Ứng dụng phương pháp monte carlo giải một số phương trình vi phân

Phương pháp đề xuất được cụ thể hóaqua các nội dung về mô phỏng Monte Carlo; một số ví dụ về phương phápnày; ứng dụng phương pháp trong việc giải phương trình vi phân thường vàđặc biệt l

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Trang 2

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Tô Anh Dũng.

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Lê Xuân Đại.

2 Thư ký: TS Đặng Văn Vinh.

3 Phản biện 1: TS Lê Xuân Đại.

4 Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Bích Huy.

5 Ủy viên: TS Đậu Thế Phiệt.

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

ỨNG DỤNG

Trang 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: CAO THỊ BÉ OANH MSHV: 7140851

Ngày, tháng, năm sinh: 03/04/1982 Nơi sinh: Huyện Giồng Trôm, tỉnh Bến Tre

Tổng quan một số kết quả nghiên cứu mới có liên quan về ứng dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo của các nhà khoa học

- Nội dung : được tổ chức như sau

Phần mở đầu

Chương 1 : Những kiến thức cơ bản

Chương 2 : giải các phương trình vi phân thường bằng phương pháp Monte Carlo Phần kết luận

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 11/01/2016

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 17/6/2016

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS Tô Anh Dũng

Tp HCM, ngày 15 tháng 6 năm 2016

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Tô Anh Dũng,

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn và tạođiều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong khoa Khoa học ứng dụng,đặc biệt là Bộ môn Toán Ứng dụng đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quýbáu trong suốt quá trình học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đãcho tôi những đóng góp quý báu để hoàn chỉnh luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể phòng Tổ chức – Hànhchính Trường Đại học Kỹ thuật – Công nghệ Cần Thơ, đặc biệt xin chân thànhcảm ơn Cô Nguyễn Thị Xuân Thu đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trongquá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 6 năm 2016

Cao Thị Bé Oanh

Trang 5

Trong nghiên cứu này, tác giả đề xuất phương pháp Monte Carlo để ứngdụng giải phương trình vi phân thường Phương pháp đề xuất được cụ thể hóaqua các nội dung về mô phỏng Monte Carlo; một số ví dụ về phương phápnày; ứng dụng phương pháp trong việc giải phương trình vi phân thường vàđặc biệt là tổng hợp kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học có liên quan.

Đây là phương pháp mang lại hiệu quả cao về mặt kinh tế cũng như tiếtkiệm được nhiều thời gian, công sức cho các nhà nghiên cứu nhằm giải quyếtbài toán phương trình vi phân thường trong ứng dụng thực tế

Trang 6

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trìnhkhác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này

là do chính tôi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này đượcnộp để lấy một bằng cấp của trường khác

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 6 năm 2016

Cao Thị Bé Oanh

Trang 7

Mục lục

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên [5] 1

1.1.1 Kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên 2

1.1.2 Bất đẳng thức Tchebyshev 3

1.1.3 Luật số lớn 3

1.2 Xích Markov 4

1.3 Phương trình tích phân Volterra 4

1.3.1 Giải phương trình Volterra loại hai 5

1.3.2 Khái niệm tích vô hướng 5

1.4 Phương trình vi phân thường [4] 6

1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một [4] 6

1.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai [4] 7

1.4.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach 8

2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 10 2.1 Mô phỏng 10

2.1.1 Khái niệm mô phỏng 10

2.1.2 Vai trò của phương pháp mô phỏng và các bước thực hiện 10 2.2 Mô phỏng Monte Carlo 11

2.2.1 Giới thiệu mô phỏng Monte Carlo 11

2.2.2 Các nội dung của mô phỏng Monte Carlo 12

2.2.3 Các phương pháp tạo ra số ngẫu nhiên 13

2.2.4 Thể hiện đại lượng ngẫu nhiên 17

2.2.5 Một số ví dụ đơn giản 23

2.3 Mô hình Neuman – Ulam [1] 26

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 43

2.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 45

2.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 48

3 ỨNG DỤNG 56 3.1 Phương trình vi phân thường [6] 56

Trang 8

MỤC LỤC

3.2 Hệ 2 phương trình vi phân thường hàm hiện (Explicit Coupled

ODEs) [1] 57

3.3 Phương trình vi phân ẩn hàm[6] 58

3.3.1 Giải thuật dựa trên phương pháp Monte Carlo 58

3.3.2 Phương trình vi phân hàm ẩn đơn biến 59

3.3.3 Hệ hai phương trình vi phân bậc nhất 62

3.3.4 Phương trình hàm ẩn bậc 2 63

3.3.5 Hệ phương trình vi phân 3 ẩn bậc nhất 64

3.3.6 Hệ thống thực tế 65

Trang 9

Danh sách hình vẽ

2.1 Đổi hệ trục tọa độ (x;y)→ (ξ;η) 242.2 Miền D → D1 263.1 So sánh kết quả giữa mô phỏng số và kết quả thực của phương

trình (2.84) 603.2 So sánh sai lệch giá trị giữa phương pháp đề xuất và phương

pháp RK4 613.3 So sánh kết quả chính xác và kết quả mô phỏng số của phương

trình (3.14) 623.4 So sánh kết quả giải tích và kết quả mô phỏng số của phương

trình (3.16) và (3.17) 633.5 So sánh kết quả giải tích và kết quả mô phỏng số của phương

trình (3.20) 643.6 So sánh kết quả chính xác và kết quả mô phỏng số của phương

trình (3.22) 653.7 So sánh các kết quả mô phỏng số của lời giải phương trình (3.24) 66

Trang 10

Danh sách bảng

2.1 Bảng 80 chữ số ngẫu nhiên với 5 chữ số thập phân 16

3.1 Kết quả giải phương trình (3.3) 58

3.2 Kết quả giải phương trình (3.10 ) 60

3.5 Kết quả giải phương trình (3.16) và (3.17) 63

Trang 11

BẢNG KÝ HIỆU

Trang 12

PHẦN MỞ ĐẦU

Giới thiệu đề tài

Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vựckhác nhau như kỹ thuật, vật lý, hay kinh tế Phương trình vi phân thôngthường là phương trình vi phân trong đó có chứa hàm phải tìm là hàm mộtbiến Các phương pháp truyền thống đã được sử dụng để giải phương trình viphân thông thường với giá trị khởi tạo ban đầu gồm có: Phương pháp Euler,phương pháp Euler ngược, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước

và phương pháp đa giá trị Các phương pháp trên có thể dẫn đến sự khác nhautrong đáp án của bài toán, tuy nhiên, tất cả đều dựa trên các lý thuyết toánhọc cổ điển

Trong các ứng dụng thực tế, người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tạicác giá trị cụ thể của các biến độc lập hoặc có những ứng dụng mà ngay cả giátrị thực cũng khó có thể tìm ra bằng phương pháp phân tích, tính toán thôngthường mặc dù đã có hầu hết các dữ liệu cần thiết Vì vậy, việc tìm ra côngthức của hàm đôi khi còn gặp nhiều khó khăn Lúc này, việc tìm đến giá trị xấp

xỉ (có giới hạn nhất định về độ chính xác) với giá trị chính xác được quan tâm

John von Neumann và Stanislaw Ulam (hai nhà toán học người Mỹ) đã

đề xuất một mô hình thử nghiệm trên máy tính Sau đó, họ đặt tên phươngpháp này là phương pháp mô phỏng Monte Carlo Tuy nhiên, phương phápnày thật sự tỏ ra hữu hiệu và được phát triển mạnh mẽ khi chiếc máy tínhđiện tử đầu tiên ra đời (năm 1945) trong những dự án Mahattan hoặc nghiêncứu bom Hydrogen ở Los Alamos, và đến nay nó đã và đang đóng góp rấtlớn trong nhiều lĩnh vực, mang lại hiệu quả kinh tế cao và tiết kiệm được nhiềuthời gian, công sức và chi phí cho các nhà nghiên cứu

Trên cơ sở đó, tác giả quyết định chọn đề tài “Ứng dụng phương phápMonte Carlo giải bài toán phương trình vi phân” nhằm tìm hiểu rõ hơn về nộidung phương pháp đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực và cụ thể trongluận văn này là áp dụng giải phương trình vi phân thường

Trong quá trình thực hiện luận văn này, chúng tôi cũng nghiên cứu thêm

Trang 13

• Ý tưởng đề xuất bởi Rob Scheichl và Tony Shardlow [8], bài báo áp dụngmột số thủ thuật từ việc giải quyết phương trình vi phân tất định nhằm cảithiện hiệu quả phương pháp Monte Carlo đa mức trên phương trình vi phânngẫu nhiên và đặc biệt là phương trình Langevin Các tác giả hiệu chỉnh cácphương trình cơ bản thông thường qua đó loại bỏ yêu cầu về việc ước lượngchính xác đối với các lý thuyết liên quan đến việc tính giá trị tích phân, và sau

đó cách tiếp cận này được áp dụng cho phương pháp Monte Carlo đa mức trênphương trình Langevin với kỹ thuật tích phân tách toán tử Nghiên cứu cũngđánh giá hiệu quả của kỹ thuật ước lượng yếu cho phương trình vi phân ngẫunhiên dựa trên việc kết hợp phương pháp Monte Carlo với phép toán ngoạisuy trong bài toán xét đến khả năng sử dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc vớiảnh hưởng của nhiễu Gaussian Theo đó, các trường hợp mô phỏng khác nhaucũng được nghiên cứu đề cập nhằm minh hoạ cho tính hiệu quả của cách tiếpcận đề xuất

• Ý tưởng Vidal-Codina, F., et al [9]: trong nghiên cứu này, các tác giảtrình bày một kỹ thuật nội suy dựa trên kinh nghiệm thực tế cũng như phươngpháp làm giảm độ sai lệch của mô hình nhằm tìm ra lời giải nhanh và chínhxác cho bài toán phương trình vi phân elliptic tham số ngẫu nhiên bán phần.Phương pháp đề xuất bao gồm ba thành phần chính: (1) phương pháp xấp xỉgiá trị đầu ra với kỹ thuật rời rạc hoá HDG; (2) kỹ thuật nội suy offline-onlinenhằm tách sự ảnh hưởng của quá trình tham số hoá và sự ngẫu nhiên củabài toán; (3) phương pháp giảm độ sai lệch của mô hình nhằm tận dụng mốitương quan giữa hai kỹ thuật xấp xỉ độ chính xác và kỹ thuật rời rạc xấp xỉHDG với độ chính xác cao, qua đó cải thiện tốc độ hội tụ của phương phápMonte Carlo Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng đề xuất phát triển bộ ước lượnggiá trị của lời giải sau khi được xấp xỉ Dựa trên các bộ ước lượng này, các tácgiả xây dựng giải thuật nhằm đưa ra quyết định lựa chọn tối ưu cho số chiềucủa phép toán ước lượng cũng như số lượng mẫu cần thiết cho phương phápMonte Carlo Theo đó, các trường hợp mô phỏng khác nhau cũng được nghiêncứu đề cập nhằm minh hoạ cho tính hiệu quả của cách tiếp cận đề xuất

• Ý tưởng của Feng, X I A O B I N G., and C Lorton [10]: trong bàibáo này, các tác giả tập trung phát triển một kỹ thuật nhằm giải quyết bàitoán phương trình vi phân elliptic bán phần, trong đó hệ số khuếch tán có giá

Trang 14

DANH SÁCH BẢNG

trị ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên) Phương pháp được xây dựng chủ yếu dựatrên việc biểu diễn lời giải bài toán dưới nhiều dạng khác nhau thông qua cáctham số, đồng thời phương pháp Monte Carlo cũng được sử dụng nhằm lấymẫu dữ liệu trên miền không gian xác suất Một trong những đặc tính quantrọng nhất của kỹ thuật đề xuất đó là tất cả các phương trình đều có chungmột giá trị của hệ số khuếch tán, theo đó bằng cách giả sử lặp lại ma trậnphân hoạch LU, các hệ thống tuyến tính rời rạc với số phần tử hữu hạn có thểđược giải quyết một cách trực tiếp và hiệu quả Các vấn đề liên quan đến thờigian tính toán hay sai số ước lượng cũng lần lượt đề cập trong nghiên cứu.Ngoài ra, các trường hợp mô phỏng khác nhau cũng được nghiên cứu đề cậpnhằm minh hoạ cho tính hiệu quả của cách tiếp cận đề xuất

Nhận xét: Từ những kết quả nghiên cứu đã đạt được chúng ta thấy rằng,việc ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giải quyết hiệu quả bài toán nóichung và phương trình vi phân thường nói riêng vẫn đang được tiếp tục đềxuất những ý tưởng bởi các nhà khoa học tại thời điểm hiện tại cũng nhưtrong thời gian tới nhằm ngày càng nâng cao hiệu quả cũng như độ chính xáckhi tính toán

Mục tiêu của đề tài

- Tìm hiểu về phương pháp Monte Carlo

- Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giải phương trình vi phân thường

- Tìm hiểu các nghiên cứu liên quan đến phương pháp mô phỏng MonteCarlo

Nội dung thực hiện của đề tài

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên;nội dung phương pháp mô phỏng Monte Carlo, một số ví dụ về phương phápnày; tiếp theo là ứng dụng phương pháp này trong việc giải phương trình viphân thường; tổng hợp kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học có liên quan

Giới hạn đề tài

Tập trung nghiên cứu các phương trình vi phân thường, hệ phương trình

vi phân

Trang 15

DANH SÁCH BẢNG

Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến cácvấn đề cần nghiên cứu trong đề tài và ứng dụng

Cấu trúc luận văn

Luận văn được tổ chức như sau:

Phần mở đầu : Giới thiệu khái quát vấn đề được đề cập trong luận văn;trình bày mục tiêu, nội dung thực hiện, giới hạn của đề tài và phương phápnghiên cứu

Chương 1 : Trình bày ngắn gọn nhất về các khái niệm cơ bản của giảitích ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai [3], phương trình vi phân thường[2], và đặc biệt là phương trình vi phân Volterra được sử dụng nhiều trongchương 2

Chương 2 : Giải phương trình vi phân thường bằng phương pháp MonteCarlo

Trình bày phương pháp mô phỏng Monte Carlo với các nội dung: các bướcthực hiện mô phỏng; các phương pháp mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên; cácphương pháp tạo ra số tựa ngẫu nhiên; thể hiện đại lượng ngẫu nhiên

Trên cơ sở đó, tác giả đã ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giảiphương trình vi phân thường, bao gồm các nội dung: mô hình Neuman –Ulam; bên cạnh việc nêu chi tiết phần chứng minh một số định lý, nêu những

hệ quả, bổ đề phục vụ việc chứng minh; vận dụng vào giải phương trình viphân tuyến tính cấp 1, giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao và giải

hệ phương trình vi phân Đây là nội dung quan trọng của luận văn

Chương 3 : Ứng dụng

Trong chương này, tác giả đã tổng quan một số kết quả mới của các nhàkhoa học về ứng dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để giải phươngtrình vi phân thông qua các nghiên cứu khoa học đã được công bố

Phần kết luận : Dựa trên các kết quả đạt được để kết luận, trình bày ưu

và nhược điểm của phương pháp đề xuất, những đóng góp của đề tài

Trang 16

Chương 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ

BẢN

Chương này trình bày các nội dung sau:

• Định nghĩa, định lý, bổ đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên có liên quanlàm cơ sở để thực hiện luận văn [3], [4]

• Phương trình tích phân Volterra

• Phương trình vi phân thường [2]

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên [5]

Định nghĩa 1.1

Xét không gian xác suất (Ω, D, P), trong đó D là δ - đại số trên Ω và hàmxác suất P : D →[0,1] Ánh xạ X : Ω → R được gọi là một đại lượng ngẫunhiên hay biến ngẫu nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến thiên nhận giá trị số phụ thuộcvào kết quả của phép thử ngẫu nhiên (một quy tắc đặt tương ứng mỗi kết quảcủa phép thử với một số thực) và có thể nhận biết xác suất để X nhận giá trị đó

Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu là X, Y, Z hoặc X1, X2, Xn ;

Y1, Y2, , Ym, ; các giá trị có thể có của chúng được ký hiệu làx1, x2, , xn;

y1, y2, , ym,

Có hai loại đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục Đại lượng ngẫu nhiêngọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó là tập giá trị rời rạc (hữu hạn

Trang 17

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 2

hoặc vô hạn đếm được, nghĩa là có lượng số không quá tập số tự nhiên N ).Đại lượng ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầymột khoảng trên trục số

1.1.1 Kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

a Kỳ vọng

Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X rời rạc, ký hiệu là E(X) là tổng cáctích giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên với các xác suất tươngứng:

Kỳ vọng có điều kiện của X khi sự kiện A đã cho là một số thực dương vàđược xác định bởi công thức:

Trang 18

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì phương sai được xác định bởicông thức:

áp dụng cho các đại lượng ngẫu nhiên tùy ý, không bị ràng buộc như bổ đềtrên

Trang 19

1.1.3 Luật số lớn

a Định lý Tchebyshev

Nếu X1, X2, Xn, là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có các

kỳ vọng hữu hạn và các phương sai đều bị chặn trên bởi hằng sốc(D(X) ≤ c),

i = 1, n, ∀ε > 0, ta có:

limP

"

f = mn

Trang 20

Tính Markov của hệ có nghĩa là sự tiến triển của hệ chỉ phụ thuộc vào

hiện tại và độc lập với quá khứ (tức là xác suất hệ ở trạng thái j tại thời điểm

t trong tương lai chỉ phụ thuộc vào s,t,i,j )

Hệ có tính chất này được gọi là quá trình Markov

Định nghĩa 1.2

Ký hiệu (Xt) là vị trí của hệ tại thời điểm t E là không gian trạng thái

của hệ Khi đó (Xt) có tính Markov nếu:

P {X(tn+1) = j/X(t0) = i0, , X(tn−1) = in−1, X(tn) = i} = P {X(tn+1) = j/X(tn) = i}

Với bất kỳ t0 < t1 < t2 < < tn < tn+1 và i0, i1, i2, in−1, i, j ∈ E

Định nghĩa 1.3

Gọi E là tập gồm các giá trị của (Xt) và là không gian trạng thái của (Xt)

Khi đó (Xt) được gọi là xích Markov nếu (Xt) có tính Markov và E đánh số

λ là tham số của phương trình,

Hàm K(x, y) được gọi là nhân (đã cho) với K(x, y) ∈ L2

[a,b]x[a,b]

Hàm g(x) được gọi là số hạng tự do (đã cho)

Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại hai

Khi nhân K(x, y) = 0 với y > x thì phương trình (1.13) trở thành

Trang 21

Phương trình trên được gọi là phương trình Volterra loại hai

Nếu g(x) = 0 thì các phương trình trên là phương trình thuần nhất; nếu

g(x) 6= 0 thì các phương trình trên là phương trình không thuần nhất

Phương trình tích phân Fredholm loại một và phương trình Volterra loạimột là các phương trình tương ứng có dạng:

Quá trình xấp xỉ liên tiếp được thực hiện theo công thức:

Trang 22

1.3.2 Khái niệm tích vô hướng

Ta gọi tích vô hướng của hai hàm f(x) và ω(x) là

Trang 23

Phương trình vi phân cấp n có dạng:

F(x, y, y0, y00, , y(n)) = 0 (1.24)Nghiệm của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ(x) khi thay vào thỏaphương trình đã cho Đồ thị của y =ϕ(x) được gọi là đường cong tích phân

1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một [4] Định nghĩa 1.6

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

Trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước

• Nếu q(x) = 0 thì phương trình (1.25) được gọi là phương trình viphân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

• Nếu q(x) 6= 0 thì phương trình (1.25) được gọi là phương trình viphân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

Phương trình (1.25) có công thức nghiệm tổng quát là:

• Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.27) được gọi là phương trình viphân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và có dạng:

Trang 24

C1(x) = φ1(x), C2(x) = φ2(x)Khi đó, nghiệm riêng của (1.27) có dạng: y∗(x) = φ1(x)y1(x) +φ2(x)y2(x)

Bước 4

Kết luận nghiệm tổng quát của (1.27) là:

y(x) = y∗+y = y∗φ1(x)y1(x) +φ2(x)y2(x) +C1(x)y1(x) +C2(x)y2(x) (1.29)Lưu ý

Nếu phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng

y00 +p(x)y0 +q(x)y = f1(x) +f2(x),với a ≤ x ≤ b

khi đó, ta sẽ tìm nghiệm tổng quát yf1(x), yf2(x) của các phương trình:

y00 +p(x)y0 +q(x)y = f1(x)

Trang 25

y00 +p(x)y0 +q(x)y = f2(x)

Và nghiệm tổng quát của (1.30) là: y(x) = yf1(x) +yf2(x)

1.4.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach

a Không gian Banach

Định nghĩa 1.8

Không gian Banach là không gian véctơ định chuẩn đầy đủ, tức là:

1 Phép cộng và phép nhân thỏa mãn các tính chất sau:

Trong không gian Banach B , với mỗi t ∈ R tương ứng một toán tử biến

đổi B vào chính nó: X : B ×R → B với x ∈ B, t ∈R ta có X(x, t) ∈ B

Toán tử vi phân dtd : B → B tác động trên B như là đạo hàm của hàm

Trang 26

Định lý 1.1

Trong quả cầu tâm x0 , bán kính r :Sr(x0) ⊂ B tồn tại duy nhất nghiệm

x(t) của bài toán Cauchy (1.33), (1.34) biến không gian B vào chính nó bởitoán tử X(., t)

x0(t) = X(x(t), t), ∀t :|t − t0| < rM−1 (1.32)Định lý 1.2

Nếu phương trình vi phân (1.34) có hai nghiệm x(t), y(t) mà tại t0 có sailệch:

ky(t0)− x(t0)k < δ (1.33)thì ∀t ≥ t0, ta có: ky(t)− x(t)k < δexp [L(t − t0)]

Trang 27

Chương 2

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG

PHƯƠNG PHÁP MONTE

CARLO

Chương này trình bày hai nội dung chủ yếu sau:

• Một là, trình bày khái niệm mô phỏng; giới thiệu về phương pháp môphỏng Monte Carlo; vai trò của phương pháp mô phỏng và các bước để thựchiện mô phỏng; phương pháp tạo ra số ngẫu nhiên và thể hiện đại lượng ngẫunhiên [1]

• Hai là, ứng dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để giải phươngtrình vi phân tuyến tính cấp 1 và phương trình vi phân tuyến tính cấp cao [1]

2.1.1 Khái niệm mô phỏng

Mô phỏng (simulation) được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, kĩ thuật

và nhiều lĩnh vực khác Mô phỏng có ý nghĩa là làm giả các điều kiện của tìnhhuống nào đó thông qua một mô hình với mục đích có được thông tin phục

vụ cho công việc đã định Hay nói một cách rộng hơn, mô phỏng là bắt đầu

từ các số liệu thực nghiệm (số liệu thực tế) hoặc từ một tính chất nào đó củavấn đề để dự đoán tiến triển của sự việc mà không đề cập đến cơ chế hoạtđộng do không biết được cơ chế này (chẳng hạn các hiện tượng ngẫu nhiên)

Trang 28

CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG

2.1.2 Vai trò của phương pháp mô phỏng và các bước

thực hiện

a Vai trò của phương pháp mô phỏng

Nhiều bài toán thực tế chứa các yếu tố ngẫu nhiên, bất ổn định khônggiải được bằng các phương pháp giải tích Nếu chúng ta áp dụng các phươngpháp giải tích, thì trong nhiều trường hợp phải công nhận những giả thiết chặtchẽ không được thỏa mãn trên thực tế, và do đó lời giải tìm được cũng ít cógiá trị thực tiễn Phương pháp mô phỏng được dùng rộng rãi để giải các bàitoán loại đó, nhất là những bài toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định,hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên

Chúng ta cần áp dụng phương pháp mô phỏng trong các tình huống sau:

• Khi không tìm được mô hình giải tích nào thích hợp

• Các hoạt động của hệ thống thường bị ngắt quãng, đứt đoạn không theoquy luật nào cả

• Mô phỏng là phương pháp duy nhất để tiết kiệm chi phí và thời gian

b Các bước thực hiện phương pháp mô phỏng

• Chạy mô phỏng để kiểm chứng phương án mới

• Kiểm tra tính đúng đắn của mọi kết luận về hệ thống thực tế được rút

ra sau khi chạy mô phỏng

Trên đây là các bước cần làm khi áp dụng mô phỏng ngẫu nhiên để tìm racác phương án hợp lí cho các bài toán thực tế Ngoài ra, mô phỏng còn được

áp dụng để giải quyết nhiều vấn đề khác

2.2.1 Giới thiệu mô phỏng Monte Carlo

Vào đầu những năm 40 của thế kỷ XX, sự ra đời của các máy tính điện

tử (MTĐT) đã đảo lộn những quan niệm trước đó về phương pháp giải số mỗibài toán Bởi vì, khi tính toán bằng tay, người ta cần lựa chọn các phươngpháp có khối lượng tính toán ít (mặc dù có thể được đạt được bằng các thuậttoán khác phức tạp) Nhưng khi sử dụng các MTĐT (trong đó có máy vi tính

Trang 29

hiện nay) ta lại lựa chọn các phương pháp thích hợp với hoạt động của máy;nghĩa là chúng được diễn đạt bằng những thuật toán đơn giản với ít những

“lệnh logic” và tiết kiệm bộ nhớ trong khi thảo chương (như các phương pháptính lặp) Có thể vì lý do này mà khối lượng tính toán tăng lên đôi chút khigiải một bài toán

Tuy nhiên, với sự cải tiến của các thế hệ máy tính có tốc độ ngày càngcao thì vấn đề khối lượng tính toán lại là khó khăn có thể khắc phục được Vìvậy, nếu chọn được phương pháp số thích hợp với MTĐT thì lợi ích do thuậttoán đơn giản sẽ lấn át hẳn hạn chế do tăng khối lượng tính toán Một trongnhững phương pháp như vậy là “phương pháp Monte Carlo”

Có thể nói rằng tinh thần cơ bản của phương pháp Monte Carlo là đặtmột mối quan hệ giữa bài tính bằng số cần giải với một bài toán xác suấttương đương Cụ thể là trong mỗi bài toán cần giải bằng phương pháp MonteCarlo cần chỉ ra lời giải bằng y của nó là kỳ vọng E {ξ} của một đại lượngngẫu nhiên nào đó, hoặc là xác suất P (A) của một biến cố A nào đó

Vậy để tính giá trị y trong thực hành ta lấy n giá trị của đại lượng ngẫunhiên ξ :ξ1, ξ2, , ξn với n đủ lớn, sau đó dùng giá trị trung bình ξ = n1

A, trong đó m là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử

Xét bài toán Buffon như sau:

Một cây kim với chiều dài L được tung ngẫu nhiên lên mặt phẳng của mộtchiếc bàn, trên đó ta kẻ các đường thẳng song song và cách đều, khoảng cáchgiữa chúng là d (d > L) Tính xác suất P (A) để cây kim cắt một trong cácđường thẳng đã kẻ trên mặt bàn Buffon thực hiện thí nghiệm tung cây kimnhiều lần để xác định P và phân tích cho ra

Trang 30

phương pháp Monte Carlo để giải những bài toán bằng số trong nhiều trườnghợp sẽ tỏ ra ưu việt hơn so với những phương pháp cổ điển

2.2.2 Các nội dung của mô phỏng Monte Carlo

a Nội dung thứ 1

Phương pháp Monte Carlo được ứng dụng rất hiệu quả trong việc giảibằng số các bài toán tất định Ở đây ta xét những bài toán nhiều chiều củagiải tích số mà với những phương pháp số thông thường không thể giải đượchoặc không thể cho kết quả được vì khối lượng tính toán quá lớn

Để giải những bài toán trên, đầu tiên ta cần thiết lập một bài toán xácsuất tương đương (gọi là mô hình xác suất tương ứng) mà lời giải y của bàitoán tất định được xác định từ lời giải x của bài toán xác suất được xác địnhbởi một quan hệ hàm tính y =f (x) nào đó

b Nội dung thứ 2

Sau khi thiết lập mô hình xác suất tương ứng với mỗi bài toán tất định,

ta cần phải giải gần đúng các bài toán này trong mô hình thông qua việc tiếnhành các phép ngẫu nhiên Đây là mô hình thể hiện mô hình xác suất tươngứng Để thực hiện được quá trình này, ta xét các quá trình thể hiện các môhình xác suất cơ bản trên máy tính như: thể hiện các đại lượng ngẫu nhiên,các véctơ ngẫu nhiên, các biến cố ngẫu nhiên, các quỹ đạo của các quá trìnhngẫu nhiên (nói chung) và một xích Markov (nói riêng),

tự như khi giải bài toán tất định, ta có thể xác định phỏng ước X đối với lờigiải x thông qua quá trình thể hiện một mô hình xác suất cơ bản nào đó

d Nội dung thứ 4

Giả sử từ mô hình mô phỏng ta thu được phỏng ước đối với lời giải x là

XN Mặt khác, từ các số liệu quan sát ta cũng thu được ước lượng thô đốivới lời giải x là XN Nhưng do N >> n nên ước lượng Xn sẽ kém chính xáchơn so với XN Đó là vấn đề giảm sai số (theo nghĩa giảm phương sai) của

Trang 31

các phỏng ước

Qua 4 nội dung trên, ta thấy để giải mỗi bài toán ta cần phải thể hiệnmột số trong các mô hình xác suất cơ bản trên máy tính Công việc này bắtđầu từ việc tạo ra trên máy tính những số ngẫu nhiên Vì vậy, phương phápMonte Carlo là phương pháp giải bằng số các bài toán thông qua việc tạo ra

và sử dụng các số ngẫu nhiên

2.2.3 Các phương pháp tạo ra số ngẫu nhiên

a Khái niệm về số ngẫu nhiên [1]

Giả sử R là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [0; 1], nghĩa là R là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố:

Trang 32

Định nghĩa 2.1 [1]

Giả sử d là cơ số của một hệ đếm nào đó và p là một đại lượng ngẫu nhiênrời rạc nhận giá trị trong tập hợp số nguyên {0,1, , d −1} một cách đồngkhả năng, nghĩa là:

P {p = k} = 1

d, (∀k = 0,1, , d −1) (2.8)Khi đó p được gọi là một chữ số ngẫu nhiên (trong hệ đếm cơ số d ).Đặc biệt:

• Nếu d=10 thì p gọi là chữ số ngẫu nhiên thập phân

• Nếu d=2 thì p gọi là chữ số ngẫu nhiên nhị phân

Để xét mối quan hệ giữa số ngẫu nhiên và chữ số ngẫu nhiên, trước hết taxét biễu diễn một số x ∈ [0,1] (trong hệ đếm với cơ số d nào đó) dưới dạngphân số (nói chung là vô hạn):

x = 0, x1x2 xk (xk ∈ {0,1, , d −1} , ∀k = 1,2, ) (2.9)hay

Giả sử pk(k = 1,2, ) là các chữ số ngẫu nhiên trong một hệ đếm nào đó

và chúng là độc lập trong toàn bộ Khi đó đại lượng ngẫu nhiên R có biểudiễn trong hệ đếm cơ số d dưới dạng:

Trang 33

Giả sử p1, p2, , pk là K chữ số ngẫu nhiên trong hệ đếm cơ số d nào đó

và chúng độc lập trong toàn bộ Khi đó đại lượng ngẫu nhiên:

c Mối liên hệ giữa số ngẫu nhiên và số tựa ngẫu nhiên

Định lý 2.2

Giả sử R(K) là số tựa ngẫu nhiên cấp K trong hệ đếm cơ số d, khi đó

R(K) là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trên tập hữu hạn

R(K) = nxn : xn = nd−K;n= 0,1, , dK −1o (2.15)một cách đồng khả năng:

P {R(K) = xn} = d−K, (∀xn ∈ R(K)) (2.16)đồng thời, mọi số ngẫu nhiên R với:

Nếu sử dụng số tựa ngẫu nhiên R(K) để thay thế một cách gần đúng cho

số ngẫu nhiên R, thì sai số mắc phải là

|∆R(K)| =R − R(K) = d−KR ≤ d−K (2.19)Vậy, với số K đủ lớn thì sai số nói trên khá bé và ta có thể nói rằng các

số ngẫu nhiên R và tựa ngẫu nhiên R(K) là gần nhau về mặt giá trị

Trang 34

trong đó, FR(K)(x) và FR(x) là hàm phân bố của lần lượt số ngẫu nhiên R

và số tựa ngẫu nhiên R(K)

Áp dụng hệ quả (2.1), ta suy ra

lim

K→∞E {R(K)} = E(R), lim

K→∞D {R(K)}= D(R)lim

K→∞FR(K)(x) = FR(x) (−∞ ≤ x < +∞) (2.21)

Nhận xét:

Với K đủ lớn thì kỳ vọng, phương sai, hàm phân bố của các số tựa ngẫunhiên R(K) và ngẫu nhiên R khá gần nhau Do sự gần nhau về giá trị lẫnnhững đặc trưng xác suất này, nên ta sẽ sử dụng những số tựa ngẫu nhiên

R(K) thay cho những số R Vậy việc ta cần là tạo ra K chữ số ngẫu nhiênđộc lập trong toàn bộ từ K phép thử ngẫu nhiên được tiến hành một cáchđộc lập trên các thiết bị phát chữ số ngẫu nhiên

d Các phương pháp tạo ra số tựa ngẫu nhiên R.[1]

• Phương pháp thứ nhất

Phương pháp bình phương giữa để tạo ra số tựa ngẫu nhiên:

Xét những số ngẫu nhiên gồm 4 chữ số thập phân Số ngẫu nhiên đầu tiên

có thể chọn từ một số R1 bất kỳ trên khoảng (0; 1) , chẳng hạn: R1 = 0,9876 Ta bình phương số thứ nhất ta được R21 = 0,97535376 Ta lấy 4 chữ số

ở giữa trong 8 chữ số sau dấu phẩy làm những chữ số thập phân của R2 Vậy R2 = 0,5353 Cứ tiếp tục quá trình như vậy ta được R3 = 0,6546 ;

R4 = 0,8501 ; R5 = 0,2670; R6 = 0,1289;

• Phương pháp thứ hai

Các số tựa ngẫu nhiên được tạo ra bằng thiết bị phát chữ số ngẫu nhiên(ví dụ như bàn quay ru – lét) được đưa ngay vào xử lý để giải toán, mà khônglưu lại trong bộ nhớ hoặc in ra Điều này gây ra những khó khăn cho việc kiểmtra kết quả tính toán, kiểm tra chất lượng của những số ngẫu nhiên được tạo

Trang 35

ra

Người ta thường sử dụng máy tính điện tử vạn năng chứ không phải cácmáy chuyên dụng Bởi vậy việc gắn thêm vào máy tính điện tử này nhữngthiết bị phát chữ số ngẫu nhiên là điều phiền phức và tốn kém

• Phương pháp thứ ba

Chính vì những lý do trên mà người ta đã tạo ra và lưu lại các số tựa ngẫunhiên dưới dạng bảng Sau khi kiểm định về giả thiết về tính phân bố đều vàđộc lập của các chữ số ngẫu nhiên đã lưu lại, người ta in thành bảng hoặc lưulại trong các bộ nhớ ngoài

0,10097 0,76520 0,34673 0,80959 0,39292 0,66065 0,34072 0,116090 0,37542 0,64894 0,24805 0,20636 0,00822 0,31060 0,45571 0,207672 0,08422 0,19954 0,23209 0,15953 0,35080 0,85269 0,02051 0,000421 0,99019 0,93760 0,38311 0,88676 0,44360 0,63573 0,05235 0,002741 0,12807 0,80157 0,64032 0,98951 0,12171 0,73796 0,03529 0,001245 0,32533 0,13586 0,54876 0,09117 0,74954 0,74717 0,76850 0,590592 0,48050 0,74296 0,24037 0,10402 0,91665 0,10805 0,82406 0,679075 0,68953 0,09303 0,25600 0,34764 0,33606 0,77602 0,65692 0,431544 0,02529 0,70715 0,21165 0,74397 0,27659 0,32135 0,47048 0,221351 0,99907 0,36147 0,36653 0,16877 0,76833 0,45753 0,45753 0,419619 Bảng 2.1: Bảng 80 chữ số ngẫu nhiên với 5 chữ số thập phân

Nhưng việc sử dụng bộ nhớ ngoài để lưu giữ bảng các chữ số ngẫu nhiênthường hạn chế tốc độ tính toán

e Các phương pháp tạo ra số giả ngẫu nhiên

Để khắc phục khó khăn trên, người ta dùng chương trình để tạo ra sốgiả ngẫu nhiên Nghĩa là, người ta xây dựng những phần mềm để thiết lậpdãy số{Rj}j = {Rj ∈ [0; 1] : j ≥ 0} bằng các phương trình truy hồi cấp r códạng:

Rj+i = Φ Rj, Rj−1, , Rj−r+1 (r ≥1) (2.22)với R giá trị ban đầu R0, R1, , Rr−1 là các đại lượng ngẫu nhiên đã cho.Dạng đơn giản nhất của phương trình truy hồi cấp r = 1 là Rj+i = Φ Rj (

R0 đã cho)

Trang 36

Sau khi sử dụng phương pháp kiểm định giả thiết về tính phân bố đềutrên [0; 1] và tính độc lập trong toàn bộ của các số R1, , RN được xác định

từ (2.22) với N đủ lớn không bị bãi bỏ, thì dãy số {Rj}j được tạo ra bằngchương trình này gọi là dãy số giả ngẫu nhiên

• Phương pháp thứ nhất (phương pháp nhân)

Ký hiệu ph {R} ≡ R chỉ phần phân của số R Chọn Φ (x) = ph {C.x} ,với C ∈ Z

Khi đó phương trình truy hồi (2.22) có dạng

Rj+1 =ph {CRj} R0 ∈ [0; 1] (2.23)Đây là phương pháp được sử dụng khá phổ biến trên máy tính điện tử

• Phương pháp thứ hai (phương pháp phần dư hay phương phápđồng dư)

Phương pháp xác định các số giả ngẫu nhiên dưới dạng:

Rj = xj

m0 (j = 0,1,2, ) (2.24)

Trong đóx0, m0là những số nguyên tố cùng nhau, sao chox0 ∈ (0, m0), m0 >

1 và xj+1 là phần dư của số Cxj chia cho m0 :

xj+1 = Cxj (modm0) (j = 0,1,2, ) (2.25)với C là một số tự nhiên đủ lớn và các số C, m0 là nguyên tố cùng nhau

m0 (j ≥0) là những phân số tối giản

2.2.4 Thể hiện đại lượng ngẫu nhiên

a Phương pháp nghịch đảo hàm phân bố

Định nghĩa 2.3 [1]

Hàm đơn trị x = G(y) được xây dựng như sau:

G(y) = inf {x: y < F (x)} = F−1(y) (2.26)gọi là hàm ngược của hàm phân bố y = F (x) và được ký hiệu là:

Trang 37

Bổ đề 2.1 [1]

Giả sử F (x) là một hàm phân bố nào đó với G(y) = F−1(y) là hàmngược của nó Giả sửR ∈ [0; 1] là đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên [0; 1] Khi đó đại lượng ngẫu nhiên ξ xác định từ công thức:

sẽ có phân bố F (x) Ngoài ra còn có sự tương đương của các bất đẳng thứcsau:

y < F(x) ⇔ G(y)⇔ F−1(y) < x (2.29)Định lý 2.4 [1]

Giả sử hàm phân bố F(X) là liên tục, thực sự tăng trên miền < a, b >

(hữu hạn hoặc vô hạn, đóng hoặc mở), sao cho F(a) = 0, F(b) = 1 Giả sử R

là đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên [0,1]

Trang 38

Xét đại lượng ngẫu nhiên p ∈ h0,10112 có hàm mật độ:

Trang 39

Trang 40

Khi đó có thể thu được ξ từ công thức:

trong đó R là một số ngẫu nhiên

b Phương pháp biến đổi các đại lượng ngẫu nhiên

Định lý 2.5 [1]

Giả sử ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ X là véctơ ngẫu nhiên thu được từ véctơ ngẫunhiên η = (η1, η2, , ηn) ∈ Y từ phép biến đổi:

(ξ1, , ξn) = f (η) = (f1(η), , fn(η)) (2.43)trong đó:

x = f (y) = (f1(y), , fn(y))

là hàm véctơ (ánh xạ) khả vi từ Y lên X Khi đó hàm mật độ đồng thời

ϕ(y1, , yn) của η liên hệ với hàm mật độ đồng thời p(x1, , xn) của ξ bằng

hệ thức:

ϕ(y1, , yn) = p(f1(y), , fn(y))

D(f)

D(y)

... 6

Phương trình gọi phương trình Volterra loại hai

Nếu g(x) = phương trình phương trình nhất;

g(x) 6= phương trình phương trình khơng

Phương trình tích phân Fredholm loại phương. .. thiệu phương pháp mơphỏng Monte Carlo; vai trị phương pháp mô bước để thựchiện mô phỏng; phương pháp tạo số ngẫu nhiên thể đại lượng ngẫunhiên [1]

• Hai là, ứng dụng phương pháp mơ Monte Carlo. .. thấy để giải toán ta cần phải thể hiệnmột số mơ hình xác suất máy tính Công vi? ??c bắtđầu từ vi? ??c tạo máy tính số ngẫu nhiên Vì vậy, phương phápMonte Carlo phương pháp giải số tốn thơng qua vi? ??c tạo

Định dạng
Số trang	98
Dung lượng	1,06 MB