90km. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ô tô khởi hành thì hai xe gặp nhau.. Tính độ dài đoạn AB. Chứng minh: AE CH.. Biết quãng đường AB dài.. 90km. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ô tô khởi hành th[r]
Trang 1PHÒNG GD & ĐT BA ĐÌNH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN 8
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1 (3,5 điểm)
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) 3x −11 = +x 7
b) 2 (x x − 3) = −x 3
c)
2
x
+
Bài 2 (2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một xe máy khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc 30km /h Sau khi xe máy đi được 20 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô khởi hành từ B để đi đến A với vận tốc 45km /h Biết quãng đường AB dài
90km Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ô tô khởi hành thì hai xe gặp nhau
Bài 3 (1,0 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có
10
AB = cm; BC = 20cm; AA' = 15cm
a) Tính diện tích toàn phần của hình
hộp chữ nhật
b) Tính độ dài đường chéo AC ' của
ĐỀ CHÍNH THỨC
D A
C'
A'
D' B'
Trang 2Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
b) Cho BH = 4cm BC, = 13cm Tính độ dài đoạn AB
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB , đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F Chứng minh: AE CH = AH FC
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện
tích nhỏ nhất
Bài 5 (0,5 điểm)
Chứng minh rằng nếu , ,a b c là các số dương và a + + =b c 1 thì:
33
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (3,5 điểm)
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) 3x −11 = +x 7
18 : 2
x
9
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { }9
b) 2 (x x − 3) = −x 3
x
x
− =
3
x
x
=
3 1 2
x
x
=
⇔
=
2
Trang 4c)
2
x
+
Điều kiện xác định:
Mẫu thức chung: 2
x − x = x x −
(*)
2
2
2
2
2
x
x
− =
=
x loại
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 1{ }
Trang 5d) 2 1 5 4 1 2
0
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S ={x x| ≥0}
Trang 6Bài 2 (2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một xe máy khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc 30km /h Sau khi xe máy đi được 20 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô khởi hành từ B để đi đến A với vận tốc 45km /h Biết quãng đường AB dài
90km Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ô tô khởi hành thì hai xe gặp nhau
Lời giải
Gọi thời gian kể từ lúc ô tô khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau là x (giờ),
điều kiện: > 0x
Thời gian ô tô đi từ B đến chỗ gặp nhau là: x (giờ)
Thời gian xe máy đi từ A đến chỗ gặp nhau là: +
1 3
Quãng đường ô tô đi được là: 45 (x km)
Quãng đường xe máy đi được là: ⋅ +
1
3
Vì quãng đường AB dài 90km nên ta có phương trình:
1
3
⇔45x +30x +10 90=
⇔75x =90 10−
⇔75x =80
Vậy thời gian kể từ lúc ô tô khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau là 1 giờ 4 phút
Trang 7Bài 3 (1,0 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có
10
AB = cm; BC = 20cm; AA' = 15cm
a) Tính diện tích toàn phần của hình
hộp chữ nhật
b) Tính độ dài đường chéo AC ' của
hình chộp chữ nhật (làm tròn đến chữ số
thập phân thứ nhất)
Lời giải
a) Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:
Chu vi đáy của hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' là:
Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' là:
2
xq
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' là:
ñ
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' là:
D A
C'
A'
D' B'
Trang 8b) Tính độ dài đường chéo AC ' của hình chộp chữ nhật (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Xét ∆ ' ' 'A C D vuông tại 'D , theo định lí Pitago, ta có:
'
2
Xét ∆AA C' ' vuông tại 'A , theo định lí Pitago, ta có:
'
2
Trang 9Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
b) Cho BH = 4cm BC, = 13cm Tính độ dài đoạn AB
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB , đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F Chứng minh: AE CH = AH FC
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất
Lời giải
Xét ABH∆ và CBA∆ có:
0 90
B là góc chung
Do đó: ∆ABH ∆CBA g g( )
b) Tính độ dài đoạn AB
Vì ∆ABH ∆CBA g g( ) nên ta có: AB BH
BC = AB
F
B
A
E
Trang 10c) Chứng minh: AE CH = AH FC.
90
EHA+ AHF = EHF =
90
Xét EHA∆ và ∆FHC có:
EHA =CHF cmt EAH = FCH (vì ∆ABH ∆CBA g g( ))
Do đó: ∆EHA ∆FHC g g( )
F
B
A
E
Trang 11d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất
Xét ACH∆ và BCA∆ có:
0 90
C là góc chung
Do đó: ∆ACH ∆BCA g g( )
AH
CH
AC (1)
Vì ∆EHA ∆FHC g g( ) nên EH AH
HF = AC Xét ∆EHF và BAC∆ có:
0 90
cmt
Do đó: ∆EHF ∆BAC c g c( )
F
B
A
E
Trang 12EHF
ABC
2
EH
AB
Mà S ABC và AB không đổi nên S EHF nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất
Trang 13Bài 5 (0,5 điểm)
Chứng minh rằng nếu a b c, , là các số dương và a + + =b c 1 thì:
33
Lời giải
Với ba số A > 0;B > 0;C > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2
2
A +B +C , ta được:
2
3
2 1
3
P
2 1
1 1 1 1 3
P
Trang 14Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a
b và b
a , ta được:
b + a ≥ b a⋅ =
c + a ≥ c a⋅ = ; b c 2 b c 2
c + b ≥ c b⋅ =
Vậy
33