Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu người ta mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và để vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể. Tính t[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẬN TÂY HỒ
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2
Năm học: 2018 – 2019
Lớp 9 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (2,0 điểm)
+
1 1
x A
x
khi = 9x
−
1
x B
x
với x ≥ 0,x ≠ 1
3) Tìm x để P = A B có giá trị nguyên
Câu 2 (2,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
a) + =3 − =2 54
Câu 3 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể Nếu người ta mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và để vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R và đường thẳng d không có
d tại H Nối AB cắt OH tại K , cắt OM tại I Tia OM cắt đường tròn ( ; )O R tại E
Trang 2b) Chứng minh OI OM =OK OH
diện tích lớn nhất
Câu 5 (0,5 điểm) Cho hai số dương ,x y thỏa mãn x + = 1y
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (2,0 điểm)
+
1 1
x A
x
khi x = 9
−
1
x B
x
với x ≥ 0,x ≠ 1
3) Tìm x để P = A B có giá trị nguyên
Lời giải
+
1 1
x A
x
, ta được:
+ +
A
Trang 42) = + − +
−
1
x B
x
+
−
1
x B
x
B
B
B
B
1
x P
Để P là số nguyên thì 5 (⋮ x −1) ⇒ x − ∈ −1 { 1;1; 5;5− }
Vậy x = 0;x = 4;x = 36 thì P là số nguyên.
Trang 5Câu 2 (2,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
a) + =3 − =2 54
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; )x y = (2;1)
Điều kiện: x ≥ −1;y ≥ 2
1 2
+ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; )x y = (15; 3)
Trang 6Câu 3 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể Nếu người ta mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và để vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Lời giải Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là: x h( ), x > 0
Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là: y h( ), y > 0
Khi đó:
1 giờ vòi 1 chảy được: 1
x bể
1 giờ vòi 2 chảy được: 1
y bể
12
x bể
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Trang 7
Đặt: u = 1;v = 1
2
12
u
: 14
=
⇔
=
1 21 1 28
u
v
21
28
y
Vậy: Vòi 1 chảy một mình đầy bể hết 21 giờ
Vòi 2 chảy một mình đầy bể hết 28 giờ
Trang 8Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai
d tại H Nối AB cắt OH tại K , cắt OM tại I Tia OM cắt đường tròn ( ; )O R tại E
diện tích lớn nhất
Lời giải
Vì MA MB, lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn ( ; )O R nên ta có:
d
E
I K H
O
B A
M
Trang 9b) Chứng minh OI OM =OK OH
Vì MA MB, lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn ( ; )O R nên ta có:
MA = MB và OA =OB = R
OM
0
90
Do đó: ∆OIK ∽ ∆OHM g g( )
d
E
I K H
O
B A
M
Trang 10c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
Vì MA MB, lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn ( ; )O R nên ta có
2
EAM sñ AE (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) (1)
2
EAB sñ BE (Góc nội tiếp) (2)
2sñ AE 2sñ BE (Góc ở tâm) (3)
Do đó: E là giao điểm của hai đường phân giác của tam giác MAB hay
d
E
I K H
O
B A
M
Trang 11d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất
OI OM =OA Theo câu a, ta có: OK OH =OI OM
2
OK OH OI OM OA
Do OH OA, không đổi ⇒OK không đổi
K
90
OIK =
I
2
OIK
ID
Từ (*) suy ra:
2
OK
ID ≤
OIK
S
D
d
E
I
K
H
O
B A
M
Trang 12Câu 5 (0,5 điểm) Cho hai số dương ,x y thỏa mãn x + = 1y
Lời giải
x và 12
2
xy
xy
2
2
A≥
2
2
x = =y