Bao hàm thức vi tích phân liên quan đến phương trình born infeld và ứng dụng

27 1.2.2 Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con compact của một không gian metric khả ly.. Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con đầy đủ của một không gian metric khả

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ THỊ YẾN NHI

BAO HÀM THỨC VI-TÍCH PHÂN LIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ THỊ YẾN NHI

BAO HÀM THỨC VI-TÍCH PHÂN LIÊN

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Cán bộ nhận xét 1:

Cán bộ nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày tháng năm

Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1

2

3

4

5

Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: LÊ THỊ YẾN NHI MSHV: 7140850

Ngày, tháng, năm sinh: 25/11/1991 Nơi sinh: Bình Định

- Bao hàm thức vi - tích phân liên quan đến phương trình Born-Infeld

- Ứng dụng các kết quả tích phân lồi để tìm hiểu phương trình Born-Infeld

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 11/01/2016

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 17/06/2016

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

TRƯỞNG KHOA

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình thực hiện và nghiên cứu đề tài luận văn thạc sĩ chuyênngành Toán Ứng Dụng, tôi đã luôn nhận được rất nhiều sự quan tâm và giúp

đỡ từ phía Thầy Cô, người thân và bạn bè

Đầu tiên, tôi xin chân thành gửi lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhấtcủa mình đến Thầy hướng dẫn của tôi - PGS TS Nguyễn Đình Huy, người đãluôn tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành thật tốt luận văn này Với sự nhiệttình và tận tâm, Thầy luôn khuyến khích, định hướng cho tôi từ những bướcđầu làm nghiên cứu khoa học Đó là những kiến thức nền tảng chuyên ngành,phương pháp và kỹ năng trình bày luận văn thạc sĩ, đối với tôi nó không chỉgiúp tôi hoàn thành tốt luận văn mà còn hình thành phương pháp tự nghiêncứu và học tập nhằm phục vụ cho công tác sau này

Tôi xin gửi lời cảm ơn của mình đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luậnvăn đã nhiệt tình và dành thời gian đọc, đóng góp những ý kiến quý báu giúptôi hoàn thành tốt luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn của mình đến tập thể quý thầy cô trong bộ mônToán Ứng Dụng - khoa Khoa học Ứng dụng và phòng Đào tạo Sau đại học -Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ tôitrong suốt khóa học và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn vô cùng chân thành nhất tới gia đình vàbạn bè đã hỗ trợ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quãng thời gian học tậptại trường

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 6 năm 2016

Lê Thị Yến Nhi

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn được trình bày gồm 3 chương Chương 1 trình bày các kiến thức

cơ bản Chương 2 trình bày bao hàm thức vi - tích phân liên quan đến phươngtrình Born-Infeld Chương 3 trình bày ứng dụng các kết quả tích phân lồi đểtìm hiểu phương trình Born-Infeld

The thesis contains three chapters Chapet 1 presents the basic concept.Chapter 2 presents On a differential inclusion related to the Born-Infeld equa-tions Chapter 3 presents Applications of the convex integration results to thestudy of the Born – Infeld equations

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Lê Thị Yến Nhi, mã học viên: 7140850, học viên cao học chuyênngành Toán Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minhkhóa 2014 - 2016 Tôi xin cam đoan rằng: ngoại trừ các kết quả tham khảo từcác công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trongluận văn này là do chính tôi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luậnvăn này được nộp để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác

Tp Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 6 năm 2016

Học viên thực hiện

Lê Thị Yến Nhi

Mục lục

1.1 Khoảng cách Hausdorff 16

1.1.1 Không gian các tập con đóng của một không gian metric 16 1.1.2 Không gian đều, tính đều Hausdorff 20

1.1.3 Không gian các tập con lồi đóng của không gian lồi địa phương 22

1.2 Hàm đa trị đo được, liên tục 25

1.2.1 Tính liên tục của hàm đa trị lồi 27

1.2.2 Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con compact của một không gian metric khả ly 30

1.2.3 Định lý chọn Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con đầy đủ của một không gian metric khả ly 32

1.2.4 Hàm đa trị đo được lồi compact 36

1.2.5 Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann 37

1.3 Tích phân của ánh xạ đa trị 38

1.3.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo được 38

1.3.2 Tích phân của ánh xạ đa trị đo được 42

1.4 Tích phân lồi (Convex Integration) 46

2 Bao hàm thức vi - tích phân liên quan đến phương trình

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đatrị, là lĩnh vực nghiên cứu được phát triển rất mạnh trong lý thuyết tổng quát

về phương trình vi phân hiện nay Lý thuyết bao hàm thức vi phân như là sự

mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường và ngày càng thâm nhậpmạnh mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khácnhờ ứng dụng to lớn của nó Khi mới xuất hiện, cùng với sự phát triển mạnh

mẽ của lý thuyết điều khiển và giải tích đa trị, lý thuyết bao hàm thức vi phân

đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu chính của lý thuyết tổng quát

về phương trình vi phân Đến nay, lý thuyết này đã đạt được nhiều kết quả đẹp

đẽ về sự ứng dụng của lý thuyết này trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiềuứng dụng khác

Bên cạnh việc nghiên cứu lý thuyết bao hàm thức vi phân thì việc nghiêncứu phương trình tích phân cũng là một hướng nghiên cứu mới đang được sựquan tâm nghiên cứu của nhiều người trong lĩnh vực phương trình tích phân

và ứng dụng Nhiều vấn đề trong toán học, kinh tế, cơ học, vật lý và các ngành

kỹ thuật khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dướidấu tích phân Những phương trình đó gọi là phương trình tích phân Tíchphân được khám phá và nghiên cứu bởi Leibniz (1646-1716) và Isaac Newton(1642-1727)

Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu bao hàm thức vi - tích phân liênquan đến phương trình Born-Infeld và ứng dụng Hệ phương trình Born - Infeldđược xây dựng lần đầu bởi hai nhà vật lý nổi tiếng là Max Born (1882-1970) vàLeopold Infeld (1898-1968) Đây là hệ phương trình dạng phi tuyến có liên quanđến hệ phương trình Maxwell tuyến tính xảy ra trong trường tĩnh điện hữu hạncủa điện tích điểm Sau sự xuất hiện của điện động học lượng tử, mô hình Born

- Infeld không còn được dùng đến nữa mặc dù ta không thể phủ nhận đượccác tính chất đáng chú ý của nó được nêu bởi các nhà vật lý lý thuyết Gần

đây, mô hình Born - Infeld (BI) đã xuất hiện trở lại trong lý thuyết D-brane

và chuỗi của J Polchinski (1998) Chúng ta tham khảo G Boillat (1996) và D.Serre (2000) về sự phân tích toán học của hệ phương trình BI và tham khảo

G Gibbons về sự liên quan trong Vật lý học năng lượng hiện đại Hệ phươngtrình BI thuộc hệ phi tuyến của định luật bảo toàn hyperbolic (ta có thể thamkhảo về các nghiên cứu của P.Lax (1973), S Godunov (1987), )

Ta nghiên cứu và tìm hiểu bao hàm thức vi phân liên quan đến phương trìnhBorn-Infeld (dạng mở rộng của hệ phương trình Maxwell) bằng cách sử dụngphương pháp của Gromov về tích phân lồi trong trường phân kỳ Trong đó, hệphương trình Born-Infeld là một dạng phi tuyến của hệ phương trình Maxwellđược viết dưới dạng các ràng buộc vi phân từng phần Dựa trên các kết quả củatích phân lồi, chúng ta ứng dụng vào việc tìm hiểu hệ phương trình Born-Infeld

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích cơ bản của luận văn này là tập trung nghiên cứu bao hàm thức vi

- tích phân liên quan đến phương trình Born-Infeld và ứng dụng

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết về giải tích đa trị - bao hàm thức vi - tíchphân đa trị và hệ phương trình Born - Infeld

- Phạm vi nghiên cứu: Chúng ta tìm hiểu bao hàm thức vi - tích phân trongmối liên quan với hệ phương trình Born-Infeld

IV Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức chuẩn bị về giải tích đa trị

- Tìm hiểu bao hàm thức vi - tích phân với hệ phương trình Born-Infeld vàtích phân lồi trong từ trường

- Ứng dụng các kết quả của tích phân lồi để nghiên cứu hệ phương trìnhBorn-Infeld

V Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Ý nghĩa khoa học: Luận văn này làm rõ bao hàm thức vi - tích phân liênquan đến phương trình Born-Infeld

- Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng các kết quả của tích phân lồi để tìm hiểu hệphương trình Born-Infeld.

VI Cấu trúc của luận văn

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2: Bao hàm thức vi - tích phân liên quan đến phương trình Infeld

Born Chương 3: Ứng dụng các kết quả tích phân lồi để tìm hiểu hệ phương trìnhBorn-Infeld

Ptb(X) Tập tất cả các tập con đóng hoàn toàn bị chặn của X

Pk(X) Tập tất cả các tập con compact của X

Pcb(E) Tập tất cả các tập con bị chặn đóng lồi của X

Pck(E) Không gian các tập con lồi compact của E

δ∗(· |A) Hàm tựa của tập A

B (X) Nhóm Borel nhỏ nhất chứa tất cả tập mở của không gian topo X

T ⊗ U Nhóm nhỏ nhất chứa tất cả các tập A × B (A ∈ T , B ∈ U )

Tµ µ-đầy đủ của T với µ là độ đo dương trên (T, T )

A0 Tập cực của tập A

CoA Bao lồi của tập A

coΩ Bao lồi đóng của Ω

Mc Bao lồi của đa tạp Born-Infeld

Int (M) Phần trong topo của M

Int (Mc) Phần trong của bao lồi của đa tạp Born-Infeld

Ext (Bs) Điểm cực biên của tập Bs

W1,∞(Ω) Không gian Sobolev của hàm L∞

fχE Phần mở rộng của hàm f

L Toán tử vi phân

kGk Chuẩn của ma trận G

Mn×nskw Không gian các ma trận đối xứng lệch cỡ n × n

KL Bao lồi tách được

Int(KL) Phần trong của bao lồi tách được

Op 0 Cơ sở lân cận tại gốc

χΩh Hàm đặc trưng của các tập con Ωh mở rời rạc nhau

L (G) Trường ma trận

DivF Divergence của F

Ui Tập các tập mở khác rỗng

% Tích chập kernel trơn chuẩn trong Rn

Lin R10;R2
Không gian toán tử tuyến tính từ R10 vào R2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Khoảng cách Hausdorff

Nội dung chính trong phần này được tham khảo từ tài liệu [3] và [4]

1.1.1 Không gian các tập con đóng của một không gian metric

Cho X là một không gian metric với metricd Ta không giả thiếtd(x, y) < ∞.Định nghĩa 1.1 (Xem [3], tr.38) Cho A và B là hai tập con của X, độ dôicủa A trên B được xác định như sau:

Chú ý 1.1 Trong tập Pf(X), ∅ là một điểm cô lập Nếu d bị chặn thì h cũng

Cho ε > 0, n ∈ N và x ∈ A Khi đó tồn tại m ≥ n sao cho h (Am, A) ≤ ε,

do đó d (x, Am) ≤ ε và tồn tại một điểm xm ∈ Am sao cho d (x, xm) ≤ 2ε Do

{x}, An) = max (e (A, An) , d (x, An)) → 0 Ta có thể chứngminh d (x, An) → 0 Cho p thỏa m, n ≥ p nghĩa là h (An, Am) ≤ ε Từ x ∈ B

suy ra tồn tại m ≥ p sao cho d (x, Am) ≤ ε Do đó, nếu n ≥ p thì d (x, An) ≤

n,d (x, Am) ≤ ε, do đóe (A ∪ {x} , An) → 0 Khi đó ta cóe (An, A ∪ {x}) → 0.Vậy h (An, A ∪ {x}) → 0 và A ∪ {x} = A

3) Bất đẳng thức thứ ba là hiển nhiên vì một cơ sở lân cận là họ

Wε = {(x, y) |d (x, y) ≤ ε} (ε > 0) và Wε(An) ⊂ B (Am, ε) ⊂ W2ε(Am)

Định lý 1.2 (Xem [3], tr.40) Nếu X là một không gian metric đầy đủ thì

Pf(X) cũng là một không gian metric đầy đủ

Chứng minh Cho (An) là một dãy Cauchy

1) Trước hết để ý rằng tồn tại N sao cho n ≥ N, m ≥ N kéo theo

h (An, Am) ≤ 1 Khi đó, hoặc An = ∅, ∀n ≥ N hoặc An 6= ∅, ∀n ≥ N.Trong trường hợp thứ nhất dãy (An) hội tụ về ∅ Ta xét trường hợp thứ hai.2) Ta sẽ chứng minh rằng T

n

S

m≥n

Am 6= ∅.Cho ε > 0, chọn ε = 1 là đủ

Với mỗi số nguyên k tồn tại Nk sao cho n ≥ Nk, m ≥ Nk thì có

h (An, Am) < 2−kε

Cho (nk) là một dãy tăng ngặt sao cho nk ≥ Nk Cho x0 ∈ An0, giả sử ta chọn

x0, , xk có tính chất xi ∈ Ani, d (xi, xi+1) < 2−iε Khi đó xk+1 được chọntrong Ank+1 để thỏa d (xk, xk+1) < 2−kε (điều này có được bởi d xk, xnk+1
≤

h Ank, Ank+1
< 2−kε) Dãy (xk) là dãy Cauchy hội tụ đến x Khi đó x ∈

phủ A

Chú ý 1.2 Ta thấy rằng nếu X hoàn toàn bị chặn thì Pf(X) hoàn toàn bịchặn

Thật vậy, với ε > 0 cho trước, cho x1, , xn thỏa mãn họ các quả cầu mởtâm xi bán kínhεphủ X ChoA ∈ Pf(X)vàI = {i|B (xi, ε) ∩ A 6= ∅}, khi đótập B = {xi|i ∈ I} có tính chất h (A, B) ≤ ε Tập các tập con của {x1, , xn}

là hữu hạn nên chứng tỏ Pf(X) hoàn toàn bị chặn Do đó, nếu X compact thì

Pf(X) compact

Định lý 1.4 (Xem [3], tr.41) Nếu X đầy đủ thì không gian tất cả các tập concompact Pk(X) cũng đầy đủ

Chứng minh Điều này suy ra từ Định lý (1.2) và (1.3)

Định lý 1.5 (Xem [3], tr.41) Topo Hausdorff trên không gian tất cả các tậpcon compact của X, Pk(X), được sinh ra bởi các tập {K ∈ Pk(X)|K ⊂ U } (U

mở) và {K ∈ Pk(X)|K ∩ V 6= ∅} (V mở) Một cơ sở lân cận của K0 bao gồmcác tập {K|K ⊂ U, K ∩ V1 6= ∅, , K ∩ Vn 6= ∅} (trong đó U, V1, , Vn là mở)chứa K0

Chứng minh 1) Ta sẽ chứng minh rằng θ = {K|K ⊂ U } là mở Cho

K0 ∈ θ, do K0 là tập compact, ε = inf {d (x, y) |x ∈ K0, y ∈ X − U } > 0 Khi

đó, h (K, K0) < ε ⇒ e (K, K0) < ε ⇒ K ⊂ U, nghĩa là K ∈ θ

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng U = {K|K ∩ V 6= ∅} là mở Cho K0 ∈ U,tồn tại một quả cầu mở tâm x0 ∈ K0 ∩ V bán kính ε chứa trong V Khi đó,nếu h (K, K0) < ε, K ∩ B(x0, ε) 6= ∅ thì K ∩ V 6= ∅ và K ∈ U

2) Ngược lại, ta sẽ chứng minh rằng nếu K0 ∈ Pk(X) và ε > 0 cho trước,quả cầu tâm K0 bán kính ε chứa tập

{K|K ⊂ U } ∩ {K|K ∩ V1 6= ∅} ∩ ∩ {K|K ∩ Vn 6= ∅}

tập này chứa K0 Thật vậy, cho U = {x|d (x, K0) < ε} và V1, , Vn là họ cácquả cầu mở bán kính ε

2 phủ K0 Khi đó nếu K ⊂ U, e (K, K0) < ε và K giao

với họ các quả cầu mở V1, , Vn thì e (K0, K) ≤ ε

Chú ý 1.3 Nếu Γ là không gian topo, Γ là một hàm đa trị từ T đến Pk(X),

là liên tục khi và chỉ khi nó nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Hệ quả 1.1 (Xem [3], tr.42) Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trênkhông gian các tập con compact của X, Pk(X), chỉ phụ thuộc vào topo của X

(không phụ thuộc metric)

Định lý 1.6 (Xem [3], tr.42) Nếu X là không gian metric khả ly thì Pk(X)

cũng là không gian metric khả ly

Chứng minh Cho (xn) là một dãy trù mật trong X, K là tập tất cả cáctập hữu hạn {xi1, , xin} Khi đó, K là một phần đếm được của Pk(X), và theoĐịnh lý (1.5) K trù mật trong Pk(X).

Hệ quả 1.2 (Xem [3], tr.43) Nếu X là không gian Polish thì Pk(X) với topođược mô tả trong Định lý (1.5) cũng là không gian Polish

Định lý 1.7 (Xem [3], tr.43) Nếu X là không gian metric khả ly thì σ-trườngBorel trên Pk(X) (với topo Hausdorff) được sinh ra bởi các tập {K|K ⊂ U }

(U mở) và cũng được sinh ra bởi các tập {K|K ∩ V 6= 0} (V mở)

Điều này chứng minh rằng σ-trường được sinh ra bởi các tập {K|K ⊂ U } (U

mở) là bao hàm σ-trường được sinh ra bởi các tập {K|K ∩ V 6= ∅}

3) Bây giờ ta chứng minh rằng bất kì tập mở θ của Pk(X) thuộc σ-trườngđược sinh ra bởi các tập {K|K ⊂ U } và tập {K|K ∩ V 6= ∅}

Thật vậy, θ là hợp của một họ A của giao hữu hạn của các tập {K |K ∩ U }

và tập {K|K ∩ V 6= ∅} (Định lý (1.5)) Nhưng vì Pk(X)khả ly (Định lý (1.6))nên θ cũng là hợp của một họ con đếm được của A

1.1.2 Không gian đều, tính đều Hausdorff

Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được xác địnhbởi một họ lọc của các nửa khoảng (di)i∈I, trong đó di thỏa:

di(x, y) ∈ [0, ∞]

1) Trước tiên ⇐ là hiển nhiên Ngược lại, nếu ∀i, ei(A, B) = 0 và a ∈ A thì

ta có ∀i, di(a, B) = 0 Khi đó, mọi di-quả cầu có bán kính dương và tâm a cóphần chung với B Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B Vậy a ∈ B.2) Tính chất cuối cùng suy ra từ tương ứng d 7→ h là tăng

Chúng ta xét một cách định nghĩa khác về cấu trúc đều trong Pf(X) Cho

W là một cơ sở lân cận của cấu trúc đều của X Nếu W ∈ W ta định nghĩaf

W bởi

f

W = n(A, B) ∈ Pf(X)2|A ⊂ W (B) và B ⊂ W (A)o

Với W (B) = {y ∈ X|∃x ∈ B sao cho (x, y) ∈ W }

Định lý 1.8 (Xem [3], tr.45) Với những ký hiệu ở trên, tập fW của tất cả fW

là một cơ sở lân cận trong Pf(X) Nó xác định cùng cấu trúc đều tương tự như

họ của các nửa khoảng cách (hi)

Chứng minh Đầu tiên, ánh xạ W 7→Wf tăng Khi đó, nếu W0 là một cơ

sở lân cận khác của X, mỗi fW0 ∈ Wf0 chứa một fW ∈ Wf và ngược lại Bây giờ

ta xét W0 là tập của tất cả

Ui,ε = (x, y) ∈ X2|di(x, y) < ε (ε > 0, i ∈ I)

Khi đó ei(A, B) < ε ⇒ A ⊂ Ui,ε(B) ⇒ ei(A, B) < 2ε

và hi(A, B) < ε ⇒ A ⊂ Ui,ε(B) và B ⊂ Ui,ε(A) ⇒ hi(A, B) < 2ε

Điều này chứng tỏ fW0 là một cơ sở của cấu trúc đều xác định bởi họ (hi).Chú ý 1.4 1) Nếu X là một nhóm topo Abel, V là một cơ sở lân cận của 0,khi đó các tập (A, B) |A ⊂ B + V và B ⊂ A + V (V ∈ V) tạo thành một cơ

sở lân cận của cấu trúc đều Pf(X)

Nếu X là một không gian Fréchet thì Pf(X) metric hóa được, nhưng nó

có thể tương thích hơn để xác định tính đều Hausdorff bởi tập của các lân cận

K0 ∈ θ, tồn tại một lân cận W sao cho W (K0) ⊂ U Do đó, tồn tại i ∈ I và

ε > 0 sao cho {x|di(x, K0) < ε} ⊂ U Khi đó

hi(K, K0) < ε ⇒ ei(K, K0) < ε ⇒ K ⊂ U

nghĩa là K ∈ θ

1.1.3 Không gian các tập con lồi đóng của không gian lồi địa phương

Cho E là một không gian vecto lồi địa phương Hausdorff, (pi)i∈I là một họlọc của nửa chuẩn xác định topo của E Khi đó, di(x, y) = pi(x − y) là nửakhoảng cách và áp dụng mục 1.1.2 vào E với họ (di)i∈I

Định lý 1.9 (Xem [3], tr.46) Cho (Fα)α∈A là dãy suy rộng của các tập conđóng của E Giả sử (Fα) hội tụ về F đối với topo được xác định trong mục1.1.2, khi đó nếu Fα lồi thì F lồi, nếu Fα bị chặn thì F bị chặn

Chứng minh 1) Giả sử Fα lồi Cho x, y ∈ F, λ ∈ [0, 1] và z = λx +(1 − λ) y Với mỗi lân cận lồi của 0 (ký hiệu làV), tồn tại α sao cho với β ≥ α,

F ⊂ Fβ+ V vàFβ ⊂ F + V Do đó, F ∪ {z} ⊂ Fβ+ V và Fβ ⊂ (F ∪ {z}) + V.Vậy F ∪ {z} cũng là giới hạn của (Fα) Điều đó chứng tỏ rằng z ∈ F

2) Giả sử Fα bị chặn Với mỗi lân cận lồi của 0 (ký hiệu là V) tồn tại α saocho với F ⊂ Fα+ V Vì Fα bị chặn nên tồn tại λ > 0 sao cho Fα ⊂ λV, do đó

F ⊂ (1 + λ) V và F bị chặn

Chú ý 1.5 Nếu E là metric hóa được thì phần thứ nhất suy ra từ công thứccuối cùng của Định lý (1.1): nếu W = {(x, y)| pi(x − y) ≤ ε} thì W (Am) là

Chứng minh Điều này được suy ra từ Định lý (1.2), (1.4), (1.9).

Định nghĩa 1.2 (Xem [3], tr.47) Cho E là một không gian vecto lồi địaphương Hausdorff và A là một tập con của E Hàm tựa của A là hàm đượcđịnh nghĩa trên E∗ bởi x∗ 7→ δ∗(x∗|A) = sup {hx∗, xi |x ∈ A}

Định lý 1.11 (Xem [3], tr.48) Có một phép tương ứng 1-1 giữa các tập lồiđóng khác rỗng và hàm nửa liên tục dưới tuyến tính dưới σ (E∗, E) trên E∗ (cógiá trị trong [−∞, ∞]) Tương ứng 1-1 là ánh xạ A 7→ δ∗( |A)

Chứng minh Hàm tựa δ∗( |A) là tuyến tính dưới, σ (E∗, E) nửa liên tụcdưới và > −∞ khi A khác rỗng Hơn nữa A đóng và lồi, δ∗( |A) đặc trưng A

theo định lí Hahn - Banach Cuối cùng, mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới σ (E∗, E)

nửa liên tục dưới là hàm tựa của A = {x |∀x∗ ∈ E∗, hx∗, xi ≤ ϕ (x∗)} Vì ϕ làhàm tuyến tính dưới

và A = B.

Định lý 1.13 (Xem [3], tr.49) Cho Pcb(E) là không gian các tập khác rỗng

bị chặn lồi đóng của E, p là nửa chuẩn liên tục trên E, U là nửa quả cầu đóng

U = {x |p (x) ≤ 1}, e là độ dôi và h là nửa khoảng cách Hausdorff kết hợp với

Chứng minh Giả sử e (A, B) = supδ∗(x∗|A) − δ∗(x∗|B ) x∗ ∈ U0 ,

khi đó, với ε > 0, e (A, B) ≤ ε tương đương với

∀x∗ ∈ E∗, δ∗(x∗|A) − δ∗(x∗|B ) ≤ εδ∗(x∗|U )

Thật vậy, điều kiện đủ là hiển nhiên Chú ý rằng nếu δ∗(x∗|U ) < ∞ thì x∗

thuộc δ∗(x∗|U ) U0 Nhưng

∀x∗ ∈ E∗, δ∗(x∗|A) ≤ δ∗(x∗|B ) + εδ∗(x∗|U )

tương đương với A ⊂ B ˙+εU

Cuối cùng infε > 0 A ⊂ B ˙+εU = e (A, B)

Thật vậy, nếu A ⊂ B + εU thì e (A, B) ≤ ε Và nếu ε > e (A, B) thì

A ⊂ B + εU vì vậy bất đẳng thức ≤ không đổi chiều

Chú ý 1.6 Định lý có thể được chứng minh bằng cách sử dụng inf - sup:

Bây giờ ta xét bài toán về phép nhúng Pcb(E) trong không gian vecto

Định nghĩa 1.3 (Xem [3], tr.50) Giả sử H là không gian của tất cả hàm thực

thuần nhất dương, sự thu hẹp của H trên tập đồng liên tục K của E∗ là bị chặn

và liên tục mạnh Với topo của hội tụ đều trên tập đồng liên tục, H trở thành

không gian vecto lồi địa phương Hausdorff

Định lý 1.14 (Xem [3], tr.50) Không gian H là đầy đủ Ánh xạ từ Pcb(E)

vào H được xác định bởi i : A → δ∗( |A) có các tính chất

- Là đơn ánh

- i (A + B) = i (A) + i (B)

- i (λA) = λi (A) (λ ∈ [0, ∞])

- Là phép đồng phôi từ Pcb(E) vào chính nó

Chứng minh H là đầy đủ Ta phải chứng minh rằng A ∈ Pcb(E) nghĩa

là δ∗( |A) ∈ H Điều không hiển nhiên là δ∗( |A) bị chặn trên mỗi tập đồngliên tục Nhưng kết quả từ một tập đồng liên tục thì bị chặn mạnh Cuối cùng,theo Định lý (1.11) i là đơn ánh, hai công thức là kết quả từ Định lý (1.12) vàđiều khẳng định cuối cùng là từ Định lý (1.13)

Chú ý 1.7 Nếu E là không gian Fréchet thì H cũng là không gian Fréchet.Nếu E là không gian Banach thì H cũng là không gian Banach với chuẩn

kϕk = sup {|ϕ (x∗)| |kx∗k ≤ 1}

1.2 Hàm đa trị đo được, liên tục

Kiến thức chuẩn bị

Một không gian đo được (T, T ) là một cặp ở đó T là một tập hợp và T là

σ - đại số của các tập con của T Nhắc lại T là σ - đại số nếu

- ∅ ∈ T

- A ∈ T ⇒ T − A ∈ T

- ∀n ∈N, An ∈ T ⇒ ∪An ∈ T

Phần tử của T được gọi là tập đo được

Nếu U là không gian topo thì σ - đại số Borel B(U ) là σ - đại số nhỏ nhấtchứa tất cả các tập mở Nếu (T, T ) và (U, U ) là hai không gian đo được thìtích σ - đại số T ⊗ U trên T × U là σ - đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập

A × B(A ∈ T , B ∈ U )

Nếu (T, T ) và (U, U ) là hai không gian đo được thì f : T → U được gọi là

(T , U ) - đo được nếu ∀V ∈ U , f−1(B) ∈ T Tính chất này giúp ta có thể mang

độ đo dương hoặc bị chặn trên T vào trong một độ đo trên U Nếu U là khônggian topo thì một hàm (T , B(U )) - đo được được gọi là hàm Borel Khi cả T

và U đều là không gian topo, một hàm liên tục từ T vào U là Borel

Nếu (T, T ) là không gian đo được và U là không gian metric, ta nói rằng

f : T → U là đo được (mạnh) nếu một trong những tính chất tương đương sauđây xảy ra:

(i) f là (T , B(U )) - đo được và f (T ) khả ly,

(ii) f là giới hạn từng điểm của dãy những hàm đo được với giả thiết nhậnmột số hữu hạn các giá trị,

(iii) f là giới hạn đều của dãy những hàm đo được với giả thiết nhận một sốđếm được các giá trị

Tính chất này bảo đảm rằng nếu U là nhóm topo, và nếu f và g là đo đượcthì f + g là đo được

Nếu U là không gian metric, nếu fn là một dãy của (T , B(U )) (tương ứngmạnh) hàm đo được từ T vào U, và fn → f từng điểm thì f là (T , B(U ))

(tương ứng mạnh) đo được

Nếu (T, T ) là không gian đo được, một độ đo bị chặn (tương ứng dương)trên (T , B(U )) là ánh xạµ : T → R (tương ứng µ : T → [0, ∞]) sao cho họ rờinhau từng cặp đếm được An thuộc T , µ(∪An) = P

µ(An) Một độ đo dương

là σ - hữu hạn nếu T là hợp của dãy các tập đo được có độ đo hữu hạn

Nếu µ là độ đo dương trong (T, T ) ta nói rằng tập con N của T là khôngđáng kể nếu tồn tại A ∈ T sao cho N ⊂ A và µ(A) = 0 µ - đầy đủ của T lànhóm được sinh ra bởi T và những tập không đáng kể; nó được kí hiệu là Tµ

Độ đo µ nhận một mở rộng duy nhất đến Tµ Nhóm T được gọi là µ - đầy đủnếu T = T µ

Nếu µ là độ đo dương trong (T, T ), U là không gian metric và f : T → U,

ta nói f đo được (hay µ - đầy đủ) nếu với mọi A ∈ T có độ đo hữu hạn, tồntại tập không đáng kể N sao cho f|A−N là đo được mạnh

Cho T là không gian topo Hausdorff Một độ đo Radon dương µ trên T làmột độ đo dương µ : B(T ) → [0, ∞] sao cho

- ∀t ∈ T, tồn tại một lân cận mở của t có độ đo hữu hạn,

- ∀A ∈ B(T ), µ(A) = sup {µ(K)|K compact, K ⊂ A}

Cho T là không gian topo Hausdorff, µ là độ đo Randon dương trênT, U làkhông gian topo, và f : T → U Ta nói f là µ - đo được Lusin nếu:

∀K compact, K ⊂ T, ∀ > 0, ∃L compact, L ⊂ K sao cho µ(K − L) <  và

f|L là liên tục

Hơn nữa, nếu U là không gian metric thì f là µ - đo được Lusin ⇔ ∀K

compact, f|K là µ - đo được

⇔ f là µ - đo được

1.2.1 Tính liên tục của hàm đa trị lồi

Định lý 1.15 (Xem [3], tr.51) Giả sử T là không gian topo, E là không gianlồi địa phương Hausdorff và Γ là hàm đa trị từ T vào các tập con khác rỗngcủa E Giả sử Γ(t0) compact yếu và lồi Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại

t0 nếu và chỉ nếu hàm vô hướng δ(x∗|Γ(.)) là nửa liên tục trên tại t0

Chú ý 1.8 Ta nói rằng Γ là nửa liên tục trên tại t0 nếu với bất kỳ tập mở U

chứa Γ(t0), tồn tại một lân cận V của t0 sao cho t ∈ V nghĩa là Γ(t) ⊂ U.Chứng minh

1) Nếu Γ là nửa liên tục trên tại t0 và α > δ∗(x∗|Γ(t0))(α ∈ R), đặt

Vì Γ(t0) là compact nên tồn tại x1, , xn ∈ Γ(t0) sao cho xi + 1

2V phủΓ(t0) Cho A = co{x1, , xn} + V (co là bao lồi) Khi đó A đóng và

A ⊂ U Ta giả sử 0 ∈ co{x1, , xn} (vì 0 ∈ Γ(t0)) khi đó A0 là tập đadiện lồi hữu hạn chiều chứa trong V0:

A0 = co{x∗1, , x∗k}

Khi đó Γ(t) ⊂ A ⊂ U với mọi t ∈ V.

Định lý 1.16 (Xem [3], tr.52) Cho T là không gian topo, E là không gian lồiđịa phương Hausdorff và Γ là hàm đa trị từ T vào các tập con lồi hoàn toàn bịchặn của E Giả sử ∪

t∈T Γ(t) hoàn toàn bị chặn Khi đó Γ là nửa liên tục dướitại t0 nếu và chỉ nếu hàm vô hướng δ∗(x∗|Γ(.)) là nửa liên tục dưới tại t0.Chú ý 1.9 Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới tại t0 nếu với bất kỳ tập mở U

ta có U ∩ Γ(t0) thì tồn tại một lân cận V của t0 sao cho Γ(t) ∩ U 6= ∅ với mọi

t ∈ V

Chứng minh 1) Giả sử Γ là nửa liên tục dưới tạit0 Nếu α < δ∗(x∗|Γ(t0))(α ∈

R) thì Γ(t0) ∩ U với tập mở U = {x ∈ E| hx∗, xi > α} Nếu t là một lân cậncủa t0 thì Γ(t) ∩ U và δ∗(x∗|Γ(t)) > α Nếu δ∗(x∗|Γ(t0)) = −∞ (nghĩa là nếu

Γ(t0) 6= ∅) thì δ∗(x∗|Γ(.)) là nửa liên tục dưới tại t0

2) Giả sử tất cả δ∗(x∗|Γ(.)) là nửa liên tục dưới Ta có thể giả sử Γ(t0) 6= ∅

(nếu Γ(t0) = ∅ thì Γ hiển nhiên là nửa liên tục dưới) Cho U là tập mở giaovới Γ(t0) Theo Định lý (1.15) ta có thể giả sử 0 ∈ Γ(t0) ∩ U Giả sử rằng U làtập mở lồi Nếu định lý sai thì tồn tại một dãy suy rộng (tα) hội tụ đến t0 saocho Γ(tα) ∩ U = ∅ Theo Hahn Banach tồn tại x∗α ∈ E∗ sao cho x∗α nhận giá trị

≤ −1 trên Γ(tα) và nhận giá trị ≥ −1 trên U Do đó, x∗α ∈ U0 (đặc biệt nếu tađịnh nghĩa U0 như là {x∗|∀x ∈ U, hx∗, xi ≥ −1}) và δ∗(x∗α|Γ(tα)) ≤ −1 Nhưvậy U0 là đồng liên tục, U0 là compact đối với topo hội tụ đều trên tập hoàntoàn bị chặn của E Cho z∗ là điểm tụ của (x∗α) đối với topo này Từ 0 ∈ Γ (t0)

suy ra δ∗(z∗|Γ (t0)) ≥ 0 Với x∗β đủ gần z∗, từ thực tế ta thấy rằng ∪Γ (t) làhoàn toàn bị chặn ta có

∀t, δ∗(z∗|Γ (t)) ≤ δ∗ x∗β |Γ (t)

+ 12

Nhưng với mỗi α, tồn tại β ≥ α sao cho x∗β thuộc vào một lân cận cho trước

2. Điều này là không thể vì

δ∗(z∗|Γ (.)) là nửa liên tục dưới tại t0

Hệ quả 1.3 (Xem [3], tr.53) Cho T là một không gian topo, E là không gianlồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T đến tập con lồi compact khácrỗng của E Ta giả sử rằng mỗi t0 ∈ T có một lân cận V sao cho S

t∈V

Γ (t) chứatrong một tập compact Khi đó, nếu những hàm tựa δ∗(x∗|Γ (.)) liên tục thì Γ

liên tục đối với topo Hausdorff

Chứng minh Gọi K là tập compact chứa S

t∈V

Γ (t) Cho U là tập mở Khi

đó, U ∩ K là tập mở yếu và theo Định lý (1.15),{t ∈ V |Γ (t) ⊂ U } là mở Nếu

Θ là một tập mở, theo Định lý (1.16), {t ∈ V |Γ (t) ∩ Θ} là mở Theo chú ý(1.4) mục 2, Γ liên tục trên V với topo Hausdorff

Hệ quả 1.4 (Xem [3], tr.54) Cho T là một không gian topo, và Γ là ánh

xạ từ T đến tập con lồi compact khác rỗng của Rn Khi đó, nếu các hàm tựa

δ∗(x∗|Γ (.)) liên tục thì Γ liên tục

Chứng minh Cho (e∗1, , e∗n) là một cơ sở của (Rn)0 Khi đó, nếu t0 ∈ T

thì tồn tại một lân cận của t0 (kí hiệu là V) sao cho hàm δ∗(e∗i |Γ (.)) và

σ (E, E∗) Hơn nữa, nếu E là Montel thì Γ liên tục đối với topo Hausdorff

Chứng minh 1) Theo Định lý (1.15) Γ là nửa liên tục trên đối với topoyếu Nếu T là compact địa phương thì ta có thể giả sử T là compact Nếu T

metric hóa được thì nó là đủ để chứng minh tính chất liên tục trên những tậpnhư tn, t |n ∈N , trong đó tn → t (vì Γ là nửa liên tục dưới tại t (tương ứngnửa liên tục trên) ⇔ ∀ (tn) hội tụ đến t và V mở trong U, nếu Γ t
∩ U 6= ∅

(tương ứng Γ t
⊂ U) thì vớin đủ lớnΓ (tn) ∩ U 6= ∅ (tương ứngΓ (tn) ⊂ U))

Do đó, ta luôn có thể giả sử T là compact Theo Định lý của Berge (Định lýbên dưới)S

U mở thì U ∩ (∪Γ (t)) cũng là tập mở yếu) Và Γ là nửa liên tục dưới đối vớitopo mạnh theo Định lý (1.16).

Định lý 1.17 (Berge) (Xem [3], tr.55) Giả sử T là một không gian compact,

E là một không gian Hausdorff, và Γ là một hàm đa trị từ T vào các tập concompact của E Khi đó, nếu Γ là nửa liên tục trên thì tập S

compact nên tồn tại θ1, , θn sao cho T = Tθ1 ∪ ∪ Tθn

(với topo Hausdorff được định nghĩa trong chương 1)

Định lý 1.18 (Xem [3], tr.62) Với giả thiết của Định nghĩa (1.4), Γ là đođược tương đương với tất cả các tính chất sau đây

a) ∀U mở trong X, Γ−(U ) = {t ∈ T |Γ (t) ∩ U 6= ∅} ∈ T

b) ∀F đóng trong X, Γ−(F ) = {t ∈ T |Γ (t) ∩ F 6= ∅} ∈ T

Chứng minh Ta sẽ vận dụng Định lý (1.7)

1) Chú ý rằng Γ−(U ) = Γ−1({K ∈ Pk(X) |K ∩ U 6= ∅})

Theo Định lý (1.7) {K |K ∩ U 6= ∅} là tập borel (và là tập mở theo Định

lý (1.5)) Do đó, nếu Γ đo được thì a) đúng Điều ngược lại là đúng theoĐịnh lý (1.7): tập {K |K ∩ U 6= ∅} sinh ra σ - đại số Borel của Pk(X)

2) Để chứng minh "Γ đo được" ⇔ b, ta chú ý rằng

Γ−(F ) = CTΓ−1({K |K ⊂ X − F })

và áp dụng lại Định lý (1.7)

Hệ quả 1.6 (Xem [3], tr.63) Nếu T là không gian topo, Γ là hàm đa trị từ

T vào Pk(X) và Γ là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) thì Γ đo được(đối với σ - đại số Borel B(T ))

(Định nghĩa về nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới được trình bày trong Định

Γn(t) là đo được

Chứng minh

1) Ta sẽ chứng minh ánh xạ (K1, K2) 7→ K1 ∩ K2 từ (Pk(X))2 vào Pk(X) làBorel Giả sửU là một tập mở trongX Ta sẽ chứng minh{(K1, K2) |K1 ∩ K2 ⊂ U }

là mở Thật vậy, nếu K10 ∩ K0

2 ⊂ U, K0

1 − U và K20 − U rời nhau thì khi đótồn tại hai tập mở U1 và U2 sao cho Ki0 − U ⊂ Ui(i = 1, 2) và U1 ∩ U2 = ∅.Theo Định lý (1.5), {(K1, K2) |K1 ⊂ U1 ∪ U, K2 ⊂ U2 ∪ U } là một lân cận của

2) Áp dụng phần 1), ta có Γ0n = Γ0 ∩ ∩ Γn là đo được Nhưng Γ0n(t) hội tụ

về Γn(t) đối với khoảng cách Hausdorff (ta thấy e Γ0n(t) , ∩Γn(t)
→ 0) Do

1.2.3 Định lý chọn Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con đầy đủ

của một không gian metric khả ly

Định nghĩa 1.5 (Xem [3], tr.65) Cho Γ : T → P (X) Hàm σ : T → X đượcgọi là hàm chọn của Γ nếu σ (t) ∈ Γ (t), ∀t

Một vấn đề quan trọng đó là chứng tỏ sự tồn tại của hàm chọn đo được khi

Γ có giá trị khác rỗng và có một số tính chất của tính đo được Định lý cơbản là Định lý (1.19) bên dưới và các hệ quả của nó, Định lý (1.20) và Định lý(1.21) Nhưng định lý tổng quát và hữu ích đó là Định lý (1.26)

Định lý 1.19 (Xem [3], tr.65) Cho X là một không gian metric khả ly, (T, T )

là không gian đo được, Γ là hàm đa trị từ T vào các tập con khác rỗng đầy đủcủa X Nếu với mỗi tập U mở trong X, Γ−(U ) = {t |Γ (t) ∩ U 6= ∅} thuộc T

thì Γ nhận một hàm chọn đo được

Chứng minh Cho {xn} là tập đếm được trù mật trong X Ta xác địnhmột dãy các hàm đếm được với giả thiết chỉ nhận một số đếm được cácgiá trị, (σp) bởi phép truy toán, với các tính chất d (σp(t) , Γ (t)) < 2−p,

d (σp+1(t) , σp(t)) ≤ 2−p+1

Trước hết, ta đặt σ0(t) = xn nếu n là số nguyên nhỏ nhất sao cho Γ (t) ∩

B xn, 20
6= ∅ (B (xn, r) là quả cầu mở bán kính r tâm xn) Vì vậy, σ0 là đođược:

σ10(xn) = Γ− B xn, 20

− [

m<n

Γ− B xm, 20

Bây giờ giả sử rằng σp được chọn Cho Ti = σp−1(xi) Khi đó, nếu t ∈ Ti,

Γ (t) ∩ B (xi, 2−p) 6= ∅ Trên Ti đặt σp+1(t) = xn nếu n là số nguyên nhỏ nhấtsao cho Γ (t) ∩ B (xi, 2−p) ∩ B xn, 2−(p+1)
6= ∅

Do đó σp+1 là đo được, d (σp+1(t) , Γ (t)) < 2−(p+1) và d (σp+1(t) , σp(t)) ≤

2−p + 2−(p+1) ≤ 2−p+1 Từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra (σp(t)) là một dãyCauchy Vì Γ (t) đầy đủ và d (σp(t) , Γ (t)) → 0 nên giới hạn của σp(t) trong

X thuộc Γ (t) Giới hạn σ (t) xác định một hàm chọn đo được của Γ

Định lý 1.20 (Xem [3], tr.66) Với giả thiết tương tự như trong Định lý (1.19),tồn tại một dãy (σn) của những hàm chọn đo được của Γ sao cho với mọi t,

Hàm đa trị t 7→ Γni(t) có giá trị đầy đủ khác rỗng Với mọi tập mở U ,



t

Do đó, theo Định lý (1.19), Γni có một hàm chọn đo được σni

Bây giờ ta chứng minh Γ (t) = {σni(t)} Cho x ∈ Γ (t) và ε > 0 Chọn i

sao cho 2−i ≤ ε

1) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là một không gian Polish và Γ là ánh

xạ từ T vào các tập con đóng khác rỗng của X Nếu với mọi tập mở U trong

X, Γ−(U ) ∈ T thì Γ nhận được một dãy các hàm chọn đo được (σn) sao cho

Γ (t) = {σn(t)}

2) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric khả ly và Γ làánh xạ từ T vào các tập con compact khác rỗng của X Nếu Γ đo được (xemĐịnh nghĩa (1.4)) thì Γ nhận được một dãy các hàm chọn đo được (σn) sao cho

Γ (t) = σn(t)

Chứng minh Đây là hệ quả của Định lý (1.20)

Định lý 1.22 (Xem [3], tr.67) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là khônggian metric khả ly và Γ là ánh xạ từ T vào các tập con đầy đủ khác rỗng của

X Khi đó các tính chất sau đây là tương đương

a) Γ−(U ) ∈ T với mọi tập mở U,

b) d (x, Γ (·)) là đo được với mọi x ∈ X,

c) Γ nhận được một dãy các hàm chọn đo được (σn) sao cho Γ (t) = σn(t)

Nhưng mọi tập mở U là hợp của một dãy các quả cầu B (xn, rn) Do đó,

" Γ−(F ) ∈ T với mọi tập đóng F"

và "đồ thị của Γ (GΓ = {(t, x) ∈ T × X |x ∈ Γ (t)}) nằm trong T ⊗ B (X)"

Ta kiểm tra các tính chất này trong ba mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.2 (Xem [3], tr.68) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là khônggian metric và Γ là ánh xạ từ T vào P (X) Khi đó nếu Γ−(F ) ∈ T với mọitập đóng F thì Γ−(U ) ∈ T với mọi tập mở U

Chứng minh Với mọi tập mở U, đặt

Fn =



x ∈ X

... data-page="26">

độ đo dương bị chặn T vào độ đo U Nếu U khônggian topo hàm (T , B(U )) - đo được gọi hàm Borel Khi T

và U không gian topo, hàm liên tục từ T vào U Borel

Nếu (T, T ) không... gian topo, Γ hàm đa trị từ

T vào Pk(X) Γ nửa liên tục (hoặc nửa liên tục dưới) Γ đo được(đối với σ - đại số Borel B(T ))

(Định nghĩa nửa liên tục nửa liên tục trình bày Định... gianlồi địa phương Hausdorff Γ hàm đa trị từ T vào tập khác rỗngcủa E Giả sử Γ(t0) compact yếu lồi Khi Γ nửa liên tục yếu

t0 hàm vô hướng δ(x∗|Γ(.)) nửa liên