Ứng dụng phương pháp phần tử rời rạc vào bài toán địa kỹ thuật

Phương pháp phần tử rời rạc – DEM ưu điểm hơn các phương pháp liên tục như FEM trong việc phản ánh chính xác đặc tính rời rạc của vật liệu, mô tả thực quá trình biến dạng và chuyển vị..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ QUANG NHỰT

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI RẠC VÀO BÀI

TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT

Chuyên ngành: Địa Kỹ Thuật Xây Dựng

Mã số: 60.58 02.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, 2017

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS Nguyễn Minh Tâm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: LÊ QUANG NHỰT MSHV: 7140064

Ngày, tháng, năm sinh: 15/08/1991 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành: Địa kỹ thuật xây dựng Mã số: 60 58 02 11 TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI RẠC VÀO BÀI

TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

Nhiệm vụ: Tập trung vào nghiên cứu nội dung lí thuyết PP Phần tử rời rạc cũng như

thuật toán dòng hạt của phần mềm PFC Từ đó vận dụng vào bài toán địa kỹ thuật

Nội dung:

Chương 1 Tổng quan vấn đề

Chương 2 Tổng quan lý thuyết PP Phần tử rời rạc

Chương 3 Thuật toán dòng hạt của phần mềm PFC

Chương 4 Ứng dụng

- Kết luận chung và kiến nghị

- Tài liệu tham khảo

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 04/12/2016

IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS - TS Nguyễn Minh Tâm

TP HCM, ngày 04 tháng 12 năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS - TS Nguyễn Minh Tâm

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

PGS – TS Lê Bá Vinh

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa TP HCM đã tận tình giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi từ

khi tôi học Đại học và trong suốt khóa Cao học

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện nhưng đề cương không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè

TP HCM, ngày 04 tháng 12 năm 2016

Lê Quang Nhựt

TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI RẠC VÀO BÀI TOÁN ĐỊA KỸ

THUẬT

Nội dung tập trung vào việc nghiên cứu lí thuyết Phương pháp phần tử rời rạc và thuật toán dòng hạt của phần mềm PFC Từ đó ứng dụng vào mô phỏng bài toán địa kỹ thuật

Việc nghiên cứu và mô phỏng ứng xử cơ học của các vật liệu rời như cát, sỏi trở thành yêu cầu cấp thiết trong bài toán địa kỹ thuật Mỗi mẫu mô phỏng bao gồm hàng nghìn hạt rời rạc, các hạt này hoàn toàn độc lập và có thể tương tác với các hạt khác trong mẫu Phương pháp phần tử rời rạc (Discrete Element Method – DEM) do tác giả Cundall 1972 phát triển đã trở thành phương pháp tiên phong trong việc mô phỏng vật liệu rời

Phương pháp phần tử rời rạc – DEM ưu điểm hơn các phương pháp liên tục như FEM trong việc phản ánh chính xác đặc tính rời rạc của vật liệu, mô tả thực quá trình biến dạng và chuyển vị Nội dung luận văn tập trung vào việc giới thiệu phương pháp phần tử rời rạc – DEM cũng như ứng dụng DEM vào mô phỏng bài toán nén mẫu (2D)

Từ khóa: DEM, descrete material, …

SUMMARY OF THESIS TITLE OF THESIS:

APPLY DESCRETE ELEMENT METHOD TO SOLVE GEOTECHNICAL

It is remarkable that discontinuos approachs have many advantage in comaparision with continuous method within discrete material filed DEM can indicate clearly the true respone of distinct characteristics, real strain and displacement in macro scale The content of paper concentrates on presenting Descrete element method and appling

to simulate biaxial test

Keywork: DEM, descrete material, …

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của

thầy PGS - TS Nguyễn Minh Tâm

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

TP HCM, ngày 04 tháng 12 năm 2016

Lê Quang Nhựt

MỤC LỤC

1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật

1

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật 1

1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 4

1.1.3 Mô phỏng thí nghiệm địa kỹ thuật bằng DEM 4

1.2 Ý nghĩa khoa học của đề tài 5

1.4 Phương pháp nghiên cứu 6

1.4.1 Phương pháp lý thuyết 6

1.4.2 Phương pháp mô phỏng 7

1.4.3 Dự kiến kết quả 7

1.5 Nhận xét 7

2.1 Vòng lặp tính toán 8

2.2 Mối quan hệ lực – chuyển vị 11

2.3 Phương trình chuyển động 14

2.4 Hiện tượng tắt dần tắt dần 15

2.5 Dữ liệu đầu vào của DEM 18

2.6 Điều kiện biên 18

2.6.1 Tổng quan 18

2.6.2 Biên cứng 19

3.1 Giới thiệu thuật toán dòng hạt (Particles Flow Code –PFC) 21

3.2 Vòng lặp tính toán trong PFC 21

3.3 Mối quan hệ Lực – chuyển vị trong PFC 22

3.4 Định luật về chuyển động 23

3.5 Điều kiện biên và thông số đầu vào 25

3.6 Các mô hình tương tác trong PFC 25

3.6.1 Mô hình tương tác cứng (Contact – stiffness models) 25

3.6.2 Mô hình trượt 28

3.6.3 Mô hình liên kết 29

3.7 Hình dạng phần tử hạt và khối hạt 33

3.7.1 Trọng tâm của khối hạt 33

3.7.2 Phương trình chuyển động của khối hạt 34

3.8 Cơ chế hiệu chỉnh vận tốc biên nhằm đạt được áp lực mong muốn 37

3.9 Cơ chế phát sinh ứng suất 38

3.10 Cơ chế tạo ứng suất đẳng hướng 39

3.11 Cơ chế tạo phần tử hạt 40

4.1 Mô phỏng thí nghiệm nén hai trục PFC 43

4.1.1 Đặt vấn đề 43

4.1.2 Mô tả mô phỏng thí nghiệm 43

4.2 Kết luận và kiến nghị 55

DANH MỤC HÌNH ẢNH

MỞ ĐẦU 1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật

Vật liệu rời bao gồm các hạt rời rạc, mà chuyển vị của nó hoàn toàn độc lập so với các phần tử hạt khác và chỉ tương tác với nhau tại điểm tiếp xúc Các đặc tính rời rạc của khối vật liệu là kết quả những ứng xử phức tạp dưới điều kiện chịu tải và biến dạng Những thí nghiệm chuyên sâu trong phòng thí nghiệm đã được tiến hành để xác định những đặc tính cấu trúc của vật liệu

Các thí nghiệm cho vật liệu rời như cát, sỏi, đá dăm gặp nhiều trở ngại do ứng suất trong vật liệu không thể tính toán được và chỉ được ước tính từ điều kiện biên của mẫu Một số phương pháp sử dụng hình ảnh từ tia X (X- ray photographs) có thể xác định biến dạng của mẫu thí nghiệm vật liệu rời [1]

Sự khó khăn trong việc xác định ứng suất bản thân khối vật liệu (ví dụ trong trường hợp cát rời) đã dẫn đến sự phát triển của việc mô hình khối vật liệu rời mà biên dạng hình học của nó đơn giản hơn so với cát, để có thể dễ dàng tính toán hoặc xấp xỉ được ứng suất và biến dạng Khối vật liệu mô phỏng thì chứa một tập hợp các phần tử hạt tròn hoặc khối tròn mà có thể phân tích, mô phỏng được [1]

Trong các phương pháp khảo sát, thì mô phỏng số là một phương pháp hữu hiệu để

mô phỏng các khối vật liệu tròn hoặc khối cầu Phương pháp số ứng dụng linh hoạt hơn các phương pháp sử dụng mô hình khác và có nhiều ưu điểm hơn các mô hình vật lý thực Phương pháp số có thể dễ dàng thay đổi các thông số về áp lực, kích cỡ hạt, mật

độ phân bố hạt và các đặc tính vật lý của vật liệu [1]

Serrano & Rodrigues – Ortiz (1973) và Rodrigues – Ortiz (1974) phát triển một mô hình số cho khối vật liệu rời bao gồm các hạt và khối tròn Lực tương tác và chuyển vị của từng hạt được tính toán cho điều kiện cân bằng, dựa trên giải thuyết biến thiên của lực tương tác được xác định thông qua biến thiên của chuyển vị của tâm hạt Mô hình tương tác Hertz được áp dụng cho lực pháp tuyến, ảnh hưởng của lực tiếp tuyến được xét đến dựa theo học thuyết của Mindlinand Deresiewicz (1953) and Nayak (1972),

và biến dạng của hạt được xem như không đáng kể Mặt hạn chế chính của phương pháp để giải được những phương trình toán học, thì chỉ một số lượng nhỏ chất hạt có thể được thông qua bởi máy tính thời điểm đó Ngoài ra, việc tính toán mất nhiều thời gian do ma trận độ cứng phải được xác định lại khi có một tương tác được xác lập hay phá vỡ [1]

Distinct Element Method – Phương pháp phần tử rời rạc là phương pháp mô phỏng

số có khả năng xử lý các chất hạt với nhiều hình dạng khác nhau, và được phát triển bởi Cundall (1971 & 1974) cho việc phân tích các vấn đề cơ học đá Trong phương pháp này, DEM xét đến một cách rõ ràng tương tác của các vi phần tử hạt như là một

mô hình “spring and damper model” Chuyển động của các hạt được cập nhật theo thời gian thông qua phương trình vi phân bậc 2 của của biểu thức chuyển động Trong đó lực và gia tốc là các biến số chính

Khi DEM được trình bày lần đầu năm 1979, ban đầu nó chỉ được phát triển cho những ứng dụng trong địa kỹ thuật, nhưng nó đã được ứng dụng rộng rãi để mô hình các vật liệu rời và các hệ thống kết cấu

Trong lần trình bài đầu tiền năm 1979, mỗi phần tử hạt chỉ được mô phỏng như là một đĩa tròn 2 chiều (2D – Disk) Các công thức cho DEM 3 chiều (3D) đã được phát triển tiếp theo sau đó, như là các khối cầu hoặc các khối elip (3D spherical , ellipsoidal particles) Việc nghiên cứu các loại hình dạng hạt cũng đã trở thành một hướng trong việc nghiên cứu DEM

Một vài chương trình tiêu biểu như BALL ( Cundall and Strack 1979), TRUBAL (Stack and Cundall 1984), ELLIPSE2( Ng 1992), ELLIPSE3 (Lin and Ng 1997),… Mẫu đất cát nói chung bao gồm tập hợp các chất hạt, lỗ rỗng, chất lưu (không khí và nước) Mặc dù bản chất của đất (đặc biệt là đất rời) là vật liệu rời, nhưng nó vẫn được xem như là vật liệu liên tục trong lý thuyết, sử dụng mô hình số và phân tích số với tính chất cơ học liên tục Phương pháp cơ học tính toán liên tục đã giữ một vai trò quan trọng

và được sử dụng rộng rãi trong địa kỹ thuật Tuy nhiên, ứng xử của đất phức tạp giống như vật liệu rời, và đòi hỏi phải nghiên cứu kĩ lưỡng hơn [2]

Có hai cách được sử dụng để khảo sát đặc tính rời rạc của vật liệu Phương pháp thứ nhất là hiệu chỉnh các mô hình liên tục có sẵn, hoặc các lý thuyết liên tục bằng cách thêm vào các giả thuyết hoặc các quy ước mà nó giúp phản ánh sự ảnh hưởng của cấu trúc vi mô của đất Hoặc là bằng cách củng cố các thành phần của định luật dựa trên những nghiên cứu cấu trúc vi mô của đất Ngược lại, phương pháp thứ hai trực tiếp xem đất như là một khối kết cấu bao gồm nhiều phần tử rời rạc, và các ứng xử vi mô, vĩ mô được phân tích, số hóa và ghi nhận [2]

Như đã nêu trên, DEM ngày càng được tăng cường ứng dụng để nghiên cứu về ứng

xử ở cấp độ vi mô của vật liệu rời Thuật toán nền tảng của DEM được dựa trên công thức tích phân của phương trình chuyển động Nó tránh được quá trình suy biến của

ma trận độ cứng, việc đó cho phép phương pháp này có thể giải quyết được số lượng lớn chất hạt trong suốt quá trình mô phỏng Cundall và Roger (1992)

Thuật toán chương trình đầu tiên dựa trên DEM được phát triển bởi Goodman (1968) để mô hình một bài toán tiếp xúc giữa các mặt Việc đó chưa được coi chính thức là DEM, nhưng việc trên được xem là bước đi tiên phong trong lĩnh vực

Một thuật toán trên nền Fortran được gọi là BALL được sử dụng nhưng là một phương tiện hỗ trợ để mô phỏng vật liệu rời dựa trên sự xét đến cơ học vi mô (Cundall and Track 1978)

Sau đó, cũng chính Cundall và Track (1979) đã tiếp tục phát triển một thuật toán Fortran khác, gọi là TRUBAL, để mô phỏng ứng xử vật liệu rời dạng 3D

Một dạng thuật toán phần tử rời rạc khác, UEDC (Cundall 1985), DIBS (Walton 1980), 3DSHEAR (Walton 1988) và 3DEC (Hart và Cundall 1988), PFC (Itasca 1999)

đã được phát triển cho việc mô phỏng vật liệu rời Trong phương pháp thứ hai, Distinct Element Method (DEM) – Phương pháp phần tử rời rạc trở nên ngày càng phổ biến

Bảng 1 cho ta thấy một số ứng dụng của DEM trong các vấn đề của địa kỹ thuật

Bảng 1 Một số ứng dụng của DEM trong địa kỹ thuật

Nghiên cứu các học thuyết về hiện

Mitchell [4]

Tính dị

hướng của

đất sét

Nghiên cứu các ứng xử cơ học không

Cheng et al

(2003) [7]

Những thuật toán trên đều sử dụng những khoảng thời gian xác định, tiến hành giải

quyết biểu thức chuyển động trực tiếp Trong đó PFC sẽ được sử dụng trong đề tài này

và sẽ được giới thiệu trong các phần sau

1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật

Có thể nói tình hình nghiên cứu ứng dụng phương pháp DEM trong ngành địa kỹ thuật chưa thật sự nhiều Một số bài báo và nghiên cứu phần lớn là của các tác giả hiện đang là du học sinh nước ngoài

Các bài báo của thầy, TS Trương Quang Hùng tại các tạp chí và hội nghị trong và ngoài nước

Chính vì thế, nội dụng luận văn này tập trung vào việc làm rõ lý thuyết, nội dung của phương pháp phần tử rời rạc – DEM Nắm được nội dung của phương pháp, sẽ giúp có cái nhìn chung về những ưu thế cũng như nhược điểm của phương pháp Từ

đó vận dụng hợp lý phương pháp vào nghiên cứu cũng như ứng dụng

1.1.3 Mô phỏng thí nghiệm địa kỹ thuật bằng DEM

Hai lí do chính sử dụng DEM trong địa kĩ thuật Thứ nhất, phương pháp phần tử rời rạc có thể dễ dàng mô phỏng được các bài toán có trường biến dạng lớn hơn là các

phương pháp dựa trên nền tính toán phần tử liên tục Thứ hai, mô phỏng bằng DEM có thể khảo sát ứng xử của vật liệu ở tỉ lệ thực hơn

Mặc dù thuật toán nền tảng của DEM dựa trên quá trình động học, nhưng cũng có thể được sử dụng trong các bài toán hầu như tĩnh Bằng cách làm chậm quá trình động học lại Tắt dần do nhớt cũng có thể kể đến để xây dựng bài toán động năng, và cho bài toán cân bằng Tuy nhiên, theo Kishino (1988) [10], chuyển động của chất hạt trong bài toán hầu như tĩnh thì không đồng trục với véc tơ gia tốc được giả thiết bởi DEM vì các điều kiện biên của các phần tử liền kề Điều đó dẫn đến phương pháp Granular Element Method được phát triển bởi Kishino (1988, 1989) [10] Tương tự DEM, GEM tính toán chuyển vị của từng chất hạt độc lập với các phần tử khác, nhưng

có sự hiệu chỉnh độ cứng trong qua trình xuất hiện và phá vỡ tương tác của các hạt

Ting và các cộng sự (1989) [11] đã sử dụng chương trình DISC (Một phiên bản hiệu chỉnh của phần mềm BALL) để mô phỏng thí nghiệm địa kỹ thuật Kết quả cho thấy DEM 2D có thể mô phỏng xấp xỉ ứng xử thật của đất khi mà các phần tử độc lập không xoay

1.2 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Ứng dụng một phương pháp tính toán cho các bài toán về vật liệu rời và áp dụng trong việc mô phỏng các thí nghiệm trong địa kỹ thuật xây dựng Phương pháp DEM cho phép xác định các đặc tính của vật liệu rời, chuyển vị của các phần tử hạt, biến dạng chung của khối hạt Ngoài ra việc áp dụng thuật toán PFC là một phương pháp tiêu chuẩn để thiết lập mô phỏng bài toán vật liệu rời theo những thiết lập đã có sẵn sẽ giúp cho quá trình mô phỏng nhanh, gọn và đơn giản hơn

Phương pháp này có thể khắc phục một số nhược điểm mà các phương pháp miền tính toán liên tục như FEM, FDM mắc phải trong các dạng vật liệu rời Nếu như các phương pháp liên tục xem miền vật liệu liên tục, quá trình mô phỏng dừng lại tức thì khi mẫu bị phá hoại Thì các phương pháp không liên tục lại cho thấy rõ về hình dạng thực mẫu trong suốt quá trình mô phỏng cũng như khi bị phá hoại Sự phát triển vết cắt, vết nứt cũng được ghi nhận lại Chính vì những ưu điểm kể trên, DEM thể hiện sự vượt trội

trong những bài toán rời rạc cũng như biến dạng lớn mà các phương pháp liên tục không khắc phục được

1.3 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Tập trung vào nội dung, lý thuyết của phương pháp DEM Từ đó vận dụng thuật toán dòng hạt (Particles Flow Code – PFC) vào việc mô phỏng bài toán vật liệu rời nói chung

và các bài toán thí nghiệm trong địa kỹ thuật nói riêng

- Tiếp cận phương pháp phần tử rời rạc (Dicrete Element Method – DEM)

+ Chu kỳ tính toán trong thuật toán

+ Quan hệ giữa lực – chuyển vị trong bài toán tương tác

+ Phương trình chuyển động

+ Sự tắt dần chuyển động

- Tiếp cận thuật toán dòng hạt (Particle Flow Code – PFC)

+ Chu kỳ tính toán trong thuật toán

+ Tương tác trong PFC

+ Hình dạng hạt và khối hạt

Ứng dụng phương pháp DEM và PFC vào mô phỏng ứng xử vật liệu rời hạt thô như cát thông qua thí nghiệm nén mẫu phẳng:

- Thí nghiệm hai trục trên mẫu hạt thô

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp lý thuyết

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử rời rạc (Tuần hoàn tính

toán, phương trình chuyển động, quan hệ giữa lực – chuyển vị, sự tắt dần trong dao đông)

1.4.2 Phương pháp mô phỏng

- Nghiên cứu thuật toán dòng hạt (PFC) Tập trung vào lý thuyết chung của phương pháp, nắm được những điểm chung và điểm riêng của PFC so với DEM Từ đó giúp ta vận dụng vào mô phỏng

- Mô phỏng một số bài toán thí nghiệm cho vật liệu rời hạt thô (cát thô, đá ballast

…)

1.4.3 Dự kiến kết quả

Phương pháp phần tử rời rạc (DEM) dựa trên định luật Newton II về chuyển động

và lực Giúp nắm được nguyên lý hoạt động của thuật toán Sự tuần hoàn tính toán trong suốt quá trình mô phỏng

Thông qua việc mô phỏng vật liệu rời, kết quả thu được bao gồm: mẫu sau khi bị phá hoại – hình dạng mẫu, vết phá hoại (nếu có), chuyển động các hạt Ngoài ra thu được các giá trị Ứng suất, biến dạng, độ rỗng thay đổi trong quá trình mô phỏng

1.5 Nhận xét

Nhiệm vụ của luận văn tập trung vào việc tiếp cận một phương pháp tính toán không liên tục, mà bản chất của nó sẽ khắc phục được một số nhược điểm và hạn chế của phương pháp liên tục đã được sử dụng trước đây để mô phỏng trong các vật liệu không liên tục trong địa kỹ thuật trước đây

Từ việc nghiên cứu những nội dung quan trong của phương pháp phần tử rời rạc (DEM) và việc tiếp cận thuật toàn dòng hạt (Particle Flow Code – PFC) sẽ giúp cho quá trình mô phỏng vật liệu được chuẩn hóa một các rõ ràng

TỔNG QUAN & CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ RỜI RẠC (DISCRETE

ELEMENT METHOD - DEM) Nội dung chương này tập trung vào việc làm rõ nội dung lý thuyết của

phương pháp phần tử rời rạc - DEM Thông qua đó, giúp ta hình dung được nguyên tắc tính toán, xử lý vấn đề của phương pháp

2.1 Vòng lặp tính toán

Quá trình tính toán được thực hiện trong phương pháp phần tử rời rạc DEM thực chất là quá trình luân phiên áp dụng định luật II Newton cho những hạt tròn và định luật quan hệ lực – chuyển vị tại vị trí xảy ra tiếp xúc hoặc tương tác Định luật II Newton xác định được chuyển động của chất hạt dựa vào lực tác dụng lên nó Quan hệ lực – chuyển vị được sử dụng để xác định được lực tương tác ngay tại vị trí tiếp xúc

Sự biến dạng của từng chất hạt rất bé so với biến dạng của một khối hạt Các biến dạng chủ yếu là do dịch chuyển của các phần tử Vì thế biến dạng của bản thân phần

tử hạt không cần thiết đưa vào trong mô hình tính toán vẫn có thể đạt được kết quả gần đúng đảm bảo, nên giả thiết bỏ qua biến dạng của từng phần tử Thay vào đó, có thể

sử dụng độ chồng chập u (overlap) tại những điểm tiếp xúc giữa những chất hạt Độ chồng chập u sẽ thể hiện biến dạng của từng phần tử hạt tại điểm tiếp xúc Độ lớn của phần chồng chập u sẽ thể hiện độ lớn lực tương tác của các phần tử hạt Cần lưu ý

rằng, độ lớn của vùng chồng chập u là nhỏ với kích thước hạt Những lập luận trên

dẫn đến giả thuyết hạt, phần tử hạt trong DEM là tuyệt đối cứng (ngoại trừ các hạt Cluster được tạo ra) Giả thuyết trên giúp tăng tính hiệu quả trong quá trình tính toán, giảm tiêu tốn tài nguyên

Để diễn tả, lực và chuyển vị được xác định như thế nào trong suốt quá trình tính

toán, như trường hợp hình 1 Hai hạt tròn có khối lượng bé, kí hiệu là x và y, được đặt

vào trong 2 biên cứng Hai biên cứng dịch chuyển hướng về nhau với một vận tốc

không đổi là v Tại thời điểm t = t0, biên cứng và các hạt đang chỉ chạm nhau và không

có lực tương tác Tại thời điểm Δt sau đó, biên cứng sẽ dịch chuyển vào trong được

một đoạn vΔt Với giả thiết ban đầu là hai phần tử hạt không có sự dịch chuyển trượt

lên nhau, để sau đó hai phần tử sẽ xâm nhập vào nhau tại thời điểm t = t0 + Δt tại các

tương tác vị trí A và C (hình 1b) và có độ lớn   n v t

Các điểm A(D) và A(w) (hình 1b) lần lượt là các điểm của phần tử hạt và biên Nằm

trên đường thẳng vuông góc với biên và đi qua trọng tâm của hạt tròn Tương tác tại A được định nghĩa là điểm giữa hai điểm A(D) và A(w) Chuyển vị tương ứng (Δn(A))t1 tại

vị trí tương tác được định nghĩa là chuyển vị của điểm A(w) do điểm A(D) xảy ra trong

suốt khoảng thời gian Δt Chỉ số dưới t1 liên quan đến thời điểm

Hình 1 – Mô hình tương tác giữa hạt – hạt, biên – hạt

Chuyển vị tương ứng xảy ra tại hai điểm tiếp xúc A và C tại thời điểm t 1 = t 0 + Δt (hình 1b) được sử dụng cho việc tính toán lực tương tác Độ lớn biến thiên của lực

tuong tác pháp tuyến được tính như sau:

 1 1

F k A k v t

Với k n là độ cứng tiếp tuyến, và ΔF n là độ tăng của lực pháp tuyến

Hướng trục 1 được định nghĩa là chiều từ hạt x sang y (hình 1b), tổng của F(x)1 và

F(y)1 tương ứng với hạt x và y tại thời điểm t1 = t 0 + Δt, lấy giá trị F(x)1 và F(y)1 theo chiều của trục 1:

F (x)1 = k n (Δ n ) r1 , F (y)1 = - k n (Δ n ) r1 , (2) Những thành phần lực trên được sử dụng để tìm ra gia tốc qua việc sử dụng định luật II Newton:

Với n A , n B , n C mang dấu dương khi có chiều hướng vào

Vòng tính được lặp đi lặp lại: Lực tương ứng với chuyển vị được tính dựa trên quan hệ giữa lực – chuyển vị, công thức (2), và tổng các lực của 2 phần tử hạt lại được thay vào định luật II Newton, công thức số (3), để tính ra chuyển vị Đây là nguyên tắc cơ bản nhất trong tính toán DEM

Thí dụ đơn giản trên được dùng để mô tả vòng tính thông qua việc vận dụng quan

hệ lực – chuyển vị và định luật về chuyển động Trong các trường hợp có nhiều phần

tử hạt, mối quan hệ lực – chuyển vị được áp dụng tại mỗi điểm tiếp xúc của các hạt và véc tơ vận tốc tổng của hạt được xác định từ trường tác dụng của các lực tương tác dụng lên hạt Khi quá trình trên được hoàn thành cho từng hạt, thành phần gia tốc lại được tiếp tục tính toán cho từng hạt từ định luật II Newton Các định luật và công thức được áp dụng tính toán được trình bày cụ thể trong các phần sau

2.2 Mối quan hệ lực – chuyển vị

Tương quan giữa lực – chuyển vị được trình bày trong trường hợp tiếp xúc của 2

phần tử hạt, hạt x và hạt y trong hình 2 Hạt x có tọa độ (x 1 , x 2 ), hạt y có tọa độ (y 1 , y 2) Các thành phần véc tơ vận tốc của hạt x là x i x x1, 2, hạt y là y i y y1, 2 và thành phần gia tốc góc là x i x x1, 2,y i y y1, 2, vận tốc góc 𝜃𝑥̇ và 𝜃𝑦̇ có chiều dương khi

quay ngược chiều kim đồng hồ Hạt x và y có bán kính R A và R B , khối lượng là m (x)và

m (y) Hai điểm P (x) và P (y) được xác định như là điểm tiếp xúc giữa giữa phần giau nhau

trên đường nối tâm và đường biên hạt x và y

Hình 2 – Mối quan hệ lực – chuyển vị

Hai hạt chỉ được xem là tiếp xúc khi khoản cách D giữa hai tâm nhỏ hơn tổng hai

bán kính:

 x  y

Nếu điều kiện trên thõa, chuyển vị tương ứng tại điểm tiếp xúc C được xác định bằng tích phân của vận tốc tương ứng Vận tốc tương ứng tại điểm tiếp xúc được định

nghĩa là vận tốc của điểm P (x) với điểm P (y). Vector đơn vị e i = (cos α, sin α) (hình 2)

được xác định có hướng từ tâm hạt x qua tâm hạt y:

Với k n và k s là độ cứng pháp tuyến và độ cứng tiếp tuyến

Cuối cùng, tại mỗi bước tính, độ gia lực pháp tuyến và lực tiếp tuyến ΔF n và ΔF s được thêm vào tổng của từng thành phần lực, F n và F s đã được xác định từ các phần trước:   n n 1 n;   s s 1 s

giá trị (F s ) max , thì (F s ) N =(F s ) max, giữ nguyên dấu từ công thức (18)

Khi lực pháp tuyến và lực tiếp tuyến đã được xác định tại mỗi tương tác của 1 phần

tử hạt, lấy ví dụ với hạt x, các thành phần đó sẽ được tính toán lại thành các thành phần

lực theo phương 1 và 2 Tổng của từng thành phần lực tương tác cho kết quả lại thành phần tổng lực theo phương 1 và 2:  

Với I (x) là môment quán tính của hạt x Lấy x x & là hằng số trong suốt khoảng  x

thời gian tính toán Δt, hai công thức (20) và (21) dẫn đến biểu thức khai triển cho vận tốc như sau:

Giá trị mới của các loại gia tốc cũng có thể được sử dụng để xác định vị trí mới và góc xoay của mỗi phần tử hạt bằng các tích phân thêm một lần nữa:

Các phương trình sai phần (22), (22a), (23), (23a) theo biến là thời gian Lực khối,

như là trọng lực, có thể thêm vào trong trường hợp cần thiết Trong trường hợp m (x) g i

được thêm thêm vào giá trị lực tổng ∑ 𝐹(𝑥)𝑖 trong biểu thức (22), với gi = (g1, g2) thể hiện hai thành phần véc tơ gia tốc trọng trường của lực khối

2.4 Hiện tượng tắt dần tắt dần

Quá trình tắt dần do lực ma sát xảy ra trong suốt qua trình trượt lên nhau khi mà

giá trị tuyệt đối của lực tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc bằng với giá trị (F s ) max.

Thông thường các thuật toán DEM gồm hai dạng của sự tắt dần do nhớt, được gọi

là sự tắt dần cục bộ tiếp xúc (contact damping) và sự tắt dần toàn cục (global

damping) Tắt dần tiếp xúc xuất hiện trên vân tốc tương ứng tại mỗi tương tác và có thể được hình dung như là kết quả của quá trình giảm xóc (dashpots acting) theo từng hướng pháp tuyến và tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc Sự tắt dần do nhớt theo phương tiếp tuyến không được áp dụng khi có sự trượt lên nhau Trong trường hợp đó chỉ có sự tắt dần do ma sát được xét đến

Hệ số xét đến ảnh hưởng của hiện tượng tắt dần do nhớt theo phương tiếp tuyến và

pháp tuyến được gọi là c s và c n Nếu hiện tượng “contact damping” được kể đến, lực tắt dần – lực hãm (damping force) phải được thêm vào lực tổng tại công thức thứ (22)

Với D xilà tổng các thành phần của lực tắt dần tiếp xúc (contact damping force), và

Hệ số c n và c s được lấy tỉ lệ với hệ số độ cứng kn và ks theo hằng số β

Hiện tượng tắt dần toàn cục xuất hiện trên giá trị vận tốc tuyệt đối của phần tử hạt

và được xét đến trong quá trình tính toán chuyển động

Nếu lực tắt dần toàn cục (Global damping) được kể đến, thì phương trình chuyển động (20) và (21) trở thành (29) và (30)

Sự tiêu tán năng lượng trong mô hình DEM ban đầu chỉ được thông qua hiện tượng

ma sát, sự tắt dần cục bộ hoặc toàn cục Cần sử dụng hiện tượng tắt dần ngoài hiện tượng ma sát để làm cho khối hạt đạt tới trạng thái cân bằng trong mọi điều kiện Nếu không xét đến quá trình tắt dần cục bộ cũng như toàn cục, khối hạt sẽ không đạt tới

trạng thái cân bằng chính xác Trong thực tế, sự sai lệch của quá trình cần bằng có thể xảy ra nhỏ như mong muốn bằng cách giảm tỉ lệ lực tác động Đáng lưu ý rằng, định luật quan hệ giữa lực – chuyển vị (tuyến tính) được đề cập tới phần trên không phải là đặc tính của phương pháp Các định luật quan hệ lực – chuyển vị không tuyến tính khác, như định luật tương tác Herzian, sẽ giúp quá trình mô phỏng chính xác hơn Quá trình số hóa của DEM sẽ đạt trạng thái cân bằng chỉ khi bước thời gian Δt được lấy đủ nhỏ so với khoảng giới hạn của bước thời gian Giá trị ước tính giới hạn của Δt thường được xác định bởi các chương trình tính toán

2.5 Dữ liệu đầu vào của DEM

Các thông số được đưa vào quá trình mô phỏng dựa trên lí thuyết DEM có thể được chia thành hai nhóm Nhóm thứ nhất bao gồm các giá trị hình học và nhóm còn lại thể hiện các giá trị thuộc tính vật lý

Nhóm thứ nhất diễn tả:

- Vị trí, hướng của các biên mô hình học

- Vị trí, bán kính của phần tử hạt so với hệ tọa độ toàn cục (1, 2)

Nhóm thứ hai diễn tả các thông số vật lí của hạt, biên, … Những đại lượng này thể hiện đặc trưng ứng xử của mẫu vật liệu trong thí nghiệm Để xác định giá trị thuộc tính này, cần tiến hành nhiều thí nghiệm kiểm chứng với mô hình thực Sau đó hiệu chỉnh dần Có thể nói công việc này thật sự tiêu tốn khá nhiều thời gian Nhưng sau khi đã tiến hành thành công, áp dụng ngược lại vào bài toán mô phỏng, thì nó lại giúp giảm khối lượng công việc thí nghiệm thật đi rất nhiều

2.6 Điều kiện biên

2.6.1 Tổng quan

Trong mô hình mô phỏng số liên tục, việc chọn điều kiện biên đóng một vai trò quan trọng thì nó cũng đóng vai trò quan trọng không kém Vấn đề quyết định trong việc tạo một mô hình mô phỏng số bằng phương pháp DEM là việc xác định miền

không gian sẽ mô phỏng Sau đó, điều kiện biên miền không gian đó sẽ được mô tả

Việc lựa chọn điều kiện biên sẽ ảnh hưởng rất lớn đến quá trình mô phỏng bài toán

Trong mô phỏng bằng DEM, việc áp dụng điều kiện biên chuyển vị được thông qua việc cố định hay xác định tọa độ của một số chất hạt được lựa chọn Tương tự, biên lực có thể được ứng dụng bằng cách khai báo lực cho một số chất hạt được lựa chọn Nếu biên lực được áp dụng, lực được thêm vào lực tương tác tác động lên chất hạt và hợp lực sau đó được sử dụng để tính gia tốc, và độ gia tăng chuyển vị Tuy nhiên, điều kiên biên lực không dễ để sử dụng trực tiếp với những mẫu thí nghiệm gồm hàng ngàn chất hạt, mà còn phải phân tích lực trên những chất hạt được lựa chọn

Trên tinh thần lí thuyết của DEM đưa ra 4 loại điều kiện biên, bao gồm hai nhóm chính là biên lực và biên cứng, do việc nghiên cứu các loại biên lực khá phực tạp và đòi hỏi kiểm chứng, nên trong phạm vi luận văn này chỉ tập trung vào biên cứng (rigid wall)

2.6.2 Biên cứng

Đây là loại điều kiên biên được sử dụng rộng rãi nhất trong các mô hình mô phỏng

sử dụng phương pháp DEM Điều kiên biên cứng chỉ đơn giản là khai báo biên dạng hình học cho biên, có thể là mặt phẳng hay mặt cong Bản thân loại biên này không có quán tính Lực tương tác giữa biên – hạt được chỉ sử dụng để cập nhật lại vị trí chất hạt Trong khi lực tương tác tác động lên biên không làm ảnh hưởng tới chuyển động của biên Có thể kiểm soát chuyển động của biên cứng thông qua điều chỉnh trực tiếp vận tốc của biên Bên cạnh đó, có thể điều chỉnh vận tốc của biên một cách gián tiếp thông qua cơ chế thuận nghịch, kiểm soát thông qua điều kiện áp lực Trong trường hợp này, khi biên cứng di chuyển, biến dạng và lực được áp dụng lên kết cấu hạt thông qua lực tương tác giữa hạt – biên Trong một mô hình DEM điển hình, tương tác không được đề cập đến khi xảy ra va chạm hoặc giao nhau giữa các biên

Thông thường, để định nghĩa biên cứng, một điểm cố định P có tọa độ

 w i   w i1,  w i2

x  x x (hình 4) và véc tơ đơn vị e i  (cos, sin) Biên cứng tỉ lệ với

đường thẳng qua điểm P và có hướng là véc tơ e i Nhân vô hướng e i , h (1) và h (2) để xác

định điểm đầu và cuối A, B của biên có tọa độ lần lượt là

 A i  w i ( ) 1 i,  B i  w i (2 ) i.

Trạng thái của điều kiện biên được kiểm soát theo chuyển vị Chuyển động của biên được đặc trung hơn là lực tác dụng vào nó Dịch chuyển của biên cứng được định nghĩa là vận tốc của điểm P, x w i  x w i1, x w i2 và vận tốc góc của biên xung quanh điểm P,  Để định nghĩa một chất hạt, chỉ cần xác định vị trí tâm và bán kính hạt

2.7 Nhận xét

Nội dung Chương 2 đã giới thiệu khái quát các nội dung cơ sở lí thuyết của Phương pháp phần tử rời rạc Dựa trên nhưng nội dung đã trình bày, các thuật toán sẽ được phát triển để phù hợp hơn cho các bài toán mô phỏng ngày càng yêu cầu tính chính xác

THUẬT TOÁN DÒNG HẠT (PARTICLES FLOW CODE – PFC)

Lý thuyết tính toán trường vật liệu rời DEM ra đời, tiếp theo sau đó là các thuật toán chuẩn hóa và cung cấp thêm các tiện ích hỗ trợ quá trình mô phỏng tiếp tục ra đời dưới dạng mô hình nên, chương trình tính toán được viết trên các nền ngôn ngữ như FORTRAN, C, C# Nội dung chương này tập trung giới thiệu về thuật toán dòng hạt cũng là nền tảng chính cho chương trình mô phỏng PFC2d Những nét chính, phần hiệu chỉnh so với lý thuyết DEM

3.1 Giới thiệu thuật toán dòng hạt (Particles Flow Code –PFC)

Được phát triển trên nền tảng lý thuyết Phương pháp phần tử rời rạc – DEM và nền ngôn ngữ lập trình FORTRAN, C PFC giúp mô hình hóa các bài toán không liên tục thông qua việc cung cấp các nền tảng tính toán tiện ích có sẵn [12]

PFC mô phỏng mô hình các khối hạt bằng một tập hợp các các hạt tròn tuyệt đối cứng và biên cứng (Wall) Phần tử biên sử dụng như là điều kiện biên cho bài toán và

mô tả hình dáng các thiết bị trong thí nghiệm Các hạt cứng có thể tương tác với nhau hoặc với biên cứng tại điểm tiếp xúc [12]

3.2 Vòng lặp tính toán trong PFC

Quá trình tính toán trong PFC cũng là quá trình tính toán tuần tự theo từng bước, bao gồm việc lặp đi lặp lại các định luật chuyển động lên mỗi phần tử, định luật lực – chuyển vị cho từng vị trí xảy ra tương tác, và cập nhật lại vị trí của biên Tương tác, có thể tồn tại giữa hai phần tử hoặc giữa hạt và biên, được hình thành và phá vỡ hoàn toàn

tự động trong suốt quá trình mô phỏng

Tại thời điểm bắt đầu của từng bước thời gian, các giá trị của tương tác cập nhật cho các hạt và biên Mối quan hệ lực – chuyển vị sẽ được áp dụng tại mỗi tương tác để tính toán lại lực tương tác dựa trên chuyển động tương ứng giữa hai cá thể tham gia tương tác và các đặc trưng chính của loại mô hình tương tác (Tham khảo phần sau) Tiếp theo, các định luật về chuyển động lại được áp dụng trên mỗi phần tử để tiếp tục

tính toàn lại vận tốc, vị trí dựa trên các thành phần lực và momen tại tương tác đã được cập nhật trong bước trước Tương tự, vị trí của biên cũng được thay đổi dựa trên vận tốc đặc trưng ban đầu

Hình 5 – Lưu đồ tính toán trong PFC

Tham khảo thêm mục 2.1

3.3 Mối quan hệ Lực – chuyển vị trong PFC

Nội dung trình bày trên đây có cơ sở từ mục 2.2, nhưng có những phần mới dành riêng cho nội dung lý thuyết của PFC

Mối quan hệ Lực – chuyển vị áp dụng tại mỗi tương tác, có thể được đặc trưng qua điểm  C

i

x , nằm trên mặt phẳng tương tác được xác định với pháp véc tơ, n i Với

trường hợp tương tác giữa hạt – hạt, pháp véc tơ có hướng dọc theo đường nối tâm giữa hai phần tử Với trường hợp tương tác giữa hạt – biên, pháp véc tơ có phương theo đường thẳng ngắn nhất từ tâm tới biên

Định luật quan hệ Lực – chuyển vị được định nghĩa cho cả hai trường hợp tương tác giữa hat – hạt, hạt – biên Trong cả hai trường hợp trên, Un kí hiệu cho độ chồng chập

PT chuyển

động

Quan hệ lực – chuyển vị

Cập nhật vị trí của phần tử hạt & vị trí biên cứng

Lực tương tác

Hình 6 – Tương tác giữa hạt – hạt, hạt - biên

3.4 Định luật về chuyển động

Chuyển động của từng phần tử hạt được xác định bởi lực và momen tác động và có thể được diễn tả dưới dạng chuyển động tịnh tiến của một điểm và chuyển động xoay của chất hạt Chuyển động tịnh tiến của tâm khối lượng được diễn tả dưới dạng vị trí của nó, x , vận tốc, i x và gia tốc, i x ; Chuyển động xoay của chất hạt được diễn tả i

dưới dạng góc xoay, vận tốc góc và gia tốc góc

Phương trình chuyển động được khai triển ra hai phương trình véc tơ: phương trình quan hệ giữa lực và chuyển động tịnh tiến, phương trình quan hệ giữa momen và chuyển động quay

Với M là momen tổng tác động lên chất hạt và i H góc xoay của phần tử Phương i

trình quan hệ trên được chiếu lên hệ tọa độ địa phương tại khối tâm chất hạt Nếu hệ tọa độ địa phương được định hướng như nằm trên trục quán tính chính của phần tử, thì phương trình trên được khai triển:

1 1 1 3 2 3 2