(0,25) Ta thấy với mỗi giá trị k khác nhau ta thu được một giá trị giới hạn khác nhau. Do đó[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015
ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ 01 Bài thi môn: Giải Tích II Số tín chỉ: 5
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (1.0đ)
(0,25) Đặt x = ky, khi y 0 thì x 0,
(0,50) Thay x = ky vào giới hạn ban đầu Ta thu được giới hạn
(0,25) Ta thấy với mỗi giá trị k khác nhau ta thu được một giá trị giới hạn khác nhau Do đó
không tồn tại giới hạn đã cho
Câu II (1.5đ)
(0.25đ) Trong miền mở D, các điểm dừng thỏa mãn:
2 2
2 2
x
y
(0.25đ) Giải hệ trên, ta có các điểm dừng:
(0.25đ) Tính giá trị tại các điểm dừng:
(0.25đ) Trên biên của miền
(0.25đ) So sánh, suy ra:
Câu III (1.5đ)
(0.25đ) Chuyển sang tọa độ trụ:
os sin
x rc
z z
(0.25đ) 0 2 ; 0 r 1;r z 1
(0.25đ)
2
r
1 1
0 0
( 2)
2
(1 ) 3
1
0
Trang 2(0.25đ) 2 2
1 1
0 0
( 2)
Câu IV (1.5đ)
(0.25đ) Gọi Chiều của L là chiều ngược chiều kim đồng hồ
(0.25đ) Ta có:
2
2
y
x
Dùng công thức Green đối với đường cong kín L:
2 2
2 2
(0.25đ) Đặt x a r cos , y b r sin
r
D r r
r
D
1 2
4 3
2 ab a ( cos b sin ) d r dr ab
(0.25đ) Tham số đường thẳng AB:
3
a
a AB
(0.25đ) Do đó:
I J K a
Câu V (1.5đ)
(0.25đ) Ta có: xd 1 2
(0.25đ) Xét 1 xd
S
I d y Hình chiếu của S xuống Oxy là:
2
4
y
x y
(0.25đ) Chuyển sang tọa độ cực, đặt
1 /2 1
2 1
cos
(0.25đ) Xét 2 dx
S
I ydz Hình chiếu của S xuống Oxz là:
1
x z
x z
Trang 3(0.25đ) Chuyển sang tọa độ cực, đặt
2
0
Câu VI (1.5đ)
(0.25đ) Pt không thuần nhất: y y 2 y 2 x2 2 x 2 4 e2x.
Pt thuần nhất: y y 2 y 0
(0.25đ) Pt đặc trưng: k2 k 2 0 k 1, k 2
(0.25đ) Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: * 2
y x C e C e
(0.25đ) Nghiệm riêng của pt không thuần nhất tìm dưới dạng:
y x Ax Bx C De
(0.25đ) Dùng phương pháp đồng nhất thức: A 1, B C 0, D 1
(0.25đ) Nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất:
y x y x y x C e C e x e
Câu VII (1.5đ)
(0,25đ) Ta viết lại phương trình vi phân ban đầu thành
(0,25đ) Đa thức đặc trưng k2 – 4k + 4 = 0 có nghiệm kép k = 2
(0,25đ) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Là
(0,25đ) Vì sin3x và sinx không phải là nghiệm của phương trình thuần nhất nên ta xét nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất có dạng
(0,25đ) Thay y vào phương trình không thuần nhất và đồng nhất thức 2 về ta thu được
(0,25đ) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là
- Hết -