Phân tích phi tuyến đàn hồi dẻo bằng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp xử lí hàm bong bóng cho bài toán địa kỹ thuật

4 TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐÀN HỒI-DẺO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP XỬ LÍ HÀM BONG BÓNG CHO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT Trong luận văn này học viên trì

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS CHÂU NGỌC ẨN

Cán bộ chấm nhận xét 1:………

Cán bộ chấm nhận xét 2:………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM ngày………tháng………năm………

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 ………

2 ………

3 ………

4 ………

5 ………

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: VŨ HOÀNG TRÂN MSHV: 13091325 Ngày, tháng, năm sinh: 15/11/1989 Nơi sinh: Lâm Đồng Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Ngầm Mã số : 60 58 02 04

NỘI DUNG:

- Phần 1 Mở đầu

- Phần 2 Tổng quan lí thuyết phân tích phi tuyến

- Phần 3 Phân tích phi tuyến dẻo theo phương pháp Backward Euler

- Phần 4 Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm làm giàu bong bóng Qi6

- Phần 5 Ví dụ áp dụng cho bài toán địa kỹ thuật

- Phần 6: Kết luận chung

- Phần 7: Kiến nghị

- Danh mục các bài báo đã viết

- Tài liệu tham khảo

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/07/2015

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2016

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS.CHÂU NGỌC ẨN.

PGS TS.NGUYỄN XUÂN HÙNG

Tp HCM, ng ày tháng năm 20

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

(Họ tên và chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên và chữ ký)

PGS TS CHÂU NGỌC ẨN PGS.TS NGUYỄN XUÂN HÙNG PGS TS LÊ BÁ VINH

TRƯỞNG KHOA….………

(Họ tên và chữ ký)

PGS TS NGUYỄN MINH TÂM

Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến người anh, người thầy –Ths Nguyễn Chánh

Hoàng Anh đã giúp tôi giữ ngọn lửa đam mê phương pháp số từ ngày đầu tiên gặp

nhau cho đến hiện tại bây giờ Anh đã giúp tôi phát huy khả năng sáng tạo và từng bước hướng dẫn nghiên cứu phương pháp số

Kính gửi lời cám ơn đến quý thầy cô trong bộ môn Địa Cơ Nền Móng Trường Đại

học Bách Khoa - ĐHQG - HCM: thầy PGS TS Võ Phán, thầy, thầy PGS.TS

Nguyễn Minh Tâm, thầy PGS.TS Lê Bá Vinh, Thầy TS Lê Trọng Nghĩa Những

người thầy đã dạy chúng tôi những bài học với rất nhiều tâm huyết

Cám ơn anh NCS Võ Minh Thiện, bạn Ths Nguyễn Minh Toãn đã ủng hộ và

giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần và kiến thức

Và cuối cùng, niềm động viên lớn nhất để giúp con hoàn thành luận văn này là Bố

Mẹ, em Vân Cám ơn gia đình đã nuôi dạy, ủng hộ, động viên để con hoàn thành

chương trình nghiên cứu

Tp HCM, ngày 05 tháng 12 năm 2016

Học Viên Cao Học

Vũ Hoàng Trân

4

TÓM TẮT LUẬN VĂN

TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐÀN HỒI-DẺO BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP XỬ LÍ HÀM BONG BÓNG CHO

BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT

Trong luận văn này học viên trình bày một phương pháp phân tích số hoàn toàn mới và linh hoạt cho bài toán phân tích biến dạng của nền đất theo lý thuyết phân tích phi tuyến mối quan hệ đàn hồi-dẻo kết hợp (Elasto- Plastic) Đất nền được mô phỏng làm việc theo mô hình tương thích của Mohr-Coulomb Ban đầu một hệ lưới phần tử của bài toán được hình thành sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trên hệ lưới phần

tử tứ giác Phần tử tứ giác này được cải tiến dựa trên bộ khung của phần tử tứ giác 4 nút và kết hợp với xử lí hàm bong bóng (Bubble function) Mục đích của việc đưa xử lí trên nhằm hình thành một hệ lưới chỉ sử dụng những phần tử cơ bản (tứ giác bậc thấp) giúp giảm thiểu tài nguyên máy tính nhưng vẫn đảm bảo sai số xuất hiện khi hệ lưới bị thay đổi và biến dạng trong suốt quá trình phân tích là thấp nhất Bài toán địa kỹ thuật sau đó được phân tích theo từng bước dựa trên lý thuyết phân tích phi tuyến đàn hồi-dẻo theo phương pháp lặp Newton-Rapshon theo Backward Euler Kết quả lấy từ phương pháp rời rạc hóa dựa theo phần tử tứ giác làm giàu bởi hàm bong bóng này được đem ra so sánh với một số phần từ tứ giác cổ điển khác nhằm chứng tỏ ưu thế của phương pháp này Kết quả áp dụng phương pháp phân tích số trong nghiên cứu này sẽ được đưa ra so sánh với kết quả nghiên cứu của nhiều tác giả và phần mềm phân tích địa kỹ thuật thương mại

At first, the problem domain is discretized as a mesh of quadrilateral elements This quadrilateral element is developed based on the classic 4 node quadrilateral element using Larange polynominals in combination with an enriched bubble treatment The purpose of this treatment is creating a numerical stable discretization of problem based

on the simplicity of low order quadrilateral element mesh This helps preserving computational resource while discretization error and computational error are kept at minimum The geotechnical model is then solved based on nonlinear analysis with tangent stiffness and implicit Backward Euler scheme The performance of the presented discretization method using enriched bubble quadrilateral element is comparing with other quadrilateral element (low order and high order) Solution of the presented method is then comparing with researches in the literature and with commercial software

6

LỜI CAM ĐOAN

Tôi Vũ Hoàng Trân làm đề tài luận văn thạc sĩ: ―Phân Tích Phi Tuyến Đàn Dẻo Bằng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Kết Hợp Xử Lí Hàm Bong Bóng Cho Bài Toán Địa Kỹ Thuật‖ Tôi xin cam đoan:

Hồi Toàn bộ nội dung của luận văn hoàn toàn dựa vào nỗ lực nghiên cứu của bản thân tôi, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Châu Ngọc Ẩn, và thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Hùng

- Tôi xác định rõ ràng rằng luận văn có sự kế thừa một số kết quả nghiên cứu trước, cũng như những đóng góp mới của cá nhân tôi

7

MỤC LỤC

1MỞ ĐẦU 11

1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 12 1.2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 14

2TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: 16

2.1 Tổng quan về phân tích phi tuyến: 16

2.2 Phân tích phi tuyến cho bài toán đàn hồi-dẻo kết hợp: (Elasto-Plastic) 19

3PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHI TUYẾN DẺO THEO BACKWARD EULER: 31 3.1 Phương pháp tìm lời giải của hệ phương trình chủ đao của quan hệ tải trọng- chuyển vị tổng thể: 31

3.2 Lời giải cho hệ phương trình phi tuyến chủ đạo bằng phương pháp Newton-Rapshon: 36

3.3 Phương pháp tìm lời giải cho phương trình chủ đạo của mối quan hệ ứng suất biên dạng: 39

3.4 Lời giải của bài toán phân tích phi tuyến dẻo từ phương pháp rời rạc Euler: 42 3.5 Lời giải sử dụng biến thử nghiệm đàn hồi(elastic predictor) và biến chỉnh sửa dẻo(plastic corrector algorithm): 44

3.6 Tiêu chuẩn chảy dẻo của Mohr-Coulomb: 54

3.7 Qui luật chảy dẻo kết hợp và không kết hợp theo tiêu chuẩn Mohr-Coulomb: 57 3.8 Thuật toán phân tích phi tuyến dẻo theo backward Euler cho tiêu chuẩn dẻo Mohr-Coulomb: 59

3.9 Thuật toán tìm biến dạng dẻo cho tiêu chuẩn Mohr-Coulomb: 62

4PHƯƠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP XỬ HÀM BONG BÓNG Qi6 (BUBBLE FUNCTION): 69

5ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT: 75

5.1 Bài toán khả năng chịu tải của móng băng: 75

5.2 Bài toán ổn định mái dốc: 85

5.3 Bài toán áp lực bị động tường chắn: 90

6KẾT LUẬN CHUNG: 97

7KIẾN NGHỊ: 98

DANH MỤC CÁC BÀI BÁO ĐÃ VIẾT 98

8

TÀI LIỆU THAM KHẢO: 99

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 106

9

DANH MỤC HÌNH ẢNH.

Hình: 1 Minh họa bài toán sử dụng ma trận độ cứng là hằng số Smith et al (2014) 20

Hình: 2 Minh họa bài toán độ cứng thay đổi Smith et al (2014) 21

Hình: 3 Minh họa các bước của phương pháp độ cứng tiếp tuyến Potts, & Zdravkovic (1999) 22

Hình: 4: Mô hình dẻo nhớt Potts, & Zdravkovic (1999) 24

Hình: 5 Minh họa các bước giải bài toán dẻo nhớt Potts, & Zdravkovic (1999) 25

Hình: 6: Minh họa các bước của phương pháp NR và MNR Potts, & Zdravkovic (1999) 28

Hình: 7 Mình họa phương pháp điều chỉnh trạng thái ứng suất về mặt dẻo Potts, & Zdravkovic (1999) 30

Hình: 9:Phương pháp New-ton Rapshon 37

Hình: 10 Minh họa cho bước return mapping 45

Hình: 11 Minh họa phương pháp return mapping phép chiếu điểm gần nhất 48

Hình: 12 Minh họa phương pháp return mapping hình thang tổng quát 50

Hình: 13 Minh họa phương pháp return mapping mặt phẳng trung gian 54

Hình: 14 Tiêu chuẩn dẻo Mohr- Coulomb 56

Hình: 15 Tiêu chuẩn dẻo Mohr-Coulomb trong hệ tọa độ ứng suất chính 56

Hình: 16: Return mapping về mặt phẳng chính 60

Hình: 17 Return mapping về các cạnh 61

Hình: 18 Return mapping về điểm đỉnh 61

Hình: 19 Bài test hiện tượng ―locking‖ cho phần tử 71

Hình: 21 Thông số bài toán sức chịu tải móng băng 77

Hình 22: Hệ lưới không đồng nhất với 539 phần tử 78

Hình 23: Đường cong tải trọng chuyển vị 81

Hình 24: Trường chuyển vị đối với trường hợp =10 82

Hình 25: Trường chuyển vị đối với trường hợp =20 82

Hình 26: Trường chuyển vị đối với trường hợp =35 82

Hình 27: Trường chuyển vị đối với trường hợp =45 83

Hình 28: Hệ lưới đồng nhất với 400 phần tử 83

Hình 29: So sánh kết quả Nc giữa các phần tử đối với hệ lưới 400 phần tử 84

10

Hình 30) So sánh kết quả Nc giữa các phần tử đối với hệ lưới 2500 phần tử 85

Hình 31: Thông số bài toán ổn đinh mái dốc 86

Hình 32: Hệ lưới bài toán ổn định mái dốc với 1030 phần tử 88

Hình 33: Đường cong tải trọng- chuyển vị cho bài toán ổn đinh mái dốc 88

Hình: 34: Cơ chế trượt của mái dốc với =70 , =35 89

Hình 35: Trường chuyển vị mái dốc với =70 , =35 90

Hình 37: Hệ lưới bài toán tường chắn với 1045 phần tử 92

Hình 38: Đường cong áp lực bị động-chuyển vị tường, 93

Hình 39: Thông số bài toán tường chắn tổng quát 94

Hình 40: Trường chuyển vị của bài toán áp lực bị động tường chắn 96

11

1 MỞ ĐẦU

Với sự phát triển của máy tính cá nhân, phương pháp thực nghiệm trong địa kỹ thuật dần được thay thế bằng các mô hình số thực hiện thông qua các phần mềm máy tính Trong ngành địa kỹ thuật, công việc của các kỹ sư thiết kế chủ yếu dựa trên mô hình tính toán kết hợp một số thí nghiệm trong phòng và hiện trường cần thiết Do đó dẫn đến tính cấp thiết cần phải xây dựng được môt mô hình số học ổn định dễ kiểm soát và linh hoạt đối với nhiều bài toán khác nhau: bài toán phân tích ổn định mái dốc,

áp lực đất bị động lên tường chắn, phân tích ổn định cống ngầm, móng nông, móng sâu

Đối với nền đồng nhất sức chịu tải của nền có thể phỏng đoán theo công thức được

đề xuất bởi Terzaghi (1948), Meyerhof, Hansen, Vesic… Tuy nhiên, đối với nền đất không đồng nhất và có điều kiện phức tạp thì các công thức này sẽ không còn phù hợp Ứng xử phi tuyến và phân tích dẻo được đưa vào để xấp xỉ các bài toán địa kỹ thuật Trong các giải thuật số này, trường chuyển vị sẽ được xấp xỉ rời rạc bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) vẫn là công cụ mạnh mẽ nhất để giải quyết các bài toán đặt

ra Ứng dụng của phương pháp PTHH cho ngành địa kỹ thuật phát sinh vấn đề cần nhiều giải thuật phức tạp đòi hỏi sự hiểu biết về không những kiến thức địa kỹ thuật như trạng thái tới hạn, phương pháp phân tích dẻo lẫn kiến thức về phương pháp số Điều này dẫn đến nhu cầu phát triển một phương pháp PTHH linh hoạt, hiệu quả để kỹ

sư địa kỹ thuật dễ dàng tiếp cận sử dụng và hiện là ưu tiên hàng đầu của các nhà phát triển phần mềm địa kỹ thuật.Về mặt học thuật, đối với các bài toán địa kỹ thuật các kỹ

sư và nhà phát triển phần mềm vẫn ưu tiên sử dụng các hệ lưới phần tử sử dụng các phần tử đơn giản như tam giác tuyến tinh T3 , tứ giác tuyến tính Q4 do sự đơn giản và linh hoạt khi đưa các giải thuật phức tạp vào Tuy nhiên, việc sử dụng các phần tử bậc thấp sẽ mắc phải hiện tượng ―locking‖, kết quả tính toán số không hội tụ hoặc hội tụ chậm

Các giải pháp để khử hiện tượng locking đã được đề xuất như là (i) dùng phần tử chuyển vị bậc cao; (ii) dùng các phần tử bất liên tục trên biên Điểm chính của các phương pháp này là nhằm tăng số bậc tự do tổng thể của bài toán, vì vậy sẽ giải quyết

12

được vấn đề locking Tuy nhiên, chi phí tính toán tăng lên nhiều và việc tạo lưới trong các phương pháp này là tương đối phức tạp Trong nghiên cứu này, phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh được dùng để xấp xỉ trường chuyển vị Khác với phương pháp PTHH truyền thống, ở đây trường biến dạng được dùng là trường biến dạng trung bình được tính toán trên miền làm trơn dựa trên cạnh Vì trường biến dạng trơn này là hằng số trên miền làm trơn, nên chúng ta chỉ cần áp đặt điều kiện chảy dẻo tại một điểm bất kỳ trong các miền trơn, trong khi đảm bảo điều kiện này thỏa mãn mọi nơi

Do đó, hiện tượng locking được khử, và chi phí tính toán được tối ưu

1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật

Phương pháp PTHH đã trở thành một công cụ rất mạnh cho việc phân tích các bài toán ổn định trong kết cấu lẫn địa kỹ thuật Do vậy, nghiên cứu phân tích giới hạn được đẩy mạnh và đạt nhiều thành tựu trong vài thập kỷ vừa qua Nhiều phương thức

số cũng như kỹ thuật tối ưu được phát triển cho bài toán phân tích phi tuyến và đạt được nhiều thành quả, đặc biệt trong suốt 2 thập kỷ vừa qua nhờ vào sự phát triển hệ thống máy tính phân tích

Phân tích PTHH phi tuyến được phát triển cho địa kỹ thuật đầu tiên dựa trên mô hình đàn hồi dẻo của Zienkiewicz et al (1975) Theo sau là đó là các mô hình và kết quả kiểm chứng của các bài toán địa kỹ thuật sử dụng PTHH cho nền đồng nhất trong các nghiên cứu của Griffiths et al (1999) Potts et al (1999) tổng hợp những nghiên cứu của ông và đồng nghiệp ở trường Imperial College Cho đến thời điểm hiện tại có nhiều phần mềm phân tích địa kỹ thuật dựa trên phương pháp PTHH Các nghiên cứu gần đây chủ yếu đi sâu vào các xử lí và mô phỏng các ứng xử của đất nền lẫn kết cấu dựa trên khung sườn của phương pháp PTHH truyền thống

Phương pháp PTHH truyền thống trong địa kỹ thuật gặp nhiều hạn chế, nhiều phương pháp rời rạc khác ra đời nhằm giải quyết các vấn đề của phương pháp PTHH như phương pháp không lưới (mesh free) hay phương pháp phần tử rời rạc (DEM) Tuy nhiên ứng dụng vào thực tế các bài toán địa kỹ thuật của các phương pháp này còn nhiều hạn chế do nhiều nguyên nhân Phương pháp PTHH trơn ra đời trong những năm

1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật

Phân tích sự làm việc của đất nền trong các bài toán địa kỹ thuật bằng phương pháp số và phân tích phi tuyến hiện đã và đang nhận được quan tâm nhiều ở Việt Nam Các kỹ sư thường sử dụng các phần mềm thương mại như PLAXIS, ABAQUS nhưng chưa kiểm soát được kết quả bài toán nguyên nhân do sự hạn chế về kiến thức chuyên ngành về phương pháp số lẫn các hạn chế của chính phần mềm dựa trên phương pháp PTHH truyền thống Mục đích của học viên trong luận văn này một phần nhằm trình bày lại những gì đã đạt được trong ứng dụng của phương pháp số trong địa kỹ thuật đồng thời đưa ra một phương pháp hoàn toàn mới nhằm mục đích nâng cao hiệu quả của phương pháp số trong các bài toán địa kỹ thuật

1.1.3 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Thiết lập một phương thức phân tích phi tuyến mới cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên phần tử tứ giác 4 nút kết hợp xử lí hàm bong bóng được dùng để xấp xỉ và tìm kết quả trường chuyển vị Phân tích phi tuyến đàn hồi-dẻo ứng dụng các phương pháp lặp Newton-Rapshon và tích phân toán học thực hiện trực tiếp trên miền biến dạng hằng được làm giàu bằng hàm bong bóng của bài toán trên hệ lưới của các phần tử cơ bản nhằm mục đích đơn giản hóa việc rời rạc hóa bài toán nhưng vẫn đảm tránh khỏi những hạn chế của hệ lưới này như hiện tượng ―Locking‖.Ngoài ra phương pháp trình bày giúp giải quyết tốt bài toán không thoát nước với sai số tối thiểu khi mô đun đàn hồi của nền đất là rất lớn

1.1.4 Tính thực tiễn đề tài

Phương pháp nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là một nhánh của phương pháp phân tích phi tuyến vật liệu Đóng góp chủ yếu của tác giả dựa trên việc cải tiến phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng các phần tử cổ điển với nhiều bất lợi

14

trong việc rời rạc hóa mô hình tính toán lẫn sai số hình thành trong quá trình tính toán

do ảnh hưởng của hệ lưới và sự mất tập trung ứng suất cục bộ dẫn đến hiện tượng locking trong bài toán phân tích dẻo cho nền đất

Sự đơn giản của hệ lưới là động lực phát triển các phương pháp tối ưu hóa quá trình phân tích dẻo Qua đó mở ra các nghiên cứu liên quan đến phân tích phi tuyến dẻo cho hệ bài toán kích cỡ lớn với số lượng bậc tự do lên đến nhiều triệu bậc

Các bài toán Phân tích ổn định mái dốc và bài toán áp lực bị động của tường chắn đất cũng là những vấn đề cũng được quan tâm nhiều trong thực tiễn Bằng cách áp dụng lý thuyết phân tích phi tuyến, cơ chế trượt cũng như biến dạng của mái dốc sẽ tìm được trực tiếp

Bên cạnh đó, các bước phân tích đánh giá sai số của phương pháp được thực hiện

tự động và dễ dàng đưa vào các gói chương trình phân tích địa kỹ thuật thương mại

1.2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

1.2.1 Mục tiêu

Vận dụng lý thuyết phân tích phi tuyến dẻo theo phương pháp backward Euler và phương pháp PTHH kết hợp hàm xử lí bong bóng để xác định cơ cấu trượt cũng như tải phá hủy của một số bài toán: (i) sức chịu tải, biến dạng của móng băng trên nền đất, (ii) xác định biến dạng, chuyển vị, mặt trượt và hệ số an toàn của mái dốc, (iii) xác đinh áp lực tường chắn đất

1.2.2 Nhiệm vụ của đề tài

Bên cạnh việc giới thiệu về phương pháp phân tích phi tuyến bài toán địa kỹ thuật xây dựng, nội dung chủ yếu của luận văn tập trung vào việc xây dựng một tiến trình mới cho phương pháp phân tích phi tuyến giải quyết linh hoạt các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Nhiệm vụ chủ yếu của luận văn được thực hiện thông qua các bước:

Rời rạc hóa trường biến dạng bằng phương pháp PTHH được làm giàu bằng hàm bong bóng

Phân tích phi tuyến bài toán đàn dẻo kết hợp bằng các phân tích phi tuyến Newton Rapshon theo phương pháp Backward Euler

15

Phân tích, đánh giá về sự hội tụ và chính xác của phương pháp Kết luận về các kết quả đạt được xung quanh việc sử phương pháp PTHH tứ giác làm giàu bong bóng so sánh với các phần tử truyền thống

16

2 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

2.1 Tổng quan về phân tích phi tuyến:

Bài toán phân tích phi tuyến được phân biệt làm hai yếu tố đó là phi tuyến về vật liệu lúc đó mối quan hệ ứng suất- biến dạng sẽ là một hàm phụ thuộc nhiều yếu tố phức tạp Yếu tố thứ hai là phi tuyến hình học thường được nói xét đến trong bài toán biến dạng lớn Trong luận văn này chỉ xét đến phi tuyến về vật liệu

Dạng cơ bản của ứng xử tương thích của đất:

{}=[D]{}

Trong đó Δζ và Δε là gia tăng ứng suất và gia tăng biến dạng D là ma trận quan hệ của chúng Trong phương pháp phần tử hữu hạn khi vật liệu ứng xử đàn hồi tuyến tính đẳng hướng thì ma trận D được coi là hằng số

Dựa trên quan hệ bên trên thì đối với bài toán địa kỹ thuật có hai dạng cơ bản được xét đến:

- Bài toán thoát nước (drained) khi đó không có sự thay đổi trong áp lực nước lỗ rỗng Điều này có nghĩa ứng suất hữu hiệu và ứng suất tổng là như nhau Khi đó ma trận vật liệu tương thích là hữu hiệu Khi đó các thông số của ma trận vật liệu là Module đàn hồi thoát nước và hệ số poisson thoát nước

- Bài toán không thoát nước (undrained), lúc này ma trận vật liệu tương thích D được phụ thuộc bộ thông số tương ứng với ứng suất tổng Khi đó các thông số của ma trận vật liệu là Module đàn hồi không thoát nước và hệ số poisson không thoát nước Trong trường hợp bài toán thứ hai, nếu đất là bão hòa hoàn toàn (saturated) khi đó

sẽ không có sự thay đổi về mặt thể tích, đất nền lúc này đươc coi là vật liệu đàn hồi đảng hướng với hệ số poisson undrained bằng 0,5 Có thể rõ lúc này ma trận vật liệu

D bằng vô cùng Để tránh việc này hệ số poisson được khai báo lớn hơn 0.49 và nhỏ hơn 0.5 chẳng hạn như 0.49999 Tuy nhiên, hệ số poisson càng tiến đến 0.5 thì sai số của ứng suất trung bình p ngày càng lớn Potts (1999), dẫn đến kết quả của bài toán bị ảnh hưởng nghiêm trọng nhất là khi hệ lưới phần tử có tập trung biến dạng dẻo lớn

17

Về phương pháp phân tích phi tuyến trong địa kỹ thuật, theo Potts (1999) có ba phương pháp cơ bản được sử dụng đó là phương pháp ma trận độ cứng tiếp tuyến ( tangent stiffness method), phương pháp phân tích mô hình dẻo nhớt (viscoplasticity) , phương pháp lặp Newton-Raphson và Newton-Raphson cải tiến Chi tiết về ưu nhược điểm của từng phương pháp sẽ được phân tích ở phần sau của luận văn

Phương pháp PTHH đã được chứng mình là một trong những phương pháp linh hoạt nhất để phân tích các bài toán kỹ thuật vật rắn Một nhánh của PTHH được nghiên cứu rất nhiều để giải quyết những bài toán phân tích dẻo là phương pháp phân tích phi tuyến vật liệu hay còn gọi là elasto-plastic Lịch sử phát triển của phương pháp phân tích phi tuyến vật liệu có thể được tham khảo ở nhiều nguồn (Owen et al, 1980; Chen & Mizuno,1990; Belytschko T., Bachrach W.E, 1986; Belytschko et al,2001), trong các phần tiếp theo của tác giả sẽ trình bày các phương pháp phân tích phi tuyến dẻo cho nền đất, xem them Potts & Zdravkovic (1999) để tham khảo thêm nhiều ứng dụng của phương pháp phân tích phi tuyến dẻo cho địa

kỹ thuật

Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson kết hợp phương pháp Backward Euler để giải quyết quan hệ ứng suất biến dạng trong các vòng lặp Sự kết hợp này đã được chứng minh trong nhiều nghiên cứu rằng cho

ra kết quả tốt với sai số thấp Xem thêm De Souza Neto (2008), Simo J.C & Taylor R.L (1985)

Mặc dù phương pháp PTHH có thể giải các bái toán phân tích phi tuyến dẻo vật liệu với độ chính xác cao, tuy nhiên để vận dụng được phương pháp này đòi hỏi người kỹ sư cần có một sự hiều biết sâu và kinh nghiệm về nguyên lí phân tích, sự lựa chọn phần tử sử dụng, sai số của hệ lưới PTHH đang sử dụng

Hiệu quả của một phương pháp phần từ hữu hạn phụ thuộc nhiều vào loại phần tử

và số lượng của điểm tích phân và bậc của phần tử được sử dụng, theo Potts (1999) phần tử tứ giác 8 nút hoặc một phần tử có bậc tích phân gauss là hai hoặc ba nên được

sử dụng để giảm thiểu vấn đề sai số trong tích phân và hạn chế số lượng phần tử cần thiết Cũng vì lợi thế đó mà trong những phần mềm thương mai về PTHH trong địa kỹ thuật như PLAXIS, ABAQUS, các phần tử bậc cao được sử dụng rộng rãi như phần tử tam giác 6 nút (T6) , tứ giác 8 nút (Q8) vì cho ra kết quả với độ hội và tính chính xác

18

tương đối cao Tuy nhiên theo phân tích phi tuyến dẻo dựa trên các phần tử bậc cao này không thể cho ra được kết quả hội tụ chính xác (Hjiaj M et al,2005) với lí do để có một kết quả chặt chẽ cho bài toán cận trên ( là bài toán ẩn số là chuyển vị) thì yêu cầu kèm theo là quy luật chảy dẻo phải thỏa mãn ở bất kì điểm nào trong một phần tử rời rạc tương đương với phần tử rời rạc phải có tính chất của phần tử biến dạng hằng như các phần bậc thấp như tam giác 3 nút (T3) hoặc tứ giác 4 nút (Q4) Đối với các phần tử bậc cao quy luật chảy dẻo chỉ được thõa mãn ở điểm gauss Tuy nhiên các phần tử biến dạng hằng T3, Q4 lại có độ chính xác thấp cộng với nhược điểm ứng xử rất kém với vật liệu không nén được do hiện tượng ―Volumetric Locking‖ (Nagtegaal J.C et al,1974) Những nghiên cứu gần đây liên quan đến các giải thuật xử lí hiện tượng này

có thể tìm thấy ở nghiên cứu của Nguyen Xuan H et al (2008,2009,2013,2015)

Trong phân tích phi tuyến dẻo vật liệu cho các bài toán địa kỹ thuật, bản chất của ứng xử phi tuyến nằm ở tính chất của đất nền Khi biến dạng xảy ra, đường quan hệ tải trọng-chuyển vị sẽ đạt đến một giá trị tải trong giới hạn nào đó Tuy nhiên một bài toán được rời rạc hóa theo PTHH thường không cho ra được kết quả tải giới hạn này hoặc cho ra kết quả tải giới hạn cao hơn so với kết quả chính xác Nguyên nhân của vấn đề này nằm ở việc sử dụng các mô hình tương thích dẻo tuyệt đối (như mô hình chảy dẻo của Mohr-Coulomb) dẫn đến những ràng buộc không nén được khi tải trọng tác dụng tiến tới giá trị tới hạn (Nagtegaal J.C et al,1974) Do đó để giải bài toán được kết quả mong muốn, phần tử được sử dụng trong phương pháp rời rạc phải làm việc hiệu quả dưới điều kiện bài toán không nén được Điều này giải thích

lí do các phần tử bậc cao (T6, Q8) được sử dụng rộng rãi thay cho các phần tử biến dạng hằng-bậc thấp

Trong thực tế việc sử dụng các phần tử biến dạng hằng bậc-thấp (T3,Q4) được

ưu tiên trong các bài toán có kích thước lớn với nhiều triệu bậc tự do (DOF) và các bài toán có kích thước hình học phức tạp (hệ lưới phần tử phải được chia mịn) Hơn thế nữa, việc sử dụng hệ lưới phần tử bậc thấp tạo điều kiện thuận lợi cho các ứng dụng chia lưới mịn hơn hệ lưới với các phần tử bậc cao

Mục đích chính của đề tài luận văn này nhằm đưa một phương pháp rời rạc hóa theo PTHH mới Phương pháp này tận dụng được các lợi thế về số học và sự đơn giản của hệ lưới phần tử biến dạng hằng tứ giác bậc thấp nhưng vẫn làm việc tốt khi

19

xuất hiện các ràng buộc không nén được trong trường hợp xuất hiện hiện tường

―Locking‖ Loại phần tử này với cùng số lượng nút và cạnh của phần tử Q4 tạo điệu kiện cho việc ứng dụng các phương pháp chia lưới mịn nhằm tối ưu hóa tài nguyên tính toán Lịch sử nghiên cứu nhằm cải thiện sự làm việc của phần tử Q4 có thể xem thêm ở nghiên cứu của Fredriksson M., Ottosen N.S (2004)

Sự đóng góp chủ yếu của nghiên cứu này bắt nguồn tử việc đưa vào các hàm làm bong bóng làm giàu cho phần tử Q4 Để thuận tiện cho việc tham khảo, phần tử rời rạc này được đặt tên là Qi6 Những nghiên cứu gần đây về phương pháp đưa các hàm làm giàu vào phần tử tam giác T3 có thể xem thêm ở báo cáo của Nguyen-Xuan H et al (2015) Trong nghiên cứu của họ, nhóm tác giả đã sử dụng phần tử T3 được làm giàu kết hợp phương pháp PTHH trơn trên cạnh để giải quyết các bài toán phân tích giới hạn Nghiên cứu được trình bày trong luận văn này được truyền cảm hứng từ báo cáo của César De Sá J.M.A & Natal Jorge R.M, 1999 Ở nghiên cứu này, nhóm tác giả thử nghiệm một số hàm bong bóng đối với phần tử Q4 nhằm giải quyết hiện tượng locking cho các bài toán cơ học vật rắn, tuy nhiên ứng xử của các phần tử này trong các bài toán phân tích phi tuyến dẻo chưa được đề cập đến

2.2 Phân tích phi tuyến cho bài toán đàn hồi-dẻo kết hợp: (Elasto-Plastic)

2.2.1 Giới thiệu chung về lý thuyết phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến:

Các phương pháp số tiếp cận nhằm giải quyết bài toán này đều bắt đầ tử việc chia nhỏ điều kiện biên lực thành những bước gia tải nhỏ Trên nguyên tắc, nếu như kết quả hình thành từ những gia tăng biên lực đủ nhỏ thì kết quả xấp xỉ bằng phương pháp số

sẽ gần bằng như kết quả chính xác của bài toán Tuy nhiên, độ lớn bước gia tăng biên lực càng lớn thì sai số hình thành sẽ xuất hiện dẫn đến kết quả xấp xỉ không chính xác Khi sử dụng mô hình tương thích là đàn hồi tuyến tính, ma trận tương thích hay

ma trân vật liệu D được giả định là hằng số Nếu sử dụng mô hình tương thích đàn hồi – dẻo kết hợp hay mô hình phi tuyến Ma trận vật liệu D không còn là hằng số mà thay đổi phụ thuộc vào ứng suất và biến dạng Vì vậy cần phải có phương pháp xử lí sự thay đổi của ma trận tương thích của vật liệu

Thông thường sẽ có hai hướng tiếp cận bài toán phi tuyến Một là phương pháp sử dụng ma trân độ cứng là hằng số ( constant stiffness), phương pháp này dựa trên cách

20

giải lặp, thay đổi dần vế bên phải – vector lực của phương trình cân bằng phần tử hữu hạn, trong suốt quá trình lặp của bài tốn ma trận độ cứng chỉ hình thành một lần duy nhất Lúc này mỗi bước lặp tương tư như một bước phân tích đàn hồi-dẻo thơng thường Nghiệm sẽ hội tụ nếu như ứng suất hình thành bởi vector lực thỏa điều kiện về quan hệ ứng suất- biến dạng dưới một sai số cho phép nào đĩ Vector tải phần tử lúc này bao gồm một phần do ngoại lực một phần hình thành dưới tác dụng của sự phân phối lại ứng suất của miền bài tốn Lực này mang tính chất tự triệt tiêu khơng gây ảnh hưởng đến cân bằng tĩnh của bài tốn Hình dưới đây minh họa hai cách tiếp cận

Mũi tên biểu diễn số vòng lặp Ứng Suất

Quan hệ ứng suất - biến dạng

Hình: 2 Minh họa bài toán độ cứng thay đổi Smith et al (2014)

Dựa trên nguyên lí vửa trình bày, Potts, & Zdravkovic.(1999) phân loại thành ba phương pháp thông dụng đó là: phương pháp độ cứng tiếp tuyến (tangent stiffness method), phương pháp dẻo-nhớt kết hợp (Visco-plastic method), phương pháp Newton-Raphson cải tiến (Modified Newton-Raphson method) Mỗi phương pháp đều

có điểm mạnh riêng và có thể áp dụng hiệu quả trong một số trường hợp cụ thể Cần phải nói thêm sự phân loại trên chỉ dựa trên quan điểm của Potts, & Zdravkovic.(1999), các nhóm nghiên cứu khác nhau sẽ có những tên gọi khác nhau dành cho các phương pháp

Tính chất phi tuyến được thể hiện qua mô hình ứng xử tương thích của đất nền (constitutive behavior), phương trình chủ đạo được thể hiện theo từng bước gia tăng lực

22

2.2.2 Phương pháp độ cứng tiếp tuyến (Tangent stiffness method):

Phương pháp độ cứng tiếp tuyến (Tangent Stiffness) hay còn gọi là phương pháp

độ cứng thay đổi (variable stiffness method) là một phương pháp đơn giản nhất Phương pháp này được sử dụng trong phần mềm CRISP (Britto & Gunn 1987) và đã được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tế Lưu ý là phương pháp này khác với các phương pháp Newton Rapshon sử dụng ma trận độ cứng tiếp tuyến thay đổi trong từng bước lặp của nó

Trong cách tiếp cận này, ma trận độ cứng gia tăng KG trong phương trình cân bằng phần tử hữu hạn được giả đinh là hằng số trong mỗi bước gia tăng áp lực và được tính toán trong ở trạng thái ứng suất ở đầu mỗi bước gia tăng áp lực Về bản chất, phương pháp này là phương pháp tuyến tính hòa mô hình phi tuyến

c c'

d d'

Trong phương pháp độ cứng tiếp tuyến, tải tác dụng được chia ra thành một bộ tải

trong hình dưới đây có ba bước gia tăng tải là Δfext1,Δfext2,Δfext3 Ma trận gia tăng độ

cứng tổng thể K for bước gia tăng này được hình thành ở trạng thái ban đầu tương

đương với điểm a phương trình cân bằng phần tử hữu hạn được giải và nghiệm của bài

toán là chuyển vị nút Δd1 Khi độ cứng vật liệu vẫn liệu là hằng số, đường tải-chuyển

vị là đường thằng ab’ Trong thực tế độ cứng vật liệu không là hằng số trong suốt bước gia tăng tải vậy nên đường tải-chuyển vị sẽ là đường cong ab Do đó sai số của bài toán

Trên thực tế nghiên cứu, phương pháp độ cứng tiếp tuyến cho ra lời giải không chính xác khi ứng xử đất nền chuyển đổi từ đàn hồi qua dẻo hoặc ngược lại Ví dụ, nếu ứng xử của đất nền là đàn hồi ở đầu bước gia tải, thì sẽ được giả định là ứng xử hoàn toàn đàn hồi trong toàn bộ bước gia tải Điều này không chính xác bởi khi đất nền đạt đến ngưỡng dẻo dẫn đến trạng thái ứng suất bị vi phạm mô hình vật liệu tương thích ( nằm ngoài mặt dẻo) Lấy ví dụ, sai lệch sẽ gây ra ứng suất kéo trong mô hình không cho phép xảy ra ứng suất kéo ( ví dụ như mô hình Camclay khi đó ứng suất hữu hiệu tổng p’ không thể hình thành) Trong trường hợp này cần điều chỉnh lại trạng thái ứng suất theo một cách nào đó dẫn đến vi phạm điều kiện cân bằng hoặc điều kiện tương thích Potts(1999) có minh họa rõ hạn chế này của mô hình độ cứng tiếp tuyến

2.2.3 Phương pháp phân tích dẻo nhớt (Visco plastic method):

Phương pháp này sử dụng mô hình ứng xử dẻo nhớt và biến thời gian để mô phỏng ứng xử phi tuyến, đàn dẻo, theo thời gian của Owen và Hilton (1980), Zienkiewicz và Cormeau (1974)

Mô hình dẻo nhớt có thể được giải thích dựa trên như hình dưới đây:

Hình: 4: Mô hình dẻo nhớt Potts, & Zdravkovic (1999)

Vật liệu được giả đinh gồm hai thành phần thành phần đàn hồi được mô phỏng bằng một lò xo đàn hồi (Spring) và thành phần dẻo nhớt được mô phỏng bằng khóa trượt (slider) và một hộp cản nhớt (dashpot) nối song song Khi có tải tác dụng, có một trong hai trường hợp có thể xảy ra Nếu tải tác dụng gây ra ứng suất chưa xuất hiện biến dạng dẻo, khóa trượt chưa hoạt động và toàn bộ biến dạng xảy ra ở trong lò xo diễn tả ứng xử đàn hồi Trong trường hợp, nếu ứng suất xuất hiện gây ra biến dạng dẻo, khóa trượt tự do và hộp cản nhớt bắt đầu hoạt động Ban đầu toàn bộ biến dạng xảy ra trong lò xo, sau đó hộp cản nhớt bắt đầu dịch chuyển, tốc độ dịch chuyển của hộp cản nhớt phụ thuộc và ứng suất nó chống đỡ và độ cản nhớt của hộp Sau một khoảng thời gian, hộp cản nhớt di chuyển chậm dần bởi vì một lượng ứng suất nó chống đỡ được chuyển qua lò xo dẫn đến sự gia tăng dịch chuyển của lò xo, quá trình vừa rồi diễn tả ứng xử cản nhớt Đến một lúc hệ trở nên ổn định, hộp cản nhớt lúc này không cần phải chống đỡ cho ứng suất phát sinh trong hệ, điều này tương đương với

25

việc ứng suất quay ngược lại trước ngưỡng dẻo và khóa trượt bị khóa lại Ngoại lực lúc này được chống đỡ bởi lò xo, nhưng biến dạng của hệ không còn là từ độ dãn lò xo và còn do chuyển dịch của hộp trượt Nếu lúc này hệ được dở tải, chuyển vị- biến dạng trong lò xo được phục hồi còn dich chuyển của hộp cản nhớt không được phục hồi Ứng dụng của phương pháp dẻo nhớt vào phân tích ứng xử của vật liệu đàn dẻo có thể được tóm tắt như sau Trong một bước gia tải, nếu trạng thái ứng suất còn nằm bên dưới mặt dẻo, biến dạng là đàn hồi và nghiệm chuyển vị được giải đúng như lý thuyết phần tử hữu hạn đàn hồi tuyến tính

Trường hợp trạng thái ứng suất vi phạm mặt dẻo, trạng thái ứng suất này chỉ có thể tồn tại trong vòng một khoảng thời gian ngắn và bắt đầu xuất hiện biến dạng dẻo nhớt

Độ lớn của biến dạng dẻo nhớt được qui định bởi giá trị của hàm dẻo, được tính toán bằng độ lệch của hàm dẻo qua ngưỡng dẻo Biến dạng dẻo nhớt tăng dần theo thời gian dẫn đến giá trị hàm dẻo được giảm xuống cho gần đến mặt dẻo Phương pháp này được lặp lại cho đến khi biến dạng dẻo nhớt là nhỏ Tại thời điểm này, biến dạng dẻo nhớt tích lũy và trạng thái ứng suất tương ứng cân bằng với gia tăng biến dạng dẻo và

sự thay đổi ứng suất

Hình: 5 Minh họa các bước giải bài toán dẻo nhớt Potts, & Zdravkovic (1999)

Đối với một vật liệu dẻo nhớt thì sự thay đổi biến dạng dẻo nhớt được cho bởi công thức:

t t

1( , ) ( , )

2.2.4 Phương pháp Newton Raphson và Newton Raphson cải tiến :

Cả hai phương pháp độ cứng tiếp tuyến và dẻo nhớt đều cho ra sai số do ứng xử tương thích đều dẫn đến trạng thái ứng suất của phần tử không thực tế (vi phạm nằm ngoài mặt dẻo) Phương pháp newton raphson (NR) và phương pháp newton raphson cải tiến (Modified Newton – rapshon- MNR) được đưa ra để khắc phục hạn chế này Phương pháp NR, MNR sử dụng kỹ thuật lặp như hai phương pháp trên Trong vòng lập đầu tiên, phương pháp này tương tự như phương pháp độ cứng tiếp tuyến Nghiệm chuyện vị xấp xỉ của bài toán lúc này sẽ có sai số, và một lực thặng dư sẽ được phát sinh dựa trên nghiệm chuyển vị này Lực thặng dư này tương đương với sai

số đo được của phương pháp

Phương trình cân bằng phần tử hữu hạn được giải lại với lực thặng dư (trong vai trò là biểu thức lực nút vế bên phải)

và dùng để xác định lực nút Sự khác biệt của lực này và ngoại lực tác dụng chính ra lực nút thặng dư

Một vấn đề khác, vì lý do điều kiện tương thích thay đổi trong một bước gia tải việc tích phân liên quan đến điều kiện tương thích cần phải được xét đến để cho ra ứng suất thay đổi Phương pháp để tính tích phân này là phương pháp stress point algorithms (implicit and explicit) Có nhiều giải thuật được sử dụng để kiểm soát độ chính xác của nghiệm, được trình bày ở phần sau

Phương pháp được trình bày vừa rồi được gọi là phương pháp NR nếu ma trận độ cứng tổng thể được tính lại và nghịch đảo ở mỗi vòng lặp dựa trên ứng suất và biến dạng nhận được từ vòng lặp trước đó Để giảm khối lượng tính toán, phương pháp MNR được đưa ra trong đó, ma trận độ cứng chỉ được tính và nghịch đảo ở ngay đầu bước gia tải và sử dụng cho toàn bộ các vòng lặp trong bước gia tải

29

Stress point algorithms có hai phương pháp khá thông dụng : substepping là explicit (Forward Euler) và return algorilm là implicit (Backward Euler), mỗi phương pháp có một số giả định khác nhau khi thực thiện phép tích phân các phương trình tương thích

Substepping (Forward Euler) : phương pháp này được đề nghị bởi Wissman và Hauck (1983) và Sloan (1987) Trong cách tiếp cận này, bước gia tải lại được chia ra thành nhiều bước nhỏ Giả định là trong mỗi bước nhỏ này biến dạng Δεss bằng Δt lần biến dạng tổng của bước tăng tải

là biến dạng tính ra từ trạng thái ứng suất của cuối đoạn gia tải Xem thêm Hình: 7 để hiểu thêm về ý nghĩa hình học của phương pháp này

30

Ứng suất ban đầu

Ứng suất cuối Ứng suất thử nghiệm

Mặt dẻo ban đầu

Mặt dẻo cuối

Hình: 7 Mình họa phương pháp điều chỉnh trạng thái ứng suất về mặt dẻo Potts, &

Zdravkovic (1999)

Lợi thế của phương pháp substepping hay Forward Euler là linh hoạt cĩ thể dễ dàng giải quyết nhưng mơ hình tương thích cĩ hai hay đa mặt dẻo Lợi thế này được tạo ra nhờ trong thuật tốn của Forward Euler khơng sử dụng đạo hàm bậc hai của gradient hàm thế năng dẻo Đây cũng là điểm yếu mà mơ hình implicit khơng cĩ mặc

dù mơ hình này giải quyết rất tốt những mơt hình tương thích phức tạp (bao gồm nhiều yếu tố tốn học phức tạp) Một số chương trình phần mềm (PLAXIS,ABAQUS) về địa

kỹ thuật ưu tiên phương pháp đầu tiên bởi vì sự linh hoạt của nĩ

Tuy nhiên việc sử dụng return algorithms (Backward Euler) cũng vẫn hấp dẫn vì sai số của thuật tốn đảm bảo nghiệm hội tụ (xem thêm ở De souza Neto (2005)) Với các cơng cụ tốn học mạnh hiện tại nhiều phần mêm đã giải quyết được vấn đề vi phân bậc hai của gradient hàm thế năng dẻo như Matlab, Mathematica việc sử dụng phương pháp Backward Euler là một lựa chọn tốt khi cần nghiên cứu sự làm việc của các mơ hình tương thích phức tạp trong bài tốn phân tích phi tuyến dẻo Vì lí do đĩ, trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp giải lặp của Newton Rapshon kết hợp với giải thuật tính biến dạng dẻo theo Backward Euler Trong phần tiếp theo sẽ trình bày chi tiết về thuật tốn sử dụng

Giải hệ phương trình trên với bộ điều kiện biên cần thiết sẽ tìm ra được các kết quả

về chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại bất kì điểm nào trong vật thể Một phương pháp dùng để phân tích hệ phương trình thành dưới dạng đơn giản là là phương pháp trọng

số thặng dư (weighted residuals) Khi đó phương trình 11 trở thành:

nx,ny,nz là cosine vector pháp tuyến của bề mặt S Dạng xấp xỉ của phương trình

14 có thể giải ra kết quả dựa trên phương pháp PTHH- rời rạc hóa vật thể thành nhiều phần tử Chuyển vị tại điểm bất kì được nội suy từ chuyển vị nút của phần tử Đối với phần tử có n nút:

Với d=[u,v,w] là vector chuyển vị của thành phần u,v,w tương ứng với mỗi phương, N là ma trận hàm dạng (hàm nội suy)

N N

N N

Với δu là vector chuyển vị ngẫu nhiên của phần tử, sử dụng phương pháp lấy trọng

số này tương đương với phương pháp của kết hợp phương trình này với phương trình

14, lấy tích phân toàn bộ thể tích phần tử Ve, diện tích bề mặt Se dẫn đến phương trình:

Trong đó kí hiệu ―dấu chấm‖ thể hiện quan hệ vi phân theo thời gian Phương trình

34 là một hệ phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ tải trọng-biến dạng của một phần tử vật liệu phi tuyến Tổ hợp những ảnh hưởng của các phần tử này ta thu được một hệ phương trình vi phân tổng thể dưới dạng:

3.2 Lời giải cho hệ phương trình phi tuyến chủ đạo bằng phương pháp Newton-Rapshon:

Phương pháp Newton-Rapshon được sử dụng rộng rãi để giải quyết bài toán phi tuyến bởi vì có nghiệm với độ hội tụ bậc hai Mỗi vòng lặp của phương pháp này tương đương với việc tuyến tính hóa phương trình rời rạc cân bằng tổng thể

Tại một trạng thái định nghĩa bởi vector chuyển vị tổng thể ( 1)

1

un k , một vòng lặp k bất kì của phương pháp Newton –Rapshon bao gồm việc giải hệ phương trình để tìm

Hình: 8:Phương pháp New-ton Rapshon

Nói thêm về ma trận độ cứng tổng thể đình nghĩa ở phương trình 39 Ma trận này được hình thành nhờ sự sắp xếp của ma trận độ cứng phần tử:

38

1 1 1

ˆσ

D

ε

k n n

Bảng 1: Lưu đồ của chương trình phân tích phi tuyến dẻo theo Newton-Rasphon

(i) k:=0 Giả thiết giá trị nghiệm chuyển vị, lực nút thặng dư: