đơn vị Ångstrom 10 cm ion kim loại ion á kim khoảng cách giữa hai ion kim loại thuộc các nguyên tố khác nhau khoảng cách giữa ion kim loại và ion á kim thông số cạnh ô mạng theo phương O[r]
Trang 1
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 303 Tr Từ khoá: Trạng thái kết tinh, Tính dị hướng, định luật Veis, Yếu tố đối xứng, Định luật Groth, Mặt tinh thể, Nguyên lí Bravais, Bragg-Vulf, Định luật Goldschmidt Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả Mục lục Lời nói đầu 10
Chương 1 CHẤT KẾT TINH VỚI BẢN CHẤT DỊ HƯỚNG, MẶT TINH THỂ 13
1.1 Dị hướng 13
1.1.1 Các trạng thái hình học của vật rắn 13
1.1.2 Định nghĩa 13
1.1.3 Trạng thái kết tinh 15
1.1.4 Tính dị hướng của trạng thái kết tinh 16
1.1.5 Khái niệm mạng không gian và dị hướng 18
1.2 Mặt tinh thể 18
1.2.1 Nguyên lí Bravais về mặt tinh thể 18
1.2.2 Kí hiệu mặt (mặt mạng) của tinh thể 21
1.2.3 Định luật Haỹy 22
1.2.4 Chỉ số thứ tư trong hệ sáu phương 23
1.2.5 Định luật các đới (định luật Veis) Phương pháp phát triển đới 25
1.2.6 Xác định kí hiệu mặt nhờ biểu đồ chuẩn 26
Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ 28
2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng 28
2.1.1 Yếu tố đối xứng 28
2.1.2 Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng 32
2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng 34
2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng 34
Giáo trình cơ sở hóa tinh thể
Trinh Hân Ngụy Tuyết Nhung
Trang 22.2.2 Hạng, hệ tinh thể 38
2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm 39
2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể 42
Chương 3 HÌNH HỌC CẤU TRÚC TINH THỂ 47
3.1 Đối xứng của cấu trúc tinh thể 47
3.1.1 Yếu tố đối xứng trong mạng tinh thể 47
3.1.2 Nhóm đối xứng không gian 51
3.2 Hệ điểm quy tắc 52
3.2.1 Định nghĩa 52
3.2.2 Số bội của hệ điểm quy tắc 53
3.3 Đặc điểm dạng quen phụ thuộc thành phần và cấu trúc tinh thể 53
3.3.1 Định luật Groth 54
3.3.2 Các loại dạng quen 54
3.3.3 Tác dụng của tạp chất đối với dạng quen 55
3.3.4 Dạng quen phụ thuộc thông số chuỗi 56
3.3.5 Dạng quen phụ thuộc mật độ hạt của mặt mạng 56
3.3.6 Dạng quen và vectơ kết chuỗi 59
3.4 Cơ sở phương pháp phân tích cấu trúc tinh thể bằng tia X 60
3.4.1 Định luật phản xạ Bragg-Vulf 60
3.4.2 Mặt mạng và cường độ của tia giao thoa 63
3.4.3 Các phương pháp thu ảnh nhiễu xạ 63
3.4.4 Sơ bộ về các bước phân tích cấu trúc tinh thể 67
Chương 4 KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HOÁ HỌC TINH THỂ 75
4.1 NHỮNG YẾU TỐ XÁC ĐỊNH CẤU TRÚC TINH THỂ 75
4.1.1 Cấu hình điện tử của nguyên tử 75
4.1.2 Bán kính hiệu dụng của nguyên tử và ion 76
4.1.3 Số phối trí, đa diện phối trí và giới hạn bền vững của chúng 78
4.1.4 Tính phân cực của ion 81
4.1.5 Định luật Goldschmidt 83
4.2 CÁC DẠNG LIÊN KẾT TRONG CẤU TRÚC TINH THỂ 84
4.2.1 Liên kết ion 84
4.2.2 Năng lượng mạng của tinh thể ion 88
4.2.3 Liên kết kim loại 90
4.2.4 Liên kết cộng hoá trị 92
4.2.5 Liên kết tàn dư 94
4.3 CÁC LOẠI CẤU TRÚC TINH THỂ TIÊU BIỂU 96
4.3.1 Cách thức thể hiện loại cấu trúc 96
4.3.2 Phân loại cấu trúc tinh thể 98
4.4 KHÁI QUÁT VỀ CÁC LOẠI CHẤT KHÁC NHAU 105
4.4.1 Kim loại và hợp kim 105
4.4.2 Một số hợp chất hữu cơ 111
4.4.3 Sulfur và muối sulfur 113
4.4.4 Halogenur 121
4.4.5 Oxit và hydroxit 125
4.4.6 Carbonat, sulfat và phosphat 137
4.4.7 Silicat và alumosilicat 143
Trang 3Chương 5 ĐẶC ĐIỂM CẤU TRÚC TINH THỂ THỰC 147
5.1 CÁC LOẠI SAI HỎNG TRONG TINH THỂ THỰC 147
5.1.1 Sai hỏng điểm 147
5.1.2 Sai hỏng đường 148
5.1.3 Sai hỏng mặt 148
5.2 ĐỒNG HÌNH 150
5.2.1 Vectơ thay thế 151
5.2.2 Đồng cấu trúc 154
5.2.3 Dung dịch cứng 155
5.2.4 Sự phân rã của dung dịch cứng 158
5.3 ĐA HÌNH 161
5.3.1 Một số biến thể đa hình 161
5.3.2 Trật tự – không trật tự 164
5.3.3 Đa dạng 164
5.3.4 Metamict 165
5.3.5 Khoáng vật không kết tinh 166
5.3.6 Giả hình 166
5.4 BIẾN DẠNG DẺO TRONG KHOÁNG VẬT TẠO ĐÁ 166
5.4.1 Olivin 168
5.4.2 Disten (kyannit) 169
5.4.3 Enstatit 169
5.4.4 Amphibol 170
5.4.5 Mica 170
5.4.6 Plagioclas 170
5.4.7 Thạch anh 171
5.4.8 Carbonat 172
5.5 ĐẶC TÍNH HOÁ LÍ CỦA TINH THỂ LIÊN QUAN VỚI CẤU TRÚC CỦA CHÚNG 175
5.5.1 Đặc tính hoá lí liên quan với dạng liên kết hoá học trong tinh thể 175
5.5.2 Tính chất điện 178
5.5.3 Tính chất quang 179
5.5.4 Tính rèn được của kim loại 181
5.5.5 Tính cát khai 182
5.5.6 Các hệ số co cơ, giãn nhiệt 183
5.5.7 Độ cứng và nhiệt độ nóng chảy 184
5.5.8 Ảnh hưởng của dạng liên kết hydro đến các tính chất hoá lí 186
5.5.9 Hiệu ứng chắn của ion 188
5.5.10 Độ hoà tan 189
5.5.11 Tỉ trọng 191
Chương 6 HÓA HỌC TINH THỂ CỦA MỘT SỐ KHOÁNG VẬT TẠO ĐÁ 195
6.1 OLIVIN 195
6.1.1 Cấu trúc tinh thể 195
6.1.2 Đặc điểm hoá học 197
6.2 GRANAT 200
6.2.1 Cấu trúc tinh thể 200
Trang 46.2.2 Đặc điểm hoá học 201
6.3 NHÓM SILICAT NHÔM Al2SiO5 206
6.3.1 Silimanit AlIVAlVISiO4O 207
6.3.2 Andalusit AlVAlVISiO4O 207
6.3.3 Disten AlVIAlVISiO4O 208
6.4 SILICAT ĐẢO VÒNG 209
6.4.1 Beryl Al2Be3Si6O18 209
6.4.2 Cordierit (Mg,Fe)2Al4Si5O18.nH2O 211
6.4.3 Tourmalin(Na,Ca)(Mg,Fe,Mn,Li,Al)3(Al,Mg,Fe3+)6[Si6O18](BO3)(O,OH)3( OH,F) 212
6.5 BIOPYRIBOL 214
6.5.1 Tương quan hóa học tinh thể mica–pyroxen–amphibol 214
6.5.2 Một số khoáng vật biopyribol 217
6.6 PYROXEN 218
6.6.1 Cấu trúc tinh thể 219
6.6.2 Đặc điểm hoá học 223
6.7 AMPHIBOL 227
6.7.1 Cấu trúc tinh thể 228
6.7.2 Đặc điểm hoá học 228
6.8 MICA X2Y4–6Z8O20(OH,F)4 235
6.8.1 Cấu trúc tinh thể 235
6.8.2 Muscovit 241
6.8.3 Phlogopit - biotit 243
6.9 PYROPHYLLIT-TALC 246
6.9.1 Pyrophyllit 247
6.9.2 Talc 247
6.10 KHOÁNG VẬT SÉT 250
6.10.1 Kaolinit 252
6.10.2 Illit 254
6.10.3 Smectit 257
6.10.4 Vermiculit 260
6.11 FELDSPAT 265
6.11.1 Đặc điểm cấu trúc 265
6.11.2 Đặc điểm hoá học 271
6.11.3 Song tinh của feldspat 273
6.12 THẠCH ANH, TRIDYMIT VÀ CRISTOBALIT (SiO2) 276
6.12.1 Cấu trúc tinh thể 277
6.12.2 Đặc điểm hoá học 279
6.13 MỘT SỐ KHOÁNG VẬT TẠO ĐÁ KHÁC 279
6.13.1 Calcit 279
6.13.2 Aragonit 280
6.13.3 Barit 282
6.13.4 Apatit 283
6.13.5 Corindon α-Al2O3 284
6.13.6 Spinel 287
Trang 5LỜI NÓI ĐẦU
Ngót một thế kỉ qua, kể từ khi cấu trúc tinh thể đầu tiên được xác định, đã xuất hiện những thông tin ngày càng nhiều, ngày càng chính xác về trật tự bên trong của các chất kết tinh Cũng nhờ
đó, nền tảng lí thuyết của các môn học liên quan đến thể kết tinh ngày càng thêm củng cố
Hoá học tinh thể có đối tượng nghiên cứu là mối quan hệ thành phần – cấu trúc – tính chất của vật kết tinh và là địa chỉ ứng dụng của những kết quả nghiên cứu cấu trúc tinh thể Cùng với sự phát triển của ngành giáo dục và đào tạo nước nhà, trường Đại học Tổng hợp nay là Đại học Quốc gia Hà Nội đã từng đưa môn học này (với 3 – 4 đơn vị học trình) vào danh mục các chuyên đề trong quy trình đào tạo cử nhân, thạc sĩ địa chất học, hoá học
Phần đầu gồm các chương một và hai, trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về chất kết tinh
và tinh thể học hình thái Chương ba là hình học cấu trúc tinh thể, chú trọng vào khái niệm và cách suy đoán 230 nhóm đối xứng không gian, hệ điểm quy tắc, quan hệ dạng quen – cấu trúc và tóm lược về Roentgen tinh thể học Chương bốn gồm những khái niệm cơ bản của hoá học tinh thể, phân loại và
mô tả các loại cấu trúc Cuối chương, đặc điểm hoá học tinh thể của một số loại chất tự nhiên và nhân tạo được trình bày khái lược
Chương năm có nội dung về tinh thể thực với những sai khác chủ yếu trong cấu trúc và thành phần hoá học của chúng; kể cả các hiện tượng đa hình, đồng hình, dung dịch cứng và sự phân rã, biến dạng dẻo trong khoáng vật tạo đá v.v…; tức là một phần những gì giới tự nhiên đầy biến cố đã để lại trên sản phẩm của nó Chương năm là một trong những nội dung chính: tính chất vật lí, hoá học của tinh thể trong mối liên quan phụ thuộc với cấu trúc của chúng (do đồng tác giả Phó Giáo sư Ngụy Tuyết Nhung soạn) Cuối cùng, chương sáu dành cho những đặc điểm hoá học tinh thể của một số khoáng vật tạo đá chính
Cuốn sách đã hoàn thành với sự giúp đỡ, khuyến khích, chia sẻ kinh nghiệm và tài liệu v.v của đồng nghiệp Đặc biệt, Phó Giáo sư Nguyễn Tất Trâm, Phó Giáo sư Đặng Mai đã đọc và cho nhiều nhận xét quý báu, giúp hoàn thiện nội dung và hình thức Các tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
Với rất nhiều cố gắng mong đạt tới chất lượng cao nhất cho cuốn sách nhưng biết rằng, cuốn sách này chưa thể đáp ứng được sự mong đợi của mọi giới bạn đọc, các tác giả sẵn sàng tiếp nhận với lòng biết ơn về mọi ý kiến đóng góp, mong sao cuốn sách này sẽ ngày càng bổ ích hơn
Các tác giả
Trang 6MỞ ĐẦU
Nội dung môn học
Căn cứ vào kết quả phân loại các chất kết tinh theo các tiêu chí về đặc điểm thành phần và cấu trúc bên trong, vào kết quả nghiên cứu tính chất của chúng, hoá học tinh thể có nhiệm vụ góp phần xử
lí mối tương quan của thành phần hóa học và cấu trúc của tinh thể với tính chất của chúng, nhằm giúp
ngành vật liệu học, ngọc học, v.v rút ra những luận điểm mang tính quy luật trong nghiên cứu chế tạo, hoặc xử lí chế tác nguyên liệu khoáng vật, làm ra những vật liệu mới với tính năng định sẵn, hoặc những sản vật mới với giá trị thương phẩm cao
Với tư cách là sản phẩm của tự nhiên, tinh thể khoáng vật luôn lưu giữ những dấu ấn của các quá trình xảy ra sâu trong lòng đất Khảo sát đặc điểm về thành phần và cấu trúc tinh thể của khoáng vật trong sự phụ thuộc vào điều kiện (nhiệt độ và áp suất) thành tạo là một nội dung nghiên cứu của địa chất
Sơ lược lịch sử phát triển môn học
Một trong những người đặt nền móng cho hoá học tinh thể là Goldschmidt Trong những công trình về địa hoá học, ông đã quan tâm đặc biệt đến ý nghĩa của môn học này Ông đã công bố nhiều công trình ở Viện Hàn lâm Khoa học Na Uy và năm 1954, sau khi ông qua đời, nhiều công trình khác của ông được đăng tải trong tạp chí “Hoá học tinh thể”
Trước khi trở thành môn học độc lập, hoá học tinh thể đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển
− Haỹy R.Y (1801) đã đề xuất ý tưởng cho rằng tất cả các hợp chất tương đồng về thành phần hoá học thì sẽ kết tinh theo một đa diện tinh thể nhất định Quy luật này được hiệu chỉnh một phần bởi một vài phát kiến sau đó
− Theo Wollaston W.H (1808), một số hợp chất khác nhau về thành phần hoá học lại có dạng tinh thể giống nhau Ví dụ, calcit CaCO3, magnesit MgCO3 và siderit FeCO3, chúng kết tinh thành cùng một đa diện hình mặt thoi (gồm 6 mặt hình thoi bằng nhau)
− Mitscherlich E (1819) cũng có phát hiện tương tự với cặp hợp chất KH2PO4 và KH2AsO4 Ông gọi đó là hiện tượng đồng hình (isomorphism)
Hình dạng đều đặn của tinh thể làm nảy sinh khuynh hướng tìm nguyên nhân trong sự sắp xếp nguyên tử bên trong đa diện Ngay từ năm 1675, Newton I đã viết trong “Quang học” rằng khi tinh thể thành tạo thì không những các hạt xếp ngay hàng thẳng lối để tạo đa diện đều đặn, mà nhờ khả năng phân cực chúng còn tự xoay, hướng các đầu giống nhau về một phía
− Haỹy R.Y (1784) đã làm thí nghiệm trên những tinh thể có cát khai (tính dễ tách giãn thành tinh thể đa diện dưới tác dụng của lực cơ học) tốt và đi đến giả định rằng tinh thể của mỗi chất hình thành từ những “phân tử” xếp song song và kề nhau Phân tử của mỗi chất kết tinh có dạng đa diện riêng
− Năm 1813 Wollaston W.H đề nghị thay “phân tử” của Haỹy bằng những nút điểm toán học (chẳng hạn, điểm trọng tâm của “phân tử ”) Từ đó, khái niệm mạng không gian (tập hợp nút điểm xếp theo một trật tự nhất định) ra đời, nhằm mô tả trật tự sắp xếp bên trong tinh thể Đây là quan điểm tiến
Trang 7bộ, bởi vì cho đến lúc đó chưa có phương pháp nào giúp nghiên cứu hình dạng hạt (nguyên tử, phân tử) Đồng thời, ý tưởng ấy cho phép nghiên cứu khía cạnh hình học của sự đối xứng trong mạng tinh thể
− Chính từ đó, Bravais A (1855) đã chứng minh được 14 loại mạng không gian
Năm 1890, Phedorov E.S và Schoenflies A., mỗi người theo cách riêng, đã đi đến cùng một kết quả về các tổ hợp yếu tố đối xứng trong mạng không gian Chính sự ra đời của 230 nhóm đối xứng không gian ấy (xem phụ lục 1) đã đặt nền móng lí thuyết về cấu trúc tinh thể cho hoá học tinh thể hiện đại
Từ năm 1912, những thực nghiệm đầu tiên của Laue M., Bragg W.H và Bragg W.L đã giúp tìm ra năng lực mới của tia X là nhiễu xạ trong mạng tinh thể (Trước đó tia X chỉ được coi là bức xạ dùng xuyên thâu và công phá vật chất) Thế kỷ 20 chứng kiến sự chấn hưng của hoá học tinh thể, lí thuyết hình học của cấu trúc tinh thể dần dần được củng cố bằng hệ phương pháp phân tích cấu trúc tinh thể với độ chính xác và tự động hóa ngày càng cao Cũng
từ đó, dữ liệu thực tế của môn học ngày một tăng cường; hàng loạt chất rắn được phân tích cấu trúc, bắt đầu từ đơn chất qua các hợp chất đơn giản, sang hợp kim, silicat và hợp chất hữu
cơ
Ngoài nhiễu xạ Roentgen, các phương pháp thực nghiệm khác như nhiễu xạ điện tử, quang phổ hồng ngoại, cộng hưởng từ hạt nhân v.v… cũng là những công cụ bổ trợ để nghiên cứu cấu trúc tinh thể
Trang 8có thể có những lí tính khác nhau Sự đa dạng ấy không đặc trưng cho thể lỏng và không thể
có trong thể khí
Trạng thái rắn đa dạng, còn riêng từng chất kết tinh có thể có những cá thể không giống nhau; nhưng một chất lỏng không thể cho những giọt khác nhau Lấy muối ăn làm thí dụ: mỗi tinh thể NaCl có một diện mạo riêng, chúng có thể lớn hoặc bé, dạng lập phương hay khối chữ nhật v.v Dưới kính hiển vi, một lát mỏng kim loại có thể cho thấy từng tinh thể với những nét hình thái phân biệt Nếu cần có thể tách riêng một cá thể dạng đa diện, được gọi là tinh thể đơn Dưới danh từ “tinh thể” nhiều khi có thể hiểu như một tinh thể đơn, hoặc khái quát hơn, như một vật kết tinh Trong rất nhiều trường hợp, vật rắn bộc lộ dưới dạng tập hợp tinh thể Chẳng hạn, đá hay kim loại bao gồm các hạt không có hình dạng nhất định, trong điều kiện chất nóng chảy nguội nhanh, sự kết tinh bắt đầu cùng lúc trên mọi điểm của nó Nhiều tinh thể cùng phát triển trong một không gian hạn hẹp riêng, chúng cản trở nhau, không hạt nào đủ chỗ để tự thể hiện, để tạo thành đa diện riêng
Chương này dành cho dị hướng, một thuộc tính của vật rắn
1.1 DỊ HƯỚNG
Khi nói về dị hướng hoặc đẳng hướng của một tinh thể hãy gắn với tính chất cụ thể của
nó Đẳng hướng đối với tính chất này, nó có thể dị hướng trong tính chất khác Trước hết, hãy làm rõ bản chất của tinh thể với tư cách là một trong ba dạng tồn tại của vật rắn
1.1.1 Các trạng thái hình học của vật rắn
Về mặt hình học, vật rắn có thể tồn tại ở một trong ba trạng thái sau: vô định hình, tinh thể lỏng và kết tinh Đối tượng nghiên cứu của tinh thể học hay hoá học tinh thể nói riêng chính là chất kết tinh Trước hết hãy làm rõ một số khái niệm
Trang 9trong lòng vật rắn, hãy đo độ lớn của một tính chất theo đủ mọi hướng Chẳng hạn, sự biến thiên của tốc độ truyền nhiệt biểu thị bằng tập hợp vô số vectơ với gốc chung đặt tại điểm đã cho Ngọn của các vectơ tạo nên bề mặt liên tục dưới dạng một elipsoit (hình 1.1) Bề mặt liên tục đều đặn ấy có thể hình thành do ngọn của một vectơ, khi nó xoay liên tục xung quanh điểm gốc theo hết thảy mọi chiều: vừa xoay vừa thay đổi độ lớn (số đo của tính chất)
Dựa vào hình dạng của bề mặt chỉ thị này, có thể phân biệt hai trường hợp sau: đẳng
hướng và dị hướng
- Đẳng hướng: vectơ chỉ thị tính chất xoay quanh gốc mà không thay đổi độ lớn dù
theo hướng nào Bề mặt chỉ thị sẽ là một hình cầu (hình 1.1,a) Trong trường hợp này, vật rắn đã cho là đẳng hướng đối với tính chất đang khảo sát Ví dụ: thuỷ tinh
là vật đẳng hướng đối với tính chất truyền nhiệt của nó
- Dị hướng: khi vectơ chỉ thị tính chất thay đổi hướng và độ lớn biến thiên theo, thì
bề mặt chỉ thị sẽ không còn là hình cầu nữa (hình 1.1,b) Trong trường hợp này, vật
rắn gọi là dị hướng đối với tính chất đang khảo sát Như vậy, vật rắn vốn dị hướng đối với một tính chất này, có thể trở nên đẳng hướng đối với tính chất khác
Có 2 trường hợp dị hướng:
- Dị hướng liên tục Bề mặt chỉ thị sẽ có dạng một elipsoit ba bán trục, hình dạng của
nó xác định bằng 3 giá trị bán kính khác nhau dọc 3 hướng trực giao Elipsoit với
bề mặt liên tục và đều đặn ấy là biểu hiện của dị hướng liên tục Mỗi tính chất đặc
trưng bằng một elipsoit riêng
- Dị hướng gián đoạn Tính chất
của vật biểu thị bằng một số có
hạn các vectơ chung gốc thay
cho một bề mặt liên tục Dọc
theo các hướng khác ngoài
hướng của các vectơ ấy, tính
vectơ thể hiện tính chất của vật
rắn kết tinh (xem dưới)
Vật thể vô định hình không có bản chất dị hướng gián đoạn và luôn đẳng hướng đối với
phần lớn tính chất của chúng Hầu hết các vật thể vô định hình là chất lỏng và chất khí Một
số vật rắn cũng có thể tồn tại ở thể vô định hình Đường cong ngưng kết (thể lỏng chuyển sang thể rắn) của vật thể vô định hình biến thiên theo thời gian là một đồ thị liên tục (hình 1.2,a) Theo thời gian nhiệt độ giảm, độ nhớt của chất lỏng tăng (độ linh động giảm) tuần tự tới mức không thể ghi nhận thời điểm chất lỏng chuyển sang thể rắn trong quá trình chuyển pha
Tinh thể lỏng là trạng thái đặc thù của một số hợp chất hữu cơ với phân tử phức tạp
Trong quá trình ngưng kết, vật chất loại này trải qua trạng thái trung gian Trong giai đoạn
Hình 1.1
Bề mặt chỉ thị của vật thể đẳng hướng (a) và dị hướng
Trang 10này, vật chất có đặc tính vừa của thể lỏng, vừa của chất kết tinh như dị hướng quang học Vật thể tồn tại ở trạng thái trung gian này mang tên tinh thể lỏng (Lemann O., 1889) Chúng có hai loại tuỳ độ trật tự tăng dần như sau:
- Khi phân tử đều sắp xếp song song với một hướng chính, với độ trật tự theo một
chiều không gian, ở mức sơ khai Thể nematit này thường dị hướng (không phải dị
hướng gián đoạn) và hầu hết là chất lỏng
- Khi phân tử vừa xếp song song vừa phân bố thành từng lớp, tức là với một độ trật
tự cao hơn (theo hai chiều không gian) Chất smectit này có bản chất dị hướng gián
đoạn và thường có dạng nhão và cũng có thể ở thể rắn Chúng gần với chất kết tinh hơn
1.1.3 Trạng thái kết tinh
Tuỳ điều kiện ngưng kết, chẳng hạn nhiệt độ của chất nóng chảy hạ nhanh hay chậm, vật chất có thể ngưng kết ở thể vô định hình hay ở thể kết tinh Tại điều kiện khí quyển, đại bộ phận vật rắn tồn tại ở trạng thái kết tinh Tinh thể học là khoa học về chất rắn Trạng thái kết
tinh có nhiều thuộc tính, nhưng nét đặc trưng cơ bản nhất của chúng là bản chất dị hướng
gián đoạn
Hình 1.2
Đường cong ngưng tụ từ trạng thái lỏng sang rắn vô định hình (a) và rắn kết tinh (b)
Đường cong ngưng kết trên đồ thị hình 1.2,b cho thấy sau giai đoạn đầu hạ giảm tuần tự, nhiệt độ trở nên không đổi (T1 = const) ngay khi pha rắn xuất hiện dưới dạng những tinh thể
“mầm” đầu tiên Trong giai đoạn từ thời điểm t1 đến t2 cả pha rắn và pha lỏng cùng có mặt Các vi tinh tự phát triển thành đa diện ngày càng lớn Nhiệt độ lại tiếp tục giảm khi trong hệ chỉ còn pha rắn Tinh thể cũng có thể hình thành trong dung dịch bão hoà bằng cách cho dung môi bay hơi hoặc bằng cách cho hơi thăng hoa và ngưng tụ trong ngăn lạnh
Tính đồng nhất của trạng thái kết tinh Một vật gọi là đồng nhất nếu nó có những tính
chất giống nhau tại mỗi điểm trong toàn thể tích của nó Bản chất đồng nhất chỉ được xác minh, nếu tính chất được khảo sát theo những phương song song Chẳng hạn, nếu hai chiếc đũa cùng kích thước, cắt gọt từ một tinh thể theo cùng một phương, thì chúng phải bộc lộ độ bền cơ học giống nhau; chẳng hạn, chúng đều bị gãy dưới tác dụng của cùng một vật nặng Khi tinh thể có mặt cát khai theo một phương xác định, nó luôn bị tách vỡ dễ dàng dọc phương của mặt ấy dưới tác dụng của một lực cơ học; dù cho lực ấy đặt vào điểm nào của tinh
Trang 11thể Rõ ràng, vật kết tinh có cấu trúc như nhau tại mọi điểm của nó thì nó phải đồng nhất Đương nhiên, ở đây chưa tính đến những khuyết tật, sai hỏng sẵn có trong cấu trúc tinh thể thực (sẽ nói ở chương V)
Tuy nhiên, đồng nhất là khái niệm mang tính tương đối: nó tuỳ thuộc thang độ khảo sát
Dưới kính hiển vi, tinh thể kim cương chẳng hạn là một vật thể đồng nhất Thực ra, nó là một
hệ gián đoạn với hơn 177.109 hạt/micromet khối; giữa các hạt carbon là khoảng không phi vật
chất Như vậy, ở thang độ nguyên tử khái niệm tính đồng nhất không tồn tại
1.1.4 Tính dị hướng của trạng thái kết tinh
Chất dị hướng (đối với tính chất nào đó của nó) là chất đồng nhất, mà nếu theo những phương song song tính chất ấy thể hiện như nhau, thì nói chung, theo những phương không song song tính chất ấy thể hiện khác nhau Chất kết tinh thường dị hướng Nếu từ vật kết tinh nào đó cắt gọt hai thỏi kích thước như nhau nhưng theo những phương khác nhau thì chúng sẽ
có những tính chất khác nhau Chẳng hạn, các thỏi này sẽ có sức bền cơ học không như nhau Tính dị hướng của một tinh thể nhất định liên quan tới cấu trúc của nó, bởi vì theo những phương song song thì nguyên tử (hay ion, phân tử) giống nhau được sắp đặt giống hệt nhau, cách nhau cùng một khoảng Theo những phương không song song, các hạt nói chung không sắp xếp đều đặn như nhau, do đó các tính chất dọc các phương này phải khác nhau
Một tinh thể dị hướng (hay đẳng hướng) theo một tính chất, có thể đẳng hướng (dị hướng) theo tính chất khác Ví dụ: tinh thể thuộc hệ lập phương luôn đẳng hướng đối với tính chất quang học và dị hướng đối với các tính chất khác
Những thực nghiệm sau đây cho thấy tính dị hướng của vật kết tinh
Hãy chạm đầu kim nung đỏ lên bề mặt tấm thạch cao đã phủ sẵn lớp sáp ong mỏng (hình 1.3) Lớp sáp bị chảy
ra từ điểm chạm của đầu kim, trong phạm vi một hình elip đều đặn; điều này chứng tỏ sự dị hướng của thạch cao đối với tính dẫn nhiệt Nếu chạm đầu kim nóng đỏ lên các điểm khác trên cùng mặt tinh thể này, sẽ nhận được những hình elip đồng dạng và cùng một định hướng (tính đồng nhất) Nhỏ lên mặt tinh thể fluorit CaF2 vài giọt acid sulfuric Dưới tác dụng của nó các mặt tinh thể bị ăn mòn thành những hố lõm, hình dạng khác nhau trên những mặt khác nhau Hình
ăn mòn trên mặt bát diện có dạng tháp với đáy tam giác đều, trên mặt lập phương tháp có đáy vuông Những hình ăn mòn có chung một định hướng
Hình 1.3
Thực nghiệm về tốc độ truyền nhiệt trên mặt tinh thể thạch
cao phủ sáp ong
Trang 12Cũng như tính đồng nhất, dị hướng không phải chỉ có riêng ở chất kết tinh; tinh thể lỏng
và đôi khi chất vô định hình cũng là những vật dị hướng Chỉ dị hướng gián đoạn là đặc hữu
của chất kết tinh Sau đây là một số ví dụ
Tính nhiễu xạ của tia X trong tinh thể Một tinh thể nằm trên đường đi của chùm tia X sẽ
gây nhiễu xạ đối với bức xạ này Mỗi mặt tinh thể cho ít nhất một tia nhiễu xạ với một hướng xác định và một cường độ xác định Nếu năng lực nhiễu xạ của mỗi mặt tinh thể biểu thị bằng một vectơ hướng theo tia pháp của mặt, độ lớn của nó chỉ cường độ (sức công phá) của tia, thì năng lực nhiễu xạ của tinh thể đối với tia X biểu thị bằng tập hợp một số vectơ chung gốc (đặt trùng trọng tâm của tinh thể)
Tốc độ mọc của mặt tinh thể Sự phát triển của tinh thể trong dung dịch bão hoà xảy ra
trong cơ chế xác định; đó là sự tịnh tiến của mỗi mặt tinh thể, theo hướng tia pháp (hình 1.4) Vectơ va, vb, vc dọc tia pháp của mặt tinh thể cho thấy ứng với mỗi mặt là một giá trị tốc độ tịnh tiến của nó trong quá trình tinh thể phát triển
Tính tự tạo mặt, bản năng của chất kết tinh phát triển dưới dạng một đa diện, có thể biểu diễn bằng tập hợp vectơ chung gốc, mỗi vectơ thể hiện tốc độ mọc của một mặt tinh thể
Một loạt tính chất khác của khoáng vật cũng cho thấy dị hướng gián đoạn của tinh thể Ví dụ: tính cát khai của một tinh thể không giống nhau theo những phương khác nhau Nếu vectơ chỉ tính cát khai đặt vuông góc với mặt cát khai (theo đó tinh thể bị tách giãn), còn độ lớn của vectơ chỉ chất lượng của mặt cát khai (độ phản quang, chẳng hạn), thì tinh thể có bao nhiêu phương cát khai sẽ có bấy nhiêu vectơ đặt chung gốc tại trọng tâm tinh thể
Khả năng liên kết của tinh thể cùng chất (song tinh) hay khác chất (epitaxy) theo một mặt phẳng cũng có thể biểu thị bằng vectơ dọc tia pháp
Trang 131.1.5 Khái niệm mạng không gian và dị hướng
Sự sắp xếp trật tự của hạt vật chất khiến trạng thái kết tinh khác hẳn với trạng thái không kết tinh Nếu trong mọi cấu trúc tinh thể, có thể tách riêng từng loại nguyên tử, thì cách phân
bố của nguyên tử thuộc mỗi nguyên tố đều giống của nút thuộc một loại mạng không gian
Để khái quát hình ảnh của một mạng không gian có thể cho ba véc tơ tịnh tiến aG, bG và cG
không đồng phẳng tác dụng lên một điểm (nút gốc của mạng) Kết quả thu được là một hệ thống nút xếp tuần hoàn theo ba chiều không gian, các nút này nằm trên đỉnh của các khối
bình hành bằng nhau, xếp song song và kề nhau; với ba cạnh là a, b, c (hình 1.5)
Mọi nút của mạng không gian đều suy được từ nút gốc bằng phép tịnh tiến T JG
bất kì Nói cách khác, hai nút bất kì của
mạng có thể di chuyển tới chỗ của nhau
bằng phép tịnh tiến T JG
Khi đó, các nút còn lại của mạng không gian cũng thế chỗ cho
nhau Vì các nút hết thảy đều tương đương
và vì mạng không gian là vô hạn, nên vị trí
của mạng sau bước tịnh tiến hoàn toàn
giống với vị trí của nó trước khi tịnh tiến
T
JG
là bước tịnh tiến bảo toàn mạng
Mạng không gian là vô hạn và có tính tuần
hoàn theo ba chiều
Độ lớn của vectơ tịnh tiến chỉ giá trị của chu kì tuần hoàn của mạng Giá trị ấy nói chung
không bằng nhau theo những hướng khác nhau: chính mạng không gian đã bộc lộ tính dị
hướng về mặt hình học của tinh thể
Trên đây, các thực nghiệm về dị hướng gián đoạn đặc trưng của tinh thể đều liên quan tới
mặt tinh thể Khái niệm đơn thuần hình thái học này gắn liền mạng tinh thể ra sao, dưới đây
sẽ đề cập kĩ hơn
1.2.1 Nguyên lí Bravais về mặt tinh thể
Mạng không gian (hình 1.5) cho phép cắt nghĩa một trong những khuynh hướng của chất
kết tinh là tự giới hạn bằng những mặt phẳng Đó là mặt tinh thể, một khái niệm cơ sở của
tinh thể học hình thái, sẽ được đề cập ở đây
Hình 1.5
Hệ thống các nút điểm của mạng không gian
Trang 14Nếu gán cho mỗi nút mạng một ion hay nguyên tử, phân tử, hay một mẫu hình (motif) nguyên tử (một tập hợp nguyên tử xếp theo một trật tự riêng), thì mạng không gian chứa một nội dung vật chất sẽ cho một cấu trúc tinh thể Nói cách khác:
Mạng không gian + mẫu hình nguyên tử → cấu trúc tinh thể
Hình 1.6 giới thiệu mẫu hình nguyên tử, ô mạng lập phương của cấu trúc tinh thể cuprit
Cu2O (a) và pyrit FeS2(b)
cùng mạng không gian của
chúng (c)
Trong thực tế, khối lập
phương là dạng thường gặp
của tinh thể pyrit; điều này
gợi ý mối tương quan về
hình dạng giữa đa diện tinh
thể và ô mạng của cấu trúc
tinh thể Mặt ô lập phương
của cấu trúc chứa hạt tích điện dương Fe2+ và hạt mạng điện âm S2 2− với số lượng ngang nhau Với điện tích trung hoà, mặt này bộc lộ một liên kết yếu giữa các lớp nguyên tử, một mặt cát khai Đa diện tinh thể giới hạn bằng một số hữu hạn các mặt của nó Song song với mỗi mặt tinh thể là một họ mặt mạng trong cấu trúc
Mạng không gian của cấu trúc tinh thể có số họ mặt mạng nhiều vô hạn; bởi vì ba nút không thẳng hàng xác định một mặt mạng (hkl) và song song với nó là một số vô hạn những mặt mạng (giống nhau và cách đều nhau) cùng họ Tương ứng với mỗi họ mặt mạng có thể là một mặt của đa diện tinh thể Họ mặt mạng phân biệt bằng mật độ hạt, tức là số nút trên một đơn vị diện tích và khoảng cách (giữa các) mặt mạng
Hình 1.7 là hình chiếu của mạng không gian (hình 1.6,c) trên mặt ab; mỗi điểm tương ứng với một chuỗi dọc trục c, mỗi đường thẳng – một mặt mạng, tức là một họ mặt mạng kí
hiệu (hk0) Mỗi họ mặt mạng có hai đại lượng được xem xét: Dhk0 là khoảng giữa hai nút kề nhau trên hình, tỉ lệ nghịch với mật độ hạt của mặt mạng; dhk0 là khoảng cách mặt mạng
Trang 15Hình 1.7
Mạng không gian của pyrit chiếu trên mặt (001) với một số họ mặt mạng (hk0)
Trong trường hợp pyrit FeS2 (hay halit NaCl), mặt mạng (100) ứng với mặt của khối lập phương có mật độ hạt lớn nhất và khoảng cách mặt mạng tương ứng có giá trị lớn nhất (hãy
so sánh với các họ mặt mạng khác trên hình 1.7) Trong vô số mặt mạng (họ mặt mạng) của
mạng không gian thuộc pyrit chỉ một số nhỏ có đủ tiêu chí của mặt tinh thể, đó là những họ
mặt mạng với mật độ hạt lớn nhất và với khoảng cách mặt mạng lớn nhất Đó là tinh thần của
nguyên lí Bravais A (1866) về mặt tinh thể
Cũng có thể nói như vậy về cạnh tinh thể, nơi mặt tinh thể cắt nhau, một trong những yếu
tố hình học của đa diện tinh thể Trong vô số chuỗi mạng của mạng không gian thuộc pyrit, chính những chuỗi với thông số chuỗi nhỏ nhất (số hạt tính trên một đơn vị chiều dài đạt giá trị lớn nhất) sẽ song song với cạnh tinh thể
a (100); b (110); c (210); và d (310)
(hk0): (100) (110) (210) (310)
D hkl a a 2 a 5 a 10
d hkl a a 2/ 2 a 5/ 5 a 10/ 10
Trang 161.2.2 Kí hiệu mặt (mặt mạng) của tinh thể
Vị trí của mỗi mặt (mặt mạng) tinh thể
hoàn toàn có thể xác định bằng các đoạn
(thông số) do mặt mạng cắt trên ba (chuỗi
mạng) trục toạ độ OX, OY, OZ Chuỗi ứng
với trục toạ độ, nếu có thể, phải trùng với các
phương đặc biệt, tức là trục đối xứng hay
pháp tuyến của mặt đối xứng gương Các
đoạn thông số này của mặt tinh thể đo bằng a,
b, c; tức là các đơn vị trên ba trục toạ độ Đó
cũng là chu kì tuần hoàn ngắn, mặc dầu
không nhất thiết ngắn nhất, nếu chúng thuộc
phương đặc biệt (xem thêm phép định trục
tinh thể học)
Trên hình 1.8 vị trí của mặt mạng 1, song
song với Z, xác định bằng thông số 3a theo
trục X và 2b theo trục Y Mặt mạng 2 bằng
thông số 1a, 1b Quy luật mạng đòi hỏi các
mặt mạng của cùng một họ phải bao quát (đi
qua) tất cả các nút của mạng không gian Từ hình 1.8 có thể thấy tất cả những mặt mạng cùng
họ này đều cắt các trục toạ độ ở cùng một tỉ lệ Quả vậy, các mặt mạng 1, 1', 1'', 1''' có các thông số sau:
3 đơn vị ∞ 1’’ 2 đơn vị 1
1
3đơn vị ∞ 1’’’ 1 đơn vị 2
Trang 17Ở đây p, q, r là những số nguyên đơn giản (thông số Veis)
Để tiện sử dụng (số không thay cho vô cực), hãy dùng giá trị nghịch đảo của thông số Veis, tức là các chỉ số Miller h, k, l để kí hiệu cho mặt tinh thể: ba chỉ số viết liền trong ngoặc đơn (hkl) Như vậy, kí hiệu của họ mặt mạng 1 là (230) vì 1 1 1: : 2 : 3 : 0
2 3 =
Mặt 2 có kí hiệu (110)mặt 3 (210)và mặt 4 (140) Hình 1.8 cũng cho thấy các mặt
mạng thuộc họ (hkl) chia các đoạn a, b, c lần lượt thành h, k, l phần bằng nhau
Kí hiệu chuỗi mạng (cạnh) của tinh thể
Trong tinh thể, chuỗi mạng đi qua gốc toạ độ đặc trưng cho cả họ chuỗi đã cho Do đó, để xác định vị trí một chuỗi mạng (hay một cạnh tinh thể) chỉ cần đo toạ độ x, y và z của một nút
trên chuỗi (đi qua gốc) bằng các đơn vị a, b, c theo các trục tương ứng
c
z b
y a
x
,, và giản ước Các tỉ số này sau khi quy về tỉ số của các số nguyên đơn giản r, s, t được viết trong một ngoặc vuông, gọi là kí hiệu của cạnh [rst] (hình 1.9)
1.2.3 Định luật Haỹy
Mọi điều lí giải trên là bản chất của định luật hữu tỉ của các thông số, do Ha uyphát biểu năm 1783 dựa trên
những khảo sát hình thái tinh thể; tỉ số kép giữa các
thông số của hai mặt bất kì thuộc một tinh thể bằng tỉ số giữa các số nguyên đơn giản
Chẳng hạn, một tinh thể chứa hai mặt: A1B1C1 với các thông số OA1, OB1, OC1 và A2B2C2 với OA2, OB2,
OC2 thì
p n m OC
OC OB
OB OA
OA
:::
2
1 2
1 2
với m, n, p là những số nguyên và đối với tinh thể
thực đó là những số nguyên tương đối nhỏ
Trang 18Một trong những mặt cắt cả ba trục toạ độ (ví dụ A0 B0 C0) có thể coi như mặt đơn vị và
các thông số của nó là đơn vị đo lường, dùng cho các mặt và cạnh khác của tinh thể đã cho
Để tìm kí hiệu của một mặt nào đó, hãy dùng những đơn vị đo lường trên để đo các đoạn thông số của mặt, lấy tỉ số của các giá trị nghịch đảo, loại bỏ mẫu số sau khi quy đồng, sẽ thu được ba chỉ số của kí hiệu mặt Chẳng hạn, kí hiệu của mặt A1B1C1 (hình 1.10) được xác định như sau:
r q p OC
OC OB
OB
OA
OA
O O
O
:::
: 1 1
l k h r
)(:
:
1 1
1
hkl l
k h OC
OC OB
Như vậy, kí hiệu của mặt đơn vị là (111)
Để xác định kí hiệu của một cạnh nào đó phải lấy toạ độ của một điểm bất kì của nó, dùng thông số mặt đơn vị đo các toạ độ ấy rồi lấy tỉ số kép giữa các đại lượng thu được:
1.2.4 Chỉ số thứ tư trong hệ sáu phương
Trong hệ sáu phương có ba phương tương đồng nằm ngang và mặc dầu chỉ ba trục OX,
OY và OZ cũng đủ để xác định vị trí của mặt và cạnh tinh thể, đôi khi một trục thứ tư (nằm ngang) U vẫn được dùng đến, sinh ra phép kí hiệu mặt bằng bốn chỉ số (Bravais – Miller) Bộ
ba trục ngang (OX, OY và OU) giúp thực hiện dễ dàng các thao tác đối xứng bậc ba, bậc sáu đối với mặt và cạnh, cho phép nhấn mạnh sự thống nhất của các yếu tố hình thái liên quan nhau bằng trục chính Tuy vậy, chỉ số thứ tư trong kí hiệu lại bất tiện trong tính toán và nó cũng thường bị loại bỏ bằng những quy tắc phân biệt cho mặt và cạnh
Trang 19Hình 1.11
Chỉ số i của mặt tinh thể hệ sáu phương
(a) AB là giao tuyến của mặt với mặt XYU, xoay quanh trục đối xứng bậc ba,
Hình 1.11 cho thấy trong kí hiệu mặt tổng chỉ số theo ba trục tương ứng bằng không, tức
là h + k = i và vì thế từ kí hiệu bốn chỉ số sang kí hiệu ba chỉ số và ngược lại là bước chuyển
rất đơn giản Trong trường hợp đầu loại bỏ chỉ số i , trong trường hợp sau nó được đưa vào
như i = −(h+k), tức là: (hk il) → hkh + kl
Đối với kí hiệu cạnh thuộc hệ sáu phương các bước chuyển không đơn giản như vậy
Muốn loại bỏ chữ số thứ ba w thì phải đưa nó về giá trị O trước đã Như thế, đại lượng có
thể dẫn nó về O (là −W) phải được thêm vào cho cả 3 chỉ số đầu:
[rswt] = [r−w s−w w−w t] = [r−w s−w o t] = [r−w s−w t] = [r’s’t’]
Bước chuyển ngược: [r’s’t’] = [r’s’ot’] = [r’+f s’+f f t’]
Với f là số bất kì; như vậy ứng với một kí hiệu ba chỉ số [r’s’t’] sẽ có vô số tập hợp bốn chỉ
số Để có một kí hiệu xác định cần bổ sung một điều kiện Chẳng hạn, nếu tổng ba chỉ số đầu
trong kí hiệu [r’+f s’+f f t’] bằng không (mặc dầu trong trường hợp đã cho điều đó không chuẩn
xác về hình học) giống như kí hiệu mặt, lúc này f r ' s '
Nhận xét: Việc loại bỏ mẫu số như trên không làm cho cạnh đổi hướng; kí hiệu của nó là
toạ độ của nút bất kì trên chuỗi tương ứng
Trang 20Với ba trục ngang, việc chọn mặt đơn vị cho hệ sáu phương sẽ có hai cách: nó cắt những đoạn bằng nhau trên XY, hoặc trênX U Mặt đơn vị sẽ có kí hiệu lần lượt là (1120) hoặc (1011)
1.2.5 Định luật các đới (định luật Veis) Phương pháp phát triển đới
Xác định kí hiệu cạnh giao tuyến của hai mặt (h1k1l1) và (h2k2l2) bằng cách nhân chéo
Bằng cách này cũng có thể tính kí hiệu của mặt (hkl) song song với hai cạnh [r1,s1,t1] và [r2s2t2]
Như vậy, hai mặt xác định một cạnh (đới), hai cạnh xác định một mặt Nếu theo Haỹy, mặt giả định và cạnh giả định của tinh thể được suy ra bằng cách đặt trước mặt phẳng và đường thẳng với kí hiệu hữu tỉ (phương pháp số học) thì theo Veis chúng được suy ra bằng cách đặt trước mặt phẳng song song với hai cạnh giao nhau và đường thẳng song song với hai mặt giao nhau (phương pháp hình học) Bởi vì, mặt giả định của một tinh thể có thể nhận được theo bốn mặt không cắt nhau thành những cạnh song song Đó là nội dung của định luật Veis (1804) hay định luật các đới Nó còn được phát biểu như sau: Mặt bất kì của một tinh thể thuộc về ít nhất hai đới của nó
Trong thực hành mặt giả định và
cạnh giả định dễ dàng suy ra bằng việc
sử dụng hình chiếu nổi Thật vậy, trên
lưới Vulf cung tròn lớn biểu thị một đới;
đới gồm các mặt song song với một
phương gọi là trục của đới Điểm bất kì
của cung đều có thể biểu thị cho mặt
thực/giả định của tinh thể; nó là hình
chiếu nổi tia pháp của mặt Trên lưới
Vulf, hai điểm hoàn toàn xác định một
cung; tức là hai mặt tinh thể xác định
một đới Hai đới dựng từ hai đôi mặt bất
kì là dữ kiện đủ để xác định một mặt giả
định; nói cách khác, hai cung dựng từ
hai cặp điểm cắt nhau tại một điểm, thì
điểm này chính là hình chiếu nổi tia
pháp của mặt cần tìm Điểm vừa tìm
được cũng là hình chiếu nổi của một
cạnh giả định, nếu coi một trong hai cung nói trên dựng từ cặp điểm/cặp cạnh cho trước làm
dữ liệu [13,14].Nếu cần tìm kí hiệu của mặt nào đó của một tinh thể, hãy đặt điểm hình chiếu nổi của bốn mặt cho trước kí hiệu và mặt cần tìm kí hiệu lên hình chiếu nổi rồi dựng các đới qua những mặt có kí hiệu sao cho mặt chưa kí hiệu nằm vào giao điểm của các cung đới Tuy
Hình 1.12
Phương pháp phát triển đới giúp tìm kí hiệu mặt giả
định
Trang 21vậy, đôi khi có thể bỏ qua bước trung gian xác định kí hiệu đới: có thể sử dụng hệ thức hr +
+ Qua các mặt toạ độ suy ra đới của các trục toạ độ
+ Qua mặt đơn vị và mặt toạ độ suy ra các mặt (011), (101), (110)
+ Từ các mặt vừa nhận được suy ra các mặt (112), (121), (211)
+ Từ các mặt vừa có và các mặt toạ độ suy ra (012), (102), (120), (021), (201), (210), (312), (231), (123), (321), v.v
1.2.6 Xác định kí hiệu mặt nhờ biểu đồ chuẩn
Để giải các bài toán phát triển đới nhằm xác định mặt giả định của tinh thể, có thể sử dụng các biểu đồ chuẩn Hình 1.13 là biểu đồ hệ lập phương, nó dùng để xác định kí hiệu mặt của tinh thể hệ lập phương; nó cũng áp dụng cho các hệ bốn phương, trực thoi, một nghiêng
và ba nghiêng Kí hiệu mặt của tinh thể hệ sáu phương với hệ bốn trục toạ độ được xác định nhờ biểu đồ hình 1.14
Hình 1.14
Biểu đồ chuẩn hệ sáu phương Trên biểu đồ có dựng các cung (đới), tại giao điểm của chúng là điểm hình chiếu nổi tia pháp của các mặt thường gặp, tức là mặt với các chỉ số đơn giản Hình 1.15 cho thấy hình chiếu nổi tia pháp của một số mặt thuộc tinh thể hệ ba nghiêng Cho trước hình chiếu và kí hiệu mặt (100), (010), (001) và (111) Hãy tìm kí hiệu mặt α, σ, và β Mặt α nằm tại giao
Trang 22điểm của các đới (001) − (111) và (100) − (010) Theo biểu đồ hình 1.13 có thể thấy, tại giao điểm của các đới (cung) tương tự là mặt (110) Vậy kí hiệu mặt α là (110) Bằng cách ấy kí hiệu các mặt còn lại tìm được là: σ = (101) và β = (011), trên các đôi cung lần lượt là: (001) − (100) và (010) − (111), (010) − (001) và (111) − (100)
Hình 1.15
Hình chiếu các mặt một tinh thể của hệ ba nghiêng
Trang 23Chương 2
HÌNH THÁI TINH THỂ
Như đã nói, tinh thể là vật rắn dị hướng, đồng nhất Các hạt tạo nên tinh thể sắp đặt thẳng đều trong không gian Bắt nguồn từ bản chất đó, một trong những thuộc tính của tinh thể là khả năng tự tạo hình đều đặn riêng tuỳ đối xứng bên trong của mỗi pha rắn Trên đa diện tinh thể, các đỉnh, cạnh và mặt hay nói chung các phần bằng nhau của nó có thể lặp lại nhau hoặc trùng nhau nhờ những thao tác đối xứng Nhờ vậy, trong tinh thể nào đó vốn dĩ dị hướng đối với một tính chất, tính chất ấy có thể bộc lộ giống nhau theo những phương khác nhau (nếu chúng là các phương cân đối [13])
2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng
Hai thao tác đối xứng là phép phản chiếu qua mặt gương hay qua điểm và phép quay quanh trục; chúng cụ thể hoá bằng yếu tố đối xứng các loại
2.1.1 Yếu tố đối xứng
Tính đối xứng bộc lộ rõ trên bề mặt tinh thể; sự lặp lại được xác lập nhờ các thao tác chính sau:
- Phép phản chiếu: các phần bằng nhau của tinh
thể có thể lặp lại nhau, sau khi phản chiếu trong
mặt phẳng (mặt gương) tưởng tượng đi qua trọng
tâm của đa diện
- Phép quay: các phần bằng nhau của đa diện
trùng lại nhau, sau khi quay quanh đường thẳng
tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện
Tương ứng với hai thao tác ấy là hai yếu tố đối xứng
đặc trưng cho hình thái tinh thể là mặt đối xứng hay mặt
gương và trục đối xứng hay trục xoay
Ngoài hai yếu tố đối xứng này còn có tâm đối xứng hay
tâm nghịch đảo Đây là phép phản chiếu qua điểm trọng
tâm. Đa diện có tâm nghịch đảo thì từng đôi mặt đối của nó
phải bằng nhau và song song ngược nhau (hình 2.1) Trong
trường hợp này, các đôi mặt đối này phải lặp lại nhau sau khi phản chiếu qua một điểm tưởng tượng nằm trùng với trọng tâm của đa diện
Mặt đối xứng hay mặt gương: Hãy bổ đôi tinh thể muối ăn dạng khối lập phương, nó sẽ
vỡ ra thành hai nửa bằng nhau Đa diện lập phương bất kì luôn có ba mặt gương trực giao, song song với các mặt vuông của đa diện (hình 2.2,a) Ngoài ra, mặt phẳng chia đôi khối đa diện có thể đi qua đôi đường chéo song song của đôi mặt đối (hình 2.2,b) Khối lập phương có
Hình 2.1 Đa diện chứa yếu tố
đối xứng duy nhất: tâm đối xứng
Trang 246 mặt gương loại này và cả thảy nó có 9 mặt gương Tinh thể các chất có một, hai, ba, bốn, năm, bảy, chín mặt gương Ví dụ, tinh thể thạch cao CaSO4.4H2O chỉ có một mặt gương (hình 2.3 và 2.4)
Hình 2.2
Khối lập phương với ba mặt gương dọc các cạnh (a) và sáu mặt gương dọc các đường chéo (b)
Trục đối xứng: Trong tinh thể thạch cao
có yếu tố đối xứng thứ hai là trục đối xứng
Đây là đường thẳng đi qua trọng tâm của
hình và vuông góc với mặt gương (hình 2.4)
Nếu quay tinh thể 360o quanh trục đối
xứng này thì đa diện tinh thể sẽ trùng với
chính nó hai lần Mỗi lần ứng với góc
quay180o Đó là trục xoay (đối xứng) bậc
hai hay trục hai Trong tinh thể khối lập
phương của muối ăn, trục bậc hai nối trung
điểm từng đôi cạnh đối; do đó nó có 6 trục
hai Ngoài ra, khối lập phương còn có ba
trục bậc bốn đi qua trung điểm của từng đôi
mặt đối và bốn trục ba nối các đỉnh xuyên
Khi α = 180o, n = 2, ta có trục xoay bậc hai; khi α = 120o, n = 3, trục xoay bậc ba; khi α
= 90o, n = 4, trục xoay bậc bốn; khi α = 60o, n = 6, trục xoay bậc sáu
Hình 2.3
Tinh thể thạch cao với mặt gương và trục bậc hai vuông góc Trục bậc hai song song mặt hình
(a) và vuông góc mặt hình (b)
Trang 25Hình 2.4
Các yếu tố đối xứng của tinh thể thạch cao thể
hiện trên biểu đồ hình chiếu nổi (chưa kể tâm
nghịch đảo tại giao điểm, xem sau)
Hình 2.5
Các trục bậc hai, ba và bốn của khối lập phương
Trục đối xứng phức (trục phức).Trên đây đã xét các trục đối xứng đơn (trục đơn) Ngoài
phép xoay (180o,120o, 90o, 60o), trục phức chứa phép nghịch đảo gọi là trục nghịch đảo, chứa
phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc gọi là trục gương
Hình 2.6,a giới thiệu trục nghịch đảo bậc một Điểm xoay một vòng quanh trục thì trở về
điểm xuất phát Sau phép nghịch đảo điểm a tới vị trí điểm a1 Đó là tác dụng của trục nghịch đảo bậc một Nếu không nghịch đảo qua tâm, mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc với trục thì điểm a sẽ tới trùng với '
1
a Đó là tác dụng của trục gương bậc một
Hình 2.6
Trục nghịch đảo và trục gương bậc một (a) và bậc hai (b)
Sơ đồ cho thấy, trục nghịch đảo bậc một tương đương tâm đối xứng, còn trục gương bậc một tương đương mặt đối xứng gương
Các bước chuyển hình học của trục nghịch đảo bậc hai thể hiện trên hình 2.6.b Trên sơ
đồ, điểm a xoay 180o quanh trục thì tới a’, rồi nghịch đảo qua tâm của tinh thể thì tới a1 Đó là tác dụng của trục nghịch đảo bậc hai Bây giờ cho a’phản chiếu qua mặt gương vuông góc thì
Trang 26Trục nghịch đảo bậc hai tương đương trục gương bậc một hay mặt gương (hình b: từ điểm a sang a 1 ), còn trục gương bậc hai tương đương trục nghịch đảo bậc một hay tâm đối xứng (hình a: từ điểm a sang a 1 )
Những thao tác thực hiện bằng trục nghịch đảo bậc ba thể hiện trên hình 2.7,a Mỗi điểm
a1, a2 hay a3 thuộc phần trên của tinh thể có thể lần lượt trùng với mỗi điểm a4, a5 hay a6 của phần dưới bằng phép quay 120o quanh trục và phản chiếu qua tâm Điểm a1 xoay 120o quanh trục tới vị trí a2 rồi nghịch đảo qua tâm để tới trùng với a4; điểm a2 xoay quanh trục để tới a3, rồi phản chiếu qua tâm sẽ trùng với a5; cũng như thế, a3 sang a1 rồi tới a6. Đây là tác dụng của trục nghịch đảo bậc ba
Hình 2.7
Trục nghịch đảo bậc ba (a) và bậc sáu (b)
Nếu các điểm phần trên tinh thể sau khi xoay quanh trục, không nghịch đảo qua tâm mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc, thì chúng sẽ lần lượt tới trùng với các điểm phần dưới (xem hình 2.7,b) Đây là tác dụng của trục gương bậc ba Trong trường hợp này, mỗi điểm ở
phần trên nằm ngay bên trên điểm phần dưới Bây giờ, nếu cho mỗi điểm phần trên xoay 60° quanh trục (a1 tới '
Như vậy, trục nghịch đảo bậc ba tương đương trục gương bậc sáu và trục nghịch đảo bậc sáu tương đương trục gương bậc ba
Mặt khác, trục nghịch đảo bậc ba là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và tâm đối xứng; còn trục nghịch đảo bậc sáu (trục gương bậc ba) là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc
Hình 2.8 giới thiệu thao tác của trục nghịch đảo bậc bốn Để dẫn các điểm a1 và a2 phía trên tinh thể đến các vị trí a3 và a4 ở phía dưới, hãy cho chúng xoay 90° quanh trục rồi phản chiếu qua tâm điểm Sơ đồ các điểm cho thấy có thể thay phép nghịch đảo qua tâm bằng phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc, mà kết quả không khác
Trang 27Hình 2.8
Trục nghịch đảo bậc bốn (a) thể hiện trên tinh thể (b) và trên biểu đồ hình chiếu nổi (c)
Như vậy, trục nghịch đảo bậc bốn và trục gương bậc bốn là những yếu tố đối xứng tương đồng
Nhận xét:
- Các trục bậc chẵn chứa góc quay cơ sở của trục hai, riêng trục bậc sáu còn chứa cả góc quay cơ sở của trục bậc ba
- Trục nghịch đảo bậc bốn chứa góc quay cơ sở của trục bậc hai
- Tinh thể không chứa trục bậc năm và trục bậc cao hơn sáu [13]
Tuy vậy, trong thực tế chỉ một dạng trục phức được sử dụng: trục nghịch đảo Hơn nữa trong đối xứng hình thái chúng hầu hết được thay bằng các yếu tố đối xứng đơn: trục nghịch đảo bậc một thay bằng tâm đối xứng, trục nghịch đảo bậc hai thay bằng mặt gương, trục nghịch đảo bậc ba thay bằng trục xoay bậc ba cộng tâm đối xứng và cuối cùng trục nghịch đảo bậc sáu thay bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc
Duy trục nghịch đảo bậc bốn hay trục gương bậc bốn là không thể thay thế bằng bất kì yếu
tố đối xứng nào Vì vậy, tinh thể học hình thái có bảy yếu tố đối xứng thông dụng:
1) Tâm đối xứng, hay tâm nghịch đảo, hay trục (đối xứng) nghịch đảo bậc một, kí
hiệu 1, hay C
2) Trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai, kí hiệu 2, hay L2
3) Trục xoay (đối xứng) bậc ba hay trục ba, kí hiệu 3, hay L3
4) Trục xoay (đối xứng) bậc bốn hay trục bốn, kí hiệu 4, hay L4
5) Trục (đối xứng) nghịch đảo bậc bốn, kí hiệu 4, hay Li4
6) Trục xoay (đối xứng) bậc sáu hay trục sáu, kí hiệu 6, hay L6
7) Mặt đối xứng hay mặt gương, kí hiệu m, hay P
2.1.2 Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng
Mỗi đa diện tinh thể chỉ có một tổ hợp yếu tố đối xứng để biểu thị tính đối xứng của nó Nhiều tinh thể, tuy khác nhau về hình dạng, nhưng lại có chung những yếu tố đối xứng Chẳng hạn, khối lập phương là đa diện tinh thể của muối ăn/halit NaCl và khối bát diện đều là
đa diện tinh thể của khoáng vật magnetit Fe3O4; các đa diện này có chung một tổ hợp yếu tố
Trang 28đối xứng, một nhóm điểm: chúng thuộc một lớp tinh thể Số lượng đa diện tinh thể thì hàng
vạn và tăng lên không ngừng theo thời gian Chúng tập hợp lại trong 32 lớp tinh thể với mỗi lớp một nhóm điểm đặc trưng cho đối xứng mọi cá thể của lớp
Như đã kể trên, trong tinh thể học hình thái có 7 yếu tố đối xứng Thoạt nhìn, theo cách
tổ hợp thông thường, từ 7 yếu tố có thể suy ra số nhóm điểm nhiều hơn 32 Thực ra, tinh thể học có những quy tắc nghiêm ngặt áp dụng cho sự tổ hợp này
9 Quy tắc một
Hai trục bậc hai giao nhau dưới góc 180° : n làm xuất hiện trục bậc n vuông góc với chúng Nếu các trục hai cùng tên, trục n mới sinh sẽ là trục xoay; nếu chúng khác tên thì trục bậc n mới sinh sẽ là trục nghịch đảo Nhờ sự tương tác của trục bậc n, các trục hai vuông góc với nó sẽ tăng số lượng tổng bằng n, nếu trục bậc n là trục nghịch đảo thì vuông góc sẽ là các trục bậc hai khác tên xen kẽ nhau Quy tắc này cụ thể hoá bằng các trường hợp sau
Ví dụ một, vuông góc với hai trục xoay bậc hai dưới góc 45o là trục xoay bậc bốn, ngoài
ra các trục xoay bậc hai vuông góc sẽ đạt số tổng là 4 Trong ví dụ hai, giao nhau dưới góc 45° là trục xoay bậc hai và trục bậc hai nghịch đảo (hình 2.9,a) Trục bậc n mới sinh là trục nghịch đảo bậc bốn Dưới tác dụng của trục bậc hai trong nó, số lượng trục xoay bậc hai vuông góc với nó sẽ là 2, chúng vuông góc với nhau Xen giữa chúng là 2 trục bậc hai nghịch đảo; trên hình, chúng thay bằng 2
mặt gương thẳng góc (yếu tố đối
xứng tương đương) Chúng vuông
góc nhau và nhận trục bậc bốn
nghịch đảo làm giao tuyến Trên
hình 2.9,b là sơ đồ của ví dụ thứ
ba, các trục hai khác tên cắt nhau
dưới góc 30° Trục đối xứng sinh
ra là trục nghịch đảo bậc sáu; nó
biểu thị bằng trục xoay bậc ba cộng
mặt gương vuông góc
9 Quy tắc hai
Mặt đối xứng phân bố trong đa
diện tinh thể theo những cách sau :
- Vuông góc với trục đối xứng;
- Đi qua trục đối xứng, cắt nhau dưới góc bằng một nửa góc quay cơ sở của trục xoay, hay bằng góc quay cơ sở của trục nghịch đảo và nhận trục làm giao tuyến;
- Phân đôi góc giữa 2 trục cùng tên (xem hình 2.9)
9 Quy tắc ba
Trục cùng tên có thể cắt nhau dưới những góc hoàn toàn xác định:
- Trục bậc hai cắt nhau dưới góc 60°, 90°, 120° và 180°;
- Trục bậc ba cắt nhau dưới góc 70°31′44″ và 180°;
- Trục bậc bốn cắt nhau dưới góc 90° và 180°;
Hình 2.9
Các trục hai khác tên (trục xoay và trục nghịch đảo) cắt nhau
sinh trục bậc n nghịch đảo vuông góc a) dưới 45o cho trục bốn và b) dưới 30 o cho trục sáu
Trang 29- Trục bậc sáu cắt nhau dưới góc 180°
Ví dụ, trong đa diện lập phương, các trục bậc bốn đều cắt nhau dưới góc vuông, còn các trục bậc ba thì dưới góc 70°31′44″ (xem hình 2.5) các trục cùng tên này cũng cắt nhau dưới góc 180°
Dưới ánh sáng của quy tắc này, có thể đưa ra khái niệm trục phân cực; trục nối hai phần
khác nhau của tinh thể Các trục còn lại nối hai đầu giống nhau của tinh thể; nói cách khác, chúng là hai trục cắt nhau dưới góc 180°, do tác động của ít nhất một trong ba yếu tố đối xứng
mà chúng chứa: tâm đối xứng, mặt gương/trục bậc hai vuông góc
9 Quy tắc bốn
Nếu tinh thể có phương đơn (là phương không chịu tác dụng của yếu tố đối xứng), mọi yếu tố đối xứng có thể trùng với nó và không thể cắt nó dưới góc bất kì Riêng trục bậc hai có thể cắt nó dưới góc vuông [13]
Các trục nghịch đảo bậc bốn (a) hay bậc sáu (b) trên hình 2.9 đều trùng với phương đơn;
sơ đồ trên hình không cho thấy yếu tố đối xứng nào cắt chúng, trừ các trục bậc hai
2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng
Đa diện tinh thể dù phong phú, chúng đều quy về 47 hình đơn Tuỳ tính đối xứng của chúng, số hình đơn này được suy đoán bằng các thao tác đối xứng của 32 nhóm điểm
2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng
Như trên đã nói, về mặt hình thái tinh thể chia ra làm 32 lớp; đặc trưng cho đối xứng của mỗi lớp là dạng đối xứng, còn gọi nhóm điểm đối xứng hay nhóm điểm (tất cả các yếu tố đối
xứng của nhóm điểm đều nhận trọng tâm của tinh thể làm giao điểm, điểm bất biến)
Dưới đây, sẽ suy đoán 32 nhóm điểm bằng việc sử dụng 5 dạng đối xứng đơn giản nhất (hình 2.10) Tương ứng với chúng là 5 hình đơn (tập hợp các mặt liên quan với nhau nhờ các
yếu tố đối xứng của nhóm điểm) Tham khảo các chương tương ứng [13,14] để biết thêm các cách suy đoán nhóm điểm và hình đơn
a) Tinh thể dạng này không có yếu tố đối xứng (chỉ có trục bậc một) Hết thảy các
mặt trên đa diện tinh thể đều khác nhau, nên không trùng lặp nhau Mỗi mặt cho một hình đơn Đó là hình đơn một mặt (hình 2.10,a)
Trang 30b) Tinh thể chứa tâm đối xứng Mỗi mặt trên đa diện đều có một mặt đối bằng nó,
song song ngược chiều với nó Hai mặt đối này tạo hình đơn gọi là đôi mặt (hình 2.10,b)
c) Đối xứng của tinh thể thể hiện bằng trục bậc hai (phân cực) Mỗi mặt đều có thể
trùng với mặt khác bằng phép xoay 180° quanh trục Hai mặt ở vị trí tổng quát này kéo dài sẽ cắt nhau như hai mái nhà (hình 2.10,c) tạo nên hình đơn hai mặt (trục)
d) Từng cặp mặt dạng mái nhà đối xứng nhau qua mặt gương duy nhất, cho hình đơn
hai mặt (hình 2.10,d) Hình đơn hai mặt này sinh ra do tác động của mặt gương, khác với hai mặt (trục) do trục hai sinh ra Nhiều tác giả phân biệt hai hình đơn: hai mặt và hai mặt trục, nên số hình đơn sẽ là 48 thay cho 47
e) Đối xứng của đa diện biểu thị bằng tổ hợp 2 yếu tố đối xứng trực giao: trục xoay
bậc hai và mặt gương Nhờ những thao tác đối xứng này, mặt ở vị trí tổng quát này (hình 2.10,e) sẽ sinh ra hình đơn lăng trụ (trực thoi)
Dưới tác dụng của mỗi trục đối xứng bậc cao, 5 dạng đối xứng đơn giản kèm hình đơn này sẽ cho 5 dạng đối xứng/hình đơn cao hơn
Hình 2.11 giới thiệu 5 dạng đối xứng/hình đơn khác nhau, hình thành nhờ tác dụng của trục bậc ba đối với 5 dạng đối xứng/hình đơn chính đã kể trên Chẳng hạn, hình đơn một mặt xoay quanh trục bậc ba phân cực cho hình đơn tháp ba phương (hình 2.11,a) Sau ba lần quay
quanh trục bậc ba này, hình đơn đôi mặt tạo hình đơn mặt thoi với các yếu tố đối xứng là trục
bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai vuông góc với nó (mỗi trục hai còn vuông góc với một mặt gương) và tâm nghịch đảo (hình 2.11,b) Bằng cách tương tự, hình đơn hai mặt (trục) cho hình đơn mặt thang ba phương với trục đối xứng bậc ba và ba
trục xoay bậc hai phân cực vuông góc (hình 2.11,c)
Trang 31Hình 2.11
Năm dạng đối xứng suy ra từ sự kết hợp giữa trục ba với mỗi dạng đối xứng đơn giản
Hình đơn hai mặt cho hình đơn tháp ba phương kép với trục bậc ba phân cực và ba mặt
gương nhận nó làm giao tuyến (hình 2.11,d) Hình lăng trụ trực thoi cho hình đơn mặt tam giác lệch ba phương với trục bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai và
tâm đối xứng (hình 2.11,e)
Lần lượt thay trục đối xứng bậc ba bằng các trục đối xứng cao hơn và xử lí như trên sẽ nhận được tất cả các tổ hợp đặc trưng của 32 nhóm điểm (mỗi nhóm lấy tên của hình đơn tổng quát của nó, xem thêm bảng 2.1) như liệt kê dưới đây [13,14]
Không có yếu tố đối xứng:
1) Nhóm điểm một mặt
Chỉ có trục đối xứng:
2) Nhóm điểm hai mặt (trục) với trục xoay bậc hai
3) Nhóm điểm tháp ba phương với trục bậc ba
4) Nhóm điểm tháp bốn phương với trục bậc bốn
5) Nhóm điểm tháp sáu phương với trục bậc sáu
6) Nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác) với 4 trục bậc ba định hướng như 4 đường chéo của khối lập phương và 3 trục xoay bậc hai trực giao chạy dọc các cạnh của nó
7) Nhóm điểm bốn mặt trực thoi với 3 trục xoay bậc hai vuông góc
8) Nhóm điểm mặt thang ba phương với trục xoay bậc ba và 3 trục xoay bậc hai vuông góc
9) Nhóm điểm mặt thang bốn phương với trục xoay bậc bốn và 4 trục xoay bậc hai vuông góc
10) Nhóm điểm mặt thang sáu phương với trục xoay bậc sáu và 6 trục xoay bậc hai vuông góc
Trang 3211) Nhóm điểm tám mặt ba (ngũ giác) với bốn trục bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn dọc các cạnh và 6 trục xoay bậc hai nối trung điểm các cạnh đối của nó
Chỉ có trục nghịch đảo:
12) Nhóm điểm đôi mặt với trục nghịch đảo bậc một (tâm đối xứng)
13) Nhóm điểm hai mặt với trục nghịch đảo bậc hai (mặt gương)
14) Nhóm điểm mặt thoi với trục bậc ba nghịch đảo (trục xoay bậc ba cộng tâm nghịch đảo)
15) Nhóm điểm bốn mặt bốn phương với trục nghịch đảo bậc bốn
Có trục và mặt gương vuông góc (trường hợp trục chính mang bậc chẵn sẽ có thêm tâm đối xứng):
16) Nhóm điểm lăng trụ (trực thoi) với trục xoay bậc hai, mặt gương vuông góc và tâm đối xứng
17) Nhóm điểm tháp đôi ba phương với trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc Tổ hợp này tương ứng trục nghịch đảo bậc sáu
18) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương với trục xoay bậc bốn, mặt gương vuông góc
19) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương với trục xoay bậc sáu, mặt gương vuông góc
20) Nhóm điểm mười hai mặt kép với 3 trục bậc hai song song với các cạnh của khối lập phương, 3 mặt gương vuông góc với chúng, và 4 trục bậc ba dọc 4 chéo của khối lập phương
Có trục và các mặt gương đi qua (song song):
21) Nhóm điểm tháp trực thoi với trục xoay đối xứng bậc hai và hai mặt đối xứng gương trực giao nhận nó làm giao tuyến
22) Nhóm điểm tháp ba phương kép với trục xoay đối xứng bậc ba và ba mặt gương giao nhau dưới góc 120°
23) Nhóm điểm tháp bốn phương kép với trục xoay đối xứng bậc bốn và bốn mặt đối xứng gương giao nhau dưới góc 45°
24) Nhóm điểm tháp sáu phương kép với trục xoay đối xứng bậc sáu và sáu mặt gương giao nhau dưới góc 30°
25) Nhóm điểm bốn mặt sáu (tam giác) với bốn trục đối xứng bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo của khối lập phương, ba trục bậc bốn nghịch đảo chạy dọc các cạnh của
nó và sáu mặt gương chạy dọc các trục bậc ba
Có trục nghịch đảo và mặt gương đi qua (song song):
26) Nhóm điểm mặt tam giác lệch bốn phương với trục bậc bốn nghịch đảo, hai mặt gương nhận nó làm giao tuyến và hai trục xoay bậc hai vuông góc với trục nghịch đảo, phân đôi góc giữa các mặt gương
27) Nhóm điểm mặt tam giác lệch ba phương với trục bậc ba nghịch đảo, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến và ba trục bậc hai vuông góc
Trang 3330) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương kép với trục xoay bậc sáu, sáu trục xoay bậc hai, bảy mặt gương (1 mặt vuông góc với trục bậc sáu + 6 mặt đi qua tất cả các trục) và tâm đối xứng
31) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương kép với trục xoay bậc bốn, bốn trục xoay bậc hai vuông góc với nó, năm mặt gương (1 mặt vuông góc với trục bậc bốn + 4 mặt đi qua tất cả các trục) và tâm đối xứng
32) Nhóm điểm tám mặt sáu (tam giác) với bốn trục bậc ba nghịch đảo định hướng như 4 chéo của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn chạy dọc các cạnh của nó, sáu trục xoay bậc hai phân đôi góc giữa các trục bậc bốn, chín mặt gương vuông góc với các trục bậc chẵn và tâm đối xứng
Trên đây là tất cả các tổ hợp có thể có của các yếu tố đối xứng
Thời gian đầu từ khi được chứng minh, không phải hết thảy 32 dạng đối xứng đều có ví
dụ thực tế như hiện tại Cho tới nay, trong số hàng vạn chất bao gồm các tinh thể tự nhiên (khoáng vật) và nhân tạo chưa có trường hợp nào nằm ngoài 32 lớp tinh thể
2.2.2 Hạng, hệ tinh thể
Căn cứ trên đặc điểm các tổ hợp yếu tố đối xứng có thể chia 32 dạng đối xứng thành ba hạng:
- Hạng thấp; tinh thể hạng này không chứa trục bậc ba, bậc bốn, bậc sáu
- Hạng trung; tinh thể chứa trục chính thẳng đứng; trục bậc ba, trục bậc bốn và trục
bậc sáu
- Hạng cao; tinh thể chứa 3 trục trực giao: bậc bốn (xoay hay nghịch đảo) hoặc bậc
hai và luôn chứa bốn trục bậc ba
Hạng thấp có 8 lớp, hạng trung 19 lớp, hạng cao 5 lớp Các lớp tinh thể còn phân chia thành các hệ sau:
a) Hệ ba nghiêng không có mặt và trục đối xứng, có thể có tâm đối xứng
b) Hệ một nghiêng chỉ chứa một trục hai và (hay) một mặt gương
c) Hệ trực thoi chỉ chứa trục hai và mặt gương; có thể có đến ba trục hai hay ba mặt
gương trong hệ
d) Hệ bốn phương nhận trục bậc bậc bốn (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) làm trục
chính
Trang 34e) Hệ sáu phương với hai phụ hệ đều nhận các trục đối xứng (trục xoay hay trục
nghịch đảo) làm trục chính: trục bậc ba của phụ hệ ba phương và trục bậc sáu của phụ hệ sáu phương
f) Hệ lập phương thuộc hạng cao với 4 trục bậc ba
Kí hiệu Schoenflies
Những nhóm chỉ chứa trục thì kí hiệu của chúng đều có chữ C, bậc của trục biểu diễn bằng chỉ số dưới Chẳng hạn, C1 C2 C3 C4 C6 là những nhóm với một trục duy nhất cho mỗi lớp Những nhóm chứa thêm mặt gương (nằm ngang) vuông góc có thêm kí hiệu dưới h ngay sau chỉ số chỉ bậc của trục Do đó, kí hiệu C2h C3h C4h và C6h đặc trưng lần lượt cho các nhóm lăng trụ (trực thoi), tháp đôi ba phương, tháp đôi bốn phương và tháp đôi sáu phương Trục chứa thêm mặt gương (thẳng đứng) thì sẽ có kí hiệu dưới v đặt ngay sau chỉ số, chỉ số này cũng cho thấy số mặt gương thẳng đứng tương ứng: C2v C3v C4v và C6v
Lớp hai mặt (số 13) có kí hiệu CS với trục hai nghịch đảo thay bằng mặt gương tương đương
Những nhóm với trục chính và trục bậc hai thẳng góc, mà số lượng của chúng cũng chỉ bậc của trục chính, thì biểu thị bằng chữ D Đó là các lớp bốn mặt trực thoi D2, mặt thang ba phương D3, mặt thang bốn phương D4 và mặt thang sáu phương D6
Các kí hiệu này chứa thêm kí hiệu dưới h, như D2h D3h D4h và D6h dùng biểu thị lần lượt các nhóm điểm sau: tháp đôi trực thoi, tháp đôi ba phương kép, tháp đôi bốn phương kép và tháp đôi sáu phương kép
Các nhóm mặt tam giác lệch bốn phương và mặt tam giác lệch ba phương kí hiệu bằng
D2d (hay Vd) và D3d Chữ d cho thấy mặt gương nằm chéo, ở vị trí phân đôi góc của các trục bậc hai Những lớp chứa trục gương duy nhất, bậc bốn và bậc sáu, có kí hiệu S4 và S6. Như đã biết, trục gương bậc sáu tương đương trục nghịch đảo bậc ba, nên S6 có thể viết thành C3i Cũng vì vậy, lớp đôi mặt kí hiệu Ci
Các lớp của hệ lập phương thường bắt đầu bằng T và O (tetrahedral: thuộc tứ diện và octahedral: thuộc bát diện); T là nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác), O tám mặt ba (ngũ giác), điền thêm kí hiệu dưới h và d tuỳ trường hợp:
Oh tám mặt sáu (tam giác),
Td bốn mặt sáu (tam giác)
Trang 35Hai mặt Lăng trụ (trực thoi)
Tháp trực thoi Tháp đôi trực thoi
3L 2
L 2 2P 3L 2 3PC
D 2
C 2v
D 2h
222 mm2 Mmm Bốn phương Tháp bốn phương
Tháp đôi bốn phương Mặt thang bốn phương Tháp bốn phương kép Tháp đôi bốn phương kép Bốn mặt bốn phương Mặt tam giác lệch bốn phương
422 4mm 4/mmm 4
4 2m
Ba phương Tháp ba phương
Mặt thoi Mặt thang ba phương Tháp ba phương kép Mặt tam giác lệch ba phương
32 3m Sáu phương Tháp sáu phương
Tháp đôi sáu phương Mặt thang sáu phương Tháp sáu phương kép Tháp đôi sáu phương kép Tháp đôi ba phương Tháp đôi ba phương kép
622 6mm 6/mmm 6 6 Lập phương Bốn mặt ba (ngũ giác)
Mười hai mặt kép Tám mặt ba (ngũ giác) Bốn mặt sáu (tam giác) Tám mặt sáu (tam giác)
4L 3 3L 2
3L 3 3L 2 3PC 3L 4 4L 3 6L 2
3Li 4 4L 3 6P 3L 4 4L 3 6L 2 9PC
432
4 3m m3m
Chú thích: * kí hiệu theo 1) Bravais, 2) Schoenflies, 3) Hermann-Mauguin
Kí hiệu Hermann-Mauguin
Trục đối xứng kí hiệu bằng số chỉ bậc của nó, mặt gương bằng chữ m Trục xoay bậc hai,
ba, bốn và sáu kí hiệu lần lượt 2, 3, 4 và 6 Vạch ngang đặt phía trên chữ số là trục nghịch
đảo; 4 là trục nghịch đảo bậc bốn (xem 2.1.1)
Các nhóm điểm khác kí hiệu bằng những kết hợp khác nhau của các chữ số và chữ m
Mặt gương vuông góc với trục đối xứng thì giữa nó và trục có gạch ngang hay chéo dạng
phân số Ví dụ : 2/m là nhóm với trục bậc hai vuông góc với mặt gương (tâm nghịch đảo là
kết quả đương nhiên) Nếu 2 kí tự này viết liền nhau thì đó là vì chúng song song nhau (mặt
chứa trục) 222 là nhóm điểm có 3 trục xoay bậc hai trực giao; 2 2 2
m m m là nhóm tháp đôi trực thoi Kí hiệu này rút gọn thành mmm: 3 mặt gương trực giao sinh ra trên giao tuyến 3 trục
xoay đối xứng bậc hai, tâm đối xứng nằm trên giao điểm Những yếu tố đối xứng sinh ra là
Trang 36kết quả đương nhiên thì không chỉ ra trên phép kí hiệu Như vậy, nhóm tám mặt sáu (tam giác) biểu hiện bằng kí hiệu 4 3 2
m m, hay viết tắt thành m3m
Trục chính sẽ đứng đầu trong kí hiệu nhóm điểm tinh thể các hệ hạng trung Mặt gương thẳng góc nếu có, sẽ làm với nó một vị trí, dưới dạng phân số Vị trí thứ hai dành cho yếu tố đối xứng dọc trục toạ độ OX (OU) và OY Vị trí thứ ba (thường bỏ trống trong phụ hệ ba phương) là các yếu tố đối xứng dọc hướng phân giác của các góc giữa các trục tọa độ ngang
Ví dụ: nhóm điểm 4/mmm
Hệ trục toạ độ tinh thể học
Tinh thể hệ 3 nghiêng có hệ trục toạ độ tổng quát nhất Các đoạn a, b, c trên 3 trục OX,
OY, OZ không bằng nhau, tức là các trục không tương đương Các góc α giữa OY và OZ, β giữa OX và OZ, γ giữa OX và OY cũng khác nhau Mỗi tinh thể 3 nghiêng có những giá trị
xác định của các góc và cạnh ấy
Trong tinh thể 1 nghiêng có 2 giá trị góc bằng góc vuông, đó là góc giữa OY và OX, giữa
OY và OZ; góc β giữa OX và OZ là góc nghiêng, quy ước lấy giá trị lớn hơn góc vuông Các giá trị a, b, c khác nhau Trong hệ, trục bậc 2 và tia pháp của mặt gương được chọn để đặt trục
OY Còn 2 trục kia, cũng như cả 3 trục của tinh thể 3 nghiêng, đều đặt theo các cạnh thường gặp nhất (theo trục của đới phát triển nhất), ưu tiên OZ hơn
Tinh thể trực thoi có hệ trục toạ độ trực giao, chạy dọc các trục bậc hai hay/và pháp tuyến của mặt gương và không tương đương, giống 2 hệ trên: a, b, c khác nhau
Tinh thể 4 phương cũng có hệ trục vuông góc và a và b bằng nhau Trục thứ 3 là c thẳng
đứng luôn trùng với trục đối xứng bậc 4 (trục xoay hay trục nghịch đảo) Các trục ngang đặt dọc trục bậc 2, hoặc dọc tia pháp mặt gương, hoặc dọc theo các đới phát triển nhất Đặc số của hệ 4 phương là tỉ số a : c
Tinh thể hệ sáu phương có góc γ giữa OX và OY bằng 120 ° và hai góc vuông, a =
b Trục OZ đứng trùng với trục bậc ba và trục bậc sáu Riêng phụ hệ ba phương có mạng mặt
thoi với a = b = c và góc giữa các trục tinh thể học bằng α (khi góc này 90° mạng chuyển sang hệ lập phương) Thực ra, mạng này chỉ là trường hợp đặc biệt của hệ sáu phương [14] Tinh thể hệ lập phương có các trục toạ độ vuông góc và tương đương do tác động của 4 trục bậc 3 Chúng song song với 3 trục bậc 4 (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) hoặc 3 trục xoay bậc 2 Như vậy thông số a là đặc số duy nhất của tinh thể hệ này
Đối xứng toàn mặt, phân nửa mặt, phân tư mặt
Mỗi hệ tinh thể đều có một lớp đối xứng cao nhất và với hình đơn nhiều mặt nhất; đó là
số mặt của hình đơn tổng quát của nhóm điểm và là đặc số của đối xứng cao nhất ấy Đó là
lớp đối xứng toàn mặt:
Hệ ba nghiêng có lớp đôi mặt
Hệ một nghiêng có lớp lăng trụ (trực thoi)
Hệ trực thoi có lớp tháp đôi trực thoi
Hệ bốn phương có lớp tháp đôi bốn phương kép
Phụ hệ ba phương có lớp mặt tam giác lệch ba phương
Trang 37 Phụ hệ sáu phương có lớp tháp đôi sáu phương kép
Hệ lập phương có lớp tám mặt sáu (tam giác)
Từ lớp đối xứng toàn mặt có thể suy ra những lớp còn lại của hệ bằng cách hạ cấp độ đối xứng để có hình đơn tổng quát (hđtq) tương ứng: phân nửa mặt và hình đơn phân tư mặt Sơ
đồ triển khai có thể diễn đạt đối với hệ lập phương làm ví dụ như sau
Bảng 2.2
Các cấp độ đối xứng của hệ lập phương
O h Dạng đối xứng toàn mặt 48
T d O T h Dạng đối xứng phân nửa mặt 24
T Dạng đối xứng phân tư mặt 12
* Đại lượng đối xứng của dạng đối xứng tính bằng số mặt của hình đơn tổng quát của
nó
2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể
Đa diện tinh thể biểu hiện dưới dạng hình ghép của các hình đơn Hình đơn của tinh thể
hoàn thiện có các mặt với mọi tính chất giống nhau Hình đơn là tập hợp các mặt liên quan với nhau bằng các yếu tố của một nhóm điểm Nó được suy ra từ các thao tác đối xứng của
một nhóm điểm; hãy đặt một mặt cho trước tại vị trí nào đó so với các yếu tố đối xứng, dưới tác dụng của các thao tác này mặt cho trước sẽ cho một tập hợp các mặt, đây là một hình đơn hoàn chỉnh
Vậy, hình đơn gắn liền với đa diện tinh thể thông qua nhóm điểm của nó Về mặt lí thuyết, mỗi nhóm điểm có thể có một số hữu hạn các hình đơn Trong số đó có các hình đơn đặc biệt và một hình đơn tổng quát duy nhất với số mặt lớn nhất Mặt của hình đơn đặc biệt
thì hoặc vuông góc với yếu tố đối xứng hoặc song song với chúng, hoặc cắt xiên các yếu tố đối xứng tương đương dưới cùng một góc (các yếu tố đối xứng cùng tên của nhóm điểm có thể không tương đương nếu chúng không trùng nhau nhờ các yếu tố đối xứng khác trong nhóm điểm) Hình đơn gọi là tổng quát nếu mặt của nó nằm tại vị trí bất kì so với các yếu tố
đối xứng của đa diện tinh thể Nó đóng vai trò tinh thể học rất quan trọng; tên của nó được lấy
để đặt cho nhóm điểm (tham khảo bảng 2.1), còn số mặt lớn nhất của nó là đại lượng đối xứng của nhóm điểm, định lượng cho mức độ đối xứng của tinh thể (bảng 2.2)
Tất cả có 47 hình đơn [13,14] và chúng phân bổ trên các hệ như trên bảng 2.3 Ngoài hình đơn hai mặt, nhiều tác giả còn kể thêm hai mặt trục, nâng số hình đơn lên 48; tên của
chúng cũng là tên của các nhóm điểm m (P) và 2 (L2)
có thể là tổng quát của lớp khác; chẳng hạn, lăng trụ trực thoi là hình đơn đặc biệt thuộc hệ trực thoi, lại là hình đơn tổng quát của lớp toàn mặt thuộc hệ một nghiêng Nhiều hình đơn
Trang 38của phụ hệ ba phương cũng có mặt trong phụ hệ sáu phương Đó là các lăng trụ như lăng trụ
ba phương, lăng trụ ba phương kép và các tháp đôi như tháp đôi ba phương, tháp đôi ba phương kép Một loạt hình đơn của phụ hệ sáu phương như tháp, tháp đôi và các lăng trụ cũng
có mặt trên tinh thể các lớp ba phương
Bảng thống kê cho thấy mối tương quan phụ thuộc giữa số hình đơn và đối xứng của hệ
Cụ thể, đối xứng của hệ càng cao thì số hình đơn của nó càng lớn Mọi hình đơn đều có thể suy ra từ 5 hình đơn chính (hình 2.10) bằng cách đặt chúng vào tác dụng của các trục đối xứng với bậc khác nhau (hình 2.11)
Hãy quan sát trên hình 2.12, các hình đơn thay đổi lần lượt trên các hệ trục khác nhau từ trái sang phải; từ hình đơn đối xứng thấp nhất sang hình đơn đối xứng cao nhất Hàng giữa là hình chiếu của chúng trên mặt nằm ngang
Trong hệ ba nghiêng, trục toạ độ không tương đương và cắt nhau thành những góc bất kì Hình đơn tổng quát với đối xứng cao nhất là hình đôi mặt với kí hiệu {hkl} Sang hệ một nghiêng với α = γ = 90°, từ một mặt ở vị trí tổng quát xuất hiện một hình đơn khác hẳn và đối xứng cao hơn: 2/m Đó là hình lăng trụ trực thoi {hkl} Trong hệ trực thoi, cả góc β cũng vuông, nhưng 3 thông số trên 3 trục toạ độ vẫn khác nhau, thì mặt cho trước tại vị trí tổng quát sẽ cho hình đơn phát triển cao hơn nữa với đối xứng mmm Đó là hình đơn tổng quát
tháp đôi trực thoi {hkl} Trong hệ 4 phương với các thông số ở trục ngang bằng nhau (a = b);
trục thẳng đứng là trục bậc bốn thay cho trục bậc hai của hệ trực thoi Hai hình đơn sẽ xuất hiện với các mặt đều cắt cả 3 trục và với đối xứng 4/mmm:
∗ Hình đơn đặc biệt tháp đôi bốn phương {hhl}
∗ Hình đơn tổng quát tháp đôi bốn phương kép {hkl}với mặt cắt ngang tứ giác kép đều
đặn (đường đứt, hàng giữa, hình 2.12)
Hình 2.12
Hình đơn đôi mặt và tháp đôi phát triển trong tinh thể thuộc các hệ với ba trục toạ độ
Trang 39Trong hệ lập phương 4 trục bậc ba đã làm xuất hiện hình tám mặt sáu {hkl}, tổng quát với 48 mặt, mặt cắt ngang của nó (đường đứt) giống hình trên Cùng lớp đối xứng còn có hình đơn đặc biệt {111} tám mặt, với đối xứng cao hơn tháp đôi bốn phương Ngoài ra, có thể còn
2 hình trung gian gồm 24 mặt {hhl}: tám mặt ba tứ giác với h < l và tám mặt ba tam giác với
h > l (xem thêm ở cuối mục)
Hình 2.12 (hàng dưới) giới thiệu loạt hình đơn sinh ra từ mặt cho trước, chỉ cắt một trong
ba trục toạ độ Tinh thể hạng thấp có ba hình đôi mặt {100}, {010} và {001} Hình đơn {100} của hệ bốn phương là lăng trụ, trong hệ lập phương là hình lập phương (sáu mặt)
Những hình đơn hệ lập phương và những tháp đôi vừa kể đều là những hình đơn kín và
có thể một mình làm nên đa diện tinh thể Hình đôi mặt, lăng trụ trực thoi là những hình đơn
mở, chỉ bắt gặp chúng trong hình ghép
Bây giờ, thay vào các mặt ở vị trí tổng quát là các mặt chỉ cắt 2 trục tinh thể học và song song với trục thứ ba, thực hiện cách như trên cũng có thể thu được hàng loạt hình đơn từ đối xứng thấp, ít mặt đến hình đơn đối xứng cao với số mặt nhiều hơn (hình 2.13)
Chẳng hạn, mặt song song với trục c trong lớp toàn mặt hệ ba nghiêng cũng sẽ cho hình đơn đôi mặt, nhưng với kí hiệu {hk0} và {hk0} Hình đơn {hk0} là lăng trụ trực thoi, tổng quát trong hệ một nghiêng và đặc biệt trong hệ trực thoi Cùng có bốn mặt, nhưng lăng trụ bốn phương có kí hiệu {110}, còn kí hiệu {hk0} trong hệ bốn phương lại là hình đơn lăng trụ
bốn phương kép với tám mặt và mặt cắt ngang giống như của tháp đôi bốn phương kép (hình
2.12) Trong hệ lập phương, kí hiệu {110} là của hình đặc biệt mười hai mặt thoi; giống như mọi hình đơn hệ lập phương, nó cũng là hình đơn kín Các hình lăng trụ trên hình 2.13 đều là hình đơn mở: chúng đều phải kết hợp với hình đơn khác trong đa diện, ví dụ với hình đôi mặt đáy {001}, song song với hai trục ngang
Bằng cách luận giải tương tự, có thể dẫn ra hàng loạt hình đơn song song với trục a Hệ
ba nghiêng, lớp toàn mặt có các hình đôi mặt {0kl} và {0kl} Hình đơn {0kl} là lăng trụ trực
thoi của các hệ một nghiêng (toàn mặt) và hệ trực thoi, là tháp đôi bốn phương trong đối xứng
phân nửa mặt và toàn mặt hệ bốn phương Hệ lập phương với ba trục toạ độ tương đương có
mười hai mặt ngũ giác, sáu mặt bốn tam giác (phân nửa mặt và toàn mặt) ứng với trường hợp
này Mười hai mặt thoi là hình đơn đặc biệt với k = l
Mặt song song với trục b với kí hiệu {h0l} hay {101} cho loạt hình đơn tương tự, trừ hệ một nghiêng sẽ là đôi mặt thay cho lăng trụ Hình 2.14 dẫn ra một loạt hình đơn phân nửa mặt
Trang 40và cắt cả ba trục tọa độ Đó là hình một mặt trong hệ ba nghiêng, hai mặt trong hệ một
nghiêng, bốn mặt trực thoi trong hệ trực thoi, bốn mặt bốn phương trong hệ bốn phương và bốn mặt (tứ diện đều) của hệ lập phương
Hình đơn của hệ lập phương và sự liên quan giữa chúng (hình 2.15)
Trên đây, trong khi suy đoán hình đơn hạng thấp và hạng trung, đã thấy xuất hiện những hình cơ sở của hệ lập phương (xem các hình 2.12 và 2.14): hình lập phương vuông góc với trục tọa độ, hình bát diện với trục ba lưỡng cực, tứ diện {111} và {111} với trục ba đơn cực Dựa vào đối xứng riêng của mặt các hình này, ta cho xuất hiện cạnh “nóc nhà” hoặc đỉnh
“mũi tháp” tại trung điểm của chúng [14]
a) Hình đơn hk0 dẫn
xuất từ hình lập phương/sáu
mặt:
Hình mười hai mặt ngũ
giác có thể gọi là “sáu mặt
hai ngũ giác” nếu cho xuất
hiện cạnh trên mặt hình sáu
phương qua hình trung gian
sáu mặt bốn tam giác
b) Hình đơn {hhl} với
h > l Trong các nhóm điểm
m3m, 432, m3 mặt tam giác
đều của bát diện thay bằng
Hình 2.14 Một số hình đơn phân nửa mặt phát triển từ hình 2.12 (hàng trên)
Hình 2.15
Lập phương, tám mặt và những hình dẫn xuất