T + ≥6 2(2x +2y +2 )z
6
T
⇒ ≥
Vậy MinT =6 khi x = = =y z 1
Kiến thức:
Bất đẳng thức Cauchy
Với a b, là hai số dương, ta có:
2
a b
ab
+