Miền xác định của hàm số đang xét là R 2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi. x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D.[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án và Thang điểm
(Học kỳ II năm học 2016-2017)
Câu 1 (1,25đ) Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số
) 0 , 0 ( ) y , x ( khi b
) 0 , 0 ( ) y , x ( khi y x
1 arctan y
x ) y , x
2 2
trong đó b là tham số
Bài giải
Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2.(0,25đ)
Vì khi (x,y) (0,0) thì
2 2 y x
1
do đó
2 y x
1 arctan 2 2
khi (x,y) (0,0) 0
2 ) y x ( y x
1 arctan ) y x ( )
y
,
x
(
y x
1 arctan y
x lim )
y , x (
) 0 , 0 ( ) y , x ( )
0 ,
0
(
)
y
,
x
Do đó, nếu b = 0 thì f(0,0) = 0 và
(x,y) (0,0)
lim ) 0 , 0 ( ) y , x
điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, nếu b 0 thì f(0,0) = b 0 tức là
(x,y) (0,0)
lim ) 0 , 0 ( ) y , x
đang xét không liên tục tại điểm (0,0) (0,25đ)
2 2
) 5 y ( x
1 1 ) 5 y ( x ) y , x (
2.1 Tìm miền xác định D của hàm số f(x,y); 2.2 Tìm lim (x,y)
) 5 , 0 ( ) y , x
Bài giải
2 2
) 5 y ( x
1 1 ) 5 y ( x ) y , x (
xác định khi x2 + (y – 5)2 0 hoặc x 0 hoặc y
5 nên miền xác định của hàm số là D = R2\{(0,5)}.(0,5đ)
2.2 Đặt t = x2 + (y – 5)2 t 0 khi (x,y) (0,5)
1 1
1 t t
1 1 t 1 1 t t
1 1 t )
5 y ( x
1 1 ) 5 y ( x ) y , x
2 2
2
1 1 1 0
1 1
1 t
1 lim ) y , x ( lim
0 t )
5 , 0 ( )
y
,
x
Câu 3 (0,75đ) Chứng minh rằng hàm số
2 2 2
z y x
1 )
z , y , x (
thỏa mãn phương trình Laplace
0 z
) z , y , x ( y
) z , y , x ( x
)
z
,
y
,
x
(
2 2
2 2
2
2
trong không gian R3
Bài giải
1 2 2 2 2 2
z y x
1 )
z , y , x
3 2 2 2 1
2
1 2 2 2
z y x x x 2 z y x 2
1 x
)
z
,
y
,
x
TailieuVNU.com
Trang 2 2
5 2 2 2 2 2
3 2 2 2 1
2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2
z y x x z
y x x z y x 2
3 x z
y x 1 x
)
z
,
y
,
x
5 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2
z y x y z
y x y
) z , y , x
5 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2
z y x z 3 z
y x z
)
z
,
y
,
x
x y z 3x y z x y z 0 3
z
) z , y , x ( y
) z , y , x ( x
) z
,
y
,
x
(
2
5 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2
2 2
2
2
(0,25đ)
Câu 4 (1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2 Tính gradf(x,y,z) và
l
) z , y , x (
tại điểm M0(-1,1,1), biết
rằngl được xác định bởi véc tơ M0M1với M1(0,-1,-1)
Bài giải
+ Ta có
2 1 1 ) 1 (
2 z
) 1 , 1 , 1 (
2 1 1 ) 1 (
2 y
) 1 , 1 , 1 (
2 1 1 )
1 (
2 x
) 1 , 1 , 1 (
z y x 2 z
) z , y , x (
yz x 2 y
) z , y , x (
z xy 2 x
) z , y , x (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
(0,25đ)
z
) 1 , 1 , 1 ( j y
) 1 , 1 , 1 ( i x
) 1 , 1 , 1 ( ) 1 ,
1
,
1
(
+ Ta có M0M1(10)i(11)j(11)ki2j2k M0M1 (1)22222 3 do đó các cosin chỉ phương của véc tơ l là ,
3
1
3
2 cos
3
2 cos (0,5đ)
2i 2 j 2k cos i cos j cos k l
) 1 , 1 , 1 (
3
1 3 k 3
2 j 3
2 i 3
1 k 2
j
2
i
(0,25đ)
Câu 5 (2,0đ) Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1
Bài giải
Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2
- Ta có
) 6 y y 2 x 4 x ( 6 36 y 30 y 12 x 24 x y
) y , x (
) 1 y )(
2 x ( 12 2 x y xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x
) y , x (
2 2
2 2
Suy ra hệ phương trình để xác định các điểm dừng (nếu có) của hàm số đang xét là
0 6 y 5 y 2 x 4 x
0 ) 1 y )(
2 x ( 0 ) 6 y y 2 x 4 x ( 6
0 ) 1 y )(
2 x ( 12 0
y
) y
,
x
(
0 x
) y
,
x
(
2 2
2
TailieuVNU.com
Trang 3
3 x
1 x
1 y
2 1 y
2 y
2 x
0 3 x 4 x
1 y
0 2 y y 2
2 x
0 6 y 5 y x x
0 1 y
0 6 y 5 y x x
0 2 x
2 2
2 2
2 2
(0,25đ)
Như vậy, hàm số đang xét có 4 điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1)
- Ta có
) 5 y 4 ( 6 y
) y , x ( f ) y , x ( C ) 5 y 4 ( 6 30 y 24 y
) y , x ( f
) 2 x ( 12 y x
) y , x ( ) y , x ( B ) 2 x ( 12 24 x 12 y x
) y , x (
) 1 y ( 12 x
) y , x ( ) y , x ( A 1 y 12 12 y 12 x
) y , x (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2(x 2) (y 1)( y 5)
72 ) 5 y 4 ( 6 )
1 y ( 12 ) 2 x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x
(
B
)
y
,
x
(0,5đ)
+ Tại điểm dừng M1(2,2) ta có
0 12 ) 2 , 2 ( A
0 216 )
2 , 2 (
nên nó là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là
fct = f(2,2) = 21.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M2(2,12) ta có
0 6 ) 2 1 , 2 ( A
0 108 )
2 1 , 2 (
nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại
là fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)
Câu 6 (1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = xy + x + y trên miền đóng D là
hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 2 và y = 3
Bài giải
Miền xác định của hàm số đang xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi
x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D
Ta có hệ phương trình
0 1 x y
) y , x (
0 1 y x
) y , x (
để xác định các điểm dừng Hệ phương trình này có
1 nghiệm duy nhất
1 y
1 x , tức là có 1 điểm dừng (-1,-1) là điểm nằm ngoài miền D nên không xét.(0,25đ)
Bây giờ ta xét giá trị của hàm số f(x,y) trên biên của miền D:
- Trên đường x = 1 thì f(1,y) = 1y + 1 + y = 2y + 1 với 2 y 3 nên fmin = f(1,2) = 5 và fmax = f(1,3) = 7.(0,25đ)
TailieuVNU.com
Trang 4- Trên đường x = 2 thì f(2,y) = 2y + 2 + y = 3y + 2 với 2 y 3 nên fmin = f(2,2) = 8 và fmax = f(2,3) = 11.(0,25đ)
- Trên đường y = 2 thì f(x,2) = 2x + x + 2 = 3x + 2 với 1 x 2 nên fmin = f(1,2) = 5 và fmax = f(2,2) = 8.(0,25đ)
- Trên đường y = 3 thì f(x,3) = 3x + x + 3 = 4x + 3 với 1 x 2 nên fmin = f(1,3) = 7 và fmax = f(2,3) = 11.(0,5đ)
So sánh các giá trị của hàm f(x,y) tìm được ở trên ta nhận được GTNN(f) = 5 tại điểm (1,2) và GTLN(f) = 11 tại điểm (2,3).(0,25đ)
Câu 7 (1,75đ) Tìm cực trị của hàm số f(x,y) = xy với điều kiện 2x + 3y = 5
Bài giải
Ta có 2x + 3y = 5 2x + 3y – 5 = 0 (x,y) = 2x + 3y – 5 = 0
Lập hàm L(x,y,) = f(x,y) + (x,y) = xy + (2x + 3y – 5)(0,25đ)
5 y 3 x 2 ) , y , x ( L
3 x y
) , y , x ( L
2 y x
) , y , x ( L
,
(0,25đ) do đó ta được hệ phương trình xác định các điểm dừng là
12 5
6 5 y
4 5 x
0 5 y x
0 3 x
0 2 y
0 0
0
(0,25đ)
Tại
12
5
0
0 y
6 5 , 4 5 f C
1 y
x
6 5 , 4 5 f B
0 x
6 5 , 4 5 f A
0 y
) y , x (
1 y x
) y , x (
0 x
) y , x (
x y
) y , x (
y x
) y , x (
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
(0,25đ)
dxdy 2 Cdy Bdxdy 2 Adx )
y
,
x
(
3
4 ) y , x ( d dx 3
2
xác định âm, (0,25đ) do đó hàm số f(x,y) = xy đạt cực đại tại điểm
6
5 , 4
5 ) y , x ( 0 0 và giá trị cực đại
24
25 6
5
,
4
5
f
TailieuVNU.com