Từ xa xưa khi biết đến toán học con người đã có thể tính toán được rất nhiều thứ từ diện tích các thửa ruộng với đủ các hình dạng khác nhau hay năng suất làm việc của [r]
Trang 1SỬ D D ỤN Ụ NG S SU U Y L LU UẬ Ậ N L LO OG GI IC Đ ĐỂ G GI IẢ ẢI Q Q UY U YẾ ẾT V VẤ Ấ N Đ Đ Ề
Võ Văn Toàn , Nguyễn Nhật Thăng
Về các bài toán suy luận logic, tùy theo mức độ cách đặt vấn đề dữ kiện đã cho của câu hỏi ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải quyết
· LẬP BẢNG DỮ LIỆU
· LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG
· GIẢN ĐỒ VEN
· SUY LUẬN LOGIC
1 LẬP BẢNG DỮ LIỆU
Để tìm ra 1 phương pháp nào đó mà có thể khiến các dữ kiện có thể kết hợp lại
với nhau. Một bảng dữ liệu là điều cần thiết lúc bấy giờ. Ta sẽ thiết lập 1 bảng dữ liệu
gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn
các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai. Dựa vào điều kiện trong đề bài
ta loại bỏ dần các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại
bỏ) là kết quả của bài toán.
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta cùng tìm hiểu các ví dụ sau:
Ví dụ 1:
Có 4 người làm công A,B,C,D cùng phối hợp làm một công việc. sau khi làm
xong họ được nhận một số tiền thưởng. Họ cùng bàn bạc chia nhau số tiền thưởng
đó với tỉ lệ là: : 1/10,2/10,3/10,4/10. Biết mỗi người đều nhận một phần và:
a) A không nhận 1/10,2/10.
b) B không nhận 3/10,1/10.
c) Nếu A không nhận 3/10, thì D không nhận 1/10.
d) C không nhận 2/10,1/10.
e) D không nhận 2/10,3/10.
Theo bạn thì mỗi người A,B,C,D nhận bao nhiu phần tiền?
Giải:
Trước hết ta viết lại các mệnh đề:
a) Nếu A không nhận 1/10,2/10 thì A có thể sẽ nhận 3/10 hoặc 4/10.
b) Nếu B không nhận 3/10,1/10 thì B có thể sẽ nhận 2/10 hoặc 4/10.
c) Nếu A không nhận 3/10, thì D không nhận 1/10.
d) Nếu C không nhận 2/10,1/10 thìC có thể sẽ nhận 3/10 hoặc 4/10.
e) NếuD không nhận 2/10,3/10 thì D có thể sẽ nhận 1/10 hoặc 4/10.
Ta thấy bài toán trên có 2 tuyến dữ liệu: tuyến thứ nhất là 4 người A,B,C,D;
tuyến thứ 2 là các dữ kiện liên quan đến số tiền mỗi người nhận được. Nhưng
dữ kiện © lại là 1 dữ kiện khác, nó không mang tính lựa chọn như các dữ kiện
còn lại.Chính vì vậy, ta sẽ lập 1 bảng dữ liệu gồm 5 hàng và 4 cột (vì có 4
Trang 2dữ kiện đúng.
Nhận xét: Ta thấy trong cả 4 mệnh đề đều
có dự đoán về tên cướp nhận được 4/10 số tiền nên ta xẽ xét tên nào là người nhận 4/10 số tiền trước.
+Ta giả sử A sẽ là người nhận 4/10 số tiền
=> A sẽ không nhận 3/10 ( loại ô (4;1)). +Theo mệnh đề (c) thì D cũng sẽ không nhận 1/10.
+Theo mệnh đề (e), D không nhận 1/10 nên D nhận 4/10 (Mâu thuẫn vì ta đã giả
sử A nhận 4/10) +Vậy A nhận 3/10, D nhận 1/10.
+A nhận 3/10 nên C sẽ không nhận 3/10.
+Theo mệnh đề (d), C không nhận 3/10 nên C nhận 4/10.
+Còn lại B nhận 2/10
Vậy : A nhận 3/10, B nhận 2/10, C nhận 4/10 còn D nhận 1/10.
Ví dụ 2:
Sau 1 vụ cướp. Cảnh sát đã tóm được 3 nghi can A,B,C. Sau khi thẩm vấn, cảnh sát biết được 1 trong 3 tên A,B,C là kẻ cướp. Bọn chúng khai như sau:
a) A khẳng định: hắn không làm, chính C làm.
b) B khai: C không có tội, chính A làm.
c) C khai: tôi không có tội, B cũng không có tội.
Biết trong ba người họ có một người 2 lần nói thật, một người 1 lần nói thật một lần nói dối và
một người hai lần nói dối. Bạn hãy giúp cảnh sát tìm ra chủ mưu nhé!
Giải:
Hoàn toàn như các suy luận ở ví dụ 1 thì ta có được bảng sau:
Không như ở bài toán trước các dữ kiện của đề bài đưa ra là hoàn toàn đúng, các dữ kiện của bài này có dữ kiện thì đúng hoàn toàn, dữ kiện thì đúng một nửa, dữ kiện thì sai hoàn toàn. Có vẻ như bài toán đã trở nên rối rắm vì sự đúng sai của các mệnh đề. Nhưng không sao cả! Vẫn dùng các phép suy luận bình thường như ở ví dụ một, ta vẫn có thể giải được bài toán này một cách khá dễ dàng:
+Giả sử C là người 2 lần nói thật.
+Theo mệnh đề (c) thì B,C không có tội => A là kẻ cướp. Thế thì B là người thứ 2 có 2 lần nói thật (vô lí)
+Vậy C không phải người 2 lần nói thật
+Giả sử B là người 2 lần nói thật thì A là kẻ cướp => B,C vô tội. Thế thì C là người thứ 2 có 2 lần nói thật ( vô lí )
+Vậy B cũng không phải người 2 lần nói thật => A là người 2 lần nói thật.
1/10 2/10 3/10 4/10
Chủ
mưu
Không
có tội (a) C A
(b) A C
Trang 3Như vậy, việc lập bảng để hệ thống hoá các dữ kiện là điều vô cùng cần thiết để giải một bài toán suy luận logic. Vậy nếu chúng ta đi theo một hướng khác, dung chính bảng dữ liệu để giải bài toán thì sẽ như thế nào? Ta cùng xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa :Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Được biết cuốn bọc bìa màu dỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách
đã bọc bìa màu gì?
Ta kí hiệu các ô trong bảng từ 1 tới 9.
Theo đề bài thì cuốn bìa màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí. Vậy cuốn Văn và Địa lí đều không được bao bìa màu đỏ. Ta ghi số o và các ô 4 và 6 để loại các ô này, đánh dấu x vào ô 5 để biểu thị là sách Toán được bao bìa màu đỏ.
Mặt khác, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh được mua cùng ngày. Điều này có nghĩa rằng cuốn địa lí không bao bìa màu xanh. Ta ghi dấu o vào ô số 3.
Nhìn vào cột 2 và ô 9 ta thấy cuốn văn không bọc màu đỏ, cũng không bọc màu vàng. Vậy cuốn Văn bọc màu xanh. Ta đánh dấu x vào ô số 1.
Vậy: Cuốn Văn bao bìa màu xanh, cuốn Toán bao bìa màu đỏ, cuốn địa lí bao bìa màu vàng.
* Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán rất đơn giản, có thẻ giải bằng những
suy luận thông thường không cần đến bảng số liệu để giải.Nhưng bài toán này lại là
ví dụ điển hình nhất, làm cơ sở cho các suy luận của hàng loạt các bài toán phức tạp hơn rất nhiều. Chúng tôi xin đề cử một số bài tập sau để bạn đọc có thể làm quen cũng như có thể hiểu rõ phương pháp này.
Các bạn tiếp tục tự làm thêm các bài sau:
Bài tập 1/ Trong một bảng đấu loại bóng đá có 4 đội A, B, C, D. Người ta đưa ra 3 dự đoán :
a/ Đội A nhì, đội B nhất.
b/ Đội B nhì, đội D ba.
c/ Đội C nhì, đội D tư.
Kết quả dự đoán đều có một ý đúng, một ý sai. Hãy xác định thứ tự của mỗi đội
Bài tập 2/ Trong một cuộc đua xe đạp, 4 VĐV An, Bình, Cường, Dũng đã đạt bốn giải đầu tiên.
Trong các câu sau đây, mỗi câu chỉ đúng về một VĐV:
a) Bình giải nhất, Dũng giải nhì.
Văn Toán Địa
Xanh X
1 2
O
3
Đỏ O
4
X
5
O
6 Vàng
7 8
x 9
Trang 4b) Bình giải nhì, Cường giải ba.
c) An giải nhì, Cường giải tư.
Hãy xác định giải của từng VĐV.
Bài tập 3/ Ba bạn Khánh, Lương, Minh tham gia các môn thể thao : chạy, bơi, bóng bàn, bóng đá, đá cầu và đua xe đạp, mỗi bạn tham gia hai môn. Biết rằng:
a/ Bạn tham gia chạy và bạn chơi đá cầu nhà ở cạnh nhau.
b/ Trong ba bạn thì Khánh ít tuổi nhất.
c/ Bạn Lương, bạn chơi bóng bàn và bạn chơi đá cầu thường rủ nhau đi học.
d/ Bạn chơi bóng bàn nhiều tuổi hơn bọn chơi bóng đá.
e/ Bạn tham gia bơi, bạn chơi bóng đá và bạn Khánh thường cùng đi xem phim với nhau.
Hãy xét xem mỗi bạn tham gia hai môn thể thao nào?
Bài tập 4/ Ba vận động viên Mai, Lan, Nga tham gia thi đấu thể thao, đó là 3 cô gái ở
Hà Nội, Huế, Thành phố Hồ Chí Minh. Một cô thi chạy, một cô thi nhảy xa, một cô thi bơi. Biết rằng:
a/ Nga không thi chạy
b/ Mai không thi bơi
c/ Cô ở Hà Nội thi bơi
d/ Cô ở Huế không thi chạy
e/ Mai không ở Thành phố Hồ Chí Minh
Hỏi mỗi cô ở đâu, thi đấu môn nào?
Bài tập 5/. Ba bạn tên Đỏ, Xanh, Vàng mặc áo màu đỏ, xanh, vàng đến một buổi dạ hội. Bạn mặc áo màu xanh nói với bạn tên Vàng: "Cả ba chúng ta đều không mặc màu
áo đúng với tên của mình". Hỏi màu áo của mỗi bạn đang mặc?
Bài tập 6/ . Trong một ngôi đền cổ có ba vị thần giống hệt nhau. Thần Thật thà luôn nói thật, thần Dối trá luôn nói dối và thần Khôn ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Có một nhà hiền triết đến thăm đền. Ông đã hỏi các vị thần và nhận được câu trả lời khi hỏi thần bên trái: Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Thật thà. Ông hỏi thần ngồi giữa: Ngài là ai? Ta là thần Khôn ngoan. Sau cùng ông hỏi thần bên phải: Ai ngồi cạnh
Trang 5nhà hiền triết đã suy luận như thế nào?
2 . LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG
Bài toán mà các dữ kiện của đề bài, đươc chia thành nhiều trường hợp khác nhau, nhiệm vụ của ta là tìm ra trường hợp đúng để giải được bài toán. Ta hãy cùng
xét các ví dụ sau:
Ví Dụ 1 :
Tổ Toán của 1 trường THPT có năm người: thầy Hùng, thầy Quân, cô Hạnh và
cô Cúc, kì nghỉ hè cả tổ được 2 phiếu đi nghỉ mát. Mọi người đều nhường nhau, thầy hiệu trưởng đề nghị mội người đề xuất 1 ki ến. Kết quả như sau:
1. Thầy Hùng và thầy Quân đi.
2. Thầy Hùng và Cô Vân đi.
3. Thầy Quân và cô Hạnh đi.
4. Cô Cúc và Cô Hạnh đi.
Cuối cùng Thầy hiệu trưởng đã quyết định chọn đề nghị của cô Cúc, vì theo đề nghị đó thì mội đề nghị đều thoả mãn 1 phần và bác bỏ 1 phần.
Hãy cho biết ai được đi nghỉ mát trong kì nghỉ hè đó?
Phân tích: Để chọn được đề nghị thoả mãn yêu cầu đề bài ta lần lượt xét đề nghị của từng người. Sẽ có 2 khả năng xảy ra:
Có 1 trong 4 đề nghị bị bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta loại bỏ đề nghị đó.
Không có đề nghị nào trong 4 đề nghị bị bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta chọn
đề nghị đó.
Giải:
Nếu chọn đề nghị thứ nhất ( thầy Hùng và thầy Quân đi) thì đề nghị thứ 4( Cô Cúc
và Cô Hạnh đi) bị bác bỏ hoàn toàn. Vì vậy ta không thể chọn đề nghị thứ nhất và thứ 4( đề bài nói đề nghị dc chọn làm các đề nghị khác đúng một nửa và sai một nửa).
Tương tự như vậy với đề nghị thứ hai và thứ ba. Ta cũng không thể chọn đề nghị thứ hai và ba.
Nếu chọn đề nghị thứ năm thì mỗi đề nghị trong 4 đề nghị còn lại đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần
Vậy: kì nghỉ hè năm đó thầy Hùng và cô Hạnh được đi nghỉ mát
Trang 6Nhận xét: Vấn đề mấu chốt để giải bài toán là giả thuyết một yêu cầu thoả mãn các yêu cầu còn lại nửa đúng nửa sai, và chúng ta cần tìm ra tình huống thoả mãn
đó. Vậy với các tình huống mà có nhiều sự lựa chọn hơn thì sao? Chúng ta hãy
cùng tìm hiểu ở ví dụ sau:
Ví dụ 2:
Sau giờ tập luyện buổi sáng đội tuyển thể thao rủ nhau vào quán ăn trưa. Thực đơn của quán có 8 món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào măng và canh chua. Toàn đội thống nhât sẽ gọi 3 món trong thực đơn cho bữa
ăn. Nguyện vọng của các cầu thủ chia ra thành 5 nhóm nhau sau:
Gà luộc, nem rán và chim quay.
Đậu rán, bò xào và cá rán.
Bò xào, cá rán và ốc xào măng.
Nem rán, ốc xào măng và canh chua.
Gà luộc, bò xào và canh chua.
Cuối cùng, đội đã gọi đồ ăn theo thực đơn của đội trưởng đã chọn, vì theo thực đơn
đó mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
Hỏi toán đọi hôm đó ăn những gì?
Giải:
Đây là 1 bài toán phức tạp hơn bài toán ở ví dụ trước, vì đây không phải là nửa đúng nửa sai (xác định rõ số nhận định đúng và sai trong 1 câu) mà là ít nhất 1 nhận định đúng. Nhưng cách giả ở bài toán này vẫn tương tự như cách giải ở bài trước:
Nếu chọn thực đơn của nhóm 1 thì cả nhóm 2 và 3 đều không có món nào mình thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm 1.
Nếu chọn thực đơn của nhóm 4 thì nhóm 2 không có món nào mình thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm 4
Tương tự như vậy với cách thực đơn của nhóm 2, 3.
Nếu chọn thực đơn của nhóm 5 thì mỗi nhóm trong 4 nhóm còn lại đều có ít nhất 1 món mà mình ưa thích.
Vậy: hôm đó đội đã ăn 3 món gà luộc, bò xào và canh chua.
Ví dụ 3:
Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở năm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây. Cần Thơ, Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi về quê ở tỉnh nào các bạn trả lời như sau:
Anh: Tôi quê ở Bắc Ninh, còn Doan quê ở Nghệ An.
Trang 7 Bình: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Cúc quê ở Tiền Giang.
Cúc: Tôi quên ở Bắc Ninh, còn Doan ở Hà Tây.
Doan: Tôi quê ở Nghệ An, Còn An ở Cần Thơ
Nếu không bạn nào trả lời sai hoàn toàn thì quên mỗi người ở tỉnh nào?
Giải:
Đây không cũng là một dạng bài như các ví dụ trước, chìa khoá của bài toán nằm ở câu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn”. Vậy ta cần phải hiểu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn” nghĩa là gì?
Mỗi câu trả lời đều nói về quê quán của hai người. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì có nghĩa là quê của 2 người đó đều không ở tỉnh đso. Vậy câu trả lời là một trong 2 người hoặc cả 2 người có quê ở 2 tỉnh đó.
Chẳng hạn, câu trả lời của Anh không sai hoàn toàn có nghĩa là: hoặc Anh quê ở Bắc Ninh hoặc quê Doan ở Nghệ An( mệnh đề tuyển có không sai khi ít nhất một trong 2 mệnh đề con đúng)
+ Để xác định quê quán của mỗi bạn, ta cần lần lượt xét câu trả lời của mỗi người. Mỗi câu trả lời nói về quê quán của 2 người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau: + Quê của người thứ nhất trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả lời của bốn người còn lại. Nếu suy không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được quê quán của người đó. Tiếp đó ta xác định quê của 4 người còn lại.Nếu có một câu trả lời( trong 4 câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì quê của người thứ nhất trong câu trả lời không đúng với tỉnh đó. Vậy quê của người thứ 2 là đúng. Tiếp đó
ta tìm quê của 4 người còn lại.
+ Quê của người thứ nhất trong câu trả lời là sai. Vậy quê của người thứ 2 trong câu trả lời là đúng. Vẫn làm như trường hợp thứ nhất ta sẽ xác định được quê của 4 người còn lại.
Giả sử Anh quê ở Bắc Ninh thế thì quê của Bình và Cúc đều không ở Bắc Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc quê ở Tiêng Giang và theo Cúc thì quê Doan ở Hà Tây. Vậy theo An thì An quê ở Cần Thơ. Cuối cùng còn bình quê ở Nghệ An( vì 4 bạn kia có
quê ở 4 tỉnh còn lại).
Ví dụ 4:
AFF Cup 2012 có 4 đội vào vòng bán kết: Thái Lan, Singapore, Philipines, Malaysia. Trước khi thi đấu vòng bán kết và chung kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn
dự đoán như sau:
Dũng: Singapore nhì,còn Philipines ba.
Quang: Thái Lan nhì, còn Philippines tư
Tuấn: Singapore nhất và Malaysia nhì
Mỗi bạn đều dự đoán đúng 1 đội và sai 1 đội.
Hỏi mỗi đội đạt giải mấy?
Giải
Trang 8 Nếu Singapore đạt giả nhì thì Singapore không đạt giải nhất. Vậy (theo Tuấn) thì Malaysia đạt giả nhì. Điều này vô lí vì 2 đội cùng đạt giải nhì.
Nếu Singapore không đạt giả nhì thì theo Dũng, Philippines đạt giải ba. Như vậy Philippines không đạt giải tư. Theo Quang, Thái Lan đạt giải nhì. Thế thì Malaysia không đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapore nhất, cuôi cùng còn Malaysia đạt giải tư
Kết luận: thứ tự các đội là :
Nhất :Singapore ; Nhì: Thái Lan; Ba: Philippines ;Tư: Malaysia.
Như các ví dụ trên cho thấy, bài toán giải theo phương pháp lựa chọn tình huống, chìa khoá của vấn đề nằm ở dữ kiện có bao nhiêu mệnh đề đúng hoặc sai, ta nắm rõ điều
đó, thì việc thành công trong việc giải sẽ nằm trong tầm tay.
Các bạn tiếp tục tự làm thêm các bài sau:
Bài tập 1/Cô Phương đưa ba bạn Lan, Hồng, Phượng đi dự hội thi “Tiếng hát hoa phượng đỏ”. Về đến trường các bạn đến hỏi thăm, cô trả lời: “ Mỗi bạn đều đạt một trong các giải nhất, nhì, ba hoặc đặc biệt”. Cô đề nghị các bạn thư đoán xem.
Hà đoán ngay:
Theo em thì Phượng đạt giả nhất, Hồng giả nhì còn Lan giải ba.
Bích cho là:
Lan giả nhất, Phượng giải nhì còn Hồng giả ba
Ngọc đoán:
Hồng giải nhất, Lan giải nhì còn Phượng giải ba.
Nghe xong, cô lắc đầu nói không bạn nào đạt giả như các em dự đoán. Hãy cho biết mỗi bạn đã đạt giải gì?
Bài tập 2/Chiều thứ bảy Tùng nghe ba bạn Mạnh, CƯờng và Lân hẹn nhau sang chủ nhật đến nhà nhau chơi hoặc cùng nhau đi chơi công viên. Lúc 9h sang chủ nhật Tùng gọi điện đến nhà ba bạn. Mẹ Mạnh cho biết:
Mạnh và Lân không ở nhà bác, còn Cường thì không ở nhà Lân.
Em gái Cường khẳng định:
Trang 9 Cả ba anh không có ở nhà em.
Bà Lân thì bảo:
Lân và Mạnh không có ở nhà bà, Cường không có ở nhà Mạnh.
Hãy cho biết ba bạn lúc ấy đang ở đâu?
Bài tập 3/Thầy Nghiêm được nhà trường cử bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có 3 em đạt giả nhất, nhì , ba và 1 em không đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả lời như sau:
Lê: mình đạt giải nhì hoặc ba
Huy: mình đã đạt giải
Hoàng:mình đạt giải nhất
Tiến:mình không đạt giải
Thầy Nghiêm chi mỉm cười và nói: “chỉ có 3 bạn nói thật, còn 1 bạn nói đùa”
Hãy cho biết ai nói thật? Ai nói đùa? Ai đoạt giải nhất? Ai không đạt giải?
3. GIẢN ĐỒ VEN
Từ xa xưa khi biết đến toán học con người đã có thể tính toán được rất nhiều thứ từ diện tích các thửa ruộng với đủ các hình dạng khác nhau hay năng suất làm việc của công nhân, máy móc đến việc tính toán ngân sách(khố),tính tổng vv Nhưng lúc bấy giờ khi gặp các vấn đề phải tính ra số lượng của từng đối tượng cụ thể trong
1 cái chung qui hay nói cho dễ hiểu là 1 đám ‘hổ lốn’ với nhiều thành phần khác nhau
đã làm cho rất nhiều người phải rất mất thời gian để tính.Để đơn giản hóa chúng lại, năm 1981 nhà toán học người Anh GiônVen đã đưa ra giảng đồ Venn giúp ta có thể
dễ dàng tính ra vấn đề rắc rối nêu trên (có lẽ bởi sự tư duy của con người phần lớn hoạt động mạnh nhờ vào hình vẽ).Để tìm hiểu phương pháp này một cách cụ thể
Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán đơn giản sau:
Ví dụ 1: Cho tập hợp
Hỏi những phần tử nào chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B và tập hợp C?
Trang 10Vẽ biểu đồ Ven tập hợp A các phần tử và biểu đồ Ven tập hợp B các phần tử như hình 1. Quan sát ta thấy số phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B là
Bây giờ ta sẽ đi tìm bài toán thực tế cho bài toán 1. Bài toán thực tế được phát biểu: Bài toán 2: Một nhóm có 9 học sinh. Trong đó có 3 học sinh tham gia môn bơi. 6 học sinh vừa tham gia môn bơi vừa tham gia môn bóng bàn. Hỏi số học sinh không tham
gia cả hai môn bơi và bóng bàn là bao nhiêu ?
Giải
Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 phần tử tương ứng với 9 học sinh. 3 học sinh tham gia môn bơi tương ứng là tập hợp C gồm 3 phần tử 1, 2, 3. 6 học sinh tham gia môn bơi và môn bóng bàn là tập hợp B gồm 6 phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6 (hình 1). Quan sát, ta thấy tử có các phần tử 7, 8, 9 vừa không thuộc tập hợp B vừa không thuộc tập hợp C. Vậy có 3 học sinh vừa không tham gia môn bơi vừa không tham gia môn bóng
bàn.
Đây là cách giải bằng phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp thông qua biểu đồ Ven. Tuy nhiên khi số phần tử của tập hợp rất lớn thì ta không thể liệt kê hết được. Vì vậy bài toán 2 còn một cách biểu diễn