Slide Toán trong công nghệ - Chương 4 - Một biến ngẫu nhiên - Nguyễn Linh Trung, Trần Thị Thúy Quỳnh - UET - Tài liệu VNU

Biến ngẫu nhiên phân bố mũ xuất hiện trong mô hình thời gian giữa các biến cố (ví dụ: thời gian giữa hai khách hàng để thực hiện cuộc gọi), và trong mô hình thời gian sống của thiết bị/h[r]

Trang 1

Chương 4:

Một biến ngẫu nhiên

Nguyễn Linh TrungTrần Thị Thúy Quỳnh

Đại học Công nghệ, ĐHQGHN

Trang 2

1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function )

Trang 3

Nội dung

2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF)

3 Các kỳ vọng

4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng

5 Hàm của biến ngẫu nhiên

6 Bất đẳng thức Markov và Chebyshev

7 Các phương pháp biến đổi

Trang 4

Hàm phân bố tích lũy (CDF)

Definition (Cumulative Distribution Function)

Hàm phân bố tích lũy CDF của một biến ngẫu nhiên X được cho bởi:

Trang 5

Example (CDF của biến ngẫu nhiên rời rạc)

Tung một đồng xu ba lần và ghi lại mặt sấp/ngửa của đồng xu ở mỗi lầntung Gọi X là số các mặt ngửa trong ba lần tung Tính CDF của X

Không gian mẫu:

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

SX= {0, 1, 2, 3}

Các xác suất tương ứng:

pX(0) = 1/8; pX(1) = 3/8; pX(2) = 3/8; pX(3) = 1/8Với x < 0:

Với 0 ≤ x < 1:

Trang 8

Example (CDF of biến ngẫu nhiên liên tục)

Quay một mũi tên có gốc được gắn tại tâm của một hình tròn Gọi θ làgóc mà mũi tên dừng lại, 0 < θ ≤ 2π Xác suất để θ nằm trong một

khoảng thuộc (0, 2π] tỷ lệ với chiều dài của khoảng đó Biến ngẫu nhiên

X được định nghĩa bởi X(θ) = θ/2π Tìm CDF của X

Trang 11

CDF của biến ngẫu nhiên rời rạc

CDF của một biến ngẫu nhiên rời rạc là một hàm bậc thang, liên tụcphải của x, các bước nhảy được thực hiện tại các điểm x0, x1, x2,

Trang 12

CDF của biến ngẫu nhiên liên tục

CDF của một biến ngẫu nhiên liên tục là liên tục tại mọi điểm và

được cho bởi:

−∞

f (λ)dλ

với f (x) là hàm không âm

Các xác suất được tính bởi tích phân của "mật độ xác suất" trongmột khoảng số thực

Trang 13

CDF của biến ngẫu nhiên kết hợp

CDF của một biến ngẫu nhiên kết hợp không chỉ nhảy bậc tại cácđiểm rời rạc có thể đếm được x0, x1, x2, , mà còn tăng liên tục

trên ít nhất một khoảng giá trị x nào đó:

FX(x) = pFd(x) + (1 − p)Fc(x)

với 0 < p < 1 là xác suất biến ngẫu nhiên là rời rạc/liên tục, Fd(x)

nhiên liên tục

Trang 14

Example (Biến ngẫu nhiên kết hợp)

Thời gian đợi X của một hành khách tại trạm chờ taxi bằng 0 nếu hànhkhách thấy taxi đỗ tại trạm chờ, và và phân bố đều trong khoảng [0, 1](giờ) nếu không có taxi nào ở trạm chờ Gọi p là xác suất để taxi đang

đỗ ở trạm chờ khi hành khách tới Tính CDF của X

Trang 16

3 Các kỳ vọng

Trang 17

Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function

Trang 18

Xét xác suất để X nằm trong một khoảng nhỏ (x, x + h]), ta có:

mật độxác suất tại điểm x và P [x < X ≤ x + h] ∼= fX(x)dx

Trang 19

Example (PDF biến ngẫu nhiên liên tục)

Quay một mũi tên có gốc được gắn tại tâm của một hình tròn Gọi θ làgóc mà mũi tên dừng lại, 0 < θ ≤ 2π Xác suất để θ nằm trong một

khoảng thuộc (0, 2π] tỷ lệ với chiều dài của khoảng đó Biến ngẫu nhiên

X được định nghĩa bởi X(θ) = θ/2π Tìm PDF của X

Trang 21

3 PDF xác định toàn bộđặc điểm của biến ngẫu nhiên liên tục:

Trang 22

Example (PDF của biến ngẫu nhiên rời rạc)

Xét lại bài toán: Một đồng xu được tung ba lần và ghi lại tuần tự mặt

sấp/ngửa Gọi X là số mặt ngửa trong ba lần tung Tìm PDF của X

Chúng ta không thể thực hiện việc vi phân CDF do vi phân CDF

không tồn tại tại các điểm rời rạc (x = 0, 1, 2, 3) !!!

Trang 23

PDF của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biết rằng CDF của một biến ngẫu nhiên rời rạc được cho bởi:

Trang 24

Do đó, PDF của một biến ngẫu nhiên rời rạc là:

ngẫu nhiên rời rạc và liên tục

Trang 25

CDF được viết lại như sau:

Trang 26

CDF và PDF có điều kiện

Definition (CDF & PDF có điều kiện)

CDF điều kiện của biến ngẫu nhiên X với điều kiện C cho bởi:

Trang 27

Với các phân mảnh B1, , Bn của S được cho trước, chúng ta cóthể sử dụng công thức xác suất tổng cộng để tính được CDF và

PDF dưới dạng CDF điều kiện và PDF điều kiện:

Trang 28

Một hệ truyền tin nhị phân gửi bit “0” bằng cách phát tín hiệu có điện áp

−v, và bit “1” bằng cách phát điện áp +v bị ảnh hưởng bởi nhiễu Gọi X

2πe−x2 Tín hiệuthu được cho bởi: Y = X + N Giả thiết rằng P [1] = p Tính PDF của

Y

Nếu bit “0” được phát, thì X = −v, do đó Y = −v + N Biến cố

Y ≤ x tương đương với −v + N ≤ x, và do đó N ≤ x + v

Nếu bit “1” được phát, thì X = v, do đó Y = v + N Biến cố Y ≤ xtương đương với v + N ≤ x, và do đó N ≤ x − v

Trang 31

Nội dung

Trang 32

Giá trị kỳ vọng (µX)

Xét lại giá trị kỳ vọng của một RV ngẫu nhiên:

Trang 33

Trung bình µX làtâm khối của phân bố: Trung bình số học của tất

cả các điểm được trọng số bởi mật độ "local" hoặc một trọng số

Trang 34

Tương tự, chúng ta có thể biểu diễn các moment khác dưới dạng

Trang 35

Cho Y = a cos(ωt + Θ) với a, ω, t là hằng số, và Θ biến ngẫu nhiên

phân bố đều trong khoảng [0, 2π] Biến ngẫu nhiên Y hình thành ứng vớigiá trị pha Θ ngẫu nhiên Tìm giá trị kỳ vọng của Y và giá trị kỳ vọngcủa Y2

E[Y ] = E[a cos(ωt + Θ)] =

Trang 37

σ2X đo độ trải của PDF xung quanh µX

Trang 39

Nội dung

3 Các kỳ vọng

Trang 40

Một số biến ngẫu nhiên quan trọng

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Trang 41

Biến ngẫu nhiên phân bố đều

Definition

Biến ngẫu nhiên phân bố đều xuất hiện trong các trường hợp tất cả cácgiá trị trong một khoảng số thực xuất hiện như nhau Biến ngẫu nhiênphân bố đều X trong khoảng [a, b] có PDF:

Trang 42

Biến ngẫu nhiên phân bố đều

2

Trang 43

Biến ngẫu nhiên phân bố mũ

Definition

Biến ngẫu nhiên phân bố mũ xuất hiện trong mô hình thời gian giữa cácbiến cố (ví dụ: thời gian giữa hai khách hàng để thực hiện cuộc gọi), vàtrong mô hình thời gian sống của thiết bị/hệ thống Biến ngẫu nhiên

phân bố mũ X với tham số λ có PDF:

Trang 44

λ2

Trang 45

Trang 46

Biến ngẫu nhiên phân bố Gauss (Chuẩn)

Definition

Rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên cũng như do con người tạo ra liênquan đến biến ngẫu nhiên X là tổng của nhiều biến ngẫu nhiên có cùngphân bố Việc mô tả chính xác X dưới dạng các biến ngẫu nhiên thànhphần quá phức tạp và khó thực hiện Một cách tổng quát, khi số lượngbiến ngẫu nhiên lớn, CDF của X tiến tới biến ngẫu nhiên phân bốGauss, và được gọi là phân bố chuẩn Biến ngẫu nhiên phân bố Gauss

Trang 47

Trang 48

Tích phân trong biểu thức biểu diễn CDF của biến ngẫu nhiên phân bốGauss có m = 0 và σ = 1 không có dạng biểu thức đóng (closed form)

mà thường được tính thông qua giá trị Q với quan hệ:

Q(x) = 1 − Φ(x)Hàm Q có thể tính bằng cách:

−x 2 /2

với a = 1/π và b = 2π

Tra bảng (trang sau)

Và Q có một số tính chất sau:

Trang 49

Trang 50

3 Các kỳ vọng

Trang 51

Hàm của biến ngẫu nhiên

Trang 52

Example

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Trang 56

biến ngẫu nhiên Y

Trang 57

2 √ y) −fX (− √

Trang 58

3 Các kỳ vọng

Trang 60

Bất đẳng thức Markov và Chebyshev

Example

Chiều cao trung bình của một học sinh lớp 1 là 100 cm Tính đường baotrên của xác suất để chiều cao của một học sinh trong lớp lớn hơn hoặcbằng 150 cm

Trang 63

Bất đẳng thức Markov và Chebyshev

Example

Một hệ thống máy tính đa người dùng có giá trị trung bình và độ lệch

chuẩn của thời gian đáp ứng lần lượt là 15s và 3s Ước tính xác suất đểthời gian đáp ứng lệch so với giá trị trung bình nhiều hơn 5s

Trang 65

Nội dung

3 Các kỳ vọng

Trang 66

Các phương pháp biến đổi

Các phương pháp chuyển đổi là công cụ hữu ích hỗ trợ giải các phươngtrình chứa vi phân và tích phân hàm

Một số phương pháp biến đổi:

Trang 67

Trang 68

Trang 69

Example

Biến ngẫu nhiên Geometric có:

pX(xk) = pX(k) = p(1 − p)kvới k = 0, 1, Tính hàm đặc trưng:

Trang 70

Trang 71

Vậy

dn

dωnΦX(ω)

ω=0

Trang 72

Trang 73

ω=0

Trang 74

Definition

biến ngẫu nhiên N có giá trị nguyên không âm (biến ngẫu nhiên rời rạckhông âm) được định nghĩa bởi:

Trang 75

Tính kỳ vọng và phương sai từ hàm tạo xác suất

d

dzGN(z)

z=1

Trang 76

Definition

biến ngẫu nhiên N có giá trị ngun khơng âm (biến ngẫu nhiên rời rạckhông... class="page_container" data-page="72">

Trang 73

...

Trang 75

Tính kỳ vọng phương sai từ hàm tạo xác suất

d

dzGN(z)

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	1,04 MB