[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
a) (1,0 điểm)
Khi m=1, ta có: y=x3−3x2+3
• Tập xác định: D= \
• Sự biến thiên:
− Chiều biến thiên: y' 3= x2−6 ;x ' 0y = ⇔ x= hoặc 0 x= 2
0,25
Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) và (2;+ ∞ , khoảng nghịch biến: ) (0; 2)
− Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = y0, CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = y2, CT = −1
− Giới hạn: lim và
− Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
b) (1,0 điểm)
2
' 3 6 ;
y = x − mx ' 0 ⇔ y = x=0 hoặc x=2 m
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi m≠ (*) 0 0,25 Các điểm cực trị của đồ thị làA(0; 3m3) và B(2 ;m −m3)
Suy ra OA=3 |m3| và d B OA( , ( )) 2 | | = m 0,25
48
OAB
1
(2,0 điểm)
O
2
3
−1
x
y
+∞
–1
3
−∞
y
'
y + 0 – 0 +
x −∞ 0 2 +∞
Trang 2Phương trình đã cho tương đương với: cos 2x+ 3 sin 2x=cosx− 3 sinx 0,25
cos 2 cos
2
(1,0 điểm)
3
x= +k hoặc 2π ( )
3
Điều kiện: 0≤ ≤ −x 2 3 hoặc x≥ + 3 (*) 2
Nhận xét: x=0là nghiệm của bất phương trình đã cho
Với x>0,bất phương trình đã cho tương đương với: x 1 x 1 4 3
x x
+ + + − ≥ (1)
0,25
Đặt t x 1 (2),
x
= + bất phương trình (1) trở thành t2− ≥ −6 3 t
6 (3 )
t t
− <
⎡
⎢ − ≥
⇔ ⎧
⎢⎨
⎢ − ≥ −
⎣⎩
0,25
5 2
t
⇔ ≥ Thay vào (2) ta được 1 5 2
2
x
2
3
(1,0 điểm)
1 0 4
x
⇔ < ≤ hoặc Kết hợp (*) và nghiệm x ≥4 x= ta được tập nghiệm của bất phương 0,
trình đã cho là: 1
0; [4; )
4
⎡ ⎤ ∪ +∞
⎢ ⎥
⎣ ⎦
0,25
Đặt t x suy ra = 2, dt=2xdx Với x= thì 0 t= với 0; x= thì 1.1 t= 0,25
Khi đó
2 ( 1)( 2) 2 (
I
1)( 2)
0 0
d ln| 2| ln| 1|
4
(1,0 điểm)
= ln3 3ln2
2
Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC Ta có
AB⊥CD và AB⊥SO nên AB⊥(SCD), do đó AB⊥SC 0,25 Mặt khác SC⊥AH, suy ra S C⊥(ABH) 0,25
3
a
SO= SC −OC =
4
SO CD a DH
SC
= = Suy ra
2
ABH
a
S∆ = AB DH= 1
0,25
5
(1,0 điểm)
4
a
SH SC HC SC= − = − CD −DH =
a
11 6
H S∆
0,25
O
D
B
A
H
C
S
Trang 3Với và x+ + =y z 0 x2+y2+z2=1, ta có:
0 (= + +x y z) = + + +x y z 2 (x y z+ +) 2yz= −1 2x +2 ,yz nên 2 1.
2
yz x= − Mặt khác
,
suy ra:
2
,
x
0,25
Khi đó: P = x5+(y2+z2)(y3+z3)−y z2 2(y+ z)
2
x + −x ⎡⎣ y +z y z+ −yz y z+ ⎤⎦+ x − x
x + −x ⎡−x −x +x x − ⎤+ x −
4 x − x
0,25
Xét hàm f x( ) 2= x3− x trên 6; 6
−
⎣ ⎦ suy ra
2
'( ) 6 1;
6
f x = ⇔ = ±x
9 ,
6
9 Do đó
6
9
f x ≤
Suy ra 5 6
36
P≤
0,25
6
(1,0 điểm)
Khi 6,
x= y z= =− 6 thì dấu bằng xảy ra Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 6
(C1) có tâm là gốc tọa độ O Gọi I là tâm của đường tròn (C)
cần viết phương trình, ta có A B⊥OI Mà AB⊥d và
O ∉ nên OI//d, do đó OI có phương trình y = x d 0,25
Mặt khác I∈(C ,2) nên tọa độ của I thỏa mãn hệ:
3 (3;3)
3
12 18 0
I y
=
⎨ + − + = ⎨ =⎩
⎪⎩
0,25
Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R d I d= ( , ) 2 2.= 0,25
7.a
(1,0 điểm)
Vậy phương trình của (C) là (x−3)2+(y−3)2 = 8 0,25
Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S)
Do I d∈ nên tọa độ của điểm I có dạng I(1 2 ; ; 2 ).+ t t − t 0,25
Do A B, ∈( )S nên AI BI= , suy ra (2 1)t− + − +2 ( 1)t 2 4t2=(2 3)t+ 2+ −( 3)t 2+(2 2)t+ 2⇒ =− t 1 0,25
Do đó I( 1; 1; 2)− − và bán kính mặt cầu là IA= 17 0,25
8.a
(1,0 điểm)
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là (x+1)2+(y+1)2+ −(z 2)2 = 17 0,25
Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là C254 =12650 0,25
Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là 1 3 2 2 3 1
15 10 15 10 15 10
9.a
(1,0 điểm)
Xác suất cần tính là 11075 443.
12650 506
B
(C2)
(C)
(C1)
Trang 4Giả sử ( ):E x22 y22 1(a 0).
b
+ = > > Hình thoi ABCD có
2
AC= BD và A, B, C, D thuộc (E) suy ra OA=2OB
0,25
Không mất tính tổng quát, ta có thể xem A a( ;0) và
( )0; 2
a
B Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB, suy ra OH là bán kính của đường tròn ( ) C :x2+y2=4
0,25
Ta có: 1 12 12 12 12 4
7.b
(1,0 điểm)
Suy ra a2=20, do đó b2=5. Vậy phương trình chính tắc của (E) là 2 2 1
20 5
Do ,B∈Ox C∈Oy nên tọa độ của B và C có dạng: B b( ; 0; 0) và C(0; ; 0).c 0,25 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G( ); ; 1
3 3
b c
0,25
Ta có JJJJGAM=(1;2; 3)− nên đường thẳng AM có phương trình 3
x= =y z−
−
Do G thuộc đường thẳng AM nên 2.
b = =c −
− Suy ra b= và 2 c= 4.
0,25
8.b
(1,0 điểm)
Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là 1,
x+ + = nghĩa là y z ( ) : 6P x+3y+4z−12 0.= 0,25
Phương trình bậc hai z2−2 3i z− = có biệt thức 4 0 ∆ = 4 0,25
Suy ra phương trình có hai nghiệm: z1= +1 3i và z2= − +1 3i 0,25
• Dạng lượng giác của z1 là 1 π π
2 cos sin
9.b
(1,0 điểm)
• Dạng lượng giác của z2 là 2 2π 2π
2 cos sin
O
H
x
y
D
A
B
C
- HẾT -