Mô hình động họa của biên độ soliton dưới tác động của các quá trình nhiễu phi tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ————————————— PHẠM THỊ PHƯƠNG NHUNG MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC CỦA BIÊN ĐỘ SOLITON DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA CÁC QUÁ TRÌNH NHIỄU PHI TUYẾN TÍNH Chuy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—————————————

PHẠM THỊ PHƯƠNG NHUNG

MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC CỦA BIÊN ĐỘ SOLITON DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA CÁC QUÁ TRÌNH NHIỄU PHI TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP Hồ Chí Minh - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Nguyễn Minh Quân

Cán bộ chấm nhận xét 1 : PGS TS Mai Đức Thành

Cán bộ chấm nhận xét 2 : TS Nguyễn Bá Thi

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 01 tháng 08 năm 2015 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 PGS TS Nguyễn Đình Huy

2 PGS TS Mai Đức Thành

3 PGS TS Nguyễn Bích Huy

4 TS Nguyễn Bá Thi

5 TS Nguyễn Quốc Lân

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

KHOA HỌC ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: PHẠM THỊ PHƯƠNG NHUNG MSHV:13241378 Ngày, tháng, năm sinh: 27/11/1989 Nơi sinh: Ninh Bình Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC CỦA BIÊN ĐỘ SOLITON DƯỚI TÁC

ĐỘNG CỦA CÁC QUÁ TRÌNH NHIỄU PHI TUYẾN TÍNH

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Giới thiệu về phương trình Schr𝑜𝑜̈dinger phi tuyến, kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng và phương pháp giải số

• Trình bày tác động của quá trình suy hao năng lượng bậc ba lên va chạm của soliton

• Trình bày động lực của biên độ soliton lên phương trình sóng phi tuyến Ginburg-Landau dạng phức

• Trình bày sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 19/01/2015

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/07/2015

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Nguyễn Minh Quân

Tp HCM, ngày tháng năm 2015

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TOÁN ỨNG DỤNG

TS NGUYỄN MINH QUÂN PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

Tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấmLuận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa đã dành nhiều thời gian để đọc

kỹ luận văn này và cho tôi những lời khuyên, những nhận xét, đánh giá và bìnhluận bổ ích để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo phòng đào tạo Sau đại học,khoa Khoa Học Ứng dụng, bộ môn Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa

TP Hồ Chí Minh đã tổ chức, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gianhọc tập

Cuối cùng tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp tôi, đặc biệt

là các bạn học viên lớp Toán Ứng Dụng khóa 2013 Trường Đại học Bách KhoaT.p Hồ Chí Minh, là những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi rất nhiềutrong quá trình học tập

Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2015

Phạm Thị Phương Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của

cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Minh Quân

Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất cứ hình thức nào

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Phạm Thị Phương Nhung

Mục lục

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường 1

1.1.1 Tính ổn định tại điểm cân bằng 1

1.1.2 Tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình vi phân phi tuyến độc lập 2

1.1.3 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 3

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng 4

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨odinger phi tuyến 8

2 Động lực của biên độ soliton dưới tác động của các quá trình suy hao năng lượng bậc ba 11 2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của soliton 11

2.1.1 Phương trình cơ bản 11

2.1.2 Va chạm hai soliton 13

2.2 Mô phỏng giải số 16

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh 17

2.3.1 Nguồn gốc của mô hình 17

2.3.2 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống hai kênh 20

MỤC LỤC

3 Phương trình sóng phi tuyến Ginzburg-Landau dạng phức và

3.1 Phương trình sóng phi tuyến Ginzburg - Landau dạng phức 31

3.1.1 Phương trình cơ bản 31

3.1.2 Va chạm hai soliton 32

3.1.3 Mô phỏng số của va chạm 34

3.2 Động lực của soliton của phương trình sóng phi tuyến Ginburg -Landau dạng phức 35

3.2.1 Động lực biên độ của mô hình Lotka - Volterra 35

3.2.2 Sự ổn định của các điểm cân bằng 38

3.3 Mô phỏng giải số của dãy soliton va chạm 38

4 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh 41 4.1 Sự rẽ nhánh của mô hình động lực và bài toán chuyển kênh 41

4.2 Mô phỏng giải số 47

Danh sách bảng

2.1 Tính ổn định của điểm cân bằng của phương trình (2.25) 27

Danh sách hình vẽ

2.1 Sự thay đổi biên độ ∆η0(c) theo tần số β với  = 0.03(a) Chấmtròn biểu diễn cho mô phỏng số của phương trình (2.1) và đườngliền biểu diễn cho kết quả phân tích của phương trình (2.13) 182.2 Biểu đồ pha cho mô hình LV (2.24) với hệ số a = 1, b = η = 1, T =

20 Đường cong màu xanh là đường quỹ đạo tính toán số Bốnchấm tròn màu đỏ tương ứng với bốn trạng thái cân bằng 282.3 Đồ thị mô tả hình dạng chuỗi soliton ở điều kiện đầu trong (a)

và hình dạng chuỗi soliton tại zf = 160 trong (b) với các tham số

3 = 0.01, β1 = 0, β2 = 40, T = 15, η = 1 Đường nét liền màu xanh

và nét đứt màu đỏ lần lươt là |ψ1(t, zf)| và |ψ2(t, zf)| Ta thấy ởđiều kiện đầu, biên độ soliton bằng 1 và hình dạng solioton giữnguyên, tại zf = 160 biên độ soliton vẫn được duy trì bằng 1nhưng hình dạng soliton lúc này có dấu hiệu bắt đầu bị vỡ 292.4 Đồ thị thể hiện biên độ soliton trong kênh 1 và 2 3 = 0.01, β1 =

0, β 2 = 40, T = 15, η = 1 và điều kiện đầu η 1 (0) = η 2 (0) = 1 Cácchấm tròn màu đỏ và màu xanh đại diện cho η1(z) và η2(z), nhậnđược bởi giải số của hệ phương trình (2.28) Các đường cong liềnmàu xanh và đỏ tương ứng với η1(z) và η2(z), là đại lượng thuđược từ giải số mô hình LV (2.25) 303.1 (a) Đồ thị mô tả biên độ ηj theo khoảng cách z Các chấm trònmàu đỏ và màu xanh đại diện cho η1(z) và η2(z), nhận được bởigiải số của hệ phương trình (3.19) Các đường cong liền màu xanh

và đỏ tương ứng với η 1 (z) và η 2 (z), là đại lượng thu được từ giải

số mô hình LV (3.15) (b) Hình dạng chuỗi soliton tại zf = 1300 40

Danh sách hình vẽ

4.1 Biểu đồ pha cho mô hình LV (4.4) với hệ sốa = 1, b = η = 0.02, T =

20 Đường cong màu xanh là đường quỹ đạo tính toán số Nămchấm tròn màu đỏ tương ứng với năm trạng thái cân bằng 464.2 Biên độ ηj theo z trong chuyển kênh liên tiếp cho thiết lập A (a)

và B (b) Chấm tròn màu xanh và hình vuông màu tím thể hiện

η1(z)và η2(z)đạt được bằng cách giải số phương trình (4.1), trongkhi đường nét đứt màu đỏ và đường liền xanh là kết quả giải sốcho mô hình LV (4.4) và (4.5) 48

Lời mở đầu

Mô hình sóng soliton của phương trình Schr¨odinger phi tuyến (nonlinearSchr¨odinger equation, viết tắt là NLS) là một trong những mô hình được sử dụngrộng rãi trong vật lý ứng dụng nhờ sự tương tác giữa các quá trình phi tuyến(nonlinearities) và quá trình khuếch tán (dispersion) của NLS Một trong nhữngứng dụng quan trọng của soliton của phương trình NLS là kỹ thuật truyềnthông tin bằng các chuỗi soliton (xung quang) trong ống quang dẫn (opticalwaveguides) Lý thuyết soliton quang học được hai nhà khoa học A.Hasegawa

và F.Tappert bắt đầu phát triển vào đầu những năm 1970 và sau đó được L.F.Mollenhauer thí nghiệm truyền tải thành công soliton ở phòng thí nghiệm BellLab (Mỹ) vào năm 1980 [4] Đặc biệt trong những năm gần đây, hệ thống truyềntin trong ống dẫn sóng quang học băng thông rộng được các nhà khoa học quantâm nghiên cứu sâu rộng do nhu cầu gia tăng nhanh chóng của dung lượng đườngtruyền ở vận tốc cao [4, 30] Sự truyền tải thông tin trong hệ thống băng thôngrộng như vậy thường được dựa trên phương pháp WDM (Wavelength-DivisionsMultiplexing), còn gọi là phương thức ghép kênh theo bước sóng, trong đó chophép nhiều chuỗi soliton truyền qua cùng ống dẫn sóng quang học Mỗi mộtchuỗi soliton được đặc trưng bởi tần số của xung và do đó gọi kênh tần số Từ

đó soliton từ kênh tần số khác nhau truyền dọc theo ống dẫn sóng với vận tốckhác nhau, do đó dưới ảnh hưởng của nhiễu va chạm giữa các soliton là rấtthường xuyên và có thể ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng truyền dẫn Do vậyviệc nghiên cứu các quá trình nhiễu phi tuyến lên soliton quang học đóng vaitrò rất quan trọng trong việc nâng cao chất lượng và giảm chi phí truyền dẫn[28, 29]

Trong hệ quang dẫn đa kênh, các quá trình nhiễu phi tuyến có thể làm thay đổinăng lượng và tần số của soliton Điều này có thể gây ra sai số truyền dẫn [30]

Cụ thể, tác động của các quá trình nhiễu phi tuyến lên va chạm giữa hai soliton

Lời mở đầu

soliton tham gia va chạm, quá trình này còn gọi là nhiễu xuyên âm (crosstalk)[4, 31, 28] Đặc biệt, do tính chất đặc thù của môi trường truyền sóng (vật liệu)làm xuất hiện các loại nhiễu, trong đó nhiễu suy hao năng lượng (các solitontham gia va chạm cùng mất năng lượng) xuất hiện trong môi trường dẫn sóngsilicon hoặc nano silicon [4, 28, 31] Do đó bài toán nghiên cứu tác động nhiễusuy hao năng lượng lên sóng soliton chuyển động trong hệ quang dẫn đã và đangthu hút sự chú ý của rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu lý thuyết, mô phỏng,

và thí nghiệm trong và ngoài nước

Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại một số kết quả đã được công bốtrong [31, 28] và tiến hành mô phỏng lại các mô hình với các bộ tham số tương

tự Cụ thể chúng tôi trình bày lại một số tính toán lý thuyết và tiến hành thựchiện lại việc mô phỏng nhằm nghiên cứu ảnh hưởng của một số quá trình nhiễuphi tuyến lên biên độ soliton của phương trình NLS có dạng [18, 20]

i∂zψ + ∂t2ψ + 2|ψ|2ψ = −i2m+1|ψ|2mψ,

trong đó số hạng −i2m+1|ψ|2mψ biểu diễn sự suy hao năng lượng bậc 2m + 1 với

0 ≤ 2m+1 1, với m = 1, 3 Trong thực tế, nhiễu này do môi trường truyền sóng(silicon) gây ra Ngoài ra, chúng tôi cũng nghiên cứu sự thay đổi biên độ (nănglượng) của chuỗi soliton va chạm của phương trình sóng phi tuyến Ginzburg-Landau (GL) dưới tác động quá trình nhiễu phi tuyến, phương trình có dạng[19, 21]:

i∂zψ + ∂t2ψ + 2 |ψ|2ψ = ig

2ψ + i3|ψ|2ψ − i5|ψ|2ψ, (1)trong đóg là hệ số suy hao năng lượng tuyến tính đã được bù trừ bằng hệ thốngkhuếch đại năng lượng (amplifier)

Luận văn được chia thành4 chương Trong chương 1chúng tôi nhắc lại về điểmcân bằng trong hệ phương trình vi phân thường và trình bày lại kỹ thuật nhiễuquanh soliton lý tưởng của phương trình Schr¨odinger phi tuyến được phát triểnbởi Kaup [14] Bên cạnh đó chúng tôi cũng trình bày phương pháp số tách bướcFourier để mô phỏng phương trình Schr¨odinger phi tuyến

Chương 2 trình bày nghiên cứu động lực của biên độ soliton của phương trìnhSchr¨odinger phi tuyến dưới tác của quá trình suy hao năng lượng bậc ba lên vachạm của soliton, kết quả này đã được công bố trong [18] Phương trình có dạng

Lời mở đầu

[7, 8, 9]:

i∂ z ψ + ∂t2ψ + 2|ψ|2ψ = −i 3 |ψ|2ψ, (2)trong đó số hạng −i3|ψ| 2 ψ mô tả tác động của suy hao năng lượng bậc ba lênNLS soliton Chúng tôi xem xét ảnh hưởng của quá trình suy hao bậc ba lên vachạm hai soliton Kết quả tính toán lý thuyết và mô phỏng số cho thấy sự mấtnăng lượng do va chạm tỉ lệ với 3

β, trong đó β là hiệu tần số của 2 kênh dẫnsóng mang soliton va chạm Ngoài ra trong chương này chúng tôi cũng khảo sátđộng lực của biên độ soliton trong hệ quang dẫn đa kênh dưới tác động của quátrình suy hao năng lượng bậc ba Chúng tôi chỉ ra rằng động lực biên độ solitondưới tác động của quá trình suy hao bậc ba có thể được mô tả bởi hệ phươngtrình vi phân thường phi tuyến dạng Lotka-Voterra (LV) Bằng cách khảo sáttính ổn định của hệ LV, chúng ta có thể tính toán hệ số bồi thường (cho hoặcnhận) năng lượng của máy khuếch đại để duy trì biên độ của các chuỗi soliton.Kết quả tính toán này đã được công bố trong [18, 28], ở đây chúng tôi mô phỏnglại với các tham số khác

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu động lực biên dộ soliton của phươngtrình NLS dưới tác động của quá trình suy hao năng lượng bậc năm:

i∂zψ + ∂t2+ 2|ψ|2ψ = −i5|ψ|4ψ. (3)

Từ đó chúng tôi khảo sát động lực biên độ soliton của phương trình GL dạngphức (2) Bằng kỹ thuật tương tự như trong Chương 2, chúng tôi chứng minhrằng động lực của biên độ hai chuỗi soliton truyền tải dưới tác động của suyhao năng lượng bậc năm cũng có thể được mô tả bằng hệ phương trình vi phânthường LV Phần cuối của Chương 3 chúng tôi trình bày kết quả mô phỏng sốđối với phương trình GL được thực hiện với khoảng cách truyền sóng rất dài(ultra-long propagation distance) [21] và so sánh với kết quả giải số của hệ LV.Chúng tôi chỉ ra rằng trong mô hình GL này, các chuỗi soliton có thể đượctruyền tải ổn định và duy trì mức biên độ η với khoảng cách lớn hơn gấp 2 lần

so với khoảng cách được chỉ ra trong [19] và gấp 1.3 lần so với các khoảng cáchđược công bố trong [26] Kết quả mô phỏng hệ phương trình GL trùng khớpvới kết quả mô phỏng hệ LV tương ứng Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu

sự chuyển đổi mở - tắt trong hệ thống dẫn sóng băng thông rộng cho hai chuỗi

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân

thường

1.1.1 Tính ổn định tại điểm cân bằng

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu trình bày về tính ổn định của điểm cânbằng trong hệ động lực [1, 3]:

trong đó f : D −→ Rn là một hàm Lipschitz địa phương từ một miền D ⊂ Rn

vào Rn Giả sử x(t) thỏa mãn điều kiện chuẩn cho sự tồn tại và duy nhất củanghiệm Một điểm x∗∈ D được gọi là điểm cân bằng nếu

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường

Điểm cân bằng của hệ theo biến mới là y = 0 Vậy để đơn giản và không mấttính tổng quát , ta chỉ xét các khái niệm và tính chất của điểm cân bằng tại gốctọa độ x = 0 Giả sử x(t) là một nghiệm bất kỳ của (1.1)

Định nghĩa 1.1.1 Điểm cân bằng x = 0 của (1.1) được gọi là :

(i) ổn định nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho:

kx(0)k < δ ⇒ kx(t)k < ε, ∀t ≥ 0.

(ii) không ổn định, nếu nó không phải là ổn định

(iii) ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và số δ có thể được chọn sao cho:

kx(0)k < δ ⇒ lim

t−→∞ x(t) = 0.

1.1.2 Tính ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình

vi phân phi tuyến độc lập

Tính ổn định là vấn đề đầu tiên được nói đến trong luận án tiến sĩ 1892 củaAleksandr Mikhailovich Lyapunov [3] Lyapunov xét khai triển Taylor của hàmphi tuyến f tại điểm cân bằng x = 0 (Ở đây để đơn giản ta sẽ xét tại x = 0 dựavào phép đổi biến đã nói ở phần trên):

1.1 Điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân thường

hệ phi tuyến (1.1) bằng hệ tuyến tính

với A là ma trân Jacobian tại điểm cân bằng x = 0

Chúng ta có định lý sau để xác định tính ổn định của điểm cân bằng của hệ(1.1) [3]

Định lí 1.1.1 (Phương pháp Lyapunov gián tiếp) Cho x = 0 là điểm cânbằng của hệ phi tuyến (1.1), f : D →Rn là hàm vi phân liên tục Cho

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

Điều kiện đầu: x0 = α

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

Trong phần này, chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết nhiễu lên soliton lý tưởngđược phát triển bởi Kaup [14] Sự truyền tải soliton trong ống dẫn sóng quanghọc được mô tả bởi phương trình NLS sau đây [4]:

trong đó ψ là trường sóng điện từ, z là khoảng cách truyền vàt là thời gian, ∂t2ψ

mô tả quá trình khuếch tán bậc hai (dispersion) và 2|ψ|2ψ được gọi là số hạngphi tuyến Kerr (Kerr nonlinearity)

Tính khả tích của phương trình NLS được chứng minh bởi Zakharov và Shabatdựa trên lý thuyết tán xạ ngược ngược vào năm 1971 [22] Nghiệm soliton củaphương trình NLS [4, 18] là

ψsol(t, z) = ηexp(iχ)

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

∂t2ψcon = exp(iχ)∂t2v + 2 exp(iχ)iβ∂tv − β2v exp(iχ),

|ψsol+ ψcon| 2 (ψsol+ ψcon) = (ψsol+ ψcon)(ψsol+ ψcon)2

= ψsol(ψ2sol+ ψ2con+ 2ψsolψcon) +ψcon(ψsol2 + ψcon2 + 2ψsolψcon)

,

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

trong đó ψ là liên hợp phức của ψ

2 v exp(iχ) + 2ηexp(iχ)

cosh x |v|2.

Thay các biểu thức trên vào (1.4) và loại bỏ các số hạng chứa |v|2, v2, ta được

i∂zψsol + ∂2tψsol+ 2|ψsol| 2 ψsol

+ exp(iχ)hi∂zv + i2(η2− β 2 )v + ∂t2v + 2iβ∂tv − β2v + 4η2v

2η2v cosh2x

2η2v cosh2(x)+

!

trong đó v là liên hợp phức của v Điều này suy ra

i∂z vv

1.2 Kỹ thuật tính nhiễu lên soliton lý tưởng

Toán tử Lˆη thoả mãn các mối quan hệ sau

#

0 1

!

(k + i) 2 cosh2(t)

1 1

#

1 0

!

(k − i) 2 cosh2(t)

1 1

!

, ˆ Lηf3= −2f0, (1.20)

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến

Các số hạng fk+σ ˆ3 và ¯k+σ ˆ3 (ở đây chỉ số trên "+" biểu diễn cho chuyển vị vàphức liên hợp) là hàm riêng trái của Lˆ, thoả mãn

sử dụng định nghĩa để tính DFT của N điểm rời rạc cần tới O(N2) phép tính,trong FFT chỉ cần dùng O(N log N ) phép tính DoN log N < N2 nên tốc độ tínhtoán của phương pháp FFT nhanh hơn so với hầu hết các sai phân hữu hạnkhác Trong phần này chúng ta tập trung vào phương pháp này trong việc giảiquyết các NLSE có nhiễu Ví dụ, chúng ta nghiên cứu phương pháp số này trongviệc giải quyết các NLSE với suy hao bậc ba:

i∂zψ + ∂t2ψ + |ψ|2ψ = −i|ψ|2ψ, (1.23)

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến

Phương trình (1.23) có thể được viết dưới dạng:

1.3 Phương pháp giải số phương trình Schr¨ odinger phi tuyến

trong đó D(−iω) thu được từ biểu thức (1.25) bằng cách thay thế toán tử ∂/∂t

thành −iω Từ các phương trình (1.30) và (1.26) chúng ta có được xấp xỉ củanghiệm tại khoảng cách z + h

ψ(t, z + h) ≈ F T−1exp hD(−iω)F T [exp(hN )ψ(t, z)]. (1.31)

Bây giờ chúng ta dự đoán độ chính xác của phương pháp tách bước Fourier.Chúng ta giả sử rằng có N đoạn độc lập từz đếnz + h Phương trình (1.24) suy

ra nghiệm chính xác của phương trình (1.23) tại khoảng cách truyền z + h là

Chúng ta nhớ lại rằng nghiệm gần đúng của phương pháp tách bước Fourierđược xác định bởi phương trình (1.26) Sử dụng công thức Baker-Hausdorff chohai toán tử không giao hoán A, B, trong đó A = hD, B = hN

exp(A) exp(B) = exp A + B +1

exp(cihD) exp(dihN ) + o(hn+1), (1.34)

ở đây Dvà N là hai toán tử không giao hoán Sử dụng kết quả Yoshida [23] cho

n = 4, các hệ số ci, di là

d1 = d3 = x1, d2 = x0, d4 = 0, c1= c4= 1/2x1, c2 = c3 = 1/2(x0+ x1), (1.35)

ở đây x0= −21/3/(2 − 21/3), x1 = 1/(2 − 21/3)

Chương 2

Động lực của biên độ soliton dưới tác động của các quá trình suy hao năng lượng bậc ba

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi

tuyến bậc ba lên va chạm của soliton

2.1.1 Phương trình cơ bản

Sự truyền tải các soliton trong ống quang dẫn dưới tác động của quá trìnhsuy hao nặng lượng bậc ba được mô tả bởi các phương trình NLS có nhiễu sauđây [7, 8, 9]:

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của soliton

Lấy hiệu của (2.2) và (2.3) ta được

i∂z

Z ∞

−∞

η2(z) cosh2(x)dt = −2i3

Z ∞

−∞

η4(z) cosh4(x)dt.

dx η(z)= −2i3

Z ∞

−∞

η4(z) cosh4(x)

dx η(z).

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của soliton

Lấy tích phân hai vế ta được

Z η(z) η(0)

dη

η 3 = −4

33

Z z 0

dz,

suy ra

− 12η2

!

4

33z.

Suy ra

1 2η 2 (z)=

1 2η 2 (0)+

4

33z =

3 + 83η2(0)z 6η 2 (0) .

đã được trình bày trong [10, 11] Với kỹ thuật nhiễu này, chúng ta nhận đượcmột nghiệm hai soliton của phương trình (2.1) dưới dạng

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của

soliton

trong đó ψ0 và ψβ là các nghiệm soliton của phương trình (2.1) tương ứng trongkênh 0 và β (với 0 < 3  1) Số hạng φ ở vế phải của phương trình (2.7) biểudiễn cho sự ảnh hưởng của nhiễu lên va chạm của hai soliton Chúng ta có thểbiểu diễn φ như sau

trong đó φ0 và φβ biểu diễn sự ảnh hưởng của nhiễu lên vụ va chạm trong kênh

0 và β Kết hợp (2.7) và (2.8) chúng ta nhận thấy rằng ψ0total = ψ 0 + φ 0

Chúng ta thay thế các phương trình (2.7) và (2.8) cùng vớiψ 0 (t, z) = Ψ 0 (x 0 ) exp(iχ 0 ),

φ0(t, z) = Φ0(x0) exp(iχ0), ψβ(t, z) = Ψβ(xβ) exp(iχβ), và φβ(t, z) = Φβ(xβ) exp(iχβ)

vào phương trình (2.1) và lấy các số hạng tới bậc O(3/β) Chúng ta xem xétphương trình cụ thể đối với Φ0 và Φβ được tính toán tương tự Phương trìnhcho Φ0 là

∆Φ0(x0) = Φ0(x0, ∞) − Φ0(x0, −∞) Tương tự, chúng ta có thể tính toán được sựthay đổi các thông số của soliton bằng cách chiếu ∆Φ0(x0) vào trong một trongbốn giá trị riêng của các toán tử tuyến tính Lˆ đã được trình bày trong chương1

Chúng ta lưu ý rằng ảnh hưởng của va chạm gây ra làm cho pha thay đổi là

∆α 0 = 4ηβ/|β|và vị trí thay đổi là ∆y 0 = −4ηβ/(β|β|) Bên cạnh đó, không có sốhạng chứa  3 β ở vế phải của phương trình (2.9) nên không có ảnh hưởng ở bậc

3 Do vậy chúng ta sẽ tính toán ảnh hưởng của nhiễu lên va chạm tới bậc3/β

2.1 Tác động của quá trình suy hao năng lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của soliton

Ta có phương trình (2.9) trở thành

i∂zΦ(1)02 = −2i3|Ψβ|2Ψ0. (2.11)Lấy tích phân trên theo biến z phương trình trên ta được

sự thay đổi tần số của các soliton Giữ các số hạng trong phương trình (2.9) tớibậc 3/β chúng ta được phương trình

i∂zΦ(1)03 = −[(∂t2− η02)Φ(1)02 + 4|Ψ0|2Φ(1)02 + 2Ψ20Φ(1)02∗]

−4|Ψβ|2Φ(1)02 − 4Ψ0(ΨβΦ(1)β2∗+ ΨβΦ(1)β2)

−2i3[|Ψ0|2Φ(0)01 + Ψ20Φ(0)01∗/2 + |Ψβ|2Φ(0)01+Ψ0(ΨβΦ(0)β1∗+ ΨβΦ(0)β1)]. (2.14)

Thay vào phương trình trên với Ψ0, Ψβ, Φ(0)01, Φ(0)β1, Φ(1)02 và Φ(1)β2, chúng ta đượcphương trình cho Φ(1)03 như sau:

i∂ Φ(1)= 103η

2

0 ηβ2 tanh(x0)

Để tính toán sự thay đổi tần số do va chạm gây ra ta chiếu(∆Φ(1)03(x0), ∆Φ(1)∗03 (x0))T

lên hàm riêng f 1 (x 0 ) = sinh(x 0 )sech2(x 0 )(1, 1)T của toán tử Lˆ và lấy tích phântheo x0 Khi đó ta được:

3  1/|β|  1

Để xác thực những kết quả trên chúng ta thực hiện mô phỏng số đối vớiphương trình (2.1) Phương trình được lấy tích phân bằng phương pháp táchbước bậc bốn theo kích thước bước z [23] Chúng ta lấy các kích thước bước đốivới t và z lần lượt là ∆t = 0.02 và ∆z = 0.0001 Kích thước của miền tính toán là

−1000 ≤ t ≤ 1000 và số lượng điểm trong phương pháp Fourier là 1.28 × 106 đểkhoảng cách giữa các điểm lân cận là ∆ω = 0.001 Do khoảng cách giữa các tần

số là nhỏ và số lượng các điểm rất lớn nên theo phương pháp Fourier chúng tatính được chính xác sự thay đổi của tần số lên đến 10−3 và đó chính là giá trịthay đổi của tần số có được từ phương trình (2.17) với 3 = 0.03 và |β| > 10.Trong mô phỏng va chạm hai soliton, chúng ta lấy điều kiện ban đầu là tổngcủa hai soliton cơ bản của dạng (1.5) có tần số lần lượt là β 0 = 0 và β 1 = β với

1 ≤ |β| ≤ 25 Các vị trí ban đầu của soliton lần lượt là y0(0) = 0, yβ(0) = −15 với

β > 0 hoặc yβ(0) = 15 với β < 0, nghĩa là hai soliton ban đầu tách ra trong miềnthời gian Biên độ ban đầu hai của soliton là η0(0) = ηβ(0) = 1 và pha ban đầucủa hai soliton là α0(0) = αβ(0) = 0 Các mô phỏng được thực hiện tới khoảngcách cuối cùng zf với 1 ≤ zf ≤ 8 và |yβ(zf) − y0(zf)|  1 Do đó, hai soliton banđầu cũng tách ra tại zf Chúng ta định nghĩa vị trí va chạm zc là vị trí mà ở

đó các soliton va chạm trùng nhau hoàn toàn Từ định nghĩa này, chúng ta có

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh

zc = −yβ(0)/(2β), và 0.25 ≤ zc ≤ 5

Va chạm gây ra biên độ thay đổi của soliton kênh tham chiếu được tính từ các

mô phỏng số là

∆η0(c)= η 0 (zc+) − η 0 (z−c ). (2.18)trong đóη0(z−c )và η0(z+c )là các giá trị của biên độ soliton trước và sau va chạm.Chúng ta tính giá trị η0(zc−) bằng cách áp dụng phương trình (2.6) trên đoạn

[0, zc−),

η0(zc−) = η0(0)

[1 + 83η20(0)zc/3] 1/2 , (2.19)trong khi đó η0(zc+) được tính bằng cách áp dụng phương trình (2.6) trên đoạn

(zc+, zf],

η0(zc+) = η0(zf)

[1 − 8 3 η02(zf)(zf − z c )/3]1/2. (2.20)Như vậy, sự thay đổi biên độ của soliton∆η0(c) thu được từ các mô phỏng giải sốbằng cách đo η0(zf) và sau đó sử dụng các phương trình (2.18), (2.19) và (2.20).Hình 2.1 cho thấy sự phụ thuộc của thay đổi biên độ ∆η0(c) vào tần số β

với  3 = 0.03 Kết quả số này là phù hợp với kết quả có được từ phương trình(2.13) với |β| ≥ 5 Với các giá trị |β| nhỏ hơn thì các giả thuyết của lý thuyếtnhiễu không thỏa mãn Do đó kết quả số thu được của |∆η0(c)| có thể sai lệch sovới kết quả phân tích phương trình (2.13) Khi 1 < β < 5 hoặc −5 < β < −1 cáckết quả số của |∆η0(c)| đều nhỏ hơn so với kết quả phân tích với 3= 0.03

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống

đa kênh

2.3.1 Nguồn gốc của mô hình

Tiếp theo, chúng ta xem xét soliton trong ống dẫn sóng đa kênh vớiN kênh

và khoảng cách giữa các kênh là∆β Nguồn gốc của mô hình này được thực hiệntương tự như trong [31, 17] cho động lực biên độ do nhiễu xuyên âm Raman gây

ra Tuy nhiên, kết quả của mô hình và động lực lại khác với những kết quả trong[31, 17] Bởi vì chuỗi soliton là tuần hoàn và biên độ ban đầu của các soliton

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh

Hình 2.1: Sự thay đổi biên độ ∆η(c)0 theo tần số β với  = 0.03(a) Chấm tròn biểu diễn cho mô phỏng số của phương trình (2.1) và đường liền biểu diễn cho kết quả phân tích của phương trình (2.13).

2.3 Mô hình động lực của soliton trong hệ thống đa kênh

trong một dãy là giống nhau Chú ý rằng khoảng cách giữa hai soliton liên tiếpkhi di chuyển trong các kênh j và j − 1 hay j + 1 là ∆zc(1) = T /(2∆β) Chúng ta

kí hiệuzl là vị trí của va chạm thứ l của soliton kênh thứ j với soliton kênhj + 1

hoặc j − 1, khi đó ta có zl = zl−1+ ∆z c(1) Theo phương trình (2.13) và tính tổngtất cả các thay đổi do va chạm gây ra trong khoảng thời gian (zl−1, zl−1+ ∆z(1)c ],chúng ta có

j = η > 0 vớij = 1, , N, trong đó η là giá trị cân bằng mongmuốn của biên độ soliton Từ đó chúng ta có biểu thức sau cho gi:

ra Tuy nhiên, kết mơ hình động lực lại khác với kết trong[31, 17] Bởi chuỗi soliton tuần hồn biên độ ban đầu soliton

2.1 Tác động trình suy hao lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm của< /small>

soliton< /small>

trong ψ0 ψβ nghiệm soliton. .. class="page_container" data-page="30">

2.1 Tác động trình suy hao lượng phi tuyến bậc ba lên va chạm soliton< /small>

Ta có phương trình (2.9) trở thành

i∂zΦ(1)02