Jacobien của phép biến đổi là. J=r.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
-
Đề thi số: 1
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a Tính giới hạn:
b Tìm giới hạn : 2 2
sin 2
3
01
xy
y
x xy
Câu 2: (2đ)
Tính tích phân đường sau:
2
L
I x y dx xy dy
L là các đoạn thẳng nối A(-2,0) đến B(0,3) đến C(4,4) đến D(6,0)
Câu 3: (2đ)
1 Tính tích phân đường sau:
L
dy xy ydx
x2 2 , L là đường tròn x2y2 1
Câu 4: (2đ)
Tính tích phân 2 2
D
x y dxdy
với D giới hạn bởi đường tròn x2 y2 x 0
Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân:
-
Ghi chú: Giáo viên không giải thích gì thêm,
Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
- Đáp án đề thi số: 1
Bài thi môn: Giải Tích II Số tín chỉ: 5
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
Câu a (1đ):
(0.25) Và .
Câu b (1đ):
(0.25) 2 2 2
sin
xy
(0.25)
sin 0
3
lim
xy x x
y
e
(0.25)
sin 0
3
lim
xy y xy x
y
e
(0.25) 1 3
0
3
lim y
x
y
e e
Câu 2: (2đ)
(0.25đ) L không kín nên ta thêm đoạn DA:
2 2
3 2
3 3
2
DA
(0.25đ)Trên DA:
2
2
3
2
x
P x y x y Q x y xy P Q
Trang 3(0.25đ) Theo Green, 1
D
I dxdy,
(0.25đ) D : tứ giác ABCDA
(0.25đ) 1 ( 3.21 (3 4).4 1.4.2) 21
D
(0.25đ) I 21 4827
Câu 3 (2đ)
(0.25đ ) Ta có: P(x,y) = -x2y; Q(x,y) = xy2
(0.25đ )Áp dụng công thức Green 2 2
y
P y x
(0.25đ) Do đó tích phân đường chuyển về tích phân kép sau: 2 2
(0.25đ) 2 2
D
, trong đó miền D: 2 2
1
x y
(0.25đ) Chuyển sang tọa độ cực cos
sin
(0.25đ) D: 0 2
0 r 1
0 0
D
(0.25đ)
2
0
1
4 d 2
Câu 4 (2đ)
(0.25 đ) Miền D nằm trong đường tròn, được xác định bất đẳng thức x2 y2 x 0
(0.25 đ) Đổi biến sang hệ tọa độ trụ x r cos , y r sin với r>0 Jacobien của phép biến đổi là
J=r
(0.25 đ) Thay phép đổi biến vào bất đẳng thức mô tả miền D có 0 r cos
(0.25 đ) Từ điều kiện cos 0 suy ra
Sinh viên có thể vẽ hình và suy ra cận của
như trên thì cũng được đầy đủ điểm
(0.25 đ) Tích phân được tính có dạng
cos 2
2 0 2
(0.25 đ) Biến đổi
cos
0
cos
r
Trang 4(0.25 đ) Biến đổi
/ 2 3
2
2
/ 2 2
bằng cách hạ bậc của cos3 cũng được đầy đủ điểm
(0.25 đ) Kết luận 4
9
I
Câu 5: (2đ)
(0.25) Pt đặc trưng: có nghiệm
(0.25) Pt thuần nhất tương ứng: có nghiệm tổng quát:
(0.25) Pt: có nghiệm riêng dạng:
(0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được:
(0.25) Pt: có nghiệm riêng dạng:
(0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được:
(0.25) Nghiệm tổng quát của ptvp: