Ứng dụng lý thuyết tối ưu và lý thuyết trò chơi vào bài toán thủy điện

TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VÀ LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀO BÀI TOÁN THỦY ĐIỆN NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Mô tả bài toán điều tiết tối ưu nhà máy thủy điện.. • Mô hình hóa và giải số bà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—————————————

NGUYỄN NGỌC BẢO

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỐI ƯU

VÀ LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀO

BÀI TOÁN THỦY ĐIỆN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS.Lê Xuân Đại

.

.

.

Cán bộ chấm nhận xét 1:

.

.

.

Cán bộ chấm nhận xét 2:

.

.

.

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 01 tháng 8 năm 2015 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 .

2 .

3 .

4 .

5 Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sữa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS.TS Huỳnh Quang Linh

—————————– —————————–

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Ngọc Bảo MSHV: 13240280

Ngày, tháng, năm sinh: 17/11/1984 Nơi sinh: Lâm Đồng Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12

I TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VÀ LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀO BÀI TOÁN THỦY ĐIỆN

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Mô tả bài toán điều tiết tối ưu nhà máy thủy điện.

• Mô hình hóa và giải số bài toán tối ưu hóa công suất phát điện, tối ưu hóa doanh thu của Nhà máy thủy điện Đại Ninh ngắn hạn và dài hạn.

• Chiến lược chào giá điện của nhà máy thủy điện và phương pháp phân bổ tối ưu công suất cho các nhà máy điện theo Lý thuyết trò chơi.

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/01/2015

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 14/06/2015

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS.Lê Xuân Đại

Tp HCM, ngày · · · tháng · · · năm 2015 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TS Lê Xuân Đại PGS.TS Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA

PGS.TS Huỳnh Quang Linh

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình với Thầy hướng dẫn,

TS Lê Xuân Đại Thầy đã luôn truyền đạt kiến thức, động viên, khuyếnkhích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô Bộ môn Toán Ứng Khoa Khoa học Ứng Dụng đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kỹnăng cho tôi trong suốt khóa học và xin cảm ơn Phòng đào tạo sau Đạihọc đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi

Dụng-Tôi xin cảm ơn Trường THPT Chu Văn An, nơi tôi công tác đã tạo điềukiện cho tôi tham gia khóa học theo Chương trình hợp tác đào tạo, chuyểngiao khoa học công nghệ giữa Trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM vàUBND tỉnh Lâm Đồng

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người đã gần gũi,khích lệ tôi trong thời gian qua

TÓM TẮT

Luận văn trình bày kết quả ứng dụng lý thuyết tối ưu giải quyết mộttrong những bài toán thực tế được quan tâm hiện nay: Tối ưu hóa vậnhành nhà máy thủy điện để công suất phát điện, doanh thu của nhà máylớn nhất Vấn đề được giải quyết bằng cách áp dụng kết quả từ lý thuyếttối ưu và giải số bằng phần mềm Matlab Luận văn cũng trình bày kếtquả ứng dụng lý thuyết trò chơi vào việc chào giá điện trong thị trườngđiện cạnh tranh

ABSTRACTThis thesis presents the results of application optimization theory to solve

a practical problem of concern nowadays: Optimized operating hydropowerplants to achieve maximum electricity generation capacity and profits Theproblem is solved by applying the outcomes from optimization theory andMatlab software The study also presents the issue of the application ofgame theory to the pricing capability in the competitive electricity market

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Ngọc Bảo

DANH MỤC HÌNH 9

1.1 Bài toán tối ưu 13

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 13

1.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm 14

1.1.3 Phân loại bài toán tối ưu 15

1.2 Hàm lồi 16

1.2.1 Hàm lồi 16

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi 17

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi 17

1.2.4 Đạo hàm theo hướng của hàm lồi 17

1.2.5 Tiêu chuẩn nhận biết hàm lồi khả vi 18

1.3 Bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc 19

1.4 Bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc 21

1.4.1 Điều kiện tối ưu 21

1.4.2 Bài toán Quy hoạch toàn phương 23

2 ĐIỀU TIẾT TỐI ƯU HỒ THỦY ĐIỆN ĐẠI NINH 25 2.1 Giới thiệu nhà máy thủy điện Đại Ninh 25

2.2 Tính toán xác định chế độ vận hành tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh ngắn hạn 27

2.2.1 Mô hình toán 27

2.2.2 Kết quả tính toán 32

2.3 Tính toán xác định chế độ vận hành tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh dài hạn 35

2.3.1 Mô hình toán 35

2.3.2 Kết quả tính toán 36

3 LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC

3.1 Giới thiệu lý thuyết trò chơi 39

3.2 Cân bằng Nash 40

3.3 Vài nét về thị trường điện cạnh tranh ở Việt Nam 41

3.4 Áp dụng lý thuyết trò chơi trong chào giá điện 43 3.4.1 Hàm chi phí phát điện, chi phí biên, hàm mục tiêu 43 3.4.2 Áp dụng lý thuyết trò chơi vào việc chào giá điện 43

DANH MỤC HÌNH

Hình 2.1 Cửa xả tràn nhà máy thủy điện Đại Ninh 25

Hình 2.2 Biểu đồ điều phối hồ chứa thủy điện Đại Ninh 26

Hình 2.3 Sơ đồ nhà máy thủy điện 27

Hình 2.4 Biểu đồ tối ưu lưu lượng nước cho Bài toán 2.1 33

Hình 2.5 Biểu đồ tối ưu dung tích hồ chứa cho Bài toán 2.1 34

Hình 2.6 Biểu đồ doanh thu của nhà máy thủy điện Đại Ninh 34

Hình 2.7 Biểu đồ điều khiển tối ưu thủy điện Đại Ninh năm 2011 36

Hình 2.8 Biểu đồ điều khiển tối ưu thủy điện Đại Ninh năm 2012 37

Hình 2.9 Biểu đồ điều khiển tối ưu thủy điện Đại Ninh năm 2013 38

LỜI NÓI ĐẦU

• Sản lượng điện của nhà máy thủy điện Đại Ninh hiện đạt chỉ tiêuđược giao tuy nhiên còn thấp so với thiết kế và có thể đạt hiệu quảcao hơn nếu vận dụng lý thuyết tối ưu để vận hành nhà máy và đạtlợi nhuận cao hơn nếu áp dụng lý thuyết trò chơi vào việc chào giátrong thị trường phát điện cạnh tranh

• Điều tiết tối ưu nhà máy thủy điện và phân bố công suất phát điệncho các nhà máy một cách tối ưu là góp phần vào việc ổn định giáđiện và sử dụng tài nguyên hợp lý

• Phương pháp điều khiển nhà máy thủy điện Đại Ninh nói riêng và cácnhà máy thủy điện nói chung hiện nay thiên về phương án an toàn,theo kinh nghiệm mà chưa cải tiến theo hướng tối ưu

Mục đích nghiên cứu

• Dựa trên cơ sở lý thuyết tối ưu để đưa ra quỹ đạo tối ưu mực nước hồ

và lưu lượng nước qua turbin theo thời gian để công suất phát điệnlớn nhất, lượng nước xả bỏ nhỏ nhất và vẫn đảm bảo nước cho thủylợi, xả nước cho dòng chảy sinh thái và môi trường hạ du đập thủyđiện Giải số bài toán: tối đa hóa công suất phát điện trong thời gianngắn và dài hạn

• Áp dụng lý thuyết trò chơi trong việc chào giá ở thị trường phát điệncạnh tranh nhằm đảm bảo doanh thu cho doanh nghiệp, tiết kiệm chiphí phát điện trên toàn hệ thống và hài hòa lợi ích giữa các nhà máyđiện và người sử dụng điện.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Việc vận hành tối ưu nhà máy thủy điện Đại Ninh

• Hàm chi phí và bảng chào giá của nhà máy thủy điện Đại Ninh.Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài

• Sử dụng phần mềm Matlab để tính toán và mô phỏng quỹ đạo tối ưumực nước hồ thủy điện Đại Ninh và lưu lượng nước qua turbin, lưulượng nước chảy tràn

• Áp dụng Lý thuyết trò chơi, Lý thuyết chi phí cận biên của kinh tếhọc để đưa ra chiến lược chào giá cho nhà máy thủy điện Đại Ninhtrên thị trường điện cạnh tranh để tăng lợi nhuận cho nhà máy

Ý nghĩa của đề tài

• Ý nghĩa khoa học: Ứng dụng toán học cùng với công nghệ thông tin

để giải quyết bài toán trong kinh tế và kỹ thuật

• Ý nghĩa thực tế: Có ý nghĩa về kinh tế và góp phần vào việc sử dụnghợp lý tài nguyên nước của quốc gia Các nhà máy thủy điện có thể

sử dụng kết quả của đề tài để đưa ra phương án vận hành tối ưu vàphương pháp chào giá điện, hạn chế sự phụ thuộc vào các công ty tưvấn về điện

Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Hiện nay ở trong và ngoài nước có nhiều nghiên cứu liên quan, có thể

kể đến một số nghiên cứu sau:

• Sau khi lý thuyết tối ưu ra đời, cùng với sự phát triển của máy tính,nhiều nhà nghiên cứu ở các nước đã áp dụng vào vấn đề điều khiểntối ưu các nhà máy thủy điện cụ thể, tuy nhiên thường không công

bố code

• GS.VS Hoàng Xuân Phú nghiên cứu về lý thuyết điều khiển, lý thuyếttối ưu, giải tích số và các ứng dụng, trong đó có bài toán tối ưu côngsuất nhà máy thủy điện.

• Tác giả Lê Hùng, trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng giải bài toántối ưu vận hành điều tiết hồ thủy điện bậc thang Sông Bung 2 vàSông Bung 4 bằng ngôn ngữ lập trình Delphi

• Nhóm tác giả Trần Đình Long, Đàm Xuân Hiệp, Đặng Quốc Thống,Nguyễn Minh Thắng nghiên cứu chiến lược chào giá cho các nhà máythủy điện trong thị trường điện cạnh tranh

• Các công ty tư vấn về điện ra đời, có các phần mềm trợ giúp cho việcđiều khiển tối ưu nhà máy và phương pháp chào giá điện

Những vấn đề luận văn sẽ thực hiện

• Mô hình hóa và sử dụng phần mềm Matlab để giải bài toán tối ưucông suất phát điện của nhà máy thủy điện Đại Ninh ngắn hạn vàdài hạn

• Áp dụng lý thuyết trò chơi và lý thuyết chi phí cận biên của kinh tếhọc để đưa ra phương pháp chào giá của nhà máy thủy điện Đại Ninhtrong thị trường điện cạnh tranh

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau:

min f (x), với điều kiện x ∈ D (P1)hoặc

max f (x), với điều kiện x ∈ D (P2)trong đó D ⊂ Rn được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràngbuộc và f là hàm mục tiêu Mỗi điểm x ∈ D được gọi là một nghiệm chấpnhận được hay một phương án chấp nhận được

Điểm x∗ ∈ D mà f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu, hoặcnghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hay đơn giản lànghiệm của bài toán (P1)

Điểm x∗ ∈ D được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt nếu f (x∗) <

f (x), ∀x ∈ D và x 6= x∗

Không phải bài toán (P1) nào cũng có nghiệm cực tiểu toàn cục và nếu bàitoán có nghiệm cực tiểu toàn cục thì chưa chắc có nghiệm cực tiểu toàncục chặt

Giá trị tối ưu (hay giá trị cực tiểu) của bài toán (P1) được kí hiệu làmin

x∈D f (x) hoặc min{f (x)|x ∈ D}

Điểm x∗ ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương, hoặc nghiệmcực tiểu địa phương của bài toán (P1) nếu tồn tại ε -lân cận B(x∗, ε)của điểm x∗ ∈ D sao cho f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ B(x∗, ε) ∩ D, trong đóB(x∗, ε) := {x ∈ Rn| ||x − x∗|| < ε}

Điểm x∗ ∈ D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt, hoặc nghiệmcực tiểu địa phương chặt của bài toán (P1) nếu tồn tại ε -lân cận B(x∗, ε)của điểm x∗ ∈ D sao cho f (x∗) < f (x), ∀x ∈ B(x∗, ε) ∩ D và x 6= x∗.Các khái niệm tương tự cũng được định nghĩa cho bài toán (P2).

Nhận xét: Bài toán (P1) tương đương với bài toán max −f (x), với điềukiện x ∈ D theo nghĩa tập nghiệm tối ưu của hai bài toán này là trùngnhau và giá trị tối ưu ngược dấu

1.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm

Mục đích của Quy hoạch toán học là nghiên cứu các tính chất của tậpnghiệm và xây dựng các thuật toán để tìm nghiệm của bài toán tối ưu Câuhỏi đầu tiên đặt ra là "bài toán cần giải có nghiệm tối ưu hay không?".Xét bài toán tối ưu:

min f (x), với điều kiện x ∈ D (P1)trong đó D ⊂ Rn và f (x) là một hàm thực xác định trên một tập mở chứa

D Khi đó một trong bốn khả năng sau có thể xảy ra:

- Bài toán (P1) không có phương án chấp nhận được, tức là D = ∅;

- Bài toán có nghiệm tối ưu;

- Bài toán không có nghiệm tối ưu và giá trị hàm mục tiêu giảm vô hạntrên tập chấp nhận được D, tức là giá trị tối ưu inf{f (x)|x ∈ D} = −∞;

- Bài toán không có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu inf{f (x)|x ∈ D} làhữu hạn

Như vậy, trừ trường hợp tập chấp nhận được bằng rỗng, giá trị tối ưu củabài toán (P1) luôn tồn tại nhưng nghiệm tối ưu thì không nhất thiết tồntại Việc tìm kiếm điều kiện đảm bảo để bài toán có nghiệm tối ưu là quantrọng

Hàm f vừa nửa liên tục trên, vừa nửa liên tục dưới tại x0 thì liên tục tạiđiểm đó.

Hàm f được gọi là liên tục (tương ứng, nửa liên tục dưới, nửa liên tụctrên) trên X nếu nó liên tục (tương ứng, nửa liên tục dưới, nửa liên tụctrên) tại mọi điểm của X

Định lý 1.1 ([10] trang 20) Cho D là tập compact khác rỗng Khi đó:i) Nếu hàm f nửa liên tục dưới trên D thì bài toán (P1) có nghiệm tối ưu,ii) Nếu hàm f nửa liên tục trên trên D thì bài toán (P2) có nghiệm tối ưu,Chứng minh

Do tính tương tự, ta chỉ cần chứng minh (i) Giả sử giá trị tối ưu củabài toán (P1) là t0 = inf f (D) Theo định nghĩa

ưu của bài toán (P1)

Hệ quả 1.1 (Định lý Weierstrass) Nếu tập D compact và hàm f liêntục trên D thì cả hai bài toán (P1) và (P2) đều có nghiệm tối ưu

Chứng minh Hàm liên tục là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.Kết luận của Hệ quả được suy trực tiếp từ Định lý 1.1

1.1.3 Phân loại bài toán tối ưu

Để tiện cho việc nghiên cứu, người ta thường chia các bài toán tối ưu thànhmột số lớp dựa trên tính chất của hàm mục tiêu và tập chấp nhận được

• Quy hoạch tuyến tính: Hàm mục tiêu f (x) là hàm tuyến tính và tậpchấp nhận được là tập lồi đa diện

• Quy hoạch nguyên: Tập chấp nhận được có cấu trúc rời rạc

• Quy hoạch phi tuyến: Hàm mục tiêu hoặc một trong các hàm ràngbuộc không phải là hàm afin Trong các bài toán tối ưu phi tuyến cóhai lớp đặc biệt quan trọng, đó là Quy hoạch lồi và Quy hoạch lõm

• Quy hoạch động: Bài toán Quy hoạch động xét các đối tượng là cácquá trình có thể chia ra thành nhiều giai đoạn hoặc các quá trìnhphát triển theo thời gian Nhiều bài toán quy hoạch động có thể đưa

về bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn

• Quy hoạch đa mục tiêu: Bài toán có có nhiều hàm mục tiêu mà taphải cực tiểu hóa (cực đại hóa) đồng thời

• Ngoài ra còn có Quy hoạch ngẫu nhiên, Quy hoạch tham số

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ M

Định nghĩa 1.3 Hàm số có dạng f (x) = hc, xi+α, trong đó vectơ c ∈ Rn

và α ∈ R cho trước được gọi là hàm afin

Định nghĩa 1.4 Cho hàm f xác định trên tập lồi X ⊆ Rn Ta gọi f

là hàm lồi nếu f (λx1 + (1 − λ)x2) 6 λf (x1) + (1 − λ)f (x2) với bất kì

x1, x2 ∈ X và số thực λ ∈ [0; 1] Hàm f được gọi là hàm lồi chặt nếu

f (λx1+ (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) với bất kì x1, x2 ∈ X, x1 6= x2

và λ ∈ (0; 1)

Miền xác định hữu hiệu của hàm f là domf := {x ∈ X|f (x) < +∞}.Epigraph (tương ứng Hypograp) của hàm f, kí hiệu epi(f ) (tương ứnghypo(f )) được định nghĩa như sau:

epi(f ) := {(x, ξ) ∈ X × R|ξ > f (x)} ⊂ Rn+1hypo(f ) := {(x, ζ) ∈ X × R|ζ 6 f (x)} ⊂ Rn+1.Hàm f : X → R ∪ {+∞} có thể được mở rộng thành một hàm lồi trêntoán không gian Rn bằng cách đặt f (x) = +∞ nếu x /∈ domf Vì vậy đểđơn giản ta thường xét f là hàm lồi trên Rn

Hàm f được gọi là hàm lõm (tương ứng, hàm lõm chặt) trên tập lồi Xnếu −f là hàm lồi (tương ứng, hàm lồi chặt)

Mệnh đề 1.1.([10] trang 200) Cho hàm số f xác định trên tập lồi khácrỗng X ⊆ Rn Khi đó:

i) Hàm f là hàm lồi khi và chỉ khi epi(f ) là tập lồi.

ii) hàm f là hàm lõm khi và chỉ khi hypo(f ) là tập lồi

Định nghĩa 1.5 Cho hàm số f1 xác định trên tập lồi X1 ⊆ Rn, hàm

số f2 xác định trên tập lồi X2 ⊆ Rn và số thực λ > 0 Các phép toán

λf1, f1 + f2, max{f1, f2} được định nghĩa như sau:

(λf1)(x) := λ f1(x), x ∈ X1;(f1 + f2)(x) := f1(x) + f2(x), x ∈ X1 ∩ X2;max{f1, f2}(x) := max{f1(x), f2(x)}, x ∈ X1 ∩ X2.Mệnh đề 1.3.([10] trang 202) Cho hàm số f1 xác định trên tập lồi X1 ⊆

Rn, hàm số f2 xác định trên tập lồi X2 ⊆ Rn và các số thực α > 0, β > 0.Khi đó các hàm λf1, f1 + f2, max{f1, f2} là lồi trên X1 ∩ X2

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi

Một hàm lồi f xác định trên tập lồi X ⊆ Rn không nhất thiết là hàmliên tục Tuy nhiên khi X là tập lồi mở ta có kết quả sau:

Định lý 1.2 ([10] trang 202)Nếu f là hàm lồi xác định trên tập lồi mở

X ⊆ Rn thì f liên tục trên tập X

Nhận xét 1.1.([10] trang 202) Sự gián đoạn của hàm lồi chỉ có thể xảy

ra tại biên của tập xác định

Định nghĩa 1.6 Cho hàm f xác định trên Rn và một vectơ d ∈ Rn\{0}.Giới hạn lim

t→0 +

f (x 0 +td)−f (x 0 )

t nếu tồn tại (hữu hạn hoặc vô cùng) được gọi

là đạo hàm theo hướng d của hàm f tại điểm x0 ∈ Rn, và kí hiệu là

f0(x0, d) Nếu vectơ d = ei trong đó ei = (0, , 1

|{z}

i

, , 0)T thì ∂f (x0 )

∂x i =

Mệnh đề 1.4.([10] trang 203) Cho hàm số f xác định trên Rn và điểm

x0 ∈ Rn Nếu f khả vi tại x0 thì f0(x0, d) = h∇f (x0), di , ∀d ∈ Rn\{0}.Nhận xét 1.2 Đạo hàm theo hướng của hàm f phản ảnh tốc độ biếnthiên của hàm f tại x0 theo hướng đó

Định lý 1.3.([10] trang 204)Nếu f : X → R ∪ {+∞} là một hàm lồi xácđịnh trên tập lồi X ⊆ Rn thì nó có đạo hàm theo mọi hướng d ∈ Rn\{0}tại mọi điểm x0 ∈ domf và f0(x0, d) 6 f (x0 + d) − f (x0)

Hệ quả 1.2 Nếu f là hàm lồi khả vi xác định trên tập lồi mở X thì

f có đạo hàm theo mọi hướng d ∈ Rn\{0} tại mọi điểm x0 ∈ domf vàh∇f (x0), di = f0(x0, d) 6 f (x0 + d) − f (x0)

1.2.5 Tiêu chuẩn nhận biết hàm lồi khả vi

Định lý 1.4.([10] trang 205) Cho f là một hàm khả vi xác định trên tậplồi mở X ⊆ Rn, khi đó:

i) Hàm f là hàm lồi trên X khi và chỉ khi f (y) − f (x) > h∇f (x), y − xi,

f (x) = ex lồi trên R Tương tự ta có:

Định lý 1.5.([10] trang 205) Cho f là một hàm khả vi hai lần trên tậplồi mở X ⊆ Rn, khi đó:

i) Hàm f là hàm lồi trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2f (x) là nửaxác định dương trên X, tức với mỗi x ∈ X, yT∇2

f (x)y > 0, ∀y ∈ Rn.Hàm f là hàm lồi chặt trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2f (x)

là xác định dương trên X, tức là:

x ∈ X, yT∇2

f (x)y > 0, ∀y ∈ Rn\{0} ii) Hàm f là hàm lõm trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2f (x) là nửaxác định âm trên X, tức với mỗi x ∈ X, yT∇2

f (x)y 6 0, ∀y ∈ Rn

Hàm f là hàm lõm chặt trên X khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2f (x)

là xác định âm trên X, tức là:

x ∈ X, yT∇2

f (x)y < 0, ∀y ∈ Rn\{0}

Hệ quả 1.3.([10] trang 206) Cho hàm toàn phương f (x) = 12 hx, Qxi +

hx, ai + α, trong đó Q là ma trận đối xứng cấp n × n Khi đó:

i) Hàm f là hàm lồi (tương ứng, lồi chặt) trên Rn nếu Q là ma trận nửaxác định dương (tương ứng, xác định dương) ;

ii) Hàm f là hàm lõm (tương ứng, lõm chặt) trên Rn nếu Q là ma trậnnửa xác định âm (tương ứng, xác định âm)

Bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc được phát biểu như sau:

min f (x) với điều kiện x ∈ Rn (Bkrb)trong đó f : Rn → R là hàm phi tuyến

Định lý 1.6.([10] trang 208) (Điều kiện bậc nhất) Cho hàm f xác định,khả vi trên Rn Nếu x∗ ∈ Rn là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán(Bkrb) thì ∇f (x∗) = 0

Định lý 1.7.([10] trang 209) Cho f là hàm lồi khả vi trên Rn Khi đó

x∗ ∈ Rn là nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán (Bkrb) khi và chỉ khi

∇f (x∗) = 0

Nhận xét 1.3 Nếu A là ma trận cấp n × n đối xứng, nửa xác định dương,

b ∈ Rn và c ∈ R thì hàm toàn phương f (x) = 12xTAx − bTx + c là hàm lồikhả vi Trong trường hợp này, vì ∇f (x) = Ax − b nên theo định lý 1.6 việcgiải bài toán quy hoạch lồi min{f (x)|x ∈ Rn} tương đương tìm nghiệm

của một hệ phương trình tuyến tính Ax = b

Định lý 1.8 ([10] trang 209)(Điều kiện bậc 2) Giả sử hàm số f liên tụckhả vi hai lần trên Rn

Ta có: ∇f (x) = 3x

2

1 − 62x2 − 2

là ma trận xác định dương nên x1 là điểm cực

tiểu địa phương chặt của hàm f trên R2 Do ∇2f (x2) không là ma trậnnửa xác định dương cũng không là ma trận nửa xác định âm nên x2 không

là điểm cực đại địa phương, cũng không là điểm cực tiểu địa phương củahàm f trên R2

Ví dụ 1.3 Giải bài toán tối ưu không ràng buộc (Bkrb) với hàm mục tiêu

−23

1.4 Bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc

Bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc được phát biểu như sau:

min f (x) với điều kiện x ∈ X (Brb)trong đó X ⊂ Rn và hàm số f xác định trên X

1.4.1 Điều kiện tối ưu

Định nghĩa 1.7 Cho dãy {xq} ⊂ Rn hội tụ đến x0 ∈ Rn Ta nói dãy {xq}hội tụ đến x0 theo hướng v ∈ Rn, kí hiệu {xq} −→ xv 0, nếu tồn tại dãy sốdương {tq} , lim tq = 0 sao cho xq = x0 + tqv + o(tq)

Nói cách khác {xq} −→ xv 0, nếu tồn tại dãy số dương {tq} , lim tq = 0 saocho lim xq−xt 0

0, ∀v ∈ T (X, x∗)

Hệ quả 1.5.([10] trang 247) Cho f là một hàm lồi khả vi trên một tập

mở chứa tập lồi X ⊂ Rn Điểm x∗ ∈ X là điểm cực tiểu toàn cục của bàitoán quy hoạch lồi min{f (x)|x ∈ X} khi và chỉ khi h∇f (x∗), x − x∗i >

Nhận xét 1.4

i) Nếu gi(x), i = 1, , m là các hàm lồi và hj(x), j = 1, , k là các hàmafin thì X là tập lồi, đóng Nếu thêm điều kiện f là hàm lồi thì bàitoán (B1rb) là bài toán quy hoạch lồi

ii) Do mọi hàm afin đều là hàm lồi nên quy hoạch tuyến tính là mộttrường hợp riêng của quy hoạch lồi

Cho x0 ∈ X là một nghiệm chấp nhận được của bài toán (Brb

1 ) ĐặtI(x0) := {i ∈ {1, , m}|gi(x0) = 0} là tập các chỉ số của các ràng buộc

và điều kiện Slater sau đây thỏa:

∃x ∈ Rn : gi(x) < 0, i = 1, , m và hj(x), j = 1, , kiii) Các vectơ {∇gi(x0), i ∈ I(x0)} và {∇hj(x0), j = 1, , k} độc lậptuyến tính

Điều kiện thứ nhất hoặc thức 2 của Định lý 1.10 đảm bảo điều kiệnchính quy thỏa mãn tại mọi điểm chấp nhận được của bài toán đangxét mà không cần chỉ rõ điểm x0 nào, còn điều kiện thứ ba đòi hỏiphải biết điểm x0

Định lý 1.12.([10] trang 250) (Định lý Karush-Kuhn-Tucker ) Cho các

hàm f, gi, i = 1, , m và hj, j = 1, , k là các hàm khả vi liên tục trên

một tập mở chứa X Giả sử x∗ là nghiệm cực tiểu địa phương của bài

toán (B1rb) và điều kiện chính quy được thỏa mãn tại x∗ Khi đó điều kiện

Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) sau đúng:

iii) λigi(x∗) = 0, ∀i = 1, , m (Điều kiện bù)

Ví dụ 1.5 Xét bài toán min{−(x21 + 4x22)|x1 6 1}

Bài toán này có m = 1, k = 0 và hàm mục tiêu f (x) = −(x21 + 4x22) là

hàm lõm chặt Vì g1 = x1 − 1 là hàm afin nên điều kiện chính quy được

thỏa mãn tại mọi điểm chấp nhận được

với λ2 = 2 (0, 0) là nghiệm cực đại toàn cục và (1, 0) không là điểm cực

đại hay cực tiểu địa phương

Bài toán Quy hoạch toàn phương được phát biểu như sau:

min f (x) = 12xTQx + cTx, với điều kiện Ax 6 b

Trong đó: Q là ma trận cấp n × n đối xứng và nửa xác định dương, A là

Ví dụ 1.6 Giải bài toán min f, f (x) = 12x21 + 5x1 + 4x2 Với các ràngbuộc x1 > 0; x2 > 0; x1 + 2x2 > 13; 2x1 + 5x2 6 100; 3x1 + 4x2 6 80.Giải.

Bài toán được viết lại: min 12 x1

ĐIỀU TIẾT TỐI ƯU HỒ THỦY

ĐIỆN ĐẠI NINH

Nhà máy thủy điện Đại Ninh nằm trên địa bàn 2 tỉnh Lâm Đồng vàBình Thuận, bắt đầu hoạt động từ năm 2008, là nhà máy thủy điện cócông suất phát điện đứng thứ 5 ở Việt Nam

Hình 2.1: Cửa xả tràn nhà máy thủy điện Đại NinhPhân loại nhà máy thủy điện:

Nhà máy thủy điện gồm các loại: nhà máy thủy điện chiến lược đa mụctiêu; nhà máy thủy điện bậc thang; nhà máy thủy điện có hồ chứa điềutiết trên 1 tuần; nhà máy thủy điện có hồ chứa điều tiết từ 2 ngày đến 1tuần; nhà máy thủy điện có hồ chứa điều tiết dưới 2 ngày

Đại Ninh là nhà máy thủy điện chiến lược đa mục tiêu.

Một số thông tin cơ bản:

• Mực nước chết 860 m, dung tích chết VC = 68 triệu m3

• Mực nước dâng bình thường (MNDBT) 880 m, dung tích hồ ứng vớiMNDBT là VDBT = 320 triệu m3

• Lưu lượng nước thiết kế qua tất cả các turbin là 55 m3 /s phục vụcho hai tổ máy phát điện

• Tổng công suất lắp đặt là 300 MW (mỗi tổ máy 150 MW)

• Dòng chảy sinh thái tối thiểu (dòng chảy tràn): 0,7 m3/giây

Mô hình điều tiết hiện tại: Dùng biểu đồ điều phối

Hình 2.2: Biểu đồ điều phối hồ chứa thủy điện Đại Ninh

(Nguồn: Nhà máy thủy điện Đại Ninh)Sản lượng điện những năm gần đây

Chỉ tiêu công suất phát điện hằng năm: 1 200 000 000 KWh

Trong 7 năm vừa qua, chỉ có 2 năm nhà máy đạt hoặc vượt chỉ tiêu

Số liệu doanh thu và công suất phát điện nhà máy thủy điện Đại Ninhtrong thời gian 20 ngày, từ ngày 01/12/2014 đến ngày 20/12/2014:

- Doanh thu: 16,3 tỉ đồng

- Sản lượng điện: 29,7 triệu kWh

Sơ đồ của một nhà máy thủy điện:

Năm Sản lượng điện (KWh)

máy thủy điện Đại Ninh ngắn hạn

k1 = 6.10−9, k2 = 3, 5 là các hằng số phụ thuộc vào đặc tính nhà máy;

V (t) là dung tích hố chứa tại thời điểm t được tính theo công thức:

|Qtur(t + 1) + Qspill(t + 1) − Qtur(t) − Qspill(t)| 6 1 (m3/s) (2.6)

• Dung tích hồ chứa ban đầu: V0 = 304 000 000 (m3) (2.7)

• Dung tích hồ chứa: 68 000 000 6 V (t) 6 320 000 000 (m3) (2.8)Các điều kiện trên được đặt ra do đặc tính của hồ chứa và của nhà máy,điều kiện (2.6) đảm bảo cho nhà máy hoạt động ổn định

Trong mục này chúng tôi giải bài toán tối ưu nhà máy thủy điện ĐạiNinh trong 20 ngày (N=480 giờ) đầu tháng 12 năm 2014

Bài toán 2.1 Tối đa công suất phát điện của nhà máy trong 20 ngàyBài toán cực đại hóa biểu thức (2.2), tức là bài toán cực tiểu hóa f (x)được phát biểu như sau:

min f (x),với f (x) = hc∗, xiTrong đó:

với f (x) = 12xTQx + hc, xi.

Bài toán 2.1 Tối đa công suất phát điện của nhà máy trong 20 ngàyBài toán này có ý nghĩa như sau: Dung tích hồ thủy điện đầu và cuối chu

kỳ bằng nhau, sản lượng điện sản xuất được cao nhất sẽ có lợi cho nền