Toán lớp 7 – Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác hay và khó

Trên cạnh AB lấy điểm E, trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho BE = CD... Gọi M là trung điểm của BC.[r]

TRONG TAM GIÁC

Bài 1

Cho ABC∆ có 0

90

B > Gọi D là một điểm trên tia đối của tia CB

Chứng minh AB < AC < AD

Lời giải

Xét ABC∆ có: ABC > ACB (vì 0

90

ABC > )

⇒ > (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (1)

Ta có: ACD là góc ngoài tại C của ABC∆

ABC > ⇒ ACD >

Xét ACD∆ có: ACD > ADC (vì 0

90

ACD > )

⇒ > (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB < AC < AD

D C

B A

Bài 2

Cho ABC∆ với AB ≤ AC Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kì khác

B và C Chứng minh rằng: AM < AC

Lời giải

Trường hợp 1: AB < AC ⇒ ACB < ABC

Mà AMC > ABC (vì AMC là góc ngoài tại M của ABM∆ )

Xét AMC∆ có: AMC > ACB cmt( )

Trường hợp 2: AB = AC ⇒ ABC = ACB

Mà AMC > ABC (vì AMC là góc ngoài tại M của ABM∆ )

Xét AMC∆ có: AMC > ACB cmt( )

B

A

Cho ABC∆ với AB ≤ BC ≤ AC Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy

hai điểm M và N (khác A, B, C) Chứng minh rằng: MN < AC

Lời giải

Xét ∆ABC có: AB ≤ AC , M là một điểm bất kì trên cạnh BC

(M ≠ B M; ≠ C)

Chứng minh tương tự bài 2, ta được: AM < AC (1)

Mặt khác: Vì M là một điểm bất kì trên cạnh BC ( M ≠ B M; ≠C ) nên

< ≤

Xét ∆AMC , chứng minh tương tự bài 2, ta được MN < a trong đó a là

đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN < AC

N

B

A

Bài 4

Cho ABC∆ có A là góc tù Gọi B C', ' theo thứ tự là hai điểm nằm trên

hại cạnh AB và AC của ABC∆ (B C', ' không trùng với đỉnh của tam giác) So sánh ' 'B C với BC

Lời giải

Nối B với ' C

Ta có: BB C' ' > BAC (vì BB C' ' là góc ngoài tại 'B của ∆AB C' ')

BAC > gt ⇒ BB C >

Xét ∆BB C' ' có: BB C' ' > B BC' ' (vì 0

' ' 90

BB C > )

⇒ > (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (1)

Ta lại có: CC B' > BAC (vì CC B' là góc ngoài tại 'C của ∆ABC ')

BAC > gt ⇒CC B >

Xét ∆CC B' có: CC B' >C CB' (vì 0

CC B > ) '

⇒ > (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC > B C' '

C'

B'

C

B A

Cho ABC∆ có B >C Tia phân giác của A cắt BC ở D Chứng minh

BD < DC

Lời giải

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE

Xét ADB∆ và ADE∆ có:

AB = AE (vẽ hình)

1 2( )

A = A gt

AD là cạnh chung

Do đó: ∆ADB = ∆ADE c g c( )

⇒ = (Hai cạnh tương ứng)

Và ABC = AED (Hai góc tương ứng)

Xét ABC∆ có: 0

180 −ABC = BAC + BCA > BCA

0

Xét ∆CED có: CED > ECD ⇒CD > ED

Mà DB = DE cmt( )

Suy ra: DC > DB

E

2 1

B A

Bài 6

Cho ABC∆ cân tại A, điểm M nằm trong tam giác sao cho MB < MC

Chứng minh rằng AMB > AMC

Lời giải

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , kẻ tia Ax sao cho

=

MAB xAC Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AM

Xét ∆AMB và ∆AEC có:

AB AC gt

=

MAB EAC (vẽ hình)

=

AM AE (vẽ hình)

Do đó: ∆AMB = ∆AEC c g c( ) ⇒ MB = EC (Hai cạnh tương ứng)

Mà MB < MC gt( )⇒ EC < MC

Xét ∆CME có: EC < MC cmt( )

M E (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Ta lại có: =

M E (vì ∆AME cân tại A)

M M E E hay AMC < AEC

Mà AEC = AMB (vì ∆AMB = ∆AEC c g c( ))

Do đó: AMB > AMC

x 2

1

2 1 E

M

C B

A

Cho ABC∆ có AB = AC D là điểm bất kì trong tam giác sao cho

ADB > ADC Chứng minh DC > DB

Lời giải

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , kẻ tia Ax sao cho

=

DAB xAC Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD

Xét ∆ADB và ∆AEC có:

AB AC gt

=

DAB EAC (vẽ hình)

=

AD AE (vẽ hình)

Do đó: ∆ADB = ∆AEC c g c( )

⇒ ADB = AEC (Hai góc tương ứng)

Mà ADB > ADC gt( ) ⇒ AEC > ADC gt( ) (1)

D E (vì ∆AED cân tại A) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: >

E D

x

2 1

2 1

E

D

C B

A

Xét ∆CDE có: >

⇒ DC > EC

Mà EC = DB (vì ∆ADB = ∆AEC c g c( ))

Do đó: DC > DB

Cho ABC∆ cân (AB = AC ) Trên cạnh AB lấy điểm E, trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho BE =CD Từ C kẻ Cx / /DE, từ E kẻ

/ /

Ey CD Cx cắt Ey tại F So sánh BC và CF

Lời giải

Xét ∆CDE và ∆EFC có:

ECF =CED (Hai góc so le trong, Cx / /DE)

EC là cạnh chung

CEF = ECD (Hai góc so le trong, Ey / /CD)

Do đó: ∆CDE = ∆EFC g c g( )

⇒ = (Hai góc tương ứng) và CD = EF (Hai cạnh tương ứng)

Mà BE =CD gt( ) ⇒ BE = EF

EBF

⇒ ∆ cân tại E ⇒ EBF = EFB (1)

Mặt khác, ta lại có: ABC = ACB >CDE = EFC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EBF + ABC > EFB +EFC hay CBF >CFB

BFC

∆ có: CBF >CFB ⇒CF > BC

y x F

D

E

C B

A

Bài 9*

Trên đáy BC của ∆ABC cân, lấy các điểm D và E sao cho

BD = DE = EC Chứng minh BAD = EAC < DAE

Lời giải

Xét DAB∆ và EAC∆ có:

( )

AB = AC gt

( )

ABD = ACE gt

( )

BD =CE gt

Do đó: ∆DAB = ∆EAC c g c( )

Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho DF = DA

F

E

B

A

( )

BD = ED gt

FDB = ADE (Hai góc đối đỉnh)

( )

DF = DA gt

Do đó: ∆FBD = ∆AED c g c( )

⇒ = (Hai góc tương ứng)

Và AE = BF (Hai cạnh tương ứng)

Vì AEC > ABC (góc ngoài của tam giác) Mà ABC = ACB gt( )

Xét AEC∆ có: AEC > ACE ⇒ AC > AE

⇒ > (vì AB = AC AE, = BF )

Xét ABF∆ có: AB > BF ⇒ F > BAD

Mà DAE = F cmt( ) ⇒ BAD < DAE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BAD = EAC < DAE

Bài 10*

Cho ABC∆ đều Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 1

3

BM = BC

20

BAM <

Lời giải

Lấy N là trung điểm của đoạn thẳng MC ⇒ BM = MN = NC

Xét ABM∆ và ACN∆ có:

( )

AB = AC gt

0

60

ABM = ACN =

( )

BM =CN gt

Do đó: ∆ABM = ∆ACN c g c( )

⇒ = (Hai cạnh tương ứng)

Kẻ đường cao AG của ABC∆ đều

0

30

BAG

⇒ = và G là trung điểm của BC

H

B

A

30

BAM

Xét BAM∆ có:

Do đó trong BAM∆ , cạnh AB là cạnh lớn nhất

Lấy H thuộc đường thẳng AM sao cho M là trung điểm của AH

Xét MAB∆ và ∆MHN có:

( )

MA = MH gt

AMB = HMN (Hai góc đối đỉnh)

( )

MB = MN gt

Do đó: ∆MAB = ∆MHN c g c( )

HN

⇒ là cạnh lớn nhất trong ∆MHN

Vì ∆MAB = ∆MHN c g c( ) nên MHN = BAM (Hai góc tương ứng)

60 > 3.BAM ⇒ BAM < 20

Bài 11*

Cho ABC∆ cân tại A Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho

MB < MC Lấy điểm O trên đoạn thẳng AM Chứng minh rằng

AOB > AOC

Lời giải

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , kẻ tia Ax sao cho

=

Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AO

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB AC gt ; AM là cạnh chung; MC > MB gt( )

⇒ MAC > MAB

Xét ∆AOB và ∆AEC có:

AB AC gt

=

OAB EAC (vẽ hình)

=

AO AE (vẽ hình)

Do đó: ∆AOB = ∆AEC c g c( )

⇒ AOB = AEC (Hai góc tương ứng)

2

1 2

1

x

M

E O

C B

A

⇒OAC > EAC

Xét ∆AOC và ∆AEC có:

=

AO AE (vẽ hình), AC là cạnh chung, OAC > EAC cmt( )

⇒OC > EC

Xét ∆OEC có: OC > EC cmt( )

E O (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (1)

∆AOE cân tại A nên =

E O (2)

Từ (1) và (2) suy ra: + < +

O O E E hay AOC < AEC

Và AOB = AEC cmt( )

Do đó: AOB > AOC

Bài 12*

Cho ABC∆ có AB < AC Vẽ ra ngoài ABC∆ các tam giác đều ABD∆

và ACE∆ Gọi M là trung điểm của BC So sánh MD và ME

Lời giải

Ta có: EAB = EAC + BAC = 600 + BAC

⇒ EAB = DAC

Xét ∆ABE và ∆ADC có:

=

AB AD (vì ABD∆ là tam giác đều)

EAB DAC cmt

=

AE AC (vì ∆AEC là tam giác đều)

Do đó: ∆ABE = ∆ADC c g c( )

⇒ BE = DC (Hai cạnh tương ứng)

E

D

B A

Ta có:

=

DB AB (vì ABD∆ là tam giác đều)

=

EC AC (vì ∆AEC là tam giác đều)

Mà AB < AC gt( ) ⇒ DB < EC

Xét ∆DBC và ∆ECB có:

DC EB cmt ; BC là cạnh chung; DB < EC cmt( )

⇒ DCB < EBC

D

B

A

Xét ∆MBE và ∆MCD có:

MB MC gt

MBE MCD cmt

BE CD cmt

⇒ ME > MD

E

D

B

A